Găsirea derivatei unei funcții matematice se numește diferențiere. Găsirea derivatei unei funcții matematice este o problemă comună întâlnită în matematica superioară. Puteți vorbi în diferite moduri: găsiți derivata, calculați derivata, diferențiați o funcție, luați derivata, dar toate acestea sunt aceleași concepte. Există, desigur, sarcini complexe în care găsirea derivatei este doar una dintre componentele problemei. Pe serviciul nostru de site ai posibilitatea de a calcula online derivata atat din functii elementare cat si complexe care nu au o solutie analitica. Derivatul online de pe serviciul nostru poate fi găsit din aproape orice funcție matematică, chiar și cea mai complexă pe care alte servicii nu ar putea să o rezolve pentru tine. Iar răspunsul primit este întotdeauna 100% corect și elimină erorile. Puteți vedea cum are loc procesul de găsire a unui derivat pe site-ul nostru la adresa exemple concrete. Exemplele sunt situate în partea dreaptă a butonului Soluție. Selectați orice funcție din lista de exemple, aceasta va fi inserată automat în câmpul de funcție, apoi faceți clic pe butonul „Soluție”. Veți vedea o soluție pas cu pas, derivatul dvs. va fi găsit în același mod. Avantajele rezolvării derivatelor online. Chiar dacă știi cum să găsești derivate, procesul poate dura mult timp și efort. Site-ul de servicii este conceput pentru a vă scuti de calcule obositoare și îndelungate, în care este posibil să faceți și o greșeală. Calculăm derivatul online cu un singur clic pe butonul „Soluție” după intrarea în funcția specificată. Site-ul este perfect și pentru cei care doresc să-și testeze abilitățile în găsirea derivatei unei funcții matematice și să se asigure că soluția lor independentă este corectă sau să găsească o greșeală făcută în ea. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să comparați răspunsul dvs. cu rezultatul calculului serviciului online. Dacă nu doriți să utilizați tabele derivate, care necesită mult timp pentru a găsi funcția dorită, atunci utilizați serviciul nostru în loc de tabele derivate pentru a găsi derivata. Principalele avantaje ale site-ului nostru în comparație cu alte servicii similare sunt că calculul are loc foarte rapid (în medie 5 secunde) și nu trebuie să plătiți nimic pentru el - serviciul este absolut gratuit. Nu vi se va cere să vă înregistrați, să introduceți e-mail sau să introduceți datele dumneavoastră personale. Tot ce trebuie să faci este să intri funcţie datăși faceți clic pe butonul „Soluție”. Ce este un derivat. Derivata unei functii este un concept de baza in matematica si analiză matematică. Reversul acestui proces este integrarea, adică găsirea unei funcții dintr-o derivată cunoscută. Pentru a spune simplu, diferențierea este o acțiune asupra unei funcții, iar derivata este rezultatul unei astfel de acțiuni. Pentru a calcula derivata unei funcții într-un anumit punct, argumentul x este înlocuit cu o valoare numerică și expresia este evaluată. Derivata este indicată de un prim în colțul din dreapta sus deasupra funcției. Cursa poate fi, de asemenea, o desemnare a unei anumite funcții. Pentru a găsi derivata unei funcții elementare, va trebui să cunoașteți tabelul derivatelor sau să o aveți întotdeauna la îndemână, ceea ce poate să nu fie foarte convenabil și să cunoașteți și regulile de diferențiere, așa că vă recomandăm să utilizați serviciul nostru, unde derivata este calculat online, trebuie doar să introduceți funcția în câmpul prevăzut pentru aceasta. Argumentul trebuie să fie variabila x, deoarece diferențierea se realizează în raport cu acesta. Dacă trebuie să calculați derivata a doua, puteți diferenția răspunsul rezultat. Cum se calculează derivatul online. Tabelele de derivate pentru funcții elementare au fost create cu mult timp în urmă și le puteți găsi cu ușurință, așa că calcularea derivatei unei funcții matematice elementare (simple) este o chestiune destul de simplă. Cu toate acestea, atunci când trebuie să găsiți derivata unei funcții matematice complexe, aceasta nu mai este o sarcină banală și va necesita mult efort și timp. Puteți scăpa de calculele inutile și lungi dacă folosiți noastre serviciu online. Datorită acesteia, derivata va fi calculată în câteva secunde.

