Acest paragraf va discuta caz special ecuatii lineare de ordinul doi, când coeficienții ecuației sunt constanți, adică sunt numere. Astfel de ecuații se numesc ecuații cu coeficienți constanți. Acest tip de ecuații își găsesc o aplicație deosebit de largă.
1. Ecuații diferențiale liniare omogene
de ordinul doi cu coeficienți constanțiLuați în considerare ecuația
în care coeficienţii sunt constanţi. Presupunând că împărțind toți termenii ecuației la și notând
hai sa scriem ecuația dată la fel de
După cum se știe, pentru a găsi o soluție generală la o ecuație liniară omogenă de ordinul doi, este suficient să cunoaștem sistemul său fundamental de soluții parțiale. Să vă arătăm cum este sistem fundamental soluții parțiale pentru o ecuație diferențială liniară omogenă cu coeficienți constanți. Vom căuta o soluție specială a acestei ecuații în formă
Diferențiând această funcție de două ori și înlocuind expresiile pentru în ecuația (59), obținem
Din moment ce , atunci, reducând cu obținem ecuația
Din această ecuație, se determină acele valori ale lui k pentru care funcția va fi o soluție a ecuației (59).
Ecuația algebrică (61) pentru determinarea coeficientului k se numește ecuația caracteristică acestei ecuații diferențiale (59).
Ecuația caracteristică este o ecuație de gradul doi și, prin urmare, are două rădăcini. Aceste rădăcini pot fi fie reale distincte, reale și egale, fie conjugate complexe.
Să luăm în considerare ce formă are sistemul fundamental de soluții particulare în fiecare dintre aceste cazuri.
1. Rădăcini ecuație caracteristică reale si distincte: . În acest caz, folosind formula (60) găsim două soluții parțiale:
Aceste două soluții particulare formează un sistem fundamental de soluții pe întreaga axă numerică, deoarece determinantul Wronski nu dispare nicăieri:
În consecință, soluția generală a ecuației conform formulei (48) are forma
2. Rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt egale: . În acest caz, ambele rădăcini vor fi reale. Folosind formula (60), obținem o singură soluție particulară
Să arătăm că a doua soluție particulară, care împreună cu prima formează un sistem fundamental, are forma
În primul rând, să verificăm dacă funcția este o soluție a ecuației (59). Într-adevăr,
Dar, deoarece există o rădăcină a ecuației caracteristice (61). În plus, conform teoremei lui Vieta, Prin urmare . În consecință, , adică funcția este într-adevăr o soluție a ecuației (59).
Să arătăm acum că soluțiile parțiale găsite formează un sistem fundamental de soluții. Într-adevăr,
Astfel, în acest caz soluția generală a ecuației liniare omogene are forma
3. Rădăcinile ecuației caracteristice sunt complexe. După cum se știe, rădăcinile complexe ale unei ecuații pătratice cu coeficienți reali sunt conjugate numere complexe, adică arată astfel: . În acest caz, soluțiile parțiale ale ecuației (59), conform formulei (60), vor avea forma:
Folosind formulele lui Euler (vezi Capitolul XI, § 5, paragraful 3), expresiile pentru pot fi scrise ca:
Aceste soluții sunt cuprinzătoare. Pentru a obține soluții valide, luați în considerare noile funcții
Ele sunt combinații liniare de soluții și, prin urmare, sunt ele însele soluții ale ecuației (59) (vezi § 3, itemul 2, Teorema 1).
Este ușor de arătat că determinantul Wronski pentru aceste soluții este diferit de zero și, prin urmare, soluțiile formează un sistem fundamental de soluții.
Astfel, soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene în cazul rădăcinilor complexe ale ecuației caracteristice are forma
În concluzie, vă prezentăm un tabel de formule pentru soluția generală a ecuației (59) în funcție de tipul de rădăcini ale ecuației caracteristice.
Aici vom aplica metoda de variație a constantelor Lagrange pentru a rezolva ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul doi. Descriere detaliata această metodă de rezolvare a ecuațiilor de ordine arbitrară este descrisă pe pagină
Rezolvarea ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordin superior prin metoda Lagrange >>>.
Exemplul 1
Rezolvați o ecuație diferențială de ordinul doi cu coeficienți constanți folosind metoda de variație a constantelor Lagrange:
(1)
Soluţie
Mai întâi rezolvăm ecuația diferențială omogenă:
(2)
Aceasta este o ecuație de ordinul doi.
Rezolvarea ecuației pătratice:
.
Rădăcini multiple: . Sistemul fundamental de soluții la ecuația (2) are forma:
(3)
.
De aici obținem o soluție generală a ecuației omogene (2):
(4)
.
Variind constantele C 1
și C 2
. Adică, înlocuim constantele din (4) cu funcții:
.
Căutăm o soluție la ecuația inițială (1) sub forma:
(5)
.
Găsirea derivatei:
.
Să conectăm funcțiile și ecuația:
(6)
.
Apoi
.
Găsim derivata a doua:
.
Înlocuiți în ecuația inițială (1):
(1)
;
.
Deoarece și satisface ecuația omogenă (2), suma termenilor din fiecare coloană a ultimelor trei rânduri dă zero, iar ecuația anterioară ia forma:
(7)
.
Aici .
Împreună cu ecuația (6) obținem un sistem de ecuații pentru determinarea funcțiilor și:
(6)
:
(7)
.
Rezolvarea unui sistem de ecuații
Rezolvăm sistemul de ecuații (6-7). Să scriem expresii pentru funcții și:
.
Găsim derivatele lor:
;
.
Rezolvăm sistemul de ecuații (6-7) folosind metoda Cramer. Calculăm determinantul matricei sistemului:
.
Folosind formulele lui Cramer găsim:
;
.
Deci, am găsit derivatele funcțiilor:
;
.
Să integrăm (vezi Metode pentru integrarea rădăcinilor). Efectuarea unei înlocuiri
;
;
;
.
.
.
;
.
Răspuns
Exemplul 2
Rezolvați ecuația diferențială prin metoda variației constantelor Lagrange:
(8)
Soluţie
Pasul 1. Rezolvarea ecuației omogene
Rezolvăm ecuația diferențială omogenă:
(9)
Cautam o solutie sub forma . Compunem ecuația caracteristică:
Această ecuație are rădăcini complexe:
.
Sistemul fundamental de soluții corespunzător acestor rădăcini are forma:
(10)
.
Soluția generală a ecuației omogene (9):
(11)
.
Pasul 2. Variația constantelor - înlocuirea constantelor cu funcții
Acum variam constantele C 1
și C 2
. Adică, înlocuim constantele din (11) cu funcții:
.
Căutăm o soluție la ecuația inițială (8) sub forma:
(12)
.
Mai mult, progresul soluției este același ca în exemplul 1. Ajungem la următorul sistem de ecuații pentru determinarea funcțiilor și:
(13)
:
(14)
.
Aici .
Rezolvarea unui sistem de ecuații
Să rezolvăm acest sistem. Să notăm expresiile pentru funcțiile și:
.
Din tabelul derivatelor găsim:
;
.
Rezolvăm sistemul de ecuații (13-14) folosind metoda Cramer. Determinant al matricei sistemului:
.
Folosind formulele lui Cramer găsim:
;
.
.
Deoarece , semnul modulului de sub semnul logaritmului poate fi omis. Înmulțiți numărătorul și numitorul cu:
.
Apoi
.
Soluție generală a ecuației inițiale:
.
Ecuație diferențială liniară de ordinul doi numită ecuație a formei
y"" + p(X)y" + q(X)y = f(X) ,
Unde y este funcția de găsit și p(X) , q(X) Și f(X) - funcții continue pe un anumit interval ( a, b) .
Dacă partea dreaptă a ecuației este zero ( f(X) = 0), atunci se numește ecuația ecuație liniară omogenă . Partea practică a acestei lecții va fi dedicată în principal unor astfel de ecuații. Dacă partea dreaptă a ecuației nu este egală cu zero ( f(X) ≠ 0), atunci ecuația se numește .
În probleme ni se cere să rezolvăm ecuația pt y"" :
y"" = −p(X)y" − q(X)y + f(X) .
Liniar ecuatii diferentiale al doilea ordin au o soluție unică Probleme Cauchy .
Ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi și soluția ei
Să considerăm o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi:
y"" + p(X)y" + q(X)y = 0 .
Dacă y1 (X) Și y2 (X) sunt soluții particulare ale acestei ecuații, atunci următoarele afirmații sunt adevărate:
1) y1 (X) + y 2 (X) - este și o soluție a acestei ecuații;
2) Cy1 (X) , Unde C- o constantă arbitrară (constant), este de asemenea o soluție a acestei ecuații.
Din aceste două afirmaţii rezultă că funcţia
C1 y 1 (X) + C 2 y 2 (X)
este de asemenea o soluție la această ecuație.
Apare o întrebare corectă: este aceasta soluție soluție generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi , adică o astfel de soluție în care, pentru valori diferite C1 Și C2 Este posibil să obținem toate soluțiile posibile ale ecuației?
Răspunsul la această întrebare este: poate, dar în anumite condiții. Acest condiție de ce proprietăți ar trebui să aibă anumite soluții y1 (X) Și y2 (X) .
Și această condiție se numește condiția independenței liniare a soluțiilor parțiale.
Teorema. Funcţie C1 y 1 (X) + C 2 y 2 (X) este o soluție generală pentru o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi dacă funcțiile y1 (X) Și y2 (X) liniar independent.
Definiție. Funcții y1 (X) Și y2 (X) sunt numite liniar independente dacă raportul lor este o constantă diferită de zero:
y1 (X)/y 2 (X) = k ; k = const ; k ≠ 0 .
Totuși, determinarea prin definiție dacă aceste funcții sunt liniar independente este adesea foarte laborioasă. Există o modalitate de a stabili independența liniară folosind determinantul Wronski W(X) :
Dacă determinantul Wronski nu este egal cu zero, atunci soluțiile sunt liniar independente . Dacă determinantul Wronski este zero, atunci soluțiile sunt dependente liniar.
Exemplul 1. Aflați soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene.
Soluţie. Se integrează de două ori și, după cum se vede ușor, pentru ca diferența dintre derivata a doua a unei funcții și funcția însăși să fie egală cu zero, soluțiile trebuie să fie asociate cu o exponențială a cărei derivată este egală cu ea însăși. Adică soluțiile parțiale sunt și .
Din moment ce determinantul Wronski
nu este egal cu zero, atunci aceste soluții sunt liniar independente. Prin urmare, soluția generală a acestei ecuații poate fi scrisă ca
.
Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți: teorie și practică
Ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți numită ecuație a formei
y"" + py" + qy = 0 ,
Unde pȘi q- valori constante.
Faptul că aceasta este o ecuație de ordinul doi este indicat de prezența derivatei a doua a funcției dorite, iar omogenitatea acesteia este indicată de zero în partea dreaptă. Valorile deja menționate mai sus se numesc coeficienți constanți.
La rezolvați o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți , trebuie mai întâi să rezolvați așa-numita ecuație caracteristică a formei
k² + pq + q = 0 ,
care, după cum se poate observa, este o ecuație pătratică obișnuită.
În funcție de soluția ecuației caracteristice, sunt posibile trei opțiuni diferite soluții la o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți , pe care o vom analiza acum. Pentru o certitudine completă, vom presupune că toate soluțiile particulare au fost testate de determinantul Wronski și nu este egal cu zero în toate cazurile. Cu toate acestea, cei care se îndoiesc pot verifica acest lucru singuri.
Rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale și distincte
Cu alte cuvinte, . În acest caz, soluția la o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți are forma
.
Exemplul 2. Rezolvați o ecuație diferențială liniară omogenă
.
Exemplul 3. Rezolvați o ecuație diferențială liniară omogenă
.
Soluţie. Ecuația caracteristică are forma , rădăcinile sale și sunt reale și distincte. Soluțiile parțiale corespunzătoare ale ecuației sunt: și . Soluția generală a acestei ecuații diferențiale are forma
.
Rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale și egale
Acesta este, . În acest caz, soluția la o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți are forma
.
Exemplul 4. Rezolvați o ecuație diferențială liniară omogenă
.
Soluţie. Ecuație caracteristică 
are rădăcini egale. Soluțiile parțiale corespunzătoare ale ecuației sunt: și . Soluția generală a acestei ecuații diferențiale are forma
Exemplul 5. Rezolvați o ecuație diferențială liniară omogenă
.
Soluţie. Ecuația caracteristică are rădăcini egale. Soluțiile parțiale corespunzătoare ale ecuației sunt: și . Soluția generală a acestei ecuații diferențiale are forma
Considerăm o ecuație diferențială liniară omogenă cu coeficienți constanți:
(1)
.
Soluția sa poate fi obținută urmând metoda generala reducerea ordinii.
Cu toate acestea, este mai ușor să obțineți imediat sistemul fundamental n soluții liniar independente și pe baza ei creează o soluție generală. În acest caz, întreaga procedură de soluție se reduce la următorii pași.
Căutăm o soluție pentru ecuația (1) sub forma . Primim ecuație caracteristică:
(2)
.
Are n rădăcini. Rezolvăm ecuația (2) și găsim rădăcinile acesteia. Atunci ecuația caracteristică (2) poate fi reprezentată sub următoarea formă:
(3)
.
Fiecare rădăcină corespunde uneia dintre soluțiile liniar independente ale sistemului fundamental de soluții la ecuația (1). Atunci soluția generală a ecuației inițiale (1) are forma:
(4)
.
Adevărate rădăcini
Să luăm în considerare rădăcinile reale. Lasă rădăcina să fie singură. Adică, factorul intră în ecuația caracteristică (3) o singură dată. Atunci această rădăcină corespunde soluției
.
Fie o rădăcină multiplă a multiplicității p. Acesta este
. În acest caz, multiplicatorul este p ori:
.
Aceste rădăcini multiple (egale) corespund p soluții liniar independente ale ecuației inițiale (1):
;
;
;
...;
.
Rădăcini complexe
Luați în considerare rădăcinile complexe. Să exprimăm rădăcina complexă în termenii părților reale și imaginare:
.
Deoarece coeficienții originalului sunt reali, atunci pe lângă rădăcină există o rădăcină conjugată complexă
.
Lăsați rădăcina complexă să fie multiplă. Atunci o pereche de rădăcini corespunde la două soluții liniar independente:
;
.
Fie o rădăcină complexă multiplă a multiplicității p. Atunci valoarea complexă conjugată este, de asemenea, rădăcina ecuației caracteristice a multiplicității p și multiplicatorul intră p ori:
.
Acest 2p rădăcinile corespund 2p soluții liniar independente:
;
;
;
...
;
;
;
;
...
.
După ce s-a găsit sistemul fundamental de soluții liniar independente, obținem soluția generală.
Exemple de soluții de probleme
Exemplul 1
Rezolvați ecuația:
.
Soluţie
.
Să-l transformăm:
;
;
.
Să ne uităm la rădăcinile acestei ecuații. Avem patru rădăcini complexe ale multiplicității 2:
;
.
Ele corespund la patru soluții liniar independente ale ecuației originale:
;
;
;
.
Avem, de asemenea, trei rădăcini reale ale multiplelor 3:
.
Ele corespund la trei soluții liniar independente:
;
;
.
Soluția generală a ecuației inițiale are forma:
.
Răspuns
Exemplul 2
Rezolvați ecuația
Soluţie
Cautam o solutie sub forma . Compunem ecuația caracteristică:
.
Rezolvarea unei ecuații pătratice.
.
Avem două rădăcini complexe:
.
Ele corespund la două soluții liniar independente:
.
Soluția generală a ecuației:
.
Fundamentele rezolvării ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi (LNDE-2) cu coeficienți constanți (PC)
Un LDDE de ordinul 2 cu coeficienți constanți $p$ și $q$ are forma $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, unde $f\left(x \right)$ este o funcție continuă.
În ceea ce privește LNDU 2 cu PC, următoarele două afirmații sunt adevărate.
Să presupunem că o funcție $U$ este o soluție parțială arbitrară a unei ecuații diferențiale neomogene. Să presupunem, de asemenea, că o funcție $Y$ este soluția generală (GS) a ecuației diferențiale liniare omogene corespunzătoare (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Atunci GR a LHDE-2 este egal cu suma datelor private indicate și solutii generale, adică $y=U+Y$.
Dacă partea dreaptă a unui LMDE de ordinul 2 este o sumă de funcții, adică $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, atunci mai întâi putem găsi PD-urile $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ care corespund la fiecare dintre funcțiile $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ și după aceea scrie CR LNDU-2 sub forma $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Soluție LPDE de ordinul 2 cu PC
Este evident că tipul unuia sau altul PD $U$ al unui LNDU-2 dat depinde de forma specifică a părții sale din dreapta $f\left(x\right)$. Cele mai simple cazuri de căutare a PD LNDU-2 sunt formulate sub forma următoarelor patru reguli.
Regula #1.
Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, unde $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, adică se numește polinom de gradul $n$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, unde $Q_(n) \left(x\right)$ este un alt polinom de același grad ca $P_(n) \left(x\right)$ și $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice a LODE-2 corespunzătoare care sunt egale cu zero. Coeficienții polinomului $Q_(n) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda coeficienților nedeterminați (UK).
Regula nr. 2.
Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, unde $P_(n) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $n$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, unde $Q_(n ) \ left(x\right)$ este un alt polinom de același grad cu $P_(n) \left(x\right)$, iar $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare egal cu $\alpha $. Coeficienții polinomului $Q_(n) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda NC.
Regula nr. 3.
Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, unde $a$, $b$ și $\beta$ sunt numere cunoscute. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, unde $A$ și $B$ sunt coeficienți necunoscuți, iar $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice a LODE-2 corespunzătoare, egal cu $i\cdot \beta $. Coeficienții $A$ și $B$ se găsesc folosind metoda nedistructivă.
Regula nr. 4.
Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, unde $P_(n) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $ n$, iar $P_(m) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $m$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, unde $Q_(s) \left(x\right)$ și $ R_(s) \left(x\right)$ sunt polinoame de grad $s$, numărul $s$ este maximul a două numere $n$ și $m$ și $r$ este numărul de rădăcini a ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare, egală cu $\alpha +i\cdot \beta $. Coeficienții polinoamelor $Q_(s) \left(x\right)$ și $R_(s) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda NC.
Metoda NDT constă în utilizarea următoarea regulă. Pentru a găsi coeficienții necunoscuți ai polinomului care fac parte din soluția parțială a ecuației diferențiale neomogene LNDU-2, este necesar:
- înlocuiți PD $U$ scris în vedere generala, V partea stanga LNDU-2;
- în partea stângă a LNDU-2, efectuați simplificări și grupați termeni cu aceleași puteri $x$;
- în identitatea rezultată, echivalează coeficienții termenilor cu aceleași puteri $x$ ale părților stângă și dreaptă;
- rezolvați sistemul rezultat de ecuații liniare pentru coeficienți necunoscuți.
Exemplul 1
Sarcină: găsiți SAU LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Găsiți și PD , îndeplinind condițiile inițiale $y=6$ pentru $x=0$ și $y"=1$ pentru $x=0$.
Notăm LOD-2 corespunzător: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Ecuația caracteristică: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Rădăcinile ecuației caracteristice sunt: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Aceste rădăcini sunt valide și distincte. Astfel, OR-ul LODE-2 corespunzător are forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Partea dreaptă a acestui LNDU-2 are forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Este necesar să se ia în considerare coeficientul exponentului $\alpha =3$. Acest coeficient nu coincide cu niciuna dintre rădăcinile ecuației caracteristice. Prin urmare, PD-ul acestui LNDU-2 are forma $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Vom căuta coeficienții $A$, $B$ folosind metoda NC.
Găsim prima derivată a Republicii Cehe:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Găsim a doua derivată a Republicii Cehe:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Înlocuim funcțiile $U""$, $U"$ și $U$ în loc de $y""$, $y"$ și $y$ în NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ În plus, deoarece exponentul $e^(3\cdot x)$ este inclus ca factor în toate componentele, atunci acesta poate fi omis. Obținem:
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Efectuăm acțiunile din partea stângă a egalității rezultate:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Folosim metoda NDT. Obținem un sistem de ecuații liniare cu două necunoscute:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Soluția acestui sistem este: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ pentru problema noastră arată astfel: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
SAU $y=Y+U$ pentru problema noastră arată astfel: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ stânga(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Pentru a căuta un PD care îndeplinește condițiile inițiale date, găsim derivata $y"$ a OP:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Inlocuim in $y$ si $y"$ conditiile initiale $y=6$ pentru $x=0$ si $y"=1$ pentru $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Am primit un sistem de ecuații:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Să rezolvăm. Găsim $C_(1) $ folosind formula lui Cramer, iar $C_(2) $ determinăm din prima ecuație:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Astfel, PD-ul acestei ecuații diferențiale are forma: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.