Soluție de sisteme ecuatii lineare metoda Gauss. Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la sistem din n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.
Esența metodei Gauss constă în eliminarea secvenţială a variabilelor necunoscute: mai întâi eliminarea x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua, este exclus în continuare x 2 din toate ecuațiile, începând cu a treia și așa mai departe, până când doar variabila necunoscută rămâne în ultima ecuație x n. Acest proces de transformare a ecuațiilor sistemului pt eliminare secvenţială sunt numite variabile necunoscute metoda Gaussiană directă. După finalizarea progresiei înainte a metodei gaussiene, din ultima ecuație găsim x n, folosind această valoare din penultima ecuație pe care o calculăm xn-1, și așa mai departe, din prima ecuație pe care o găsim x 1. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit în sens invers metoda Gauss.
Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.
Vom presupune că , deoarece putem realiza întotdeauna acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Eliminați variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua. Pentru a face acest lucru, la a doua ecuație a sistemului o adunăm pe prima, înmulțită cu , la a treia ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu , și așa mai departe, la al n-lea la ecuație îl adăugăm pe primul, înmulțit cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma 
unde si 
.
Am ajunge la același rezultat dacă ne-am exprima x 1 prin alte variabile necunoscute din prima ecuație a sistemului și expresia rezultată a fost înlocuită în toate celelalte ecuații. Deci variabila x 1 exclus din toate ecuațiile, începând cu a doua.
În continuare, procedăm într-un mod similar, dar numai cu o parte din sistemul rezultat, care este marcată în figură 
Pentru a face acest lucru, la a treia ecuație a sistemului adăugăm a doua, înmulțită cu , la a patra ecuație adăugăm a doua, înmulțită cu , și așa mai departe, la al n-lea la ecuație îl adăugăm pe al doilea, înmulțit cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma 
unde si 
. Deci variabila x 2 exclus din toate ecuațiile începând cu a treia.
Apoi trecem la eliminarea necunoscutului x 3, în acest caz procedăm similar cu partea de sistem marcată în figură 
Așa că continuăm progresia directă a metodei gaussiene până când sistemul ia forma 
Din acest moment începem inversul metodei gaussiene: calculăm x n din ultima ecuație ca, folosind valoarea obținută x n găsim xn-1 din penultima ecuație și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație.
Exemplu.
Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare 
metoda Gauss.
Aici puteți rezolva gratuit un sistem de ecuații liniare Metoda Gauss online dimensiuni mariîn numere complexe cu o soluţie foarte detaliată. Calculatorul nostru poate rezolva online atât sistemul obișnuit definit cât și nedefinit de ecuații liniare prin metoda Gauss, care are set infinit deciziilor. În acest caz, în răspuns vei primi dependența unor variabile prin altele, libere. Puteți verifica, de asemenea, sistemul de ecuații pentru consecvența online, folosind soluția Gauss.
Despre metoda
La rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda online Gauss se efectuează următorii pași.
- Scriem matricea extinsă.
- De fapt, soluția este împărțită în pași înainte și înapoi ai metodei gaussiene. Etapa directă a metodei Gaussiene este reducerea unei matrice la o formă în trepte. Reversul metodei gaussiene este reducerea unei matrice la o formă specială în trepte. Dar, în practică, este mai convenabil să eliminați imediat ceea ce este situat atât deasupra cât și sub elementul în cauză. Calculatorul nostru folosește exact această abordare.
- Este important de reținut că, atunci când se rezolvă folosind metoda Gauss, prezența în matrice a cel puțin unui rând zero cu o parte dreaptă NON-zero (coloana de termeni liberi) indică inconsecvența sistemului. Soluţie sistem liniar in acest caz nu exista.
Pentru a înțelege cel mai bine cum funcționează algoritmul gaussian online, introduceți orice exemplu, selectați „foarte solutie detaliata" și căutați soluția lui online.
Carl Friedrich Gauss, cel mai mare matematician pentru o lungă perioadă de timp a ezitat, alegând între filozofie și matematică. Poate că tocmai această mentalitate i-a permis să facă o „moștenire” atât de vizibilă în știința mondială. În special, prin crearea „Metodei Gauss”...
De aproape 4 ani, articolele de pe acest site se referă educația școlară, în principal din partea filozofiei, principiile (ne)înțelegerii introduse în conștiința copiilor. Vine timpul pentru mai multe detalii, exemple și metode... Cred că tocmai aceasta este abordarea familiarului, confuz și important domenii ale vieții dă rezultate mai bune.
Noi oamenii suntem proiectați în așa fel încât indiferent cât de mult vorbim gândire abstractă, Dar înţelegere Mereu se întâmplă prin exemple. Dacă nu există exemple, atunci este imposibil să înțelegi principiile... Așa cum este imposibil să ajungi în vârful unui munte decât mergând pe toată panta de la picior.
La fel și cu școala: deocamdată povești vii Nu este suficient să continuăm instinctiv să-l privim ca pe un loc în care copiii sunt învățați să înțeleagă.
De exemplu, predarea metodei Gauss...
Metoda Gauss în clasa a V-a
Voi face o rezervare imediat: metoda Gauss are o aplicație mult mai largă, de exemplu, atunci când rezolvăm sisteme de ecuații liniare. Despre ce vom vorbi se desfășoară în clasa a V-a. Acest a început, după ce am înțeles care, este mult mai ușor de înțeles „opțiunile mai avansate”. În acest articol vorbim despre Metoda (metoda) lui Gauss pentru aflarea sumei unei serii
Iată un exemplu pe care l-am adus de la școală fiul mai mic, urmând clasa a V-a la un gimnaziu din Moscova.
Demonstrarea școlară a metodei Gauss
Profesor de matematică folosind tablă interactivă (metode moderne antrenament) le-a arătat copiilor o prezentare a istoriei „creării metodei” de către micul Gauss.
Profesorul de școală l-a biciuit pe micuțul Karl (o metodă învechită, nefolosită în școli în zilele noastre) pentru că el
în loc să adăugați succesiv numere de la 1 la 100, găsiți suma lor observat că perechile de numere distanțate egal de marginile unei progresii aritmetice se adună la același număr. de exemplu, 100 și 1, 99 și 2. După ce a numărat numărul de astfel de perechi, micuțul Gauss a rezolvat aproape instantaneu problema propusă de profesor. Pentru care a fost executat în fața unui public uluit. Pentru ca alții să fie descurajați să gândească.
Ce a făcut micuțul Gauss? dezvoltat simțul numerelor? observat unele caracteristici serie de numere cu pas constant (progresie aritmetică). ȘI exact asta mai târziu l-a făcut un mare om de știință, cei care știu să observe, având sentiment, instinct de înțelegere.
Acesta este motivul pentru care matematica este valoroasă, în curs de dezvoltare capacitatea de a vedea general în special - gândire abstractă . Prin urmare, majoritatea părinților și angajatorilor consideră instinctiv matematica o disciplină importantă ...
„Atunci trebuie să înveți matematica, pentru că îți pune mintea în ordine.
M.V.Lomonosov”.
Cu toate acestea, adepții celor care biciuiau viitoarele genii cu vergele au transformat Metoda în ceva opus. După cum a spus supervizorul meu în urmă cu 35 de ani: „Întrebarea a fost învățată”. Sau, așa cum a spus ieri fiul meu cel mic despre metoda lui Gauss: „Poate că nu merită să facem o știință mare din asta, nu?”
Consecințele creativității „oamenilor de știință” sunt vizibile în nivelul actual al matematicii școlare, nivelul predării acesteia și înțelegerea „Reginei științelor” de către majoritatea.
Totuși, să continuăm...
Metode de explicare a metodei Gauss în clasa a V-a
Un profesor de matematică la un gimnaziu din Moscova, explicând metoda Gauss conform lui Vilenkin, a complicat sarcina.
Ce se întâmplă dacă diferența (pasul) unei progresii aritmetice nu este unul, ci un alt număr? De exemplu, 20.
Problema pe care a pus-o elevilor de clasa a cincea:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Înainte de a face cunoștință cu metoda gimnazială, să aruncăm o privire pe internet: cum fac profesorii de școală și profesorii de matematică?...
Metoda gaussiană: explicația nr. 1
Un tutore cunoscut de pe canalul său YOUTUBE oferă următorul raționament:
„Să scriem numerele de la 1 la 100 după cum urmează:
mai întâi o serie de numere de la 1 la 50, iar strict sub ea o altă serie de numere de la 50 la 100, dar în ordine inversă"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
„Vă rugăm să rețineți: suma fiecărei perechi de numere de pe rândurile de sus și de jos este aceeași și este egală cu 101! Să numărăm numărul de perechi, acesta este 50 și să înmulțim suma unei perechi cu numărul de perechi! Voila: The raspunsul este gata!"
„Dacă nu ai putut înțelege, nu te supăra!” a repetat profesorul de trei ori în timpul explicației. „Vei lua această metodă în clasa a IX-a!”
Metoda gaussiană: explicația nr. 2
Un alt tutore, mai puțin cunoscut (judecând după numărul de vizualizări), adoptă o abordare mai științifică, oferind un algoritm de soluție de 5 puncte care trebuie completat secvenţial.
Pentru cei neinițiați, 5 este unul dintre numerele Fibonacci considerate în mod tradițional magice. O metodă în 5 pași este întotdeauna mai științifică decât o metodă în 6 pași, de exemplu. ... Și acesta nu este un accident, cel mai probabil, Autorul este un susținător ascuns al teoriei Fibonacci
Având în vedere o progresie aritmetică: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Algoritm pentru găsirea sumei numerelor dintr-o serie folosind metoda Gauss:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
În același timp, trebuie să vă amintiți plus o regulă : trebuie să adăugăm unul la coeficientul rezultat: altfel vom obține un rezultat care este mai mic cu unu decât număr adevărat paragrafe: 42 + 1 = 43.
Aceasta este suma necesară a progresiei aritmetice de la 4 la 256 cu o diferență de 6!
Metoda Gauss: explicație în clasa a V-a la un gimnaziu din Moscova
Iată cum se rezolvă problema găsirii sumei unei serii:
20+40+60+ ... +460+480+500
în clasa a V-a a unui gimnaziu din Moscova, manualul lui Vilenkin (după spusele fiului meu).
După ce a prezentat prezentarea, profesorul de matematică a arătat câteva exemple folosind metoda Gaussiană și a dat clasei sarcina de a găsi suma numerelor dintr-o serie în trepte de 20.
Acest lucru a necesitat următoarele:
După cum puteți vedea, acesta este mai compact și tehnică eficientă: numărul 3 este, de asemenea, un membru al șirului Fibonacci
Comentariile mele despre versiunea școlară a metodei Gauss
Marele matematician ar fi ales cu siguranță filosofia dacă ar fi prevăzut în ce „metoda” sa va fi transformată de adepții săi profesor de germană, care l-a biciuit pe Karl cu vergele. Ar fi văzut simbolismul, spirala dialectică și prostia nemuritoare a „profesorilor”, încercând să măsoare armonia gândirii matematice vii cu algebra neînțelegerii ....
Apropo: știai. că sistemul nostru de învățământ are rădăcini în școala germană din secolele al XVIII-lea și al XIX-lea?
Dar Gauss a ales matematica.
Care este esența metodei sale?
ÎN simplificare. ÎN observând și apucând modele simple de numere. ÎN transformând aritmetica şcolară uscată în interesant și activitate incitantă , activând în creier dorința de a continua, mai degrabă decât blocarea activității mentale costisitoare.
Este posibil să folosiți una dintre „modificările metodei lui Gauss” date pentru a calcula suma numerelor unei progresii aritmetice aproape? imediat? Potrivit „algoritmilor”, micuțul Karl ar fi garantat să evite loviturile, să dezvolte o aversiune față de matematică și să-și suprime impulsurile creative din răsputeri.
De ce profesorul i-a sfătuit cu atâta insistență pe elevii de clasa a cincea „să nu se teamă de înțelegere greșită” a metodei, convingându-i că vor rezolva „astfel” probleme încă din clasa a IX-a? Acțiune analfabetă psihologic. A fost o mișcare bună de remarcat: "Te văd deja in clasa a 5-a poti rezolvă probleme pe care le vei finaliza doar în 4 ani! Ce tip grozav ești!”
Pentru a utiliza metoda Gauss, este suficient un nivel de clasa 3, când copiii normali știu deja să adună, să înmulțească și să împartă numere din 2-3 cifre. Problemele apar din cauza incapacității profesorilor adulți care sunt „deconectați” de a explica cele mai simple lucruri în limbajul uman normal, ca să nu mai vorbim de matematică... Ei sunt incapabili să-i intereseze pe oameni de matematică și să-i descurajeze complet chiar și pe cei care sunt „ capabil."
Sau, după cum a comentat fiul meu: „a face o mare știință din asta”.
Metoda Gauss, explicațiile mele
Eu și soția mea i-am explicat copilului nostru această „metodă”, se pare, chiar înainte de școală...
Simplitate în loc de complexitate sau un joc de întrebări și răspunsuri
"Uite, aici sunt numerele de la 1 la 100. Ce vezi?"
Ideea nu este exact ceea ce vede copilul. Trucul este să-l faci să se uite.
„Cum le poți pune împreună?” Fiul și-a dat seama că astfel de întrebări nu sunt puse „doar așa” și trebuie să te uiți la întrebarea „cumva altfel, altfel decât face el de obicei”.
Nu contează dacă copilul vede soluția imediat, este puțin probabil. Este important ca el a încetat să-mi fie frică să se uite, sau cum spun eu: „am mutat sarcina”. Acesta este începutul călătoriei către înțelegere
„Ce este mai ușor: adăugați, de exemplu, 5 și 6 sau 5 și 95?” O întrebare principală... Dar orice pregătire se rezumă la „îndrumarea” unei persoane către „răspunsul” - în orice mod acceptabil pentru el.
În această etapă, pot apărea deja presupuneri despre cum să „economisiți” calculele.
Tot ce am făcut a fost un indiciu: metoda „frontală, liniară” de numărare nu este singura posibilă. Dacă un copil înțelege acest lucru, atunci mai târziu va veni cu multe alte astfel de metode, pentru ca este interesant!!!Și cu siguranță va evita „înțelegerea greșită” a matematicii și nu se va simți dezgustat de ea. El a câștigat!
Dacă copil descoperit că adăugarea perechilor de numere care însumează o sută este o simplă, atunci „progresie aritmetică cu diferența 1”- un lucru destul de sumbru și neinteresant pentru un copil - dintr-o dată a găsit viață pentru el . Ordinea a apărut din haos, iar acest lucru provoacă întotdeauna entuziasm: asa suntem facuti!
O întrebare la care trebuie să răspunzi: de ce, după intuiția primită de un copil, ar trebui să fie condus din nou în cadrul unor algoritmi seci, care sunt, de asemenea, inutili funcțional în acest caz?!
De ce forțați rescrierile stupide? numere de ordine într-un caiet: astfel încât nici cei capabili să nu aibă o singură șansă de a înțelege? Statistic, desigur, dar educația de masă este orientată spre „statistică”...
Unde s-a dus zeroul?
Și totuși, adăugarea numerelor care adună până la 100 este mult mai acceptabilă pentru minte decât a celor care adună până la 101...
„Metoda Școlii Gauss” necesită exact acest lucru: pliază fără minte perechi de numere echidistante de centrul progresiei, In ciuda a tot.
Dacă te uiți?
Încă zero - cea mai mare invenție umanitatea, care are mai bine de 2.000 de ani. Și profesorii de matematică continuă să-l ignore.
Este mult mai ușor să transformi o serie de numere care încep cu 1 într-o serie care începe cu 0. Suma nu se va schimba, nu-i așa? Trebuie să încetezi să „gândești în manuale” și să începi să cauți...Și vezi că perechile cu suma de 101 pot fi complet înlocuite cu perechile cu suma de 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Cum să desființezi „regula plus 1”?
Sincer să fiu, am auzit prima dată despre o astfel de regulă de la acel tutor YouTube...
Ce mai fac atunci când trebuie să stabilesc numărul de membri ai unei serii?
Mă uit la secvența:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
iar când ești complet obosit, treci la un rând mai simplu:
1, 2, 3, 4, 5
și îmi dau seama: dacă scazi unul din 5, obții 4, dar sunt absolut clar Înțeleg 5 numere! Prin urmare, trebuie să adăugați unul! Sensul numărului dezvoltat în școala elementară sugerează: chiar dacă există un întreg Google de membri ai seriei (puterea de la 10 la a suta), modelul va rămâne același.
Ce dracu sunt regulile?...
Așa încât în câțiva sau trei ani să poți umple tot spațiul dintre frunte și ceafă și să nu te mai gândești? Cum să-ți câștigi pâinea și untul? La urma urmei, ne mișcăm în rânduri egale în era economiei digitale!
Mai multe despre metoda școlară a lui Gauss: „de ce să facem știință din asta?...”
Nu degeaba am postat o captură de ecran din caietul fiului meu...
— Ce s-a întâmplat în clasă?
"Ei bine, am numărat imediat, am ridicat mâna, dar ea nu a întrebat. Prin urmare, în timp ce ceilalți numărau, am început să fac temele în rusă ca să nu pierd timpul. Apoi, când ceilalți au terminat de scris (? ??), ea m-a chemat la bord. Am spus răspunsul."
„Așa este, arată-mi cum ai rezolvat”, a spus profesorul. Am arătat-o. Ea a spus: „Greșit, trebuie să numeri așa cum am arătat eu!”
"Este bine că nu a dat o notă proastă. Și m-a pus să scriu în caietul lor "cursul soluției" în felul lor. De ce să faci o știință mare din asta?..."
Crima principală a unui profesor de matematică
Abia după acel incident Carl Gauss a experimentat un sentiment ridicat de respect pentru profesorul său de matematică din școală. Dar dacă știa cum adepţii acelui profesor va distorsiona însăși esența metodei...ar urlă de indignare și până la capăt organizatie mondiala proprietate intelectuală OMPI a interzis folosirea numelui său bun în manualele școlare!...
Ce principala greseala abordarea școlară? Sau, după cum spun eu, o infracțiune a profesorilor de matematică din școală împotriva copiilor?
Algoritmul neînțelegerii
Ce fac metodologii școlii, dintre care marea majoritate nu știu să gândească?
Ei creează metode și algoritmi (vezi). Acest o reacție defensivă care îi protejează pe profesori de critici („Totul se face după...”) și pe copii de înțelegere. Și astfel – din dorința de a critica profesorii!(A doua derivată a „înțelepciunii” birocratice, o abordare științifică a problemei). O persoană care nu înțelege sensul va învinovăți mai degrabă propria sa neînțelegere, decât prostia sistemului școlar.
Iată ce se întâmplă: părinții își dau vina pe copii, iar profesorii... fac același lucru pentru copiii care „nu înțeleg matematica!”
Esti destept?
Ce a făcut micul Karl?
O abordare complet neconvențională a unei sarcini formulate. Aceasta este esența abordării Sale. Acest principalul lucru care ar trebui predat la școală este să gândiți nu cu manuale, ci cu capul. Desigur, există și o componentă instrumentală care poate fi folosită... în căutarea mai simplu şi metode eficiente conturi.
Metoda Gauss conform lui Vilenkin
La școală ei învață că metoda lui Gauss este să
Ce, dacă numărul de elemente ale seriei este impar, ca în problema care i-a fost atribuită fiului meu?...
„Captura” este că în acest caz ar trebui să găsiți un număr „în plus” în serieși se adaugă la suma perechilor. În exemplul nostru, acest număr este 260.
Cum să detectăm? Copierea tuturor perechilor de numere într-un caiet!(De aceea, profesorul i-a făcut pe copii să facă această treabă stupidă de a încerca să predea „creativitatea” folosind metoda Gaussiană... Și de aceea o astfel de „metodă” este practic inaplicabilă seriilor mari de date, ȘI de aceea este nu metoda Gauss.)
Puțină creativitate în rutina școlii...
Fiul a procedat diferit.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Nu e greu, nu?
Dar, în practică, este făcut și mai ușor, ceea ce vă permite să degajați 2-3 minute pentru teledetecție în rusă, în timp ce restul „se numără”. În plus, reține numărul de pași ai metodei: 5, ceea ce nu permite ca abordarea să fie criticată pentru că este neștiințifică.
Evident, această abordare este mai simplă, mai rapidă și mai universală, în stilul Metodei. Dar... profesorul nu numai că nu a lăudat-o, dar a și forțat-o să rescrie” în mod corect„(vezi captura de ecran). Adică a făcut o încercare disperată de a înăbuși impulsul creativ și capacitatea de a înțelege matematica la rădăcină! Aparent, pentru ca ulterior să se angajeze ca tutore... A atacat persoana nepotrivită. ..
Tot ceea ce am descris atât de mult și plictisitor poate fi explicat unui copil normal în maxim o jumătate de oră. Alături de exemple.
Și în așa fel încât să nu uite niciodată.
Și va fi pas spre înțelegere...nu doar matematicieni.
Recunoaște: de câte ori în viața ta ai adăugat folosind metoda Gaussiană? Și nu am făcut-o niciodată!
Dar instinctul de înțelegere, care se dezvoltă (sau se stinge) în procesul de învăţare metode matematice la școală... O!.. Acesta este cu adevărat un lucru de neînlocuit!
Mai ales în era digitalizării universale, în care am intrat în liniște sub conducerea strictă a Partidului și a Guvernului.
Câteva cuvinte în apărarea profesorilor...
Este nedrept și greșit să punem toată responsabilitatea pentru acest stil de predare numai asupra profesorilor de școală. Sistemul este în vigoare.
niste profesorii înțeleg absurditatea a ceea ce se întâmplă, dar ce să facă? Legea privind educația, standardele educaționale ale statului federal, metodele, harti tehnologice lecții... Totul trebuie făcut „în conformitate cu și pe baza” și totul trebuie documentat. Dă-te deoparte - a stat la coadă pentru a fi concediat. Să nu fim ipocriți: salariile profesorilor din Moscova sunt foarte bune... Dacă te concediază, unde să mergi?...
Prin urmare acest site nu despre educatie. El este cam educație individuală, numai cale posibilă ieși din mulțime generația Z ...
Fie un sistem liniar ecuații algebrice, care trebuie rezolvat (găsiți astfel de valori ale necunoscutelor xi care transformă fiecare ecuație a sistemului în egalitate).
Știm că un sistem de ecuații algebrice liniare poate:
1) Nu au soluții (fi nearticulată).
2) Au infinit de soluții.
3) Aveți o singură soluție.
După cum ne amintim, regula lui Cramer și metoda matricei nu sunt potrivite în cazurile în care sistemul are infinite de soluții sau este inconsecvent. metoda Gauss – cel mai puternic și versatil instrument pentru găsirea de soluții la orice sistem de ecuații liniare, care în fiecare caz ne va conduce la răspuns! Algoritmul metodei în sine funcționează la fel în toate cele trei cazuri. Dacă metodele Cramer și matrice necesită cunoașterea determinanților, atunci pentru a aplica metoda Gauss ai nevoie doar de cunoștințe de operații aritmetice, ceea ce o face accesibilă chiar și elevilor de școală primară.
Transformări matriceale crescute ( aceasta este matricea sistemului - o matrice compusă numai din coeficienții necunoscutelor, plus o coloană de termeni liberi) sisteme de ecuații algebrice liniare în metoda Gauss:
1) Cu troki matrici Poate sa rearanja in unele locuri.
2) dacă în matrice apar (sau există) rânduri proporționale (ca caz special – identice), atunci ar trebui să șterge din matrice toate aceste rânduri cu excepția unuia.
3) dacă în matrice apare un rând zero în timpul transformărilor, atunci ar trebui să fie și el șterge.
4) un rând al matricei poate fi înmulțire (împărțire) la orice alt număr decât zero.
5) la un rând al matricei pe care o puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero.
În metoda Gauss, transformările elementare nu modifică soluția sistemului de ecuații.
Metoda Gauss constă din două etape:
- „Mișcare directă” - folosind transformări elementare, aduceți matricea extinsă a unui sistem de ecuații algebrice liniare într-o formă de pas „triunghiulară”: elementele matricei extinse situate sub diagonala principală sunt egale cu zero (deplasare de sus în jos). De exemplu, la acest tip:
Pentru a face acest lucru, efectuați următorii pași:
1) Să considerăm prima ecuație a unui sistem de ecuații algebrice liniare și coeficientul pentru x 1 este egal cu K. A doua, a treia etc. transformăm ecuațiile astfel: împărțim fiecare ecuație (coeficienții necunoscutelor, inclusiv termenii liberi) la coeficientul necunoscutului x 1 din fiecare ecuație și înmulțim cu K. După aceasta, o scădem pe prima din a doua ecuație ( coeficienţi de necunoscute şi termeni liberi). Pentru x 1 din a doua ecuație obținem coeficientul 0. Din a treia ecuație transformată scădem prima ecuație până când toate ecuațiile, cu excepția primei, pentru necunoscut x 1, au coeficientul 0.
2) Să trecem la următoarea ecuație. Fie aceasta a doua ecuație și coeficientul pentru x 2 egal cu M. Continuăm cu toate ecuațiile „inferioare” așa cum este descris mai sus. Astfel, „sub” necunoscutul x 2 vor fi zerouri în toate ecuațiile.
3) Treceți la următoarea ecuație și așa mai departe până când rămâne o ultimă necunoscută și termenul liber transformat.
- „Mișcarea inversă” a metodei Gauss este de a obține o soluție la un sistem de ecuații algebrice liniare (mișcarea „de jos în sus”). Din ultima ecuație „inferioară” obținem o primă soluție - necunoscuta x n. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația elementară A * x n = B. În exemplul dat mai sus, x 3 = 4. Înlocuim valoarea găsită în următoarea ecuație „superioară” și o rezolvăm în raport cu următoarea necunoscută. De exemplu, x 2 – 4 = 1, i.e. x 2 = 5. Și așa mai departe până găsim toate necunoscutele.
Exemplu.
Să rezolvăm sistemul de ecuații liniare folosind metoda Gauss, așa cum ne sfătuiesc unii autori:
Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:
Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Ar trebui să avem unul acolo. Problema este că nu există deloc unități în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va rezolva nimic. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Să o facem:
1 pas
. La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu –1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu –1 și am adăugat prima și a doua linie, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.
Acum în stânga sus este „minus unu”, care ni se potrivește destul de bine. Oricine dorește să obțină +1 poate efectua o acțiune suplimentară: înmulțiți prima linie cu –1 (schimbați-i semnul).
Pasul 2 . Prima linie, înmulțită cu 5, a fost adăugată la a doua linie, prima linie, înmulțită cu 3, a fost adăugată la a treia linie.
Pasul 3 . Prima linie a fost înmulțită cu –1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. S-a schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și s-a mutat pe locul doi, astfel încât la a doua „treaptă” să avem unitatea necesară.
Pasul 4 . A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu 2.
Pasul 5 . A treia linie a fost împărțită la 3.
Un semn care indică o eroare în calcule (mai rar, o greșeală de scriere) este un rezultat „proast”. Adică, dacă avem ceva de genul (0 0 11 |23) mai jos și, în consecință, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, atunci cu un grad mare de probabilitate putem spune că a fost făcută o eroare în timpul elementului transformări.
Să facem invers; în proiectarea exemplelor, sistemul în sine nu este adesea rescris, dar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Mișcarea inversă, vă reamintesc, funcționează de jos în sus. ÎN în acest exemplu s-a dovedit a fi un cadou:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, deci x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Răspuns:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Să rezolvăm același sistem folosind algoritmul propus. Primim
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Împărțim a doua ecuație la 5 și a treia la 3. Obținem:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Înmulțind a doua și a treia ecuație cu 4, obținem:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Scădeți prima ecuație din a doua și a treia ecuație, avem:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Împărțiți a treia ecuație la 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Înmulțiți a treia ecuație cu 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Scăzând a doua ecuație din a treia ecuație, obținem o matrice extinsă „în trepte”:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Astfel, din moment ce eroarea acumulată în timpul calculelor, obținem x 3 = 0,96 sau aproximativ 1.
x 2 = 3 și x 1 = –1.
Rezolvând în acest fel, nu te vei încurca niciodată în calcule și, în ciuda erorilor de calcul, vei obține rezultatul.
Această metodă de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare este ușor de programat și nu ține cont caracteristici specifice coeficienți pentru necunoscute, deoarece în practică (în calculele economice și tehnice) trebuie să se ocupe de coeficienți non-întregi.
Vă doresc succes! Ne vedem la ore! Tutore.
blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.
Fie dat sistemul, ∆≠0. (1)metoda Gauss este o metodă de eliminare secvenţială a necunoscutelor.
Esența metodei Gauss este transformarea (1) într-un sistem cu o matrice triunghiulară, din care valorile tuturor necunoscutelor sunt apoi obținute succesiv (în sens invers). Să luăm în considerare una dintre schemele de calcul. Acest circuit se numește circuit cu o singură diviziune. Deci, să ne uităm la această diagramă. Fie un 11 ≠0 (element principal) să împartă prima ecuație la un 11. Primim
(2)
Folosind ecuația (2), este ușor să eliminați necunoscutele x 1 din ecuațiile rămase ale sistemului (pentru a face acest lucru, este suficient să scădeți ecuația (2) din fiecare ecuație, înmulțită anterior cu coeficientul corespunzător pentru x 1) , adică în primul pas obținem
.
Cu alte cuvinte, la pasul 1, fiecare element al rândurilor următoare, începând de la al doilea, este egal cu diferența dintre elementul original și produsul „proiecției” acestuia pe prima coloană și primul rând (transformat).
În continuare, lăsând în pace prima ecuație, efectuăm o transformare similară asupra ecuațiilor rămase ale sistemului obținute în prima etapă: selectăm dintre ele ecuația cu elementul conducător și, cu ajutorul acesteia, excludem x 2 din restul ecuații (pasul 2).
După n pași, în loc de (1), obținem un sistem echivalent 
(3)
Astfel, în prima etapă obținem un sistem triunghiular (3). Această etapă se numește accident vascular cerebral înainte.
În a doua etapă (invers), găsim secvenţial din (3) valorile x n, x n -1, ..., x 1.
Să notăm soluția rezultată ca x 0 . Atunci diferența ε=b-A x 0 numite reziduale.
Dacă ε=0, atunci soluția găsită x 0 este corectă.
Calculele folosind metoda Gauss sunt efectuate în două etape:
- Prima etapă se numește metoda înainte. În prima etapă, sistemul original este convertit într-o formă triunghiulară.
- A doua etapă se numește cursa inversă. În a doua etapă se rezolvă un sistem triunghiular echivalent cu cel inițial.
La fiecare pas, elementul de conducere a fost considerat a fi diferit de zero. Dacă nu este cazul, atunci orice alt element poate fi folosit ca element principal, ca și cum ar rearanja ecuațiile sistemului.
Scopul metodei Gauss
Metoda Gauss este concepută pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Se referă la metodele de soluție directă.Tipuri de metoda gaussiana
- Metoda clasică Gaussiană;
- Modificări ale metodei Gauss. Una dintre modificările metodei gaussiene este o schemă cu alegerea elementului principal. O caracteristică a metodei Gauss cu alegerea elementului principal este o astfel de rearanjare a ecuațiilor, astfel încât la pasul k elementul conducător se dovedește a fi cel mai mare element din coloana a k-a.
- metoda Jordano-Gauss;
Să ilustrăm diferența metoda Jordano-Gauss din metoda Gaussiană cu exemple.
Exemplu de soluție folosind metoda Gaussiană
Să rezolvăm sistemul: 
Pentru a ușura calculul, să schimbăm liniile: 
Să înmulțim a doua linie cu (2). Adăugați a treia linie la a doua 
Înmulțiți a doua linie cu (-1). Adăugați a doua linie la prima 
Din prima linie exprimăm x 3:
Din a doua linie exprimăm x 2:
Din a treia linie exprimăm x 1: 
Un exemplu de soluție folosind metoda Jordano-Gauss
Să rezolvăm același SLAE folosind metoda Jordano-Gauss. 
Vom selecta secvenţial elementul de rezoluţie RE, care se află pe diagonala principală a matricei.
Elementul de rezoluție este egal cu (1).
NE = SE - (A*B)/RE
RE - element de rezoluție (1), A și B - elemente de matrice care formează un dreptunghi cu elementele STE și RE.
Să prezentăm calculul fiecărui element sub forma unui tabel:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
Elementul de rezolvare este egal cu (3).
În locul elementului de rezoluție obținem 1, iar în coloana însăși scriem zerouri.
Toate celelalte elemente ale matricei, inclusiv elementele coloanei B, sunt determinate de regula dreptunghiului.
Pentru a face acest lucru, selectăm patru numere care sunt situate la vârfurile dreptunghiului și includ întotdeauna elementul de rezoluție RE.
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
Elementul de rezoluție este (-4).
În locul elementului de rezoluție obținem 1, iar în coloana însăși scriem zerouri.
Toate celelalte elemente ale matricei, inclusiv elementele coloanei B, sunt determinate de regula dreptunghiului.
Pentru a face acest lucru, selectăm patru numere care sunt situate la vârfurile dreptunghiului și includ întotdeauna elementul de rezoluție RE.
Să prezentăm calculul fiecărui element sub forma unui tabel:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Răspuns: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1