Definiție. Fie definită funcția \(y = f(x)\) într-un anumit interval care conține punctul \(x_0\). Să dăm argumentului un increment \(\Delta x \) astfel încât să nu părăsească acest interval. Să găsim incrementul corespunzător al funcției \(\Delta y \) (când ne mutăm de la punctul \(x_0 \) la punctul \(x_0 + \Delta x \)) și să compunem relația \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Dacă există o limită a acestui raport la \(\Delta x \rightarrow 0\), atunci limita specificată se numește derivata unei functii\(y=f(x) \) în punctul \(x_0 \) și notăm \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbolul y este adesea folosit pentru a desemna derivata." Rețineți că y" = f(x) este optiune noua, dar asociată în mod natural cu funcția y = f(x), definită în toate punctele x la care există limita de mai sus. Această funcție se numește astfel: derivata functiei y = f(x).

Sensul geometric al derivatului este după cum urmează. Dacă este posibil să se deseneze o tangentă la graficul funcției y = f(x) în punctul cu abscisa x=a, care nu este paralel cu axa y, atunci f(a) exprimă panta tangentei :
\(k = f"(a)\)

Deoarece \(k = tg(a) \), atunci egalitatea \(f"(a) = tan(a) \) este adevărată.

Acum să interpretăm definiția derivatei din punctul de vedere al egalităților aproximative. Fie ca funcția \(y = f(x)\) să aibă o derivată într-un anumit punct \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Aceasta înseamnă că lângă punctul x egalitatea aproximativă \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), adică \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Semnificația semnificativă a egalității aproximative rezultate este următoarea: creșterea funcției este „aproape proporțională” cu creșterea argumentului, iar coeficientul de proporționalitate este valoarea derivatei în punct dat X. De exemplu, pentru funcția \(y = x^2\) egalitatea aproximativă \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) este validă. Dacă analizăm cu atenție definiția unei derivate, vom constata că aceasta conține un algoritm pentru găsirea acesteia.

Să o formulăm.

Cum se află derivata funcției y = f(x)?

1. Fixați valoarea lui \(x\), găsiți \(f(x)\)
2. Dați argumentului \(x\) o creștere \(\Delta x\), mergeți la un nou punct \(x+ \Delta x \), găsiți \(f(x+ \Delta x) \)
3. Găsiți incrementul funcției: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Creați relația \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calculați $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Această limită este derivata funcției în punctul x.

Dacă o funcție y = f(x) are o derivată într-un punct x, atunci se numește derivabilă într-un punct x. Se numește procedura de găsire a derivatei funcției y = f(x). diferenţiere funcțiile y = f(x).

Să discutăm următoarea întrebare: cum sunt legate între ele continuitatea și diferențiabilitatea unei funcții într-un punct?

Fie funcția y = f(x) diferențiabilă în punctul x. Apoi o tangentă poate fi trasă la graficul funcției în punctul M(x; f(x)) și, reamintim, coeficientul unghiular al tangentei este egal cu f "(x). Un astfel de grafic nu se poate „rupe” în punctul M, adică funcția trebuie să fie continuă în punctul x.

Acestea au fost argumente „practice”. Să dăm un raționament mai riguros. Dacă funcția y = f(x) este diferențiabilă în punctul x, atunci egalitatea aproximativă \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) este valabilă. Dacă în această egalitate \(\Delta x \) tinde spre zero, atunci \(\Delta y \) va tinde spre zero, iar aceasta este condiția pentru continuitatea funcției într-un punct.

Asa de, dacă o funcție este diferențiabilă într-un punct x, atunci este continuă în acel punct.

Afirmația inversă nu este adevărată. De exemplu: funcția y = |x| este continuă peste tot, în special în punctul x = 0, dar tangenta la graficul funcției la „punctul de joncțiune” (0; 0) nu există. Dacă la un moment dat o tangentă nu poate fi trasă la graficul unei funcții, atunci derivata nu există în acel punct.

Încă un exemplu. Funcția \(y=\sqrt(x)\) este continuă pe întreaga dreaptă numerică, inclusiv în punctul x = 0. Și tangenta la graficul funcției există în orice punct, inclusiv în punctul x = 0. Dar în acest punct tangenta coincide cu axa y, adică este perpendiculară pe axa absciselor, ecuația sa are forma x = 0. O astfel de dreaptă nu are un coeficient de unghi, ceea ce înseamnă că \(f „(0)\) nu există.

Deci, ne-am familiarizat cu o nouă proprietate a unei funcții - diferențiabilitatea. Cum se poate concluziona din graficul unei funcții că este diferențiabilă?

Răspunsul este de fapt dat mai sus. Dacă la un moment dat este posibil să se deseneze o tangentă la graficul unei funcții care nu este perpendiculară pe axa absciselor, atunci în acest moment funcția este diferențiabilă. Dacă la un moment dat tangenta la graficul unei funcții nu există sau este perpendiculară pe axa absciselor, atunci în acest moment funcția nu este diferențiabilă.

Reguli de diferențiere

Operația de găsire a derivatei se numește diferenţiere. Atunci când efectuați această operație, de multe ori trebuie să lucrați cu câte, sume, produse ale funcțiilor, precum și „funcții ale funcțiilor”, adică funcții complexe. Pe baza definiției derivatei, putem deriva reguli de diferențiere care ușurează această lucrare. Dacă C este un număr constant și f=f(x), g=g(x) sunt câteva funcții diferențiabile, atunci următoarele sunt adevărate reguli de diferențiere:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivată functie complexa:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabel de derivate ale unor funcții

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Fie ca funcția să fie dată implicit ca ecuație
. Diferențierea acestei ecuații în raport cu Xși rezolvarea ecuației rezultate în raport cu derivata , să găsim derivata de ordinul întâi (derivata întâi). Diferențierea prin X prima derivată obținem derivata a doua a funcției implicite. Înlocuirea valorii deja găsite în expresia pentru derivata a doua, exprimăm prin XȘi u. Procedăm în mod similar pentru a găsi derivata de ordinul trei (și mai departe).

Exemplu.Găsiți , Dacă
.

Rezolvare: diferențiază ecuația în raport cu X:
. De aici găsim
. Mai departe .

Derivate de ordine superioară din funcții specificate parametric.

Lasă funcția
dat de ecuaţii parametrice
.

După cum se știe, prima derivată se gaseste prin formula
. Să găsim derivata a doua
, adică
. De asemenea
.

Exemplu. Găsiți derivata a doua
.

Soluție: găsiți prima derivată
. Găsirea derivatei a doua
.

Diferenţial de funcţie.

Lasă funcția
diferentiabil pe
. Derivata acestei functii la un moment dat
este determinat de egalitate
. Atitudine
la
, deci diferită de derivată
cu cantitatea de b.m., adică poate fi notat
(
). Să înmulțim totul cu
, primim
. Creșterea funcției
constă din doi termeni. primul termen
- partea principală a incrementului, există o funcție diferențială.

Def. Diferenţial de funcţie
Produsul derivatei și incrementul argumentului este numit. Desemnat
.

Diferenţialul variabilei independente coincide cu incrementul acesteia
.

(). Astfel, se poate scrie formula diferenţialului
. Diferenţialul unei funcţii este egal cu produsul derivatei sale şi diferenţialul variabilei independente. Din această relaţie rezultă că derivata poate fi considerată ca un raport al diferenţialelor
.

Diferenţialul este utilizat în calcule aproximative. Deoarece în expresie
al doilea mandat
o cantitate infinitezimală se bucură de egalitatea aproximativă
sau în formă extinsă

Exemplu: Calculați valoarea aproximativă
.

Funcţie
are un derivat
.

Conform formulei (*) : .

Exemplu: găsiți diferența unei funcții

Sensul geometric al diferenţialului.

La graficul funcției
în punctul M( X;y) trageți o tangentă și luați în considerare ordonata acestei tangente pentru punct X+∆ X. În figura AM=∆ X AM 1 =∆ la din ∆MAB
, de aici
, dar după sensul geometric al tangentei
. De aceea
. Comparând această formulă cu formula diferențială, obținem asta
, adică functie diferentiala
la punct X este egală cu incrementul ordonatei tangentei la graficul funcției în acest punct, când X primește o creștere ∆х.

Reguli pentru calcularea diferenţialului.

Deoarece funcţia diferenţială
diferă de derivată printr-un factor
, atunci toate regulile de calcul a derivatei sunt folosite pentru a calcula diferenţialul (de unde şi termenul „diferenţiere”).

Să fie date două funcții diferențiabile
Și
, atunci diferența este găsită conform următoarelor reguli:

1)

2)
Cu -const

3)

4)
(
)

5) pentru o funcție complexă
, Unde

(deoarece
).

Diferenţialul unei funcţii complexe este egal cu produsul derivatei acestei funcţii faţă de argumentul intermediar şi diferenţialul acestui argument intermediar.

Aplicații derivate.

Teoreme ale valorii medii.

teorema lui Rolle. Dacă funcţia
continuu pe segment
şi diferenţiabilă în intervalul deschis
iar dacă ia valori egale la capetele segmentului
, apoi în interval
există cel puțin un astfel de punct Cu, în care derivata merge la zero, i.e.
, A< c< b.

Geometric, teorema lui Rolle înseamnă că pe graficul funcției
există un punct în care tangenta la grafic este paralelă cu axa Oh.

teorema lui Lagrange. Dacă funcţia
continuu pe segment
și diferențiabilă pe interval
, atunci există cel puțin un punct
astfel încât egalitatea .

Formula se numește formula Lagrange sau formula de increment finit: incrementul unei funcții diferențiabile pe un interval
este egal cu incrementul argumentului înmulțit cu valoarea derivatei într-un punct intern al acestui segment.

Semnificația geometrică a teoremei lui Lagrange: funcții pe grafic
există un punct C(s;f(c)) , în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu secantei AB.

teorema lui Cauchy. Dacă funcţiile
Și
continuu pe segment
, diferentiabil pe interval
, și
Pentru
, atunci există cel puțin un punct
astfel încât egalitatea să fie valabilă
.

Teorema lui Cauchy oferă baza unei noi reguli pentru calcularea limitelor.

Regula lui L'Hopital.

Teorema:(Regula lui L'Hopital - dezvăluirea incertitudinilor formei ). Lasă funcțiile
Și
continuu si diferentiabil intr-o vecinatate a unui punct X 0 și dispar în acest moment
. Lăsați-l să plece
în vecinătatea unui punct X 0 . dacă există o limită
, Acea
.

Dovada: se aplică la funcții
Și
Teorema lui Cauchy pentru un segment

Întins în vecinătatea unui punct X 0 . Apoi
, Unde X 0 < c< X. Deoarece
primim
. Să mergem la limită la

. Deoarece
, Acea
, De aceea
.

Deci limita raportului de doi b.m. egal cu limita raportului dintre derivatele lor, dacă acesta din urmă există
.

Teorema.(Regula lui L'Hopital pentru dezvăluirea incertitudinilor formei
) Lăsați funcțiile
Și
continuu si diferentiabil intr-o vecinatate a unui punct X 0 (cu excepția poate punctul X 0 ), în această vecinătate
,
. Dacă există o limită

, Acea
.

Incertitudini ale formei (
) sunt reduse la două principale ( ),
prin transformări identice.

Exemplu:

Foarte des, la rezolvarea problemelor practice (de exemplu, în geodezie superioară sau fotogrammetrie analitică), apar funcții complexe ale mai multor variabile, adică argumente x, y, z o singură funcție f(x,y,z) ) sunt ele însele funcții ale unor noi variabile U, V, W ).

Acest lucru se întâmplă, de exemplu, când treceți dintr-un sistem de coordonate fix Oxyz în sistemul mobil O 0 UVW si inapoi. În același timp, este important să cunoaștem toate derivatele parțiale în ceea ce privește variabilele „fixe” - „vechi” și „în mișcare” - „noi”, deoarece aceste derivate parțiale caracterizează de obicei poziția unui obiect în aceste sisteme de coordonate. și, în special, afectează corespondența fotografiilor aeriene cu un obiect real. În astfel de cazuri, se aplică următoarele formule:

Adică, este dată o funcție complexă T trei variabile „noi”. U, V, W prin trei variabile „vechi”. x, y, z, Apoi:

Cometariu. Pot exista variații ale numărului de variabile. De exemplu: dacă

În special, dacă z = f(xy), y = y(x) , atunci obținem așa-numita formulă „derivată totală”:

Aceeași formulă pentru „derivată totală” în cazul:

va lua forma:

Sunt posibile și alte variante ale formulelor (1.27) - (1.32).

Notă: formula „derivată totală” este utilizată la cursul de fizică, secțiunea „Hidrodinamică” la derivarea sistemului fundamental de ecuații ale mișcării fluidului.

Exemplul 1.10. Dat:

Conform (1.31):

§7 Derivate parţiale ale unei funcţii date implicit a mai multor variabile

După cum se știe, o funcție specificată implicit a unei variabile este definită astfel: funcția variabilei independente X se numeste implicit daca este data de o ecuatie care nu se rezolva fata de y :

Exemplul 1.11.

Ecuația

specifică implicit două funcții:

Și ecuația

nu specifica nicio functie.

Teorema 1.2 (existenţa unei funcţii implicite).

Lasă funcția z =f(x,y) și derivatele sale parțiale f" X Și f" y definită şi continuă într-un cartier U M0 puncte M 0 (X 0 y 0 ) . In afara de asta, f(x 0 ,y 0 )=0 Și f"(x 0 ,y 0 )≠0 , atunci ecuația (1.33) definește în vecinătate U M0 funcţie implicită y=y(x) , continuu si diferentiabil intr-un anumit interval D centrat într-un punct X 0 , și y(x 0 )=y 0 .

Nicio dovadă.

Din teorema 1.2 rezultă că pe acest interval D :

adică există o identitate în

unde derivata „total” se găsește conform (1.31)

Adică, (1.35) oferă implicit formula pentru găsirea derivatei funcţie dată o variabilă X .

O funcție implicită a două sau mai multe variabile este definită în mod similar.

De exemplu, dacă într-o anumită zonă V spaţiu Oxyz este valabilă următoarea ecuație:

apoi in anumite conditii asupra functiei F defineşte implicit o funcţie

Mai mult, prin analogie cu (1.35), derivatele sale parțiale se găsesc după cum urmează.

Luați în considerare funcția y(x), care este scrisă implicit în vedere generala$ F(x,y(x)) = 0 $. Derivata unei functii implicite se gaseste in doua moduri:

1. Prin diferențierea ambelor părți ale ecuației
2. Folosind formula gata făcută $ y" = - \frac(F"_x)(F"_y) $

Cum să găsești?

Metoda 1

Nu este nevoie să aruncați funcția în mod explicit. Trebuie să începeți imediat diferențierea părților stânga și dreaptă ale ecuației în raport cu $ x $. Este de remarcat faptul că derivata $ y" $ se calculează conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe. De exemplu, $ (y^2)"_x = 2yy" $. După găsirea derivatei, este necesar să se exprimă $ y" $ din ecuația rezultată și plasați $ y" $ în partea stângă.

Metoda 2

Puteți folosi o formulă care utilizează derivatele parțiale ale funcției implicite $ F(x,y(x)) = 0 $ în numărător și numitor. Pentru a găsi numărătorul, luați derivata față de $ x $, iar pentru numitor, luați derivata față de $ y $.

Derivata a doua a functiei implicite poate fi gasita prin diferentierea repetata a derivatei I a functiei implicite.

Exemple de soluții

Să ne uităm la exemple practice de soluții pentru calcularea derivatei unei funcții specificate implicit.

Exemplul 1

Aflați derivata funcției implicite $ 3x^2y^2 -5x = 3y - 1 $

Soluţie

Să folosim metoda nr. 1. Și anume, diferențiem părțile stânga și dreaptă ale ecuației: $$ (3x^2y^2 -5x)"_x = (3y - 1)"_x $$ Când faceți diferențieri, nu uitați să utilizați formula pentru derivata unui produs de funcții: $$ (3x^2)"_x y^2 + 3x^2 (y^2)"_x - (5x)"_x = (3y)"_x - (1)"_x $$ $$ 6x y^2 + 3x^2 2yy" - 5 = 3y" $$ $$ 6x y^2 - 5 = 3y" - 6x^2 yy" $$ $$ 6x y^2 - 5 = y"(3-6x^2 y) $$ $$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$ Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Noi vom oferi solutie detaliata. Veți putea vizualiza progresul calculului și veți obține informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți nota de la profesorul dvs. în timp util!

Răspuns

$$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$

Exemplul 2

Funcția este dată implicit, găsiți derivata $ 3x^4 y^5 + e^(7x-4y) -4x^5 -2y^4 = 0 $

Soluţie

Să folosim metoda nr. 2. Găsirea derivatelor parțiale ale funcției $ F(x,y) = 0 $ Fie $ y $ constant și diferențiat față de $ x $: $$ F"_x = 12x^3 y^5 + e^(7x-4y) \cdot 7 - 20x^4 $$ $$ F"_x = 12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4 $$ Acum considerăm $ x $ o constantă și diferențiem față de $ y $: $$ F"_y = 15x^4 y^4 + e^(7x-4y) \cdot (-4) - 8y^3 $$ $$ F"_y = 15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3 $$ Acum înlocuim $ y" = -\frac(F"_y)(F"_x) $ în formulă și obținem: $$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$

Răspuns

$$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$

Derivată a unei funcții specificată implicit.
Derivată a unei funcții definite parametric

În acest articol ne vom uita la alte două sarcini tipice care se găsesc adesea în testele de matematică superioară. Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie să poți găsi derivate cel puțin la un nivel intermediar. Puteți învăța să găsiți derivate practic de la zero în două lecții de bază și Derivată a unei funcții complexe. Dacă abilitățile tale de diferențiere sunt în regulă, atunci hai să mergem.

Derivată a unei funcții specificată implicit

Sau, pe scurt, derivata unei funcții implicite. Ce este o funcție implicită? Să ne amintim mai întâi însăși definiția unei funcții a unei variabile:

Funcție cu o singură variabilă este o regulă conform căreia fiecărei valori a variabilei independente îi corespunde una și o singură valoare a funcției.

Variabila este numită variabila independenta sau argument.
Variabila este numită variabilă dependentă sau funcţie .

Până acum ne-am uitat la funcțiile definite în explicit formă. Ce înseamnă? Să realizăm un debriefing folosind exemple specifice.

Luați în considerare funcția

Vedem că în stânga avem un „jucător” singuratic, iar în dreapta - doar "X". Adică funcția explicit exprimată prin variabila independentă.

Să ne uităm la o altă funcție:

Aici sunt amestecate variabilele. în plus imposibil prin orice mijloace exprimați „Y” doar prin „X”. Care sunt aceste metode? Transferarea termenilor dintr-o parte în parte cu schimbarea semnului, mutarea lor din paranteze, aruncarea factorilor conform regulii proporției etc. Rescrieți egalitatea și încercați să exprimați „y” în mod explicit: . Puteți răsuci și întoarce ecuația ore întregi, dar nu veți reuși.

Permiteți-mi să vă prezint: – exemplu funcţie implicită.

În cursul analizei matematice s-a dovedit că funcţia implicită există(totuși, nu întotdeauna), are un grafic (la fel ca o funcție „normală”). Funcția implicită este exact aceeași există derivată întâi, derivată a doua etc. După cum se spune, toate drepturile minorităților sexuale sunt respectate.

Și în această lecție vom învăța cum să găsim derivata unei funcții specificate implicit. Nu este atât de greu! Toate regulile de diferențiere, tabelul derivatelor functii elementare rămâne în vigoare. Diferența constă într-un moment deosebit, pe care îl vom analiza chiar acum.

Da, te voi anunța Vești bune– sarcinile discutate mai jos sunt efectuate conform unui algoritm destul de strict și clar fără piatră în fața a trei piste.

Exemplul 1

1) În prima etapă, atașăm lovituri la ambele părți:

2) Folosim regulile de liniaritate ale derivatei (primele două reguli ale lecției Cum să găsesc derivatul? Exemple de soluții):

3) Diferențierea directă.
Cum să diferențiezi este complet clar. Ce să faci acolo unde există „jocuri” sub lovituri?

- până la rușine, derivata unei funcții este egală cu derivata acesteia: .

Cum să diferențiezi
Aici avem functie complexa. De ce? Se pare că sub sinus există o singură literă „Y”. Dar adevărul este că există o singură literă „y” - ESTE ÎNȘI O FUNCȚIE(vezi definiția de la începutul lecției). Astfel, sinusul este o funcție externă, - funcție internă. Folosim regula pentru diferențierea unei funcții complexe :

Diferențiem produsul după regula obișnuită :

Vă rugăm să rețineți că – este, de asemenea, o funcție complexă, orice „joc cu clopoței și fluiere” este o funcție complexă:

Soluția în sine ar trebui să arate cam așa:


Dacă există paranteze, extindeți-le:

4) În partea stângă colectăm termenii care conțin un „Y” cu un prim. Mutați totul în partea dreaptă:

5) În partea stângă scoatem derivata din paranteze:

6) Și conform regulii proporției, aruncăm aceste paranteze în numitorul părții drepte:

S-a găsit derivatul. Gata.

Este interesant de observat că orice funcție poate fi rescrisă implicit. De exemplu, funcția poate fi rescris astfel: . Și diferențiază-l folosind algoritmul tocmai discutat. De fapt, expresiile „funcție implicită” și „funcție implicită” diferă într-o singură nuanță semantică. Expresia „funcție specificată implicit” este mai generală și mai corectă, – această funcție este specificată implicit, dar aici puteți exprima „jocul” și prezenta funcția în mod explicit. Expresia „funcție implicită” se referă la funcția implicită „clasică” atunci când „y” nu poate fi exprimat.

A doua soluție

Atenţie! Vă puteți familiariza cu a doua metodă numai dacă știți să găsiți cu încredere derivate parțiale. Începători să studieze analiză matematică si ceainice va rog nu citi și sări peste acest punct, altfel capul tău va fi o mizerie completă.

Să găsim derivata funcției implicite folosind a doua metodă.

Transferăm toți termenii către partea stanga:

Și luați în considerare o funcție a două variabile:

Apoi derivata noastră poate fi găsită folosind formula
Să găsim derivatele parțiale:

Prin urmare:

A doua soluție vă permite să efectuați o verificare. Dar nu este recomandabil ca ei să scrie versiunea finală a temei, deoarece derivatele parțiale sunt stăpânite mai târziu, iar un student care studiază subiectul „Derivată a unei funcții a unei variabile” nu ar trebui să cunoască încă derivate parțiale.

Să ne uităm la câteva exemple suplimentare.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Adăugați linii la ambele părți:

Folosim reguli de liniaritate:

Găsirea derivatelor:

Deschiderea tuturor parantezelor:

Mutăm toți termenii cu în partea stângă, restul în partea dreaptă:

Răspuns final:

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Soluția completă și proiectarea eșantionului la sfârșitul lecției.

Nu este neobișnuit ca fracțiile să apară după diferențiere. În astfel de cazuri, trebuie să scapi de fracții. Să ne uităm la încă două exemple.

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Închidem ambele părți sub linii și folosim regula liniarității:

Diferențierea folosind regula de diferențiere a unei funcții complexe și regula diferențierii coeficientilor :

Extinderea parantezelor:

Acum trebuie să scăpăm de fracțiune. Acest lucru se poate face mai târziu, dar este mai rațional să o faceți imediat. Numitorul fracției conține . Multiplica pe . În detaliu, va arăta astfel:

Uneori după diferențiere apar 2-3 fracții. Dacă am avea o altă fracție, de exemplu, atunci operația ar trebui repetată - înmulțiți fiecare termen al fiecărei părți pe

În partea stângă îl scoatem din paranteze:

Răspuns final:

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Singurul lucru este că înainte de a scăpa de fracțiune, va trebui mai întâi să scăpați de structura cu trei etaje a fracției în sine. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Derivată a unei funcții definite parametric

Să nu ne stresăm, totul în acest paragraf este, de asemenea, destul de simplu. Puteți nota formula generala funcție definită parametric, dar, pentru a fi clar, voi scrie imediat exemplu concret. În formă parametrică, funcția este dată de două ecuații: . Adesea, ecuațiile sunt scrise nu între paranteze, ci secvențial: , .

Variabila se numește parametruși poate lua valori de la „minus infinit” la „plus infinit”. Luați în considerare, de exemplu, valoarea și înlocuiți-o în ambele ecuații: . Sau în termeni umani: „dacă x este egal cu patru, atunci y este egal cu unu”. Puteți marca un punct pe planul de coordonate, iar acest punct va corespunde valorii parametrului. În mod similar, puteți găsi un punct pentru orice valoare a parametrului „te”. În ceea ce privește o funcție „obișnuită”, pentru indienii americani ai unei funcții definite parametric, toate drepturile sunt de asemenea respectate: puteți construi un grafic, puteți găsi derivate etc. Apropo, dacă trebuie să reprezentați un grafic al unei funcții definite parametric, puteți utiliza programul meu.

În cele mai simple cazuri, este posibil să se reprezinte funcția în mod explicit. Să exprimăm parametrul din prima ecuație: – și înlocuiți-l în a doua ecuație: . Rezultatul este o funcție cubică obișnuită.

În cazurile mai „grave”, acest truc nu funcționează. Dar nu contează, deoarece există o formulă pentru a găsi derivata unei funcții parametrice:

Găsim derivata „jocului față de variabila te”:

Toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate sunt valabile, desigur, pentru litera , astfel, nu există noutate în procesul de găsire a derivatelor. Doar înlocuiți mental toate „X”-urile din tabel cu litera „Te”.

Găsim derivata lui „x față de variabila te”:

Acum tot ce rămâne este să înlocuim derivatele găsite în formula noastră:

Gata. Derivata, ca și funcția în sine, depinde și de parametru.

În ceea ce privește notația, în loc să o scrieți în formulă, s-ar putea scrie pur și simplu fără un indice, deoarece aceasta este o derivată „regulată” „față de X”. Dar în literatură există întotdeauna o opțiune, așa că nu mă voi abate de la standard.

Exemplul 6

Folosim formula

În acest caz:

Prin urmare:

O caracteristică specială a găsirii derivatei unei funcții parametrice este faptul că la fiecare pas este benefic să simplificăm cât mai mult rezultatul. Deci, în exemplul luat în considerare, când l-am găsit, am deschis parantezele de sub rădăcină (deși s-ar putea să nu fi făcut asta). Există șanse mari ca atunci când înlocuiți în formulă, multe lucruri să fie reduse bine. Deși, desigur, există exemple cu răspunsuri stângace.

Exemplul 7

Găsiți derivata unei funcții specificată parametric

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

In articol Cele mai simple probleme tipice cu derivate ne-am uitat la exemple în care trebuia să găsim derivata a doua a unei funcții. Pentru o funcție definită parametric, puteți găsi și derivata a doua și se găsește folosind următoarea formulă: . Este destul de evident că, pentru a găsi derivata a doua, trebuie mai întâi să găsiți derivata întâi.

Exemplul 8

Găsiți prima și a doua derivată ale unei funcții date parametric

Mai întâi, să găsim prima derivată.
Folosim formula

În acest caz:

Inlocuim derivatele gasite in formula. Pentru simplificare, folosim formula trigonometrică: