Soluţie limitele funcției online. Găsiți valoarea limită a unei funcții sau a secvenței funcționale într-un punct, calculați final valoarea funcției la infinit. determina convergența unei serii de numere și multe altele se pot face datorită noastră serviciu online- . Vă permitem să găsiți limitele funcțiilor online rapid și precis. O introduceți singur variabila functieși limita la care se străduiește, serviciul nostru efectuează toate calculele pentru tine, oferind un răspuns precis și simplu. Si pentru găsirea limitei online puteți introduce atât serii numerice, cât și funcții analitice care conțin constante în expresie literală. În acest caz, limita găsită a funcției va conține aceste constante ca argumente constante în expresie. Serviciul nostru rezolvă orice probleme complexe de găsire limite online, este suficient să indicați funcția și punctul în care este necesar să se calculeze valoarea limită a funcției. De calculat limitele online, puteți folosi diverse metode și reguli de rezolvare a acestora, verificând în același timp rezultatul obținut cu rezolvarea limitelor online pe www.site, ceea ce va duce la finalizarea cu succes a sarcinii - veți evita propriile greșeliși greșeli de scriere. Sau puteți avea încredere completă în noi și folosiți rezultatul nostru în munca dvs., fără a cheltui efort și timp suplimentar pentru a calcula în mod independent limita funcției. Permitem intrarea unor asemenea valori limită ca infinitul. Este necesar să introduceți un membru comun al unei secvențe de numere și www.site va calcula valoarea limita online la plus sau minus infinit.
Unul dintre conceptele de bază ale analizei matematice este limita functieiȘi limită de secvență la un punct și la infinit, este important să poți rezolva corect limite. Cu serviciul nostru acest lucru nu va fi dificil. Se ia o decizie limite onlineîn câteva secunde, răspunsul este corect și complet. Studiul analizei matematice începe cu trecerea la limită, limite sunt folosite în aproape toate domeniile matematicii superioare, așa că este util să aveți un server la îndemână pentru soluții limită online, care este site-ul.
Teoria limitelor este una dintre ramurile analizei matematice. Problema rezolvării limitelor este destul de extinsă, deoarece există zeci de metode de rezolvare a limitelor tipuri variate. Există zeci de nuanțe și trucuri care vă permit să rezolvați cutare sau cutare limită. Cu toate acestea, vom încerca în continuare să înțelegem principalele tipuri de limite care sunt cel mai des întâlnite în practică.
Să începem cu însăși conceptul de limită. Dar mai întâi unul scurt referință istorică. În secolul al XIX-lea a trăit un francez, Augustin Louis Cauchy, care a pus bazele analizei matematice și a dat definiții stricte, în special definiția unei limite. Trebuie spus că același Cauchy a fost, este și va fi în coșmarurile tuturor studenților la fizică și matematică, deoarece a demonstrat un număr imens de teoreme de analiză matematică, iar fiecare teoremă este mai dezgustătoare decât cealaltă. În acest sens, nu vom lua în considerare o definiție strictă a limitei, ci vom încerca să facem două lucruri:
1. Înțelege ce este o limită.
2. Învață să rezolvi principalele tipuri de limite.
Îmi cer scuze pentru unele explicații neștiințifice, este important ca materialul să fie de înțeles chiar și pentru un ceainic, care, de fapt, este sarcina proiectului.
Deci care este limita?
Și doar un exemplu de ce să-i faci buniței...
Orice limită constă din trei părți:
1) Cunoscuta pictogramă limită.
2) Intrări sub pictograma limită, în acest caz . Intrarea scrie „X tinde spre unu”. Cel mai adesea - exact, deși în loc de „X” în practică există și alte variabile. În sarcinile practice, locul unuia poate fi absolut orice număr, precum și infinitul ().
3) Funcții sub semnul limită, în acest caz .
Înregistrarea în sine 
se citește astfel: „limita unei funcții ca x tinde spre unitate”.
Să ne uităm la următoarea întrebare importantă - ce înseamnă expresia „x”? se straduieste catre unul"? Și ce înseamnă chiar „străduiți”?
Conceptul de limită este un concept, ca să spunem așa, dinamic. Să construim o secvență: mai întâi , apoi , , …, 
, ….
Adică expresia „x se straduieste la unu” ar trebui înțeles astfel: „x” preia constant valorile care se apropie de unitatea infinit apropiată și practic coincid cu ea.
Cum se rezolvă exemplul de mai sus? Pe baza celor de mai sus, trebuie doar să înlocuiți unul în funcție de sub semnul limită:
Deci, prima regulă: Când se oferă vreo limită, mai întâi încercăm pur și simplu să conectăm numărul în funcție.
Am considerat cea mai simplă limită, dar acestea apar și în practică, și nu atât de rar!
Exemplu cu infinit:
Să ne dăm seama ce este? Acesta este cazul când crește fără limită, adică: mai întâi, apoi, apoi, apoi și așa mai departe la infinit.
Ce se întâmplă cu funcția în acest moment?
, , 
, …
Deci: dacă , atunci funcția tinde spre minus infinit:
În linii mari, conform primei noastre reguli, în loc de „X” înlocuim infinitul în funcție și obținem răspunsul.
Un alt exemplu cu infinit:
Din nou începem să creștem la infinit și să ne uităm la comportamentul funcției: 
Concluzie: când funcția crește fără limită:
Si inca o serie de exemple:
Vă rugăm să încercați să analizați mental următoarele pentru dvs. și să vă amintiți cele mai simple tipuri de limite:
, , , , 
, , , , 
,
Dacă aveți îndoieli oriunde, puteți lua un calculator și puteți exersa puțin.
În cazul în care , încercați să construiți secvența , , . Daca atunci , , .
Notă: strict vorbind, această abordare de a construi secvențe de mai multe numere este incorectă, dar pentru înțelegerea celor mai simple exemple este destul de potrivită.
Acordați atenție și la următorul lucru. Chiar dacă i se oferă o limită cu un numar mareîn vârf, chiar și cu un milion: e tot la fel 
, deoarece mai devreme sau mai târziu „X” va lua valori atât de gigantice încât un milion în comparație cu ele va fi un adevărat microb.
Ce trebuie să rețineți și să înțelegeți din cele de mai sus?
1) Când se oferă o limită, mai întâi încercăm pur și simplu să substituim numărul în funcție.
2) Trebuie să înțelegeți și să rezolvați imediat cele mai simple limite, cum ar fi 
, , etc.
Acum vom lua în considerare grupul de limite când , iar funcția este o fracție al cărei numărător și numitor conțin polinoame
Exemplu:
Calculați limita 
Conform regulii noastre, vom încerca să substituim infinitul în funcție. Ce obținem în vârf? Infinit. Și ce se întâmplă mai jos? De asemenea, infinitul. Astfel, avem ceea ce se numește incertitudinea speciei. S-ar crede că , iar răspunsul este gata, dar caz general Acesta nu este deloc cazul și trebuie să aplicați o soluție, pe care acum o vom lua în considerare.
Cum se rezolvă limitele de acest tip?
Mai întâi ne uităm la numărător și găsim cea mai mare putere: 
Puterea principală în numărător este două.
Acum ne uităm la numitor și îl găsim și la cea mai mare putere: 
Cel mai înalt grad al numitorului este doi.
Alegem apoi cea mai mare putere a numărătorului și numitorului: in în acest exemplu ele coincid și sunt egale cu doi.
Deci, metoda de rezolvare este următoarea: pentru a dezvălui incertitudinea, este necesar să se împartă numărătorul și numitorul la cea mai mare putere.
Iată-l, răspunsul, și deloc infinit.
Ce este esențial important în proiectarea unei decizii?
În primul rând, indicăm incertitudinea, dacă există.
În al doilea rând, este indicat să întrerupeți soluția pentru explicații intermediare. De obicei folosesc semnul, nu are nicio semnificație matematică, dar înseamnă că soluția este întreruptă pentru o explicație intermediară.
În al treilea rând, în limită este indicat să marchezi ce se întâmplă unde. Când lucrarea este întocmită manual, este mai convenabil să o faceți astfel: 
Este mai bine să folosiți un creion simplu pentru note.
Desigur, nu trebuie să faceți nimic din toate acestea, dar apoi, poate, profesorul va sublinia deficiențele soluției sau va începe să pună întrebări suplimentare despre sarcină. Ai nevoie de el?
Exemplul 2
Găsiți limita 
Din nou la numărător și numitor găsim în cel mai înalt grad: 
Gradul maxim la numărător: 3
Gradul maxim la numitor: 4
Alege cel mai mare valoare, în acest caz patru.
Conform algoritmului nostru, pentru a dezvălui incertitudinea, împărțim numărătorul și numitorul la .
Sarcina completă ar putea arăta astfel:
Împărțiți numărătorul și numitorul la
Exemplul 3
Găsiți limita 
Gradul maxim de „X” la numărător: 2
Gradul maxim de „X” la numitor: 1 (se poate scrie ca)
Pentru a dezvălui incertitudinea, este necesar să împărțiți numărătorul și numitorul la . Soluția finală ar putea arăta astfel:
Împărțiți numărătorul și numitorul la
Notația nu înseamnă împărțire la zero (nu poți împărți la zero), ci împărțire cu un număr infinitezimal.
Astfel, descoperind incertitudinea speciei, putem fi capabili număr final, zero sau infinit.
Limite cu incertitudine de tip și metodă de rezolvare a acestora
Următorul grup de limite este oarecum similar cu limitele luate în considerare: numărătorul și numitorul conțin polinoame, dar „x” nu mai tinde spre infinit, ci spre număr finit.
Exemplul 4
Rezolvați limita 
Mai întâi, să încercăm să înlocuim -1 în fracția: 
În acest caz, se obține așa-numita incertitudine.
Regula generala : dacă numărătorul și numitorul conțin polinoame și există incertitudine cu privire la forma , atunci pentru a o dezvălui trebuie să factorizezi numărătorul și numitorul.
Pentru a face acest lucru, cel mai adesea trebuie să rezolvați o ecuație pătratică și/sau să utilizați formule de înmulțire abreviate. Dacă aceste lucruri au fost uitate, atunci vizitați pagina Formule și tabele matematiceși verificați material metodologic Formule fierbinți pentru cursul școlar de matematică. Apropo, cel mai bine este să-l imprimați; este solicitat foarte des, iar informațiile sunt absorbite mai bine din hârtie.
Deci, hai să ne rezolvăm limita 
Factorizați numărătorul și numitorul
Pentru a factoriza numărătorul, trebuie să rezolvați ecuația pătratică: 
Mai întâi găsim discriminantul:
Și rădăcina pătrată a acesteia: .
Dacă discriminantul este mare, de exemplu 361, folosim un calculator; funcția de extragere a rădăcinii pătrate este pe cel mai simplu calculator.
! Dacă rădăcina nu este extrasă complet (se dovedește un număr fracționar cu virgulă), este foarte probabil ca discriminantul să fi fost calculat incorect sau să fi fost o greșeală de scriere în sarcină.
În continuare găsim rădăcinile: 
Prin urmare:
Toate. Numătorul este factorizat.
Numitor. Numitorul este deja cel mai simplu factor și nu există nicio modalitate de a-l simplifica.
Evident, poate fi scurtat la:
Acum înlocuim -1 în expresia care rămâne sub semnul limită:
Desigur, într-un test, test sau examen, soluția nu este niciodată descrisă atât de detaliat. În versiunea finală, designul ar trebui să arate cam așa:
Să factorizăm numărătorul. 
Exemplul 5
Calculați limita 
În primul rând, versiunea „termină” a soluției
Să factorizăm numărătorul și numitorul.
Numărător:
Numitor: 
, 
Ce este important în acest exemplu?
În primul rând, trebuie să înțelegeți bine cum este dezvăluit numărătorul, mai întâi am scos 2 dintre paranteze și apoi am folosit formula pentru diferența de pătrate. Aceasta este formula pe care trebuie să o cunoști și să o vezi.
Teoria limitelor este una dintre ramurile analizei matematice. Problema rezolvării limitelor este destul de extinsă, deoarece există zeci de metode de rezolvare a limitelor de diferite tipuri. Există zeci de nuanțe și trucuri care vă permit să rezolvați cutare sau cutare limită. Cu toate acestea, vom încerca în continuare să înțelegem principalele tipuri de limite care sunt cel mai des întâlnite în practică.
Să începem cu însăși conceptul de limită. Dar mai întâi, un scurt context istoric. Acolo a trăit un francez, Augustin Louis Cauchy, în secolul al XIX-lea, care a dat definiții stricte multor concepte de matan și a pus bazele acestuia. Trebuie spus că acest respectat matematician a fost, este și va fi în coșmarurile tuturor studenților la fizică și matematică, deoarece a demonstrat un număr imens de teoreme de analiză matematică, iar una este mai letală decât cealaltă. În acest sens, nu vom lua în considerare încă determinarea limitei Cauchy, dar să încercăm să facem două lucruri:
1. Înțelege ce este o limită.
2. Învață să rezolvi principalele tipuri de limite.
Îmi cer scuze pentru unele explicații neștiințifice, este important ca materialul să fie de înțeles chiar și pentru un ceainic, care, de fapt, este sarcina proiectului.
Deci care este limita?
Și doar un exemplu de ce să-i faci buniței...
Orice limită constă din trei părți:
1) Cunoscuta pictogramă limită.
2) Intrări sub pictograma limită, în acest caz . Intrarea scrie „X tinde spre unu”. Cel mai adesea - exact, deși în loc de „X” în practică există și alte variabile. În sarcinile practice, locul unuia poate fi absolut orice număr, precum și infinitul ().
3) Funcții sub semnul limită, în acest caz .
Înregistrarea în sine 
se citește astfel: „limita unei funcții ca x tinde spre unitate”.
Să ne uităm la următoarea întrebare importantă - ce înseamnă expresia „x”? se straduieste catre unul"? Și ce înseamnă chiar „străduiți”?
Conceptul de limită este un concept, ca să spunem așa, dinamic. Să construim o secvență: mai întâi , apoi , , …, 
, ….
Adică expresia „x se straduieste la unu” ar trebui înțeles astfel: „x” preia constant valorile care se apropie de unitatea infinit apropiată și practic coincid cu ea.
Cum se rezolvă exemplul de mai sus? Pe baza celor de mai sus, trebuie doar să înlocuiți unul în funcție de sub semnul limită:
Deci, prima regulă: Când se oferă vreo limită, mai întâi încercăm pur și simplu să conectăm numărul în funcție.
Am considerat cea mai simplă limită, dar acestea apar și în practică, și nu atât de rar!
Exemplu cu infinit:
Să ne dăm seama ce este? Acesta este cazul când crește fără limită, adică: mai întâi, apoi, apoi, apoi și așa mai departe la infinit.
Ce se întâmplă cu funcția în acest moment?
, , , …
Deci: dacă , atunci funcția tinde spre minus infinit:
În linii mari, conform primei noastre reguli, în loc de „X” înlocuim infinitul în funcție și obținem răspunsul.
Un alt exemplu cu infinit:
Din nou începem să creștem la infinit și să ne uităm la comportamentul funcției: 
Concluzie: când funcția crește fără limită:
Si inca o serie de exemple:
Vă rugăm să încercați să analizați mental următoarele pentru dvs. și să vă amintiți cele mai simple tipuri de limite:
, , , , , , , , 
,
Dacă aveți îndoieli oriunde, puteți lua un calculator și puteți exersa puțin.
În cazul în care , încercați să construiți secvența , , . Daca atunci , , .
! Notă: Strict vorbind, această abordare de a construi secvențe de mai multe numere este incorectă, dar pentru înțelegerea celor mai simple exemple este destul de potrivită.
Acordați atenție și la următorul lucru. Chiar dacă o limită este dată cu un număr mare în vârf, sau chiar cu un milion: , atunci este tot la fel , deoarece mai devreme sau mai târziu „X” va începe să capete valori atât de gigantice încât un milion în comparație va fi un adevărat microb.
Ce trebuie să rețineți și să înțelegeți din cele de mai sus?
1) Când se oferă o limită, mai întâi încercăm pur și simplu să substituim numărul în funcție.
2) Trebuie să înțelegeți și să rezolvați imediat cele mai simple limite, cum ar fi , , etc.
Mai mult decât atât, limita are un foarte bun sens geometric. Pentru o mai bună înțelegere a temei, vă recomand să citiți materialul didactic Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. După ce ați citit acest articol, nu numai că veți înțelege în sfârșit ce este o limită, dar veți și face cunoștință cu cazuri interesante în care limita unei funcții în general nu exista!
În practică, din păcate, sunt puține cadouri. Și, prin urmare, trecem la considerarea unor limite mai complexe. Apropo, pe acest subiect există curs intensivîn format pdf, care este util mai ales dacă aveți FOARTE puțin timp de pregătit. Dar materialele site-ului, desigur, nu sunt mai rele:
Acum vom lua în considerare grupul de limite când , iar funcția este o fracție al cărei numărător și numitor conțin polinoame
Exemplu:
Calculați limita 
Conform regulii noastre, vom încerca să substituim infinitul în funcție. Ce obținem în vârf? Infinit. Și ce se întâmplă mai jos? De asemenea, infinitul. Astfel, avem ceea ce se numește incertitudinea speciei. S-ar putea crede că , și răspunsul este gata, dar în cazul general nu este deloc așa și este necesar să se aplice o tehnică de soluție, pe care o vom lua în considerare acum.
Cum se rezolvă limitele de acest tip?
Mai întâi ne uităm la numărător și găsim cea mai mare putere: 
Puterea principală în numărător este două.
Acum ne uităm la numitor și îl găsim și la cea mai mare putere: 
Cel mai înalt grad al numitorului este doi.
Apoi alegem cea mai mare putere a numărătorului și numitorului: în acest exemplu, acestea sunt aceleași și egale cu doi.
Deci, metoda de rezolvare este următoarea: pentru a dezvălui incertitudinea, este necesar să se împartă numărătorul și numitorul la cea mai mare putere.
Iată-l, răspunsul, și deloc infinit.
Ce este esențial important în proiectarea unei decizii?
În primul rând, indicăm incertitudinea, dacă există.
În al doilea rând, este indicat să întrerupeți soluția pentru explicații intermediare. De obicei folosesc semnul, nu are nicio semnificație matematică, dar înseamnă că soluția este întreruptă pentru o explicație intermediară.
În al treilea rând, în limită este indicat să marchezi ce se întâmplă unde. Când lucrarea este întocmită manual, este mai convenabil să o faceți astfel: 
Este mai bine să folosiți un creion simplu pentru note.
Desigur, nu trebuie să faceți nimic din toate acestea, dar apoi, poate, profesorul va sublinia deficiențele soluției sau va începe să pună întrebări suplimentare despre sarcină. Ai nevoie de el?
Exemplul 2
Găsiți limita
Din nou la numărător și numitor găsim în cel mai înalt grad: 
Gradul maxim la numărător: 3
Gradul maxim la numitor: 4
Alege cel mai mare valoare, în acest caz patru.
Conform algoritmului nostru, pentru a dezvălui incertitudinea, împărțim numărătorul și numitorul la .
Sarcina completă ar putea arăta astfel:
Împărțiți numărătorul și numitorul la
Exemplul 3
Găsiți limita
Gradul maxim de „X” la numărător: 2
Gradul maxim de „X” la numitor: 1 (se poate scrie ca)
Pentru a dezvălui incertitudinea, este necesar să împărțiți numărătorul și numitorul la . Soluția finală ar putea arăta astfel:
Împărțiți numărătorul și numitorul la
Notația nu înseamnă împărțire la zero (nu poți împărți la zero), ci împărțire cu un număr infinitezimal.
Astfel, descoperind incertitudinea speciei, putem fi capabili număr final, zero sau infinit.
Limite cu incertitudine de tip și metodă de rezolvare a acestora
Următorul grup de limite este oarecum similar cu limitele luate în considerare: numărătorul și numitorul conțin polinoame, dar „x” nu mai tinde spre infinit, ci spre număr finit.
Exemplul 4
Rezolvați limita 
Mai întâi, să încercăm să înlocuim -1 în fracția: 
În acest caz, se obține așa-numita incertitudine.
Regula generala: dacă numărătorul și numitorul conțin polinoame și există incertitudine cu privire la forma , atunci pentru a o dezvălui trebuie să factorizezi numărătorul și numitorul.
Pentru a face acest lucru, cel mai adesea trebuie să rezolvați o ecuație pătratică și/sau să utilizați formule de înmulțire abreviate. Dacă aceste lucruri au fost uitate, atunci vizitați pagina Formule și tabele matematiceși citiți materialul didactic Formule fierbinți pentru cursul școlar de matematică. Apropo, cel mai bine este să-l imprimați; este solicitat foarte des, iar informațiile sunt absorbite mai bine din hârtie.
Deci, hai să ne rezolvăm limita 
Factorizați numărătorul și numitorul
Pentru a factoriza numărătorul, trebuie să rezolvați ecuația pătratică: 
Mai întâi găsim discriminantul:
Și rădăcina pătrată a acesteia: .
Dacă discriminantul este mare, de exemplu 361, folosim un calculator; funcția de extragere a rădăcinii pătrate este pe cel mai simplu calculator.
! Dacă rădăcina nu este extrasă în întregime (se obține un număr fracționar cu virgulă), este foarte probabil ca discriminantul să fi fost calculat incorect sau să fi fost o greșeală de tipar în sarcină.
În continuare găsim rădăcinile: 
Prin urmare:
Toate. Numătorul este factorizat.
Numitor. Numitorul este deja cel mai simplu factor și nu există nicio modalitate de a-l simplifica.
Evident, poate fi scurtat la:
Acum înlocuim -1 în expresia care rămâne sub semnul limită:
Desigur, într-un test, test sau examen, soluția nu este niciodată descrisă atât de detaliat. În versiunea finală, designul ar trebui să arate cam așa:
Să factorizăm numărătorul. 
Exemplul 5
Calculați limita
În primul rând, versiunea „termină” a soluției
Să factorizăm numărătorul și numitorul.
Numărător:
Numitor: 
,
Ce este important în acest exemplu?
În primul rând, trebuie să înțelegeți bine cum este dezvăluit numărătorul, mai întâi am scos 2 dintre paranteze și apoi am folosit formula pentru diferența de pătrate. Aceasta este formula pe care trebuie să o cunoști și să o vezi.
Recomandare: Dacă într-o limită (de aproape orice tip) este posibil să scoatem un număr din paranteze, atunci o facem întotdeauna.
Mai mult, este recomandabil să mutați astfel de numere dincolo de pictograma limită. Pentru ce? Da, doar ca să nu stea în cale. Principalul lucru este să nu pierdeți aceste numere mai târziu în timpul soluției.
Vă rugăm să rețineți că, în etapa finală a soluției, le-am scos pe cele două din pictograma limită și apoi pe minus.
! Important
În timpul soluției, fragmentul tip apare foarte des. Reduceți această fracțieeste interzis
. Mai întâi trebuie să schimbați semnul numărătorului sau numitorului (puneți -1 din paranteze).
, adică apare un semn minus, care se ia în considerare la calcularea limitei și nu este nevoie să o pierzi deloc.
În general, am observat că cel mai adesea în găsirea limitelor de acest tip trebuie să rezolvăm două ecuații pătratice, adică atât numărătorul cât și numitorul conțin trinoame pătrate.
Metoda de înmulțire a numărătorului și numitorului cu expresia conjugată
Continuăm să luăm în considerare incertitudinea formei
Următorul tip de limite este similar cu tipul anterior. Singurul lucru, pe lângă polinoame, vom adăuga rădăcini.
Exemplul 6
Găsiți limita 
Să începem să decidem.
Mai întâi încercăm să înlocuim 3 în expresia de sub semnul limită
Repet încă o dată - acesta este primul lucru pe care trebuie să-l faci pentru ORICE limită. Această acțiune este de obicei efectuată mental sau în formă de proiect.
S-a obținut o incertitudine a formei care trebuie eliminată. 
După cum probabil ați observat, numărătorul nostru conține diferența rădăcinilor. Și în matematică se obișnuiește să scapi de rădăcini, dacă este posibil. Pentru ce? Și viața este mai ușoară fără ele.
Acest calculator de matematică online vă va ajuta dacă aveți nevoie de el calculați limita unei funcții. Program limite de soluție nu numai că oferă răspunsul problemei, ci conduce solutie detaliata cu explicatii, adică afișează procesul de calcul al limitei.
Acest program poate fi util pentru elevii de liceu scoala secundaraîn pregătirea pentru teste și examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi manuale noi? Sau vrei doar să o faci cât mai repede posibil? teme pentru acasă la matematică sau algebră? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate.
În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formare a fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul rezolvării problemelor crește.
Introduceți o expresie de funcțieCalculați limita
S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.
Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browserul dvs.
Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...
daca tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback.
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.
Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:
Puțină teorie.
Limita funcției la x->x 0
Fie ca funcția f(x) să fie definită pe o mulțime X și să fie punctul \(x_0 \in X\) sau \(x_0 \notin X\)
Să luăm de la X o secvență de puncte diferită de x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
convergând spre x*. Valorile funcției în punctele acestei secvențe formează, de asemenea, o secvență numerică
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
şi se poate pune problema existenţei limitei sale.
Definiție. Numărul A se numește limita funcției f(x) în punctul x = x 0 (sau la x -> x 0), dacă pentru orice succesiune (1) de valori ale argumentului x diferă de x 0 convergând la x 0, funcția de succesiune corespunzătoare (2) de valori converge către numărul A.
$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$
Funcția f(x) poate avea o singură limită în punctul x 0. Aceasta rezultă din faptul că secvența
(f(x n)) are o singură limită.
Există o altă definiție a limitei unei funcții.
Definiție Numărul A se numește limita funcției f(x) în punctul x = x 0 dacă pentru orice număr \(\varepsilon > 0\) există un număr \(\delta > 0\) astfel încât pentru toate \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), satisfăcând inegalitatea \(|x-x_0| Folosind simboluri logice, această definiție poate fi scrisă ca
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Rețineți că inegalitățile \(x \neq x_0) , \; |x-x_0| Prima definiție se bazează pe conceptul de limită a unei secvențe de numere, deci este adesea numită definiția „în limbajul secvențelor”. A doua definiție se numește definiția „în limbajul”. \(\varepsilon - \delta \)”.
Aceste două definiții ale limitei unei funcții sunt echivalente și puteți folosi oricare dintre ele în funcție de care este mai convenabil pentru rezolvarea unei anumite probleme.
Rețineți că definiția limitei unei funcții „în limbajul secvențelor” se mai numește și definiția limitei unei funcții conform Heine, iar definiția limitei unei funcții „în limbajul \(\varepsilon - \delta \)” se mai numește și definiția limitei unei funcții după Cauchy.
Limita funcției la x->x 0 - și la x->x 0 +
În cele ce urmează, vom folosi conceptele de limite unilaterale ale unei funcții, care sunt definite după cum urmează.
Definiție Numărul A se numește limita din dreapta (stânga) a funcției f(x) în punctul x 0 dacă pentru orice succesiune (1) care converge către x 0, ale cărei elemente x n sunt mai mari (mai mici decât) x 0, secvența corespunzătoare (2) converge către A.
Simbolic este scris astfel:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$
Putem da o definiție echivalentă a limitelor unilaterale ale unei funcții „în limbajul \(\varepsilon - \delta \)”:
Definiție un număr A se numește limita dreaptă (stânga) a funcției f(x) în punctul x 0 dacă pentru orice \(\varepsilon > 0\) există o \(\delta > 0\) astfel încât pentru toate x satisfacerea inegalităților \(x_0 Intrări simbolice: