Nu vă speriați de cuvintele mele, ați dat peste această metodă deja în clasa a VII-a când ați studiat polinoamele.

De exemplu, dacă ai nevoie de:

Să grupăm: primul și al treilea termen, precum și al doilea și al patrulea.

Este clar că primul și al treilea sunt diferența de pătrate:

iar al doilea și al patrulea au un factor comun de trei:

Atunci expresia originală este echivalentă cu aceasta:

De unde să deduceți factorul comun nu mai este dificil:

Prin urmare,

Cam asta vom face atunci când rezolvăm ecuații exponențiale: căutați „comunalitate” între termeni și scoateți-o din paranteze, apoi - orice ar fi, cred că vom avea noroc =))

Exemplul nr. 14

Dreapta este departe de o putere de șapte (am verificat!) Și stânga nu e cu mult mai bună...

Puteți, desigur, să „tai” factorul a din al doilea termen din primul și apoi să te ocupi de ceea ce ai primit, dar hai să fim mai prudenți cu tine.

Nu vreau să mă ocup de fracțiile care se formează inevitabil atunci când „selectez”, așa că nu ar trebui să-l scot mai degrabă?

Atunci nu voi avea nicio fracție: după cum se spune, lupii sunt hrăniți și oile sunt în siguranță:

Calculați expresia dintre paranteze.

Magic, magic, se dovedește că (în mod surprinzător, deși la ce să ne mai așteptăm?).

Apoi reducem ambele părți ale ecuației cu acest factor. Primim: , de la.

Iată un exemplu mai complicat (destul de puțin, într-adevăr):

Ce problema! Nu avem un punct comun aici!

Nu este complet clar ce să faci acum.

Să facem ce putem: mai întâi, mutați „patru” într-o parte și „cinci” pe cealaltă:

Acum să scoatem „generalul” din stânga și din dreapta:

Deci ce acum?

Care este beneficiul unui astfel de grup prost? La prima vedere nu se vede deloc, dar haideți să privim mai profund:

Ei bine, acum ne vom asigura că în stânga avem doar expresia c, iar în dreapta - orice altceva.

Cum facem asta?

Iată cum: Împărțim mai întâi ambele părți ale ecuației cu (deci scăpăm de exponentul din dreapta), apoi împărțim ambele părți cu (deci scăpăm de factorul numeric din stânga).

În sfârșit obținem:

Incredibil!

În stânga avem o expresie, iar în dreapta avem o expresie simplă.

Atunci tragem imediat concluzia că

Exemplul nr. 15

Îi voi da scurta soluție (fără să mă deranjez prea mult cu explicații), încercați să înțelegeți singur toate „subtilitățile” soluției.

Acum pentru consolidarea finală a materialului acoperit.

Rezolvarea independentă a următoarelor 7 probleme (cu răspunsuri)

1. Să scoatem factorul comun dintre paranteze: Unde:
2. Să prezentăm prima expresie sub forma: , împărțim ambele părți la și obținem asta
3. , apoi ecuația inițială este transformată în forma: Ei bine, acum un indiciu - caută unde tu și cu mine am rezolvat deja această ecuație!
4. Imaginați-vă cum, cum, ah, bine, apoi împărțiți ambele părți la, astfel încât să obțineți cea mai simplă ecuație exponențială.
5. Scoateți-l din paranteze.
6. Scoateți-l din paranteze.

ECUAȚII EXPONENTARE. NIVEL MEDIU

Presupun că după ce am citit primul articol, despre care se vorbea ce sunt ecuațiile exponențiale și cum să le rezolvi, ai însușit cunoștințele minime necesare pentru a rezolva cele mai simple exemple.

Acum mă voi uita la o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor exponențiale, aceasta este...

Metodă de introducere a unei noi variabile (sau înlocuire)

El rezolvă majoritatea problemelor „dificile” pe tema ecuațiilor exponențiale (și nu numai a ecuațiilor).

Această metodă este una dintre cel mai des folosit în practică.În primul rând, vă recomand să vă familiarizați cu subiectul.

După cum ați înțeles deja din nume, esența acestei metode este să introduceți o astfel de schimbare a variabilei, încât ecuația dvs. exponențială să se transforme în mod miraculos într-una pe care o puteți rezolva cu ușurință.

Tot ce vă rămâne după rezolvarea acestei „ecuații simplificate” este să faceți o „înlocuire inversă”: adică, întoarcerea de la înlocuit la înlocuit.

Să ilustrăm ceea ce tocmai am spus cu un exemplu foarte simplu:

Exemplul 16. Metodă simplă de înlocuire

Această ecuație poate fi rezolvată folosind „înlocuire simplă”, așa cum o numesc în mod disprețuitor matematicienii.

De fapt, înlocuirea aici este cea mai evidentă. Nu trebuie decât să vezi asta

Apoi ecuația inițială se va transforma în următoarea:

Dacă vă mai imaginați cum, atunci este absolut clar că este necesar să înlocuiți...

Desigur, .

Ce devine atunci ecuația originală? Iată ce:

Îi poți găsi cu ușurință rădăcinile pe cont propriu: .

Ce ar trebui să facem acum?

Este timpul să revenim la variabila inițială.

Ce am uitat sa mentionez?

Și anume: la înlocuirea unui anumit grad cu o variabilă nouă (adică la înlocuirea unui tip), voi fi interesat de doar rădăcini pozitive!

Tu însuți poți răspunde cu ușurință de ce.

Astfel, tu și eu nu suntem interesați, dar a doua rădăcină este destul de potrivită pentru noi:

Atunci de unde.

Răspuns:

După cum puteți vedea, în exemplul anterior, un înlocuitor ne-a cerut doar mâinile. Din păcate, acest lucru nu este întotdeauna cazul.

Cu toate acestea, să nu trecem direct la lucrurile triste, ci să exersăm cu încă un exemplu cu o înlocuire destul de simplă

Exemplul 17. Metodă simplă de înlocuire

Este clar că cel mai probabil va trebui înlocuit (acesta este cel mai mic dintre gradele incluse în ecuația noastră).

Cu toate acestea, înainte de a introduce o înlocuire, ecuația noastră trebuie să fie „pregătită” pentru aceasta, și anume: , .

Apoi puteți înlocui, ca rezultat obțin următoarea expresie:

Oh groază: o ecuație cubică cu formule absolut groaznice pentru rezolvarea ei (ei bine, vorbind în termeni generali).

Dar să nu disperăm imediat, ci să ne gândim la ce ar trebui să facem.

Îți voi sugera să înșeli: știm că pentru a obține un răspuns „frumos”, trebuie să-l obținem sub forma unei puteri de trei (de ce ar fi asta, eh?).

Să încercăm să ghicim cel puțin o rădăcină a ecuației noastre (voi începe să ghicesc cu puteri de trei).

Prima presupunere. Nu o rădăcină. vai și ah...

.
Partea stângă este egală.
Partea dreapta:!

Mânca! Am ghicit prima rădăcină. Acum lucrurile vor deveni mai ușoare!

Știți despre schema de împărțire „colț”? Bineînțeles că da, îl folosești când împărți un număr la altul.

Dar puțini oameni știu că același lucru se poate face cu polinoamele.

Există o teoremă minunată:

Aplicând la situația mea, acest lucru îmi spune că este divizibil fără rest prin.

Cum se realizează împărțirea? Așa:

Mă uit să văd cu ce monom ar trebui să înmulțesc pentru a obține

Este clar că pe atunci:

Scăd expresia rezultată din, obțin:

Acum, cu ce trebuie să înmulțesc pentru a obține?

Este clar că pe, atunci voi obține:

și din nou scădeți expresia rezultată din cea rămasă:

Ei bine, ultimul pas este înmulțirea cu și scăderea din expresia rămasă:

Ura, diviziunea s-a terminat! Ce am acumulat în privat?

De la sine: .

Apoi am obținut următoarea extindere a polinomului original:

Să rezolvăm a doua ecuație:

Are rădăcini:

Apoi ecuația inițială:

are trei rădăcini:

Desigur, vom arunca ultima rădăcină, deoarece este mai mică decât zero.

Și primele două după înlocuirea inversă ne vor da două rădăcini:

Răspuns: ..

Nu am vrut să te sperii cu acest exemplu!

Mai degrabă, dimpotrivă, scopul meu a fost să arăt că, deși am avut o înlocuire destul de simplă, a condus totuși la o ecuație destul de complexă, a cărei rezolvare ne necesita niște abilități speciale.

Ei bine, nimeni nu este imun la asta. Dar înlocuirea în acest caz a fost destul de evidentă.

Exemplul nr. 18 (cu o înlocuire mai puțin evidentă)

Nu este deloc clar ce ar trebui să facem: problema este că în ecuația noastră sunt două baze diferite iar o fundație nu poate fi obținută de la alta ridicând-o la orice grad (rezonabil, firesc).

Totuși, ce vedem?

Ambele baze diferă doar prin semn, iar produsul lor este diferența de pătrate egală cu unu:

Definiție:

Astfel, numerele care sunt bazele în exemplul nostru sunt conjugate.

În acest caz, pasul inteligent ar fi înmulțiți ambele părți ale ecuației cu numărul conjugat.

De exemplu, pe, atunci partea stanga ecuația va deveni egală, iar cea corectă.

Dacă facem o înlocuire, atunci ecuația noastră inițială va deveni astfel:

rădăcinile sale, atunci, și amintindu-ne asta, obținem asta.

Răspuns: , .

De regulă, metoda înlocuirii este suficientă pentru a rezolva majoritatea ecuațiilor exponențiale „școlare”.

Următoarele sarcini de un nivel crescut de complexitate sunt preluate din variantele Unified State Exam.

Trei sarcini de complexitate crescută din variantele Unified State Exam

Sunteți deja suficient de alfabetizat pentru a rezolva singur aceste exemple. Voi oferi doar înlocuirea necesară.

1. Rezolvați ecuația:
2. Găsiți rădăcinile ecuației:
3. Rezolvați ecuația: . Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului:

Și acum câteva explicații și răspunsuri scurte:

Exemplul nr. 19

Aici este suficient să observăm că...

Atunci ecuația inițială va fi echivalentă cu aceasta:

Această ecuație poate fi rezolvată prin înlocuire

Faceți singur calculele ulterioare.

În final, sarcina ta se va reduce la rezolvarea unor probleme trigonometrice simple (în funcție de sinus sau cosinus). Vom analiza soluții la exemple similare în alte secțiuni.

Exemplul nr. 20

Aici puteți face chiar și fără înlocuire...

Este suficient să mutați subtraendul la dreapta și să reprezentați ambele baze prin puteri a două: , și apoi să treceți imediat la ecuația pătratică.

Exemplul nr. 21

Acest lucru este, de asemenea, rezolvat într-un mod destul de standard: să ne imaginăm cum.

Apoi, înlocuind, obținem o ecuație pătratică: atunci,

Știi deja ce este un logaritm, nu? Nu? Atunci citeste urgent subiectul!

Prima rădăcină evident nu aparține segmentului, dar a doua este neclară!

Dar vom afla foarte curând!

Din moment ce, atunci (aceasta este o proprietate a logaritmului!)

Scădem din ambele părți, atunci obținem:

Partea stângă poate fi reprezentată ca:

înmulțiți ambele părți cu:

poate fi înmulțit cu, atunci

Apoi compara:

de atunci:

Apoi a doua rădăcină aparține intervalului necesar

Răspuns:

Cum vedeți, selectarea rădăcinilor ecuațiilor exponențiale necesită o cunoaștere destul de profundă a proprietăților logaritmilor, așa că vă sfătuiesc să fiți cât mai atenți când rezolvați ecuații exponențiale.

După cum înțelegeți, în matematică totul este interconectat!

După cum a spus profesorul meu de matematică: „matematica, ca și istoria, nu poate fi citită peste noapte”.

De regulă, toate Dificultatea în rezolvarea problemelor cu un nivel crescut de complexitate este tocmai alegerea rădăcinilor ecuației.

Inca un exemplu de practica...

Exemplul 22

Este clar că ecuația în sine este rezolvată destul de simplu.

Făcând o înlocuire, reducem ecuația noastră inițială la următoarea:

Mai întâi să ne uităm la prima rădăcină.

Să comparăm și: de atunci. (proprietate funcţie logaritmică, la).

Atunci este clar că prima rădăcină nu aparține intervalului nostru.

Acum a doua rădăcină: . Este clar că (din moment ce funcția la este în creștere).

Rămâne de comparat și...

de atunci, în acelaşi timp.

În acest fel, pot „conduce un cuier” între și.

Acest cui este un număr.

Prima expresie este mai mică, iar a doua este mai mare.

Atunci a doua expresie este mai mare decât prima și rădăcina aparține intervalului.

Răspuns: .

În cele din urmă, să ne uităm la un alt exemplu de ecuație în care înlocuirea este destul de neobișnuită.

Exemplul nr. 23 (Ecuația cu înlocuire nestandard!)

Să începem imediat cu ce se poate face și ce - în principiu, se poate face, dar este mai bine să nu o facem.

Îți poți imagina totul prin puterile lui trei, doi și șase.

Unde duce?

Nu va duce la nimic: un amestec de grade, dintre care unele vor fi destul de greu de scăpat.

Atunci de ce este nevoie?

Să observăm că a

Și ce ne va oferi asta?

Și faptul că putem reduce soluția acestui exemplu la soluția unei ecuații exponențiale destul de simple!

Mai întâi, să ne rescriem ecuația ca:

Acum să împărțim ambele părți ale ecuației rezultate la:

Eureka! Acum putem înlocui, obținem:

Ei bine, acum este rândul tău să rezolvi problemele demonstrative și le voi face doar comentarii scurte pentru a nu te rătăci! Noroc!

Exemplul nr. 24

Cel mai dificil!

Este atât de greu să vezi un înlocuitor aici! Dar, cu toate acestea, acest exemplu poate fi rezolvat complet folosind evidenţiind un pătrat complet.

Pentru a o rezolva, este suficient să rețineți că:

Atunci iată înlocuitorul tău:

(Rețineți că aici, în înlocuitorul nostru, nu putem elimina rădăcină negativă!!! De ce crezi?)

Acum, pentru a rezolva exemplul, trebuie să rezolvi doar două ecuații:

Ambele pot fi rezolvate printr-o „înlocuire standard” (dar al doilea într-un exemplu!)

Exemplul nr. 25

2. Observați asta și faceți o înlocuire.

Exemplul nr. 26

3. Descompuneți numărul în factori coprimi și simplificați expresia rezultată.

Exemplul nr. 27

4. Împărțiți numărătorul și numitorul fracției la (sau, dacă preferați) și faceți înlocuirea sau.

Exemplul nr. 28

5. Observați că numerele și sunt conjugate.

REZOLVAREA ECUATIILOR EXPONENTARE FOLOSIND METODEA LOGARIFHM. NIVEL AVANSAT

În plus, să ne uităm la un alt mod - rezolvarea ecuațiilor exponențiale folosind metoda logaritmului.

Nu pot spune că rezolvarea ecuațiilor exponențiale folosind această metodă este foarte populară, dar în unele cazuri doar aceasta ne poate conduce la decizia corectă ecuația noastră.

Este folosit în special pentru a rezolva așa-numitul „ ecuații mixte„: adică cele în care apar funcții de diferite tipuri.

Exemplul nr. 29

V caz general poate fi rezolvată doar luând logaritmul ambelor părți (de exemplu, la bază), care va transforma ecuația inițială în următoarea:

Să ne uităm la următorul exemplu:

Este clar că conform ODZ al funcției logaritmice, ne interesează doar.

Cu toate acestea, acest lucru rezultă nu numai din ODZ al logaritmului, ci și din încă un motiv.

Cred că nu vă va fi greu să ghiciți care este.

Să luăm logaritmul ambelor părți ale ecuației noastre la bază:

După cum puteți vedea, luarea logaritmului ecuației noastre originale ne-a condus rapid la răspunsul corect (și frumos!).

Să exersăm cu încă un exemplu.

