În cursul gimnaziului şi liceu Elevii au studiat tema „Fracțiuni”. Cu toate acestea, acest concept este mult mai larg decât ceea ce este dat în procesul de învățare. Astăzi, conceptul de fracție este întâlnit destul de des și nu toată lumea poate calcula orice expresie, de exemplu, înmulțirea fracțiilor.

Ce este o fracție?

S-a întâmplat din punct de vedere istoric că numere fracționare a apărut din necesitatea măsurării. După cum arată practica, există adesea exemple de determinare a lungimii unui segment și a volumului unui dreptunghi dreptunghiular.

Inițial, elevii sunt introduși în conceptul de acțiune. De exemplu, dacă împărțiți un pepene în 8 părți, atunci fiecare persoană va primi o opteme din pepene. Această parte din opt se numește cotă.

O cotă egală cu ½ din orice valoare se numește jumătate; ⅓ - a treia; ¼ - un sfert. Înregistrările de forma 5/8, 4/5, 2/4 se numesc fracții ordinare. O fracție comună este împărțită în numărător și numitor. Între ele se află bara de fracțiuni sau bara de fracțiuni. Linia fracțională poate fi trasată fie ca o linie orizontală, fie ca o linie oblică. În acest caz, denotă semnul diviziunii.

Numitorul reprezintă în câte părți egale este împărțită cantitatea sau obiectul; iar numărătorul este câte acțiuni identice sunt luate. Numătorul este scris deasupra liniei fracțiilor, numitorul este scris sub ea.

Este cel mai convenabil să se arate fracții comune pe raza de coordonate. Dacă un singur segment este împărțit în 4 părți egale, fiecare parte este desemnată printr-o literă latină, atunci rezultatul poate fi un ajutor vizual excelent. Deci, punctul A arată o cotă egală cu 1/4 din întregul segment de unitate, iar punctul B marchează 2/8 dintr-un anumit segment.

Tipuri de fracții

Fracțiile pot fi numere ordinare, zecimale și mixte. În plus, fracțiile pot fi împărțite în adecvate și improprii. Această clasificare este mai potrivită pentru fracțiile obișnuite.

Sub Fracțiunea corespunzătoareînțelegeți un număr al cărui numărător este mai mic decât numitorul său. În consecință, o fracție improprie este un număr al cărui numărător este mai mare decât numitorul său. Al doilea tip este de obicei scris ca un număr mixt. Această expresie constă dintr-un număr întreg și o parte fracțională. De exemplu, 1½. 1 este o parte întreagă, ½ este o parte fracțională. Cu toate acestea, dacă trebuie să efectuați unele manipulări cu expresia (împărțirea sau înmulțirea fracțiilor, reducerea sau conversia acestora), numărul mixt este convertit într-o fracție improprie.

O expresie fracțională corectă este întotdeauna mai mică decât unu, iar una incorectă este întotdeauna mai mare sau egală cu 1.

În ceea ce privește această expresie, înțelegem o înregistrare în care este reprezentat orice număr, al cărui numitor al expresiei fracționale poate fi exprimat în termeni de unul cu mai multe zerouri. Dacă fracția este corectă, atunci partea întreagă în notație zecimală va fi egală cu zero.

A inregistra zecimal, trebuie mai întâi să scrieți întreaga parte, să o separați de partea fracționară folosind o virgulă și apoi să scrieți expresia fracțională. Trebuie reținut că după virgulă zecimală numărătorul trebuie să conțină același număr de caractere digitale ca și zerouri în numitor.

Exemplu. Exprimați fracția 7 21 / 1000 în notație zecimală.

Algoritm pentru conversia unei fracții improprie într-un număr mixt și invers

Este incorect să scrieți o fracție necorespunzătoare în răspunsul la o problemă, așa că trebuie convertită într-un număr mixt:

• împărțiți numărătorul la numitorul existent;
• V exemplu concret coeficient incomplet - întreg;
• iar restul este numărătorul părții fracționale, numitorul rămânând neschimbat.

Exemplu. Transformă fracția improprie în număr mixt: 47 / 5.

Soluţie. 47: 5. Coeficientul parțial este 9, restul = 2. Deci, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Uneori trebuie să reprezentați un număr mixt ca o fracție improprie. Apoi, trebuie să utilizați următorul algoritm:

• partea întreagă se înmulțește cu numitorul expresiei fracționale;
• produsul rezultat se adaugă la numărător;
• rezultatul se scrie la numărător, numitorul rămâne neschimbat.

Exemplu. Prezentați numărul în formă mixtă ca o fracție improprie: 9 8 / 10.

Soluţie. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 este numărătorul.

Răspuns: 98 / 10.

Înmulțirea fracțiilor

Pe fracții obișnuite pot fi efectuate diverse operații algebrice. Pentru a înmulți două numere, trebuie să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul. Mai mult, înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiti nu diferă de produsul numerelor fracționale cu aceiași numitori.

Se întâmplă că, după găsirea rezultatului, trebuie să reduceți fracția. ÎN obligatoriu trebuie să simplificați cât mai mult posibil expresia rezultată. Desigur, nu se poate spune că o fracție improprie dintr-un răspuns este o eroare, dar este și dificil să o numim răspuns corect.

Exemplu. Aflați produsul a două fracții ordinare: ½ și 20/18.

După cum se poate observa din exemplu, după găsirea produsului, se obține o notație fracțională reductibilă. Atât numărătorul, cât și numitorul în acest caz sunt împărțiți la 4, iar rezultatul este răspunsul 5 / 9.

Înmulțirea fracțiilor zecimale

Produsul fracțiilor zecimale este destul de diferit de produsul fracțiilor obișnuite în principiu. Deci, înmulțirea fracțiilor este după cum urmează:

• două fracții zecimale trebuie scrise una sub cealaltă, astfel încât cifrele din dreapta să fie una sub cealaltă;
• trebuie să înmulțiți numerele scrise, în ciuda virgulelor, adică ca numere naturale;
• numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fiecare număr;
• în rezultatul obținut după înmulțire, trebuie să numărați de la dreapta câte simboluri digitale sunt conținute în suma în ambii factori după virgulă zecimală și să puneți un semn de separare;
• dacă există mai puține numere în produs, atunci trebuie să scrieți cât mai multe zerouri în fața lor pentru a acoperi acest număr, puneți o virgulă și adăugați întreaga parte egală cu zero.

Exemplu. Calculați produsul a două fracții zecimale: 2,25 și 3,6.

Soluţie.

Înmulțirea fracțiilor mixte

Pentru a calcula produsul a două fracții mixte, trebuie să utilizați regula pentru înmulțirea fracțiilor:

• converti numere mixte în fracții improprii;
• găsiți produsul numărătorilor;
• găsiți produsul numitorilor;
• notează rezultatul;
• simplificați cât mai mult expresia.

Exemplu. Aflați produsul dintre 4½ și 6 2/5.

Înmulțirea unui număr cu o fracție (fracții cu un număr)

Pe lângă găsirea produsului a două fracții și a numerelor mixte, există sarcini în care trebuie să înmulțiți cu o fracție.

Deci, pentru a găsi produsul dintre o fracție zecimală și un număr natural, aveți nevoie de:

• scrieți numărul sub fracție, astfel încât cifrele din dreapta să fie una deasupra celeilalte;
• găsiți produsul în ciuda virgulei;
• în rezultatul rezultat, separă partea întreagă de partea fracțională folosind o virgulă, numărând din dreapta numărul de cifre care se află după punctul zecimal în fracție.

Pentru a înmulți o fracție comună cu un număr, trebuie să găsiți produsul dintre numărător și factorul natural. Dacă răspunsul produce o fracție care poate fi redusă, aceasta ar trebui convertită.

Exemplu. Calculați produsul dintre 5 / 8 și 12.

Soluţie. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Răspuns: 7 1 / 2.

După cum puteți vedea din exemplul anterior, a fost necesar să reduceți rezultatul rezultat și să convertiți expresia fracțională incorectă într-un număr mixt.

Înmulțirea fracțiilor se referă și la găsirea produsului unui număr în formă mixtă și a unui factor natural. Pentru a înmulți aceste două numere, ar trebui să înmulțiți întreaga parte a factorului mixt cu număr, să înmulțiți numărătorul cu aceeași valoare și să lăsați numitorul neschimbat. Dacă este necesar, trebuie să simplificați rezultatul rezultat cât mai mult posibil.

Exemplu. Aflați produsul lui 9 5 / 6 și 9.

Soluţie. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Răspuns: 88 1 / 2.

Înmulțirea cu factori de 10, 100, 1000 sau 0,1; 0,01; 0,001

Rezultă din paragraful anterior următoarea regulă. Pentru a înmulți o fracție zecimală cu 10, 100, 1000, 10000 etc., trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu atâtea cifre câte zerouri există în factorul după unu.

Exemplul 1. Aflați produsul dintre 0,065 și 1000.

Soluţie. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Răspuns: 65.

Exemplul 2. Aflați produsul dintre 3,9 și 1000.

Soluţie. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Răspuns: 3900.

Dacă trebuie să înmulțiți un număr natural și 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 etc., ar trebui să mutați virgula din produsul rezultat la stânga cu atâtea caractere cifre câte zerouri sunt înaintea unu. Dacă este necesar, înaintea numărului natural sunt scrise un număr suficient de zerouri.

Exemplul 1. Aflați produsul dintre 56 și 0,01.

Soluţie. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Răspuns: 0,56.

Exemplul 2. Aflați produsul dintre 4 și 0,001.

Soluţie. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Răspuns: 0,004.

Deci, găsirea produsului diferitelor fracții nu ar trebui să provoace dificultăți, cu excepția poate calcula rezultatul; în acest caz, pur și simplu nu puteți face fără un calculator.

§ 87. Adunarea fracţiilor.

Adunarea fracțiilor are multe asemănări cu adunarea numerelor întregi. Adunarea fracțiilor este o acțiune constând în faptul că mai multe numere (termeni) date sunt combinate într-un singur număr (suma), care conține toate unitățile și fracțiile unităților termenilor.

Vom lua în considerare trei cazuri secvenţial:

1. Adunarea fracțiilor cu numitori similari.
2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.
3. Adunarea numerelor mixte.

1. Adunarea fracțiilor cu numitori similari.

Luați în considerare un exemplu: 1/5 + 2/5.

Să luăm segmentul AB (Fig. 17), să îl luăm ca unul și să îl împărțim în 5 părți egale, apoi partea AC a acestui segment va fi egală cu 1/5 din segmentul AB și o parte a aceluiași segment CD va fi egală cu 2/5 AB.

Din desen este clar că dacă luăm segmentul AD, acesta va fi egal cu 3/5 AB; dar segmentul AD este tocmai suma segmentelor AC și CD. Deci putem scrie:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Având în vedere acești termeni și suma rezultată, vedem că numărătorul sumei s-a obținut prin adunarea numărătorilor termenilor, iar numitorul a rămas neschimbat.

De aici obținem următoarea regulă: Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați același numitor.

Să ne uităm la un exemplu:

2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.

Să adunăm fracțiile: 3 / 4 + 3 / 8 Mai întâi trebuie reduse la cel mai mic numitor comun:

Legătura intermediară 6/8 + 3/8 nu a putut fi scrisă; am scris-o aici pentru claritate.

Astfel, pentru a adăuga fracții cu numitori diferiți, trebuie mai întâi să le reduceți la cel mai mic numitor comun, să adăugați numărătorii lor și să etichetați numitorul comun.

Să luăm în considerare un exemplu (vom scrie factori suplimentari deasupra fracțiilor corespunzătoare):

3. Adunarea numerelor mixte.

Să adunăm numerele: 2 3/8 + 3 5/6.

Să aducem mai întâi părțile fracționale ale numerelor noastre la un numitor comun și să le rescriem din nou:

Acum adăugăm secvențial părțile întregi și fracționale:

§ 88. Scăderea fracțiilor.

Scăderea fracțiilor este definită în același mod ca și scăderea numerelor întregi. Aceasta este o acțiune cu ajutorul căreia, dată fiind suma a doi termeni și unul dintre ei, se găsește un alt termen. Să luăm în considerare trei cazuri succesive:

1. Scăderea fracțiilor cu numitori similari.
2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.
3. Scăderea numerelor mixte.

1. Scăderea fracțiilor cu numitori similari.

Să ne uităm la un exemplu:

13 / 15 - 4 / 15

Să luăm segmentul AB (Fig. 18), să-l luăm ca unitate și să-l împărțim în 15 părți egale; atunci partea AC a acestui segment va reprezenta 1/15 din AB, iar o parte AD a aceluiași segment va corespunde cu 13/15 AB. Să lăsăm deoparte un alt segment ED egal cu 4/15 AB.

Trebuie să scădem fracția 4/15 din 13/15. În desen, aceasta înseamnă că segmentul ED trebuie scăzut din segmentul AD. Ca urmare, va rămâne segmentul AE, care este 9/15 din segmentul AB. Deci putem scrie:

Exemplul pe care l-am făcut arată că numărătorul diferenței a fost obținut prin scăderea numărătorilor, dar numitorul a rămas același.

Prin urmare, pentru a scădea fracții cu numitori similari, trebuie să scădeți numărătorul subtraendului de la numărătorul minuendului și să lăsați același numitor.

2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.

Exemplu. 3/4 - 5/8

Mai întâi, să reducem aceste fracții la cel mai mic numitor comun:

Intermediarul 6 / 8 - 5 / 8 este scris aici pentru claritate, dar poate fi omis mai târziu.

Astfel, pentru a scădea o fracție dintr-o fracție, trebuie mai întâi să le reduceți la cel mai mic numitor comun, apoi să scădeți numărătorul minuendului de la numărătorul minuendului și să semnați numitorul comun sub diferența lor.

Să ne uităm la un exemplu:

3. Scăderea numerelor mixte.

Exemplu. 10 3/4 - 7 2/3.

Să reducem părțile fracționale ale minuendului și subtraendului la cel mai mic numitor comun:

Am scăzut un întreg dintr-un întreg și o fracțiune dintr-o fracție. Dar există cazuri când partea fracționară a subtraendului este mai mare decât partea fracționară a minuendului. În astfel de cazuri, trebuie să luați o unitate din întreaga parte a minuendului, să o împărțiți în acele părți în care este exprimată partea fracțională și să o adăugați la partea fracțională a minuendului. Și apoi scăderea va fi efectuată în același mod ca în exemplul anterior:

§ 89. Înmulțirea fracțiilor.

Când studiem înmulțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele întrebări:

1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.
2. Aflarea fracției dintr-un număr dat.
3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.
4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.
5. Înmulțirea numerelor mixte.
6. Conceptul de interes.
7. Aflarea procentului unui număr dat. Să le luăm în considerare secvenţial.

1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.

Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg are același sens ca și înmulțirea unui număr întreg cu un număr întreg. A înmulți o fracție (multiplicand) cu un întreg (factor) înseamnă a crea o sumă de termeni identici, în care fiecare termen este egal cu multiplicandul, iar numărul de termeni este egal cu multiplicatorul.

Aceasta înseamnă că, dacă trebuie să înmulțiți 1/9 cu 7, atunci se poate face astfel:

Am obținut cu ușurință rezultatul, deoarece acțiunea s-a redus la adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Prin urmare,

Luarea în considerare a acestei acțiuni arată că înmulțirea unei fracții cu un număr întreg echivalează cu creșterea acestei fracții de câte ori există unități în întregul număr. Și întrucât creșterea unei fracții se realizează fie prin creșterea numărătorului acesteia

sau prin reducerea numitorului acestuia , atunci putem fie să înmulțim numărătorul cu un număr întreg, fie să împărțim numitorul cu acesta, dacă o astfel de împărțire este posibilă.

De aici obținem regula:

Pentru a înmulți o fracție cu un număr întreg, înmulțiți numărătorul cu acel număr întreg și lăsați numitorul același sau, dacă este posibil, împărțiți numitorul la acel număr, lăsând numărătorul neschimbat.

La înmulțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

2. Aflarea fracției dintr-un număr dat. Există multe probleme în care trebuie să găsiți sau să calculați o parte dintr-un anumit număr. Diferența dintre aceste probleme și altele este că ele dau numărul unor obiecte sau unități de măsură și trebuie să găsiți o parte din acest număr, care este indicat și aici printr-o anumită fracție. Pentru a facilita înțelegerea, vom da mai întâi exemple de astfel de probleme, apoi vom introduce o metodă de rezolvare a acestora.

Sarcina 1. Am avut 60 de ruble; Am cheltuit 1/3 din acești bani pentru a cumpăra cărți. Cât au costat cărțile?

Sarcina 2. Trenul trebuie să parcurgă o distanță între orașele A și B egală cu 300 km. A parcurs deja 2/3 din această distanță. Cati kilometri este asta?

Sarcina 3.În sat sunt 400 de case, 3/4 din cărămidă, restul sunt din lemn. Câte case din cărămidă sunt în total?

Acestea sunt câteva dintre numeroasele probleme pe care le întâlnim pentru a găsi o parte dintr-un anumit număr. Ele sunt de obicei numite probleme pentru a găsi fracția dintr-un număr dat.

Rezolvarea problemei 1. De la 60 de ruble. Am cheltuit 1/3 pe cărți; Aceasta înseamnă că pentru a găsi costul cărților trebuie să împărțiți numărul 60 la 3:

Rezolvarea problemei 2. Ideea problemei este că trebuie să găsiți 2/3 din 300 km. Să calculăm mai întâi 1/3 din 300; acest lucru se realizează prin împărțirea a 300 km la 3:

300: 3 = 100 (adică 1/3 din 300).

Pentru a găsi două treimi din 300, trebuie să dublați coeficientul rezultat, adică să înmulțiți cu 2:

100 x 2 = 200 (adică 2/3 din 300).

Rezolvarea problemei 3. Aici trebuie să determinați numărul de case din cărămidă care alcătuiesc 3/4 din 400. Să găsim mai întâi 1/4 din 400,

400: 4 = 100 (adică 1/4 din 400).

Pentru a calcula trei sferturi din 400, coeficientul rezultat trebuie triplat, adică înmulțit cu 3:

100 x 3 = 300 (adică 3/4 din 400).

Pe baza soluției la aceste probleme, putem deriva următoarea regulă:

Pentru a găsi valoarea unei fracții dintr-un număr dat, trebuie să împărțiți acest număr la numitorul fracției și să înmulțiți câtul rezultat cu numărătorul său.

3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.

Anterior (§ 26) s-a stabilit că înmulțirea numerelor întregi trebuie înțeleasă ca adunarea unor termeni identici (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). În acest paragraf (punctul 1) s-a stabilit că înmulțirea unei fracții cu un număr întreg înseamnă găsirea sumei termenilor identici egală cu această fracție.

În ambele cazuri, înmulțirea a constat în găsirea sumei termenilor identici.

Acum trecem la înmulțirea unui număr întreg cu o fracție. Aici vom întâlni, de exemplu, înmulțirea: 9 2 / 3. Este clar că definiția anterioară a înmulțirii nu se aplică în acest caz. Acest lucru este evident din faptul că nu putem înlocui o astfel de înmulțire prin adăugarea de numere egale.

Din această cauză, va trebui să dăm o nouă definiție a înmulțirii, adică, cu alte cuvinte, să răspundem la întrebarea ce ar trebui înțeles prin înmulțire cu o fracție, cum ar trebui să fie înțeleasă această acțiune.

Sensul înmulțirii unui număr întreg cu o fracție este clar din următoarea definiție: înmulțirea unui număr întreg (multiplicand) cu o fracție (multiplicand) înseamnă găsirea acestei fracțiuni a multiplicandului.

Și anume, înmulțirea a 9 cu 2/3 înseamnă a găsi 2/3 din nouă unități. ÎN paragraful anterior au fost rezolvate astfel de probleme; deci este ușor să ne dăm seama că vom ajunge cu 6.

Dar acum apare o întrebare interesantă și importantă: de ce sunt așa diverse actiuni Cum este găsirea sumei numerelor egale și găsirea fracției dintr-un număr numită prin același cuvânt „înmulțire” în aritmetică?

Acest lucru se întâmplă deoarece acțiunea anterioară (repetarea unui număr cu termeni de mai multe ori) și acțiunea nouă (găsirea fracțiunii unui număr) dau răspunsuri la întrebări omogene. Aceasta înseamnă că pornim aici de la considerentele că întrebări sau sarcini omogene sunt rezolvate prin aceeași acțiune.

Pentru a înțelege acest lucru, luați în considerare următoarea problemă: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 4 m dintr-o astfel de pânză?

Această problemă se rezolvă prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (4), adică 50 x 4 = 200 (ruble).

Să luăm aceeași problemă, dar în ea cantitatea de pânză va fi exprimată ca o fracție: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 3/4 m dintr-o astfel de pânză?”

Această problemă trebuie rezolvată și prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (3/4).

Puteți schimba numerele din el de mai multe ori, fără a schimba sensul problemei, de exemplu, luați 9/10 m sau 2 3/10 m etc.

Întrucât aceste probleme au același conținut și diferă doar în cifre, numim acțiunile folosite în rezolvarea lor același cuvânt - înmulțire.

Cum se înmulțește un număr întreg cu o fracție?

Să luăm numerele întâlnite în ultima problemă:

Conform definiției, trebuie să găsim 3/4 din 50. Să găsim mai întâi 1/4 din 50 și apoi 3/4.

1/4 din 50 este 50/4;

3/4 din numărul 50 este .

Prin urmare.

Să luăm în considerare un alt exemplu: 12 5 / 8 =?

1/8 din numărul 12 este 12/8,

5/8 din numărul 12 este .

Prin urmare,

De aici obținem regula:

Pentru a înmulți un număr întreg cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărul întreg cu numărătorul fracției și să faceți din acest produs numărătorul și să semnați numitorul acestei fracții ca numitor.

Să scriem această regulă folosind litere:

Pentru a face această regulă complet clară, trebuie amintit că o fracție poate fi considerată ca un coeficient. Prin urmare, este util să comparați regula găsită cu regula pentru înmulțirea unui număr cu un coeficient, care a fost stabilită în § 38

Este important să rețineți că înainte de a efectua înmulțirea, ar trebui să faceți (dacă este posibil) reduceri, De exemplu:

4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.Înmulțirea unei fracții cu o fracție are aceeași semnificație ca și înmulțirea unui număr întreg cu o fracție, adică atunci când înmulțiți o fracție cu o fracție, trebuie să găsiți fracția care se află în factorul din prima fracție (multiplicand).

Și anume, înmulțirea a 3/4 cu 1/2 (jumătate) înseamnă a găsi jumătate din 3/4.

Cum se înmulțește o fracție cu o fracție?

Să luăm un exemplu: 3/4 înmulțit cu 5/7. Aceasta înseamnă că trebuie să găsiți 5/7 din 3/4. Să găsim mai întâi 1/7 din 3/4 și apoi 5/7

1/7 din numărul 3/4 va fi exprimat astfel:

5/7 numere 3/4 vor fi exprimate astfel:

Prin urmare,

Un alt exemplu: 5/8 înmulțit cu 4/9.

1/9 din 5/8 este ,

4/9 din numărul 5/8 este .

Prin urmare,

Din aceste exemple se poate deduce următoarea regulă:

Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul și faceți din primul produs numărătorul, iar al doilea produs numitorul produsului.

Aceasta este regula în vedere generala se poate scrie asa:

La înmulțire, este necesar să se facă (dacă este posibil) reduceri. Să ne uităm la exemple:

5. Înmulțirea numerelor mixte. Deoarece numerele mixte pot fi înlocuite cu ușurință cu fracții improprii, această circumstanță este de obicei folosită la înmulțirea numerelor mixte. Aceasta înseamnă că, în cazurile în care multiplicatorul sau multiplicatorul sau ambii factori sunt exprimați ca numere mixte, aceștia sunt înlocuiți cu fracții improprii. Să înmulțim, de exemplu, numere mixte: 2 1/2 și 3 1/5. Să transformăm fiecare dintre ele într-o fracție improprie și apoi să înmulțim fracțiile rezultate conform regulii de înmulțire a unei fracții cu o fracție:

Regulă. Pentru a înmulți numere mixte, trebuie mai întâi să le convertiți în fracții improprii și apoi să le înmulțiți conform regulii de înmulțire a fracțiilor cu fracții.

Notă. Dacă unul dintre factori este un număr întreg, atunci înmulțirea poate fi efectuată pe baza legii distribuției după cum urmează:

6. Conceptul de interes. Când rezolvăm probleme și efectuăm diverse calcule practice, folosim tot felul de fracții. Dar trebuie avut în vedere faptul că multe cantități permit nu orice, ci diviziuni naturale pentru ele. De exemplu, puteți lua o sutime (1/100) dintr-o rublă, va fi o copecă, două sutimi sunt 2 copeici, trei sutimi sunt 3 copeici. Puteți lua 1/10 de rublă, va fi „10 copeici, sau o bucată de zece copeici. Puteți lua un sfert de rublă, adică 25 de copeici, jumătate de rublă, adică 50 de copeici (cincizeci de copeici). Dar practic nu o iau, de exemplu, 2/7 dintr-o rublă pentru că rubla nu este împărțită în șapte.

Unitatea de greutate, adică kilogramul, permite în primul rând diviziuni zecimale, de exemplu 1/10 kg sau 100 g. Și astfel de fracții de kilogram precum 1/6, 1/11, 1/13 nu sunt comune.

În general, măsurile noastre (metrice) sunt zecimale și permit diviziuni zecimale.

Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că este extrem de util și convenabil într-o mare varietate de cazuri să folosiți aceeași metodă (uniformă) de subdivizare a cantităților. Mulți ani de experiență au arătat că o astfel de împărțire bine justificată este „a suta” diviziune. Să luăm în considerare câteva exemple referitoare la cele mai diverse domenii ale practicii umane.

1. Prețul cărților a scăzut cu 12/100 din prețul anterior.

Exemplu. Prețul anterior al cărții era de 10 ruble. A scăzut cu 1 rublă. 20 de copeici

2. Băncile de economii plătesc deponenților 2/100 din suma depusă pentru economii în cursul anului.

Exemplu. În casa de marcat sunt depuse 500 de ruble, venitul din această sumă pentru anul este de 10 ruble.

3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5/100 din numărul total de elevi.

EXEMPLU La școală erau doar 1.200 de elevi, dintre care 60 au absolvit.

A sutimea parte a unui număr se numește procent.

Cuvântul „procent” este împrumutat din latină, iar rădăcina lui „cent” înseamnă o sută. Împreună cu prepoziția (pro centum), acest cuvânt înseamnă „pentru o sută”. Sensul unei astfel de expresii rezultă din faptul că inițial în Roma antică dobânda erau banii pe care debitorul îi plătea creditorului „pentru fiecare sută”. Cuvântul „cent” se aude în cuvinte atât de familiare: centner (o sută de kilograme), centimetru (să spunem centimetru).

De exemplu, în loc să spunem că în ultima lună fabrica a produs 1/100 din toate produsele produse de ea a fost defecte, vom spune așa: în ultima lună, fabrica a produs un procent din defecte. În loc să spunem: fabrica a produs cu 4/100 de produse mai multe decât planul stabilit, vom spune: uzina a depășit planul cu 4 la sută.

Exemplele de mai sus pot fi exprimate diferit:

1. Prețul cărților a scăzut cu 12 la sută față de prețul anterior.

2. Băncile de economii plătesc deponenților 2 la sută pe an din suma depusă în economii.

3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5 la sută din toți elevii școlii.

Pentru a scurta litera, se obișnuiește să scrieți simbolul % în loc de cuvântul „procent”.

Cu toate acestea, trebuie să rețineți că în calcule semnul % nu este de obicei scris; acesta poate fi scris în enunțul problemei și în rezultatul final. Când efectuați calcule, trebuie să scrieți o fracție cu numitorul 100 în loc de un număr întreg cu acest simbol.

Trebuie să puteți înlocui un număr întreg cu pictograma indicată cu o fracție cu numitorul 100:

Dimpotrivă, trebuie să vă obișnuiți să scrieți un număr întreg cu simbolul indicat în loc de o fracție cu numitorul 100:

7. Aflarea procentului unui număr dat.

Sarcina 1.Școala a primit 200 de metri cubi. m lemn de foc, cu lemn de foc de mesteacan 30%. Cât lemn de foc de mesteacăn era acolo?

Sensul acestei probleme este că lemnul de foc de mesteacăn constituia doar o parte din lemnul de foc care a fost livrat școlii, iar această parte este exprimată în fracția 30/100. Aceasta înseamnă că avem sarcina de a găsi o fracțiune dintr-un număr. Pentru a o rezolva, trebuie să înmulțim 200 cu 30/100 (problemele de găsire a fracției unui număr se rezolvă prin înmulțirea numărului cu fracția.).

Aceasta înseamnă că 30% din 200 este egal cu 60.

Fracția 30/100 întâlnită în această problemă poate fi redusă cu 10. Ar fi posibil să se facă această reducere de la bun început; soluția problemei nu s-ar fi schimbat.

Sarcina 2.În tabără erau 300 de copii de diferite vârste. Copiii de 11 ani au reprezentat 21%, copiii de 12 ani au reprezentat 61% și, în final, copiii de 13 ani au reprezentat 18%. Câți copii de fiecare vârstă erau în tabără?

În această problemă trebuie să efectuați trei calcule, adică să găsiți succesiv numărul de copii de 11 ani, apoi de 12 ani și în final de 13 ani.

Aceasta înseamnă că aici va trebui să găsiți fracțiunea numărului de trei ori. Hai să o facem:

1) Câți copii de 11 ani au fost?

2) Câți copii de 12 ani au fost?

3) Câți copii de 13 ani erau acolo?

După rezolvarea problemei, este util să adăugați numerele găsite; suma lor ar trebui să fie 300:

63 + 183 + 54 = 300

De asemenea, trebuie remarcat faptul că suma procentelor date în enunțul problemei este 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Acest lucru sugerează că numărul total copiii din tabără au fost luați ca 100%.

3 a d a h a 3. Muncitorul primea 1.200 de ruble pe lună. Din acestea, a cheltuit 65% pe alimente, 6% pe apartamente și încălzire, 4% pe gaz, electricitate și radio, 10% pe nevoi culturale și 15% a făcut economii. Câți bani au fost cheltuiți pentru nevoile indicate în sarcină?

Pentru a rezolva această problemă trebuie să găsiți de 5 ori fracția de 1200. Să facem asta.

1) Câți bani s-au cheltuit pe mâncare? Problema spune că această cheltuială reprezintă 65% din câștigurile totale, adică 65/100 din numărul 1.200. Să facem calculul:

2) Cati bani ati platit pentru un apartament cu incalzire? Raționând similar celui precedent, ajungem la următorul calcul:

3) Câți bani ați plătit pentru gaz, electricitate și radio?

4) Câți bani au fost cheltuiți pentru nevoi culturale?

5) Câți bani a economisit muncitorul?

Pentru a verifica, este util să adunăm numerele găsite în aceste 5 întrebări. Suma ar trebui să fie de 1.200 de ruble. Toate câștigurile sunt luate ca 100%, ceea ce este ușor de verificat prin adunarea numerelor procentuale indicate în declarația problemei.

Am rezolvat trei probleme. În ciuda faptului că aceste probleme s-au ocupat de lucruri diferite (livrarea lemnelor de foc pentru școală, numărul de copii de diferite vârste, cheltuielile muncitorului), acestea au fost rezolvate în același mod. Acest lucru s-a întâmplat deoarece în toate problemele a fost necesar să se găsească câteva procente din numerele date.

§ 90. Împărțirea fracțiilor.

Pe măsură ce studiem împărțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele întrebări:

1. Împărțiți un număr întreg la un număr întreg.
2. Împărțirea unei fracții la un număr întreg
3. Împărțirea unui număr întreg la o fracție.
4. Împărțirea unei fracții la o fracție.
5. Împărțirea numerelor mixte.
6. Găsirea unui număr din fracția lui dată.
7. Găsirea unui număr după procentajul său.

Să le luăm în considerare secvenţial.

1. Împărțiți un număr întreg la un număr întreg.

După cum s-a indicat în departamentul numerelor întregi, împărțirea este acțiunea care constă în faptul că, dat fiind produsul a doi factori (dividend) și unul dintre acești factori (divizor), se găsește un alt factor.

Ne-am uitat la împărțirea unui număr întreg la un număr întreg în secțiunea despre numere întregi. Am întâlnit două cazuri de împărțire acolo: împărțirea fără rest, sau „în întregime” (150: 10 = 15) și împărțirea cu rest (100: 9 = 11 și 1 rest). Putem spune deci că în domeniul numerelor întregi, împărțirea exactă nu este întotdeauna posibilă, deoarece dividendul nu este întotdeauna produsul divizorului cu întregul. După introducerea înmulțirii cu o fracție, putem considera posibil orice caz de împărțire a numerelor întregi (se exclude doar împărțirea cu zero).

De exemplu, împărțirea lui 7 la 12 înseamnă găsirea unui număr al cărui produs cu 12 ar fi egal cu 7. Un astfel de număr este fracția 7 / 12 deoarece 7 / 12 12 = 7. Un alt exemplu: 14: 25 = 14 / 25, deoarece 14 / 25 25 = 14.

Astfel, pentru a împărți un număr întreg la un număr întreg, trebuie să creați o fracție al cărei numărător este egal cu dividendul și numitorul este egal cu divizorul.

2. Împărțirea unei fracții la un număr întreg.

Împărțiți fracția 6 / 7 la 3. Conform definiției împărțirii dată mai sus, avem aici produsul (6 / 7) și unul dintre factorii (3); este necesar să se găsească un al doilea factor care, înmulțit cu 3, ar da produsul dat 6/7. Evident, ar trebui să fie de trei ori mai mic decât acest produs. Aceasta înseamnă că sarcina stabilită în fața noastră a fost să reducem fracția de 6/7 de 3 ori.

Știm deja că reducerea unei fracții se poate face fie prin micșorarea numărătorului, fie prin creșterea numitorului. Prin urmare, puteți scrie:

În acest caz, numărătorul 6 este divizibil cu 3, deci numărătorul trebuie redus de 3 ori.

Să luăm un alt exemplu: 5 / 8 împărțit la 2. Aici numărătorul 5 nu este divizibil cu 2, ceea ce înseamnă că numitorul va trebui înmulțit cu acest număr:

Pe baza acesteia, se poate face o regulă: Pentru a împărți o fracție la un număr întreg, trebuie să împărțiți numărătorul fracției la acel număr întreg.(dacă este posibil), lăsând același numitor, sau înmulțiți numitorul fracției cu acest număr, rămânând același numărător.

3. Împărțirea unui număr întreg la o fracție.

Să fie necesar să împărțim 5 la 1/2, adică să găsim un număr care, după înmulțirea cu 1/2, va da produsul 5. Evident, acest număr trebuie să fie mai mare decât 5, deoarece 1/2 este o fracție proprie. , iar la înmulțirea unui număr produsul unei fracții adecvate trebuie să fie mai mic decât produsul înmulțit. Pentru a face acest lucru mai clar, să scriem acțiunile noastre după cum urmează: 5: 1 / 2 = X , ceea ce înseamnă x 1 / 2 = 5.

Trebuie să găsim un astfel de număr X , care, înmulțit cu 1/2, ar da 5. Deoarece înmulțirea unui anumit număr cu 1/2 înseamnă găsirea a 1/2 din acest număr, atunci, prin urmare, 1/2 din numărul necunoscut X este egal cu 5 și numărul întreg X de două ori mai mult, adică 5 2 = 10.

Deci 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Sa verificam:

Să ne uităm la un alt exemplu. Să presupunem că doriți să împărțiți 6 la 2/3. Să încercăm mai întâi să găsim rezultatul dorit folosind desenul (Fig. 19).

Fig.19

Să desenăm un segment AB egal cu 6 unități și să împărțim fiecare unitate în 3 părți egale. În fiecare unitate, trei treimi (3/3) din întregul segment AB este de 6 ori mai mare, adică. e. 18/3. Folosind paranteze mici, conectăm cele 18 segmente rezultate din 2; Vor fi doar 9 segmente. Aceasta înseamnă că fracția 2/3 este conținută în 6 unități de 9 ori, sau, cu alte cuvinte, fracția 2/3 este de 9 ori mai mică decât 6 unități întregi. Prin urmare,

Cum să obțineți acest rezultat fără un desen folosind numai calcule? Să raționăm astfel: trebuie să împărțim 6 la 2/3, adică trebuie să răspundem la întrebarea de câte ori 2/3 este conținut în 6. Să aflăm mai întâi: de câte ori 1/3 este conținut în 6? Într-o unitate întreagă sunt 3 treimi, iar în 6 unități sunt de 6 ori mai multe, adică 18 treimi; pentru a găsi acest număr trebuie să înmulțim 6 cu 3. Aceasta înseamnă că 1/3 este conținut în b unități de 18 ori, iar 2/3 este conținut în b unități nu de 18 ori, ci jumătate din câte ori, adică 18: 2 = 9 Prin urmare, când împărțim 6 la 2/3 am completat următoarele acțiuni:

De aici obținem regula împărțirii unui număr întreg la o fracție. Pentru a împărți un număr întreg la o fracție, trebuie să înmulțiți acest număr întreg cu numitorul fracției date și, făcând din acest produs numărător, să îl împărțiți la numărătorul fracției date.

Să scriem regula folosind litere:

Pentru a face această regulă complet clară, trebuie amintit că o fracție poate fi considerată ca un coeficient. Prin urmare, este util să comparați regula găsită cu regula împărțirii unui număr la un coeficient, care a fost stabilită în § 38. Vă rugăm să rețineți că aceeași formulă a fost obținută acolo.

La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

4. Împărțirea unei fracții la o fracție.

Să presupunem că trebuie să împărțim 3/4 la 3/8. Ce va însemna numărul rezultat din împărțire? Va răspunde la întrebarea de câte ori este conținută fracția 3/8 în fracția 3/4. Pentru a înțelege această problemă, să facem un desen (Fig. 20).

Să luăm un segment AB, să-l luăm ca unul, să-l împărțim în 4 părți egale și să marchem 3 astfel de părți. Segmentul AC va fi egal cu 3/4 din segmentul AB. Să împărțim acum fiecare dintre cele patru segmente originale în jumătate, apoi segmentul AB va fi împărțit în 8 părți egale și fiecare astfel de părți va fi egală cu 1/8 din segmentul AB. Să conectăm 3 astfel de segmente cu arce, apoi fiecare dintre segmentele AD și DC va fi egal cu 3/8 din segmentul AB. Desenul arată că un segment egal cu 3/8 este cuprins într-un segment egal cu 3/4 exact de 2 ori; Aceasta înseamnă că rezultatul împărțirii poate fi scris după cum urmează:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Să ne uităm la un alt exemplu. Să presupunem că trebuie să împărțim 15/16 la 3/32:

Putem raționa astfel: trebuie să găsim un număr care, după înmulțirea cu 3/32, va da un produs egal cu 15/16. Să scriem calculele astfel:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 număr necunoscut X sunt 15/16

1/32 dintr-un număr necunoscut X este ,

32 / 32 de numere X inventa .

Prin urmare,

Astfel, pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua și să înmulțiți numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua și să faceți din primul produs numărătorul, iar al doilea numitorul.

Să scriem regula folosind litere:

La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

5. Împărțirea numerelor mixte.

La împărțirea numerelor mixte, acestea trebuie mai întâi convertite în fracții improprii, iar apoi fracțiile rezultate trebuie împărțite conform regulilor de împărțire a fracțiilor. Să ne uităm la un exemplu:

Să transformăm numerele mixte în fracții improprii:

Acum să împărțim:

Astfel, pentru a împărți numerele mixte, trebuie să le convertiți în fracții improprii și apoi să împărțiți folosind regula de împărțire a fracțiilor.

6. Găsirea unui număr din fracția lui dată.

Printre diversele probleme cu fracțiile, uneori există acelea în care este dată valoarea unei fracții dintr-un număr necunoscut și trebuie să găsiți acest număr. Acest tip de problemă va fi inversul problemei de a găsi fracția dintr-un număr dat; acolo a fost dat un număr și a fost necesar să se găsească o fracțiune din acest număr, aici a fost dat o fracțiune dintr-un număr și a fost necesar să se găsească acest număr în sine. Această idee va deveni și mai clară dacă ne întoarcem la rezolvarea acestui tip de problemă.

Sarcina 1.În prima zi, geamurile au vitrat 50 de ferestre, adică 1/3 din toate ferestrele casei construite. Câte ferestre sunt în casa asta?

Soluţie. Problema spune că 50 de ferestre cu geam alcătuiesc 1/3 din toate ferestrele casei, ceea ce înseamnă că sunt de 3 ori mai multe ferestre în total, adică.

Casa avea 150 de ferestre.

Sarcina 2. Magazinul a vândut 1.500 kg de făină, adică 3/8 din stocul total de făină pe care îl avea magazinul. Care a fost rezerva inițială de făină a magazinului?

Soluţie. Din condițiile problemei reiese clar că 1.500 kg de făină vândute constituie 3/8 din stocul total; Aceasta înseamnă că 1/8 din această rezervă va fi de 3 ori mai mică, adică pentru a o calcula trebuie să reduceți 1500 de 3 ori:

1.500: 3 = 500 (aceasta este 1/8 din rezervă).

Evident, întreaga aprovizionare va fi de 8 ori mai mare. Prin urmare,

500 8 = 4.000 (kg).

Stocul inițial de făină din magazin a fost de 4.000 kg.

Luând în considerare această problemă, se poate deduce următoarea regulă.

Pentru a găsi un număr dintr-o valoare dată a fracției sale, este suficient să împărțiți această valoare la numărătorul fracției și să înmulțiți rezultatul cu numitorul fracției.

Am rezolvat două probleme la găsirea unui număr dat fiind fracția sa. Astfel de probleme, așa cum se vede în mod deosebit din ultima, sunt rezolvate prin două acțiuni: împărțirea (când se găsește o parte) și înmulțire (când se găsește întregul număr).

Totuși, după ce am învățat împărțirea fracțiilor, problemele de mai sus pot fi rezolvate cu o singură acțiune și anume: împărțirea cu o fracție.

De exemplu, ultima sarcină poate fi rezolvată într-o singură acțiune ca aceasta:

În viitor, vom rezolva problemele de a găsi un număr din fracția sa cu o singură acțiune - împărțire.

7. Găsirea unui număr după procentajul său.

În aceste probleme, va trebui să găsiți un număr cunoscând câteva procente din acel număr.

Sarcina 1. La începutul acestui an am primit 60 de ruble de la banca de economii. venit din suma pe care am pus-o în economii acum un an. Câți bani am băgat în banca de economii? (Casierele oferă deponenților o rentabilitate de 2% pe an.)

Ideea problemei este că am pus o anumită sumă de bani într-o casă de economii și am stat acolo un an. După un an, am primit 60 de ruble de la ea. venit, care este 2/100 din banii pe care i-am depus. Câți bani am băgat?

În consecință, cunoscând o parte din acești bani, exprimați în două moduri (în ruble și fracții), trebuie să găsim întreaga sumă, încă necunoscută. Aceasta este o problemă obișnuită de a găsi un număr având în vedere fracția sa. Următoarele probleme sunt rezolvate prin diviziune:

Aceasta înseamnă că 3.000 de ruble au fost depuse la banca de economii.

Sarcina 2. Pescarii au îndeplinit planul lunar cu 64% în două săptămâni, recoltând 512 tone de pește. Care era planul lor?

Din condițiile problemei se știe că pescarii au finalizat o parte din plan. Această parte este egală cu 512 tone, ceea ce reprezintă 64% din plan. Nu știm câte tone de pește trebuie pregătite conform planului. Găsirea acestui număr va fi soluția problemei.

Astfel de probleme sunt rezolvate prin diviziune:

Aceasta înseamnă că, conform planului, trebuie pregătite 800 de tone de pește.

Sarcina 3. Trenul a mers de la Riga la Moscova. Când a depășit cel de-al 276-lea kilometru, unul dintre pasageri a întrebat un conductor care trecea cât de mult au parcurs deja călătoria. La aceasta dirijorul a răspuns: „Am acoperit deja 30% din întreaga călătorie”. Care este distanța de la Riga la Moscova?

Din condițiile de problemă este clar că 30% din traseul de la Riga la Moscova este de 276 km. Trebuie să găsim întreaga distanță dintre aceste orașe, adică, pentru această parte, găsim întregul:

§ 91. Numerele reciproce. Înlocuirea împărțirii cu înmulțirea.

Să luăm fracția 2/3 și să înlocuim numărătorul în locul numitorului, obținem 3/2. Am obținut inversul acestei fracții.

Pentru a obține inversul unei fracții date, trebuie să puneți numărătorul acesteia în locul numitorului și numitorul în locul numărătorului. În acest fel putem obține reciproca oricărei fracții. De exemplu:

3/4, invers 4/3; 5/6, invers 6/5

Două fracții care au proprietatea că numărătorul primei este numitorul celei de-a doua, iar numitorul primei este numărătorul celei de-a doua, se numesc reciproc invers.

Acum să ne gândim la ce fracție va fi reciproca lui 1/2. Evident, va fi 2 / 1, sau doar 2. Căutând fracția inversă a celei date, am obținut un număr întreg. Și acest caz nu este izolat; dimpotrivă, pentru toate fracțiile cu numărător de 1 (un), reciprocele vor fi numere întregi, de exemplu:

1/3, invers 3; 1/5, reversul 5

Întrucât în ​​găsirea fracțiilor reciproce am întâlnit și numere întregi, în cele ce urmează nu vom vorbi despre fracții reciproce, ci despre numere reciproce X.

Să ne dăm seama cum să scriem inversul unui număr întreg. Pentru fracții, acest lucru poate fi rezolvat simplu: trebuie să puneți numitorul în locul numărătorului. În același mod, puteți obține inversul unui număr întreg, deoarece orice număr întreg poate avea un numitor de 1. Aceasta înseamnă că inversul lui 7 va fi 1/7, deoarece 7 = 7/1; pentru numărul 10 inversul va fi 1/10, deoarece 10 = 10/1

Această idee poate fi exprimată diferit: reciproca unui număr dat se obține prin împărțirea unu la un număr dat. Această afirmație este valabilă nu numai pentru numere întregi, ci și pentru fracții. De fapt, dacă trebuie să scriem inversul fracției 5/9, atunci putem lua 1 și îl împărțim la 5/9, adică.

Acum să subliniem un lucru proprietate numere reciproce, care ne vor fi utile: produsul numerelor reciproce este egal cu unu.Într-adevăr:

Folosind această proprietate, putem găsi numere reciproce în felul următor. Să presupunem că trebuie să găsim inversul lui 8.

Să o notăm prin literă X , apoi 8 X = 1, prin urmare X = 1/8. Să găsim un alt număr care este inversul lui 7/12 și să îl notăm cu literă X , apoi 7/12 X = 1, prin urmare X = 1: 7 / 12 sau X = 12 / 7 .

Am introdus aici conceptul de numere reciproce pentru a completa puțin informațiile despre împărțirea fracțiilor.

Când împărțim numărul 6 la 3/5, facem următoarele:

Te rog plateste Atentie speciala la expresia şi comparaţi-o cu cea dată: .

Dacă luăm expresia separat, fără legătură cu cea anterioară, atunci este imposibil să rezolvăm problema de unde provine: de la împărțirea a 6 la 3/5 sau de la înmulțirea a 6 cu 5/3. În ambele cazuri se întâmplă același lucru. Prin urmare putem spune că împărțirea unui număr la altul poate fi înlocuită prin înmulțirea dividendului cu inversul divizorului.

Exemplele pe care le oferim mai jos confirmă pe deplin această concluzie.

Pentru a înmulți corect o fracție cu o fracție sau o fracție cu un număr, trebuie să știi reguli simple. Vom analiza acum aceste reguli în detaliu.

Înmulțirea unei fracții comune cu o fracție.

Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să calculați produsul numărătorilor și produsul numitorilor acestor fracții.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Să ne uităm la un exemplu:
Înmulțim numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și, de asemenea, înmulțim numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ ori 3)(7 \ori 3) = \frac(4)(7)\\\)

Fracția \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) a fost redusă cu 3.

Înmulțirea unei fracții cu un număr.

În primul rând, să ne amintim regula, orice număr poate fi reprezentat ca o fracție \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Să folosim această regulă atunci când înmulțim.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Fracție improprie \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) convertit în fracție mixtă.

Cu alte cuvinte, Când înmulțim un număr cu o fracție, înmulțim numărul cu numărător și lăsăm numitorul neschimbat. Exemplu:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Înmulțirea fracțiilor mixte.

Pentru a înmulți fracțiile mixte, trebuie mai întâi să reprezentați fiecare fracție mixtă ca o fracție improprie și apoi să utilizați regula înmulțirii. Înmulțim numărătorul cu numărătorul și înmulțim numitorul cu numitorul.

Exemplu:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Înmulțirea fracțiilor și numerelor reciproce.

Fracția \(\bf \frac(a)(b)\) este inversul fracției \(\bf \frac(b)(a)\), cu condiția a≠0,b≠0.
Fracțiile \(\bf \frac(a)(b)\) și \(\bf \frac(b)(a)\) se numesc fracții reciproce. Produsul fracțiilor reciproce este egal cu 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Exemplu:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Întrebări înrudite:
Cum se înmulțește o fracție cu o fracție?
Răspuns: Produsul fracțiilor obișnuite este înmulțirea unui numărător cu un numărător, a unui numitor cu un numitor. Pentru a obține produsul fracțiilor mixte, trebuie să le convertiți într-o fracție necorespunzătoare și să le înmulțiți conform regulilor.

Cum se înmulțesc fracții cu numitori diferiți?
Răspuns: nu contează dacă fracțiile au numitori aceiași sau diferiți, înmulțirea are loc conform regulii de a găsi produsul unui numărător cu numărător, un numitor cu numitor.

Cum se înmulțesc fracțiile mixte?
Răspuns: în primul rând, trebuie să convertiți fracția mixtă într-o fracție necorespunzătoare și apoi să găsiți produsul folosind regulile de înmulțire.

Cum se înmulțește un număr cu o fracție?
Răspuns: înmulțim numărul cu numărătorul, dar numitorul lăsăm același.

Exemplul #1:
Calculați produsul: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \)

Soluţie:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( roșu) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)

Exemplul #2:
Calculați produsele unui număr și ale unei fracții: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

Soluţie:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Exemplul #3:
Scrieți reciproca fracției \(\frac(1)(3)\)?
Răspuns: \(\frac(3)(1) = 3\)

Exemplul #4:
Calculați produsul a două fracții reciproce: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Soluţie:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Exemplul #5:
Fracțiile reciproce pot fi:
a) concomitent cu fracțiile proprii;
b) simultan fracţii improprii;
c) simultan numere naturale?

Soluţie:
a) pentru a răspunde la prima întrebare, să dăm un exemplu. Fracția \(\frac(2)(3)\) este proprie, fracția sa inversă va fi egală cu \(\frac(3)(2)\) - o fracție improprie. Răspuns: nu.

b) în aproape toate enumerările de fracții această condiție nu este îndeplinită, dar există unele numere care îndeplinesc condiția de a fi simultan o fracție improprie. De exemplu, fracția improprie este \(\frac(3)(3)\), fracția sa inversă este egală cu \(\frac(3)(3)\). Obținem două fracții improprii. Răspuns: nu întotdeauna în anumite condiții când numărătorul și numitorul sunt egali.

c) numerele naturale sunt numere pe care le folosim atunci când numărăm, de exemplu, 1, 2, 3, …. Dacă luăm numărul \(3 = \frac(3)(1)\), atunci fracția sa inversă va fi \(\frac(1)(3)\). Fracția \(\frac(1)(3)\) nu este un număr natural. Dacă parcurgem toate numerele, reciproca numărului este întotdeauna o fracție, cu excepția lui 1. Dacă luăm numărul 1, atunci fracția sa reciprocă va fi \(\frac(1)(1) = \frac(1). )(1) = 1\). Numărul 1 este un număr natural. Răspuns: pot fi simultan numere naturale doar într-un singur caz, dacă acesta este numărul 1.

Exemplul #6:
Faceți produsul fracțiilor mixte: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

Soluţie:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Exemplul #7:
Două reciproce pot fi numere mixte în același timp?

Să ne uităm la un exemplu. Să luăm o fracție mixtă \(1\frac(1)(2)\), găsim fracția ei inversă, pentru a face acest lucru o transformăm într-o fracție improprie \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2) \) . Fracția sa inversă va fi egală cu \(\frac(2)(3)\) . Fracția \(\frac(2)(3)\) este o fracție proprie. Răspuns: Două fracții care sunt reciproc inverse nu pot fi numere mixte în același timp.

În acest articol ne vom uita înmulțirea numerelor mixte. În primul rând, vom schița regula pentru înmulțirea numerelor mixte și vom lua în considerare aplicarea acestei reguli atunci când rezolvăm exemple. În continuare vom vorbi despre înmulțirea unui număr mixt și a unui număr natural. În cele din urmă, vom învăța cum să înmulțim un număr mixt și o fracție comună.

Navigare în pagină.

Înmulțirea numerelor mixte.

Înmulțirea numerelor mixte poate fi redusă la înmulțirea fracțiilor obișnuite. Pentru a face acest lucru, este suficient să convertiți numerele mixte în fracții improprii.

Să-l notăm regula de multiplicare a numerelor mixte:

• În primul rând, numerele mixte care sunt înmulțite trebuie înlocuite cu fracții improprii;
• În al doilea rând, trebuie să utilizați regula pentru înmulțirea fracțiilor cu fracții.

Să ne uităm la exemple de aplicare a acestei reguli atunci când înmulțim un număr mixt cu un număr mixt.

Efectuați înmulțirea numerelor mixte și .

Mai întâi, să reprezentăm numerele mixte înmulțite ca fracții improprii: Și . Acum putem înlocui înmulțirea numerelor mixte cu înmulțirea fracțiilor ordinare: . Aplicând regula de înmulțire a fracțiilor, obținem . Fracția rezultată este ireductibilă (vezi fracții reductibile și ireductibile), dar este improprie (vezi fracții proprii și improprie), prin urmare, pentru a obține răspunsul final, rămâne să izolăm întreaga parte de fracția improprie: .

Să scriem întreaga soluție într-o singură linie: .

.

Pentru a consolida abilitățile de înmulțire a numerelor mixte, luați în considerare rezolvarea unui alt exemplu.

Faceți înmulțirea.

Numerele amuzante și sunt egale cu fracțiile 13/5 și, respectiv, 10/9. Apoi . În această etapă, este timpul să vă amintiți despre reducerea unei fracții: înlocuiți toate numerele din fracție cu descompunerea lor în factori primi și efectuați o reducere a factorilor identici.

Înmulțirea unui număr mixt și a unui număr natural

După înlocuirea unui număr mixt cu o fracție improprie, înmulțirea unui număr mixt și a unui număr natural duce la înmulțirea unei fracții obișnuite și a unui număr natural.

Înmulțiți un număr mixt și numărul natural 45.

Atunci un număr mixt este egal cu o fracție . Să înlocuim numerele din fracția rezultată cu descompunerea lor în factori primi, să efectuăm o reducere și apoi să selectăm întreaga parte: .

.

Înmulțirea unui număr mixt și a unui număr natural se realizează uneori în mod convenabil utilizând proprietatea distributivă a înmulțirii relativ la adunare. În acest caz, produsul dintre un număr mixt și un număr natural este egal cu suma produselor părții întregi cu numărul natural dat și ale părții fracționale cu numărul natural dat, adică .

Calculați produsul.

Să înlocuim numărul mixt cu suma părților întregi și fracționale, după care aplicăm proprietatea distributivă a înmulțirii: .

Înmulțirea numerelor și fracțiilor mixte Cel mai convenabil este să o reduceți la înmulțirea fracțiilor obișnuite prin reprezentarea numărului mixt înmulțit ca o fracție improprie.

Înmulțiți numărul mixt cu fracția comună 4/15.

Înlocuind numărul mixt cu o fracție, obținem .

www.cleverstudents.ru

Înmulțirea fracțiilor

§ 140. Definiţii. 1) Înmulțirea unei fracții cu un întreg este definită în același mod ca și înmulțirea numerelor întregi și anume: a înmulți un număr (multiplicand) cu un întreg (factor) înseamnă a alcătui o sumă de termeni identici, în care fiecare termen este egal cu multiplicandul, iar numărul de termeni este egal cu multiplicatorul.

Deci, înmulțirea cu 5 înseamnă găsirea sumei:
2) Înmulțirea unui număr (multiplicand) cu o fracție (factor) înseamnă găsirea acestei fracții a multiplicandului.

Astfel, acum vom numi găsirea unei fracții dintr-un număr dat, pe care am considerat-o mai înainte, înmulțire cu o fracție.

3) A înmulți un număr (multiplicand) cu un număr mixt (factor) înseamnă a înmulți mai întâi multiplicantul cu numărul întreg al multiplicatorului, apoi cu fracția multiplicatorului și adunăm rezultatele acestor două înmulțiri.

De exemplu:

Se numește numărul obținut după înmulțire în toate aceste cazuri muncă, adică la fel ca la înmulțirea numerelor întregi.

Din aceste definiții reiese clar că înmulțirea numerelor fracționale este o acțiune care este întotdeauna posibilă și întotdeauna lipsită de ambiguitate.

§ 141. oportunitatea acestor definiţii. Pentru a înțelege oportunitatea introducerii ultimelor două definiții ale înmulțirii în aritmetică, să luăm următoarea problemă:

Sarcină. Un tren, care se deplasează uniform, parcurge 40 km pe oră; cum să aflați câți kilometri va parcurge acest tren într-un anumit număr de ore?

Dacă am rămâne cu acea singură definiție a înmulțirii, care este indicată în aritmetica întregi (adunarea termenilor egali), atunci problema noastră ar avea trei diverse solutii, și anume:

Dacă numărul de ore dat este un întreg (de exemplu, 5 ore), atunci pentru a rezolva problema trebuie să înmulțiți 40 km cu acest număr de ore.

Dacă un anumit număr de ore este exprimat ca o fracție (de exemplu, o oră), atunci va trebui să găsiți valoarea acestei fracții de la 40 km.

În cele din urmă, dacă numărul dat de ore este amestecat (de exemplu, ore), atunci 40 km vor trebui înmulțiți cu numărul întreg conținut în numărul mixt, iar la rezultat adăugați o altă fracțiune de 40 km, care se află în amestecul. număr.

Definițiile pe care le-am dat ne permit să oferim un răspuns general tuturor acestor cazuri posibile:

trebuie să înmulți 40 km cu un anumit număr de ore, oricare ar fi acesta.

Astfel, dacă problema este prezentată în formă generală, după cum urmează:

Un tren, care se deplasează uniform, parcurge v km într-o oră. Câți kilometri va parcurge trenul în t ore?

atunci, indiferent care sunt numerele v și t, putem da un singur răspuns: numărul dorit este exprimat prin formula v · t.

Notă. Găsirea unei fracții dintr-un număr dat, după definiția noastră, înseamnă același lucru cu înmulțirea unui număr dat cu această fracție; prin urmare, de exemplu, găsirea a 5% (adică cinci sutimi) dintr-un număr dat înseamnă același lucru cu înmulțirea unui număr dat cu sau cu ; a găsi 125% dintr-un număr dat înseamnă același lucru cu înmulțirea acestui număr cu sau cu etc.

§ 142. O notă despre când un număr crește și când scade din înmulțire.

Înmulțirea cu o fracție proprie scade numărul, iar înmulțirea cu o fracție improprie mărește numărul dacă această fracție improprie este mai mare decât unu și rămâne neschimbată dacă este egală cu unu.
Cometariu. La înmulțirea numerelor fracționale, precum și a numerelor întregi, produsul este luat egal cu zero dacă oricare dintre factori este egal cu zero, deci .

§ 143. Derivarea regulilor de multiplicare.

1) Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg. Să fie înmulțită o fracție cu 5. Aceasta înseamnă mărită de 5 ori. Pentru a crește o fracție de 5 ori, este suficient să-i creșteți numărătorul sau să-i micșorați numitorul de 5 ori (§ 127).

De aceea:
Regula 1. Pentru a înmulți o fracție cu un număr întreg, trebuie să înmulțiți numărătorul cu acest număr întreg, dar să lăsați numitorul același; în schimb, puteți împărți și numitorul fracției la numărul întreg dat (dacă este posibil) și lăsați numărătorul același.

Cometariu. Produsul unei fracții și numitorul ei este egal cu numărătorul ei.

Asa de:
Regula 2. Pentru a înmulți un număr întreg cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărul întreg cu numărătorul fracției și să faceți din acest produs numărătorul și să semnați numitorul acestei fracții ca numitor.
Regula 3. Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul și faceți din primul produs numărătorul, iar al doilea numitorul produsului.

Cometariu. Această regulă poate fi aplicată și la înmulțirea unei fracții cu un întreg și a unui număr întreg cu o fracție, doar dacă considerăm întregul ca o fracție cu numitor de unu. Asa de:

Astfel, cele trei reguli prezentate acum sunt cuprinse într-una, care în general poate fi exprimată astfel:
4) Înmulțirea numerelor mixte.

Regula a 4-a. Pentru a înmulți numere mixte, trebuie să le convertiți în fracții improprii și apoi să înmulțiți conform regulilor de înmulțire a fracțiilor. De exemplu:
§ 144. Reducerea în timpul înmulţirii. La înmulțirea fracțiilor, dacă este posibil, este necesar să se facă o reducere preliminară, așa cum se poate observa din următoarele exemple:

O astfel de reducere se poate face deoarece valoarea unei fracții nu se va modifica dacă numărătorul și numitorul ei sunt reduse de același număr de ori.

§ 145. Schimbarea unui produs cu factori schimbatori. Când factorii se modifică, produsul numerelor fracționale se va modifica exact în același mod ca produsul numerelor întregi (§ 53), și anume: dacă creșteți (sau micșorați) orice factor de mai multe ori, atunci produsul va crește (sau scade) cu aceeasi suma.

Deci, dacă în exemplu:
pentru a înmulți mai multe fracții, trebuie să înmulțiți numărătorii lor între ei și numitorii între ei și faceți din primul produs numărătorul, iar al doilea numitorul produsului.

Cometariu. Această regulă poate fi aplicată și la astfel de produse în care unii dintre factorii numărului sunt întregi sau amestecați, doar dacă considerăm întregul ca o fracție cu numitor de unu și transformăm numerele mixte în fracții improprii. De exemplu:
§ 147. Proprietăţile de bază ale înmulţirii. Acele proprietăți de înmulțire pe care le-am indicat pentru numerele întregi (§ 56, 57, 59) se aplică și înmulțirii numerelor fracționale. Să indicăm aceste proprietăți.

1) Produsul nu se modifică atunci când factorii sunt modificați.

De exemplu:

Într-adevăr, conform regulii paragrafului anterior, primul produs este egal cu fracția, iar al doilea este egal cu fracția. Dar aceste fracții sunt aceleași, deoarece termenii lor diferă doar în ordinea factorilor întregi, iar produsul numerelor întregi nu se schimbă atunci când se schimbă locurile factorilor.

2) Produsul nu se va schimba dacă orice grup de factori este înlocuit cu produsul lor.

De exemplu:

Rezultatele sunt aceleași.

Din această proprietate a înmulțirii se poate trage următoarea concluzie:

pentru a înmulți un număr cu un produs, puteți înmulți acest număr cu primul factor, înmulțiți numărul rezultat cu al doilea etc.

De exemplu:
3) Legea distributivă a înmulțirii (față de adunare). Pentru a înmulți o sumă cu un număr, puteți înmulți fiecare termen separat cu acel număr și puteți adăuga rezultatele.

Această lege a fost explicată de noi (§ 59) ca fiind aplicată numerelor întregi. Rămâne adevărat fără nicio modificare pentru numerele fracționale.

Să arătăm, de fapt, că egalitatea

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(legea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea) rămâne adevărată chiar și atunci când literele reprezintă numere fracționale. Să luăm în considerare trei cazuri.

1) Să presupunem mai întâi că factorul m este un număr întreg, de exemplu m = 3 (a, b, c – orice numere). Conform definiției înmulțirii cu un număr întreg, putem scrie (limitându-ne la trei termeni pentru simplitate):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Pe baza legii asociative a adunării, putem omite toate parantezele din partea dreaptă; Aplicând legea comutativă a adunării și apoi din nou legea asociativă, putem, evident, rescrie partea dreaptă după cum urmează:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Aceasta înseamnă că legea distributivă este confirmată în acest caz.

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor

Ultima dată am învățat cum să adunăm și să scădem fracții (vezi lecția „Adunarea și scăderea fracțiilor”). Cea mai dificilă parte a acestor acțiuni a fost aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Acum este timpul să ne ocupăm de înmulțire și împărțire. Vești bune este că aceste operații sunt chiar mai simple decât adunarea și scăderea. Mai întâi, să ne uităm la cel mai simplu caz, când există două fracții pozitive fără o parte întreagă separată.

Pentru a înmulți două fracții, trebuie să le înmulțiți separat numărătorii și numitorii. Primul număr va fi numărătorul noii fracții, iar al doilea va fi numitorul.

Pentru a împărți două fracții, trebuie să înmulțiți prima fracție cu a doua fracție „inversată”.

Din definiție rezultă că împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțire. Pentru a „întoarce” o fracție, trebuie doar să schimbați numărătorul și numitorul. Prin urmare, pe parcursul lecției vom lua în considerare în principal înmulțirea.

Ca rezultat al înmulțirii, poate apărea (și adesea apare) o fracție reductibilă -, desigur, trebuie redusă. Dacă după toate reducerile fracțiunea se dovedește a fi incorectă, întreaga parte ar trebui evidențiată. Dar ceea ce cu siguranță nu se va întâmpla cu înmulțirea este reducerea la un numitor comun: fără metode încrucișate, cei mai mari factori și cei mai puțini multipli comuni.

Prin definiție avem:

Înmulțirea fracțiilor cu părți întregi și fracții negative

Dacă fracțiile conțin o parte întreagă, acestea trebuie convertite în unele necorespunzătoare - și abia apoi multiplicate conform schemelor prezentate mai sus.

Dacă există un minus la numărătorul unei fracții, la numitor sau în fața acesteia, acesta poate fi scos din înmulțire sau îndepărtat cu totul conform următoarelor reguli:

1. Plus cu minus dă minus;
2. Două negative fac o afirmație.

Până acum, aceste reguli au fost întâlnite doar la adunarea și scăderea fracțiilor negative, când era necesar să scăpăm de întreaga parte. Pentru o lucrare, acestea pot fi generalizate pentru a „arde” mai multe dezavantaje simultan:

1. Trimitem negativele în perechi până când dispar complet. În cazuri extreme, poate supraviețui un minus - cel pentru care nu a existat pereche;
2. Dacă nu mai există minusuri, operațiunea este finalizată - puteți începe să înmulțiți. Dacă ultimul minus nu este tăiat pentru că nu a existat o pereche pentru el, îl scoatem în afara limitelor înmulțirii. Rezultatul este o fracție negativă.

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Convertim toate fracțiile în fracții improprii și apoi scoatem minusurile din înmulțire. Înmulțim ceea ce rămâne după regulile obișnuite. Primim:

Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că minusul care apare în fața unei fracții cu o parte întreagă evidențiată se referă în mod specific la întreaga fracție, și nu doar la întreaga sa parte (acest lucru se aplică ultimelor două exemple).

De asemenea, acordați atenție numerelor negative: atunci când înmulțiți, acestea sunt incluse în paranteze. Acest lucru se face pentru a separa minusurile de semnele de înmulțire și pentru a face întreaga notație mai precisă.

Reducerea fracțiilor din mers

Înmulțirea este o operație care necesită multă muncă. Numerele de aici se dovedesc a fi destul de mari și, pentru a simplifica problema, puteți încerca să reduceți și mai mult fracția. înainte de înmulțire. Într-adevăr, în esență, numărătorii și numitorii fracțiilor sunt factori obișnuiți și, prin urmare, ei pot fi redusi folosind proprietatea de bază a unei fracții. Aruncă o privire la exemple:

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Prin definiție avem:

În toate exemplele, numerele care au fost reduse și ceea ce rămâne din ele sunt marcate cu roșu.

Vă rugăm să rețineți: în primul caz, multiplicatorii s-au redus complet. În locul lor rămân unități care, în general, nu trebuie scrise. În al doilea exemplu, nu a fost posibil să se realizeze o reducere completă, dar suma totală a calculelor a scăzut în continuare.

Cu toate acestea, nu utilizați niciodată această tehnică atunci când adăugați și scădeți fracții! Da, uneori există numere similare pe care doriți doar să le reduceți. Aici, uite:

Nu poți face asta!

Eroarea apare deoarece la adunare, numărătorul unei fracții produce o sumă, nu un produs de numere. Prin urmare, este imposibil să se aplice proprietatea principală a unei fracții, deoarece în această proprietate despre care vorbimîn special despre înmulțirea numerelor.

Pur și simplu nu există alte motive pentru reducerea fracțiilor, deci solutie corecta sarcina anterioară arată astfel:

După cum puteți vedea, răspunsul corect s-a dovedit a nu fi atât de frumos. În general, fii atent.

Înmulțirea fracțiilor.

Pentru a înmulți corect o fracție cu o fracție sau o fracție cu un număr, trebuie să cunoașteți reguli simple. Vom analiza acum aceste reguli în detaliu.

Înmulțirea unei fracții comune cu o fracție.

Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să calculați produsul numărătorilor și produsul numitorilor acestor fracții.

Să ne uităm la un exemplu:
Înmulțim numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și, de asemenea, înmulțim numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții.

Înmulțirea unei fracții cu un număr.

În primul rând, să ne amintim regula, orice număr poate fi reprezentat ca o fracție \(\bf n = \frac \) .

Să folosim această regulă atunci când înmulțim.

Fracția improprie \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) a fost convertită într-o fracție mixtă.

Cu alte cuvinte, Când înmulțim un număr cu o fracție, înmulțim numărul cu numărător și lăsăm numitorul neschimbat. Exemplu:

Înmulțirea fracțiilor mixte.

Pentru a înmulți fracțiile mixte, trebuie mai întâi să reprezentați fiecare fracție mixtă ca o fracție improprie și apoi să utilizați regula înmulțirii. Înmulțim numărătorul cu numărătorul și înmulțim numitorul cu numitorul.

Înmulțirea fracțiilor și numerelor reciproce.

Întrebări înrudite:
Cum se înmulțește o fracție cu o fracție?
Răspuns: Produsul fracțiilor obișnuite este înmulțirea unui numărător cu un numărător, a unui numitor cu un numitor. Pentru a obține produsul fracțiilor mixte, trebuie să le convertiți într-o fracție necorespunzătoare și să le înmulțiți conform regulilor.

Cum se înmulțesc fracții cu numitori diferiți?
Răspuns: nu contează dacă fracțiile au numitori aceiași sau diferiți, înmulțirea are loc conform regulii de a găsi produsul unui numărător cu numărător, un numitor cu numitor.

Cum se înmulțesc fracțiile mixte?
Răspuns: în primul rând, trebuie să convertiți fracția mixtă într-o fracție necorespunzătoare și apoi să găsiți produsul folosind regulile de înmulțire.

Cum se înmulțește un număr cu o fracție?
Răspuns: înmulțim numărul cu numărătorul, dar numitorul lăsăm același.

Exemplul #1:
Calculați produsul: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

Exemplul #2:
Calculați produsele unui număr și ale unei fracții: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)

Exemplul #3:
Scrieți reciproca fracției \(\frac \)?
Răspuns: \(\frac = 3\)

Exemplul #4:
Calculați produsul a două fracții reciproc inverse: a) \(\frac \times \frac \)

Exemplul #5:
Fracțiile reciproce pot fi:
a) concomitent cu fracțiile proprii;
b) simultan fracţii improprii;
c) simultan numere naturale?

Soluţie:
a) pentru a răspunde la prima întrebare, să dăm un exemplu. Fracția \(\frac \) este proprie, fracția sa inversă va fi egală cu \(\frac \) - o fracție improprie. Răspuns: nu.

b) în aproape toate enumerările de fracții această condiție nu este îndeplinită, dar există unele numere care îndeplinesc condiția de a fi simultan o fracție improprie. De exemplu, o fracție improprie este \(\frac \) , fracția sa inversă este egală cu \(\frac \). Obținem două fracții improprii. Răspuns: nu întotdeauna în anumite condiții când numărătorul și numitorul sunt egali.

c) numerele naturale sunt numere pe care le folosim atunci când numărăm, de exemplu, 1, 2, 3, …. Dacă luăm numărul \(3 = \frac \), atunci fracția sa inversă va fi \(\frac \). Fracția \(\frac \) nu este un număr natural. Dacă parcurgem toate numerele, reciproca numărului este întotdeauna o fracție, cu excepția lui 1. Dacă luăm numărul 1, atunci fracția sa reciprocă va fi \(\frac = \frac = 1\). Numărul 1 este un număr natural. Răspuns: pot fi simultan numere naturale doar într-un singur caz, dacă acesta este numărul 1.

Exemplul #6:
Faceți produsul fracțiilor mixte: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)

Soluţie:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

Exemplul #7:
Două reciproce pot fi numere mixte în același timp?

Să ne uităm la un exemplu. Să luăm o fracție mixtă \(1\frac \), găsim fracția ei inversă, pentru a face acest lucru o transformăm într-o fracție improprie \(1\frac = \frac \) . Fracția sa inversă va fi egală cu \(\frac \) . Fracția \(\frac\) este o fracție proprie. Răspuns: Două fracții care sunt reciproc inverse nu pot fi numere mixte în același timp.

Înmulțirea unei zecimale cu un număr natural

Prezentare pentru lecție

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat acest lucru, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

• Într-un mod distractiv, prezentați elevilor regula de înmulțire a unei fracții zecimale cu un număr natural, cu o unitate de valoare de loc și regula de exprimare a unei fracții zecimale ca procent. Dezvoltați capacitatea de a aplica cunoștințele dobândite atunci când rezolvați exemple și probleme.
• Dezvoltați și activați gandire logica elevilor, capacitatea de a identifica tipare și de a le generaliza, de a întări memoria, abilitatea de a coopera, de a oferi asistență, de a-și evalua propria muncă și munca reciprocă.
• Cultivați interesul pentru matematică, activitate, mobilitate și abilități de comunicare.

Echipament: tabla interactiva, un afiș cu o cifergramă, afișe cu declarații ale matematicienilor.

1. Organizarea timpului.
2. Aritmetică orală – generalizarea materialului studiat anterior, pregătirea pentru studierea materialului nou.
3. Explicarea noului material.
4. Temă pentru acasă.
5. Educație fizică matematică.
6. Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor dobândite într-un mod ludic folosind un calculator.
7. Notare.

2. Băieți, astăzi lecția noastră va fi oarecum neobișnuită, pentru că nu o voi preda singur, ci cu prietenul meu. Și prietenul meu este, de asemenea, neobișnuit, îl vei vedea acum. (Pe ecran apare un computer de desene animate.) Prietenul meu are un nume și poate vorbi. Cum te cheamă, amice? Komposha răspunde: „Numele meu este Komposha”. Ești gata să mă ajuți astăzi? DA! Ei bine, atunci hai să începem lecția.

Astăzi am primit o cifrgramă criptată, băieți, pe care trebuie să o rezolvăm și să o descifrăm împreună. (Pe tablă este atârnat un afiș cu un calcul oral pentru adunarea și scăderea fracțiilor zecimale, în urma căruia copiii primesc următorul cod 523914687. )

Komposha ajută la descifrarea codului primit. Rezultatul decodării este cuvântul MULTIPLICARE. Înmulțirea este cuvânt cheie subiectele lecției de astăzi. Subiectul lecției este afișat pe monitor: „Înmulțirea unei fracții zecimale cu un număr natural”

Băieți, știm să ne înmulțim numere naturale. Astăzi ne vom uita la înmulțire numere zecimale la un număr natural. Înmulțirea unei fracții zecimale cu un număr natural poate fi considerată ca o sumă de termeni, fiecare dintre care este egal cu această fracție zecimală, iar numărul de termeni este egal cu acest număr natural. De exemplu: 5,21 ·3 = 5,21 + 5,21 + 5,21 = 15,63 Deci, 5,21 ·3 = 15,63. Prezentând 5,21 ca o fracție comună unui număr natural, obținem

Și în acest caz am obținut același rezultat: 15,63. Acum, ignorând virgula, în loc de numărul 5,21, luați numărul 521 și înmulțiți-l cu acest număr natural. Aici trebuie să ne amintim că într-unul dintre factori virgula a fost mutată cu două locuri la dreapta. Înmulțind numerele 5, 21 și 3, obținem un produs egal cu 15,63. Acum, în acest exemplu, mutăm virgula la stânga două locuri. Astfel, de câte ori a fost crescut unul dintre factori, de câte ori a scăzut produsul. Pe baza asemănărilor acestor metode, vom trage o concluzie.

Pentru a înmulți o fracție zecimală cu un număr natural, trebuie să:
1) fără a fi atent la virgulă, înmulțiți numerele naturale;
2) în produsul rezultat, separați câte cifre de la dreapta cu virgulă sunt în fracția zecimală.

Pe monitor sunt afișate următoarele exemple, pe care le analizăm împreună cu Komposha și băieții: 5,21 ·3 = 15,63 și 7,624 ·15 = 114,34. Apoi arăt înmulțirea cu un număr rotund 12,6 · 50 = 630. În continuare, trec la înmulțirea unei fracțiuni zecimale cu o unitate de valoare de loc. Arăt următoarele exemple: 7,423 · 100 = 742,3 și 5,2 · 1000 = 5200. Așadar, introduc regula pentru înmulțirea unei fracții zecimale cu o unitate de cifre:

Pentru a înmulți o fracție zecimală cu unitățile de cifre 10, 100, 1000 etc., trebuie să mutați punctul zecimal din această fracție la dreapta cu atâtea locuri câte zerouri există în unitatea de cifre.

Îmi termin explicația exprimând fracția zecimală ca procent. introduc regula:

Pentru a exprima o fracție zecimală ca procent, trebuie să o înmulțiți cu 100 și să adăugați semnul %.

Voi da un exemplu pe un computer: 0,5 100 = 50 sau 0,5 = 50%.

4. La finalul explicației le dau băieților teme pentru acasă, care este afișat și pe monitorul computerului: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Pentru ca băieții să se odihnească puțin, facem o sesiune de educație fizică matematică împreună cu Komposha pentru a consolida tema. Toată lumea se ridică, arată clasei exemplele rezolvate și trebuie să răspundă dacă exemplul a fost rezolvat corect sau incorect. Dacă exemplul este rezolvat corect, atunci își ridică brațele deasupra capului și bat din palme. Dacă exemplul nu este rezolvat corect, băieții își întind brațele în lateral și își întind degetele.

6. Și acum te-ai odihnit puțin, poți rezolva sarcinile. Deschide manualul la pagina 205, № 1029. În această sarcină trebuie să calculați valoarea expresiilor:

Sarcinile apar pe computer. Pe măsură ce sunt rezolvate, apare o imagine cu imaginea unei bărci care plutește atunci când este complet asamblată.

Rezolvând această sarcină pe un computer, racheta se pliază treptat; după rezolvarea ultimului exemplu, racheta zboară. Profesorul oferă elevilor câteva informații: „În fiecare an de pe pământul Kazahstanului, din Cosmodromul Baikonur, ei decolează spre stele nave spațiale. Kazahstanul își construiește noul cosmodrom Baiterek lângă Baikonur.

Cât de departe va parcurge un autoturism în 4 ore dacă viteza autoturismului este de 74,8 km/h.

Certificat cadou Nu știi ce să-i oferi persoanei însemnate, prietenilor, angajaților, rudelor? Profită de oferta noastră specială: „Certificat cadou pentru Hotelul Blue Sedge Country.” Certificatul oferă […]

Înlocuirea unui contor de gaz: costuri și reguli de înlocuire, durata de viață, lista de documente Fiecare proprietar este interesat de performanța de înaltă calitate a unui contor de gaz. Dacă nu îl înlocuiți la timp, atunci [...]

Alocații pentru copii în Krasnodar și pe teritoriul Krasnodar în 2018 Populația din Kubanul cald (comparativ cu multe alte regiuni ale Rusiei) crește constant din cauza migrației și a creșterii ratei natalității. Cu toate acestea, autoritățile subiectului […]

Pensia de invaliditate pentru cadrele militare în anul 2018 Serviciul militar este o activitate caracterizată printr-un risc deosebit pentru sănătate. Pentru că în legislație Federația Rusă furnizate conditii specialeîntreținerea persoanelor cu dizabilități, [...]

Prestații pentru copii în Samara și regiunea Samara în 2018 Prestațiile pentru minori din regiunea Samara sunt destinate cetățenilor care cresc preșcolari și elevi. La alocarea fondurilor, nu numai [...]

Pensii pentru rezidenții din Krasnodar și din teritoriul Krasnodar în 2018 Persoanele cu handicap recunoscute ca atare prin lege primesc sprijin financiar din partea statului. Solicitați fonduri bugetare [...]

Pensii pentru rezidenții din Chelyabinsk și din regiunea Chelyabinsk în 2018 La vârsta stabilită de lege, cetățenii primesc dreptul la pensie. Poate fi diferit și condițiile de numire variază. De exemplu, […]

Alocații pentru copii în regiunea Moscovei în 2018 Politica socială a regiunii Moscova are ca scop identificarea familiilor care au nevoie de sprijin suplimentar din partea trezoreriei. Măsuri de sprijin federal pentru familiile cu copii în 2018 […]

O altă operație care poate fi efectuată cu fracții obișnuite este înmulțirea. Vom încerca să explicăm regulile sale de bază atunci când rezolvăm probleme, să arătăm cum se înmulțește o fracție obișnuită cu un număr natural și cum să înmulțim corect trei fracții ordinare sau mai multe.

Mai întâi să scriem regula de bază:

Definiția 1

Dacă înmulțim o fracție obișnuită, atunci numărătorul fracției rezultate va fi egal cu produsul numărătorilor fracțiilor originale, iar numitorul va fi egal cu produsul numitorilor acestora. În formă literală, pentru două fracții a / b și c / d, aceasta poate fi exprimată ca a b · c d = a · c b · d.

Să ne uităm la un exemplu despre cum să aplicați corect această regulă. Să presupunem că avem un pătrat a cărui latură este egală cu o unitate numerică. Apoi, aria figurii va fi de 1 pătrat. unitate. Dacă împărțim pătratul în dreptunghiuri egale cu laturile egale cu 1 4 și 1 8 unități numerice, obținem că acum este format din 32 dreptunghiuri (deoarece 8 4 = 32). În consecință, aria fiecăruia dintre ele va fi egală cu 1 32 din aria întregii figuri, adică. 1 32 mp unitati.

Avem un fragment umbrit cu laturile egale cu 5 8 unități numerice și 3 4 unități numerice. În consecință, pentru a calcula aria sa, trebuie să înmulțiți prima fracție cu a doua. Va fi egal cu 5 8 · 3 4 sq. unitati. Dar putem număra pur și simplu câte dreptunghiuri sunt incluse în fragment: sunt 15 dintre ele, ceea ce înseamnă că suprafața totală este de 15 32 de unități pătrate.

Deoarece 5 3 = 15 și 8 4 = 32, putem scrie următoarea egalitate:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

Ea confirmă regula pe care am formulat-o pentru înmulțirea fracțiilor ordinare, care se exprimă ca a b · c d = a · c b · d. Funcționează la fel atât pentru fracțiile proprii, cât și pentru cele improprii; Poate fi folosit pentru a înmulți fracții cu numitori diferiți și identici.

Să ne uităm la soluțiile mai multor probleme care implică înmulțirea fracțiilor ordinare.

Exemplul 1

Înmulțiți 7 11 cu 9 8.

Soluţie

Mai întâi, să calculăm produsul numărătorilor fracțiilor indicate înmulțind 7 cu 9. Avem 63. Apoi calculăm produsul numitorilor și obținem: 11 · 8 = 88. Să compunem două numere și răspunsul este: 63 88.

Întreaga soluție poate fi scrisă astfel:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

Răspuns: 7 11 · 9 8 = 63 88.

Dacă obținem o fracție reductibilă în răspunsul nostru, trebuie să finalizam calculul și să efectuăm reducerea acestuia. Dacă obținem o fracție necorespunzătoare, trebuie să separăm întreaga parte de ea.

Exemplul 2

Calculați produsul fracțiilor 4 15 și 55 6 .

Soluţie

Conform regulii studiate mai sus, trebuie să înmulțim numărătorul cu numărătorul, iar numitorul cu numitorul. Înregistrarea soluției va arăta astfel:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Avem o fracție reductibilă, adică unul care este divizibil cu 10.

Să reducem fracția: 220 90 mcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Ca rezultat, am obținut o fracție improprie, din care selectăm întreaga parte și obținem un număr mixt: 22 9 = 2 4 9.

Răspuns: 4 15 55 6 = 2 4 9.

Pentru ușurința calculului, putem reduce și fracțiile originale înainte de a efectua operația de înmulțire, pentru care trebuie să reducem fracția la forma a · c b · d. Să descompunăm valorile variabilelor în factori simpli și să-i reducem pe aceiași.

Să explicăm cum arată acest lucru folosind date dintr-o anumită sarcină.

Exemplul 3

Calculați produsul 4 15 55 6.

Soluţie

Să notăm calculele pe baza regulii înmulțirii. Vom obține:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Deoarece 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 și 6 = 2 3, atunci 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Răspuns: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

O expresie numerică în care se înmulțesc fracțiile obișnuite are o proprietate comutativă, adică, dacă este necesar, putem schimba ordinea factorilor:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Cum se înmulțește o fracție cu un număr natural

Să notăm imediat regula de bază și apoi să încercăm să o explicăm în practică.

Definiția 2

Pentru a înmulți o fracție comună cu un număr natural, trebuie să înmulțiți numărătorul acelei fracții cu acel număr. În acest caz, numitorul fracției finale va fi egal cu numitorul fracției ordinare inițiale. Înmulțirea unei anumite fracții a b cu un număr natural n poate fi scrisă ca formula a b · n = a · n b.

Este ușor de înțeles această formulă dacă vă amintiți că orice număr natural poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită cu un numitor egal cu unu, adică:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Să explicăm ideea noastră cu exemple specifice.

Exemplul 4

Calculați produsul de 2 27 ori 5.

Soluţie

Ca rezultat al înmulțirii numărătorului fracției originale cu al doilea factor, obținem 10. În virtutea regulii menționate mai sus, vom obține ca rezultat 10 27. Întreaga soluție este dată în această postare:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

Răspuns: 2 27 5 = 10 27

Când înmulțim un număr natural cu o fracție, de multe ori trebuie să abreviam rezultatul sau să-l reprezentăm ca un număr mixt.

Exemplul 5

Condiție: calculați produsul 8 cu 5 12.

Soluţie

Conform regulii de mai sus, înmulțim numărul natural cu numărătorul. Ca rezultat, obținem că 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Fracția finală are semne de divizibilitate cu 2, așa că trebuie să o reducem:

LCM (40, 12) = 4, deci 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Acum tot ce trebuie să facem este să selectăm întreaga parte și să scriem răspunsul gata: 10 3 = 3 1 3.

În această intrare puteți vedea întreaga soluție: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

De asemenea, am putea reduce fracția prin factorizarea numărătorului și numitorului în factori primi, iar rezultatul ar fi exact același.

Răspuns: 5 12 8 = 3 1 3.

O expresie numerică în care un număr natural este înmulțit cu o fracție are și proprietatea deplasării, adică ordinea factorilor nu afectează rezultatul:

a b · n = n · a b = a · n b

Cum să înmulți trei sau mai multe fracții comune

Putem extinde la acțiunea de înmulțire a fracțiilor obișnuite aceleași proprietăți care sunt caracteristice înmulțirii numerelor naturale. Aceasta rezultă din însăși definiția acestor concepte.

Datorită cunoștințelor proprietăților de combinare și comutative, puteți înmulți trei sau mai multe fracții obișnuite. Este acceptabil să rearanjați factorii pentru o mai mare comoditate sau să aranjați parantezele astfel încât să fie mai ușor de numărat.

Să arătăm cu un exemplu cum se face acest lucru.

Exemplul 6

Înmulțiți cele patru fracții comune 1 20, 12 5, 3 7 și 5 8.

Soluție: În primul rând, să înregistrăm munca. Se obține 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Trebuie să înmulțim toți numărătorii și toți numitorii împreună: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Înainte de a începe înmulțirea, putem face lucrurile puțin mai ușoare pentru noi înșine și putem factoriza unele numere în factori primi pentru o reducere suplimentară. Acest lucru va fi mai ușor decât reducerea fracției rezultate care este deja gata.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9.280

Răspuns: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9.280.

Exemplul 7

Înmulțiți 5 numere 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Soluţie

Pentru comoditate, putem grupa fracția 7 8 cu numărul 8 și numărul 12 cu fracția 5 36, deoarece abrevierile viitoare ne vor fi evidente. Ca rezultat, vom obține:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 = 10 6 3 = 3 5 10 3 2 3

Răspuns: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter