În această lecție, toată lumea va putea studia subiectul „Paralepiped dreptunghiular”. La începutul lecției, vom repeta ce sunt paralelipipedele drepte și arbitrare, amintiți-vă proprietățile fețelor și diagonalelor lor opuse ale paralelipipedului. Atunci să ne uităm la ce este cuboid, și discutați principalele sale proprietăți.

Tema: Perpendicularitatea dreptelor și a planurilor

Lecția: Cuboid

O suprafață compusă din două paralelograme egale ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 și patru paralelograme ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 se numește paralelipiped(Fig. 1).

Orez. 1 Paralelepiped

Adică: avem două paralelograme egale ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 (baze), acestea se află în plane paralele astfel încât marginile laterale AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 să fie paralele. Astfel, o suprafață compusă din paralelograme se numește paralelipiped.

Astfel, suprafața unui paralelipiped este suma tuturor paralelogramelor care alcătuiesc paralelipipedul.

1. Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și egale.

(formele sunt egale, adică pot fi combinate prin suprapunere)

De exemplu:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (paralelograme egale prin definiție),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (deoarece AA 1 B 1 B și DD 1 C 1 C sunt fețe opuse ale paralelipipedului),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (deoarece AA 1 D 1 D și BB 1 C 1 C sunt fețe opuse ale paralelipipedului).

2. Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct și sunt tăiate în două de acest punct.

Diagonalele paralelipipedului AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se intersectează într-un punct O, iar fiecare diagonală este împărțită la jumătate de acest punct (Fig. 2).

Orez. 2 Diagonalele unui paralelipiped se intersectează și sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție.

3. Există trei cvadruple de margini egale și paralele ale unui paralelipiped: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definiție. Un paralelipiped se numește drept dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe baze.

Lăsați marginea laterală AA 1 să fie perpendiculară pe bază (Fig. 3). Aceasta înseamnă că dreapta AA 1 este perpendiculară pe liniile drepte AD și AB, care se află în planul bazei. Aceasta înseamnă că fețele laterale conțin dreptunghiuri. Și bazele conțin paralelograme arbitrare. Să notăm ∠BAD = φ, unghiul φ poate fi oricare.

Orez. 3 Paralepipedul drept

Deci, un paralelipiped drept este un paralelipiped în care marginile laterale sunt perpendiculare pe bazele paralelipipedului.

Definiție. Paralepipedul se numește dreptunghiular, dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe bază. Bazele sunt dreptunghiuri.

Paralelepipedul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 este dreptunghiular (Fig. 4), dacă:

1. AA 1 ⊥ ABCD (margine laterală perpendiculară pe planul bazei, adică paralelipiped drept).

2. ∠BAD = 90°, adică baza este un dreptunghi.

Orez. 4 Paralepiped dreptunghiular

Un paralelipiped dreptunghiular are toate proprietățile unui paralelipiped arbitrar. Dar acolo este proprietăți suplimentare, care sunt derivate din definiția unui paralelipiped dreptunghiular.

Asa de, cuboid este un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe bază. Baza unui cuboid este un dreptunghi.

1. Într-un paralelipiped dreptunghiular, toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri.

ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 sunt dreptunghiuri prin definiție.

2. Coastele laterale sunt perpendiculare pe bază. Aceasta înseamnă că toate fețele laterale ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt dreptunghiuri.

3. Toate unghiurile diedrice ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt drepte.

Să considerăm, de exemplu, unghiul diedric al unui paralelipiped dreptunghic cu muchia AB, adică unghiul diedric dintre planele ABC 1 și ABC.

AB este o muchie, punctul A 1 se află într-un plan - în planul ABB 1, iar punctul D în celălalt - în planul A 1 B 1 C 1 D 1. Atunci unghiul diedric luat în considerare mai poate fi notat astfel: ∠A 1 ABD.

Să luăm punctul A pe muchia AB. AA 1 este perpendicular pe muchia AB în planul АВВ-1, AD este perpendicular pe muchia AB în planul ABC. Aceasta înseamnă că ∠A 1 AD este unghiul liniar al unui unghi diedric dat. ∠A 1 AD = 90°, ceea ce înseamnă că unghiul diedrului la muchia AB este de 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

În mod similar, se dovedește că orice unghiuri diedrice ale unui paralelipiped dreptunghic sunt drepte.

Pătratul diagonalei unui paralelipiped dreptunghic este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

Notă. Lungimile celor trei muchii care emană dintr-un vârf al unui cuboid sunt măsurătorile cuboidului. Ele sunt uneori numite lungime, lățime, înălțime.

Dat: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralelipiped dreptunghiular (Fig. 5).

Demonstrează: .

Orez. 5 Paralepiped dreptunghiular

Dovada:

Linia dreaptă CC 1 este perpendiculară pe planul ABC și, prin urmare, pe dreapta AC. Aceasta înseamnă că triunghiul CC 1 A este dreptunghic. Conform teoremei lui Pitagora:

Sa luam in considerare triunghi dreptunghic ABC. Conform teoremei lui Pitagora:

Dar BC și AD sunt laturi opuse ale dreptunghiului. Deci BC = AD. Apoi:

Deoarece , A , Acea. Deoarece CC 1 = AA 1, acesta este ceea ce trebuia demonstrat.

Diagonalele unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale.

Să notăm dimensiunile paralelipipedului ABC ca a, b, c (vezi Fig. 6), apoi AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

În această lecție, toată lumea va putea studia subiectul „Paralepiped dreptunghiular”. La începutul lecției, vom repeta ce sunt paralelipipedele drepte și arbitrare, amintiți-vă proprietățile fețelor și diagonalelor lor opuse ale paralelipipedului. Apoi ne vom uita la ce este un cuboid și vom discuta proprietățile sale de bază.

Tema: Perpendicularitatea dreptelor și a planurilor

Lecția: Cuboid

O suprafață compusă din două paralelograme egale ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 și patru paralelograme ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 se numește paralelipiped(Fig. 1).

Orez. 1 Paralelepiped

Adică: avem două paralelograme egale ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 (baze), acestea se află în plane paralele astfel încât marginile laterale AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 să fie paralele. Astfel, o suprafață compusă din paralelograme se numește paralelipiped.

Astfel, suprafața unui paralelipiped este suma tuturor paralelogramelor care alcătuiesc paralelipipedul.

1. Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și egale.

(formele sunt egale, adică pot fi combinate prin suprapunere)

De exemplu:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (paralelograme egale prin definiție),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (deoarece AA 1 B 1 B și DD 1 C 1 C sunt fețe opuse ale paralelipipedului),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (deoarece AA 1 D 1 D și BB 1 C 1 C sunt fețe opuse ale paralelipipedului).

2. Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct și sunt tăiate în două de acest punct.

Diagonalele paralelipipedului AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se intersectează într-un punct O, iar fiecare diagonală este împărțită la jumătate de acest punct (Fig. 2).

Orez. 2 Diagonalele unui paralelipiped se intersectează și sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție.

3. Există trei cvadruple de margini egale și paralele ale unui paralelipiped: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definiție. Un paralelipiped se numește drept dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe baze.

Lăsați marginea laterală AA 1 să fie perpendiculară pe bază (Fig. 3). Aceasta înseamnă că dreapta AA 1 este perpendiculară pe liniile drepte AD și AB, care se află în planul bazei. Aceasta înseamnă că fețele laterale conțin dreptunghiuri. Și bazele conțin paralelograme arbitrare. Să notăm ∠BAD = φ, unghiul φ poate fi oricare.

Orez. 3 Paralepipedul drept

Deci, un paralelipiped drept este un paralelipiped în care marginile laterale sunt perpendiculare pe bazele paralelipipedului.

Definiție. Paralepipedul se numește dreptunghiular, dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe bază. Bazele sunt dreptunghiuri.

Paralelepipedul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 este dreptunghiular (Fig. 4), dacă:

1. AA 1 ⊥ ABCD (margine laterală perpendiculară pe planul bazei, adică paralelipiped drept).

2. ∠BAD = 90°, adică baza este un dreptunghi.

Orez. 4 Paralepiped dreptunghiular

Un paralelipiped dreptunghiular are toate proprietățile unui paralelipiped arbitrar. Dar există proprietăți suplimentare care sunt derivate din definiția unui cuboid.

Asa de, cuboid este un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe bază. Baza unui cuboid este un dreptunghi.

1. Într-un paralelipiped dreptunghiular, toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri.

ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 sunt dreptunghiuri prin definiție.

2. Coastele laterale sunt perpendiculare pe bază. Aceasta înseamnă că toate fețele laterale ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt dreptunghiuri.

3. Toate unghiurile diedrice ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt drepte.

Să considerăm, de exemplu, unghiul diedric al unui paralelipiped dreptunghic cu muchia AB, adică unghiul diedric dintre planele ABC 1 și ABC.

AB este o muchie, punctul A 1 se află într-un plan - în planul ABB 1, iar punctul D în celălalt - în planul A 1 B 1 C 1 D 1. Atunci unghiul diedric luat în considerare mai poate fi notat astfel: ∠A 1 ABD.

Să luăm punctul A pe muchia AB. AA 1 este perpendicular pe muchia AB în planul АВВ-1, AD este perpendicular pe muchia AB în planul ABC. Aceasta înseamnă că ∠A 1 AD este unghiul liniar al unui unghi diedric dat. ∠A 1 AD = 90°, ceea ce înseamnă că unghiul diedrului la muchia AB este de 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

În mod similar, se dovedește că orice unghiuri diedrice ale unui paralelipiped dreptunghic sunt drepte.

Pătratul diagonalei unui paralelipiped dreptunghic este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

Notă. Lungimile celor trei muchii care emană dintr-un vârf al unui cuboid sunt măsurătorile cuboidului. Ele sunt uneori numite lungime, lățime, înălțime.

Dat: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralelipiped dreptunghiular (Fig. 5).

Demonstrează: .

Orez. 5 Paralepiped dreptunghiular

Dovada:

Linia dreaptă CC 1 este perpendiculară pe planul ABC și, prin urmare, pe dreapta AC. Aceasta înseamnă că triunghiul CC 1 A este dreptunghic. Conform teoremei lui Pitagora:

Luați în considerare triunghiul dreptunghic ABC. Conform teoremei lui Pitagora:

Dar BC și AD sunt laturi opuse ale dreptunghiului. Deci BC = AD. Apoi:

Deoarece , A , Acea. Deoarece CC 1 = AA 1, acesta este ceea ce trebuia demonstrat.

Diagonalele unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale.

Să notăm dimensiunile paralelipipedului ABC ca a, b, c (vezi Fig. 6), apoi AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Un paralelipiped este o prismă ale cărei baze sunt paralelograme. În acest caz, toate marginile vor fi paralelograme.
Fiecare paralelipiped poate fi considerat ca o prismă cu trei căi diferite, deoarece fiecare două fețe opuse pot fi luate ca baze (în Figura 5, fețele ABCD și A"B"C"D", sau ABA"B" și CDC "D", sau VSV "C" și ADA "D") .
Corpul în cauză are douăsprezece margini, patru egale și paralele între ele.
Teorema 3 . Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct, coincizând cu mijlocul fiecăruia dintre ele.
Paralepipedul ABCDA"B"C"D" (Fig. 5) are patru diagonale AC", BD", CA", DB". Trebuie să dovedim că punctele medii ale oricăror două dintre ele, de exemplu AC și BD", coincid. Aceasta rezultă din faptul că figura ABC "D", având laturile egale și paralele AB și C"D", este un paralelogram.
Definiția 7 . Un paralelipiped drept este un paralelipiped care este și o prismă dreaptă, adică un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe planul bazei.
Definiția 8 . Un paralelipiped dreptunghiular este un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi. În acest caz, toate fețele sale vor fi dreptunghiuri.
Un paralelipiped dreptunghiular este o prismă dreaptă, indiferent care dintre fețele sale o luăm ca bază, deoarece fiecare dintre muchiile sale este perpendiculară pe muchiile care ies din același vârf și, prin urmare, va fi perpendiculară pe planurile fețelor definite. prin aceste margini. În schimb, un paralelipiped drept, dar nu dreptunghiular, poate fi privit ca o prismă dreaptă într-un singur mod.
Definiția 9 . Lungimile a trei muchii ale unui paralelipiped dreptunghiular, dintre care două nu sunt paralele între ele (de exemplu, trei muchii care ies din același vârf), se numesc dimensiunile sale. Două paralelipipede dreptunghiulare având dimensiuni corespunzător egale sunt în mod evident egale între ele.
Definiția 10 .Un cub este un paralelipiped dreptunghic, toate cele trei dimensiuni sunt egale între ele, astfel încât toate fețele sale sunt pătrate. Două cuburi ale căror margini sunt egale sunt egale.
Definiția 11 . Paralepiped înclinat, în care toate muchiile sunt egale între ele și unghiurile tuturor fețelor sunt egale sau complementare, se numește romboedru.
Toate fețele unui romboedru sunt romburi egale. (Unele cristale au formă de romboedru, având mare importanță, de exemplu, cristale spate din Islanda.) Într-un romboedru puteți găsi un vârf (și chiar două vârfuri opuse) astfel încât toate unghiurile adiacente acestuia să fie egale între ele.
Teorema 4 . Diagonalele unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale între ele. Pătratul diagonalei este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni.
În paralelipipedul dreptunghic ABCDA"B"C"D" (Fig. 6), diagonalele AC" și BD" sunt egale, deoarece patrulaterul ABC"D" este dreptunghi (dreapta AB este perpendiculară pe planul ECB" C", în care zace BC") .
În plus, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 bazat pe teorema despre pătratul ipotenuzei. Dar pe baza aceleiași teoreme AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; deci avem avea:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.

Un paralelipiped este o figură geometrică, toate cele 6 fețe ale căreia sunt paralelograme.

În funcție de tipul acestor paralelograme există următoarele tipuri paralelipiped:

• Drept;
• înclinat;
• dreptunghiular.

Un paralelipiped drept este o prismă patruunghiulară ale cărei margini formează un unghi de 90° cu planul bazei.

Un paralelipiped dreptunghiular este o prismă patruunghiulară, ale cărei fețe sunt dreptunghiuri. Un cub este un tip de prismă pătrangulară în care toate fețele și muchiile sunt egale între ele.

Caracteristicile unei figuri predetermina proprietățile acesteia. Acestea includ următoarele 4 afirmații:

Este simplu de reținut toate proprietățile de mai sus, ele sunt ușor de înțeles și sunt derivate logic pe baza tipului și caracteristicilor corpului geometric. Cu toate acestea, declarațiile simple pot fi incredibil de utile atunci când rezolvați sarcini tipice USE și vor economisi timpul necesar pentru a trece testul.

Formule paralelepipedice

Pentru a găsi răspunsuri la problemă, nu este suficient să cunoaștem doar proprietățile figurii. Este posibil să aveți nevoie și de câteva formule pentru găsirea ariei și volumului unui corp geometric.

Aria bazelor se găsește în același mod ca și indicatorul corespunzător al unui paralelogram sau dreptunghi. Puteți alege singur baza paralelogramului. De regulă, atunci când rezolvați probleme, este mai ușor să lucrați cu o prismă, a cărei bază este un dreptunghi.

Formula pentru găsirea suprafeței laterale a unui paralelipiped poate fi necesară și în sarcinile de testare.

Exemple de rezolvare a sarcinilor tipice ale examenului de stat unificat

Exercitiul 1.

Dat: un paralelipiped dreptunghiular cu dimensiunile de 3, 4 și 12 cm.
Necesar găsiți lungimea uneia dintre diagonalele principale ale figurii.
Soluţie: Orice soluție la o problemă geometrică trebuie să înceapă cu construirea unui desen corect și clar, pe care se va indica „dată” și valoarea dorită. Figura de mai jos prezintă un exemplu de execuție corectă a condițiilor sarcinii.

După ce am examinat desenul realizat și amintindu-ne toate proprietățile corpului geometric, ajungem la singurul calea cea buna solutii. Aplicând a 4-a proprietate a unui paralelipiped, obținem următoarea expresie:

După calcule simple obținem expresia b2=169, deci b=13. Răspunsul la sarcină a fost găsit; nu trebuie să petreceți mai mult de 5 minute căutându-l și desenând.