Se prezintă o demonstrație și o derivare a formulei pentru derivata sinusului - sin(x). Exemple de calculare a derivatelor sin 2x, sinus pătrat și cub. Derivarea formulei pentru derivata sinusului de ordinul al n-lea.

Derivata față de variabila x din sinusul lui x este egală cu cosinusul lui x:
(sin x)′ = cos x.

Dovada

Pentru a deriva formula pentru derivata sinusului, vom folosi definiția derivatei:
.

Pentru a găsi această limită, trebuie să transformăm expresia în așa fel încât să o reducem la legi, proprietăți și reguli cunoscute. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoaștem patru proprietăți.
1) Semnificația primei limite remarcabile:
(1) ;
2) Continuitatea funcției cosinus:
(2) ;
3) Formule trigonometrice. Vom avea nevoie de următoarea formulă:
(3) ;
4) Proprietate limită:
Dacă și , atunci
(4) .

Să aplicăm aceste reguli până la limita noastră. Mai întâi transformăm expresia algebrică
.
Pentru a face acest lucru, aplicăm formula
(3) .
În cazul nostru
; . Apoi
;
;
;
.

Acum să facem înlocuirea. La , . Să-l aplicăm pe primul limita minunata (1):
.

Să facem aceeași înlocuire și să folosim proprietatea continuității (2):
.

Deoarece limitele calculate mai sus există, aplicăm proprietatea (4):

.

Formula pentru derivata sinusului a fost dovedită.

Exemple

Sa luam in considerare exemple simple găsirea derivatelor de funcţii care conţin sinus. Vom găsi derivate ale următoarele funcții:
y = sin 2x; y = păcat 2 xși y = păcat 3 x.

Exemplul 1

Găsiți derivata lui păcat de 2x.

Soluţie

Mai întâi, să găsim derivata celei mai simple părți:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.
Aplicam.
.
Aici .

Răspuns

(sin 2x)′ = 2 cos 2x.

Exemplul 2

Aflați derivata sinusului pătrat:
y = păcat 2 x.

Soluţie

Să rescriem funcția originală într-o formă mai înțeleasă:
.
Să găsim derivata celei mai simple părți:
.
Aplicam formula pentru derivata unei functii complexe.

.
Aici .

Puteți aplica una dintre formulele de trigonometrie. Apoi
.

Răspuns

Exemplul 3

Găsiți derivata sinusului cub:
y = păcat 3 x.

Derivate de ordin superior

Rețineți că derivata lui sin x primul ordin poate fi exprimat prin sinus după cum urmează:
.

Să găsim derivata de ordinul doi folosind formula pentru derivata unei funcții complexe :

.
Aici .

Acum putem observa acea diferențiere sin x face ca argumentul său să crească cu . Atunci derivata de ordinul n-a are forma:
(5) .

Să demonstrăm acest lucru folosind metoda inducției matematice.

Am verificat deja că pentru , formula (5) este valabilă.

Să presupunem că formula (5) este valabilă pentru o anumită valoare. Să demonstrăm că de aici rezultă că formula (5) este satisfăcută pentru .

Să scriem formula (5) la:
.
Diferențiam această ecuație folosind regula de diferențiere a unei funcții complexe:

.
Aici .
Așa că am găsit:
.
Dacă înlocuim , atunci această formulă va lua forma (5).

Formula este dovedită.

Operația de găsire a derivatei se numește diferențiere.

Ca urmare a rezolvării problemelor de găsire a derivatelor celor mai simple (și nu foarte simple) funcții prin definirea derivatei ca limită a raportului incrementului la incrementul argumentului, a apărut un tabel de derivate și exact anumite reguli diferenţiere. Primii care au lucrat în domeniul găsirii derivatelor au fost Isaac Newton (1643-1727) și Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Prin urmare, în timpul nostru, pentru a găsi derivata oricărei funcții, nu trebuie să calculați limita menționată mai sus a raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, ci trebuie doar să utilizați tabelul de derivate și regulile de diferențiere. Următorul algoritm este potrivit pentru găsirea derivatei.

Pentru a găsi derivata, aveți nevoie de o expresie sub semnul prim descompune funcțiile simple în componenteși stabiliți ce acțiuni (produs, sumă, coeficient) aceste funcții sunt legate. În continuare, găsim derivatele funcțiilor elementare în tabelul de derivate, iar formulele pentru derivatele produsului, sumă și coeficient - în regulile de diferențiere. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere sunt date după primele două exemple.

Exemplul 1. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Din regulile de diferențiere aflăm că derivata unei sume de funcții este suma derivatelor de funcții, adică.

Din tabelul derivatelor aflăm că derivata lui „x” este egală cu unu, iar derivata sinusului este egală cu cosinus. Inlocuim aceste valori in suma derivatelor si gasim derivata ceruta de conditia problemei:

Exemplul 2. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Diferențiem ca derivată a unei sume în care al doilea termen are un factor constant; acesta poate fi scos din semnul derivatei:

Dacă încă apar întrebări despre unde provine ceva, acestea sunt de obicei clarificate după ce te-ai familiarizat cu tabelul derivatelor și cu cele mai simple reguli de diferențiere. Trecem la ele chiar acum.

Tabel de derivate ale funcțiilor simple

1. Derivată a unei constante (număr). Orice număr (1, 2, 5, 200...) care se află în expresia funcției. Întotdeauna egal cu zero. Acest lucru este foarte important de reținut, deoarece este necesar foarte des
2. Derivată a variabilei independente. Cel mai adesea „X”. Întotdeauna egal cu unu. Acest lucru este, de asemenea, important de reținut pentru o lungă perioadă de timp
3. Derivat de grad. Când rezolvați probleme, trebuie să convertiți rădăcinile nepătrate în puteri.
4. Derivată a unei variabile la puterea -1
5. Derivat rădăcină pătrată
6. Derivată de sinus
7. Derivată a cosinusului
8. Derivata tangentei
9. Derivat de cotangente
10. Derivată de arcsinus
11. Derivatul arccosinului
12. Derivată a arctangentei
13. Derivată a cotangentei arcului
14. Derivată a logaritmului natural
15. Derivata unei functii logaritmice
16. Derivată a exponentului
17. Derivat functie exponentiala

Reguli de diferențiere

1. Derivată a unei sume sau diferențe
2. Derivat al produsului
2a. Derivată a unei expresii înmulțită cu un factor constant
3. Derivată a coeficientului
4. Derivata unei functii complexe

Regula 1.Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci funcțiile sunt diferențiabile în același punct

și

acestea. derivata unei sume algebrice de funcții este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții.

Consecinţă. Dacă două funcții diferențiabile diferă printr-un termen constant, atunci derivatele lor sunt egale, adică

Regula 2.Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci produsul lor este diferențiabil în același punct

și

acestea. Derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii si derivata celeilalte.

Corolarul 1. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei:

Corolarul 2. Derivata produsului mai multor functii diferentiabile este egala cu suma produselor derivatei fiecarui factor si a tuturor celorlalti.

De exemplu, pentru trei multiplicatori:

Regula 3.Dacă funcţiile

diferentiabil la un moment dat Și , atunci în acest moment câtul lor este de asemenea diferențiabilu/v și

acestea. derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorului, iar numitorul este pătratul fostul numărător.

Unde să cauți lucruri pe alte pagini

La găsirea derivatei unui produs și a unui coeficient în probleme reale, este întotdeauna necesar să se aplice mai multe reguli de diferențiere simultan, așa că există mai multe exemple despre aceste derivate în articol„Derivată a produsului și coeficientul de funcții”.

Cometariu. Nu trebuie să confundați o constantă (adică un număr) ca termen dintr-o sumă și ca factor constant! În cazul unui termen, derivata acestuia este egală cu zero, iar în cazul unui factor constant, se scoate din semnul derivatelor. Acest greseala tipica, care are loc în stadiul inițial al studierii derivatelor, dar pe măsură ce studentul obișnuit rezolvă mai multe exemple cu una și două părți, nu mai face această greșeală.

Și dacă, la diferențierea unui produs sau a unui coeficient, ai un termen u"v, in care u- un număr, de exemplu, 2 sau 5, adică o constantă, atunci derivata acestui număr va fi egală cu zero și, prin urmare, întregul termen va fi egal cu zero (acest caz este discutat în exemplul 10).

Alte greseala comuna- rezolvarea mecanică a derivatei unei funcţii complexe ca derivată a unei funcţii simple. De aceea derivata unei functii complexe este dedicat un articol separat. Dar mai întâi vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor simple.

Pe parcurs, nu te poți descurca fără transformarea expresiilor. Pentru a face acest lucru, poate fi necesar să deschideți manualul în ferestre noi. Acțiuni cu puteri și rădăciniȘi Operații cu fracții .

Dacă căutați soluții la derivatele fracțiilor cu puteri și rădăcini, adică atunci când funcția arată ca , apoi urmați lecția „Derivată de sume de fracții cu puteri și rădăcini”.

Dacă aveți o sarcină ca , apoi veți lua lecția „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple”.

Exemple pas cu pas - cum să găsiți derivatul

Exemplul 3. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Definim părțile expresiei funcției: întreaga expresie reprezintă un produs, iar factorii săi sunt sume, în al doilea dintre care unul dintre termeni conține un factor constant. Aplicam regula de diferentiere a produsului: derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii prin derivata celeilalte:

În continuare, aplicăm regula de diferențiere a sumei: derivata sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții. În cazul nostru, în fiecare sumă al doilea termen are semnul minus. În fiecare sumă vedem atât o variabilă independentă, a cărei derivată este egală cu unu, cât și o constantă (număr), a cărei derivată este egală cu zero. Deci, „X” se transformă în unu, iar minus 5 se transformă în zero. În a doua expresie, „x” este înmulțit cu 2, așa că înmulțim doi cu aceeași unitate ca și derivata lui „x”. Obținem următoarele valori derivate:

Inlocuim derivatele gasite in suma produselor si obtinem derivata intregii functii ceruta de conditia problemei:

Exemplul 4. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Ni se cere să găsim derivata coeficientului. Aplicăm formula de diferențiere a câtului: derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorul, iar numitorul este pătratul fostului numărător. Primim:

Am găsit deja derivata factorilor din numărător în exemplul 2. De asemenea, să nu uităm că produsul, care este al doilea factor la numărător în exemplul curent, este luat cu semnul minus:

Dacă căutați soluții la probleme în care trebuie să găsiți derivata unei funcții, unde există o grămadă continuă de rădăcini și puteri, cum ar fi, de exemplu, , atunci bun venit la curs „Derivată a sumelor fracțiilor cu puteri și rădăcini” .

Dacă aveți nevoie să aflați mai multe despre derivatele sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și altele funcții trigonometrice, adică atunci când funcția arată ca , atunci o lecție pentru tine „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple” .

Exemplul 5. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție vedem un produs, unul dintre factorii căruia este rădăcina pătrată a variabilei independente, a cărei derivată ne-am familiarizat în tabelul de derivate. Folosind regula de diferențiere a produsului și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Exemplul 6. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție vedem un coeficient al cărui dividend este rădăcina pătrată a variabilei independente. Folosind regula de diferențiere a coeficientilor, pe care am repetat-o ​​și aplicată în exemplul 4, și valoarea tabelată a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Pentru a scăpa de o fracție din numărător, înmulțiți numărătorul și numitorul cu .

Dacă urmați definiția, atunci derivata unei funcții într-un punct este limita raportului de creștere a funcției Δ y la argumentul increment Δ X:

Totul pare a fi clar. Dar încercați să utilizați această formulă pentru a calcula, să zicem, derivata funcției f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X păcat X. Dacă faci totul prin definiție, atunci după câteva pagini de calcule vei adormi pur și simplu. Prin urmare, există modalități mai simple și mai eficiente.

Pentru început, observăm că din întreaga varietate de funcții putem distinge așa-numitele funcții elementare. Acestea sunt expresii relativ simple, ale căror derivate au fost mult timp calculate și tabulate. Astfel de funcții sunt destul de ușor de reținut - împreună cu derivatele lor.

Derivate ale funcţiilor elementare

Funcțiile elementare sunt toate cele enumerate mai jos. Derivatele acestor funcții trebuie cunoscute pe de rost. În plus, nu este deloc dificil să le memorezi - de aceea sunt elementare.

Deci, derivate ale funcțiilor elementare:

Nume	Funcţie	Derivat
Constant	f(X) = C, C ∈ R	0 (da, zero!)
Putere cu exponent rațional	f(X) = X n	n · X n − 1
Sinusul	f(X) = păcat X	cos X
Cosinus	f(X) = cos X	−păcat X(minus sinus)
Tangentă	f(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangentă	f(X) = ctg X	− 1/sin 2 X
Logaritmul natural	f(X) = jurnal X	1/X
Logaritmul arbitrar	f(X) = jurnal A X	1/(X ln A)
Functie exponentiala	f(X) = e X	e X(Nimic nu s-a schimbat)

Dacă o funcție elementară este înmulțită cu o constantă arbitrară, atunci derivata noii funcție este de asemenea ușor de calculată:

(C · f)’ = C · f ’.

În general, constantele pot fi scoase din semnul derivatei. De exemplu:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate între ele, multiplicate, împărțite - și multe altele. Așa vor apărea funcții noi, nu mai ales elementare, dar și diferențiate după anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.

Derivată a sumei și diferenței

Să fie date funcțiile f(X) Și g(X), ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept" element negativ" Prin urmare diferența f − g poate fi rescris ca o sumă f+ (−1) g, iar apoi rămâne o singură formulă - derivata sumei.

f(X) = X 2 + sin x; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funcţie f(X) este suma a două funcții elementare, prin urmare:

f ’(X) = (X 2 + păcat X)’ = (X 2)’ + (păcat X)’ = 2X+ cos x;

Raționăm în mod similar pentru funcție g(X). Numai că există deja trei termeni (din punct de vedere al algebrei):

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Răspuns:
f ’(X) = 2X+ cos x;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivat al produsului

Matematica este o știință logică, așa că mulți oameni cred că, dacă derivata unei sume este egală cu suma derivatelor, atunci derivata produsului grevă„>egal cu produsul derivatelor. Dar stricați-vă! Derivata unui produs se calculează folosind o formulă complet diferită. Și anume:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula este simplă, dar este adesea uitată. Și nu numai școlari, ci și elevi. Rezultatul este probleme rezolvate incorect.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = X 3 cos x; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funcţie f(X) este produsul a două funcții elementare, deci totul este simplu:

f ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)’ cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (− păcat X) = X 2 (3cos X − X păcat X)

Funcţie g(X) primul multiplicator este puțin mai complicat, dar schema generală nu se schimbă. Evident, primul factor al funcției g(X) este un polinom și derivata sa este derivata sumei. Avem:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Răspuns:
f ’(X) = X 2 (3cos X − X păcat X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Vă rugăm să rețineți că în ultimul pas derivata este factorizată. În mod formal, acest lucru nu trebuie făcut, dar majoritatea derivatelor nu sunt calculate singure, ci pentru a examina funcția. Aceasta înseamnă că în continuare derivata va fi egalată cu zero, semnele sale vor fi determinate și așa mai departe. Pentru un astfel de caz, este mai bine să aveți o expresie factorizată.

Dacă există două funcții f(X) Și g(X), și g(X) ≠ 0 pe mulțimea care ne interesează, putem defini optiune noua h(X) = f(X)/g(X). Pentru o astfel de funcție puteți găsi și derivata:

Nu slab, nu? De unde a venit minusul? De ce g 2? Și așa! Aceasta este una dintre cele mai complexe formule - nu vă puteți da seama fără o sticlă. Prin urmare, este mai bine să-l studiați cu exemple specifice.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor:

Numătorul și numitorul fiecărei fracții conțin funcții elementare, deci tot ce ne trebuie este formula pentru derivata coeficientului:

Conform tradiției, să factorizăm numărătorul - acest lucru va simplifica foarte mult răspunsul:

O funcție complexă nu este neapărat o formulă lungă de jumătate de kilometru. De exemplu, este suficient să luați funcția f(X) = păcat Xși înlocuiți variabila X, să zicem, pe X 2 + ln X. Se va rezolva f(X) = păcat ( X 2 + ln X) - Asta e functie complexa. Are și un derivat, dar nu va fi posibil să îl găsiți folosind regulile discutate mai sus.

Ce ar trebuii să fac? În astfel de cazuri, înlocuirea unei variabile și a unei formule pentru derivata unei funcții complexe ajută:

f ’(X) = f ’(t) · t', Dacă X este înlocuit cu t(X).

De regulă, situația cu înțelegerea acestei formule este și mai tristă decât cu derivata coeficientului. Prin urmare, este, de asemenea, mai bine să o explicați cu exemple specifice, cu descriere detaliata fiecare pas.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = păcat ( X 2 + ln X)

Rețineți că dacă în funcție f(X) în loc de expresia 2 X+ 3 va fi ușor X, atunci se va rezolva functie elementara f(X) = e X. Prin urmare, facem o înlocuire: fie 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Căutăm derivata unei funcții complexe folosind formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Și acum - atenție! Efectuăm înlocuirea inversă: t = 2X+ 3. Obținem:

f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Acum să ne uităm la funcție g(X). Evident că trebuie înlocuit X 2 + ln X = t. Avem:

g ’(X) = g ’(t) · t’ = (păcat t)’ · t’ = cos t · t ’

Înlocuire inversă: t = X 2 + ln X. Apoi:

g ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Asta e tot! După cum se poate vedea din ultima expresie, întreaga problemă a fost redusă la calcularea sumei derivate.

Răspuns:
f ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) cos ( X 2 + ln X).

Foarte des în lecțiile mele, în loc de termenul „derivat”, folosesc cuvântul „prim”. De exemplu, cursa sumei este egală cu suma curselor. Este mai clar? Asta e bine.

Astfel, calcularea derivatei se reduce la a scăpa de aceleași lovituri conform regulilor discutate mai sus. Ca exemplu final, să revenim la puterea derivată cu un exponent rațional:

(X n)’ = n · X n − 1

Puțini oameni știu asta în rol n poate fi un număr fracționar. De exemplu, rădăcina este X 0,5. Ce se întâmplă dacă există ceva fantezist sub rădăcină? Din nou, rezultatul va fi o funcție complexă - le place să dea astfel de construcții în teste și examene.

Sarcină. Aflați derivata funcției:

Mai întâi, să rescriem rădăcina ca o putere cu un exponent rațional:

f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Acum facem un înlocuitor: let X 2 + 8X − 7 = t. Găsim derivata folosind formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Să facem înlocuirea inversă: t = X 2 + 8X− 7. Avem:

f ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

În sfârșit, înapoi la rădăcini: