Găsind matrice inversă - o problemă care este adesea rezolvată prin două metode:
- metoda adunărilor algebrice, care presupune găsirea determinanților și transpunerea matricelor;
- prin eliminare Gauss necunoscut, în care este necesar să se efectueze transformări elementare ale matricelor (adunarea rândurilor, înmulțirea rândurilor cu același număr etc.).
Pentru cei care sunt deosebit de curioși, există și alte metode, de exemplu, metoda transformărilor liniare. În această lecție vom analiza cele trei metode și algoritmi menționați pentru găsirea matricei inverse folosind aceste metode.
Matrice inversă A, se numește o astfel de matrice
A
. (1)
Matrice inversă , care trebuie găsită pentru o matrice pătrată dată A, se numește o astfel de matrice
al cărui produs matricele Aîn dreapta este matricea identităţii, adică.
. (1)
O matrice de identitate este o matrice diagonală în care toate elementele diagonale sunt egale cu unul.
Teorema.Pentru fiecare matrice pătrată nesingulară (nedegenerată, nesingulară), se poate găsi o matrice inversă și numai una. Pentru o matrice pătrată specială (degenerată, singulară), matricea inversă nu există.
Matricea pătrată se numește Nimic special(sau nedegenerate, nesingular), dacă determinantul său nu este zero și special(sau degenerat, singular) dacă determinantul său este zero.
Inversul unei matrice poate fi găsit doar pentru o matrice pătrată. Desigur, matricea inversă va fi, de asemenea, pătrată și de aceeași ordine cu matricea dată. O matrice pentru care poate fi găsită o matrice inversă se numește matrice inversabilă.
Pentru matrice inversă Există o analogie relevantă cu inversul unui număr. Pentru fiecare număr A, nu este egal cu zero, există un astfel de număr b că munca AȘi b este egal cu unu: ab= 1 . Număr b numit inversul unui număr b. De exemplu, pentru numărul 7 reciproca este 1/7, deoarece 7*1/7=1.
Găsirea matricei inverse folosind metoda adunărilor algebrice (matrice aliată)
Pentru o matrice pătrată nesingulară A inversul este matricea
unde este determinantul matricei A, a este o matrice aliată cu matricea A.
Aliat cu o matrice pătrată A este o matrice de același ordin, ale cărei elemente sunt complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare ale determinantului matricei transpuse față de matricea A. Astfel, dacă
Acea 
Și 
Algoritm pentru găsirea matricei inverse folosind metoda adunărilor algebrice
1. Aflați determinantul acestei matrice A. Dacă determinantul este egal cu zero, găsirea matricei inverse se oprește, deoarece matricea este singulară și inversul său nu există.
2. Aflați matricea transpusă în raport cu A.
3. Calculați elemente matrice de unire ca complemente algebrice ale maritzului găsite la pasul 2.
4. Aplicați formula (2): înmulțiți inversul determinantului matricei A, la matricea de unire găsită la pasul 4.
5. Verificați rezultatul obținut la pasul 4 prin înmulțirea acestei matrice A la matricea inversă. Dacă produsul acestor matrici este egal cu matricea de identitate, atunci matricea inversă a fost găsită corect. În caz contrar, începeți din nou procesul de soluție.
Exemplul 1. Pentru matrice
găsiți matricea inversă.
Soluţie. Pentru a găsi matricea inversă, trebuie să găsiți determinantul matricei A. Găsim după regula triunghiurilor:
Prin urmare, matricea A– nesingular (nedegenerat, nesingular) și există un invers pentru acesta.
Să găsim o matrice aliată acestei matrice A.
Să găsim matricea transpusă în raport cu matricea A:
Calculăm elementele matricei aliate ca complemente algebrice ale matricei transpuse în raport cu matricea A:
Prin urmare, matricea este aliată cu matricea A, are forma
Cometariu. Ordinea în care sunt calculate elementele și matricea este transpusă poate fi diferită. Puteți calcula mai întâi complementele algebrice ale matricei A, și apoi transpuneți matricea complementului algebric. Rezultatul ar trebui să fie aceleași elemente ale matricei de unire.
Aplicând formula (2), găsim matricea inversă matricei A:
Găsirea matricei inverse folosind metoda gaussiană de eliminare necunoscută
Primul pas pentru a găsi inversul unei matrice folosind metoda eliminării gaussiene este alocarea matricei A matrice de identitate de același ordin, separându-le cu o bară verticală. Vom obține o matrice duală. Să înmulțim ambele părți ale acestei matrice cu , apoi obținem
,
Algoritm pentru găsirea matricei inverse folosind metoda de eliminare a necunoscutelor gaussiene
1. La matrice A atribuiți o matrice de identitate de același ordin.
2. Transformați matricea duală rezultată astfel încât pe partea stângă să obțineți o matrice unitară, apoi pe partea dreaptă, în locul matricei de identitate, obțineți automat o matrice inversă. Matrice A pe partea stângă se transformă în matricea identitară prin transformări matrice elementare.
2. Dacă în procesul de transformare a matricei Aîn matricea de identitate vor fi doar zerouri în orice rând sau în orice coloană, atunci determinantul matricei este egal cu zero și, în consecință, matricea A va fi singular și nu are o matrice inversă. În acest caz, determinarea ulterioară a matricei inverse se oprește.
Exemplul 2. Pentru matrice
găsiți matricea inversă.
și o vom transforma astfel încât în partea stângă să obținem o matrice de identitate. Începem transformarea.
Înmulțiți primul rând al matricei din stânga și dreapta cu (-3) și adăugați-l la al doilea rând, apoi înmulțiți primul rând cu (-4) și adăugați-l la al treilea rând, apoi obținem
.
Asa ca daca se poate sa nu existe numere fracționareîn timpul transformărilor ulterioare, vom crea mai întâi o unitate în al doilea rând din partea stângă a matricei duale. Pentru a face acest lucru, înmulțim a doua linie cu 2 și scădem a treia linie din ea, apoi obținem
.
Să adăugăm prima linie cu a doua, apoi să înmulțim a doua linie cu (-9) și să o adăugăm cu a treia linie. Apoi primim
.
Împărțiți a treia linie la 8, apoi
.
Înmulțiți a treia linie cu 2 și adăugați-o la a doua linie. Se dovedește:
.
Să schimbăm a doua și a treia linie, apoi obținem în sfârșit:
.
Vedem că în partea stângă avem matricea de identitate, prin urmare, în partea dreaptă avem matricea inversă. Prin urmare:
.
Puteți verifica corectitudinea calculelor înmulțind matricea originală cu matricea inversă găsită:
Rezultatul ar trebui să fie o matrice inversă.
Exemplul 3. Pentru matrice
găsiți matricea inversă.
Soluţie. Compilarea unei matrice duale
și o vom transforma.
Înmulțim prima linie cu 3 și a doua cu 2 și scadem din a doua, apoi înmulțim prima linie cu 5 și a treia cu 2 și scadem din a treia linie, apoi obținem
.
Înmulțim prima linie cu 2 și o adăugăm la a doua, apoi scădem a doua din a treia linie, apoi obținem
.
Vedem că în a treia linie din partea stângă toate elementele sunt egale cu zero. Prin urmare, matricea este singulară și nu are o matrice inversă. Ne oprim mai departe să găsim inversul maritz.
Definiția 1: o matrice se numește singulară dacă determinantul ei este zero.
Definiția 2: o matrice se numește nesingulară dacă determinantul ei nu este egal cu zero.
Se numește matricea „A”. matrice inversă, dacă condiția A*A-1 = A-1 *A = E (matricea unitară) este îndeplinită.
O matrice pătrată este inversabilă numai dacă este nesingulară.
Schema de calcul a matricei inverse:
1) Calculați determinantul matricei „A” dacă ∆ A = 0, atunci matricea inversă nu există.
2) Găsiți toate complementele algebrice ale matricei "A".
3) Creați o matrice de adunări algebrice (Aij)
4) Transpuneți matricea complementelor algebrice (Aij )T
5) Înmulțiți matricea transpusă cu inversul determinantului acestei matrice.
6) Efectuați verificarea:
La prima vedere poate părea complicat, dar de fapt totul este foarte simplu. Toate soluțiile se bazează pe operații aritmetice simple, principalul lucru atunci când rezolvați este să nu vă confundați cu semnele „-” și „+” și să nu le pierdeți.
Acum să rezolvăm împreună o sarcină practică calculând matricea inversă.
Sarcină: găsiți matricea inversă „A” prezentată în imaginea de mai jos:
1. Primul lucru de făcut este să găsiți determinantul matricei "A":
Explicaţie:
Ne-am simplificat determinantul folosind funcțiile sale de bază. Mai întâi, am adăugat la liniile a 2-a și a 3-a elementele primei linii, înmulțite cu un număr.
În al doilea rând, am schimbat coloana a 2-a și a 3-a a determinantului și, în funcție de proprietățile acestuia, am schimbat semnul din fața acestuia.
În al treilea rând, am scos factorul comun (-1) din a doua linie, schimbând astfel din nou semnul și a devenit pozitiv. De asemenea, am simplificat linia 3 în același mod ca la începutul exemplului.
Avem un determinant triunghiular ale cărui elemente de sub diagonală sunt egale cu zero, iar prin proprietatea 7 este egal cu produsul elementelor diagonale. Până la urmă am primit ∆ A = 26, deci matricea inversă există.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 = -1*(9+2) = -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. Următorul pas este să compilați o matrice din adăugările rezultate:
5. Înmulțiți această matrice cu inversul determinantului, adică cu 1/26:
6. Acum trebuie doar să verificăm:
În timpul testului, am primit o matrice de identitate, prin urmare, soluția a fost efectuată absolut corect.
2 moduri de a calcula matricea inversă.
1. Transformarea matricei elementare
2. Matrice inversă printr-un convertor elementar.
Transformarea matricei elementare include:
1. Înmulțirea unui șir cu un număr care nu este egal cu zero.
2. Adăugând la orice linie o altă linie înmulțită cu un număr.
3. Schimbați rândurile matricei.
4. Aplicând un lanț de transformări elementare, obținem o altă matrice.
A -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2.A -1 * A = E
Să ne uităm la asta folosind un exemplu practic cu numere reale.
Exercițiu: Aflați matricea inversă.
Soluţie:
Sa verificam:
O mica precizare asupra solutiei:
Mai întâi, am rearanjat rândurile 1 și 2 ale matricei, apoi am înmulțit primul rând cu (-1).
După aceea, am înmulțit primul rând cu (-2) și l-am adăugat cu al doilea rând al matricei. Apoi am înmulțit linia 2 cu 1/4.
Etapa finală a transformării a fost înmulțirea a doua linie cu 2 și adăugarea acesteia cu prima. Ca urmare, avem matricea de identitate în stânga, prin urmare, matricea inversă este matricea din dreapta.
După verificare, ne-am convins că decizia a fost corectă.
După cum puteți vedea, calcularea matricei inverse este foarte simplă.
La sfârșitul acestei prelegeri, aș dori, de asemenea, să petrec puțin timp asupra proprietăților unei astfel de matrice.
Să fie dat matrice pătrată. Trebuie să găsiți matricea inversă.
Prima cale. Teorema 4.1 a existenței și unicității unei matrici inverse indică una dintre modalitățile de a o găsi.
1. Calculați determinantul acestei matrice. Dacă, atunci matricea inversă nu există (matricea este singulară).
2. Construiți o matrice din complemente algebrice ale elementelor matricei.
3.
Transpuneți matricea pentru a obține matricea adiacentă 
.
4. Aflați matricea inversă (4.1) împărțind toate elementele matricei adiacente la determinant
A doua cale. Pentru a găsi matricea inversă, puteți utiliza transformări elementare.
1. Construiți o matrice bloc prin alocarea unei matrice date a unei matrice de identitate de același ordin.
2. Folosind transformări elementare efectuate pe rândurile matricei, aduceți blocul său din stânga la forma sa cea mai simplă. În acest caz, matricea bloc este redusă la forma în care este o matrice pătrată obținută ca urmare a transformărilor din matricea de identitate.
3. Dacă , atunci blocul este egal cu inversul matricei, adică dacă, atunci matricea nu are inversă.
De fapt, cu ajutorul transformărilor elementare ale rândurilor matricei, este posibilă reducerea blocului său din stânga la o formă simplificată (vezi Fig. 1.5). În acest caz, matricea bloc este transformată în forma în care este o matrice elementară care satisface egalitatea. Dacă matricea este nedegenerată, atunci conform paragrafului 2 din Observațiile 3.3 forma sa simplificată coincide cu matricea de identitate. Apoi din egalitate rezultă că. Dacă matricea este singulară, atunci forma sa simplificată diferă de matricea de identitate, iar matricea nu are un invers.
11. Ecuații matriceale și soluția lor. Forma matriceală de înregistrare SLAE. Metoda matricei(metoda matricei inverse) soluția SLAE și condițiile de aplicabilitate a acesteia.
Ecuațiile matriceale sunt ecuații de forma: A*X=C; X*A=C; A*X*B=C unde matricea A,B,C sunt cunoscute, matricea X nu este cunoscută, dacă matricele A și B nu sunt singulare, atunci soluțiile matricelor originale se vor scrie în forma corespunzătoare: X = A -1 * C; X=C*A-1; X=A -1 *C*B -1 Forma matriceală a sistemelor de scriere a ecuațiilor algebrice liniare. Cu fiecare SLAE pot fi asociate mai multe matrice; Mai mult decât atât, SLAE în sine poate fi scris sub forma unei ecuații matriceale. Pentru SLAE (1), luați în considerare următoarele matrici:
Matricea A se numește matricea sistemului. Elementele acestei matrice reprezintă coeficienții unui SLAE dat.
Se numește matricea A˜ sistem de matrice extinsă. Se obține prin adăugarea la matricea sistemului a unei coloane care conține termeni liberi b1,b2,...,bm. De obicei, această coloană este separată de o linie verticală pentru claritate.
Se numește matricea coloanei B matricea membrilor liberi, iar matricea coloanei X este matricea necunoscutelor.
Folosind notația introdusă mai sus, SLAE (1) se poate scrie sub forma unei ecuații matriceale: A⋅X=B.
Notă
Matricele asociate sistemului pot fi scrise în diferite moduri: totul depinde de ordinea variabilelor și ecuațiilor SLAE luate în considerare. Dar, în orice caz, ordinea necunoscutelor în fiecare ecuație a unui SLAE dat trebuie să fie aceeași.
Metoda matricei este potrivită pentru rezolvarea SLAE-urilor în care numărul de ecuații coincide cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero. Dacă sistemul conține mai mult de trei ecuații, atunci găsirea matricei inverse necesită un efort de calcul semnificativ, prin urmare, în acest caz, este recomandabil să se folosească metoda gaussiana.
12. SLAE omogene, condiții pentru existența soluțiilor lor nenule. Proprietățile soluțiilor parțiale ale SLAE-urilor omogene.
O ecuație liniară se numește omogenă dacă termenul său liber este egal cu zero, iar neomogenă în caz contrar. Un sistem format din ecuații omogene se numește omogen și are forma generală:
13 .Conceptul de independență liniară și dependență de soluții parțiale ale unui SLAE omogen. Sistemul fundamental de soluții (FSD) și determinarea acestuia. Reprezentarea soluției generale a unui SLAE omogen prin FSR.
Sistem de funcții y 1 (X ), y 2 (X ), …, y n (X ) se numește dependent liniar pe interval ( A , b ), dacă există un set coeficienți constanți, nu este egal cu zero în același timp, astfel încât combinația liniară a acestor funcții să fie identic egală cu zero pe ( A , b ): Pentru . Dacă egalitatea pentru este posibilă numai pentru , sistemul de funcții y 1 (X ), y 2 (X ), …, y n (X ) se numește liniar independent pe interval ( A , b ). Cu alte cuvinte, funcțiile y 1 (X ), y 2 (X ), …, y n (X ) dependent liniar pe interval ( A , b ), dacă există un egal cu zero pe ( A , b ) combinația lor liniară netrivială. Funcții y 1 (X ),y 2 (X ), …, y n (X ) liniar independent pe interval ( A , b ), dacă numai combinația lor liniară trivială este identic egală cu zero pe ( A , b ).
Sistem decizional fundamental (FSR) Un SLAE omogen stă la baza acestui sistem de coloane.
Numărul de elemente din FSR este egal cu numărul de necunoscute ale sistemului minus rangul matricei sistemului. Orice soluție la sistemul original este o combinație liniară decizii FSR.
Teorema
Soluția generală a unui SLAE neomogen este egală cu suma soluției particulare a unui SLAE neomogen și solutie generala SLAE omogen corespunzătoare.
1 . Dacă coloanele sunt soluții ale unui sistem omogen de ecuații, atunci orice combinație liniară a acestora este, de asemenea, o soluție a sistemului omogen.
Într-adevăr, din egalităţi rezultă că
acestea. o combinație liniară de soluții este o soluție la un sistem omogen.
2. Dacă rangul matricei unui sistem omogen este egal cu , atunci sistemul are soluții liniar independente.
Într-adevăr, folosind formulele (5.13) pentru soluția generală a unui sistem omogen, găsim soluții particulare, dând variabilelor libere următoarele: seturi standard de valori (de fiecare dată presupunând că una dintre variabilele libere este egală cu una, iar restul sunt egale cu zero):
care sunt liniar independente. De fapt, dacă creați o matrice din aceste coloane, atunci ultimele sale rânduri formează matricea de identitate. In consecinta, minorul situat in ultimele linii nu este egal cu zero (este egal cu unu), i.e. este de bază. Prin urmare, rangul matricei va fi egal. Aceasta înseamnă că toate coloanele acestei matrice sunt liniar independente (vezi Teorema 3.4).
Orice colecție de soluții liniar independente ale unui sistem omogen se numește sistem fundamental (set) de soluții .
14 Minor de ordinul al-lea, minor de bază, rangul matricei. Calcularea rangului unei matrice.
Ordinul k minor al unei matrice A este determinantul uneia dintre submatricele sale pătrate de ordinul k.
Într-o matrice A de dimensiuni m x n, un minor de ordinul r se numește de bază dacă este diferit de zero, iar toate minorele de ordin superior, dacă există, sunt egale cu zero.
Coloanele și rândurile matricei A, la intersecția căreia există o bază minoră, sunt numite coloane și rânduri de bază ale lui A.
Teorema 1. (Despre rangul matricei). Pentru orice matrice, rangul minor este egal cu rangul rândului și egal cu rangul coloanei.
Teorema 2. (Pe baza minoră). Fiecare coloană a matricei este descompusă într-o combinație liniară a coloanelor sale de bază.
Rangul unei matrice (sau rang minor) este ordinea bazei minore sau, cu alte cuvinte, cea mai mare ordine pentru care există minori non-zero. Rangul unei matrice zero este considerat 0 prin definiție.
Să notăm două proprietăți evidente de rang minor.
1) Rangul unei matrice nu se modifică în timpul transpunerii, deoarece atunci când o matrice este transpusă, toate submatricele sale sunt transpuse, iar minorele nu se modifică.
2) Dacă A’ este o submatrice a matricei A, atunci rangul lui A’ nu depășește rangul lui A, deoarece un minor diferit de zero inclus în A’ este de asemenea inclus în A.
15. Conceptul de vector aritmetic -dimensional. Egalitatea vectorilor. Operații pe vectori (adunare, scădere, înmulțire cu un număr, înmulțire cu o matrice). Combinație liniară de vectori.
Colectare comandată n valabil sau numere complexe numit vector n-dimensional. Numerele sunt numite coordonate vectoriale.
Doi vectori (diferiți de zero). AȘi b sunt egale dacă sunt în mod egal direcționate și au același modul. Toți vectorii zero sunt considerați egali. În toate celelalte cazuri, vectorii nu sunt egali.
Adăugarea vectorului. Există două moduri de a adăuga vectori: 1. Regula paralelogramului. Pentru a adăuga vectorii și, plasăm originile ambilor în același punct. Construim până la un paralelogram și din același punct desenăm o diagonală a paralelogramului. Aceasta va fi suma vectorilor.
2. A doua metodă de adunare a vectorilor este regula triunghiului. Să luăm aceiași vectori și . Vom adăuga începutul celui de-al doilea la sfârșitul primului vector. Acum să conectăm începutul primului și sfârșitul celui de-al doilea. Aceasta este suma vectorilor și . Folosind aceeași regulă, puteți adăuga mai mulți vectori. Le aranjam unul după altul și apoi conectăm începutul primului cu sfârșitul ultimului.
Scăderea vectorilor. Vectorul este îndreptat opus vectorului. Lungimile vectorilor sunt egale. Acum este clar ce este scăderea vectorială. Diferența vectorială și este suma vectorului și a vectorului .
Înmulțirea unui vector cu un număr
Înmulțirea unui vector cu un număr k produce un vector a cărui lungime este de k ori lungimea. Este codirecțional cu vectorul dacă k este mai mare decât zero și direcționat opus dacă k este mai mic decât zero.
Produsul scalar al vectorilor este produsul dintre lungimile vectorilor și cosinusul unghiului dintre ei. Dacă vectorii sunt perpendiculari, produsul lor scalar este zero. Și așa produs scalar se exprimă prin coordonatele vectorilor şi .
Combinație liniară de vectori
Combinație liniară de vectori 
numit vector
Unde 
- coeficienți de combinație liniară. Dacă 
o combinație se numește trivială dacă este non-trivială.
16 .Produsul scalar al vectorilor aritmetici. Lungimea și unghiul vectorului dintre vectori. Conceptul de ortogonalitate vectorială.
Produsul scalar al vectorilor a și b este numărul
Produsul scalar este utilizat pentru a calcula: 1) găsirea unghiului dintre ei; 2) găsirea proiecției vectorilor; 3) calcularea lungimii unui vector; 4) condițiile de perpendicularitate a vectorilor.
Lungimea segmentului AB se numește distanța dintre punctele A și B. Unghiul dintre vectorii A și B se numește unghi α = (a, b), 0≤ α ≤P. Prin care trebuie să rotiți 1 vector astfel încât direcția acestuia să coincidă cu un alt vector. Cu condiția ca originile lor să coincidă.
Un ortom a este un vector a având unitatea de lungime și direcția a.
17. Sistemul de vectori și combinația sa liniară. Conceptul de dependență liniară și independență a unui sistem de vectori. Teoremă privind condițiile necesare și suficiente pentru dependența liniară a unui sistem de vectori.
Un sistem de vectori a1,a2,...,an se numește liniar dependenți dacă există numere λ1,λ2,...,λn astfel încât cel puțin unul dintre ele este diferit de zero și λ1a1+λ2a2+...+λnan=0 . În caz contrar, sistemul se numește liniar independent.
Doi vectori a1 și a2 se numesc coliniari dacă direcțiile lor sunt aceleași sau opuse.
Trei vectori a1, a2 și a3 se numesc coplanari dacă sunt paraleli cu un plan.
Criterii geometrice pentru dependența liniară:
a) sistemul (a1,a2) este dependent liniar dacă și numai dacă vectorii a1 și a2 sunt coliniari.
b) sistemul (a1,a2,a3) este dependent liniar dacă și numai dacă vectorii a1,a2 și a3 sunt coplanari.
teorema. (Condiție necesară și suficientă pentru dependența liniară sisteme vectori.)
Sistem vectorial vector spaţiu este liniar dependent dacă și numai dacă unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar în termenii celorlalți vector acest sistem.
Corolarul 1. Un sistem de vectori într-un spațiu vectorial este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii sistemului nu este exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem.2. Un sistem de vectori care conține un vector zero sau doi vectori egali este dependent liniar.
Pentru orice matrice nesingulară A există o matrice unică A -1 astfel încât
A*A -1 =A -1 *A = E,
unde E este matricea de identitate de aceleași ordine ca și A. Matricea A -1 se numește inversul matricei A.
În cazul în care cineva a uitat, în matricea de identitate, cu excepția diagonalei umplute cu unele, toate celelalte poziții sunt umplute cu zerouri, un exemplu de matrice de identitate:
Găsirea matricei inverse folosind metoda matricei adiacente
Matricea inversă este definită prin formula:
unde A ij - elemente a ij.
Acestea. Pentru a calcula matricea inversă, trebuie să calculați determinantul acestei matrice. Apoi găsiți complementele algebrice pentru toate elementele sale și compuneți o nouă matrice din ele. În continuare trebuie să transportați această matrice. Și împărțiți fiecare element al noii matrice la determinantul matricei originale.
Să ne uităm la câteva exemple.
Găsiți A -1 pentru o matrice
Rezolvare.Să găsim A -1 folosind metoda matricei adiacente. Avem det A = 2. Să găsim complementele algebrice ale elementelor matricei A. În acest caz, complementele algebrice ale elementelor matricei vor fi elementele corespunzătoare ale matricei însăși, luate cu semn conform formulei.
Avem A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Formăm matricea adjunctă
Transportăm matricea A*:
Găsim matricea inversă folosind formula:
Primim:
Folosind metoda matricei adiacente, găsiți A -1 dacă
Rezolvare În primul rând, calculăm definiția acestei matrice pentru a verifica existența matricei inverse. Avem
Aici am adăugat elementelor celui de-al doilea rând elementele celui de-al treilea rând, înmulțite anterior cu (-1), apoi am extins determinantul pentru al doilea rând. Deoarece definiția acestei matrice este diferită de zero, matricea sa inversă există. Pentru a construi matricea adjunctă, găsim complementele algebrice ale elementelor acestei matrice. Avem
Conform formulei
matricea de transport A*:
Apoi conform formulei
Găsirea matricei inverse folosind metoda transformărilor elementare
Pe lângă metoda de găsire a matricei inverse, care decurge din formulă (metoda matricei adiacente), există o metodă de găsire a matricei inverse, numită metoda transformărilor elementare.
Transformări matriceale elementare
Următoarele transformări se numesc transformări matrice elementare:
1) rearanjarea rândurilor (coloanelor);
2) înmulțirea unui rând (coloană) cu un alt număr decât zero;
3) adăugarea elementelor unui rând (coloană) a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană), înmulțite anterior cu un anumit număr.
Pentru a găsi matricea A -1, construim o matrice dreptunghiulară B = (A|E) de ordine (n; 2n), atribuind matricei A din dreapta matricea de identitate E printr-o linie de despărțire:
Să ne uităm la un exemplu.
Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți A -1 dacă
Rezolvare Formăm matricea B:
Să notăm rândurile matricei B cu α 1, α 2, α 3. Să efectuăm următoarele transformări pe rândurile matricei B.
Similar cu inversul în multe proprietăți.
YouTube enciclopedic
1 / 5
✪ Cum să găsiți inversul unei matrice - bezbotvy
✪ Matrice inversă (2 moduri de a găsi)
✪ Matrice inversă #1
✪ 28-01-2015. Matrice inversă 3x3
✪ 27-01-2015. Matricea inversă 2x2
Subtitrări
Proprietățile unei matrice inverse
- det A - 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Unde det (\displaystyle \\det ) denotă determinantul.
- (A B) - 1 = B - 1 A - 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) pentru două matrici inversabile pătrate A (\displaystyle A)Și B (\displaystyle B).
- (A T) - 1 = (A - 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Unde (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) denotă o matrice transpusă.
- (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) pentru orice coeficient k ≠ 0 (\displaystyle k\nu =0).
- E - 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
- Dacă este necesar să se rezolve un sistem de ecuații liniare, (b este un vector diferit de zero) unde x (\displaystyle x) este vectorul dorit, iar dacă A - 1 (\displaystyle A^(-1)) există, atunci x = A - 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). În caz contrar, fie dimensiunea spațiului soluției este mai mare decât zero, fie nu există soluții deloc.
Metode de găsire a matricei inverse
Dacă matricea este inversabilă, atunci pentru a găsi matricea inversă puteți utiliza una dintre următoarele metode:
Metode exacte (directe).
metoda Gauss-Jordan
Să luăm două matrice: the A si singura E. Să prezentăm matricea A la matricea de identitate folosind metoda Gauss-Jordan, aplicând transformări de-a lungul rândurilor (puteți aplica și transformări de-a lungul coloanelor, dar nu amestecate). După aplicarea fiecărei operații la prima matrice, aplicați aceeași operație la a doua. Când reducerea primei matrice la forma unitară este finalizată, a doua matrice va fi egală cu A−1.
Când se folosește metoda Gaussiană, prima matrice va fi înmulțită în stânga cu una dintre matricele elementare Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvecție sau matrice diagonală cu unități pe diagonala principală, cu excepția unei poziții):
Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A - 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).A doua matrice după aplicarea tuturor operațiilor va fi egală cu Λ (\displaystyle \Lambda), adică va fi cea dorită. complexitatea algoritmului - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).
Folosind matricea complementului algebric
Matricea inversă a matricei A (\displaystyle A), poate fi reprezentat sub forma
A - 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))
Unde adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- matrice adjunctă;
Complexitatea algoritmului depinde de complexitatea algoritmului de calcul al determinantului O det și este egală cu O(n²)·O det.
Folosind descompunerea LU/LUP
Ecuația matriceală A X = eu n (\displaystyle AX=I_(n)) pentru matricea inversă X (\displaystyle X) poate fi considerată o colecție n (\displaystyle n) sisteme de formă A x = b (\displaystyle Ax=b). Să notăm i (\displaystyle i) a-a coloană a matricei X (\displaystyle X) prin X i (\displaystyle X_(i)); Apoi A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),deoarece i (\displaystyle i) a-a coloană a matricei eu n (\displaystyle I_(n)) este vectorul unitar e i (\displaystyle e_(i)). cu alte cuvinte, găsirea matricei inverse se reduce la rezolvarea n ecuații cu aceeași matrice și diferite părți din dreapta. După efectuarea descompunerii LUP (timp O(n³)), rezolvarea fiecăreia dintre ecuațiile n durează timp O(n²), deci această parte a lucrării necesită și timp O(n³).
Dacă matricea A este nesingulară, atunci descompunerea LUP poate fi calculată pentru aceasta PA = L U (\displaystyle PA=LU). Lăsa PA = B (\displaystyle PA=B), B - 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Apoi din proprietățile matricei inverse putem scrie: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Dacă înmulțiți această egalitate cu U și L, puteți obține două egalități de formă U D = L - 1 (\displaystyle UD=L^(-1))Și D L = U - 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Prima dintre aceste egalități reprezintă un sistem de n² ecuatii lineare Pentru n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) din care se cunosc laturile din dreapta (din proprietăţile matricelor triunghiulare). Al doilea reprezintă, de asemenea, un sistem de n² ecuații liniare pentru n (n - 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) din care se cunosc laturile din dreapta (tot din proprietatile matricelor triunghiulare). Împreună, ele reprezintă un sistem de n² egalități. Folosind aceste egalități, putem determina recursiv toate n² elemente ale matricei D. Apoi din egalitatea (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. obținem egalitatea A - 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).
În cazul utilizării descompunerii LU, nu este necesară nicio permutare a coloanelor matricei D, dar soluția poate diverge chiar dacă matricea A este nesingulară.
Complexitatea algoritmului este O(n³).
Metode iterative
metodele Schultz
( Ψ k = E - A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k)),\\U_() k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))
Estimarea erorii
Selectarea unei aproximări inițiale
Problema alegerii aproximării inițiale în procesele iterative de inversare a matricei luate în considerare aici nu ne permite să le tratăm ca metode universale independente care concurează cu metodele de inversare directă bazate, de exemplu, pe descompunerea LU a matricelor. Există câteva recomandări pentru alegere U 0 (\displaystyle U_(0)), asigurând îndeplinirea condiţiei ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (raza spectrală a matricei este mai mică decât unitatea), ceea ce este necesar și suficient pentru convergența procesului. Totuși, în acest caz, în primul rând, este necesar să se cunoască de mai sus estimarea pentru spectrul matricei inversabile A sau a matricei A A T (\displaystyle AA^(T))(și anume, dacă A este o matrice definită pozitivă simetrică și ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta), atunci poți lua U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Unde ; dacă A este o matrice nesingulară arbitrară și ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta), atunci ei cred U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), unde de asemenea α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Puteți, desigur, să simplificați situația și să profitați de faptul că ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), a pune U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). În al doilea rând, atunci când se specifică matricea inițială în acest fel, nu există nicio garanție că ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) va fi mic (poate chiar se va dovedi a fi ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), iar un ordin ridicat al ratei de convergență nu va fi dezvăluit imediat.
Exemple
Matrice 2x2
A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf) (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)Inversarea unei matrice 2x2 este posibilă numai cu condiția ca a d - b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).