Definiție și proprietăți

Complexul zero nu are un logaritm deoarece exponentul complex nu ia valoarea zero. Non-zero texvc poate fi reprezentat sub formă demonstrativă:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, Unde Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): k- întreg arbitrar

Apoi Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \mathrm(Ln)\,z se gaseste prin formula:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi math/README - ajutor la configurare.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Aici Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): \ln\,r= \ln\,|z|- logaritm real. Din aceasta rezultă:

Din formulă reiese clar că una și numai una dintre valori are o parte imaginară în interval Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc . Această valoare este numită importanta principala logaritm natural complex. Funcția corespunzătoare (deja lipsită de ambiguitate) este numită ramura principală logaritm și se notează Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ln\,z. Uneori prin Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ln\, z denotă, de asemenea, valoarea logaritmului care nu se află pe ramura principală. Dacă Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): z este un număr real, atunci valoarea principală a logaritmului său coincide cu logaritmul real obișnuit.

Din formula de mai sus rezultă, de asemenea, că partea reală a logaritmului este determinată după cum urmează prin componentele argumentului:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor cu configurare.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

Figura arată că partea reală în funcție de componente este simetrică central și depinde doar de distanța până la origine. Se obține prin rotirea graficului logaritmului real în jurul axei verticale. Pe măsură ce se apropie de zero, funcția tinde să Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; A se vedea math/README - ajutor la configurare.): -\infty.

Logaritmul unui număr negativ se găsește prin formula:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 ,\ pm 2\puncte)

Exemple de valori logaritmice complexe

Să prezentăm valoarea principală a logaritmului ( Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ln) și expresia sa generală ( Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): \mathrm(Ln)) pentru unele argumente:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi math/README - ajutor la configurare.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Ar trebui să fiți atenți când convertiți logaritmi complecși, ținând cont de faptul că aceștia au mai multe valori și, prin urmare, egalitatea logaritmilor oricăror expresii nu implică egalitatea acestor expresii. Exemplu eronat raţionament:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi- o greșeală evidentă.

Rețineți că în stânga este valoarea principală a logaritmului, iar în dreapta este valoarea din ramura subiacentă ( Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): k=-1). Cauza erorii este utilizarea neglijentă a proprietății Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, care, în general, implică în cazul complex întregul set infinit de valori ale logaritmului, și nu doar valoarea principală.

Funcția logaritmică complexă și suprafața Riemann

Datorită conexiunii sale simple, suprafața Riemann a logaritmului este o acoperire universală pentru planul complex fără punct Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc .

Continuare analitică

Logaritmul unui număr complex poate fi definit și ca continuarea analitică a logaritmului real la întregul plan complex. Lasă curba Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc începe de la unu, nu trece prin zero și nu traversează partea negativă a axei reale. Apoi valoarea principală a logaritmului la punctul final Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): w strâmb Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \Gamma poate fi determinat prin formula:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor la configurare.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Dacă Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \Gamma- o curbă simplă (fără auto-intersecții), apoi pentru numerele aflate pe ea, identitățile logaritmice pot fi folosite fără teamă, de exemplu:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor cu configurare.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Ramura principală a funcției logaritmice este continuă și diferențiabilă pe întregul plan complex, cu excepția părții negative a axei reale, pe care partea imaginară se schimbă brusc în Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): 2\pi. Dar acest fapt este o consecință a limitării artificiale a părții imaginare a valorii principale de către interval Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): (-\pi, \pi]. Dacă luăm în considerare toate ramurile funcției, atunci continuitatea are loc în toate punctele cu excepția zero, unde funcția nu este definită. Dacă rezolvi curba Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \Gamma traversează partea negativă a axei reale, apoi prima astfel de intersecție transferă rezultatul de la ramura principală a valorii în ramura adiacentă, iar fiecare intersecție ulterioară provoacă o deplasare similară de-a lungul ramurilor funcției logaritmice (vezi figura).

Din formula de continuare analitică rezultă că pe orice ramură a logaritmului:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\peste z)

Pentru orice cerc Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): S, acoperind punctul Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): 0 :

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor la configurare.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Integrala este luată în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic). Această identitate stă la baza teoriei reziduurilor.

De asemenea, se poate defini continuarea analitică a logaritmului complex folosind serii cunoscute pentru cazul real:

Totuși, din forma acestor serii rezultă că la unu suma seriei este egală cu zero, adică seria se referă numai la ramura principală a funcției multivalorice a logaritmului complex. Raza de convergență a ambelor serii este 1.

Legătura cu funcții trigonometrice și hiperbolice inverse

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; A se vedea math/README - ajutor la configurare.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; A se vedea math/README - ajutor la configurare.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- sinus hiperbolic invers Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- cosinus hiperbolic invers Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- tangenta hiperbolica inversa Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- cotangentă hiperbolică inversă

Schiță istorică

Primele încercări de a extinde logaritmii la numere complexe au fost făcute la începutul secolelor XVII-XVIII de către Leibniz și Johann Bernoulli, dar nu au reușit să creeze o teorie holistică, în primul rând pentru că însuși conceptul de logaritm nu era încă clar definit. Discuția pe această problemă a avut loc mai întâi între Leibniz și Bernoulli, iar la mijlocul secolului al XVIII-lea între D’Alembert și Euler. Bernoulli și D'Alembert credeau că ar trebui stabilit Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \log(-x) = \log(x), în timp ce Leibniz a demonstrat că logaritmul unui număr negativ este un număr imaginar. Teoria completă a logaritmilor numerelor negative și complexe a fost publicată de Euler în 1747-1751 și nu este în esență diferită de cea modernă. Deși dezbaterea a continuat (D'Alembert și-a apărat punctul de vedere și l-a argumentat în detaliu într-un articol din Enciclopedia sa și în alte lucrări), abordarea lui Euler a primit recunoaștere universală până la sfârșitul secolului al XVIII-lea.

Scrieți o recenzie despre articolul „Logaritm complex”

Literatură

Teoria logaritmilor

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 p.
• Sveșnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. - M.: Nauka, 1967. - 304 p.
• Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - ed. al 6-lea. - M.: Nauka, 1966. - 680 p.

Istoria logaritmilor

• Matematică secolul al XVIII-lea// / Editat de A. P. Yushkevich, în trei volume. - M.: Știință, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (eds.). Matematica secolului al XIX-lea. Geometrie. Teoria funcţiilor analitice. - M.: Știință, 1981. - T. II.

Note

1. Funcția logaritmică. // . - M.: Enciclopedia Sovietică, 1982. - T. 3.
2. , Volumul II, p. 520-522..
3. , Cu. 623..
4. , Cu. 92-94..
5. , Cu. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovici V. A.. - M.: Nauka, 1982. - P. 112. - (Biblioteca Kvant, numărul 21).
7. , Volumul II, p. 522-526..
8. , Cu. 624..
9. , Cu. 325-328..
10. Rybnikov K. A. Istoria matematicii. În două volume. - M.: Editura. Universitatea de Stat din Moscova, 1963. - T. II. - P. 27, 230-231..
11. , Cu. 122-123..
12. Klein F.. - M.: Știință, 1987. - T. II. Geometrie. - p. 159-161. - 416 s.

Un fragment care caracterizează logaritmul complex

Din groaza sălbatică care ne-a cuprins, ne-am repezit ca gloanțe pe o vale largă, fără să ne gândim că am putea merge repede la un alt „etaj”... Pur și simplu nu am avut timp să ne gândim la asta - eram prea speriați.
Creatura a zburat chiar deasupra noastră, clacând zgomotos ciocul cu dinți căscați și ne-am repezit cât de repede am putut, împroșcând în părțile laterale stropi sclipitori și rugându-ne mental ca altceva să intereseze brusc această „pasăre miracolă” înfiorătoare... s-a simțit că era mult mai rapidă și pur și simplu nu aveam nicio șansă să ne despărțim de ea. Din fericire, în apropiere nu creștea nici măcar un copac, nu existau tufișuri, sau măcar pietre în spatele cărora să se poată ascunde, doar o stâncă neagră de rău augur se vedea în depărtare.
- Acolo! – strigă Stella, arătând cu degetul spre aceeași stâncă.
Dar deodată, pe neașteptate, chiar în fața noastră, a apărut de undeva o creatură, a cărei vedere ne-a înghețat literalmente sângele în vene... Părea ca „din aer” și era cu adevărat terifiant... uriașă carcasă neagră era complet acoperită cu părul lung, aspru, făcându-l să arate ca un urs cu burtă, doar că acest „urs” era înalt ca o casă cu trei etaje... Capul bulversat al monstrului era „încoronat” cu două uriașe curbate. coarne, iar gura ciudată era împodobită cu o pereche de colți incredibil de lungi, ascuțiți ca niște cuțite, doar privind la care, de spaimă, picioarele ni s-au lăsat... Și atunci, surprinzându-ne incredibil, monstrul a sărit ușor în sus și. .. a ridicat „noroiul” zburător de pe unul dintre colții săi uriași... Am înghețat în stare de șoc.
- Să fugim!!! – a strigat Stella. – Să alergăm cât e „ocupat”!...
Și eram gata să ne grăbim din nou fără să ne uităm înapoi, când deodată se auzi o voce subțire în spatele nostru:
- Fetelor, asteptati!!! Nu e nevoie să fugi!... Dean te-a salvat, nu e dușman!
Ne-am întors brusc – o fetiță minusculă, foarte frumoasă, cu ochi negri stătea în spatele nostru... și mângâia calm monstrul care se apropiase de ea!.. Ochii ni s-au mărit de surprindere... A fost incredibil! Cu siguranță – a fost o zi de surprize!.. Fata, privindu-ne, a zâmbit primitor, deloc frică de monstrul blănos care stătea lângă noi.
- Te rog să nu-ți fie frică de el. El este foarte blând. Am văzut că Ovara te urmărea și am decis să ajutăm. Dean a fost grozav, a ajuns la timp. Serios, draga mea?
„Bine” toarcă, care a sunat ca un ușor cutremur și, aplecându-și capul, a lins fața fetei.
– Cine este Owara și de ce ne-a atacat? - Am întrebat.
„Atacă pe toată lumea, este un prădător.” Și foarte periculos”, a răspuns fata calmă. — Pot să te întreb ce cauți aici? Nu sunteți de aici, fetelor?
- Nu, nu de aici. Doar mergeam. Dar aceeași întrebare pentru tine - ce cauți aici?
„Mă duc să-mi văd mama...” fetița a devenit tristă. „Am murit împreună, dar din anumite motive ea a ajuns aici.” Și acum locuiesc aici, dar nu-i spun asta, pentru că nu va fi niciodată de acord cu asta. Ea crede că tocmai vin...
— Nu este mai bine să vii? Este atât de groaznic aici!... – Stella ridică din umeri.
„Nu pot să o las aici singură, o privesc ca să nu i se întâmple nimic.” Și aici Dean este cu mine... El mă ajută.
Pur și simplu nu-mi venea să cred... Această fetiță curajoasă și-a părăsit de bunăvoie „podeaua” frumoasă și amabilă pentru a trăi în această lume rece, teribilă și străină, protejându-și mama, care era foarte „vinovată” într-un fel! Nu cred că ar fi mulți oameni atât de curajoși și dezinteresați (chiar și adulți!) care să îndrăznească să întreprindă o asemenea ispravă... Și imediat m-am gândit - poate că pur și simplu nu înțelegea la ce avea să se condamne. ?!
– De cât timp ești aici, fată, dacă nu e un secret?
„Recent...” a răspuns trist copilul cu ochi negri, trăgând cu degetele de o șuviță neagră din părul ei creț. - Am intrat în asta lume frumoasă când a murit!.. Era atât de bun și de strălucitor!.. Și atunci am văzut că mama nu era cu mine și m-am repezit să o caute. A fost atât de înfricoșător la început! Dintr-un motiv oarecare nu a fost găsită nicăieri... Și apoi am căzut în asta lume teribilă... Și apoi am găsit-o. Eram atât de speriat aici... Atât de singur... Mama mi-a spus să plec, chiar m-a certat. Dar nu pot să o părăsesc... Acum am un prieten, bunul meu decan, și pot deja să exist cumva aici.
„Prietenul ei bun” a mârâit din nou, ceea ce mi-a dat lui Stella și mie pielea de găină uriașă „astrală inferior”... După ce m-am adunat, am încercat să mă calmez puțin și am început să mă uit mai atent la acest miracol blănos... Și el, simțind imediat că a fost remarcat, și-a dezvăluit îngrozitor gura cu colți... Am sărit înapoi.
- O, nu-ți fie frică, te rog! „Îți zâmbește”, a „liniștit fata”.
Da... Vei învăța să fugi repede dintr-un astfel de zâmbet... - m-am gândit în sinea mea.
- Cum s-a întâmplat să te împrietenești cu el? – a întrebat Stella.
– Când am venit prima oară aici, mi-a fost foarte frică, mai ales când azi atacau astfel de monștri ca tine. Și apoi într-o zi, când aproape am murit, Dean m-a salvat de o grămadă de „păsări” zburătoare înfiorătoare. Mi-a fost și mie frică de el la început, dar apoi mi-am dat seama ce inimă de aur are... El este cel mai mult cel mai bun prieten! Nu am avut niciodată așa ceva, nici măcar când am trăit pe Pământ.
- Cum te-ai obișnuit așa de repede? Aspectul lui nu este chiar familiar, să spunem...
– Și aici am înțeles un adevăr foarte simplu, pe care din anumite motive nu l-am observat pe Pământ - aspectul nu contează dacă o persoană sau o creatură are inimă bună... Mama era foarte frumoasă, dar uneori era și foarte supărată. Și apoi toată frumusețea ei a dispărut undeva... Și Dean, deși înfricoșător, este întotdeauna foarte amabil, și întotdeauna mă protejează, îi simt bunătatea și nu mi-e frică de nimic. Dar te poți obișnui cu aspectul...
– Știi că vei fi aici foarte mult timp, mult mai mult decât trăiesc oamenii pe Pământ? Chiar vrei sa stai aici?...
„Mama este aici, așa că trebuie să o ajut.” Și când ea „pleacă” să trăiască din nou pe Pământ, voi pleca și eu... Acolo unde este mai multă bunătate. In aceea lume înfricoșătoare iar oamenii sunt foarte ciudați - de parcă nu ar trăi deloc. De ce este asta? Știi ceva despre asta?
– Cine ți-a spus că mama ta va pleca să trăiască din nou? – Stella a devenit interesată.
- Dean, desigur. Știe multe, locuiește aici de foarte mult timp. El a mai spus că atunci când noi (mama și cu mine) vom trăi din nou, familiile noastre vor fi diferite. Și atunci nu voi mai avea această mamă... De aceea vreau să fiu cu ea acum.
- Cum vorbești cu el, decanul tău? – a întrebat Stella. – Și de ce nu vrei să ne spui numele tău?
Dar este adevărat – încă nu știam numele ei! Și nici ei nu știau de unde vine...
– Mă numesc Maria... Dar asta chiar contează aici?
- Sigur! – a râs Stella. - Cum pot comunica cu tine? Când pleci, îți vor da un nou nume, dar cât vei fi aici, va trebui să trăiești cu cel vechi. Ai vorbit cu altcineva de aici, fata Maria? – a întrebat Stella, sărind de la un subiect la altul din obișnuință.
„Da, am vorbit...”, a spus fetița ezitantă. „Dar sunt atât de ciudați aici.” Și atât de nefericiți... De ce sunt atât de nefericiți?
– Ceea ce vezi aici favorizează fericirea? – Am fost surprins de întrebarea ei. – Chiar și „realitatea” locală în sine ucide orice speranță dinainte!... Cum poți fi fericit aici?
- Nu ştiu. Când sunt cu mama, mi se pare că aș putea fi fericit și aici... Adevărat, aici este foarte înfricoșător și ei chiar nu-i place aici... Când am spus că am fost de acord să rămân cu ea, a țipat la mine și a spus că eu sunt „ghinionul ei fără creier”... Dar nu sunt jignit... Știu că e doar speriată. Ca si mine...
– Poate că a vrut doar să te protejeze de decizia ta „extremă” și a vrut doar să te întorci la „etajul” tău? – întrebă Stella cu grijă, ca să nu jignească.
– Nu, desigur... Dar mulțumesc pentru cuvintele bune. Mama îmi spunea adesea altceva nume bune, chiar și pe Pământ... Dar știu că asta nu este din mânie. Pur și simplu era nefericită că m-am născut și îmi spunea adesea că i-am distrus viața. Dar nu a fost vina mea, nu-i așa? Am încercat întotdeauna să o fac fericită, dar din anumite motive nu am avut prea mult succes... Și nu am avut niciodată un tată. – Maria era foarte tristă, iar vocea îi tremura, de parcă era gata să plângă.
Stella și cu mine ne-am uitat una la alta și eram aproape sigură că o vizitau gânduri asemănătoare... Deja nu-mi plăcea cu adevărat această „mamă” răsfățată și egoistă, căreia, în loc să-și facă ea însăși griji pentru copilul ei, nu-i păsa de sacrificiul lui eroic am înțeles cât de cât și, în plus, am și rănit-o dureros.
„Dar Dean spune că sunt bun și că îl fac foarte fericit!” – bolborosi mai veselă fetița. „Și vrea să fie prieten cu mine.” Și alții pe care i-am întâlnit aici sunt foarte reci și indiferenți, și uneori chiar răi... Mai ales cei care au monștri atașați...
„Monștri, ce?...” nu am înțeles.
- Ei bine, au monștri groaznici care stau pe spate și le spun ce trebuie să facă. Și dacă nu ascultă, monștrii își bat joc de ei îngrozitor... Am încercat să vorbesc cu ei, dar acești monștri nu îmi permit.
Nu am înțeles absolut nimic din această „explicație”, dar chiar faptul că unele ființe astrale torturau oameni nu putea rămâne „explorat” de noi, așa că am întrebat-o imediat cum putem vedea acest fenomen uimitor.
- O, da peste tot! Mai ales la „muntele negru”. Iată-l, în spatele copacilor. Vrei să mergem și noi cu tine?
- Desigur, vom fi prea fericiți! – a răspuns imediat Stella încântată.
Sincer să fiu, nici nu am zâmbit cu adevărat la perspectiva de a mă întâlni cu altcineva, „înfiorător și de neînțeles”, mai ales singur. Dar interesul a învins frica și noi, desigur, am fi plecat, în ciuda faptului că ne era puțin frică... Dar când un astfel de apărător precum Dean a mers cu noi, a devenit imediat mai distractiv...
Și apoi, după o scurtă clipă, în fața ochilor noștri s-a desfășurat adevăratul Iad, larg deschis de uimire... Viziunea amintea de picturile lui Bosch (sau Bosc, în funcție de limba în care îl traduci), un artist „nebun”. care a șocat odată întreaga lume cu lumea sa de artă... El, desigur, nu era nebun, ci era pur și simplu un văzător care dintr-un motiv oarecare putea vedea doar Astralul inferior. Dar trebuie să-i dăm cuvenția - l-a portretizat superb... I-am văzut picturile într-o carte care se afla în biblioteca tatălui meu și încă mi-am amintit senzația ciudată pe care o aveau majoritatea picturilor lui...
„Ce groază!...” șopti Stella șocată.
S-ar putea spune, probabil, că am văzut deja multe aici, pe „etale”... Dar nici măcar noi nu ne-am putut imagina asta în cel mai groaznic coșmar al nostru!.. În spatele „stâncii negre” s-a deschis ceva complet de neconceput. .. Arăta ca un „caun” uriaș, plat, săpat în stâncă, în fundul căruia clocotea „lavă” purpurie... Aerul fierbinte „a izbucnit” peste tot cu bule stranii și roșiatice sclipitoare, din care izbucneau aburi opărțitori. și a căzut în picături mari la pământ, sau la oamenii care au căzut sub el în acel moment... S-au auzit țipete sfâșietoare, dar imediat au tăcut, în timp ce cele mai dezgustătoare făpturi stăteau pe spatele aceluiași oameni, care cu un Privirea mulțumită și-a „stăpânit” victimele, fără să acorde nici cea mai mică atenție suferinței lor... Sub picioarele goale ale oamenilor, pietrele fierbinți s-au înroșit, pământul purpuriu, care izbucnește de căldură, bolboia și „topea”... Stropi de fierbinte aburii au izbucnit prin crăpături uriașe și, arzând picioarele ființelor umane care plângeau de durere, au fost duși în înălțimi, evaporându-se cu un fum ușor ... Și chiar în mijlocul „gropii” curgea un râu larg de foc, roșu strălucitor, în care, din când în când, aceiași monștri dezgustători aruncau pe neașteptate una sau alta entitate chinuită, care, căzând, nu făcea decât un strop scurt de scântei portocalii, apoi dar, transformându-se pentru o clipă într-un nor alb pufos, a dispărut. .. pentru totdeauna... A fost un adevărat Iad, iar eu și Stella am vrut să „dispărem” de acolo cât mai curând posibil...
„Ce vom face?” șopti Stella cu groază liniștită. - Vrei să mergi acolo jos? Putem face ceva pentru a-i ajuta? Uite cati sunt!...
Stăteam pe o stâncă negru-maro, uscată de căldură, observând „pură” plină de groază de durere, deznădejde și violență care se întindea dedesubt și ne-am simțit atât de neputincios de neputincioși, încât chiar și războinica mea Stella și-a îndoit categoric „aripile” ciufulite. .” „și a fost gata la primul apel să se grăbească la propriul „etaj” superior, atât de drag și de încredere...

Material de pe Wikipedia - enciclopedia liberă

Definiție și proprietăți

Complexul zero nu are un logaritm deoarece exponentul complex nu ia valoarea zero. Non-zero $z$ poate fi reprezentat sub formă demonstrativă:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$ Unde $k$- întreg arbitrar

Apoi $\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z$ se gaseste prin formula:

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash left(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash right)$

Aici $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$- logaritm real. Din aceasta rezultă:

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash dots)$

Exemple de valori logaritmice complexe

Să prezentăm valoarea principală a logaritmului ( $\backslash ln$) și expresia sa generală ( $\backslash mathrm(Ln)$) pentru unele argumente:

$\backslash ln\; (1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

Ar trebui să fiți atenți când convertiți logaritmi complecși, ținând cont de faptul că aceștia au mai multe valori și, prin urmare, egalitatea logaritmilor oricăror expresii nu implică egalitatea acestor expresii. Exemplu eronat raţionament:

$i\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$- o greșeală evidentă.

Rețineți că în stânga este valoarea principală a logaritmului, iar în dreapta este valoarea din ramura subiacentă ( $k=-1$). Cauza erorii este utilizarea neglijentă a proprietății $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; b$, care, în general, implică în cazul complex întregul set infinit de valori ale logaritmului, și nu doar valoarea principală.

Funcția logaritmică complexă și suprafața Riemann

Datorită conexiunii sale simple, suprafața Riemann a logaritmului este o acoperire universală pentru planul complex fără punct $0$.

Continuare analitică

Logaritmul unui număr complex poate fi definit și ca continuarea analitică a logaritmului real la întregul plan complex. Lasă curba $\backslash Gamma$începe de la unu, nu trece prin zero și nu traversează partea negativă a axei reale. Apoi valoarea principală a logaritmului la punctul final $w$ strâmb $\backslash Gamma$ poate fi determinat prin formula:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash over\; u)$

Dacă $\backslash Gamma$- o curbă simplă (fără auto-intersecții), apoi pentru numerele aflate pe ea, identitățile logaritmice pot fi folosite fără teamă, de exemplu:

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash forall\; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash colon\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

Ramura principală a funcției logaritmice este continuă și diferențiabilă pe întregul plan complex, cu excepția părții negative a axei reale, pe care partea imaginară se schimbă brusc în $2\backslash pi$. Dar acest fapt este o consecință a limitării artificiale a părții imaginare a valorii principale de către interval $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$. Dacă luăm în considerare toate ramurile funcției, atunci continuitatea are loc în toate punctele cu excepția zero, unde funcția nu este definită. Dacă rezolvi curba $\backslash Gamma$ traversează partea negativă a axei reale, apoi prima astfel de intersecție transferă rezultatul de la ramura principală a valorii în ramura adiacentă, iar fiecare intersecție ulterioară provoacă o deplasare similară de-a lungul ramurilor funcției logaritmice (vezi figura).

Din formula de continuare analitică rezultă că pe orice ramură a logaritmului:

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash peste\; z)$

Pentru orice cerc $S$, acoperind punctul $0$:

$\backslash oint\backslash limits\_S\; (dz\; \backslash over\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

Integrala este luată în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic). Această identitate stă la baza teoriei reziduurilor.

De asemenea, se poate defini continuarea analitică a logaritmului complex folosind serii cunoscute pentru cazul real:

{{{2}}}

(Rândul 1)

{{{2}}}

(Rândul 2)

Totuși, din forma acestor serii rezultă că la unu suma seriei este egală cu zero, adică seria se referă numai la ramura principală a funcției multivalorice a logaritmului complex. Raza de convergență a ambelor serii este 1.

Legătura cu funcții trigonometrice și hiperbolice inverse

$\backslash operatorname(Arcsin)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (i\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arsh)z\; =\; \backslash operatorname(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- sinus hiperbolic invers $\backslash operatorname(Arch)z=\backslash operatorname(Ln)\; \backslash left(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash right)$- cosinus hiperbolic invers $\backslash operatorname(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash right)$- tangenta hiperbolica inversa $\backslash operatorname(Arcth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash right)$- cotangentă hiperbolică inversă

Schiță istorică

Primele încercări de a extinde logaritmii la numere complexe au fost făcute la începutul secolelor XVII-XVIII de către Leibniz și Johann Bernoulli, dar nu au reușit să creeze o teorie holistică, în primul rând pentru că însuși conceptul de logaritm nu era încă clar definit. Discuția pe această problemă a avut loc mai întâi între Leibniz și Bernoulli, iar la mijlocul secolului al XVIII-lea între D’Alembert și Euler. Bernoulli și D'Alembert credeau că ar trebui stabilit $\backslash log(-x)\; =\; \backslash log(x)$, în timp ce Leibniz a demonstrat că logaritmul unui număr negativ este un număr imaginar. Teoria completă a logaritmilor numerelor negative și complexe a fost publicată de Euler în 1747-1751 și nu este în esență diferită de cea modernă. Deși dezbaterea a continuat (D'Alembert și-a apărat punctul de vedere și l-a argumentat în detaliu într-un articol din Enciclopedia sa și în alte lucrări), abordarea lui Euler a primit recunoaștere universală până la sfârșitul secolului al XVIII-lea.

Scrieți o recenzie despre articolul „Logaritm complex”

Literatură

Teoria logaritmilor

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 p.
• Sveșnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. - M.: Nauka, 1967. - 304 p.
• Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - ed. al 6-lea. - M.: Nauka, 1966. - 680 p.

Istoria logaritmilor

• Matematica secolului al XVIII-lea // / Editat de A. P. Yushkevich, în trei volume. - M.: Știință, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (eds.). Matematica secolului al XIX-lea. Geometrie. Teoria funcţiilor analitice. - M.: Știință, 1981. - T. II.

Note

1. Funcția logaritmică. // . - M.: Enciclopedia Sovietică, 1982. - T. 3.
2. , Volumul II, p. 520-522..
3. , Cu. 623..
4. , Cu. 92-94..
5. , Cu. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovici V. A.. - M.: Nauka, 1982. - P. 112. - (Biblioteca Kvant, numărul 21).
7. , Volumul II, p. 522-526..
8. , Cu. 624..
9. , Cu. 325-328..
10. Rybnikov K. A. Istoria matematicii. În două volume. - M.: Editura. Universitatea de Stat din Moscova, 1963. - T. II. - P. 27, 230-231..
11. , Cu. 122-123..
12. Klein F.. - M.: Știință, 1987. - T. II. Geometrie. - p. 159-161. - 416 s.

Un fragment care caracterizează logaritmul complex

Era clar că acest bărbat puternic și ciudat se afla sub influența irezistibilă exercitată asupra lui de această fată întunecată, grațioasă și iubitoare.
Rostov a observat ceva nou între Dolokhov și Sonya; dar nu și-a definit singur ce fel de relație nouă era aceasta. „Toți sunt îndrăgostiți de cineva de acolo”, se gândi el despre Sonya și Natasha. Dar nu era la fel de confortabil cu Sonya și Dolokhov ca înainte și a început să fie acasă mai rar.
Din toamna lui 1806, totul a început din nou să vorbească despre războiul cu Napoleon și mai fervent decât anul trecut. Nu numai că au fost numiți recruți, ci și încă 9 războinici din o mie. Peste tot l-au blestemat pe Bonaparte cu anatemă, iar la Moscova s-a vorbit doar despre războiul care urma. Pentru familia Rostov, întregul interes al acestor pregătiri pentru război a constat doar în faptul că Nikolushka nu ar fi de acord să rămână la Moscova și a așteptat doar sfârșitul concediului lui Denisov pentru a merge cu el la regiment după vacanță. Plecarea viitoare nu numai că nu l-a împiedicat să se distreze, dar l-a și încurajat să facă acest lucru. Își petrecea cea mai mare parte a timpului în afara casei, la cine, serile și baluri.

XI
În a treia zi de Crăciun, Nikolai a luat cina acasă, ceea ce În ultima vreme i s-a întâmplat rar. A fost oficial o cină de rămas bun, din moment ce el și Denisov plecau la regiment după Bobotează. Aproximativ douăzeci de oameni luau prânzul, inclusiv Dolokhov și Denisov.
Niciodată în casa Rostov aerul iubirii, atmosfera iubirii nu s-a făcut simțit cu atâta forță ca în aceste sărbători. „Prinți clipe de fericire, forțați-vă să iubiți, îndrăgostiți-vă! Doar acest lucru este real în lume - restul este o prostie. Și asta este tot ce facem aici”, a spus atmosfera. Nikolai, ca întotdeauna, după ce a torturat două perechi de cai și neavând timp să viziteze toate locurile unde trebuia să fie și unde era chemat, a ajuns acasă chiar înainte de prânz. Imediat ce a intrat, a observat și a simțit atmosfera tensionată, iubitoare din casă, dar a observat și o ciudată confuzie domnind între unii dintre membrii societății. Sonya, Dolokhov, bătrâna contesă și micuța Natasha au fost deosebit de încântați. Nikolai și-a dat seama că ceva urma să se întâmple înainte de cină între Sonya și Dolokhov și, cu sensibilitatea sa caracteristică a inimii, a fost foarte blând și atent în timpul cinei în a trata amândoi. În aceeași seară a celei de-a treia zile de sărbători trebuia să fie unul din acele baluri la Yogel (profesorul de dans), pe care îl dădea în vacanță tuturor elevilor și elevilor săi.
- Nikolenka, vrei să mergi la Yogel? Te rog du-te”, i-a spus Natasha, „te-a rugat în mod special, iar Vasily Dmitrich (era Denisov) va merge”.
„Oriunde mă duc la ordinul domnului Atena!”, a spus Denisov, care s-a așezat în glumă în casa Rostov, la poalele cavalerei Natasha, „pas de chale [dansul cu șal] este gata să danseze”.
- Dacă am timp! „Le-am promis Arkharovilor că este seara lor”, a spus Nikolai.
— Și tu?... se întoarse spre Dolokhov. Și tocmai acum am întrebat asta, am observat că acest lucru nu ar fi trebuit să fie întrebat.
„Da, poate...” a răspuns Dolokhov rece și supărat, uitându-se la Sonya și, încruntat, exact cu aceeași privire în care se uita la Pierre la cina clubului, se uită din nou la Nikolai.
„Există ceva”, gândi Nikolai, iar această presupunere a fost confirmată și de faptul că Dolokhov a plecat imediat după cină. A sunat-o pe Natasha și a întrebat-o ce este?
— Te căutam, spuse Natasha, alergând spre el. „Ți-am spus, tot nu ai vrut să crezi”, a spus ea triumfătoare, „el a cerut-o în căsătorie pe Sonya”.
Oricât de puțin a făcut Nikolai cu Sonya în acest timp, ceva părea să iasă în el când a auzit asta. Dolokhov a fost un meci decent și în unele privințe un meci genial pentru orfana fără zestre Sonya. Din punctul de vedere al bătrânei contese și al lumii, era imposibil să-l refuzi. Și, prin urmare, primul sentiment al lui Nikolai când a auzit asta a fost furia împotriva Sonyei. Se pregătea să spună: „Și grozav, desigur, trebuie să uităm promisiunile din copilărie și să acceptăm oferta”; dar nu a avut timp sa spuna inca...
- Iti poti imagina! Ea a refuzat, a refuzat complet! – a vorbit Natasha. „A spus că iubește pe altcineva”, a adăugat ea după o scurtă tăcere.
„Da, Sonya mea nu ar fi putut face altfel!” gândi Nikolai.
„Oricât de mult a întrebat-o mama, a refuzat și știu că nu va schimba ceea ce a spus...
- Și mama a întrebat-o! – spuse Nikolai cu reproș.
— Da, spuse Natasha. - Știi, Nikolenka, nu fi supărată; dar știu că nu te vei căsători cu ea. Știu, Dumnezeu știe de ce, știu sigur că nu te vei căsători.
— Ei bine, nu știi asta, spuse Nikolai; – dar trebuie să vorbesc cu ea. Ce frumusețe este Sonya asta! – adăugă el zâmbind.
- Este atât de frumos! ți-o trimit. - Și Natasha, sărutându-și fratele, a fugit.
Un minut mai târziu a intrat Sonya, speriată, confuză și vinovată. Nikolai s-a apropiat de ea și i-a sărutat mâna. Aceasta a fost prima dată în această vizită când au vorbit față în față și despre dragostea lor.
„Sophie”, spuse el la început timid, apoi din ce în ce mai îndrăzneț, „dacă vrei să refuzi nu doar un meci strălucit și profitabil; dar este un om minunat, nobil... este prietenul meu...
îl întrerupse Sonya.
— Am refuzat deja, spuse ea grăbită.
- Dacă refuzi pentru mine, atunci mi-e teamă că pe mine...
l-a întrerupt din nou Sonya. Ea îl privi cu ochi rugători, înspăimântați.
„Nicolas, nu-mi spune asta”, a spus ea.
- Nu, trebuie. Poate că aceasta este suficientă [aroganță] din partea mea, dar este mai bine să spun. Dacă refuzi pentru mine, atunci trebuie să-ți spun tot adevărul. Te iubesc, cred, mai mult decât pe oricine...
— Este suficient pentru mine, spuse Sonya, înroșindu-se.
- Nu, dar m-am îndrăgostit de o mie de ori și voi continua să mă îndrăgostesc, deși nu am un asemenea sentiment de prietenie, încredere, dragoste pentru nimeni ca pentru tine. Atunci sunt tânăr. Maman nu vrea asta. Ei bine, doar că nu promit nimic. Și vă rog să vă gândiți la propunerea lui Dolokhov”, a spus el, având dificultăți în a pronunța numele de familie al prietenului său.
- Nu-mi spune asta. Eu nu vreau nimic. Te iubesc ca pe un frate și te voi iubi mereu și nu mai am nevoie de nimic.
„Ești un înger, nu sunt vrednic de tine, dar mi-e teamă doar să nu te înșel.” – Nikolai i-a sărutat din nou mâna.

Yogel a avut cele mai distractive mingi din Moscova. Așa au spus mamele, uitându-se la adolescentele [fetele] lor care își făceau pașii nou învățați; asta au spus chiar adolescenții și adolescenții, [fete și băieți] care au dansat până când au căzut; aceste fete și bărbați mari care au venit la aceste baluri cu ideea de a le condescende și de a găsi cea mai bună distracție în ele. În același an, la aceste baluri au avut loc două căsătorii. Cele două prințese drăguțe ale soților Gorceakov și-au găsit pretendenți și s-au căsătorit, și cu atât mai mult au lansat aceste mingi în glorie. Ceea ce era deosebit la aceste baluri era că nu exista gazdă și gazdă: acolo era Yogelul bun, ca niște pene zburătoare, târâind după regulile artei, care accepta bilete la lecții de la toți oaspeții săi; a fost că doar cei care au vrut să danseze și să se distreze, precum fetele de 13 și 14 ani care își îmbracă prima dată rochii lungi, vor să meargă la balurile astea. Toată lumea, cu rare excepții, era sau părea drăguță: toți zâmbeau atât de entuziasmați și ochii li s-au luminat atât de mult. Uneori, chiar și cei mai buni studenți dansau pas de chale, dintre care cea mai bună era Natasha, remarcată prin harul ei; dar la acest ultim bal s-au dansat doar ecozaze, engleze si mazurca, care tocmai intrase la moda. Sala a fost dusă de Yogel în casa lui Bezukhov, iar balul a fost un mare succes, după cum spuneau toată lumea. Erau o mulțime de fete drăguțe, iar doamnele de la Rostov erau printre cele mai bune. Amândoi erau deosebit de fericiți și veseli. În acea seară, Sonya, mândră de propunerea lui Dolokhov, de refuzul și explicația ei cu Nikolai, încă se învârtea acasă, nepermițându-i fetei să-și termine împletiturile, iar acum strălucea până la capăt de o bucurie impetuoasă.
Natasha, nu mai puțin mândră că a fost acolo rochie lunga, la balul adevărat, a fost și mai fericită. Ambii purtau rochii albe de muselina cu panglici roz.
Natasha s-a îndrăgostit din momentul în care a intrat în minge. Nu era îndrăgostită de nimeni anume, dar era îndrăgostită de toată lumea. Cel la care s-a uitat în momentul în care s-a uitat era cel de care era îndrăgostită.
- O, ce bine! – spunea ea, alergând spre Sonya.
Nikolai și Denisov s-au plimbat prin săli, uitându-se la dansatori cu afecțiune și cu patron.
„Ce dulce va fi”, a spus Denisov.
- OMS?
„Athena Natasha”, a răspuns Denisov.
„Și cum dansează ea, ce măreție!” după o scurtă tăcere, spuse el din nou.
- Despre cine vorbești?
„Despre sora ta”, a strigat Denisov furios.
Rostov rânji.
– Mon cher comte; vous etes l"un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez", a spus micuțul Jogel, apropiindu-se de Nikolai. "Voyez combien de jolies demoiselles." [Dragul meu conte, ești unul dintre cei mai buni elevi ai mei. Trebuie să dansezi. Uite ce fete drăguțe!] – Aceeași cerere i-a făcut și lui Denisov, și fostul său elev.
„Non, mon cher, je fe"ai tapisse"ie, [Nu, draga mea, voi sta lângă perete", a spus Denisov. „Nu-ți amintești cât de rău am folosit lecțiile tale?”
- Oh nu! – spuse în grabă Jogel mângâindu-l. – Ai fost pur și simplu neatent, dar ai avut abilități, da, ai avut abilități.
S-a jucat mazurca nou introdusă; Nikolai nu l-a putut refuza pe Yogel și a invitat-o ​​pe Sonya. Denisov s-a așezat lângă bătrâne și, sprijinindu-și coatele de sabie, bătând cu bătaia, a povestit ceva vesel și le-a făcut pe bătrâne să râdă, uitându-se la tinerii dansatori. Yogel, în primul cuplu, a dansat cu Natasha, mândria lui și cea mai bună elevă. Mișcându-și cu blândețe picioarele în pantofi, Yogel a fost primul care a traversat hol cu ​​Natasha, care era timidă, dar făcea pași cu sârguință. Denisov nu și-a luat ochii de la ea și a bătut bătaia cu sabia, cu o expresie care spunea limpede că el însuși nu dansa doar pentru că nu a vrut, și nu pentru că nu putea. În mijlocul figurii, l-a chemat pe Rostov, care trecea pe lângă el.
„Nu este deloc la fel”, a spus el. - Este aceasta o mazurcă poloneză? Și dansează excelent. - Știind că Denisov era chiar faimos în Polonia pentru priceperea sa de a dansa mazurca poloneză, Nikolai a alergat la Natasha:
- Du-te și alege Denisov. Iată-l că dansează! Miracol! - el a spus.
Când a venit din nou rândul Natașei, s-a ridicat și, mângâindu-și repede pantofii cu fundături, timid, a alergat singură pe hol până în colțul în care stătea Denisov. A văzut că toată lumea se uita la ea și așteaptă. Nikolai a văzut că Denisov și Natasha se certau zâmbind și că Denisov refuza, dar zâmbea bucuros. A alergat.
„Te rog, Vasily Dmitrich”, a spus Natasha, „să mergem, te rog”.
— Da, asta e, g’athena, spuse Denisov.
— Ei bine, este suficient, Vasya, spuse Nikolai.
„Parcă ar încerca să-l convingă pe pisica Vaska”, a spus Denisov în glumă.
„Îți voi cânta toată seara”, a spus Natasha.
- Vrăjitoarea îmi va face orice! – spuse Denisov și și-a desfăcut sabia. A ieșit din spatele scaunelor, și-a luat cu fermitate doamna de mână, și-a ridicat capul și a lăsat piciorul în jos, așteptând tact. Doar călare și în mazurcă nu se vedea provocat pe verticală Denisov și părea să fie același tânăr pe care îl simțea el însuși. După ce a așteptat ritmul, a aruncat o privire triumfătoare și jucăușă către doamna lui din lateral, a bătut brusc cu un picior și, ca o minge, a sărit elastic de pe podea și a zburat în cerc, târându-și doamna cu el. A zburat în tăcere la jumătatea holului pe un picior și i se părea că nu vedea scaunele stând în fața lui și se repezi direct spre ele; dar deodată, bătând din pinteni și desfăcându-și picioarele, s-a oprit pe călcâie, a rămas acolo o secundă, cu vuiet de pinteni, și-a bătut picioarele într-un loc, s-a întors repede și, ciocănindu-și piciorul drept cu piciorul stâng, a zburat din nou în cerc. Natasha a ghicit ce intenționa să facă și, fără să știe cum, l-a urmat - predându-se lui. Acum o înconjura, când pe dreapta, când pe mâna stângă, când căzând în genunchi, a înconjurat-o în jurul său și din nou a sărit în sus și a alergat înainte cu atâta viteză, de parcă ar fi vrut să alerge prin toate camerele. fără a respira; apoi deodată s-a oprit iar și iar și a făcut un genunchi nou și neașteptat. Când el, învârtind-o cu viteză pe doamna în fața ei, și-a rupt pintenul, făcându-și o plecăciune în fața ei, Natasha nici măcar nu i-a făcut o reverență. Se uită la el uluită, zâmbind de parcă nu l-ar fi recunoscut. - Ce este asta? - ea a spus.
În ciuda faptului că Yogel nu a recunoscut această mazurcă ca fiind reală, toată lumea a fost încântată de priceperea lui Denisov, au început să-l aleagă neîncetat, iar bătrânii, zâmbind, au început să vorbească despre Polonia și despre vremurile bune. Denisov, îmbujorat de mazurcă și ștergându-se cu o batistă, s-a așezat lângă Natasha și nu a părăsit-o pe tot parcursul mingii.

Funcția logaritmică

O funcție logaritmică este o funcție de forma f(x) = logax, definită la

Domeniu: . Interval de valori: . Funcția este strict crescătoare pentru a > 1 și strict descrescătoare pentru 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Linia dreaptă x = 0 este o asimptotă verticală stângă, deoarece pentru a > 1 și pentru 0< a < 1.

Derivata functiei logaritmice este egala cu:

Funcția logaritmică realizează un izomorfism între grupul multiplicativ al numerelor reale pozitive și grupul aditiv al tuturor numerelor reale.

Logaritm complex

Definiție și proprietăți

Pentru numerele complexe, logaritmul este definit în același mod ca unul real. În practică, se folosește aproape exclusiv logaritmul complex natural, pe care îl notăm și îl definim ca mulțime a tuturor numerelor complexe z astfel încât ez = w. Logaritmul complex există pentru oricine, iar partea sa reală este determinată în mod unic, în timp ce partea imaginară are set infinit valorile. Din acest motiv se numește funcție cu mai multe valori. Dacă reprezentăm w în formă exponențială:

atunci logaritmul se găsește prin formula:

Iată un logaritm real, r = | w | , k este un întreg arbitrar. Valoarea obținută când k = 0 se numește valoarea principală a logaritmului natural complex; Se obișnuiește să se ia valoarea argumentului în intervalul (? р,р). Funcția corespunzătoare (deja cu o singură valoare) se numește ramura principală a logaritmului și se notează. Uneori valoarea logaritmului care nu lie pe ramura principală este de asemenea notat cu.

Din formula rezulta:

Partea reală a logaritmului este determinată de formula:

Logaritmul unui număr negativ se găsește folosind formula.

Funcția exponențială a unei variabile reale (cu bază pozitivă) se determină în mai mulți pași. În primul rând, pentru valorile naturale - ca un produs al factorilor egali. Definiția se extinde apoi la numere întregi negative și la valori diferite de zero pentru reguli. În continuare, luăm în considerare indicatorii fracționari la care valoarea functie exponentiala determinată cu ajutorul rădăcinilor: . Pentru valorile iraționale, definiția este deja legată de conceptul de bază al analizei matematice - cu trecerea la limită, din motive de continuitate. Toate aceste considerații nu sunt în niciun caz aplicabile încercărilor de a extinde funcția exponențială la valori complexe ale indicatorului și ceea ce este, de exemplu, este complet neclar.

Pentru prima dată, o putere cu un exponent complex cu o bază naturală a fost introdusă de Euler pe baza unei analize a unui număr de construcții de calcul integral. Uneori, expresii algebrice foarte asemănătoare, atunci când sunt integrate, dau răspunsuri complet diferite:

În același timp, aici a doua integrală este obținută formal din prima atunci când este înlocuită cu

Din aceasta putem concluziona că, prin definirea corectă a unei funcții exponențiale cu un exponent complex, funcțiile trigonometrice inverse sunt legate de logaritmi și astfel funcția exponențială este legată de cele trigonometrice.

Euler a avut curajul și imaginația să dea o definiție rezonabilă pentru o funcție exponențială cu o bază, și anume:

Aceasta este o definiție și, prin urmare, această formulă nu poate fi dovedită; se pot căuta doar argumente în favoarea caracterului rezonabil și oportunității unei astfel de definiții. Analiza matematică oferă o mulțime de argumente de acest fel. Ne vom limita la unul singur.

Se ştie că în realitate există o relaţie limitativă: . În partea dreaptă există un polinom care are sens și pentru valori complexe pentru . Limita unei secvențe de numere complexe este determinată în mod natural. O secvență este considerată convergentă dacă șirurile părților reale și imaginare converg și este acceptată

Să-l găsim. Pentru a face acest lucru, să ne întoarcem la forma trigonometrică și pentru argument vom selecta valori din interval. Cu această alegere este clar că pentru . Mai departe,

Pentru a ajunge la limită, trebuie să verificați existența limitelor și să găsiți aceste limite. Este clar că

Deci, în expresie

partea reală tinde spre , partea imaginară tinde spre așa

Acest argument simplu oferă unul dintre argumentele în favoarea definiției lui Euler a funcției exponențiale.

Să stabilim acum că atunci când înmulțim valorile unei funcții exponențiale, exponenții se adună. Într-adevăr:

2. Formulele lui Euler.

Să punem în definiția funcției exponențiale. Primim:

Înlocuind b cu -b, obținem

Adunând și scăzând aceste egalități termen cu termen, găsim formulele

numite formulele lui Euler. Ele stabilesc o legătură între funcții trigonometriceși exponențială cu exponenți imaginari.

3. Logaritmul natural al unui număr complex.

Un număr complex dat în formă trigonometrică poate fi scris sub forma Această formă de scriere a unui număr complex se numește exponențială. Ea păstrează toate proprietățile bune ale formei trigonometrice, dar este și mai concis. În plus, de aceea, este firesc să presupunem că partea reală a logaritmului unui număr complex este logaritmul modulului său, iar partea imaginară este argumentul său. Acest lucru explică într-o oarecare măsură proprietatea „logaritmică” a argumentului - argumentul produsului este egal cu suma argumentelor factorilor.

Funcția exponențială a unei variabile reale (cu bază pozitivă) se determină în mai mulți pași. În primul rând, pentru valorile naturale - ca un produs al factorilor egali. Definiția se extinde apoi la numere întregi negative și la valori diferite de zero pentru reguli. În continuare, luăm în considerare exponenții fracționali în care valoarea funcției exponențiale este determinată folosind rădăcini: . Pentru valorile iraționale, definiția este deja legată de conceptul de bază al analizei matematice - cu trecerea la limită, din motive de continuitate. Toate aceste considerații nu sunt în niciun caz aplicabile încercărilor de a extinde funcția exponențială la valori complexe ale indicatorului și ceea ce este, de exemplu, este complet neclar.

Pentru prima dată, o putere cu un exponent complex cu o bază naturală a fost introdusă de Euler pe baza unei analize a unui număr de construcții de calcul integral. Uneori, expresii algebrice foarte asemănătoare, atunci când sunt integrate, dau răspunsuri complet diferite:

În același timp, aici a doua integrală este obținută formal din prima atunci când este înlocuită cu

Din aceasta putem concluziona că, prin definirea corectă a unei funcții exponențiale cu un exponent complex, funcțiile trigonometrice inverse sunt legate de logaritmi și astfel funcția exponențială este legată de cele trigonometrice.

Euler a avut curajul și imaginația să dea o definiție rezonabilă pentru o funcție exponențială cu o bază, și anume:

Aceasta este o definiție și, prin urmare, această formulă nu poate fi dovedită; se pot căuta doar argumente în favoarea caracterului rezonabil și oportunității unei astfel de definiții. Analiza matematică oferă multe argumente de acest fel. Ne vom limita la unul singur.

Se ştie că în realitate există o relaţie limitativă: . În partea dreaptă există un polinom care are sens și pentru valori complexe pentru . Limita unei secvențe de numere complexe este determinată în mod natural. O secvență este considerată convergentă dacă șirurile părților reale și imaginare converg și este acceptată

Să-l găsim. Pentru a face acest lucru, să ne întoarcem la forma trigonometrică și pentru argument vom selecta valori din interval. Cu această alegere este clar că pentru . Mai departe,

Pentru a ajunge la limită, trebuie să verificați existența limitelor și să găsiți aceste limite. Este clar că

Deci, în expresie

partea reală tinde spre , partea imaginară tinde spre așa

Acest argument simplu oferă unul dintre argumentele în favoarea definiției lui Euler a funcției exponențiale.

Să stabilim acum că atunci când înmulțim valorile unei funcții exponențiale, exponenții se adună. Într-adevăr:

2. Formulele lui Euler.

Să punem în definiția funcției exponențiale. Primim:

Înlocuind b cu -b, obținem

Adunând și scăzând aceste egalități termen cu termen, găsim formulele

numite formulele lui Euler. Ele stabilesc o legătură între funcțiile trigonometrice și funcțiile exponențiale cu exponenți imaginari.

3. Logaritmul natural al unui număr complex.

Un număr complex dat în formă trigonometrică poate fi scris sub forma Această formă de scriere a unui număr complex se numește exponențială. Ea păstrează toate proprietățile bune ale formei trigonometrice, dar este și mai concis. În plus, de aceea, este firesc să presupunem că partea reală a logaritmului unui număr complex este logaritmul modulului său, iar partea imaginară este argumentul său. Acest lucru explică într-o oarecare măsură proprietatea „logaritmică” a argumentului - argumentul produsului este egal cu suma argumentelor factorilor.