Exemplul nr. 30

Nici aici nu este nimic greșit: să luăm logaritmul ambelor părți ale ecuației la bază, apoi obținem:

Să facem un înlocuitor:

Totuși, am omis ceva! Ai observat unde am greșit? La urma urmei, atunci:

care nu satisface cerința (gândiți-vă de unde a venit!)

Răspuns:

Încercați să scrieți soluția ecuațiilor exponențiale de mai jos:

Acum compară decizia ta cu aceasta:

Exemplul nr. 31

Să logaritmăm ambele părți la bază, ținând cont de faptul că:

(a doua rădăcină nu este potrivită pentru noi din cauza înlocuirii)

Exemplul nr. 32

Să luăm logaritmii la bază:

Să transformăm expresia rezultată în următoarea formă:

ECUAȚII EXPONENTARE. SCURTĂ DESCRIERE ȘI FORMULE DE BAZĂ

Ecuație exponențială

Ecuația de formă:

numit cea mai simplă ecuație exponențială.

Proprietățile grade

Abordări ale soluției

• Reducere la aceeași bază
• Reducere la același exponent
• Înlocuire variabilă
• Simplificarea expresiei și aplicarea uneia dintre cele de mai sus.

Accesați canalul de youtube al site-ului nostru pentru a fi la curent cu toate noile lecții video.

În primul rând, să ne amintim formulele de bază ale puterilor și proprietățile lor.

Produsul unui număr A apare pe sine de n ori, putem scrie această expresie ca a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Putere sau ecuații exponențiale– acestea sunt ecuații în care variabilele sunt în puteri (sau exponenți), iar baza este un număr.

Exemple de ecuații exponențiale:

ÎN în acest exemplu numărul 6 este baza, este întotdeauna în partea de jos, iar variabila X grad sau indicator.

Să dăm mai multe exemple de ecuații exponențiale.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile exponențiale?

Să luăm o ecuație simplă:

2 x = 2 3

Acest exemplu poate fi rezolvat chiar și în capul tău. Se poate observa că x=3. La urma urmei, pentru ca părțile din stânga și din dreapta să fie egale, trebuie să puneți numărul 3 în loc de x.
Acum să vedem cum să oficializăm această decizie:

2 x = 2 3
x = 3

Pentru a rezolva o astfel de ecuație, am eliminat temeiuri identice(adică doi) și a notat ce a mai rămas, acestea sunt grade. Am primit răspunsul pe care îl căutam.

Acum să rezumam decizia noastră.

Algoritm pentru rezolvarea ecuației exponențiale:
1. Trebuie verificat aceeași dacă ecuația are baze la dreapta și la stânga. Dacă motivele nu sunt aceleași, căutăm opțiuni pentru a rezolva acest exemplu.
2. După ce bazele devin aceleași, echivala grade și rezolvați noua ecuație rezultată.

Acum să ne uităm la câteva exemple:

Să începem cu ceva simplu.

Bazele din stânga și din dreapta sunt egale cu numărul 2, ceea ce înseamnă că putem arunca baza și echivalăm gradele lor.

x+2=4 Se obţine cea mai simplă ecuaţie.
x=4 – 2
x=2
Răspuns: x=2

În exemplul următor puteți vedea că bazele sunt diferite: 3 și 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Mai întâi, mutați cele nouă în partea dreaptă, obținem:

Acum trebuie să faci aceleași baze. Știm că 9=3 2. Să folosim formula puterii (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Se obține 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 acum puteți vedea că în stânga și partea dreapta bazele sunt aceleași și egale cu trei, ceea ce înseamnă că le putem elimina și echivala gradele.

3x=2x+16 obținem cea mai simplă ecuație
3x - 2x=16
x=16
Răspuns: x=16.

Să ne uităm la următorul exemplu:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

În primul rând, ne uităm la bazele, bazele două și patru. Și avem nevoie să fie la fel. Transformăm cele patru folosind formula (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Și folosim, de asemenea, o formulă a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Adăugați la ecuație:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Am dat un exemplu din aceleași motive. Dar ne deranjează alte numere 10 și 24. Ce să facem cu ele? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că în partea stângă avem 2 2x repetate, iată răspunsul - putem pune 2 2x din paranteze:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Să calculăm expresia dintre paranteze:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Împărțim întreaga ecuație la 6:

Să ne imaginăm 4=2 2:

2 2x = 2 2 baze sunt aceleași, le aruncăm și echivalăm gradele.
2x = 2 este cea mai simplă ecuație. Împărțiți-l la 2 și obținem
x = 1
Răspuns: x = 1.

Să rezolvăm ecuația:

9 x – 12*3 x +27= 0

Să convertim:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Obtinem ecuatia:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bazele noastre sunt aceleași, egale cu trei. În acest exemplu, puteți vedea că primele trei au un grad de două ori (2x) decât al doilea (doar x). În acest caz, puteți rezolva metoda de înlocuire. Înlocuim numărul cu cel mai mic grad:

Atunci 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Înlocuim toate puterile x din ecuație cu t:

t 2 - 12t+27 = 0
Obținem o ecuație pătratică. Rezolvând prin discriminant, obținem:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Revenind la variabilă X.

Luați t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Acesta este,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea din t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Răspuns: x 1 = 2; x 2 = 1.

Pe site poti adresa orice intrebari ai putea avea in sectiunea AJUTA LA DECIZI, cu siguranta iti vom raspunde.

Alăturați-vă grupului

În etapa de pregătire pentru testul final, elevii de liceu trebuie să-și îmbunătățească cunoștințele pe tema „ Ecuații exponențiale" Experiența anilor trecuți indică faptul că astfel de sarcini provoacă anumite dificultăți pentru școlari. Prin urmare, elevii de liceu, indiferent de nivelul lor de pregătire, trebuie să stăpânească temeinic teoria, să-și amintească formulele și să înțeleagă principiul rezolvării unor astfel de ecuații. După ce au învățat să facă față acestui tip de problemă, absolvenții pot conta pe scoruri mari la promovarea Examenului de stat unificat la matematică.

Pregătește-te pentru testarea examenului cu Shkolkovo!

La trecerea în revistă a materialelor pe care le-au abordat, mulți elevi se confruntă cu problema găsirii formulelor necesare rezolvării ecuațiilor. Un manual școlar nu este întotdeauna la îndemână, iar selectarea informațiilor necesare pe o temă de pe Internet durează mult.

Portalul educațional Shkolkovo invită studenții să folosească baza noastră de cunoștințe. Implementăm o metodă complet nouă de pregătire pentru testul final. Studiind pe site-ul nostru, veți putea identifica lacunele în cunoștințe și veți putea acorda atenție acelor sarcini care provoacă cele mai multe dificultăți.

Profesorii Shkolkovo au colectat, sistematizat și prezentat tot materialul necesar pentru promovarea cu succes a examenului de stat unificat în cea mai simplă și mai accesibilă formă.

Definițiile și formulele de bază sunt prezentate în secțiunea „Teoretică”.

Pentru a înțelege mai bine materialul, vă recomandăm să exersați finalizarea sarcinilor. Examinați cu atenție exemplele de ecuații exponențiale cu soluții prezentate pe această pagină pentru a înțelege algoritmul de calcul. După aceea, continuați să efectuați sarcini în secțiunea „Directoare”. Puteți începe cu cele mai ușoare sarcini sau puteți trece direct la rezolvarea ecuațiilor exponențiale complexe cu mai multe necunoscute sau . Baza de date de exerciții de pe site-ul nostru este completată și actualizată în mod constant.

Acele exemple cu indicatori care v-au cauzat dificultăți pot fi adăugate la „Favorite”. În acest fel, le puteți găsi rapid și puteți discuta soluția cu profesorul dumneavoastră.

Pentru a promova cu succes examenul de stat unificat, studiați în fiecare zi pe portalul Shkolkovo!

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Exemple.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce s-a întâmplat ecuație exponențială? Aceasta este o ecuație în care se află necunoscutele (x-urile) și expresiile cu acestea indicatori unele grade. Și numai acolo! Este important.

Iată-te exemple de ecuații exponențiale:

3 x 2 x = 8 x+3

Notă! În bazele de grade (mai jos) - doar numere. ÎN indicatori grade (mai sus) - o mare varietate de expresii cu un X. Dacă, brusc, un X apare în ecuație în altă parte decât un indicator, de exemplu:

aceasta va fi o ecuație tip mixt. Astfel de ecuații nu au reguli clare pentru rezolvarea lor. Nu le vom lua în considerare deocamdată. Aici ne vom ocupa rezolvarea ecuațiilor exponențialeîn forma sa cea mai pură.

De fapt, chiar și ecuațiile exponențiale pure nu sunt întotdeauna rezolvate clar. Dar există anumite tipuri de ecuații exponențiale care pot și ar trebui rezolvate. Acestea sunt tipurile pe care le vom lua în considerare.

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale simple.

Mai întâi, să rezolvăm ceva foarte simplu. De exemplu:

Chiar și fără teorii, prin simpla selecție este clar că x = 2. Nimic mai mult, nu!? Nicio altă valoare a lui X nu funcționează. Acum să ne uităm la soluția acestei ecuații exponențiale complicate:

Ce am făcut? Noi, de fapt, pur și simplu am aruncat aceleași baze (triple). Complet aruncat afară. Și, vestea bună este că ne-am lovit în cui!

Într-adevăr, dacă într-o ecuație exponențială există stânga și dreapta aceeași numere în orice putere, aceste numere pot fi eliminate și exponenții pot fi egalați. Matematica permite. Rămâne de rezolvat o ecuație mult mai simplă. Grozav, nu?)

Cu toate acestea, să ne amintim cu fermitate: Puteți elimina bazele numai atunci când numerele de bază din stânga și dreapta sunt într-o izolare splendidă! Fără vecini și coeficienți. Să spunem în ecuații:

2 x +2 x+1 = 2 3 sau

doi nu pot fi eliminati!

Ei bine, am stăpânit cel mai important lucru. Cum să treceți de la expresii exponențiale malefice la ecuații mai simple.

„Acestea sunt vremurile!” - tu spui. „Cine ar da o lecție atât de primitivă despre teste și examene!?”

Trebuie să fiu de acord. Nimeni nu o va face. Dar acum știi unde să țintești atunci când rezolvi exemple dificile. Trebuie adus la forma în care se află același număr de bază în stânga și în dreapta. Atunci totul va fi mai ușor. De fapt, acesta este un clasic al matematicii. Luăm exemplul original și îl transformăm în cel dorit S.U.A minte. După regulile matematicii, desigur.

Să ne uităm la exemple care necesită un efort suplimentar pentru a le reduce la cele mai simple. Să-i numim ecuații exponențiale simple.

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale simple. Exemple.

La rezolvarea ecuațiilor exponențiale, regulile principale sunt acţiuni cu grade. Fără cunoașterea acestor acțiuni, nimic nu va funcționa.

La acțiunile cu grade, trebuie să adăugați observație personală și ingeniozitate. Avem nevoie de aceleași numere de bază? Așa că le căutăm în exemplu în formă explicită sau criptată.

Să vedem cum se face acest lucru în practică?

Să ni se dea un exemplu:

2 2x - 8 x+1 = 0

Prima privire atentă este la temeiuri. Ei... Sunt diferiti! Doi și opt. Dar este prea devreme pentru a te descuraja. Este timpul să ne amintim asta

Doi și opt sunt rude în grad.) Este foarte posibil să scrieți:

8 x+1 = (2 3) x+1

Dacă ne amintim formula din operații cu grade:

(a n) m = a nm ,

asta merge grozav:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Exemplul original a început să arate astfel:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Noi transferam 2 3 (x+1) la dreapta (nimeni nu a anulat operațiile elementare ale matematicii!), obținem:

2 2x = 2 3(x+1)

Asta e practic tot. Scoaterea bazelor:

Rezolvăm acest monstru și obținem

Acesta este răspunsul corect.

În acest exemplu, cunoașterea puterilor a doi ne-a ajutat. Noi identificatîn opt există un criptat doi. Această tehnică (criptarea motivelor comune sub numere diferite) este o tehnică foarte populară în ecuațiile exponențiale! Da, și în logaritmi. Trebuie să fii capabil să recunoști puterile altor numere în numere. Acest lucru este extrem de important pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale.

Faptul este că ridicarea oricărui număr la orice putere nu este o problemă. Înmulțiți, chiar și pe hârtie, și atât. De exemplu, oricine poate ridica 3 la puterea a cincea. 243 va merge dacă cunoașteți tabla înmulțirii.) Dar în ecuațiile exponențiale, mult mai des nu este necesar să ridicați la o putere, ci invers... Aflați ce număr în ce măsură este ascuns în spatele numărului 243 sau, să zicem, 343... Nici un calculator nu vă va ajuta aici.

Trebuie să cunoști puterile unor numere din vedere, nu... Să exersăm?

Stabiliți ce puteri și ce numere sunt numerele:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Răspunsuri (în mizerie, desigur!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Dacă te uiți cu atenție poți vedea fapt ciudat. Există mult mai multe răspunsuri decât sarcini! Ei bine, se întâmplă... De exemplu, 2 6, 4 3, 8 2 - asta sunt tot 64.

Să presupunem că ați luat notă de informațiile despre familiaritatea cu numerele.) Permiteți-mi să vă reamintesc și că pentru a rezolva ecuații exponențiale folosim toate stoc de cunoștințe matematice. Inclusiv cei din clasele junioare și mijlocii. Nu ai mers direct la liceu, nu?)

De exemplu, atunci când rezolvați ecuații exponențiale, scoaterea factorului comun dintre paranteze ajută adesea (bună ziua a 7-a!). Să ne uităm la un exemplu:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Și din nou, prima privire este către fundații! Bazele gradelor sunt diferite... Trei și nouă. Dar vrem ca ei să fie la fel. Ei bine, în acest caz dorința este complet împlinită!) Pentru că:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Folosind aceleași reguli pentru a trata grade:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Este grozav, o poți scrie:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Am dat un exemplu din aceleași motive. Deci, ce urmează!? Nu poți să arunci trei... O fundătură?

Deloc. Amintiți-vă de cea mai universală și puternică regulă de decizie toata lumea teme de matematică:

Dacă nu știi de ce ai nevoie, fă ce poți!

Uite, totul se va rezolva).

Ce este în această ecuație exponențială Poate sa do? Da, în partea stângă se roagă doar să fie scos din paranteze! Multiplicatorul general de 3 2x indică clar acest lucru. Să încercăm și apoi vom vedea:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Exemplul este din ce în ce mai bun!

Ne amintim că pentru a elimina temeiuri avem nevoie de un grad pur, fără coeficienți. Ne deranjează numărul 70. Deci împărțim ambele părți ale ecuației la 70, obținem:

Hopa! Totul a devenit mai bine!

Acesta este răspunsul final.

Se întâmplă, însă, să se realizeze taximetrie pe aceeași bază, dar eliminarea lor nu este posibilă. Acest lucru se întâmplă în alte tipuri de ecuații exponențiale. Să stăpânim acest tip.

Înlocuirea unei variabile în rezolvarea ecuațiilor exponențiale. Exemple.

Să rezolvăm ecuația:

4 x - 3 2 x +2 = 0

În primul rând - ca de obicei. Să trecem la o bază. La un doi.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Obtinem ecuatia:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Și aici stăm. Tehnicile anterioare nu vor funcționa, indiferent de modul în care le privești. Va trebui să scoatem din arsenalul nostru o altă metodă puternică și universală. Se numeste înlocuire variabilă.

Esența metodei este surprinzător de simplă. În loc de o pictogramă complexă (în cazul nostru - 2 x) scriem alta, mai simplă (de exemplu - t). O astfel de înlocuire aparent lipsită de sens duce la rezultate uimitoare!) Totul devine pur și simplu clar și de înțeles!

Asa ca lasa

Atunci 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

În ecuația noastră înlocuim toate puterile cu x cu t:

Ei bine, vă răzbună?) Ecuații cuadratice Ai uitat încă? Rezolvând prin discriminant, obținem:

Principalul lucru aici este să nu ne oprim, așa cum se întâmplă... Acesta nu este încă răspunsul, avem nevoie de x, nu de t. Să revenim la X, adică. facem o înlocuire inversă. Mai întâi pentru t 1:

Acesta este,

S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea din t 2:

Hm... 2 x în stânga, 1 în dreapta... Problemă? Deloc! Este suficient să ne amintim (din operațiuni cu puteri, da...) că o unitate este orice număr la puterea zero. Orice. Orice este nevoie, îl vom instala. Avem nevoie de doi. Mijloace:

Asta e acum. Avem 2 rădăcini:

Acesta este răspunsul.

La rezolvarea ecuațiilor exponențiale la final, uneori, ajungi cu un fel de expresie incomodă. Tip:

De la șapte la doi până la grad simplu nu funcționează. Nu sunt rude... Cum putem fi? Cineva poate fi confuz... Dar persoana care a citit pe acest site subiectul „Ce este un logaritm?” , doar zâmbește ușor și notează cu o mână fermă raspuns absolut corect:

Nu poate exista un astfel de răspuns în sarcinile „B” la examenul unificat de stat. Acolo este necesar un anumit număr. Dar în sarcinile „C” este ușor.

Această lecție oferă exemple de rezolvare a celor mai comune ecuații exponențiale. Să subliniem punctele principale.

Sfaturi practice:

1. În primul rând, ne uităm la temeiuri grade. Ne întrebăm dacă este posibil să le facem identic. Să încercăm să facem acest lucru utilizând activ acţiuni cu grade. Nu uitați că numerele fără x pot fi, de asemenea, convertite în puteri!

2. Încercăm să aducem ecuația exponențială la forma când în stânga și în dreapta sunt aceeași numere în orice putere. Folosim acţiuni cu gradeȘi factorizarea. Ceea ce poate fi numărat în cifre, noi numărăm.

3. Dacă al doilea sfat nu funcționează, încercați să utilizați înlocuirea variabilă. Rezultatul poate fi o ecuație care poate fi rezolvată cu ușurință. Cel mai adesea - pătrat. Sau fracțional, care se reduce și la pătrat.

4. Pentru a rezolva cu succes ecuații exponențiale, trebuie să cunoști puterile unor numere din vedere.

Ca de obicei, la sfârșitul lecției ești invitat să te hotărăști puțin.) Pe cont propriu. De la simplu la complex.

Rezolvați ecuații exponențiale:

Mai dificil:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Găsiți produsul rădăcinilor:

2 3 + 2 x = 9

S-a întâmplat?

Ei bine, atunci un exemplu foarte complex (deși poate fi rezolvat în minte...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Ce este mai interesant? Atunci iată un exemplu rău pentru tine. Destul de tentant pentru dificultate crescută. Permiteți-mi să vă sugerez că, în acest exemplu, ceea ce vă salvează este ingeniozitatea și cea mai universală regulă pentru rezolvarea tuturor problemelor matematice.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Un exemplu mai simplu, pentru relaxare):

9 2 x - 4 3 x = 0

Si pentru desert. Aflați suma rădăcinilor ecuației:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Da Da! Aceasta este o ecuație de tip mixt! Pe care nu le-am luat în considerare în această lecție. De ce să le luați în considerare, trebuie rezolvate!) Această lecție este suficientă pentru a rezolva ecuația. Ei bine, ai nevoie de ingeniozitate... Și să te ajute clasa a șaptea (acesta este un indiciu!).

Răspunsuri (în dezordine, separate prin punct și virgulă):

1; 2; 3; 4; nu există soluții; 2; -2; -5; 4; 0.

Este totul reușit? Grozav.

Există o problemă? Nici o problemă! Secțiunea specială 555 rezolvă toate aceste ecuații exponențiale cu explicații detaliate. Ce, de ce și de ce. Și, desigur, există informații suplimentare valoroase despre lucrul cu tot felul de ecuații exponențiale. Nu doar acestea.)

O ultimă întrebare amuzantă de luat în considerare. În această lecție am lucrat cu ecuații exponențiale. De ce nu am spus un cuvânt despre ODZ aici?În ecuații, acesta este un lucru foarte important, apropo...

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat acest lucru, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Tipul de lecție

: lecție de generalizare și aplicare complexă a cunoștințelor, abilităților și abilităților pe tema „Ecuații exponențiale și metode de rezolvare a acestora”.

Obiectivele lecției.

Educational:

repetați și sistematizați materialul principal al temei „Ecuații exponențiale, soluțiile lor”; consolidarea capacității de a utiliza algoritmi adecvați la rezolvarea ecuațiilor exponențiale de diferite tipuri; pregătirea pentru examenul de stat unificat.

Educational:

dezvoltarea gândirii logice și asociative a elevilor; promovează dezvoltarea abilității de aplicare independentă a cunoștințelor.

Educational:

cultivați dedicarea, atenția și acuratețea atunci când rezolvați ecuații.

Echipament:

calculator și proiector multimedia.

Folosit în clasă tehnologia de informație : suport metodologic la lecție - prezentare în Microsoft Power Point.

În timpul orelor

Fiecare abilitate vine cu munca grea

eu. Stabilirea unui obiectiv de lecție(Slide numărul 2 )

În această lecție, vom rezuma și vom generaliza subiectul „Ecuații exponențiale, soluțiile lor”. Să ne familiarizăm cu tipic Teme de examen de stat unificat ani diferiți pe această temă.

Probleme privind rezolvarea ecuațiilor exponențiale pot fi găsite în orice parte a sarcinilor de examinare unificată de stat. În partea „ IN " De obicei, ele oferă să rezolve cele mai simple ecuații exponențiale. În partea „ CU " Puteți găsi ecuații exponențiale mai complexe, a căror soluție este de obicei una dintre etapele de finalizare a sarcinii.

De exemplu ( Slide numărul 3 ).

• Examenul unificat de stat - 2007

Q 4 – Găsiți cea mai mare valoare a expresiei X y, Unde ( X; la) – soluția sistemului:

• Examenul unificat de stat - 2008

Q 1 – Rezolvați ecuațiile:

A) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

b) 4 X +1 + 8 4X= 3.

• Examenul unificat de stat - 2009

Q 4 – Găsiți sensul expresiei x + y, Unde ( X; la) – soluția sistemului:

• Examenul unificat de stat - 2010

– Rezolvați ecuația: 7 X– 2 = 49. – Aflați rădăcinile ecuației: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. – Rezolvarea sistemului de ecuații:

II. Actualizarea cunoștințelor de bază. Repetiţie

(Slide-urile nr. 4 – 6 prezentări pentru lecție)

Afișat pe ecran rezumatul de fond al materialului teoretic pe această temă.

Se discută următoarele probleme:

1. Ce ecuații se numesc indicativ?
2. Numiți principalele modalități de a le rezolva. Dați exemple de tipurile lor ( Slide numărul 4 )

(Rezolvați independent ecuațiile propuse pentru fiecare metodă și efectuați un autotest folosind slide-ul)

3. Ce teoremă se folosește atunci când se rezolvă ecuații exponențiale simple de forma: și f(x) = a g(x) ?
4. Ce alte metode de rezolvare a ecuațiilor exponențiale există? ( Slide numărul 5 )

• Metoda de factorizare
(pe baza proprietăților puterilor cu motive identice, tehnică: se scoate din paranteze gradul cu cel mai mic indicator).
• Metoda de împărțire (înmulțire) cu o expresie exponențială alta decât zero la rezolvarea ecuațiilor exponențiale omogene
.

• Sfat:

La rezolvarea ecuațiilor exponențiale este util să facem mai întâi transformări, obținând puteri cu aceleași baze de ambele părți ale ecuației.

1. Rezolvarea ecuațiilor folosind ultimele două metode cu comentarii ulterioare

(Slide numărul 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2х – 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2х – 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t- 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...

III. Rezolvarea sarcinilor Unified State Exam 2010

Elevii rezolvă în mod independent sarcinile propuse la începutul lecției de pe diapozitivul nr. 3, folosind instrucțiuni pentru rezolvare, verifică progresul lor în rezolvare și răspund la acestea folosind o prezentare ( Slide numărul 7). În timpul lucrului se discută opțiuni și soluții, se atrage atenția posibile greșeli atunci când decide.

: a) 7 X– 2 = 49, b) (1/6) 12 – 7 x = 36. Răspuns: A) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X– 1 = 0. (Poate fi înlocuit cu 0,5 = 4 – 0,5)

Soluţie. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

Răspuns: X= -5/2, X = 1/2.

: 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y, la cos y< 0.

Indicații către soluție

. 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,

5 5 2 g y+ 4 5 tg y – 1 = 0. Fie X= 5 tg y , …

5 tg y = -1 (?...), 5 tg y = 1/5.

Din moment ce tg y= -1 și cos y< 0, atunci la Sfertul de coordonate II

Răspuns: la= 3/4 + 2k, k N.

IV. Munca în echipă la bord

Se are în vedere o sarcină de un nivel înalt de pregătire - Slide numărul 8. Cu ajutorul acestui slide are loc un dialog între profesor și elevi, facilitând elaborarea unei soluții.

– La ce parametru A ecuația 2 2 X – 3 2 X + A 2 – 4A= 0 are două rădăcini?

Lăsa t= 2 X, Unde t > 0 . Primim t 2 – 3t + (A 2 – 4A) = 0 .

1). Deoarece ecuația are două rădăcini, atunci D > 0;

2). Deoarece t 1,2 > 0, atunci t 1 t 2 > 0, adică A 2 – 4A> 0 (?...).

Răspuns: A(– 0,5; 0) sau (4; 4,5).

V. Lucru de testare

(Slide numărul 9 )

Elevii efectuează munca de testare pe bucăți de hârtie, exersarea automonitorizării și autoevaluării lucrării efectuate cu ajutorul unei prezentări, devenind consacrate în temă. Ei determină în mod independent pentru ei înșiși un program pentru reglarea și corectarea cunoștințelor pe baza greșelilor făcute în registrele de lucru. Foile cu lucrarea independentă finalizată sunt predate profesorului pentru verificare.

numere subliniate - nivel de bază, cu un asterisc – complexitate crescută.

Soluție și răspunsuri.

0,3 2X + 1 = 0,3 – 2 , 2X + 1 = -2, X= -1,5.

(1; 1).

3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,

x = -1.

4 *.3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,

3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,

3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (nu se potriveste),

(3/5) X = 5, x = -1.

VI. Temă pentru acasă

(Slide numărul 10 )

• Repetați § 11, 12.
• Din materialele Examenului de stat unificat 2008 - 2010, selectați sarcini pe subiect și rezolvați-le.
• Lucru de testare la domiciliu
: