În acest articol, metoda este considerată o modalitate de a rezolva sisteme ecuatii lineare(SLAU). Metoda este analitică, adică vă permite să scrieți un algoritm de soluție vedere generalași apoi înlocuiți valorile din exemple specifice de acolo. Spre deosebire de metoda matricei sau formulele lui Cramer, atunci când rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss, puteți lucra și cu cele care au un număr infinit de soluții. Sau nu o au deloc.

Ce înseamnă să rezolvi folosind metoda Gaussiană?

În primul rând, trebuie să scriem sistemul nostru de ecuații în Arata astfel. Luați sistemul:

Coeficienții se scriu sub formă de tabel, iar termenii liberi sunt înscriși într-o coloană separată din dreapta. Coloana cu termeni liberi este separată pentru comoditate.Matricea care include această coloană se numește extinsă.

În continuare, matricea principală cu coeficienți trebuie redusă la o formă triunghiulară superioară. Acesta este punctul principal al rezolvării sistemului folosind metoda Gaussiană. Pur și simplu, după anumite manipulări, matricea ar trebui să arate astfel încât partea sa din stânga jos să conțină doar zerouri:

Apoi, dacă scrieți din nou noua matrice ca sistem de ecuații, veți observa că ultimul rând conține deja valoarea uneia dintre rădăcini, care este apoi înlocuită în ecuația de mai sus, se găsește o altă rădăcină și așa mai departe.

Aceasta este o descriere a soluției prin metoda Gaussiană în cea mai mare parte schiță generală. Ce se întâmplă dacă dintr-o dată sistemul nu are nicio soluție? Sau sunt infinit de multe dintre ele? Pentru a răspunde la aceste întrebări și la multe alte întrebări, este necesar să luăm în considerare separat toate elementele utilizate în rezolvarea metodei gaussiene.

Matrici, proprietățile lor

Nici unul ințelesuri ascunse nu în matrice. Acesta este pur și simplu o modalitate convenabilă de a înregistra date pentru operațiunile ulterioare cu acesta. Nici școlarilor nu trebuie să le fie frică de ei.

Matricea este întotdeauna dreptunghiulară, deoarece este mai convenabilă. Chiar și în metoda Gauss, unde totul se reduce la construirea unei matrice de formă triunghiulară, în intrare apare un dreptunghi, doar cu zerouri în locul în care nu există numere. Este posibil ca zerourile să nu fie scrise, dar sunt subînțelese.

Matricea are o dimensiune. „Lățimea” este numărul de rânduri (m), „lungimea” este numărul de coloane (n). Apoi dimensiunea matricei A (litere mari majuscule latine sunt de obicei folosite pentru a le desemna) va fi notată ca A m×n. Dacă m=n, atunci această matrice este pătrată, iar m=n este ordinul său. În consecință, orice element al matricei A poate fi notat prin numerele sale de rând și coloane: a xy ; x - numărul rândului, modificări, y - numărul coloanei, modificări.

B nu este punctul principal al deciziei. În principiu, toate operațiile pot fi efectuate direct cu ecuațiile în sine, dar notația va fi mult mai greoaie și va fi mult mai ușor să vă confundați în ea.

Determinant

Matricea are și un determinant. Aceasta este o caracteristică foarte importantă. Nu este nevoie să-i aflați acum semnificația; puteți pur și simplu să arătați cum este calculată și apoi să spuneți ce proprietăți ale matricei determină. Cel mai simplu mod de a găsi determinantul este prin diagonale. Diagonalele imaginare sunt desenate în matrice; se înmulțesc elementele situate pe fiecare dintre ele, apoi se adaugă produsele rezultate: diagonale cu pantă spre dreapta - cu semn plus, cu pantă spre stânga - cu semn minus.

Este extrem de important de menționat că determinantul poate fi calculat doar pentru o matrice pătrată. Pentru o matrice dreptunghiulară, puteți face următoarele: alegeți cel mai mic dintre numărul de rânduri și numărul de coloane (fie k), apoi marcați aleatoriu k coloane și k rânduri în matrice. Elementele situate la intersecția coloanelor și rândurilor selectate vor forma un nou matrice pătrată. Dacă determinantul unei astfel de matrice este un număr diferit de zero, se numește baza minoră a matricei dreptunghiulare inițiale.

Înainte de a începe să rezolvați un sistem de ecuații folosind metoda Gauss, nu strica să calculați determinantul. Dacă se dovedește a fi zero, atunci putem spune imediat că matricea are fie un număr infinit de soluții, fie deloc. Într-un caz atât de trist, trebuie să mergeți mai departe și să aflați despre rangul matricei.

Clasificarea sistemului

Există așa ceva ca rangul unei matrice. Aceasta este ordinea maximă a determinantului său diferit de zero (dacă ne amintim despre baza minoră, putem spune că rangul unei matrice este ordinea bazei minore).

Pe baza situației cu rang, SLAE poate fi împărțit în:

• Comun. UÎn sistemele comune, rangul matricei principale (formată numai din coeficienți) coincide cu rangul matricei extinse (cu o coloană de termeni liberi). Astfel de sisteme au o soluție, dar nu neapărat una, prin urmare, în plus, sistemele de îmbinare sunt împărțite în:
• - anumit- având o singură soluție. În anumite sisteme, rangul matricei și numărul de necunoscute (sau numărul de coloane, care este același lucru) sunt egale;
• - nedefinit - cu un număr infinit de soluții. Rangul matricelor în astfel de sisteme este mai mic decât numărul de necunoscute.
• Incompatibil. UÎn astfel de sisteme, rândurile matricelor principale și extinse nu coincid. Sistemele incompatibile nu au soluție.

Metoda Gauss este bună deoarece în timpul rezolvării permite obținerea fie unei dovezi clare a inconsecvenței sistemului (fără a calcula determinanții matricilor mari), fie o soluție în formă generală pentru un sistem cu un număr infinit de soluții.

Transformări elementare

Înainte de a trece direct la rezolvarea sistemului, îl puteți face mai puțin greoi și mai convenabil pentru calcule. Acest lucru se realizează prin transformări elementare - astfel încât implementarea lor să nu schimbe în niciun fel răspunsul final. Trebuie remarcat faptul că unele dintre transformările elementare date sunt valabile numai pentru matrice, a căror sursă a fost SLAE. Iată o listă cu aceste transformări:

1. Rearanjarea liniilor. Evident, dacă modificați ordinea ecuațiilor din înregistrarea sistemului, acest lucru nu va afecta în niciun fel soluția. În consecință, și rândurile din matricea acestui sistem pot fi schimbate, fără a uita, bineînțeles, coloana de termeni liberi.
2. Înmulțirea tuturor elementelor unui șir cu un anumit coeficient. De mare ajutor! Poate fi folosit pentru a scurta numere mariîn matrice sau eliminați zerourile. Multe decizii, ca de obicei, nu se vor schimba, dar operațiunile ulterioare vor deveni mai convenabile. Principalul lucru este că coeficientul nu este egal cu zero.
3. Eliminarea rândurilor cu factori proporționali. Aceasta rezultă parțial din paragraful anterior. Dacă două sau mai multe rânduri dintr-o matrice au coeficienți proporționali, atunci când unul dintre rânduri este înmulțit/împarte la coeficientul de proporționalitate, se obțin două (sau, din nou, mai multe) rânduri absolut identice, iar cele suplimentare pot fi eliminate, lăsând unul singur.
4. Eliminarea unei linii nule. Dacă, în timpul transformării, se obține undeva un rând în care toate elementele, inclusiv termenul liber, sunt zero, atunci un astfel de rând poate fi numit zero și aruncat din matrice.
5. Adăugând elementelor unui rând elementele altuia (în coloanele corespunzătoare), înmulțite cu un anumit coeficient. Cea mai neevidentă și mai importantă transformare dintre toate. Merită să ne oprim asupra ei mai detaliat.

Adăugarea unui șir înmulțit cu un factor

Pentru ușurință de înțelegere, merită defalcat acest proces pas cu pas. Din matrice sunt luate două rânduri:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Să presupunem că trebuie să adăugați primul la al doilea, înmulțit cu coeficientul „-2”.

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Apoi, al doilea rând din matrice este înlocuit cu unul nou, iar primul rămâne neschimbat.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Trebuie remarcat faptul că coeficientul de înmulțire poate fi selectat în așa fel încât, ca urmare a adunării a două rânduri, unul dintre elementele noului rând să fie egal cu zero. Prin urmare, este posibil să se obțină o ecuație într-un sistem în care va exista una mai puțin necunoscută. Și dacă obțineți două astfel de ecuații, atunci operația poate fi făcută din nou și obțineți o ecuație care va conține două necunoscute mai puține. Și dacă de fiecare dată când transformați un coeficient din toate rândurile care sunt sub cel inițial la zero, atunci puteți, ca pe scări, să coborâți chiar în partea de jos a matricei și să obțineți o ecuație cu o necunoscută. Aceasta se numește rezolvarea sistemului folosind metoda Gaussiană.

În general

Să existe un sistem. Are m ecuații și n rădăcini necunoscute. Îl poți scrie după cum urmează:

Matricea principală este compilată din coeficienții sistemului. O coloană de termeni liberi este adăugată la matricea extinsă și, pentru comoditate, separați printr-o linie.

• primul rând al matricei este înmulțit cu coeficientul k = (-a 21 /a 11);
• se adaugă primul rând modificat și al doilea rând al matricei;
• în locul celui de-al doilea rând, rezultatul adunării din paragraful anterior este introdus în matrice;
• acum primul coeficient din noul al doilea rând este a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Acum se realizează aceeași serie de transformări, fiind implicate doar primul și al treilea rând. În consecință, la fiecare pas al algoritmului, elementul a 21 este înlocuit cu un 31. Apoi totul se repetă pentru un 41, ... un m1. Rezultatul este o matrice în care primul element din rânduri este zero. Acum trebuie să uitați de linia numărul unu și să efectuați același algoritm, începând de la linia a doua:

• coeficientul k = (-a 32 /a 22);
• a doua linie modificată este adăugată la linia „actuală”;
• rezultatul adunării este înlocuit în rândurile a treia, a patra și așa mai departe, în timp ce prima și a doua rămân neschimbate;
• în rândurile matricei primele două elemente sunt deja egale cu zero.

Algoritmul trebuie repetat până când apare coeficientul k = (-a m,m-1 /a mm). Aceasta înseamnă că în ultima data algoritmul a fost efectuat numai pentru ecuația inferioară. Acum matricea arată ca un triunghi sau are o formă în trepte. În linia de jos există egalitatea a mn × x n = b m. Se cunosc coeficientul si termenul liber, iar prin ele se exprima radacina: x n = b m /a mn. Rădăcina rezultată este înlocuită în linia superioară pentru a găsi x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Și așa mai departe prin analogie: în fiecare linie următoare există o nouă rădăcină și, după ce ați ajuns în „vârful” sistemului, puteți găsi multe soluții. Va fi singurul.

Când nu există soluții

Dacă într-unul dintre rândurile matricei toate elementele, cu excepția termenului liber, sunt egale cu zero, atunci ecuația corespunzătoare acestui rând arată ca 0 = b. Nu are solutie. Și deoarece o astfel de ecuație este inclusă în sistem, atunci setul de soluții al întregului sistem este gol, adică este degenerat.

Când există un număr infinit de soluții

Se poate întâmpla ca în matricea triunghiulară dată să nu existe rânduri cu un element coeficient al ecuației și un termen liber. Există doar linii care, atunci când sunt rescrise, ar arăta ca o ecuație cu două sau mai multe variabile. Aceasta înseamnă că sistemul are număr infinit deciziilor. În acest caz, răspunsul poate fi dat sub forma unei soluții generale. Cum să o facă?

Toate variabilele din matrice sunt împărțite în de bază și libere. Cele de bază sunt cele care stau „pe marginea” rândurilor din matricea pașilor. Restul sunt gratuite. În soluția generală, variabilele de bază sunt scrise prin intermediul unor libere.

Pentru comoditate, matricea este mai întâi rescrisă înapoi într-un sistem de ecuații. Apoi, în ultima dintre ele, unde exact mai rămâne o singură variabilă de bază, aceasta rămâne pe o parte și totul este transferat pe cealaltă. Acest lucru se face pentru fiecare ecuație cu o variabilă de bază. Apoi, în ecuațiile rămase, acolo unde este posibil, expresia obținută pentru aceasta este înlocuită în locul variabilei de bază. Dacă rezultatul este din nou o expresie care conține o singură variabilă de bază, aceasta este din nou exprimată de acolo și așa mai departe, până când fiecare variabilă de bază este scrisă ca o expresie cu variabile libere. Asta e decizie comună SLAU.

Puteți găsi, de asemenea, soluția de bază a sistemului - dați variabilelor libere orice valoare și apoi, pentru acest caz specific, calculați valorile variabilelor de bază. Există un număr infinit de soluții particulare care pot fi date.

Rezolvare cu exemple concrete

Iată un sistem de ecuații.

Pentru comoditate, este mai bine să-i creați imediat matricea

Se știe că atunci când se rezolvă prin metoda gaussiană, ecuația corespunzătoare primului rând va rămâne neschimbată la sfârșitul transformărilor. Prin urmare, va fi mai profitabil dacă elementul din stânga sus al matricei este cel mai mic - atunci primele elemente ale rândurilor rămase după operații se vor transforma la zero. Aceasta înseamnă că în matricea compilată va fi avantajos să punem al doilea rând în locul primului.

a doua linie: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

a treia linie: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Acum, pentru a nu vă confunda, trebuie să scrieți o matrice cu rezultatele intermediare ale transformărilor.

Evident, o astfel de matrice poate fi făcută mai convenabilă pentru percepție folosind anumite operații. De exemplu, puteți elimina toate „minusurile” din a doua linie înmulțind fiecare element cu „-1”.

De asemenea, este de remarcat faptul că în a treia linie toate elementele sunt multipli de trei. Apoi puteți scurta șirul cu acest număr, înmulțind fiecare element cu „-1/3” (minus - în același timp, pentru a elimina valorile negative).

Arata mult mai frumos. Acum trebuie să lăsăm prima linie în pace și să lucrăm cu a doua și a treia. Sarcina este de a adăuga a doua linie la a treia linie, înmulțită cu un astfel de coeficient încât elementul a 32 să devină egal cu zero.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (dacă în timpul unor transformări răspunsul nu se dovedește a fi un întreg, se recomandă menținerea preciziei calculelor pentru a lăsa este „ca atare”, sub forma fracție comună, și numai atunci, când răspunsurile sunt primite, decideți dacă rotunjiți și convertiți la o altă formă de înregistrare)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matricea este scrisă din nou cu valori noi.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

După cum puteți vedea, matricea rezultată are deja o formă în trepte. Prin urmare, nu sunt necesare transformări suplimentare ale sistemului folosind metoda Gaussiană. Ceea ce se poate face aici este să eliminați din a treia linie coeficient global "-1/7".

Acum totul este frumos. Tot ce rămâne de făcut este să scrieți din nou matricea sub forma unui sistem de ecuații și să calculați rădăcinile

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritmul prin care vor fi găsite acum rădăcinile se numește mișcare inversă în metoda Gaussiană. Ecuația (3) conține valoarea z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Și prima ecuație ne permite să găsim x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Avem dreptul să numim un astfel de sistem comun, și chiar definitiv, adică având o soluție unică. Răspunsul este scris în următoarea formă:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Un exemplu de sistem incert

S-a analizat varianta de rezolvare a unui anumit sistem prin metoda Gauss; acum este necesar să luăm în considerare cazul în care sistemul este incert, adică se pot găsi infinite soluții pentru acesta.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Însuși aspectul sistemului este deja alarmant, deoarece numărul de necunoscute este n = 5, iar rangul matricei sistemului este deja exact mai mic decât acest număr, deoarece numărul de rânduri este m = 4, adică ordinul cel mai înalt al pătratului-determinant este 4. Aceasta înseamnă că există soluții set infinit, și trebuie să căutăm aspectul său general. Metoda Gauss pentru ecuații liniare vă permite să faceți acest lucru.

Mai întâi, ca de obicei, este compilată o matrice extinsă.

A doua linie: coeficient k = (-a 21 /a 11) = -3. În a treia linie, primul element este înaintea transformărilor, deci nu trebuie să atingeți nimic, trebuie să îl lăsați așa cum este. A patra linie: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Înmulțind pe rând elementele primului rând cu fiecare dintre coeficienții lor și adunându-le la rândurile necesare, obținem matricea următorul tip:

După cum puteți vedea, al doilea, al treilea și al patrulea rând constau din elemente proporționale între ele. Al doilea și al patrulea sunt în general identice, așa că unul dintre ele poate fi eliminat imediat, iar cel rămas poate fi înmulțit cu coeficientul „-1” și obține linia numărul 3. Și din nou, din două linii identice, lăsați una.

Rezultatul este o matrice ca aceasta. Deși sistemul nu a fost încă notat, este necesar să se determine aici variabilele de bază - cele care stau la coeficienții a 11 = 1 și a 22 = 1, iar cele libere - toate celelalte.

În a doua ecuație există o singură variabilă de bază - x 2. Aceasta înseamnă că poate fi exprimat de acolo prin scrierea lui prin variabilele x 3 , x 4 , x 5 , care sunt libere.

Inlocuim expresia rezultata in prima ecuatie.

Rezultatul este o ecuație în care singura variabilă de bază este x 1 . Să facem la fel cu ea ca și cu x 2.

Toate variabilele de bază, dintre care există două, sunt exprimate în termeni de trei variabile libere; acum putem scrie răspunsul în formă generală.

De asemenea, puteți specifica una dintre soluțiile particulare ale sistemului. Pentru astfel de cazuri, zerourile sunt de obicei alese ca valori pentru variabilele libere. Atunci răspunsul va fi:

16, 23, 0, 0, 0.

Un exemplu de sistem non-cooperativ

Soluţie sisteme incompatibile ecuații prin metoda Gaussiană - cea mai rapidă. Se termină imediat ce la una dintre etape se obține o ecuație care nu are soluție. Adică, etapa de calcul a rădăcinilor, care este destul de lungă și plictisitoare, este eliminată. Se are în vedere următorul sistem:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ca de obicei, matricea este compilată:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Și se reduce la o formă în trepte:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

După prima transformare, a treia linie conține ecuația formei

fara o solutie. În consecință, sistemul este inconsecvent, iar răspunsul va fi setul gol.

Avantajele și dezavantajele metodei

Dacă alegeți ce metodă să rezolvați SLAE-urile pe hârtie cu un stilou, atunci metoda despre care a fost discutată în acest articol arată cea mai atractivă. Este mult mai dificil să fii confuz în transformările elementare decât dacă trebuie să cauți manual un determinant sau o matrice inversă complicată. Cu toate acestea, dacă utilizați programe pentru lucrul cu date de acest tip, de exemplu, foi de calcul, atunci se dovedește că astfel de programe conțin deja algoritmi pentru calcularea parametrilor principali ai matricelor - determinant, minori, invers și așa mai departe. Și dacă sunteți sigur că aparatul va calcula singur aceste valori și nu va greși, este mai indicat să utilizați metoda matricei sau formulele lui Cramer, deoarece aplicarea lor începe și se termină cu calculul determinanților și matricelor inverse.

Aplicație

Deoarece soluția gaussiană este un algoritm, iar matricea este de fapt o matrice bidimensională, poate fi folosită în programare. Dar, deoarece articolul se poziționează ca un ghid „pentru manechin”, ar trebui spus că cel mai ușor loc în care să pui metoda este foile de calcul, de exemplu, Excel. Din nou, orice SLAE introdus într-un tabel sub forma unei matrice va fi considerat de Excel ca o matrice bidimensională. Iar pentru operații cu ele există multe comenzi drăguțe: adunare (poți doar să adaugi matrice de aceeași dimensiune!), înmulțire cu un număr, înmulțire de matrice (tot cu anumite restricții), găsirea matricelor inverse și transpuse și, cel mai important , calculând determinantul. Dacă această sarcină consumatoare de timp este înlocuită cu o singură comandă, este posibil să se determine rangul matricei mult mai rapid și, prin urmare, să se stabilească compatibilitatea sau incompatibilitatea acesteia.

Instituția de învățământ „Statul Belarus

Academia Agricolă"

Catedra de Matematică Superioară

Instrucțiuni

pentru a studia tema „Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de liniare

ecuații" de către studenții Facultății de Contabilitate de Educație prin Corespondență (NISPO)

Gorki, 2013

Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

Sisteme echivalente de ecuații

Se spune că două sisteme de ecuații liniare sunt echivalente dacă fiecare soluție a uneia dintre ele este o soluție a celeilalte. Procesul de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare constă în transformarea secvențială a acestuia într-un sistem echivalent folosind așa-numitul transformări elementare , care sunt:

1) rearanjarea oricăror două ecuații ale sistemului;

2) înmulțirea ambelor părți ale oricărei ecuații a sistemului cu un număr diferit de zero;

3) adăugarea la orice ecuație a unei alte ecuații înmulțite cu orice număr;

4) tăierea unei ecuații constând din zerouri, adică ecuații ale formei

eliminarea gaussiană

Luați în considerare sistemul m ecuații liniare cu n necunoscut:

Esența metodei sau metodei Gauss eliminare secvenţială necunoscutele sunt următoarele.

În primul rând, folosind transformări elementare, necunoscutul este eliminat din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei. Astfel de transformări de sistem se numesc Etapa de eliminare gaussiană . Necunoscutul este numit variabilă de activare la primul pas de transformare. Se numeste coeficientul factor de rezoluție , se numește prima ecuație ecuația de rezolvare , iar coloana de coeficienți la coloana de permisiuni .

Când efectuați un pas de eliminare gaussiană, trebuie să utilizați următoarele reguli:

1) coeficienții și termenul liber al ecuației de rezolvare rămân neschimbate;

2) coeficienții coloanei de rezoluție situate sub coeficientul de rezoluție devin zero;

3) toți ceilalți coeficienți și termeni liberi la efectuarea primului pas se calculează conform regulii dreptunghiului:

, Unde i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Vom efectua transformări similare pe a doua ecuație a sistemului. Acest lucru va duce la un sistem în care necunoscutul va fi eliminat în toate ecuațiile, cu excepția primelor două. Ca urmare a unor astfel de transformări asupra fiecărei ecuații ale sistemului (progresia directă a metodei Gauss), sistemul original este redus la un sistem în trepte echivalent de unul dintre următoarele tipuri.

Metoda Gaussiană inversă

Sistem de trepte

are aspect triunghiular și atât (i=1,2,…,n). Un astfel de sistem are o soluție unică. Necunoscutele se determină pornind de la ultima ecuație (reversul metodei gaussiene).

Sistemul pas are forma

unde, adica numărul de ecuații ale sistemului este mai mic sau egal cu numărul de necunoscute. Acest sistem nu are soluții, deoarece ultima ecuație nu va fi satisfăcută pentru nicio valoare a variabilei.

Sistem tip pas

are nenumarate solutii. Din ultima ecuație, necunoscutul este exprimat prin necunoscute . Apoi, în penultima ecuație, în loc de necunoscut, expresia ei este substituită prin necunoscute. . Continuând inversul metodei gaussiene, necunoscutele poate fi exprimat în termeni de necunoscute . În acest caz, necunoscutele sunt numite gratuit și poate lua orice valoare, și necunoscut de bază.

Când rezolvați sisteme în practică, este convenabil să efectuați toate transformările nu cu un sistem de ecuații, ci cu un sistem extins. matricea sistemului, constând din coeficienți pentru necunoscute și o coloană de termeni liberi.

Exemplul 1. Rezolvarea sistemului de ecuații

Soluţie. Să creăm o matrice extinsă a sistemului și să efectuăm transformări elementare:

.

În matricea extinsă a sistemului, numărul 3 (este evidențiat) este coeficientul de rezoluție, primul rând este rândul de rezoluție, iar prima coloană este coloana de rezoluție. Când treceți la următoarea matrice, rândul de rezoluție nu se modifică; toate elementele coloanei de rezoluție de sub elementul de rezoluție sunt înlocuite cu zerouri. Și toate celelalte elemente ale matricei sunt recalculate conform regulii patrulaterului. În locul elementului 4 din a doua linie scriem , în locul elementului -3 din a doua linie se va scrie etc. Astfel, se va obține a doua matrice. Elementul de rezoluție al acestei matrice va fi numărul 18 din al doilea rând. Pentru a forma următoarea (a treia matrice), lăsăm al doilea rând neschimbat, în coloana de sub elementul de rezoluție scriem zero și recalculăm celelalte două elemente: în loc de numărul 1 scriem , iar în locul numărului 16 scriem .

Ca urmare, sistemul original a fost redus la un sistem echivalent

Din a treia ecuație găsim . Să înlocuim această valoare în a doua ecuație: y=3. Să înlocuim valorile găsite în prima ecuație yȘi z: , X=2.

Astfel, soluția acestui sistem de ecuații este X=2, y=3, .

Exemplul 2. Rezolvarea sistemului de ecuații

Soluţie. Să efectuăm transformări elementare pe matricea extinsă a sistemului:

În a doua matrice, fiecare element din al treilea rând este împărțit la 2.

În a patra matrice, fiecare element din al treilea și al patrulea rând a fost împărțit la 11.

. Matricea rezultată corespunde sistemului de ecuații

Rezolvând acest sistem, găsim , , .

Exemplul 3. Rezolvarea sistemului de ecuații

Soluţie. Să scriem matricea extinsă a sistemului și să facem transformări elementare:

.

În a doua matrice, fiecare element din al doilea, al treilea și al patrulea rând a fost împărțit la 7.

Ca rezultat, s-a obținut un sistem de ecuații

echivalent cu cel original.

Deoarece există două ecuații mai puține decât necunoscute, atunci din a doua ecuație . Să substituim expresia pentru în prima ecuație: , .

Astfel, formulele dați o soluție generală acestui sistem de ecuații. Necunoscutele sunt gratuite și pot lua orice valoare.

Să, de exemplu, Apoi Și . Soluţie este una dintre soluțiile particulare ale sistemului, dintre care există nenumărate.

Întrebări pentru autocontrolul cunoștințelor

1) Ce transformări ale sistemelor liniare se numesc elementare?

2) Ce transformări ale sistemului se numesc pasul de eliminare gaussian?

3) Ce este o variabilă de rezoluție, coeficient de rezoluție, coloană de rezoluție?

4) Ce reguli ar trebui folosite atunci când se efectuează un pas de eliminare gaussiană?

Una dintre metodele universale și eficiente de rezolvare a sistemelor algebrice liniare este metoda gaussiana , constând în eliminarea secvenţială a necunoscutelor.

Amintiți-vă că cele două sisteme sunt numite echivalent (echivalent) dacă mulțimile soluțiilor lor coincid. Cu alte cuvinte, sistemele sunt echivalente dacă fiecare soluție a uneia dintre ele este o soluție a celeilalte și invers. Sistemele echivalente se obţin atunci când transformări elementare ecuațiile sistemului:

înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu un alt număr decât zero;

adăugarea la o ecuație a părților corespunzătoare ale unei alte ecuații, înmulțite cu un alt număr decât zero;

rearanjarea a două ecuații.

Să fie dat un sistem de ecuații

Procesul de rezolvare a acestui sistem folosind metoda Gauss constă din două etape. În prima etapă (mișcarea directă), sistemul, folosind transformări elementare, se reduce la in trepte , sau triunghiular forma, iar la a doua etapă (invers) are loc o secvenţială, pornind de la ultimul număr variabil, determinarea necunoscutelor din sistemul de trepte rezultat.

Să presupunem că coeficientul acestui sistem
, altfel în sistem primul rând poate fi schimbat cu orice alt rând, astfel încât coeficientul de la era diferit de zero.

Să transformăm sistemul eliminând necunoscutul în toate ecuațiile cu excepția primei. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu și adăugați termen cu termen cu a doua ecuație a sistemului. Apoi înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu și adăugați-l la a treia ecuație a sistemului. Continuând acest proces, obținem sistemul echivalent

Aici
– noi valori ale coeficienților și termenilor liberi care se obțin după primul pas.

În mod similar, luând în considerare elementul principal
, excludeți necunoscutul din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei și a doua. Să continuăm acest proces cât mai mult posibil și, ca urmare, vom obține un sistem treptat

,

Unde ,
,…,– elementele principale ale sistemului
.

Dacă, în procesul de reducere a sistemului la o formă în trepte, apar ecuații, adică egalități ale formei
, sunt aruncate deoarece sunt satisfăcute de orice set de numere
. Eu gras
Dacă apare o ecuație de formă care nu are soluții, aceasta indică incompatibilitatea sistemului.

În timpul cursei inverse, prima necunoscută este exprimată din ultima ecuație a sistemului de trepte transformat prin toate celelalte necunoscute
care sunt numite gratuit . Apoi expresia variabilă din ultima ecuație a sistemului se substituie în penultima ecuație și variabila este exprimată din aceasta
. Variabilele sunt definite secvenţial într-un mod similar
. Variabile
, exprimate prin variabile libere, sunt numite de bază (dependent). Rezultatul este o soluție generală a sistemului de ecuații liniare.

A găsi soluție privată sisteme, liber necunoscut
în soluția generală se atribuie valori arbitrare și se calculează valorile variabilelor
.

Este mai convenabil din punct de vedere tehnic să supunem transformărilor elementare nu ecuațiile sistemului în sine, ci matricea extinsă a sistemului

.

Metoda Gauss este o metodă universală care vă permite să rezolvați nu numai sisteme pătrate, ci și dreptunghiulare în care numărul de necunoscute
nu este egal cu numărul de ecuații
.

Avantajul acestei metode este, de asemenea, că în procesul de rezolvare examinăm simultan sistemul pentru compatibilitate, deoarece, având în vedere matricea extinsă
pentru a forma treptat, este ușor să determinați rangurile matricei și matrice extinsă
si aplica Teorema Kronecker-Capelli .

Exemplul 2.1 Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss

Soluţie. Numărul de ecuații
și numărul de necunoscute
.

Să creăm o matrice extinsă a sistemului prin alocarea de coeficienți în dreapta matricei coloana membrilor liberi .

Să prezentăm matricea La vedere triunghiulară; Pentru a face acest lucru, vom obține „0” sub elementele situate pe diagonala principală folosind transformări elementare.

Pentru a obține „0” în a doua poziție a primei coloane, înmulțiți primul rând cu (-1) și adăugați-l la al doilea rând.

Scriem această transformare ca număr (-1) pe prima linie și o notăm cu o săgeată care merge de la prima linie la a doua linie.

Pentru a obține „0” în a treia poziție a primei coloane, înmulțiți primul rând cu (-3) și adăugați la al treilea rând; Să arătăm această acțiune folosind o săgeată care merge de la prima linie la a treia.

.

În matricea rezultată, scrisă a doua în lanțul de matrici, obținem „0” în a doua coloană în a treia poziția. Pentru a face acest lucru, am înmulțit a doua linie cu (-4) și am adăugat-o la a treia. În matricea rezultată, înmulțiți al doilea rând cu (-1) și împărțiți al treilea cu (-8). Toate elementele acestei matrice situate sub elementele diagonale sunt zerouri.

Deoarece , sistemul este colaborativ și definit.

Sistemul de ecuații corespunzător ultimei matrice are o formă triunghiulară:

Din ultima (a treia) ecuație
. Înlocuiți în a doua ecuație și obțineți
.

Să înlocuim
Și
în prima ecuație, găsim


.

Una dintre cele mai simple moduri de a rezolva un sistem de ecuații liniare este o tehnică bazată pe calculul determinanților ( regula lui Cramer). Avantajul său este că vă permite să înregistrați imediat soluția; este deosebit de convenabil în cazurile în care coeficienții sistemului nu sunt numere, ci niște parametri. Dezavantajul său este greutatea calculelor din caz un numar mare ecuații; în plus, regula lui Cramer nu este direct aplicabilă sistemelor în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de necunoscute. În astfel de cazuri, este de obicei folosit metoda gaussiana.

Se numesc sisteme de ecuații liniare care au același set de soluții echivalent. Evident, multe soluții sistem liniar nu se schimbă dacă vreo ecuație este schimbată sau dacă una dintre ecuații este înmulțită cu un număr diferit de zero sau dacă o ecuație este adăugată la alta.

metoda Gauss (metoda de eliminare secventiala a necunoscutelor) este că cu ajutorul transformărilor elementare sistemul este redus la un sistem echivalent de tip treptat. Mai întâi, folosind prima ecuație, eliminăm X 1 din toate ecuațiile ulterioare ale sistemului. Apoi, folosind a 2-a ecuație, eliminăm X 2 din a 3-a și toate ecuațiile ulterioare. Acest proces, numit metoda Gaussiană directă, continuă până când rămâne o singură necunoscută în partea stângă a ultimei ecuații x n. După aceasta se face inversa metodei gaussiene– rezolvând ultima ecuație, găsim x n; după aceea, folosind această valoare, din penultima ecuație pe care o calculăm x n–1 etc. Îl găsim pe ultimul X 1 din prima ecuație.

Este convenabil să se efectueze transformări gaussiene efectuând transformări nu cu ecuațiile în sine, ci cu matricele coeficienților lor. Luați în considerare matricea:

numit matrice extinsă a sistemului, deoarece, pe lângă matricea principală a sistemului, include o coloană de termeni liberi. Metoda Gaussiană se bazează pe reducerea matricei principale a sistemului la o formă triunghiulară (sau formă trapezoidală în cazul sistemelor nepătrate) folosind transformări elementare de rând (!) ale matricei extinse a sistemului.

Exemplul 5.1. Rezolvați sistemul folosind metoda Gaussiană:

Soluţie. Să scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind primul rând, după aceea vom reseta elementele rămase:

primim zerouri în rândurile 2, 3 și 4 ale primei coloane:

Acum avem nevoie ca toate elementele din a doua coloană de sub al doilea rând să fie egale cu zero. Pentru a face acest lucru, puteți înmulți a doua linie cu –4/7 și o puteți adăuga la a treia linie. Cu toate acestea, pentru a nu face față fracțiilor, să creăm o unitate în al 2-lea rând al celei de-a doua coloane și numai

Acum, pentru a obține o matrice triunghiulară, trebuie să resetați elementul din al patrulea rând al coloanei a treia; pentru a face acest lucru, puteți înmulți al treilea rând cu 8/54 și îl puteți adăuga la al patrulea. Totuși, pentru a nu avea de-a face cu fracțiile, vom schimba rândurile 3 și 4 și coloanele 3 și 4 și numai după aceea vom reseta elementul specificat. Rețineți că atunci când rearanjați coloanele, variabilele corespunzătoare își schimbă locurile și acest lucru trebuie reținut; alte transformări elementare cu coloane (adunare și înmulțire cu un număr) nu pot fi efectuate!

Ultima matrice simplificată corespunde unui sistem de ecuații echivalent cu cel inițial:

De aici, folosind inversul metodei gaussiene, găsim din a patra ecuație X 3 = –1; din a treia X 4 = –2, din a doua X 2 = 2 și din prima ecuație X 1 = 1. În formă de matrice, răspunsul se scrie ca

Am luat în considerare cazul când sistemul este definit, adică. când există o singură soluție. Să vedem ce se întâmplă dacă sistemul este inconsecvent sau incert.

Exemplul 5.2. Explorați sistemul folosind metoda Gaussiană:

Soluţie. Scriem și transformăm matricea extinsă a sistemului

Scriem un sistem simplificat de ecuații:

Aici, în ultima ecuație rezultă că 0=4, adică. contradicţie. În consecință, sistemul nu are nicio soluție, adică. ea incompatibil. à

Exemplul 5.3. Explorați și rezolvați sistemul folosind metoda Gaussiană:

Soluţie. Scriem și transformăm matricea extinsă a sistemului:

Ca rezultat al transformărilor, ultima linie conține doar zerouri. Aceasta înseamnă că numărul de ecuații a scăzut cu una:

Astfel, după simplificări, au rămas două ecuații și patru necunoscute, adică. două „în plus” necunoscute. Să fie „de prisos”, sau, după cum se spune, variabile libere, voi X 3 și X 4 . Apoi

crezând X 3 = 2AȘi X 4 = b, primim X 2 = 1–AȘi X 1 = 2b–A; sau sub formă de matrice

O soluție scrisă în acest fel se numește general, pentru că, dând parametri AȘi b sensuri diferite, este posibil să descriem toate soluțiile posibile ale sistemului. A

Definirea și descrierea metodei gaussiene

Metoda transformării gaussiene (cunoscută și ca metoda eliminării secvențiale a variabilelor necunoscute dintr-o ecuație sau matrice) pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare este o metodă clasică de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice (SLAE). Această metodă clasică este folosită și pentru a rezolva probleme precum obținerea matrici inverseși determinarea rangului matricei.

Transformarea folosind metoda Gaussiană constă în efectuarea de mici modificări secvențiale (elementare) unui sistem de ecuații algebrice liniare, ducând la eliminarea variabilelor din acesta de sus în jos cu formarea unui nou sistem triunghiular de ecuații care este echivalent cu cel original. unu.

Definiția 1

Această parte a soluției se numește soluție Gaussiană înainte, deoarece întregul proces se desfășoară de sus în jos.

După reducerea sistemului original de ecuații la unul triunghiular, găsim pe toate variabile de sistem de jos în sus (adică primele variabile găsite ocupă exact ultimele linii ale sistemului sau ale matricei). Această parte a soluției este cunoscută și ca inversa soluției gaussiene. Algoritmul său este următorul: mai întâi, se calculează variabilele cele mai apropiate de partea de jos a sistemului de ecuații sau matrice, apoi valorile rezultate sunt substituite mai sus și astfel se găsește o altă variabilă și așa mai departe.

Descrierea algoritmului metodei gaussiene

Secvența de acțiuni pentru rezolvarea generală a unui sistem de ecuații folosind metoda Gaussiană constă în aplicarea alternativă a curselor înainte și înapoi la matrice pe baza SLAE. Fie sistemul inițial de ecuații să aibă următoarea formă:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cazuri)$

Pentru a rezolva SLAE-uri folosind metoda Gaussiană, este necesar să scrieți sistemul original de ecuații sub forma unei matrice:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Matricea $A$ se numește matricea principală și reprezintă coeficienții variabilelor scrise în ordine, iar $b$ se numește coloana termenilor săi liberi. Matricea $A$, scrisă printr-o bară cu o coloană de termeni liberi, se numește matrice extinsă:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Acum este necesar, folosind transformări elementare pe sistemul de ecuații (sau pe matrice, deoarece acest lucru este mai convenabil), să-l aducem la următoarea formă:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

Matricea obținută din coeficienții sistemului transformat de ecuație (1) se numește matrice de etape; așa arată de obicei matricele de trepte:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) și b_3 \end(array)$

Aceste matrici sunt caracterizate de următorul set de proprietăți:

1. Toate liniile sale zero vin după linii diferite de zero
2. Dacă un rând al unei matrice cu numărul $k$ este diferit de zero, atunci rândul anterior al aceleiași matrice are mai puține zerouri decât acesta cu numărul $k$.

După obținerea matricei de etape, este necesar să se înlocuiască variabilele rezultate în ecuațiile rămase (începând de la sfârșit) și să se obțină valorile rămase ale variabilelor.

Reguli de bază și transformări permise la utilizarea metodei Gauss

Când simplificați o matrice sau un sistem de ecuații folosind această metodă, trebuie să utilizați numai transformări elementare.

Astfel de transformări sunt considerate a fi operații care pot fi aplicate unei matrice sau unui sistem de ecuații fără a-i schimba sensul:

• rearanjarea mai multor linii,
• adăugarea sau scăderea dintr-un rând al unei matrice a unui alt rând din aceasta,
• înmulțirea sau împărțirea unui șir cu o constantă diferită de zero,
• o linie constând doar din zerouri, obținută în procesul de calcul și simplificare a sistemului, trebuie ștearsă,
• De asemenea, trebuie să eliminați liniile proporționale inutile, alegând pentru sistem singura cu coeficienți care sunt mai potrivite și mai convenabile pentru calcule ulterioare.

Toate transformările elementare sunt reversibile.

Analiza celor trei cazuri principale care apar la rezolvarea ecuațiilor liniare folosind metoda transformărilor simple Gauss

Există trei cazuri care apar atunci când se utilizează metoda Gaussiană pentru a rezolva sisteme:

1. Când un sistem este inconsecvent, adică nu are soluții
2. Sistemul de ecuații are o soluție și una unică, iar numărul de rânduri și coloane diferite de zero din matrice este egal unul cu celălalt.
3. Sistemul are un anumit număr sau un set de soluții posibile, iar numărul de rânduri din el este mai mic decât numărul de coloane.

Rezultatul unei soluții cu un sistem inconsecvent

Pentru această opțiune, la rezolvare ecuația matriceală Metoda Gauss se caracterizează prin obținerea unei linii cu imposibilitatea îndeplinirii egalității. Prin urmare, dacă apare cel puțin o egalitate incorectă, sistemele rezultat și original nu au soluții, indiferent de celelalte ecuații pe care le conțin. Un exemplu de matrice inconsistentă:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

În ultima linie a apărut o egalitate imposibilă: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Un sistem de ecuații care are o singură soluție

Aceste sisteme, după ce au fost reduse la o matrice în trepte și au eliminat rândurile cu zerouri, au același număr de rânduri și coloane în matricea principală. Aici cel mai simplu exemplu un astfel de sistem:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Să o scriem sub forma unei matrice:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Pentru a aduce prima celulă din al doilea rând la zero, înmulțim rândul de sus cu $-2$ și îl scădem din rândul de jos al matricei și lăsăm rândul de sus în forma sa inițială, ca rezultat avem următorul :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Acest exemplu poate fi scris ca un sistem:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

Ecuația inferioară dă următoarea valoare pentru $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Înlocuiți această valoare în ecuația superioară: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, obținem $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Un sistem cu multe soluții posibile

Acest sistem se caracterizează printr-un număr mai mic de rânduri semnificative decât numărul de coloane din el (se iau în considerare rândurile matricei principale).

Variabilele într-un astfel de sistem sunt împărțite în două tipuri: de bază și gratuite. La transformarea unui astfel de sistem, variabilele principale conținute în acesta trebuie lăsate în zona din stânga până la semnul „=”, iar variabilele rămase trebuie mutate în partea dreaptă a egalității.

Un astfel de sistem are doar o anumită soluție generală.

Să analizăm următorul sistem de ecuații:

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Să o scriem sub forma unei matrice:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Sarcina noastră este să găsim o soluție generală pentru sistem. Pentru această matrice, variabilele de bază vor fi $y_1$ și $y_3$ (pentru $y_1$ - deoarece este primul, iar în cazul lui $y_3$ - este situat după zerouri).

Ca variabile de bază, le alegem exact pe cele care sunt primele din rând și nu sunt egale cu zero.

Variabilele rămase se numesc libere; trebuie să le exprimăm pe cele de bază prin ele.

Folosind așa-numita cursă inversă, analizăm sistemul de jos în sus; pentru a face acest lucru, mai întâi exprimăm $y_3$ din linia de jos a sistemului:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Acum înlocuim $y_3$ exprimat în ecuația superioară a sistemului $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Exprimăm $y_1$ în termeni de variabile libere $y_2$ și $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

Soluția este gata.

Exemplul 1

Rezolvați slough folosind metoda Gaussiană. Exemple. Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare dat de o matrice 3 cu 3 folosind metoda Gaussiană

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(cases)$

Să scriem sistemul nostru sub forma unei matrice extinse:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Acum, pentru comoditate și practic, trebuie să transformați matricea astfel încât $1$ să fie în colțul de sus al coloanei celei mai exterioare.

Pentru a face acest lucru, la prima linie trebuie să adăugați linia din mijloc, înmulțită cu $-1$, și să scrieți linia de mijloc așa cum este, se dovedește:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $

Înmulțiți liniile de sus și ultima cu $-1$ și, de asemenea, schimbați ultima și cea de mijloc:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

Și împărțiți ultima linie la $3$:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

Obținem următorul sistem de ecuații, echivalent cu cel inițial:

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

Din ecuația superioară exprimăm $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Exemplul 2

Un exemplu de rezolvare a unui sistem definit folosind o matrice 4 cu 4 folosind metoda Gaussiană

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 și 37 \\ \end(array)$.

La început, schimbăm liniile de sus după el pentru a obține $1$ în colțul din stânga sus:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 și 37 \\ \end(array)$.

Acum înmulțiți linia de sus cu $-2$ și adăugați la a 2-a și a 3-a. La a 4-a adăugăm prima linie, înmulțită cu $-3$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Acum la rândul numărul 3 adăugăm linia 2 înmulțită cu $4$, iar la linia 4 adăugăm linia 2 înmulțită cu $-1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

Înmulțim linia 2 cu $-1$ și împărțim linia 4 cu $3$ și înlocuim linia 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 și 10 \\ \end(array)$

Acum adăugăm la ultima linie penultima, înmulțită cu $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 și 0 \\ \end(matrice)$

Rezolvăm sistemul de ecuații rezultat:

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$