Destul de des în problemele de complexitate crescută pe care le întâlnim ecuații trigonometrice care conțin modul. Cele mai multe dintre ele necesită o abordare euristică a soluției, care este complet necunoscută pentru majoritatea școlarilor.
Problemele propuse mai jos au scopul de a vă introduce în cele mai tipice tehnici de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice care conțin un modul.
Problema 1. Aflați diferența (în grade) dintre cele mai mici rădăcini pozitive și cele mai mari negative ale ecuației 1 + 2sin x |cos x| = 0.
Soluţie.
Să extindem modulul:
1) Dacă cos x ≥ 0, atunci ecuația inițială va lua forma 1 + 2sin x · cos x = 0.
Folosind formula sinusului cu unghi dublu, obținem:
1 + sin 2x = 0; sin 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Deoarece cos x ≥ 0, atunci x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Dacă cos x< 0, то ecuația dată are forma 1 – 2sin x cos x = 0. Folosind formula sinusului dublu unghi, avem:
1 – sin 2x = 0; sin 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Deoarece cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) Cel mai mare rădăcină negativă ecuații: -π/4; cea mai mică rădăcină pozitivă a ecuației: 5π/4.
Diferența necesară: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
Răspuns: 270°.
Problema 2. Aflați (în grade) cea mai mică rădăcină pozitivă a ecuației |tg x| + 1/cos x = tan x.
Soluţie.
Să extindem modulul:
1) Dacă tan x ≥ 0, atunci
tan x + 1/cos x = tan x;
Ecuația rezultată nu are rădăcini.
2) Dacă tg x< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 și cos x ≠ 0.
Folosind Figura 1 și condiția tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) Cea mai mică rădăcină pozitivă a ecuației este 5π/6. Să convertim această valoare în grade:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
Răspuns: 150°.
Problema 3. Aflați numărul de rădăcini diferite ecuații sin|2x| = cos 2x pe intervalul [-π/2; π/2].
Soluţie.
Să scriem ecuația sub forma sin|2x| – cos 2x = 0 și se consideră funcția y = sin |2x| – cos 2x. Deoarece funcția este pară, vom găsi zerourile sale pentru x ≥ 0.
sin 2x – cos 2x = 0; Să împărțim ambele părți ale ecuației la cos 2x ≠ 0, obținem:
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
Folosind paritatea funcției, aflăm că rădăcinile ecuației originale sunt numere de formă
± (π/8 + πn/2), unde n € Z.
Interval [-π/2; π/2] aparțin numerelor: -π/8; π/8.
Deci, două rădăcini ale ecuației aparțin intervalului dat.
Raspuns: 2.
Această ecuație ar putea fi rezolvată și prin deschiderea modulului.
Problema 4. Aflați numărul de rădăcini ale ecuației sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x pe intervalul [-π; 2π].
Soluţie.
1) Luați în considerare cazul când 2cos x – 1 > 0, adică. cos x > 1/2, atunci ecuația ia forma:
sin x – sin 2 x = sin 2 x;
sin x – 2sin 2 x = 0;
sin x(1 – 2sin x) = 0;
sin x = 0 sau 1 – 2sin x = 0;
sin x = 0 sau sin x = 1/2.
Folosind figura 2 și condiția cos x > 1/2, găsim rădăcinile ecuației:
x = π/6 + 2πn sau x = 2πn, n € Z.
2) Luați în considerare cazul când 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
sin x + sin 2 x = sin 2 x;
x = 2πn, n € Z.
Folosind Figura 2 și condiția cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Combinând cele două cazuri, obținem:
x = π/6 + 2πn sau x = πn.
3) Interval [-π; 2π] aparțin rădăcinilor: π/6; -π; 0; π; 2π.
Astfel, intervalul dat conține cinci rădăcini ale ecuației.
Raspuns: 5.
Problema 5. Aflați numărul de rădăcini ale ecuației (x – 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 pe intervalul [-π; 2π].
Soluţie.
1) Dacă sin x ≥ 0, atunci ecuația inițială ia forma (x – 0.7) 2 sin x + sin x = 0. După ce scoatem din paranteze factorul comun sin x, obținem:
sin x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; deoarece (x – 0,7) 2 + 1 > 0 pentru tot x real, atunci sinx = 0, i.e. x = πn, n € Z.
2) Dacă sin x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sin x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;
sinx = 0 sau (x – 0.7) 2 + 1 = 0. Deoarece sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем Rădăcină pătrată din partea stângă și dreaptă a ultimei ecuații, obținem:
x – 0,7 = 1 sau x – 0,7 = -1, ceea ce înseamnă x = 1,7 sau x = -0,3.
Tinand cont de conditia sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, ceea ce înseamnă că doar numărul -0,3 este rădăcina ecuației originale.
3) Interval [-π; 2π] aparțin numerelor: -π; 0; π; 2π; -0,3.
Astfel, ecuația are cinci rădăcini într-un interval dat.
Raspuns: 5.
Vă puteți pregăti pentru lecții sau examene folosind diverse resurse educaționale care sunt disponibile pe Internet. Momentan oricine 
o persoană trebuie doar să folosească altele noi tehnologia de informație, deoarece utilizarea lor corectă și, cel mai important, adecvată va contribui la creșterea motivației în studierea subiectului, la creșterea interesului și la o mai bună asimilare a materialului necesar. Dar nu uitați că computerul nu vă învață să gândiți; informațiile primite trebuie procesate, înțelese și reținute. Prin urmare, puteți apela la tutorii noștri online pentru ajutor, care vă vor ajuta să vă dați seama cum să rezolvați problemele care vă interesează.
Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!
blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.
Ecuații trigonometrice. Ca parte a examenului de matematică din prima parte există o sarcină legată de rezolvarea unei ecuații - aceasta ecuații simple, care se rezolvă în câteva minute, multe tipuri pot fi rezolvate oral. Include: ecuații liniare, pătratice, raționale, iraționale, exponențiale, logaritmice și trigonometrice.
În acest articol ne vom uita la ecuațiile trigonometrice. Soluția lor diferă atât în volumul calculelor, cât și în complexitate față de celelalte probleme din această parte. Nu vă alarmați, cuvântul „dificultate” se referă la dificultatea lor relativă în comparație cu alte sarcini.
Pe lângă găsirea rădăcinilor ecuației în sine, este necesar să se determine cea mai mare rădăcină negativă sau cea mai mică pozitivă. Probabilitatea ca la examen să obțineți o ecuație trigonometrică este, desigur, mică.
Există mai puțin de 7% dintre aceștia în această parte a examenului unificat de stat. Dar asta nu înseamnă că ar trebui ignorate. În partea C, trebuie să rezolvați și o ecuație trigonometrică, așa că o bună înțelegere a tehnicii soluției și înțelegerea teoriei este pur și simplu necesară.
Înțelegerea secțiunii de trigonometrie a matematicii va determina în mare măsură succesul dvs. în rezolvarea multor probleme. Vă reamintesc că răspunsul este un număr întreg sau un număr finit zecimal. După ce obțineți rădăcinile ecuației, asigurați-vă că verificați. Nu va dura mult timp și te va scuti de la greșeli.
Ne vom uita și la alte ecuații în viitor, nu ratați! Să ne amintim formulele pentru rădăcinile ecuațiilor trigonometrice, trebuie să le cunoașteți:
Cunoașterea acestor valori este necesară; acesta este „ABC”, fără de care va fi imposibil să faceți față multor sarcini. Grozav, dacă memoria ta este bună, ai învățat și ai reținut ușor aceste valori. Ce să faci dacă nu poți face asta, există confuzie în capul tău, dar pur și simplu te-ai încurcat când susții examenul. Ar fi păcat să pierzi un punct pentru că ai notat valoarea greșită în calcule.
Aceste valori sunt simple, este dat și în teoria pe care ați primit-o în a doua scrisoare după abonarea la newsletter. Dacă nu te-ai abonat încă, fă-o! În viitor, ne vom uita și la modul în care aceste valori pot fi determinate dintr-un cerc trigonometric. Nu degeaba se numește „Inima de Aur a Trigonometriei”.
Permiteți-mi să explic imediat, pentru a evita confuzia, că în ecuațiile considerate mai jos sunt date definițiile arcsinus, arccosinus, arctangent folosind unghiul X pentru ecuațiile corespunzătoare: cosx=a, sinx=a, tgx=a, unde X poate fi și o expresie. În exemplele de mai jos, argumentul nostru este specificat tocmai printr-o expresie.
Deci, să luăm în considerare următoarele sarcini:
Găsiți rădăcina ecuației:
Notează cea mai mare rădăcină negativă din răspunsul tău.
Soluția ecuației cos x = a este două rădăcini:
Definiție: Fie ca numărul a în modul să nu depășească unu. Arccosinusul unui număr este unghiul x situat în intervalul de la 0 la Pi, al cărui cosinus este egal cu a.
Mijloace
Să ne exprimăm X:
Să găsim cea mai mare rădăcină negativă. Cum să o facă? Să înlocuim sensuri diferite n în rădăcinile rezultate, calculați și selectați cel mai mare negativ.
Noi calculăm:
Cu n = – 2 x 1 = 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 x 2 = 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5
Cu n = – 1 x 1 = 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 x 2 = 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5
Cu n = 0 x 1 = 3∙0 – 4,5 = – 4,5 x 2 = 3∙0 – 5,5 = – 5,5
Cu n = 1 x 1 = 3∙1 – 4,5 = – 1,5 x 2 = 3∙1 – 5,5 = – 2,5
Cu n = 2 x 1 = 3∙2 – 4,5 = 1,5 x 2 = 3∙2 – 5,5 = 0,5
Am constatat că cea mai mare rădăcină negativă este –1,5
Răspuns: –1,5
Decideți singuri:
Rezolvați ecuația:
Soluția ecuației sin x = a este două rădăcini:
Oricare (combină ambele cele de mai sus):
Definiție: Fie ca numărul a în modul să nu depășească unu. Arcsinusul unui număr este unghiul x care se află în intervalul de la – 90° la 90°, al cărui sinus este egal cu a.
Mijloace
Exprimați x (înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4 și împărțiți cu Pi):
Să găsim cea mai mică rădăcină pozitivă. Aici este imediat clar că atunci când înlocuim valori negative ale lui n obținem rădăcini negative. Prin urmare, vom înlocui n = 0,1,2...
Când n = 0 x = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4
Când n = 1 x = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6
Când n = 2 x = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12
Să verificăm cu n = –1 x = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2
Deci cea mai mică rădăcină pozitivă este 4.
Raspuns: 4
Decideți singuri:
Rezolvați ecuația:
Scrie cea mai mică rădăcină pozitivă din răspunsul tău.
Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea informațiilor către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Respectarea vieții private la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.