1. Sisteme ecuatii lineare cu parametru
Sistemele de ecuații liniare cu un parametru sunt rezolvate prin aceleași metode de bază ca și sistemele obișnuite de ecuații: metoda substituției, metoda adunării ecuațiilor și metoda grafică. Cunoștințe de interpretare grafică sisteme liniare facilitează răspunsul la întrebarea despre numărul de rădăcini și existența acestora.
Exemplul 1.
Găsiți toate valorile parametrului a pentru care sistemul de ecuații nu are soluții.
(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.
Soluţie.
Să ne uităm la mai multe moduri de a rezolva această sarcină.
1 cale. Folosim proprietatea: sistemul nu are soluții dacă raportul coeficienților din fața lui x este egal cu raportul coeficienților din fața lui y, dar nu este egal cu raportul termenilor liberi (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Atunci noi avem:
1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 sau sistem
(și 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.
Din prima ecuație a 2 = 4, deci, ținând cont de condiția ca a ≠ 2, obținem răspunsul.
Răspuns: a = -2.
Metoda 2. Rezolvăm prin metoda substituției.
(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,
((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.
După ce scoatem factorul comun y din paranteze în prima ecuație, obținem:
((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.
Sistemul nu are soluții dacă prima ecuație nu are soluții, adică
(și 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.
Evident, a = ±2, dar ținând cont de a doua condiție, răspunsul vine doar cu un răspuns în minus.
Răspuns: a = -2.
Exemplul 2.
Găsiți toate valorile parametrului a pentru care are sistemul de ecuații set infinit decizii.
(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.
Soluţie.
Conform proprietății, dacă raportul dintre coeficienții lui x și y este același și este egal cu raportul membrilor liberi ai sistemului, atunci acesta are un număr infinit de soluții (adică a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Prin urmare 8/a = a/2 = 2/1. Rezolvând fiecare dintre ecuațiile rezultate, aflăm că a = 4 este răspunsul în acest exemplu.
Răspuns: a = 4.
2. Sisteme de ecuații raționale cu un parametru
Exemplul 3.
(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.
Soluţie.
Să înmulțim prima ecuație a sistemului cu 2:
(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.
Scăzând a doua ecuație din prima, obținem 5|x| = 4 – a. Această ecuație va avea o soluție unică pentru a = 4. În alte cazuri, această ecuație va avea două soluții (pentru a< 4) или ни одного (при а > 4).
Răspuns: a = 4.
Exemplul 4.
Găsiți toate valorile parametrului a pentru care sistemul de ecuații are o soluție unică.
(x + y = a,
(y – x 2 = 1.
Soluţie.
Vom rezolva acest sistem folosind metoda grafică. Astfel, graficul celei de-a doua ecuații a sistemului este o parabolă ridicată de-a lungul axei Oy în sus cu un segment de unitate. Prima ecuație specifică un set de drepte paralele cu dreapta y = -x (poza 1). Din figură se vede clar că sistemul are o soluție dacă dreapta y = -x + a este tangentă la parabolă într-un punct cu coordonate (-0,5, 1,25). Înlocuind aceste coordonate în ecuația de linie dreaptă în loc de x și y, găsim valoarea parametrului a: 
1,25 = 0,5 + a;
Răspuns: a = 0,75.
Exemplul 5.
Folosind metoda substituției, aflați la ce valoare a parametrului a, sistemul are o soluție unică.
(ax – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.
Soluţie.
Din prima ecuație exprimăm y și îl înlocuim în a doua:
(y = ax – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.
Să reducem a doua ecuație la forma kx = b, care va avea o soluție unică pentru k ≠ 0. Avem:
ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;
a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.
Reprezentăm trinomul pătrat a 2 + 3a + 2 ca produs de paranteze
(a + 2)(a + 1), iar în stânga scoatem x din paranteze:
(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).
Evident, un 2 + 3a nu ar trebui să fie egal cu zero, prin urmare,
a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, ceea ce înseamnă a ≠ 0 și ≠ -3.
Răspuns: a ≠ 0; ≠ -3.
Exemplul 6.
Folosind metoda soluției grafice, determinați la ce valoare a parametrului sistemul are o soluție unică.
(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.
Soluţie.
Pe baza condiției, construim un cerc cu un centru la origine și o rază de 3 segmente unitare; aceasta este ceea ce este specificat de prima ecuație a sistemului
x 2 + y 2 = 9. A doua ecuație a sistemului (y = |x| + a) este o linie întreruptă. Prin utilizarea figura 2 Luăm în considerare toate cazurile posibile ale locației sale în raport cu cerc. Este ușor de observat că a = 3. 
Răspuns: a = 3.
Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi sisteme de ecuații?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
LA sarcini cu parametru poate include, de exemplu, căutarea soluțiilor pentru ecuații liniare și pătratice în vedere generala, studiul ecuației pentru numărul de rădăcini disponibile în funcție de valoarea parametrului.
Fără a aduce definiții detaliate, ca exemple, luați în considerare următoarele ecuații:
y = kx, unde x, y sunt variabile, k este un parametru;
y = kx + b, unde x, y sunt variabile, k și b sunt parametri;
ax 2 + bx + c = 0, unde x sunt variabile, a, b și c sunt un parametru.
Rezolvarea unei ecuații (inegalitate, sistem) cu un parametru înseamnă, de regulă, rezolvarea unui set infinit de ecuații (inegalități, sisteme).
Sarcinile cu un parametru pot fi împărțite în două tipuri:
A) condiția spune: rezolvați ecuația (inegalitatea, sistemul) - aceasta înseamnă, pentru toate valorile parametrului, găsiți toate soluțiile. Dacă cel puțin un caz rămâne neinvestigat, o astfel de soluție nu poate fi considerată satisfăcătoare.
b) este necesar să se precizeze valori posibile parametrii sub care ecuația (inegalitatea, sistemul) are anumite proprietăți. De exemplu, are o soluție, nu are soluții, are soluții, aparţinând intervalului etc. În astfel de sarcini, este necesar să se indice clar la ce valoare a parametrului este îndeplinită condiția necesară.
Parametrul, fiind un număr fix necunoscut, are un fel de dualitate aparte. În primul rând, este necesar să se țină cont de faptul că popularitatea asumată indică faptul că parametrul trebuie perceput ca un număr. În al doilea rând, libertatea de a manipula parametrul este limitată de obscuritatea acestuia. De exemplu, operațiunile de împărțire la o expresie care conține un parametru sau de extragere a rădăcinii unui grad par dintr-o astfel de expresie necesită cercetări preliminare. Prin urmare, este necesară atenție la manipularea parametrului.
De exemplu, pentru a compara două numere -6a și 3a, trebuie să luați în considerare trei cazuri:
1) -6a va fi mai mare decât 3a dacă a este un număr negativ;
2) -6a = 3a în cazul în care a = 0;
3) -6a va fi mai mic decât 3a dacă a este un număr pozitiv 0.
Soluția va fi răspunsul.
Să fie dată ecuația kx = b. Această ecuație este nota scurta un număr infinit de ecuații cu o variabilă.
La rezolvarea unor astfel de ecuații pot exista cazuri:
1. Fie k orice număr real care nu este egal cu zero și b orice număr din R, atunci x = b/k.
2. Fie k = 0 și b ≠ 0, ecuația inițială va lua forma 0 x = b. Evident, această ecuație nu are soluții.
3. Fie k și b numere egale cu zero, atunci avem egalitatea 0 x = 0. Soluția sa este orice număr real.
Un algoritm pentru rezolvarea acestui tip de ecuație:
1. Determinați valorile de „control” ale parametrului.
2. Rezolvați ecuația inițială pentru x pentru valorile parametrilor care au fost determinate în primul paragraf.
3. Rezolvați ecuația inițială pentru x pentru valorile parametrilor diferite de cele alese în primul paragraf.
4. Puteți scrie răspunsul în următoarea formă:
1) pentru ... (valorile parametrilor), ecuația are rădăcini ...;
2) pentru ... (valorile parametrilor), nu există rădăcini în ecuație.
Exemplul 1.
Rezolvați ecuația cu parametrul |6 – x| = a.
Soluţie.
Este ușor de observat că aici a ≥ 0.
Conform regulii modulului 6 – x = ±a, exprimăm x:
Răspuns: x = 6 ± a, unde a ≥ 0.
Exemplul 2.
Rezolvați ecuația a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 față de variabila x.
Soluţie.
Să deschidem parantezele: aх – а + 2х – 2 = 0
Să scriem ecuația în formă standard: x(a + 2) = a + 2.
Dacă expresia a + 2 nu este zero, adică dacă a ≠ -2, avem soluția x = (a + 2) / (a + 2), adică. x = 1.
Dacă a + 2 este egal cu zero, i.e. a = -2, atunci avem egalitatea corectă 0 x = 0, deci x este orice număr real.
Răspuns: x = 1 pentru a ≠ -2 și x € R pentru a = -2.
Exemplul 3.
Rezolvați ecuația x/a + 1 = a + x față de variabila x.
Soluţie.
Dacă a = 0, atunci transformăm ecuația în forma a + x = a 2 + ax sau (a – 1)x = -a(a – 1). Ultima ecuație pentru a = 1 are forma 0 x = 0, prin urmare x este orice număr.
Dacă a ≠ 1, atunci ultima ecuație va lua forma x = -a.
Această soluție poate fi ilustrată pe linia de coordonate (Fig. 1)
Răspuns: nu există soluții pentru a = 0; x – orice număr cu a = 1; x = -a pentru a ≠ 0 și a ≠ 1.
Metoda grafica
Să luăm în considerare o altă modalitate de a rezolva ecuațiile cu un parametru - grafic. Această metodă este folosită destul de des.
Exemplul 4.
În funcție de parametrul a, câte rădăcini are ecuația ||x| – 2| = a?
Soluţie.
Pentru a rezolva folosind metoda grafică, construim grafice ale funcțiilor y = ||x| – 2| și y = a (Fig. 2).
Desenul arată în mod clar cazuri posibile de locație a dreptei y = a și numărul de rădăcini din fiecare dintre ele.
Răspuns: ecuația nu va avea rădăcini dacă a< 0; два корня будет в случае, если a >2 și a = 0; ecuația va avea trei rădăcini în cazul lui a = 2; patru rădăcini - la 0< a < 2.
Exemplul 5.
La ce a ecuația 2|x| + |x – 1| = a are o singură rădăcină?
Soluţie.
Să descriem graficele funcțiilor y = 2|x| + |x – 1| și y = a. Pentru y = 2|x| + |x – 1|, extinzând modulele folosind metoda intervalului, obținem:
(-3x + 1, la x< 0,
y = (x + 1, pentru 0 ≤ x ≤ 1,
(3x – 1, pentru x > 1.
Pe Figura 3 Se vede clar că ecuația va avea o singură rădăcină numai atunci când a = 1.
Răspuns: a = 1.
Exemplul 6.
Determinați numărul de soluții ale ecuației |x + 1| + |x + 2| = a in functie de parametrul a?
Soluţie.
Graficul funcției y = |x + 1| + |x + 2| va fi o linie întreruptă. Vârfurile sale vor fi situate în punctele (-2; 1) și (-1; 1) (Figura 4).
Răspuns: dacă parametrul a este mai mic de unu, atunci ecuația nu va avea rădăcini; dacă a = 1, atunci soluția ecuației este o mulțime infinită de numere din intervalul [-2; -1]; dacă valorile parametrului a sunt mai mari decât unu, atunci ecuația va avea două rădăcini.
Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații cu un parametru?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Omul a folosit ecuații în antichitate, iar de atunci utilizarea lor a crescut. În matematică, există probleme în care este necesar să se caute soluții la ecuații liniare și pătratice în formă generală sau să se caute numărul de rădăcini pe care le are o ecuație în funcție de valoarea unui parametru. Toate aceste sarcini au parametri.
Luați în considerare următoarele ecuații ca exemplu ilustrativ:
\[y = kx,\] unde \ sunt variabile, \ este un parametru;
\[y = kx + b,\] unde \ sunt variabile, \ este un parametru;
\[аx^2 + bх + с = 0,\] unde \ este o variabilă, \[а, b, с\] este un parametru.
Rezolvarea unei ecuații cu un parametru înseamnă, de regulă, rezolvarea unui set infinit de ecuații.
Cu toate acestea, urmând un anumit algoritm, puteți rezolva cu ușurință următoarele ecuații:
1. Determinați valorile de „control” ale parametrului.
2. Rezolvați ecuația inițială pentru [\x\] cu valorile parametrilor definite în primul paragraf.
3. Rezolvați ecuația inițială pentru [\x\] pentru valorile parametrilor diferite de cele alese în primul paragraf.
Să presupunem că ni se oferă următoarea ecuație:
\[\mid 6 - x \mid = a.\]
După ce am analizat datele inițiale, este clar că un \[\ge 0.\]
Conform regulii modulului \ exprimăm \
Răspuns: \unde\
Unde pot rezolva o ecuație cu un parametru online?
Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https://site. O soluție online gratuită vă va permite să rezolvați ecuația online orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiuni video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Alăturați-vă grupului nostru, suntem întotdeauna bucuroși să vă ajutăm.
Pentru ce valori ale parametrului $a$ are cel puțin o soluție inegalitatea $()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0$?
Soluţie
Să reducem această inegalitate la un coeficient pozitiv pentru $x^2$:
$()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - (a + 2)x + 8a + 1< 0 .$
Să calculăm discriminantul: $D = (a + 2)^2 - 4(8a + 1) = a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a^2 - 28a$. Pentru ca această inegalitate să aibă o soluție, este necesar ca cel puțin un punct al parabolei să se afle sub axa $x$. Deoarece ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, acest lucru necesită ca trinomul pătrat din partea stângă a inegalității să aibă două rădăcini, adică discriminantul său să fie pozitiv. Ajungem la nevoia de a decide inegalitatea pătratică$a^2 - 28a > 0$. Trinomul pătrat $a^2 - 28a$ are două rădăcini: $a_1 = 0$, $a_2 = 28$. Prin urmare, inegalitatea $a^2 - 28a > 0$ este satisfăcută de intervalele $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.
Răspuns.$a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.
Pentru ce valori ale parametrului $a$ ecuația $(a-2)x^2-2ax+a+3=0$ are cel puțin o rădăcină, iar toate rădăcinile sunt pozitive?
Soluţie
Fie $a=2$. Atunci ecuația ia forma $() - 4x +5 = 0$, din care obținem că $x=\dfrac(5)(4)$ este o rădăcină pozitivă.
Să fie acum $a\ne 2$. Rezultă o ecuație pătratică. Să stabilim mai întâi la ce valori ale parametrului $a$ ecuația dată are rădăcini. Discriminantul său trebuie să fie nenegativ. Acesta este:
$ D = 4a^2 - 4(a-2)(a+3) =() -4a+24\geqslant 0\Leftrightarrow a\leqslant 6.$
Rădăcinile după condiție trebuie să fie pozitive, prin urmare, din teorema lui Vieta obținem sistemul:
$ \begin(cases)x_1 + x_2 = \dfrac(2a)(a - 2)>0,\\ x_1x_2 = \dfrac(a + 3)(a - 2)> 0,\\a\leqslant 6\end (cazuri) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases)a\in(- \infty;0)\cup(2; +\infty), \\ a\in(- \infty;-3)\cup( 2; +\infty), \\ a\in(-\infty;6] \end(cases)\quad\Leftrightarrow \quad a\in(-\infty;-3)\cup(2;6]. $
Combinăm răspunsurile și obținem setul necesar: $a\in(-\infty;-3)\cup$.
Răspuns.$a\in(-\infty;-3)\cup$.
Pentru ce valori ale parametrului $a$ nu are soluții inegalitatea $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$?
Soluţie
- Dacă $a = 0$, atunci această inegalitate degenerează în inegalitatea $5 \leqslant 0$ , care nu are soluții. Prin urmare, valoarea $a = 0$ satisface condițiile problemei.
- Dacă $a > 0$, atunci graficul trinomului pătratic din partea stângă a inegalității este o parabolă cu ramurile îndreptate în sus. Să calculăm $\dfrac(D)(4) = 4a^2 - 5a$. Inegalitatea nu are soluții dacă parabola este situată deasupra axei x, adică atunci când trinomul pătrat nu are rădăcini ($D< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из valori pozitive$a$ numere potrivite $a \in \left(0; \dfrac(5)(4)\right)$.
- Dacă $a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.
Răspuns.$a \in \left$ se află între rădăcini, deci trebuie să existe două rădăcini (adică $a\ne 0$). Dacă ramurile parabolei $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ sunt îndreptate în sus, atunci $y(-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) >0$ și $y(1) > 0$.
Cazul I. Fie $a > 0$. Apoi
$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \end(matrice) \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\( \begin(array)(l) a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end(array) \right.\quad \Leftrightarrow \quad a>3. $
Adică, în acest caz se dovedește că toate $a > 3$ sunt potrivite.
Cazul II. Să $a< 0$. Тогда
$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a =-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$
Adică, în acest caz se dovedește că toate $a sunt potrivite< -1$.
Răspuns.$a\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty)$
Găsiți toate valorile parametrului $a$, pentru fiecare dintre ele sistemul de ecuații
$ \begin(cases) x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end(cases) $
are exact două soluții.
Soluţie
Scădeți al doilea din primul: $(x-y)^2 = 1$. Apoi
$ \left[\begin(array)(l) x-y = 1, \\ x-y = -1 \end(array)\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin(array)(l) x = y+1, \\ x = y-1. \end(matrice)\dreapta. $
Înlocuind expresiile rezultate în a doua ecuație a sistemului, obținem două ecuații pătratice: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ și $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$. Discriminantul fiecăruia dintre ele este $D = 16a-4$.
Rețineți că nu se poate întâmpla ca perechea de rădăcini a primei ecuații pătratice să coincidă cu perechea de rădăcini a celei de-a doua ecuații pătratice, deoarece suma rădăcinilor primei este $-1$, iar suma celei de-a doua este 1 .
Aceasta înseamnă că fiecare dintre aceste ecuații trebuie să aibă o rădăcină, apoi sistemul original va avea două soluții. Adică $D = 16a - 4 = 0$.
Răspuns.$a=\dfrac(1)(4)$
Găsiți toate valorile parametrului $a$ pentru fiecare dintre care ecuația $4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ are două rădăcini.
Soluţie
Să rescriem ecuația ca:
$ 9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0.$
Se consideră funcția $f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$.
Când $x\geqslant 3$ primul modul este extins cu un semn plus, iar funcția ia forma: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$. Este evident că cu orice extindere a modulelor rezultatul va fi funcție liniară cu coeficientul $k\geqslant 5-3-1=1>0$, adică această funcție crește nedefinit pe un interval dat.
Să considerăm acum intervalul $x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.
Deci, am obținut că $x=3$ este punctul minim al acestei funcții. Aceasta înseamnă că pentru ca ecuația inițială să aibă două soluții, valoarea funcției în punctul minim trebuie să fie mai mică decât zero. Adică, următoarea inegalitate este valabilă: $f(3)<0$.
$ 12-|9-|3+a||>0 \quad \Leftrightarrow \quad |9-|3+a||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$
$\Săgeată stânga la dreapta\quad |3+a|< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24 Răspuns.$a \in (-24; 18)$ Pentru ce valori ale parametrului $a$ are o rădăcină unică ecuația $5^(2x)-3\cdot 5^x+a-1=0$? Să facem o înlocuire: $t = 5^x > 0$. Atunci ecuația inițială ia forma unei ecuații pătratice: $t^2-3t+a-1 =0$. Ecuația inițială va avea o singură rădăcină dacă această ecuație are o rădăcină pozitivă sau două rădăcini, dintre care una pozitivă și cealaltă negativă. Discriminantul ecuației este: $D = 13-4a$. Această ecuație va avea o rădăcină dacă discriminantul rezultat se dovedește a fi egal cu zero, adică pentru $a = \dfrac(13)(4)$. În acest caz, rădăcina $t=\dfrac(3)(2) > 0$, deci această valoare a $a$ este potrivită. Dacă există două rădăcini, dintre care una este pozitivă, cealaltă este nepozitivă, atunci $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ și $x_1x_2 = a - 1 \leqslant 0$ . Adică $a\in(-\infty;1]$ Răspuns.$a\in(-\infty;1]\cup\left\(\dfrac(13)(4)\right\)$ Găsiți toate valorile parametrului $a$ pentru care sistemul $ \begin(cases)\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end(cases) $ are exact două soluții. Să transformăm sistemul în următoarea formă: $ \begin(cases) \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2. \end(cazuri)$ Deoarece parametrul $a$ se află la baza logaritmului, îi sunt impuse următoarele restricții: $a>0$, $a \ne 1$. Deoarece variabila $y$ este argumentul logaritmului, atunci $y > 0$. După ce am combinat ambele ecuații ale sistemului, trecem la ecuația: $\log_a y = y^2$. În funcție de ce valori ia parametrul $a$, sunt posibile două cazuri: Răspuns.$a\in(0;1)$ Să luăm în considerare cazul când $a > 1$. Deoarece pentru valori absolute mari ale $t$ graficul funcției $f(t) = a^t$ se află deasupra liniei drepte $g(t) = t$, atunci singurul punct comun poate fi doar un punct de tangenta. Fie $t_0$ punctul de tangență. În acest moment, derivata la $f(t) = a^t$ este egală cu unitatea (tangenta unghiului tangentei), în plus, valorile ambelor funcții coincid, adică sistemul are loc: $ \begin(cases) a^(t_0)\ln a = 1, \\ a^(t_0) = t_0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) a^(t_0) = \dfrac (1)(\ln a), \\ a^(\tau) = \tau \end(cases) $ De unde $t_0 = \dfrac(1)(\ln a)$. $ a^(\frac(1)(\ln a))\ln a = 1 \quad \Leftrightarrow \quad a^(\log_a e) =\frac(1)(\ln a) \quad \Leftrightarrow \quad a = e^(\frac(1)(e)). $ În același timp, alții puncte comune la linie dreaptă şi functie exponentiala evident nu. Răspuns.$a \in (0;1] \cup \left\(e^(e^(-1))\right\)$Soluţie
Soluţie