De la începutul secolelor XVI-XVIII, matematicienii au început să studieze intens funcțiile, datorită cărora s-au schimbat atât de multe în viața noastră. Tehnologia calculatoarelor fără această cunoaștere pur și simplu nu ar exista. Au fost create diverse concepte, teoreme și tehnici de rezolvare pentru a rezolva probleme complexe, ecuații liniare și funcții. Una dintre astfel de metode și tehnici universale și raționale de rezolvare ecuatii lineare iar sistemele lor au devenit metoda Gaussiană. Matrici, rangul lor, determinant - totul poate fi calculat fără a utiliza operații complexe.

Ce este SLAU

În matematică există conceptul de SLAE - un sistem liniar ecuații algebrice. Cum este ea? Acesta este un set de m ecuații cu n cantități necunoscute necesare, de obicei notate ca x, y, z sau x 1, x 2 ... x n sau alte simboluri. Rezolvarea unui sistem dat folosind metoda Gauss înseamnă găsirea tuturor necunoscutelor necunoscute. Dacă un sistem are același număr de necunoscute și ecuații, atunci se numește sistem de ordin al n-lea.

Cele mai populare metode de rezolvare a SLAE-urilor

ÎN institutii de invatamant Elevii din învățământul secundar studiază diverse metode de rezolvare a unor astfel de sisteme. Cel mai adesea asta ecuații simple, format din două necunoscute, deci oricare metoda existenta Nu va dura mult timp pentru a găsi răspunsul la ele. Aceasta poate fi ca o metodă de substituție, când o alta este derivată dintr-o ecuație și substituită în cea originală. Sau metoda scăderii și adunării termen cu termen. Dar metoda Gauss este considerată cea mai ușoară și universală. Face posibilă rezolvarea ecuațiilor cu orice număr de necunoscute. De ce această tehnică specială este considerată rațională? E simplu. Lucrul bun despre metoda matricei este că nu necesită rescrierea simbolurilor inutile de mai multe ori ca necunoscute; este suficient să efectuați operații aritmetice asupra coeficienților - și veți obține un rezultat fiabil.

Unde sunt utilizate SLAE-urile în practică?

Soluția SLAE-urilor sunt punctele de intersecție a liniilor de pe graficele funcțiilor. În era computerelor de înaltă tehnologie, oamenii care sunt strâns asociați cu dezvoltarea jocurilor și a altor programe trebuie să știe cum să rezolve astfel de sisteme, ce reprezintă acestea și cum să verifice corectitudinea rezultatului rezultat. Cel mai adesea, programatorii dezvoltă programe speciale pentru calculatoare de algebră liniară, care include și un sistem de ecuații liniare. Metoda Gauss vă permite să calculați toate soluțiile existente. Sunt utilizate și alte formule și tehnici simplificate.

Criteriul de compatibilitate SLAU

Un astfel de sistem poate fi rezolvat doar dacă este compatibil. Pentru claritate, să reprezentăm SLAE sub forma Ax=b. Are o soluție dacă rang(A) este egal cu rang(A,b). În acest caz, (A,b) este o matrice de formă extinsă care poate fi obținută din matricea A prin rescrierea ei cu termeni liberi. Se pare că rezolvarea ecuațiilor liniare folosind metoda Gauss este destul de ușoară.

Poate că unele dintre simboluri nu sunt complet clare, așa că este necesar să luăm în considerare totul cu un exemplu. Să presupunem că există un sistem: x+y=1; 2x-3y=6. Este format din doar două ecuații, în care există 2 necunoscute. Sistemul va avea o soluție numai dacă rangul matricei sale este egal cu rangul matricei extinse. Ce este rangul? Acesta este numărul de linii independente ale sistemului. În cazul nostru, rangul matricei este 2. Matricea A va consta din coeficienți localizați în apropierea necunoscutelor, iar coeficienții aflați în spatele semnului „=” se potrivesc, de asemenea, în matricea extinsă.

De ce pot fi reprezentate SLAE-urile sub formă de matrice?

Pe baza criteriului de compatibilitate conform teoremei dovedite Kronecker-Capelli, un sistem de ecuații algebrice liniare poate fi reprezentat sub formă de matrice. Folosind metoda cascadei Gauss, puteți rezolva matricea și puteți obține un singur răspuns de încredere pentru întregul sistem. Dacă rangul unei matrice obișnuite este egal cu rangul matricei sale extinse, dar este mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul are un număr infinit de răspunsuri.

Transformări de matrice

Înainte de a trece la rezolvarea matricelor, trebuie să știți ce acțiuni pot fi efectuate asupra elementelor lor. Există mai multe transformări elementare:

• Rescriind sistemul sub formă de matrice și rezolvându-l, puteți înmulți toate elementele seriei cu același coeficient.
• Pentru a transforma matricea în formă canonică, puteți schimba două rânduri paralele. Forma canonică implică faptul că toate elementele matricei care sunt situate de-a lungul diagonalei principale devin unu, iar cele rămase devin zerouri.
• Elementele corespunzătoare ale rândurilor paralele ale matricei pot fi adăugate unele la altele.

metoda Jordan-Gauss

Esența rezolvării sistemelor de liniare omogene și ecuații neomogene Metoda gaussiană este de a elimina treptat necunoscutele. Să presupunem că avem un sistem de două ecuații în care există două necunoscute. Pentru a le găsi, trebuie să verificați compatibilitatea sistemului. Ecuația este rezolvată foarte simplu prin metoda Gauss. Este necesar să se noteze coeficienții aflați lângă fiecare necunoscută sub formă de matrice. Pentru a rezolva sistemul, va trebui să scrieți matricea extinsă. Dacă una dintre ecuații conține un număr mai mic de necunoscute, atunci trebuie pus „0” în locul elementului lipsă. Toate se aplică matricei metode cunoscute transformări: înmulțirea, împărțirea cu un număr, adăugarea elementelor de serie corespunzătoare între ele și altele. Se pare că în fiecare rând este necesar să lăsați o variabilă cu valoarea „1”, restul ar trebui redus la zero. Pentru o înțelegere mai precisă, este necesar să luăm în considerare metoda Gauss cu exemple.

Un exemplu simplu de rezolvare a unui sistem 2x2

Pentru început, să luăm un sistem simplu de ecuații algebrice, în care vor exista 2 necunoscute.

Să-l rescriem într-o matrice extinsă.

Pentru a rezolva acest sistem de ecuații liniare sunt necesare doar două operații. Trebuie să aducem matricea la forma canonică, astfel încât să existe unele de-a lungul diagonalei principale. Deci, transferând din forma matricei înapoi în sistem, obținem ecuațiile: 1x+0y=b1 și 0x+1y=b2, unde b1 și b2 sunt răspunsurile rezultate în procesul de rezolvare.

1. Prima acțiune la rezolvarea unei matrice extinse va fi următoarea: primul rând trebuie înmulțit cu -7 și adăugat elemente corespunzătoare celui de-al doilea rând pentru a scăpa de o necunoscută din a doua ecuație.
2. Deoarece rezolvarea ecuațiilor folosind metoda Gauss implică reducerea matricei la formă canonică, atunci este necesar să se efectueze aceleași operații cu prima ecuație și să se elimine a doua variabilă. Pentru a face acest lucru, scădem a doua linie din prima și obținem răspunsul necesar - soluția SLAE. Sau, așa cum se arată în figură, înmulțim al doilea rând cu un factor de -1 și adăugăm elementele celui de-al doilea rând la primul rând. Este la fel.

După cum putem vedea, sistemul nostru a fost rezolvat prin metoda Jordan-Gauss. O rescriem în forma cerută: x=-5, y=7.

Un exemplu de soluție SLAE 3x3

Să presupunem că avem un sistem mai complex de ecuații liniare. Metoda Gauss face posibilă calcularea răspunsului chiar și pentru sistemul cel mai aparent confuz. Prin urmare, pentru a aprofunda metodologia de calcul, puteți trece la un exemplu mai complex cu trei necunoscute.

Ca și în exemplul anterior, rescriem sistemul sub forma unei matrice extinse și începem să-l aducem la forma sa canonică.

Pentru a rezolva acest sistem, va trebui să efectuați mult mai multe acțiuni decât în ​​exemplul anterior.

1. Mai întâi trebuie să faceți din prima coloană un element de unitate și restul zerouri. Pentru a face acest lucru, înmulțiți prima ecuație cu -1 și adăugați a doua ecuație la ea. Este important să ne amintim că rescriem prima linie în forma sa originală, iar a doua într-o formă modificată.
2. În continuare, eliminăm această primă necunoscută din a treia ecuație. Pentru a face acest lucru, înmulțiți elementele primului rând cu -2 și adăugați-le la al treilea rând. Acum, prima și a doua linie sunt rescrise în forma lor originală, iar a treia - cu modificări. După cum puteți vedea din rezultat, l-am primit pe primul la începutul diagonalei principale a matricei și cu zerourile rămase. Încă câțiva pași, iar sistemul de ecuații prin metoda Gauss va fi rezolvat în mod fiabil.
3. Acum trebuie să efectuați operații pe alte elemente ale rândurilor. A treia și a patra acțiune pot fi combinate într-una singură. Trebuie să împărțim a doua și a treia linie la -1 pentru a scăpa de cele minus de pe diagonală. Am adus deja a treia linie la forma necesară.
4. Apoi aducem a doua linie la forma canonică. Pentru a face acest lucru, înmulțim elementele celui de-al treilea rând cu -3 și le adăugăm la al doilea rând al matricei. Din rezultat este clar că a doua linie se reduce și la forma de care avem nevoie. Rămâne să mai efectuăm câteva operații și să eliminați coeficienții necunoscutelor de pe prima linie.
5. Pentru a face 0 din al doilea element al unui rând, trebuie să înmulțiți al treilea rând cu -3 și să îl adăugați la primul rând.
6. Următorul pas decisiv va fi adăugarea elementelor necesare din al doilea rând la primul rând. În acest fel obținem forma canonică a matricei și, în consecință, răspunsul.

După cum puteți vedea, rezolvarea ecuațiilor folosind metoda Gauss este destul de simplă.

Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații 4x4

Mai mult sisteme complexe ecuațiile pot fi rezolvate prin metoda Gaussiană folosind programe de calculator. Este necesar să introduceți coeficienții pentru necunoscute în celulele goale existente, iar programul însuși va calcula pas cu pas rezultatul necesar, descriind în detaliu fiecare acțiune.

Descris mai jos instrucțiuni pas cu pas soluții la acest exemplu.

În primul pas, coeficienții liberi și numerele pentru necunoscute sunt introduse în celulele goale. Astfel, obținem aceeași matrice extinsă pe care o scriem manual.

Și toate operațiile aritmetice necesare sunt efectuate pentru a aduce matricea extinsă la forma sa canonică. Este necesar să înțelegem că răspunsul la un sistem de ecuații nu este întotdeauna numere întregi. Uneori, soluția poate fi din numere fracționale.

Verificarea corectitudinii solutiei

Metoda Jordan-Gauss prevede verificarea corectitudinii rezultatului. Pentru a afla dacă coeficienții sunt calculați corect, trebuie doar să înlocuiți rezultatul în sistemul original de ecuații. Partea stângă ecuațiile trebuie să se potrivească partea dreapta, situat în spatele semnului egal. Dacă răspunsurile nu se potrivesc, atunci trebuie să recalculați sistemul sau să încercați să-i aplicați o altă metodă de rezolvare a SLAE-urilor cunoscute de dvs., cum ar fi înlocuirea sau scăderea și adunarea termen cu termen. La urma urmei, matematica este o știință care are un număr mare de metode diferite de rezolvare. Dar rețineți: rezultatul ar trebui să fie întotdeauna același, indiferent de metoda de soluție pe care ați folosit-o.

Metoda Gauss: cele mai frecvente erori la rezolvarea SLAE-urilor

Când se rezolvă sisteme liniare de ecuații, apar cel mai adesea erori, cum ar fi transferul incorect al coeficienților în formă de matrice. Există sisteme în care unele necunoscute lipsesc dintr-una dintre ecuații; apoi, atunci când se transferă date într-o matrice extinsă, acestea pot fi pierdute. Ca urmare, la rezolvarea acestui sistem, rezultatul poate să nu corespundă cu cel real.

O altă greșeală majoră poate fi scrierea greșită a rezultatului final. Este necesar să înțelegem clar că primul coeficient va corespunde primei necunoscute din sistem, al doilea - celui de-al doilea și așa mai departe.

Metoda Gauss descrie în detaliu soluția ecuațiilor liniare. Datorită acesteia, este ușor să efectuați operațiunile necesare și să găsiți rezultatul potrivit. În plus, acesta este un instrument universal pentru a găsi un răspuns de încredere la ecuații de orice complexitate. Poate de aceea este atât de des folosit când rezolvăm SLAE-uri.

Două sisteme de ecuații liniare se numesc echivalente dacă mulțimea tuturor soluțiilor lor coincide.

Transformările elementare ale unui sistem de ecuații sunt:

1. Ștergerea ecuațiilor triviale din sistem, de ex. cele pentru care toți coeficienții sunt egali cu zero;
2. Înmulțirea oricărei ecuații cu un alt număr decât zero;
3. Adăugând la orice ecuație i-a orice ecuație j-a înmulțită cu orice număr.

O variabilă x i se numește liberă dacă această variabilă nu este permisă, dar este permis întregul sistem de ecuații.

Teorema. Transformările elementare transformă un sistem de ecuații într-unul echivalent.

Semnificația metodei gaussiene este de a transforma sistemul original de ecuații și de a obține un sistem echivalent rezolvat sau echivalent inconsistent.

Deci, metoda Gaussiană constă din următorii pași:

1. Să ne uităm la prima ecuație. Să alegem primul coeficient diferit de zero și să împărțim întreaga ecuație la el. Obtinem o ecuatie in care intra o variabila x i cu un coeficient de 1;
2. Să scădem această ecuație din toate celelalte, înmulțind-o cu astfel de numere încât coeficienții variabilei x i din ecuațiile rămase să fie zero. Obținem un sistem rezolvat față de variabila x i și echivalent cu cel inițial;
3. Dacă apar ecuații triviale (rar, dar se întâmplă; de exemplu, 0 = 0), le eliminăm din sistem. Ca rezultat, există o ecuație mai puțin;
4. Repetăm ​​pașii anteriori de cel mult n ori, unde n este numărul de ecuații din sistem. De fiecare dată când selectăm o nouă variabilă pentru „procesare”. Dacă apar ecuații inconsistente (de exemplu, 0 = 8), sistemul este inconsecvent.

Ca urmare, după câțiva pași vom obține fie un sistem rezolvat (eventual cu variabile libere), fie unul inconsistent. Sistemele permise se împart în două cazuri:

1. Numărul de variabile este egal cu numărul de ecuații. Aceasta înseamnă că sistemul este definit;
2. Numărul de variabile mai mult număr ecuații. Colectăm toate variabilele libere din dreapta - obținem formule pentru variabilele permise. Aceste formule sunt scrise în răspuns.

Asta e tot! Sistem de ecuații liniare rezolvat! Acesta este un algoritm destul de simplu și pentru a-l stăpâni nu trebuie să contactați un profesor superior de matematică. Să ne uităm la un exemplu:

Sarcină. Rezolvați sistemul de ecuații:

Descrierea etapelor:

1. Scădeți prima ecuație din a doua și a treia - obținem variabila permisă x 1;
2. Înmulțim a doua ecuație cu (−1), și împărțim a treia ecuație la (−3) - obținem două ecuații în care variabila x 2 intră cu coeficientul 1;
3. Adăugăm a doua ecuație la prima și scadem din a treia. Obținem variabila admisă x 2 ;
4. În final, scădem a treia ecuație din prima - obținem variabila admisă x 3;
5. Am primit un sistem aprobat, notează răspunsul.

Soluția generală a unui sistem simultan de ecuații liniare este sistem nou, echivalent cu cel original, în care toate variabilele permise sunt exprimate în termeni de cele libere.

Când ar putea fi necesară o soluție generală? Dacă trebuie să faceți mai puțini pași decât k (k este câte ecuații există). Cu toate acestea, motivele pentru care procesul se termină la un pas l< k , может быть две:

1. După pasul al 1-lea, am obținut un sistem care nu conține o ecuație cu număr (l + 1). De fapt, acest lucru este bine, pentru că... sistemul autorizat este încă obținut – chiar și cu câțiva pași mai devreme.
2. După pasul a 1-a, am obținut o ecuație în care toți coeficienții variabilelor sunt egali cu zero, iar coeficientul liber este diferit de zero. Aceasta este o ecuație contradictorie și, prin urmare, sistemul este inconsecvent.

Este important de înțeles că apariția unei ecuații inconsistente folosind metoda Gaussiană este o bază suficientă pentru inconsecvență. În același timp, observăm că, ca urmare a pasului al 1-lea, nu pot rămâne ecuații triviale - toate sunt tăiate chiar în proces.

Descrierea etapelor:

1. Scădeți prima ecuație, înmulțită cu 4, din a doua. De asemenea, adăugăm prima ecuație la a treia - obținem variabila permisă x 1;
2. Scădeți a treia ecuație, înmulțită cu 2, din a doua - obținem ecuația contradictorie 0 = −5.

Deci, sistemul este inconsecvent deoarece a fost descoperită o ecuație inconsistentă.

Sarcină. Explorați compatibilitatea și găsiți o soluție generală pentru sistem:

Descrierea etapelor:

1. Scădem prima ecuație din a doua (după înmulțirea cu doi) și a treia - obținem variabila admisă x 1;
2. Scădeți a doua ecuație din a treia. Deoarece toți coeficienții din aceste ecuații sunt aceiași, a treia ecuație va deveni trivială. În același timp, înmulțiți a doua ecuație cu (−1);
3. Scădeți a doua din prima ecuație - obținem variabila permisă x 2. Întregul sistem de ecuații este acum și el rezolvat;
4. Deoarece variabilele x 3 și x 4 sunt libere, le mutăm spre dreapta pentru a exprima variabilele permise. Acesta este răspunsul.

Deci, sistemul este consistent și nedeterminat, deoarece există două variabile permise (x 1 și x 2) și două libere (x 3 și x 4).

Una dintre cele mai simple moduri de a rezolva un sistem de ecuații liniare este o tehnică bazată pe calculul determinanților ( regula lui Cramer). Avantajul său este că vă permite să înregistrați imediat soluția; este deosebit de convenabil în cazurile în care coeficienții sistemului nu sunt numere, ci niște parametri. Dezavantajul său este greutatea calculelor din caz un numar mare ecuații; în plus, regula lui Cramer nu este direct aplicabilă sistemelor în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de necunoscute. În astfel de cazuri, este de obicei folosit metoda gaussiana.

Se numesc sisteme de ecuații liniare care au același set de soluții echivalent. Evident, multe soluții sistem liniar nu se schimbă dacă vreo ecuație este schimbată sau dacă una dintre ecuații este înmulțită cu un număr diferit de zero sau dacă o ecuație este adăugată la alta.

metoda Gauss (metodă eliminare secvenţială necunoscut) este că cu ajutorul transformărilor elementare sistemul este redus la un sistem echivalent de tip treptat. Mai întâi, folosind prima ecuație, eliminăm X 1 din toate ecuațiile ulterioare ale sistemului. Apoi, folosind a 2-a ecuație, eliminăm X 2 din a 3-a și toate ecuațiile ulterioare. Acest proces, numit metoda Gaussiană directă, continuă până când rămâne o singură necunoscută în partea stângă a ultimei ecuații x n. După aceasta se face inversa metodei gaussiene– rezolvând ultima ecuație, găsim x n; după aceea, folosind această valoare, din penultima ecuație pe care o calculăm x n–1 etc. Îl găsim pe ultimul X 1 din prima ecuație.

Este convenabil să se efectueze transformări gaussiene efectuând transformări nu cu ecuațiile în sine, ci cu matricele coeficienților lor. Luați în considerare matricea:

numit extins matricea sistemului, deoarece, pe lângă matricea principală a sistemului, include o coloană de termeni liberi. Metoda Gaussiană se bazează pe reducerea matricei principale a sistemului la vedere triunghiulară(sau formă trapezoidală în cazul sistemelor nepătrate) folosind transformări elementare de rând (!) ale matricei extinse a sistemului.

Exemplul 5.1. Rezolvați sistemul folosind metoda Gaussiană:

Soluţie. Să scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind primul rând, după aceea vom reseta elementele rămase:

primim zerouri în rândurile 2, 3 și 4 ale primei coloane:

Acum avem nevoie ca toate elementele din a doua coloană de sub al doilea rând să fie egale cu zero. Pentru a face acest lucru, puteți înmulți a doua linie cu –4/7 și o puteți adăuga la a treia linie. Cu toate acestea, pentru a nu face față fracțiilor, să creăm o unitate în al 2-lea rând al celei de-a doua coloane și numai

Acum, pentru a obține o matrice triunghiulară, trebuie să resetați elementul din al patrulea rând al coloanei a treia; pentru a face acest lucru, puteți înmulți al treilea rând cu 8/54 și îl puteți adăuga la al patrulea. Totuși, pentru a nu avea de-a face cu fracțiile, vom schimba rândurile 3 și 4 și coloanele 3 și 4 și numai după aceea vom reseta elementul specificat. Rețineți că atunci când rearanjați coloanele, variabilele corespunzătoare își schimbă locurile și acest lucru trebuie reținut; alte transformări elementare cu coloane (adunare și înmulțire cu un număr) nu pot fi efectuate!

Ultima matrice simplificată corespunde unui sistem de ecuații echivalent cu cel inițial:

De aici, folosind inversul metodei gaussiene, găsim din a patra ecuație X 3 = –1; din a treia X 4 = –2, din a doua X 2 = 2 și din prima ecuație X 1 = 1. În formă de matrice, răspunsul se scrie ca

Am luat în considerare cazul când sistemul este definit, adică. când există o singură soluție. Să vedem ce se întâmplă dacă sistemul este inconsecvent sau incert.

Exemplul 5.2. Explorați sistemul folosind metoda Gaussiană:

Soluţie. Scriem și transformăm matricea extinsă a sistemului

Scriem un sistem simplificat de ecuații:

Aici, în ultima ecuație rezultă că 0=4, adică. contradicţie. În consecință, sistemul nu are nicio soluție, adică. ea incompatibil. à

Exemplul 5.3. Explorați și rezolvați sistemul folosind metoda Gaussiană:

Soluţie. Scriem și transformăm matricea extinsă a sistemului:

Ca rezultat al transformărilor, ultima linie conține doar zerouri. Aceasta înseamnă că numărul de ecuații a scăzut cu una:

Astfel, după simplificări, au rămas două ecuații și patru necunoscute, adică. două „în plus” necunoscute. Să fie „de prisos”, sau, după cum se spune, variabile libere, voi X 3 și X 4 . Apoi

crezând X 3 = 2AȘi X 4 = b, primim X 2 = 1–AȘi X 1 = 2b–A; sau sub formă de matrice

O soluție scrisă în acest fel se numește general, pentru că, dând parametri AȘi b sensuri diferite, este posibil să descriem toate soluțiile posibile ale sistemului. A

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss. Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la sistem din n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.

Esența metodei Gauss constă în eliminarea secvenţială a variabilelor necunoscute: mai întâi eliminarea x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua, este exclus în continuare x 2 din toate ecuațiile, începând cu a treia și așa mai departe, până când doar variabila necunoscută rămâne în ultima ecuație x n. Acest proces de transformare a ecuațiilor de sistem pentru a elimina secvențial variabilele necunoscute se numește metoda Gaussiană directă. După finalizarea progresiei înainte a metodei gaussiene, din ultima ecuație găsim x n, folosind această valoare din penultima ecuație pe care o calculăm xn-1, și așa mai departe, din prima ecuație pe care o găsim x 1. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit inversa metodei gaussiene.

Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.

Vom presupune că , deoarece putem realiza întotdeauna acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Eliminați variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua. Pentru a face acest lucru, la a doua ecuație a sistemului o adunăm pe prima, înmulțită cu , la a treia ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu , și așa mai departe, la al n-lea la ecuație îl adăugăm pe primul, înmulțit cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si .

Am ajunge la același rezultat dacă ne-am exprima x 1 prin alte variabile necunoscute din prima ecuație a sistemului și expresia rezultată a fost înlocuită în toate celelalte ecuații. Deci variabila x 1 exclus din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, procedăm într-un mod similar, dar numai cu o parte din sistemul rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, la a treia ecuație a sistemului adăugăm a doua, înmulțită cu , la a patra ecuație adăugăm a doua, înmulțită cu , și așa mai departe, la al n-lea la ecuație îl adăugăm pe al doilea, înmulțit cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si . Deci variabila x 2 exclus din toate ecuațiile începând cu a treia.

Apoi trecem la eliminarea necunoscutului x 3, în acest caz procedăm similar cu partea de sistem marcată în figură

Așa că continuăm progresia directă a metodei gaussiene până când sistemul ia forma

Din acest moment începem inversul metodei gaussiene: calculăm x n din ultima ecuație ca, folosind valoarea obținută x n găsim xn-1 din penultima ecuație și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație.

Exemplu.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda Gauss.

Una dintre metodele universale și eficiente de rezolvare a sistemelor algebrice liniare este metoda gaussiana , constând în eliminarea secvenţială a necunoscutelor.

Amintiți-vă că cele două sisteme sunt numite echivalent (echivalent) dacă mulțimile soluțiilor lor coincid. Cu alte cuvinte, sistemele sunt echivalente dacă fiecare soluție a uneia dintre ele este o soluție a celeilalte și invers. Sistemele echivalente se obţin atunci când transformări elementare ecuațiile sistemului:

înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu un alt număr decât zero;

adăugarea la o ecuație a părților corespunzătoare ale unei alte ecuații, înmulțite cu un alt număr decât zero;

rearanjarea a două ecuații.

Să fie dat un sistem de ecuații

Procesul de rezolvare a acestui sistem folosind metoda Gauss constă din două etape. În prima etapă (mișcarea directă), sistemul, folosind transformări elementare, se reduce la in trepte , sau triunghiular forma, iar la a doua etapă (invers) are loc o secvenţială, pornind de la ultimul număr variabil, determinarea necunoscutelor din sistemul de trepte rezultat.

Să presupunem că coeficientul acestui sistem
, altfel în sistem primul rând poate fi schimbat cu orice alt rând, astfel încât coeficientul de la era diferit de zero.

Să transformăm sistemul eliminând necunoscutul în toate ecuațiile cu excepția primei. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu și adăugați termen cu termen cu a doua ecuație a sistemului. Apoi înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu și se adaugă la a treia ecuație a sistemului. Continuând acest proces, obținem sistemul echivalent

Aici
– noi valori ale coeficienților și termenilor liberi care se obțin după primul pas.

În mod similar, luând în considerare elementul principal
, excludeți necunoscutul din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei și a doua. Să continuăm acest proces cât mai mult posibil și, ca urmare, vom obține un sistem treptat

,

Unde ,
,…,– elementele principale ale sistemului
.

Dacă, în procesul de reducere a sistemului la o formă în trepte, apar ecuații, adică egalități ale formei
, sunt aruncate deoarece sunt satisfăcute de orice set de numere
. Eu gras
va aparea ecuația formei, care nu are soluții, atunci aceasta indică incompatibilitatea sistemului.

La cursa inversă prima necunoscută este exprimată din ultima ecuație a sistemului de trepte transformat prin toate celelalte necunoscute
care sunt numite gratuit . Apoi expresia variabilă din ultima ecuație a sistemului se substituie în penultima ecuație și variabila este exprimată din aceasta
. Variabilele sunt definite secvenţial într-un mod similar
. Variabile
, exprimate prin variabile libere, sunt numite de bază (dependent). Rezultatul este o soluție generală a sistemului de ecuații liniare.

A găsi soluție privată sisteme, liber necunoscut
V decizie generală sunt atribuite valori arbitrare și sunt calculate valori variabile
.

Este mai convenabil din punct de vedere tehnic să supunem transformărilor elementare nu ecuațiile sistemului în sine, ci matricea extinsă a sistemului

.

Metoda Gauss este o metodă universală care vă permite să rezolvați nu numai sisteme pătrate, ci și dreptunghiulare în care numărul de necunoscute
nu este egal cu numărul de ecuații
.

Avantajul acestei metode este, de asemenea, că în procesul de rezolvare examinăm simultan sistemul pentru compatibilitate, deoarece, având în vedere matricea extinsă
pentru a forma treptat, este ușor să determinați rangurile matricei și matrice extinsă
si aplica Teorema Kronecker-Capelli .

Exemplul 2.1 Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss

Soluţie. Numărul de ecuații
și numărul de necunoscute
.

Să creăm o matrice extinsă a sistemului prin alocarea de coeficienți în dreapta matricei coloana membrilor liberi .

Să prezentăm matricea la o vedere triunghiulară; Pentru a face acest lucru, vom obține „0” sub elementele situate pe diagonala principală folosind transformări elementare.

Pentru a obține „0” în a doua poziție a primei coloane, înmulțiți primul rând cu (-1) și adăugați-l la al doilea rând.

Scriem această transformare ca număr (-1) pe prima linie și o notăm cu o săgeată care merge de la prima linie la a doua linie.

Pentru a obține „0” în a treia poziție a primei coloane, înmulțiți primul rând cu (-3) și adăugați la al treilea rând; Să arătăm această acțiune folosind o săgeată care merge de la prima linie la a treia.

.

În matricea rezultată, scrisă a doua în lanțul de matrici, obținem „0” în a doua coloană în a treia poziția. Pentru a face acest lucru, am înmulțit a doua linie cu (-4) și am adăugat-o la a treia. În matricea rezultată, înmulțiți al doilea rând cu (-1) și împărțiți al treilea cu (-8). Toate elementele acestei matrice situate sub elementele diagonale sunt zerouri.

Deoarece , sistemul este colaborativ și definit.

Sistemul de ecuații corespunzător ultimei matrice are o formă triunghiulară:

Din ultima (a treia) ecuație
. Înlocuiți în a doua ecuație și obțineți
.

Să înlocuim
Și
în prima ecuație, găsim


.