După cum se știe, variabilă aleatorie numit cantitate variabila, care poate lua una sau alta valoare în funcție de caz. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin (X, Y, Z), iar valorile lor sunt notate cu litere mici corespunzătoare (x, y, z). Variabilele aleatoare sunt împărțite în discontinue (discrete) și continue.

Variabilă aleatorie discretă numit valoare aleatorie, luând doar un set finit sau infinit (numărabil) de valori cu anumite probabilități diferite de zero.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este o funcție care conectează valorile unei variabile aleatoare cu probabilitățile corespunzătoare. Legea distribuției poate fi specificată în una din următoarele moduri.

1 . Legea distribuției poate fi dată de tabelul:

unde λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) prin utilizarea funcția de distribuție F(x) , care determină pentru fiecare valoare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât x, adică. F(x) = P(X< x).

Proprietățile funcției F(x)

3 . Legea distribuției poate fi specificată grafic – poligon de distribuție (poligon) (vezi problema 3).

Rețineți că pentru a rezolva unele probleme nu este necesar să cunoașteți legea distribuției. În unele cazuri, este suficient să cunoști unul sau mai multe numere care reflectă cel mai mult caracteristici importante legea distributiei. Acesta poate fi un număr care are semnificația „valorii medii” a unei variabile aleatoare sau un număr care arată dimensiunea medie a abaterii unei variabile aleatoare de la valoarea medie a acesteia. Numerele de acest fel sunt numite caracteristici numerice ale unei variabile aleatorii.

De bază caracteristici numerice variabilă aleatoare discretă :

• Așteptări matematice (valoarea medie) a unei variabile aleatoare discrete M(X)=Σ x i p i.
  Pentru distribuția binomială M(X)=np, pentru distribuția Poisson M(X)=λ
• Dispersia variabilă aleatoare discretă D(X)=M2 sau D(X) = M(X 2)− 2. Diferența X–M(X) se numește abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice.
  Pentru distribuția binomială D(X)=npq, pentru distribuția Poisson D(X)=λ
• Deviație standard (deviație standard) σ(X)=√D(X).

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete”

Sarcina 1.

Au fost emise 1000 de bilete de loterie: 5 dintre ele vor câștiga 500 de ruble, 10 vor câștiga 100 de ruble, 20 vor câștiga 50 de ruble, 50 vor câștiga 10 ruble. Determinați legea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare X - câștiguri pe bilet.

Soluţie. În funcție de condițiile problemei, sunt posibile următoarele valori ale variabilei aleatoare X: 0, 10, 50, 100 și 500.

Numărul de bilete fără câștig este 1000 – (5+10+20+50) = 915, apoi P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

În mod similar, găsim toate celelalte probabilități: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=0,01). =500) = 5/1000=0,005. Să prezentăm legea rezultată sub forma unui tabel:

Vom găsi valorea estimata valorile X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2 +3 +4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Sarcina 3.

Dispozitivul este format din trei elemente de operare independentă. Probabilitatea de eșec a fiecărui element dintr-un experiment este de 0,1. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de elemente eșuate într-un experiment, construiește un poligon de distribuție. Găsiți funcția de distribuție F(x) și trasați-o. Aflați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare discrete.

Soluţie. 1. Variabila aleatorie discretă X=(numărul de elemente eșuate într-un experiment) are următoarele valori posibile: x 1 =0 (niciunul dintre elementele dispozitivului nu a eșuat), x 2 =1 (un element a eșuat), x 3 =2 (două elemente au eșuat) și x 4 =3 (trei elemente au eșuat).

Eșecurile elementelor sunt independente unele de altele, probabilitățile de eșec ale fiecărui element sunt egale, de aceea este aplicabilă formula lui Bernoulli . Având în vedere că, conform condiției, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, determinăm probabilitățile valorilor:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P3(1) = C31p1q3-1 = 3*0,1*0,92 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Verificați: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Astfel, legea de distribuție binomială dorită a lui X are forma:

Graficăm valorile posibile ale lui x i de-a lungul axei absciselor și probabilitățile corespunzătoare p i de-a lungul axei ordonatelor. Să construim punctele M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Prin conectarea acestor puncte cu segmente de linie dreaptă, obținem poligonul de distribuție dorit.

3. Să găsim funcția de distribuție F(x) = Р(Х

Pentru x ≤ 0 avem F(x) = Р(Х<0) = 0;
pentru 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
pentru 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
pentru 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
pentru x > 3 va fi F(x) = 1, deoarece evenimentul este de încredere.

Graficul funcției F(x)

4. Pentru distribuția binomială X:
- așteptarea matematică M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varianța D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- abaterea standard σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare continue. Fie specificată o variabilă aleatoare continuă X de funcția de distribuție f(x)

Fie specificată o variabilă aleatoare continuă X de către funcția de distribuție f(x). Să presupunem că toate valorile posibile ale variabilei aleatoare aparțin segmentului [ a,b].

Definiție. Așteptări matematice o variabilă aleatoare continuă X, ale cărei valori posibile aparțin segmentului, se numește integrală definită

Dacă valorile posibile ale unei variabile aleatoare sunt luate în considerare pe întreaga axă numerică, atunci așteptarea matematică se găsește prin formula:

În acest caz, desigur, se presupune că integrala improprie converge.

Definiție. Varianta a unei variabile aleatoare continue este așteptarea matematică a pătratului abaterii acesteia.

Prin analogie cu varianța unei variabile aleatoare discrete, pentru a calcula practic varianța, se utilizează formula:

Definiție. Deviație standard numită rădăcina pătrată a varianței.

Definiție. Modă M 0 al unei variabile aleatoare discrete se numește valoarea sa cea mai probabilă. Pentru o variabilă aleatoare continuă, modul este valoarea variabilei aleatoare la care densitatea de distribuție are un maxim.

Dacă poligonul de distribuție pentru o variabilă aleatoare discretă sau curba de distribuție pentru o variabilă aleatoare continuă are două sau mai multe maxime, atunci o astfel de distribuție se numește bimodal sau multimodal. Dacă o distribuție are un minim, dar nu un maxim, atunci este numită antimodal.

Definiție. Median M D a unei variabile aleatoare X este valoarea acesteia în raport cu care este la fel de probabil să se obțină o valoare mai mare sau mai mică a variabilei aleatoare.

Geometric, mediana este abscisa punctului în care aria limitată de curba de distribuție este împărțită la jumătate. Rețineți că, dacă distribuția este unimodală, atunci modul și mediana coincid cu așteptarea matematică.

Definiție. Momentul de pornire Ordin k variabila aleatoare X este așteptarea matematică a valorii X k.

Pentru o variabilă aleatoare discretă: .

.

Momentul inițial de ordinul întâi este egal cu așteptarea matematică.

Definiție. Moment central Ordin k variabila aleatoare X este așteptarea matematică a valorii

Pentru o variabilă aleatoare discretă: .

Pentru o variabilă aleatoare continuă: .

Momentul central de ordinul întâi este întotdeauna zero, iar momentul central de ordinul doi este egal cu dispersia. Momentul central de ordinul trei caracterizează asimetria distribuției.

Definiție. Se numește raportul dintre momentul central de ordinul al treilea și deviația standard și a treia putere coeficient de asimetrie.

Definiție. Pentru a caracteriza vârful și planeitatea distribuției, o cantitate numită exces.

Pe lângă cantitățile luate în considerare, se mai folosesc așa-numitele momente absolute:

Moment de pornire absolut: . Punct central absolut: . Momentul central absolut de ordinul întâi se numește abaterea medie aritmetică.

Exemplu. Pentru exemplul discutat mai sus, determinați așteptarea matematică și varianța variabilei aleatoare X.

Exemplu.Într-o urnă sunt 6 bile albe și 4 negre. O minge este scoasă din ea de cinci ori la rând și de fiecare dată bila îndepărtată este returnată înapoi și bilele sunt amestecate. Luând numărul de bile albe extrase ca variabilă aleatorie X, se întocmește o lege de distribuție pentru această valoare, se determină așteptarea matematică și dispersia acesteia.

Deoarece bilele din fiecare experiment sunt returnate înapoi și amestecate, apoi testele pot fi considerate independente (rezultatul experimentului anterior nu afectează probabilitatea apariției sau neapariției unui eveniment într-un alt experiment).

Astfel, probabilitatea ca o minge albă să apară în fiecare experiment este constantă și egală cu

Astfel, în urma a cinci încercări consecutive, mingea albă poate să nu apară deloc, sau să apară o dată, de două ori, de trei, de patru sau de cinci ori. Pentru a elabora o lege de distribuție, trebuie să găsiți probabilitățile fiecăruia dintre aceste evenimente.

1) Bila albă nu a apărut deloc:

2) Bila albă a apărut o dată:

3) Bila albă va apărea de două ori: .

Spre deosebire de o variabilă aleatoare discretă, variabilele aleatoare continue nu pot fi specificate sub forma unui tabel al legii sale de distribuție, deoarece este imposibil să enumerați și să scrieți toate valorile sale într-o anumită secvență. O modalitate posibilă de a specifica o variabilă aleatoare continuă este utilizarea unei funcții de distribuție.

DEFINIȚIE. Funcția de distribuție este o funcție care determină probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia valoarea care este reprezentată pe axa numerelor de un punct situat la stânga punctului x, adică.

Uneori, în locul termenului „funcție de distribuție” se folosește termenul „funcție integrală”.

Proprietățile funcției de distribuție:

1. Valorile funcției de distribuție aparțin segmentului: 0F(x)1
2. F(x) este o funcție nedescrescătoare, adică. F(x 2)F(x 1), dacă x 2 >x 1

Corolarul 1. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare cuprinsă în intervalul (a,b) este egală cu incrementul funcției de distribuție pe acest interval:

P(aX

Exemplul 9. Variabila aleatoare X este dată de funcția de distribuție:

Aflați probabilitatea ca în rezultatul testului X să ia o valoare aparținând intervalului (0;2): P(0

Rezolvare: Deoarece pe intervalul (0;2) prin condiție, F(x)=x/4+1/4, atunci F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Deci P(0

Corolarul 2. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X să ia o anumită valoare este zero.

Corolarul 3. Dacă valorile posibile ale unei variabile aleatoare aparțin intervalului (a;b), atunci: 1) F(x)=0 pentru xa; 2) F(x)=1 la xb.
Sunt valabile următoarele relații limită:

Graficul funcției de distribuție este situat în banda limitată de liniile drepte y=0, y=1 (prima proprietate). Pe măsură ce x crește în intervalul (a;b), care conține toate valorile posibile ale variabilei aleatoare, graficul „se ridică”. La xa, ordonatele graficului sunt egale cu zero; la xb ordonatele graficului sunt egale cu unu:

Poza 1

Exemplul 10. O variabilă aleatoare discretă X este dată de un tabel de distribuție:

X	1	4	8
P	0.3	0.1	0.6

Găsiți funcția de distribuție și trasați-o.
Soluție: Funcția de distribuție poate fi scrisă analitic după cum urmează:

Figura-2

DEFINIȚIE: Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X este funcția f(x) - prima derivată a funcției de distribuție F(x): f(x)=F"(x)

Din această definiție rezultă că funcția de distribuție este o antiderivată a densității distribuției.

Teorema. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X să ia o valoare aparținând intervalului (a;b) este egală cu o anumită integrală a densității distribuției, luată în intervalul de la a la b:

(8)

Proprietăți ale distribuției densității de probabilitate:

1. Densitatea de probabilitate este o funcție nenegativă: f(x)0.
2. Integrala definită de la -∞ la +∞ a densității de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este egală cu 1: f(x)dx=1.
3. Integrala definită de la -∞ la x a densității de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este egală cu funcția de distribuție a acestei variabile: f(x)dx=F(x)

Exemplul 11. Este dată densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare X

Aflați probabilitatea ca în rezultatul testului X să ia o valoare aparținând intervalului (0,5;1).

Soluție: Probabilitate necesară:

Să extindem definiția caracteristicilor numerice ale mărimilor discrete la mărimi continue. Fie specificată o variabilă aleatoare continuă X prin densitatea distribuției f(x).

DEFINIȚIE. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare continue X, ale cărei valori posibile aparțin segmentului, se numește integrală definită:

M(x)=xf(x)dx (9)

Dacă valorile posibile aparțin întregii axe Ox, atunci:

M(x)=xf(x)dx (10)

Modul M 0 (X) al unei variabile aleatoare continue X este valoarea sa posibilă căreia îi corespunde maximul local al densității distribuției.

Mediana M e (X) a unei variabile aleatoare continue X este valoarea sa posibilă, care este determinată de egalitatea:

P(X e (X))=P(X>M e (X))

DEFINIȚIE. Varianta unei variabile aleatoare continue este așteptarea matematică a pătratului abaterii acesteia. Dacă valorile posibile ale lui X aparțin segmentului, atunci:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
sau
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Dacă valorile posibile aparțin întregii axe x, atunci.

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Variabile aleatoare”.

Sarcină 1 . Sunt 100 de bilete emise pentru loterie. A fost extras un câștig de 50 USD. și zece câștiguri de câte 10 USD fiecare. Aflați legea distribuției valorii X - costul posibilelor câștiguri.

Soluţie. Valori posibile pentru X: x 1 = 0; X 2 = 10 și x 3 = 50. Deoarece există 89 de bilete „goale”, atunci p 1 = 0,89, probabilitatea de a câștiga 10 USD. (10 bilete) – p 2 = 0,10 și pentru a câștiga 50 USD -p 3 = 0,01. Prin urmare:

	0,89	0,10	0,01

Ușor de controlat: .

Sarcină 2. Probabilitatea ca cumpărătorul să fi citit în avans reclama produsului este de 0,6 (p = 0,6). Controlul selectiv al calității reclamei se realizează prin sondajul cumpărătorilor înaintea primului care a studiat publicitatea în prealabil. Întocmește o serie de distribuție pentru numărul de cumpărători chestionați.

Soluţie. Conform condițiilor problemei, p = 0,6. Din: q=1 -p = 0,4. Înlocuind aceste valori, obținem:și construiți o serie de distribuție:

p i		0,24

Sarcină 3. Un computer este format din trei elemente care funcționează independent: unitatea de sistem, monitorul și tastatura. Cu o singură creștere bruscă a tensiunii, probabilitatea de defecțiune a fiecărui element este de 0,1. Pe baza distribuției Bernoulli, întocmește o lege de distribuție pentru numărul de elemente defectate în timpul unei supratensiuni în rețea.

Soluţie. Sa luam in considerare distribuția Bernoulli(sau binom): probabilitatea ca n teste, evenimentul A va apărea exact k o singura data: , sau:

	q n					p n

ÎN Să revenim la sarcină.

Valori posibile pentru X (număr de defecțiuni):

x 0 =0 – niciunul dintre elemente nu a eșuat;

x 1 =1 – defectarea unui element;

x 2 =2 – defectarea a două elemente;

x 3 =3 – defectarea tuturor elementelor.

Deoarece, prin condiție, p = 0,1, atunci q = 1 – p = 0,9. Folosind formula lui Bernoulli, obținem

, ,

, .

Control: .

Prin urmare, legea distribuirii cerută:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Problema 4. 5000 de runde produse. Probabilitatea ca un cartuş să fie defect . Care este probabilitatea ca în întregul lot să fie exact 3 cartușe defecte?

Soluţie. Aplicabil Distribuția Poisson: Această distribuție este utilizată pentru a determina probabilitatea ca, pentru foarte mari

număr de teste (teste de masă), în fiecare dintre ele probabilitatea evenimentului A este foarte mică, evenimentul A va avea loc de k ori: , Unde .

Aici n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Găsim , atunci probabilitatea dorită: .

Problema 5. Când trageți până la prima lovitură cu probabilitate de lovire p = 0,6 când trageți, trebuie să găsiți probabilitatea ca o lovitură să apară la a treia lovitură.

Soluţie. Să aplicăm o distribuție geometrică: să fie efectuate încercări independente, în fiecare eveniment A având o probabilitate de apariție p (și de neapariție q = 1 – p). Testul se încheie imediat ce apare evenimentul A.

În astfel de condiții, probabilitatea ca evenimentul A să se producă în a k-a încercare este determinată de formula: . Aici p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Prin urmare, .

Problema 6. Să fie dată legea de distribuție a unei variabile aleatoare X:

Găsiți așteptările matematice.

Soluţie. .

Rețineți că sensul probabilistic al așteptării matematice este valoarea medie a unei variabile aleatoare.

Problema 7. Aflați varianța variabilei aleatoare X cu următoarea lege de distribuție:

Soluţie. Aici .

Legea distribuției pentru valoarea pătrată a lui X 2 :

X 2

Varianta necesară: .

Dispersia caracterizează măsura abaterii (dispersiei) a unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice.

Problema 8. Fie o variabilă aleatorie dată de distribuția:

			10m

Găsiți caracteristicile sale numerice.

Rezolvare: m, m 2 ,

M 2 , m.

Despre variabila aleatoare X putem spune fie: așteptarea sa matematică este de 6,4 m cu o varianță de 13,04 m 2 , sau – așteptarea sa matematică este de 6,4 m cu o abatere de m. A doua formulare este evident mai clară.

Sarcină 9. Valoare aleatoare X dat de funcția de distribuție:
.

Aflați probabilitatea ca în urma testului valoarea X să ia valoarea conținută în interval .

Soluţie. Probabilitatea ca X să ia o valoare dintr-un interval dat este egală cu incrementul funcției integrale în acest interval, i.e. . În cazul nostru și, prin urmare

.

Sarcină 10. Variabilă aleatorie discretă X este dat de legea distribuției:

Găsiți funcția de distribuție F(x ) și trasează-l.

Soluţie. Deoarece funcția de distribuție,

Pentru , Acea

la ;

la ;

la ;

la ;

Graficul relevant:

Problema 11. Variabilă aleatoare continuă X dat de funcția de distribuție diferențială: .

Găsiți probabilitatea de lovire X pe interval

Soluţie. Rețineți că acesta este un caz special al legii distribuției exponențiale.

Să folosim formula: .

Sarcină 12. Găsiți caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare discrete X specificate de legea distribuției:

	–5
	X2: X 2 . , Unde – Funcția Laplace. Valorile acestei funcții sunt găsite folosind un tabel. În cazul nostru: . Din tabel găsim: , prin urmare:

Variabilă aleatorie este o variabilă care poate lua anumite valori în funcție de diverse circumstanțe și variabila aleatoare se numeste continua , dacă poate lua orice valoare din orice interval limitat sau nelimitat. Pentru o variabilă aleatoare continuă, este imposibil să se indice toate valorile posibile, așa că desemnăm intervale ale acestor valori care sunt asociate cu anumite probabilități.

Exemple de variabile aleatoare continue includ: diametrul unei piese care este măcinată la o dimensiune dată, înălțimea unei persoane, raza de zbor a unui proiectil etc.

Deoarece pentru variabile aleatoare continue funcţia F(X), Spre deosebire de variabile aleatoare discrete, nu are salturi nicăieri, atunci probabilitatea oricărei valori individuale a unei variabile aleatoare continue este zero.

Aceasta înseamnă că pentru o variabilă aleatoare continuă nu are sens să vorbim despre distribuția probabilității dintre valorile sale: fiecare dintre ele are probabilitate zero. Cu toate acestea, într-un sens, printre valorile unei variabile aleatoare continue există „mai mult și mai puțin probabil”. De exemplu, aproape nimeni nu s-ar îndoi că valoarea unei variabile aleatoare - înălțimea unei persoane întâlnite aleatoriu - 170 cm - este mai probabilă decât 220 cm, deși ambele valori pot apărea în practică.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue și densitatea probabilității

Ca lege de distribuție care are sens numai pentru variabile aleatoare continue, este introdus conceptul de densitate de distribuție sau densitate de probabilitate. Să o abordăm comparând semnificația funcției de distribuție pentru o variabilă aleatoare continuă și pentru o variabilă aleatoare discretă.

Deci, funcția de distribuție a unei variabile aleatoare (atât discrete, cât și continue) sau funcţie integrală se numește funcție care determină probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare X mai mică sau egală cu valoarea limită X.

Pentru o variabilă aleatoare discretă în punctele valorilor sale X1 , X 2 , ..., X eu,... se concentrează mase de probabilităţi p1 , p 2 , ..., p eu,..., iar suma tuturor maselor este egală cu 1. Să transferăm această interpretare în cazul unei variabile aleatoare continue. Să ne imaginăm că o masă egală cu 1 nu este concentrată în puncte individuale, ci este continuu „untată” de-a lungul axei absciselor Oh cu o oarecare densitate neuniformă. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă în orice zonă Δ X va fi interpretată ca masa pe secțiune, iar densitatea medie la acea secțiune ca raportul dintre masă și lungime. Tocmai am introdus un concept important în teoria probabilității: densitatea distribuției.

Probabilitate densitate f(X) a unei variabile aleatoare continue este derivata funcției sale de distribuție:

.

Cunoscând funcția de densitate, puteți găsi probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare continue să aparțină intervalului închis [ A; b]:

probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua orice valoare din intervalul [ A; b], este egal cu o anumită integrală a densității sale de probabilitate variind de la A inainte de b:

.

În acest caz, formula generală a funcției F(X) distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue, care poate fi utilizată dacă este cunoscută funcția de densitate f(X) :

.

Graficul densității de probabilitate a unei variabile aleatoare continue se numește curba de distribuție (figura de mai jos).

Aria unei figuri (umbrite în figură) delimitată de o curbă, linii drepte trasate din puncte AȘi b perpendicular pe axa x și pe axa Oh, afișează grafic probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare continue X se află în raza de A inainte de b.

Proprietăți ale funcției de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue

1. Probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia orice valoare din interval (și aria figurii care este limitată de graficul funcției f(X) și axa Oh) este egal cu unu:

2. Funcția de densitate de probabilitate nu poate lua valori negative:

iar în afara existenţei distribuţiei valoarea acesteia este zero

Densitatea de distribuție f(X), precum și funcția de distribuție F(X), este una dintre formele legii distribuției, dar spre deosebire de funcția de distribuție, nu este universală: densitatea distribuției există doar pentru variabile aleatoare continue.

Să menționăm cele mai importante două tipuri de distribuție a unei variabile aleatoare continue în practică.

Dacă funcţia de densitate de distribuţie f(X) variabilă aleatoare continuă într-un interval finit [ A; b] ia o valoare constantă C, iar în afara intervalului ia o valoare egală cu zero, apoi aceasta distribuția se numește uniformă .

Dacă graficul funcției densității distribuției este simetric față de centru, valorile medii sunt concentrate în apropierea centrului și, îndepărtându-se de centru, sunt colectate cele mai diferite de medie (graficul funcției seamănă cu o secțiune a unui clopot), apoi asta distribuția se numește normală .

Exemplul 1. Funcția de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare continue este cunoscută:

Funcția de căutare f(X) densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue. Construiți grafice ale ambelor funcții. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 4 la 8: .

Soluţie. Obținem funcția de densitate a probabilității găsind derivata funcției de distribuție a probabilității:

Graficul unei funcții F(X) - parabola:

Graficul unei funcții f(X) - Drept:

Să găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 4 la 8:

Exemplul 2. Funcția de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este dată astfel:

Calculați coeficientul C. Funcția de căutare F(X) distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue. Construiți grafice ale ambelor funcții. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 0 la 5: .

Soluţie. Coeficient C găsim, folosind proprietatea 1 a funcției de densitate de probabilitate:

Astfel, funcția de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este:

Prin integrare, găsim funcția F(X) distribuţii de probabilitate. Dacă X < 0 , то F(X) = 0 . Daca 0< X < 10 , то

.

X> 10, atunci F(X) = 1 .

Astfel, înregistrarea completă a funcției de distribuție a probabilității este:

Graficul unei funcții f(X) :

Graficul unei funcții F(X) :

Să găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 0 la 5:

Exemplul 3. Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X este dat de egalitatea , și . Găsiți coeficientul A, probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua orice valoare din intervalul ]0, 5[, funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X.

Soluţie. Prin condiție ajungem la egalitate

Prin urmare, de unde . Asa de,

.

Acum găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua orice valoare din intervalul ]0, 5[:

Acum obținem funcția de distribuție a acestei variabile aleatoare:

Exemplul 4. Aflați densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, care ia numai valori nenegative și funcția de distribuție .