În această lecție video, am analizat în detaliu o problemă destul de serioasă 15 de la Examenul de stat unificat la matematică, care conține atât inegalități logaritmice, cât și fracțional-rationale. Atentie speciala dedicat teoremei lui Bezout (pentru găsirea rădăcinilor unui polinom), precum și tehnicii de împărțire a polinoamelor cu un colț (pentru factorizare).
În această lecție vom analiza un sistem de două inegalități de la Examenul de stat unificat la matematică:
⎧⎩⎨⎪⎪ Buturuga7−2x(x+6) ≤0x− x−3x+6−X2 +27x+90X2 +8x+12≤−1 \left\( \begin(align)& ((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le 0 \\& x-\frac(x-3)(x+6 )-\frac(((x)^(2))+27x+90)(((x)^(2))+8x+12)\le -1 \\\end(align) \right.
Rezolvarea sistemului de inegalități
După cum puteți vedea, sistemul constă dintr-o inegalitate logaritmică, precum și o inegalitate fracțională-rațională clasică, dar în procesul de rezolvare vom descoperi că această inegalitate nu este atât de simplă cum ar părea la prima vedere. Să începem cu logaritmul. Pentru a face acest lucru, îl vom scrie separat:
Buturuga7−2x(x+6) ≤ 0
((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le \text( )0
Ca oricare inegalitatea logaritmică, această construcție se reduce la formă canonică, adică în stânga lăsăm totul neschimbat, dar în dreapta scriem astfel:
Buturuga7−2x(x+6) ≤ Buturuga7−2x 1
((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le ((\log )_(7-2x))1
Cum se utilizează metoda raționalizării
Acum să folosim metoda raționalizării. Permiteți-mi să vă reamintesc că dacă avem o inegalitate a formei
Buturugak (X) f(x)⋃ Buturugak (X) g(x),
((\log )_(k\left(x \right)))f\left(x \right)\bigcup ((\log )_(k\left(x \right)))g\left(x \ dreapta),
apoi putem trece la această construcție:
(f (x) −g(x) )(k (x)−1)⋃0
\left(f\left(x \right)-g\left(x \right) \right)\left(k\left(x \right)-1 \right)\bigcup 0
Desigur, această inegalitate nu ia în considerare domeniul de definire a logaritmului:
f (x) >0
f\stanga(x\dreapta)>0
g (x) >0
g\stanga(x\dreapta)>0
1≠k (x) >0
1\ne k\stanga(x\dreapta)>0
Deci, în rol f (X) f\stânga(x\dreapta) acționează funcție liniară x+6 x+6, iar în rol g (X) g\left(x\right) este pur și simplu 1. Prin urmare, rescriem inegalitatea noastră logaritmică a sistemului după cum urmează:
(x+6−1) (7−2x−1)
\left(x+6-1 \right)\left(7-2x-1 \right)
Ultimul 1 este unul x−1 x-1, care se află în a doua paranteză. Toate acestea sunt mai mici sau egale cu 0. Semnul de inegalitate se păstrează la efectuarea acestei transformări. Iată unele similare în fiecare paranteză:
(x+5) (6−2x) ≤0
\left(x+5 \right)\left(6-2x \right)\le 0
Aplicarea metodei intervalului
Evident, avem o inegalitate simplă care poate fi rezolvată cu ușurință prin metoda intervalului. Să echivalăm fiecare paranteză cu 0:
(+5) =0→= −5
\left(+5 \right)=0\la =-5
6−2=0→2=6
x=3
Să marchem toate aceste puncte (există două astfel de puncte) pe linia de coordonate. Rețineți că sunt umbrite:
Să notăm semnele. Pentru a face acest lucru, luați orice număr mai mare de 3. Primul va fi „minus”. Atunci semnele alternează peste tot, pentru că nu există rădăcini ale multiplicității chiar. Ne interesează semnul mai mic sau egal, adică semnul minus. Vopsiți peste zonele necesare. Permiteți-mi să vă reamintesc că atunci când rezolvăm inegalități folosind metoda intervalului, înlocuim 1 miliard în ultima expresie pe care am obținut-o înainte de a trece la ecuații.
Așa că am găsit seturi. Dar, după cum înțelegeți, aceasta nu este încă o soluție la inegalitate. Acum ni se cere să găsim domeniul de definire al logaritmului. Pentru a face acest lucru, scriem următoarele funcții:
Imbricarea eronată a structurilor ecuațiilor
\left[ \begin(align)& x+6>0 \\& 7-2x>0 \\& 7-2x\ne 1 \\\end(align) \right.=>\left[ \begin(align) )& x>-6 \\& 7>2x \\& 6\ne 2x \\\end(align) \right.=>\left[ \begin(align)& \\& x<\text{ }3,5 \\& x\ne \text{ }3 \\\end{align} \right.
Deci, am primit trei cerințe simultane, adică toate aceste inegalități trebuie să fie satisfăcute simultan. Să tragem o linie paralelă cu răspunsul candidatului nostru:
Am primit răspunsul final pentru primul element al sistemului:
(−6;−5] ⋃(3;3,5)
\left(-6,-5 \right]\bigcup \left(3,3,5 \right). În acest moment, mulți elevi au o întrebare. Uite, 3 - pe de o parte este scos, dar pe pe de altă parte, acest punct este completat. Deci, cum să-l marcați ca rezultat? Pentru a rezolva corect și o dată pentru totdeauna această problemă, amintiți-vă o regulă simplă.
Ce înseamnă intersecția mulțimilor? Acesta este un set care este inclus simultan atât în primul set, cât și în al doilea. Cu alte cuvinte, atunci când completăm imaginea desenată mai jos, căutăm puncte care aparțin simultan atât primei linii, cât și celei de-a doua. În consecință, dacă vreun punct nu aparține cel puțin uneia dintre aceste linii, atunci indiferent cum arată pe a doua linie, nu ni se potrivește. Și, în special, cu 3, se întâmplă exact următoarea poveste: pe de o parte, în candidații la răspuns, punctul 3 ni se potrivește, pentru că este umbrit, dar pe de altă parte, 3 este eliminat din cauza domeniului de definiția logaritmului și, prin urmare, în setul final acest punct trebuie scos. Asta e, răspunsul la prima inegalitate logaritmică a sistemului este complet justificat. Pentru a fi în siguranță, îl voi duplica din nou:
(−6;−5] ⋃(3;3,5)
\left(-6,-5 \right]\bigcup \left(3,3.5 \right)
Rezolvarea unei inegalități raționale fracționale
x− x−3x+6−X2 +27x+90X2 +8x+12≤−1 x-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(((x)^(2))+8x+12)\le - 1
Acum mutați -1 la stânga:
x+1− x−3x+6−X2 +27x+90(x+6) (x+2)≤0 x+1-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\left(x+6 \right)\left(x+2) \dreapta))\le 0
x+1 1 −x−3x+6−X2 +27x+90(x+6) (x+2)≤0 \frac(x+1)(1)-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\left(x+6 \right) )\stanga(x+2 \dreapta))\le 0
Aducem întreaga structură la un numitor comun:
(x+1) (x+6) (x+2) −(x−3) (x+2) − (X2 +27x+90)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+1 \right)\left(x+6 \right)\left(x+2 \right)-\left(x-3 \right)\left(x+2 \right)- \left(((x)^(2))+27x+90 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0
Să extindem parantezele:
(x+2) ( (x+1) (x+6) −(x−3) )−X2 −27x−90(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+2 \right)\left(\left(x+1 \right)\left(x+6 \right)-\left(x-3 \right) \right)-((x )^(2))-27x-90)(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0
X3 +6X2 +9x+2 X2 +12x+18− X2 −27x−90(x+6) (x+2)≤0 \frac(((x)^(3))+6((x)^(2))+9x+2((x)^(2))+12x+18-((x)^(2)) -27x-90)(\left(x+6\right)\left(x+2\right))\le 0
X3 +7X2 −6x−72(x+6) (x+2)≤0 \frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0
Ce puteți spune despre inegalitatea rezultată? În primul rând, este fracționar-rațional, cu numitorul deja factorizat. Prin urmare, cea mai bună opțiune ar fi rezolvarea acestei inegalități folosind metoda intervalului. Totuși, pentru a o rezolva folosind metoda intervalului, este necesară factorizarea numărătorului. Aceasta este principala dificultate, deoarece numărătorul este un polinom de gradul al treilea. Cine își amintește formula pentru rădăcinile de gradul trei? Personal, nu-mi amintesc. Dar nu avem nevoie de asta.
Tot ce ne trebuie este teorema lui Bezout, sau mai bine zis, nu teorema în sine, ci unul dintre cele mai importante corolare ale sale, care afirmă următoarele: dacă un polinom cu coeficienți întregi are rădăcină X1 ((x)_(1)), și este un număr întreg, atunci coeficientul liber (în cazul nostru 72) va fi în mod necesar împărțit la X1 ((x)_(1)). Cu alte cuvinte, dacă vrem să găsim rădăcinile acestei ecuații cubice, atunci tot ce trebuie să facem este să cercetăm factorii în care factorul 72.
Să factorăm numărul 72 în factori primi:
72=8⋅9=2⋅2⋅2⋅3⋅3
72=8\cdot 9=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3
Deci, trebuie să trecem prin toate combinațiile de doi și trei pentru a obține cel puțin o rădăcină a expresiei noastre cubice. La prima vedere poate părea că aceasta este o problemă combinatorie, dar în realitate totul nu este atât de înfricoșător. Să începem cu numărul minim:
x=2
Să verificăm dacă 2 este răspunsul. Pentru a face acest lucru, să ne amintim ce este o rădăcină. Acesta este un număr care, atunci când este înlocuit într-un polinom, îl transformă în 0. Să înlocuim:
(2) =8+28−12−72<0
\left(2 \right)=8+28-12-72<0
Înțelegem asta x−2 x-2 nu este potrivit. Daţi-i drumul. Să luăm 4:
(4) =64+112−24−72>0
\left(4 \right)=64+112-24-72>0
x=4 x=4 nu este, de asemenea, o rădăcină a construcției noastre.
Daţi-i drumul. Care urmează? X x vom dezasambla? Pentru a răspunde la această întrebare, să notăm un fapt interesant: când x−2 x-2 polinomul nostru a fost negativ, iar la x=4 x=4 s-a dovedit a fi pozitiv. Aceasta înseamnă că undeva între punctele 2 și 4 polinomul nostru intersectează axa X X. Cu alte cuvinte, undeva pe acest segment al nostru se transformă în 0. Aceasta înseamnă că acest punct va fi numărul dorit. Să ne gândim la ce număr întreg se află între 4 și 2. Evident, doar 3 și 3 sunt prezente în expansiune, prin urmare, poate fi într-adevăr rădăcina expresiei noastre. Luați în considerare această opțiune:
x=3
(3) =27+63−18−72=90−90=0
\left(3 \right)=27+63-18-72=90-90=0
Super, ipoteza noastră a fost confirmată. Într-adevăr, x=3 x=3 este rădăcina construcției noastre. Dar cum ne ajută acest lucru să factorăm acest polinom? Foarte simplu. Toate din aceeași teoremă a lui Bezout rezultă că dacă X1 ((x)_(1)) este rădăcina polinomului p (X) p\left(x \right), asta înseamnă că putem scrie următoarele:
X1 :p(x) =Q(x) (x− X1 )
((x)_(1)):p\left(x \right)=Q\left(x \right)\left(x-((x)_(1)) \right)
Cu alte cuvinte, știind X1 ((x)_(1)) putem afirma că în descompunerea expresiei noastre în factori va exista în mod necesar un factor X1 ((x)_(1)). În cazul nostru, putem scrie că polinomul nostru are în mod necesar un factor de expansiune (x−3)\left(x-3 \right) deoarece 3 este rădăcina sa.
X3 +7X2 −6x−72x−3=X2 +10x+24\frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(x-3)=((x)^(2))+10x+24
Cu alte cuvinte, ne putem rescrie inegalitatea din sistem după cum urmează:
(x+3) (X2 +10x+24)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))+10x+24 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right) ))\le 0
Rețineți că în a doua paranteză a numărătorului există un trinom pătrat, care poate fi, de asemenea, factorizat foarte simplu, obținem:
(x+3) (x+6) (x+4)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+3 \right)\left(x+6 \right)\left(x+4 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right) )\le 0
Asta e tot, tot ce rămâne este să scrieți rădăcinile:
x=3
≠−6(2k)
\ne -6\stânga(2k\dreapta)
=−4
≠−2
Să marchem toate aceste puncte care ar putea fi o soluție pentru sistem pe linia de coordonate X X:
Pentru a determina semnele, luăm orice număr mai mare de 3, îl înlocuim în fiecare dintre aceste paranteze și obținem cinci numere pozitive, adică în dreapta lui 3 există un semn plus. Atunci semnele se schimbă peste tot, dar în -6 nu se schimbă nimic, pentru că -6 este rădăcina celei de-a doua multiplicități. Suntem interesați de acele zone în care semnul funcției este negativ, așa că umbrim „minusurile”.
În total, putem nota soluția inegalității noastre originale - va fi după cum urmează:
(−∞;−6) ⋃(−6;−4] ⋃(−2;3]
\left(-\infty ;-6 \right)\bigcup \left(-6;-4 \right]\bigcup \left(-2;3 \right]
Pasi finali
Am rezolvat a doua inegalitate a sistemului nostru, iar acum rămâne să rezolvăm sistemul în sine, adică să intersectăm mulțimile pe care le-am obținut. Pentru a face acest lucru, îmi propun să construim o altă linie paralelă cu cele două linii vechi ale noastre responsabile pentru inegalitatea logaritmică din sistem:
Putem nota răspunsul final al celui de-al doilea element al sistemului de inegalități: (−6;−5] \left(-6;-5 \right]. Acum ne putem întoarce la sistemul nostru și scrie setul final:
x∈ (−6; −5]
x\în \left(-6;\text( )-5 \right]
Puncte cheie
Există mai multe puncte cheie în această sarcină:
- Trebuie să fiți capabil să rezolvați inegalitățile logaritmice trecând la forma canonică.
- Trebuie să fii capabil să lucrezi cu inegalități raționale fracționale. Acesta este în general un material de clasa a 8-a-9, așa că dacă lucrați cu logaritmi, atunci veți înțelege inegalitățile raționale fracționale.
- teorema lui Bezout. Cea mai importantă consecință a acestei teoreme este faptul că rădăcinile unui polinom cu coeficienți întregi sunt divizori ai termenului său liber.
În caz contrar, aceasta este o sarcină simplă, deși destul de voluminoasă, de rezolvare a unui sistem de ecuații. Anumite dificultăți în rezolvarea sistemului pot apărea și în intersecția tuturor mulțimilor, în special a celor asociate cu punctul 3. Totul este foarte simplu aici: nu uitați decât că intersecția înseamnă cerința îndeplinirii simultane a tuturor inegalităților, adică punctul necesar trebuie să fie umbrite pe toate cele trei axe. Dacă pe cel puțin o axă nu este pictat sau perforat, atunci un astfel de punct nu poate face parte din răspuns.
Examen Unificat de Stat 2018. Matematică. Nivel de profil. Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților. Sadovnichy Yu.V.
M.: 2018. - 96 p.
Această carte este dedicată problemelor similare cu problema 15 a examenului de stat unificat la matematică (rezolvarea ecuațiilor și inegalităților). Sunt luate în considerare diferite metode de rezolvare a unor astfel de probleme, inclusiv cele originale. Cartea va fi utilă elevilor de liceu, profesorilor de matematică și profesorilor.
Format: pdf
Mărimea: 860 KB
Urmăriți, descărcați:drive.google
CUPRINS
INTRODUCERE 4
CAPITOLUL 1. METODA INTERVALULUI DE SOLUȚIONARE A INEGALITĂȚILOR 6
Probleme pentru rezolvarea independentă 10
CAPITOLUL 2. DIVULGAREA MODULELOR ÎN ECUAȚII ȘI INEGALITATI 13
Probleme pentru rezolvarea independentă 23
CAPITOLUL 3. ECUAȚII IRAȚIONALE ȘI INEGALITATI 25
Probleme pentru rezolvarea independentă 33
CAPITOLUL 4. ECUATII SI INEGALITATI EXPONENTARE SI LOGARITMICE 35
4.1. Formule de bază și soluții la ecuații și inegalități simple 35
4.2. Conversia sumei și diferenței logaritmilor 36
Probleme pentru rezolvarea independentă 41
4.3. Metoda de înlocuire a variabilei 42
Probleme pentru rezolvarea independentă 47
4.4. Împărțirea inegalităților 49
Probleme pentru rezolvarea independentă 55
4.5. Tranziția la o nouă fundație 56
Probleme pentru rezolvarea independentă 60
CAPITOLUL 5. ECUATII SI INEGALITATI DE TIP MIXTE 61
Probleme pentru rezolvarea independentă 68
CAPITOLUL 6. METODA INTERVALULUI LOGARITMMIC 70
Probleme pentru rezolvarea independentă 75
CAPITOLUL 7. SISTEME DE ECUAȚII ȘI INEGALITATI ALGEBRICE 76
Probleme pentru rezolvarea independentă 84
RĂSPUNSURI LA PROBLEME PENTRU SOLUȚIE INDEPENDENTĂ 88
Această carte este dedicată problemelor similare problemei 15 a profilului Examenul de stat unificat la matematică (ecuații și inegalități). Cartea este împărțită în capitole după subiect, materialul din fiecare capitol este prezentat „de la simplu la complex”.
Nu este un secret pentru nimeni că problemele 16-19 (planimetrie, problemă cu cuvinte, problemă cu parametri, problemă cu întregi) sunt dificile pentru marea majoritate a absolvenților de liceu. Același lucru se poate spune despre problema 14 (stereometrie). Prin urmare, problema 15 rezolvată (împreună cu problema 13) este o oportunitate de a vă crește scorul la examenul de stat unificat la un nivel bun.
Primele trei capitole sunt pregătitoare și acoperă rezolvarea inegalităților prin metoda intervalului, ecuații și inegalități care conțin modul, ecuații iraționale și inegalități.
Al patrulea capitol este principalul din această carte, deoarece problemele din acesta sunt cel mai apropiate de problema reală a examenului de stat unificat de profil al 15-lea la matematică. Acest capitol este împărțit în mai multe paragrafe, fiecare dintre ele explorează o metodă de rezolvare a unei astfel de probleme.