A studia un sistem de ecuații liniare agebraice (SLAE) pentru consistență înseamnă a afla dacă acest sistem are sau nu soluții. Ei bine, dacă există soluții, atunci indicați câte sunt.

Vom avea nevoie de informații din tema „Sistem de ecuații algebrice liniare. Termeni de bază. Forma matriceală de notație”. În special, sunt necesare concepte precum matricea sistemului și matricea sistemului extins, deoarece formularea teoremei Kronecker-Capelli se bazează pe acestea. Ca de obicei, vom desemna matricea sistemului cu litera $A$, iar matricea extinsă a sistemului cu litera $\widetilde(A)$.

Teorema Kronecker-Capelli

Sistem liniar ecuații algebrice este consecvent dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse a sistemului, adică $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

Permiteți-mi să vă reamintesc că un sistem se numește articulație dacă are cel puțin o soluție. Teorema Kronecker-Capelli spune așa: dacă $\rang A=\rang\widetilde(A)$, atunci există o soluție; dacă $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, atunci acest SLAE nu are soluții (incoerente). Răspunsul la întrebarea despre numărul acestor soluții este dat de un corolar al teoremei Kronecker-Capelli. În formularea corolarului se folosește litera $n$, care este egală cu numărul de variabile SLAE-ului dat.

Corolar al teoremei Kronecker-Capelli

1. Dacă $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, atunci SLAE este inconsecvent (nu are soluții).
2. Dacă $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Dacă $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, atunci SLAE este definit (are exact o soluție).

Vă rugăm să rețineți că teorema formulată și corolarul ei nu indică cum să găsiți o soluție la SLAE. Cu ajutorul lor, puteți afla doar dacă aceste soluții există sau nu și, dacă există, atunci câte.

Exemplul nr. 1

Explorați SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned). )\right.$ pentru compatibilitate. Dacă SLAE este compatibil, indicați numărul de soluții.

Pentru a afla existența soluțiilor la un SLAE dat, folosim teorema Kronecker-Capelli. Vom avea nevoie de matricea sistemului $A$ și de matricea extinsă a sistemului $\widetilde(A)$, le vom scrie:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(matrice) \dreapta). $$

Trebuie să găsim $\rang A$ și $\rang\widetilde(A)$. Există multe modalități de a face acest lucru, dintre care unele sunt enumerate în secțiunea Matrix Rank. În mod obișnuit, pentru a studia astfel de sisteme sunt utilizate două metode: „Calculul rangului unei matrice prin definiție” sau „Calculul rangului unei matrice prin metoda transformărilor elementare”.

Metoda numărul 1. Calcularea rangurilor prin definiție.

Potrivit definiției, rangul este cel mai înalt ordin al minorilor unei matrice, printre care există cel puțin unul diferit de zero. De obicei, studiul începe cu minori de ordinul întâi, dar aici este mai convenabil să începeți imediat calcularea minorului de ordinul trei al matricei $A$. Elementele minore de ordinul trei sunt situate la intersecția a trei rânduri și trei coloane ale matricei în cauză. Deoarece matricea $A$ conține doar 3 rânduri și 3 coloane, minorul de ordinul trei al matricei $A$ este determinantul matricei $A$, adică. $\Delta A$. Pentru a calcula determinantul, aplicăm formula nr. 2 din subiectul „Formulele pentru calcularea determinanților de ordinul doi și trei”:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

Deci, există un minor de ordinul trei al matricei $A$, care nu este egal cu zero. Este imposibil să construiți un minor de ordinul al patrulea, deoarece necesită 4 rânduri și 4 coloane, iar matricea $A$ are doar 3 rânduri și 3 coloane. Deci, ordinul cel mai înalt al minorilor matricei $A$, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero, este egal cu 3. Prin urmare, $\rang A=3$.

De asemenea, trebuie să găsim $\rang\widetilde(A)$. Să ne uităm la structura matricei $\widetilde(A)$. Până la linia din matricea $\widetilde(A)$ există elemente ale matricei $A$ și am aflat că $\Delta A\neq 0$. În consecință, matricea $\widetilde(A)$ are un minor de ordinul trei, care nu este egal cu zero. Nu putem construi minore de ordinul al patrulea ale matricei $\widetilde(A)$, deci concluzionăm: $\rang\widetilde(A)=3$.

Deoarece $\rang A=\rang\widetilde(A)$, atunci conform teoremei Kronecker-Capelli sistemul este consistent, i.e. are o soluție (cel puțin una). Pentru a indica numărul de soluții, luăm în considerare că SLAE-ul nostru conține 3 necunoscute: $x_1$, $x_2$ și $x_3$. Întrucât numărul de necunoscute este $n=3$, concluzionăm: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, prin urmare, conform corolarului teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este definit, adică. are o soluție unică.

Problema este rezolvată. Care sunt dezavantajele și avantajele aceasta metoda? În primul rând, să vorbim despre avantaje. În primul rând, trebuia să găsim un singur determinant. După aceasta, am făcut imediat o concluzie despre numărul de soluții. De obicei, calculele standard standard oferă sisteme de ecuații care conțin trei necunoscute și au o soluție unică. Pentru astfel de sisteme aceasta metoda Este foarte convenabil, pentru că știm dinainte că există o soluție (altfel nu ar exista un exemplu în calculul standard). Acestea. tot ce trebuie să facem este să arătăm existența unei soluții în cel mai mult într-un mod rapid. În al doilea rând, valoarea calculată a determinantului matricei sistemului (adică $\Delta A$) va fi utilă mai târziu: când începem să rezolvăm un sistem dat folosind metoda Cramer sau folosind matricea inversă.

Cu toate acestea, metoda de calcul a rangului este prin definiție nedorită de utilizat dacă matricea sistemului $A$ este dreptunghiulară. În acest caz, este mai bine să utilizați a doua metodă, care va fi discutată mai jos. În plus, dacă $\Delta A=0$, atunci nu putem spune nimic despre numărul de soluții ale unui SLAE neomogen dat. Poate SLAE are un număr infinit de soluții, sau poate nici una. Dacă $\Delta A=0$, atunci este necesară cercetare suplimentară, care este adesea greoaie.

Pentru a rezuma ceea ce s-a spus, observ că prima metodă este bună pentru acele SLAE-uri a căror matrice de sistem este pătrată. Mai mult decât atât, SLAE în sine conține trei sau patru necunoscute și este luat din calcule sau teste standard standard.

Metoda numărul 2. Calculul rangului prin metoda transformărilor elementare.

Această metodă este descrisă în detaliu în subiectul corespunzător. Vom începe să calculăm rangul matricei $\widetilde(A)$. De ce matrice $\widetilde(A)$ și nu $A$? Cert este că matricea $A$ face parte din matricea $\widetilde(A)$, prin urmare, calculând rangul matricei $\widetilde(A)$ vom găsi simultan rangul matricei $A$ .

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(swap prima și a doua linie)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (matrice) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \right) \begin(array) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \right) \end(aligned)

Am redus matricea $\widetilde(A)$ la formă trapezoidală. Pe diagonala principală a matricei rezultate $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ conține trei elemente diferite de zero: -1, 3 și -7. Concluzie: rangul matricei $\widetilde(A)$ este 3, i.e. $\rang\widetilde(A)=3$. La efectuarea transformărilor cu elementele matricei $\widetilde(A)$, am transformat simultan elementele matricei $A$ situate până la linie. Matricea $A$ este, de asemenea, redusă la formă trapezoidală: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \dreapta )$. Concluzie: rangul matricei $A$ este tot 3, i.e. $\rang A=3$.

Deoarece $\rang A=\rang\widetilde(A)$, atunci conform teoremei Kronecker-Capelli sistemul este consistent, i.e. are o solutie. Pentru a indica numărul de soluții, luăm în considerare că SLAE-ul nostru conține 3 necunoscute: $x_1$, $x_2$ și $x_3$. Întrucât numărul de necunoscute este $n=3$, concluzionăm: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, prin urmare, conform corolarului teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este definit, i.e. are o soluție unică.

Care sunt avantajele celei de-a doua metode? Principalul avantaj este versatilitatea sa. Pentru noi nu contează dacă matricea sistemului este pătrată sau nu. În plus, am efectuat de fapt transformări directe ale metodei Gauss. Au mai rămas doar câțiva pași și am putea obține o soluție la acest SLAE. Sincer să fiu, a doua metodă îmi place mai mult decât prima, dar alegerea este o chestiune de gust.

Răspuns: SLAE dat este consecvent și definit.

Exemplul nr. 2

Explorați SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(aligned) \right.$ pentru compatibilitate.

Vom găsi rangurile matricei sistemului și matricei sistemului extins folosind metoda transformărilor elementare. Matrice de sistem extinsă: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Să găsim rangurile necesare transformând matricea extinsă a sistemului:

Matricea extinsă a sistemului este redusă la o formă în trepte. Dacă o matrice este redusă la formă eșalonată, atunci rangul ei este egal cu numărul de rânduri diferite de zero. Prin urmare, $\rang A=3$. Matricea $A$ (până la linie) este redusă la formă trapezoidală și rangul ei este 2, $\rang A=2$.

Deoarece $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, atunci conform teoremei Kronecker-Capelli sistemul este inconsecvent (adică nu are soluții).

Răspuns: Sistemul este inconsecvent.

Exemplul nr. 3

Explorați SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(aligned) \right.$ pentru compatibilitate.

Matricea extinsă a sistemului are forma: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$. Să schimbăm primul și al doilea rând din această matrice, astfel încât primul element al primului rând să devină unul: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$.

Am redus matricea extinsă a sistemului și matricea sistemului însuși la o formă trapezoidală. Rangul matricei extinse a sistemului este egal cu trei, rangul matricei sistemului este, de asemenea, egal cu trei. Deoarece sistemul conține $n=5$ necunoscute, i.e. $\rang\widetilde(A)=\rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Răspuns: Sistemul este incert.

În a doua parte, vom analiza exemple care sunt adesea incluse în calcule standard sau teste la matematică superioară: cercetarea consistenței și soluția SLAE în funcție de valorile parametrilor incluși în acesta.

Exemplul 1. Găsi decizie comunăși o soluție specială a sistemului

Soluţie O facem folosind un calculator. Să scriem matricele extinse și principale:

Matricea principală A este separată printr-o linie punctată.Scriem sisteme necunoscute în partea de sus, ținând cont de posibila rearanjare a termenilor în ecuațiile sistemului. Determinând rangul matricei extinse, găsim simultan rangul matricei principale. În matricea B, prima și a doua coloană sunt proporționale. Dintre cele două coloane proporționale, doar una poate cădea în minorul de bază, așa că să mutăm, de exemplu, prima coloană dincolo de linia punctată cu semnul opus. Pentru sistem, aceasta înseamnă transferul de termeni din x 1 în partea dreaptă a ecuațiilor.

Să reducem matricea la vedere triunghiulară. Vom lucra numai cu rânduri, deoarece înmulțirea unui rând de matrice cu un alt număr decât zero și adăugarea lui la un alt rând pentru sistem înseamnă înmulțirea ecuației cu același număr și adăugarea acesteia cu o altă ecuație, ceea ce nu schimbă soluția sistem. Lucrăm cu primul rând: înmulțim primul rând al matricei cu (-3) și adăugăm pe rândul al doilea și al treilea rând. Apoi înmulțiți prima linie cu (-2) și adăugați-o la a patra.

A doua și a treia linie sunt proporționale, prin urmare, una dintre ele, de exemplu a doua, poate fi tăiată. Acest lucru este echivalent cu tăierea celei de-a doua ecuații a sistemului, deoarece este o consecință a celei de-a treia.

Acum lucrăm cu a doua linie: înmulțiți-o cu (-1) și adăugați-o la a treia.

Minorul încercuit cu o linie punctată are cel mai mare ordin (dintre posibile minore) și este diferit de zero (este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală), iar acest minor aparține atât matricei principale, cât și celei extinse, prin urmare rangA = rangB = 3.
Minor este de bază. Include coeficienți pentru necunoscutele x 2 , x 3 , x 4 , ceea ce înseamnă că necunoscutele x 2 , x 3 , x 4 sunt dependente și x 1 , x 5 sunt libere.
Să transformăm matricea, lăsând doar baza minoră în stânga (care corespunde punctului 4 al algoritmului de soluție de mai sus).

Sistemul cu coeficienții acestei matrice este echivalent cu sistemul original și are forma

Folosind metoda eliminării necunoscutelor găsim:
, ,

Am obținut relații care exprimă variabilele dependente x 2, x 3, x 4 prin cele libere x 1 și x 5, adică am găsit o soluție generală:

Prin atribuirea oricăror valori necunoscutelor libere, obținem orice număr de soluții particulare. Să găsim două soluții speciale:
1) fie x 1 = x 5 = 0, apoi x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) pune x 1 = 1, x 5 = -1, apoi x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Astfel, s-au găsit două soluții: (0,1,-3,3,0) – o soluție, (1,4,-7,7,-1) – o altă soluție.

Exemplul 2. Explorați compatibilitatea, găsiți o soluție generală și una particulară pentru sistem

Soluţie. Să rearanjam prima și a doua ecuație pentru a avea una în prima ecuație și să scriem matricea B.

Obținem zerouri în a patra coloană operând cu primul rând:

Acum obținem zerourile din a treia coloană folosind a doua linie:

A treia și a patra linie sunt proporționale, astfel încât una dintre ele poate fi tăiată fără a schimba rangul:
Înmulțiți a treia linie cu (–2) și adăugați-o la a patra:

Vedem că rândurile matricelor principale și extinse sunt egale cu 4, iar rangul coincide cu numărul de necunoscute, prin urmare, sistemul are o soluție unică:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

Exemplul 3. Examinați sistemul pentru compatibilitate și găsiți o soluție dacă există.

Soluţie. Compunem o matrice extinsă a sistemului.

Rearanjam primele două ecuații astfel încât să fie 1 în colțul din stânga sus:
Înmulțind prima linie cu (-1), adăugând-o la a treia:

Înmulțiți a doua linie cu (-2) și adăugați-o la a treia:

Sistemul este inconsecvent, deoarece în matricea principală am primit un rând format din zerouri, care este tăiat când se găsește rangul, dar în matricea extinsă rămâne ultimul rând, adică r B > r A .

Exercițiu. Investigați acest sistem de ecuații pentru compatibilitate și rezolvați-l folosind calculul matriceal.
Soluţie

Exemplu. Demonstrați compatibilitatea sistemului ecuatii lineareși rezolvați-l în două moduri: 1) metoda Gauss; 2) Metoda lui Cramer. (introduceți răspunsul sub forma: x1,x2,x3)
Soluție :doc :doc :xls
Răspuns: 2,-1,3.

Exemplu. Este dat un sistem de ecuații liniare. Demonstrați compatibilitatea acestuia. Găsiți o soluție generală a sistemului și o soluție particulară.
Soluţie
Răspuns: x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 - x 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Exercițiu. Găsiți soluțiile generale și particulare ale fiecărui sistem.
Soluţie. Studiem acest sistem folosind teorema Kronecker-Capelli.
Să scriem matricele extinse și principale:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Aici matricea A este evidențiată cu caractere aldine.
Să reducem matricea la formă triunghiulară. Vom lucra numai cu rânduri, deoarece înmulțirea unui rând de matrice cu un alt număr decât zero și adăugarea lui la un alt rând pentru sistem înseamnă înmulțirea ecuației cu același număr și adăugarea acesteia cu o altă ecuație, ceea ce nu schimbă soluția sistem.
Să înmulțim prima linie cu (3). Înmulțiți a doua linie cu (-1). Să adăugăm a doua linie la prima:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Să înmulțim a doua linie cu (2). Înmulțiți a treia linie cu (-3). Să adăugăm a treia linie la a doua:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Înmulțiți a doua linie cu (-1). Să adăugăm a doua linie la prima:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Minorul selectat are cel mai mare ordin (dintre posibili minori) și este diferit de zero (este egal cu produsul elementelor de pe diagonala inversă), iar acest minor aparține atât matricei principale, cât și celei extinse, prin urmare rang( A) = rang(B) = 3 Deoarece rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse, atunci sistemul este colaborativ.
Acest minor este de bază. Include coeficienți pentru necunoscutele x 1 , x 2 , x 3 , ceea ce înseamnă că necunoscutele x 1 , x 2 , x 3 sunt dependente (de bază) și x 4 , x 5 sunt libere.
Să transformăm matricea, lăsând doar baza minoră în stânga.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

Sistemul cu coeficienții acestei matrice este echivalent cu sistemul original și are forma:
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Folosind metoda eliminării necunoscutelor găsim:
Am obținut relații care exprimă variabilele dependente x 1 , x 2 , x 3 prin cele libere x 4 , x 5 , adică am găsit decizie comună:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
incert, deoarece are mai multe soluții.

Exercițiu. Rezolvați sistemul de ecuații.
Răspuns:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Prin atribuirea oricăror valori necunoscutelor libere, obținem orice număr de soluții particulare. Sistemul este incert

SISTEME DE ECUATII LINEARE

I. Enunțarea problemei.

II. Compatibilitatea sistemelor omogene și eterogene.

III. Sistem T ecuatii cu T necunoscut. regula lui Cramer.

IV. Metoda matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuații.

V. Metoda Gauss.

I. Enunțarea problemei.

Un sistem de ecuații de formă

numit sistem m ecuații liniare cu n necunoscut
. Coeficienții ecuațiilor acestui sistem se scriu sub forma unei matrice

Care e numit matricea sistemului (1).

Se formează numerele din partea dreaptă a ecuațiilor coloana membrilor liberi {B}:

.

Dacă coloana ( B}={0 ), atunci sistemul de ecuații se numește omogen. În caz contrar, când ( B}≠{0 ) - sistem eterogen.

Sistemul de ecuații liniare (1) poate fi scris sub formă de matrice

[A]{X}={B}. (2)

Aici - coloana de necunoscute.

Rezolvarea sistemului de ecuații (1) înseamnă găsirea mulțimii n numere
astfel încât la înlocuirea în sistemul (1) în locul necunoscutelor
Fiecare ecuație a sistemului se transformă într-o identitate. Numerele
se numesc soluția unui sistem de ecuații.

Un sistem de ecuații liniare poate avea o singură soluție

,

poate avea nenumărate soluții

sau nu ai deloc solutii

.

Se numesc sisteme de ecuații care nu au soluții incompatibil. Dacă un sistem de ecuații are cel puțin o soluție, atunci se numește comun. Sistemul de ecuații se numește anumit, dacă are o soluție unică, și incert, dacă are infinit de soluții.

II. Compatibilitatea sistemelor omogene și eterogene.

Condiția de compatibilitate pentru sistemul de ecuații liniare (1) este formulată în Teorema Kronecker-Capelli: un sistem de ecuații liniare are cel puțin o soluție dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse:
.

O matrice de sistem extinsă este o matrice obținută din matricea de sistem prin adăugarea unei coloane de termeni liberi în partea dreaptă:

.

Dacă Rg AA* , atunci sistemul de ecuații este inconsecvent.

Sistemele omogene de ecuații liniare, în conformitate cu teorema Kronecker-Capelli, sunt întotdeauna consistente. Să considerăm cazul unui sistem omogen în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, adică t=p. Dacă determinantul matricei unui astfel de sistem nu este egal cu zero, i.e.
, un sistem omogen are o soluție unică, care este trivială (zero). Sistemele omogene au un număr infinit de soluții dacă printre ecuațiile sistemului există unele dependente liniar, adică.
.

Exemplu. Să considerăm un sistem omogen de trei ecuații liniare cu trei necunoscute:

și examinați problema numărului de soluții ale acesteia. Fiecare dintre ecuații poate fi considerată o ecuație a unui plan care trece prin originea coordonatelor ( D=0 ). Sistemul de ecuații are o soluție unică atunci când toate cele trei plane se intersectează într-un punct. Mai mult, vectorii lor normali sunt necoplanari și, prin urmare, condiția este îndeplinită

.

Soluția sistemului în acest caz X=0, y=0, z=0 .

Dacă cel puțin două dintre cele trei plane, de exemplu, primul și al doilea, sunt paralele, adică , atunci determinantul matricei sistemului este egal cu zero, iar sistemul are un număr infinit de soluții. Mai mult, soluțiile vor fi coordonatele X, y, z toate punctele situate pe o linie

Dacă toate cele trei planuri coincid, atunci sistemul de ecuații va fi redus la o singură ecuație

,

iar soluția vor fi coordonatele tuturor punctelor situate în acest plan.

Când se studiază sisteme neomogene de ecuații liniare, problema compatibilității este rezolvată folosind teorema Kronecker-Capelli. Dacă numărul de ecuații dintr-un astfel de sistem este egal cu numărul de necunoscute, atunci sistemul are o soluție unică dacă determinantul său nu este egal cu zero. În caz contrar, sistemul fie este inconsecvent, fie are un număr infinit de soluții.

Exemplu. Studiem un sistem neomogen de două ecuații cu două necunoscute

.

Ecuațiile sistemului pot fi considerate ca ecuații a două drepte pe un plan. Sistemul este inconsecvent când liniile sunt paralele, adică.
,
. În acest caz, rangul matricei sistemului este 1:

Rg A=1 , deoarece
,

și rangul matricei extinse
este egal cu doi, deoarece pentru acesta poate fi ales ca bază minoră un minor de ordinul doi care conține a treia coloană.

În cazul în cauză, Rg AA * .

Dacă liniile coincid, i.e. , atunci sistemul de ecuații are un număr infinit de soluții: coordonatele punctelor pe o dreaptă
. În acest caz, Rg A= Rg A * =1.

Sistemul are o soluție unică atunci când liniile nu sunt paralele, adică.
. Soluția acestui sistem este coordonatele punctului de intersecție al dreptelor

III. SistemT ecuatii cuT necunoscut. regula lui Cramer.

Să luăm în considerare cel mai simplu caz când numărul de ecuații ale sistemului este egal cu numărul de necunoscute, i.e. m= n. Dacă determinantul matricei sistemului este diferit de zero, soluția sistemului poate fi găsită folosind regula lui Cramer:

(3)

Aici
- determinant al matricei sistemului,

este determinantul matricei obtinute din [ A] înlocuire i a-a coloană la coloana membrilor liberi:

.

Exemplu. Rezolvați sistemul de ecuații folosind metoda lui Cramer.

Soluţie :

1) găsiți determinantul sistemului

2) găsiți determinanți auxiliari

3) găsiți o soluție la sistem folosind regula lui Cramer:

Rezultatul soluției poate fi verificat prin înlocuirea în sistemul de ecuații

Se obțin identitățile corecte.

IV. Metoda matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuații.

Să scriem sistemul de ecuații liniare sub formă de matrice (2)

[A]{X}={B}

și înmulțiți părțile drepte și stângi ale relației (2) din stânga cu matricea [ A -1 ], inversul matricei sistemului:

[A -1 ][A]{X}=[A -1 ]{B}. (2)

Prin definiția matricei inverse, produsul [ A -1 ][A]=[E], iar în funcție de proprietățile matricei identitare [ E]{X}={X). Apoi din relația (2") obținem

{X}=[A -1 ]{B}. (4)

Relația (4) stă la baza metodei matriceale pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare: este necesar să se găsească matricea inversă matricei sistemului și să se înmulțească vectorul coloanei părților din dreapta ale sistemului cu acesta din stânga.

Exemplu. Să rezolvăm sistemul de ecuații considerat în exemplul anterior folosind metoda matricei.

Matricea sistemului
determinantul ei det A==183 .

Coloana din dreapta
.

Pentru a găsi matricea [ A -1 ], găsiți matricea atașată la [ A]:

sau

Formula de calcul a matricei inverse include
, Apoi

Acum putem găsi o soluție la sistem

Apoi ajungem în sfârșit .

V. Metoda Gauss.

Cu un număr mare de necunoscute, rezolvarea unui sistem de ecuații folosind metoda Cramer sau metoda matricei presupune calcularea determinanților de ordin înalt sau inversarea matricelor mari. Aceste proceduri necesită multă muncă, chiar și pentru computerele moderne. Prin urmare, pentru a rezolva sisteme cu un număr mare de ecuații, se folosește adesea metoda Gauss.

Metoda Gaussiană constă în eliminarea secvenţială a necunoscutelor prin transformări elementare ale matricei extinse a sistemului. Transformările matricei elementare includ permutarea rândurilor, adăugarea rândurilor, înmulțirea rândurilor cu alte numere decât zero. Ca urmare a transformărilor, este posibilă reducerea matricei sistemului la una triunghiulară superioară, pe diagonala principală a cărei diagonală există, iar sub diagonala principală sunt zerouri. Aceasta este abordarea directă a metodei gaussiene. Reversul metodei constă în determinarea directă a necunoscutelor, începând de la ultima.

Să ilustrăm metoda Gauss folosind exemplul de rezolvare a unui sistem de ecuații

La prima etapă a cursei înainte se asigură că coeficientul
sistemul transformat a devenit egal 1 , și coeficienții
Și
transformat la zero. Pentru a face acest lucru, înmulțiți prima ecuație cu 1/10 , înmulțiți a doua ecuație cu 10 și adăugați-o la prima, înmulțiți a treia ecuație cu -10/2 si adauga-l la primul. După aceste transformări obținem

La a doua etapă, ne asigurăm că după transformări coeficientul
devenit egal 1 , și coeficientul
. Pentru a face acest lucru, împărțiți a doua ecuație la 42 , și înmulțiți a treia ecuație cu -42/27 si adauga-l cu al doilea. Obținem un sistem de ecuații

La a treia etapă ar trebui să obținem coeficientul
. Pentru a face acest lucru, împărțiți a treia ecuație la (37 - 84/27) ; primim

Aici se termină progresia directă a metodei Gauss, deoarece matricea sistemului se reduce la cea triunghiulară superioară:

Efectuând mișcarea inversă, găsim necunoscutele

Metoda Gaussiană are o serie de dezavantaje: este imposibil să știm dacă sistemul este consistent sau nu până când nu au fost efectuate toate transformările necesare în metoda Gauss; Metoda lui Gauss nu este potrivită pentru sistemele cu coeficienți de litere.

Să luăm în considerare alte metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare. Aceste metode folosesc conceptul de rang de matrice și reduc soluția oricărui sistem consistent la soluția unui sistem căruia i se aplică regula lui Cramer.

Exemplul 1. Găsiți o soluție generală a următorului sistem de ecuații liniare folosind sistemul fundamental de soluții dat sistem omogenși o soluție specială pentru un sistem eterogen.

1. Realizarea unei matrice Ași matrice de sistem extinsă (1)

2. Explorați sistemul (1) pentru împreună. Pentru a face acest lucru, găsim rândurile matricelor Ași https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Dacă se dovedește că , atunci sistemul (1) incompatibil. Dacă primim asta , atunci acest sistem este consistent și îl vom rezolva. (Studiul de compatibilitate se bazează pe teorema Kronecker-Capelli).

A. Găsim rA.

A găsi rA, vom lua în considerare secvenţial minori non-zero ale primului, al doilea, etc. ordine ale matricei Ași minorii din jurul lor.

M1=1≠0 (luăm 1 din colțul din stânga sus al matricei A).

Ne învecinam M1 al doilea rând și a doua coloană a acestei matrice. . Continuăm la graniță M1 a doua linie și a treia coloană..gif" width="37" height="20 src=">. Acum marginim minorul diferit de zero M2′ a doua comanda.

Avem: (deoarece primele două coloane sunt aceleași)

(deoarece a doua și a treia linie sunt proporționale).

Noi vedem asta rA=2, a este baza minoră a matricei A.

b. Găsim.

Minor destul de elementar M2′ matrici A chenar cu o coloană de termeni liberi și toate rândurile (avem doar ultimul rând).

. Rezultă că M3′′ rămâne minorul de bază al matricei https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Deoarece M2′- baza minoră a matricei A sisteme (2) , atunci acest sistem este echivalent cu sistemul (3) , constând din primele două ecuații ale sistemului (2) (pentru M2′ se află în primele două rânduri ale matricei A).

(3)

Deoarece minorul de bază https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

În acest sistem există două necunoscute gratuite ( x2 Și x4 ). De aceea FSR sisteme (4) constă din două soluții. Pentru a le găsi, atribuim necunoscute gratuite în (4) valorile mai întâi x2=1 , x4=0 , și apoi - x2=0 , x4=1 .

La x2=1 , x4=0 primim:

.

Acest sistem are deja singurul lucru soluție (poate fi găsită folosind regula lui Cramer sau orice altă metodă). Scăzând prima din a doua ecuație, obținem:

Soluția ei va fi x1= -1 , x3=0 . Având în vedere valorile x2 Și x4 , pe care l-am dat, primim primul solutie fundamentala sisteme (2) : .

Acum credem în (4) x2=0 , x4=1 . Primim:

.

Rezolvăm acest sistem folosind teorema lui Cramer:

.

Obținem a doua soluție fundamentală a sistemului (2) : .

Soluții β1 , β2 si machiaza FSR sisteme (2) . Atunci soluția sa generală va fi

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Aici C1 , C2 – constante arbitrare.

4. Să găsim unul privat soluţie sistem eterogen(1) . Ca în paragraful 3 , în loc de sistem (1) Să considerăm un sistem echivalent (5) , constând din primele două ecuații ale sistemului (1) .

(5)

Să mutăm necunoscutele libere în partea dreaptă x2Și x4.

(6)

Să dăm necunoscute gratuite x2 Și x4 valori arbitrare, de exemplu, x2=2 , x4=1 și pune-le înăuntru (6) . Să luăm sistemul

Acest sistem are o soluție unică (din moment ce determinantul său M2′0). Rezolvând-o (folosind teorema lui Cramer sau metoda lui Gauss), obținem x1=3 , x3=3 . Având în vedere valorile necunoscutelor libere x2 Și x4 , primim soluție particulară a unui sistem neomogen(1)α1=(3,2,3,1).

5. Acum nu mai rămâne decât să-l notezi soluţia generală α a unui sistem neomogen(1) : este egal cu suma soluție privată acest sistem şi soluţie generală a sistemului său omogen redus (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Acest lucru înseamnă: (7)

6. Examinare. Pentru a verifica dacă ați rezolvat corect sistemul (1) , avem nevoie de o soluție generală (7) înlocuire în (1) . Dacă fiecare ecuație se transformă în identitate ( C1 Și C2 trebuie distrus), atunci soluția este găsită corect.

Vom înlocui (7) de exemplu, doar ultima ecuație a sistemului (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .

Se obține: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Unde –1=–1. Avem o identitate. Facem asta cu toate celelalte ecuații ale sistemului (1) .

Cometariu. Verificarea este de obicei destul de greoaie. Următoarea „verificare parțială” poate fi recomandată: în soluția generală a sistemului (1) atribuiți unele valori constantelor arbitrare și înlocuiți soluția parțială rezultată numai în ecuațiile aruncate (adică în acele ecuații din (1) , care nu au fost incluse în (5) ). Dacă obțineți identități, atunci mai probabil, soluție de sistem (1) găsit corect (dar o astfel de verificare nu oferă o garanție completă a corectitudinii!). De exemplu, dacă în (7) a pune C2=- 1 , C1=1, atunci obținem: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Inlocuind in ultima ecuatie a sistemului (1), avem: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , adică –1=–1. Avem o identitate.

Exemplul 2. Găsiți o soluție generală a unui sistem de ecuații liniare (1) , exprimând necunoscutele de bază în termeni de libere.

Soluţie. Ca în exemplu 1, compune matrice Ași https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ale acestor matrici. Acum lăsăm doar acele ecuații ale sistemului (1) , ai căror coeficienți sunt incluși în acest minor de bază (adică avem primele două ecuații) și considerăm un sistem format din ei, echivalent cu sistemul (1).

Să transferăm necunoscutele libere în partea dreaptă a acestor ecuații.

sistem (9) Rezolvăm prin metoda Gaussiană, considerând părțile din dreapta drept termeni liberi.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Opțiunea 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Opțiunea 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Opțiunea 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Opțiunea 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Să luăm mai întâi în considerare cazul în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile, i.e. m = n. Atunci matricea sistemului este pătrată, iar determinantul său se numește determinantul sistemului.

Metoda matricei inverse

Să considerăm în formă generală sistemul de ecuații AX = B cu nedegenerate matrice pătrată A. În acest caz există matrice inversă A -1. Să înmulțim ambele părți cu A -1 din stânga. Se obține A -1 AX = A -1 B. Prin urmare EX = A -1 B și

Ultima egalitate este o formulă matriceală pentru găsirea de soluții la astfel de sisteme de ecuații. Utilizarea acestei formule se numește metoda matricei inverse

De exemplu, să folosim această metodă pentru a rezolva următorul sistem:

;

La sfârșitul rezolvării sistemului, puteți verifica prin înlocuirea valorilor găsite în ecuațiile sistemului. Procedând astfel, ele trebuie să se transforme în adevărate egalități.

Pentru exemplul luat în considerare, să verificăm:

Metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare cu matrice pătrată folosind formulele lui Cramer

Fie n= 2:

Dacă înmulțim ambele părți ale primei ecuații cu a 22 și ambele părți ale celei de-a doua cu (-a 12), și apoi adunăm ecuațiile rezultate, atunci eliminăm variabila x 2 din sistem. În mod similar, puteți elimina variabila x 1 (înmulțind ambele părți ale primei ecuații cu (-a 21) și ambele părți ale celei de-a doua cu a 11). Ca rezultat, obținem sistemul:

Expresia dintre paranteze este determinantul sistemului

Să notăm

Apoi sistemul va lua forma:

Din sistemul rezultat rezultă că dacă determinantul sistemului este 0, atunci sistemul va fi consistent și definit. Singura sa soluție poate fi calculată folosind formulele:

Dacă = 0, a 1 0 și/sau  2 0, atunci ecuațiile sistemului vor lua forma 0*x 1 = 2 și/sau 0*x 1 = 2. În acest caz, sistemul va fi inconsecvent.

În cazul în care = 1 = 2 = 0, sistemul va fi consistent și nedefinit (va avea un număr infinit de soluții), deoarece va lua forma:

Teorema lui Cramer(vom omite dovada). Dacă determinantul matricei unui sistem de ecuații  nu este egal cu zero, atunci sistemul are o soluție unică, determinată de formulele:

,

unde  j este determinantul matricei obţinute din matricea A prin înlocuirea coloanei j-a cu o coloană de termeni liberi.

Formulele de mai sus sunt numite Formule Cramer.

Ca exemplu, să folosim această metodă pentru a rezolva un sistem care a fost rezolvat anterior folosind metoda matricei inverse:

Dezavantajele metodelor luate în considerare:

1) intensitatea semnificativă a muncii (calcularea determinanților și găsirea matricei inverse);

2) domeniu limitat (pentru sisteme cu matrice pătrată).

Situațiile economice reale sunt adesea modelate prin sisteme în care numărul de ecuații și variabile este destul de semnificativ și există mai multe ecuații decât variabile.De aceea, în practică, următoarea metodă este mai comună.

Metoda gaussiana (metoda eliminarii secventiale a variabilelor)

Această metodă este utilizată pentru a rezolva un sistem de m ecuații liniare cu n variabile în vedere generala. Esența sa constă în aplicarea unui sistem de transformări echivalente la matricea extinsă, cu ajutorul căruia sistemul de ecuații este transformat într-o formă în care soluțiile sale devin ușor de găsit (dacă există).

Acesta este genul în care stânga top parte Matricea sistemului va fi o matrice în trepte. Acest lucru se realizează folosind aceleași tehnici care au fost utilizate pentru a obține o matrice de etape pentru a determina rangul. În acest caz, la matricea extinsă se aplică transformări elementare, ceea ce va permite obținerea unui sistem echivalent de ecuații. După aceasta, matricea extinsă va lua forma:

Obținerea unei astfel de matrice se numește drept înainte metoda Gauss.

Găsirea valorilor variabilelor din sistemul de ecuații corespunzător se numește în sens invers metoda Gauss. Să luăm în considerare.

Rețineți că ultimele (m – r) ecuații vor lua forma:

Dacă cel puţin unul dintre numere
nu este egal cu zero, atunci egalitatea corespunzătoare va fi falsă, iar întregul sistem va fi inconsecvent.

Prin urmare, pentru orice sistem comun
. În acest caz, ultimele (m – r) ecuații pentru orice valoare ale variabilelor vor fi identități 0 = 0 și pot fi ignorate la rezolvarea sistemului (pur și simplu aruncați rândurile corespunzătoare).

După aceasta, sistemul va arăta astfel:

Să luăm mai întâi în considerare cazul când r=n. Apoi sistemul va lua forma:

Din ultima ecuație a sistemului, x r poate fi găsit în mod unic.

Cunoscând x r, putem exprima fără ambiguitate x r -1 din el. Apoi din ecuația anterioară, cunoscând x r și x r -1, putem exprima x r -2 etc. până la x 1 .

Deci, în acest caz sistemul va fi comun și definit.

Acum luați în considerare cazul când r de bază(principal), și toate celelalte - nebază(non-core, gratuit). Ultima ecuație a sistemului va fi:

Din această ecuație putem exprima variabila de bază x r în termeni de variabile nebazice:

Penultima ecuație va arăta astfel:

Prin substituirea expresiei rezultate în ea în loc de x r, va fi posibilă exprimarea variabilei de bază x r -1 în termeni de variabile nebazice. etc. la variabilax 1 . Pentru a obține o soluție a sistemului, puteți echivala variabilele non-bazice cu valori arbitrare și apoi calculați variabilele de bază folosind formulele rezultate. Astfel, în acest caz sistemul va fi consistent și nedefinit (au un număr infinit de soluții).

De exemplu, să rezolvăm sistemul de ecuații:

Vom numi setul de variabile de bază bază sisteme. Vom numi și setul de coloane de coeficienți pentru ei bază(coloane de bază), sau minor de bază matrice de sistem. Se va apela soluția sistemului în care toate variabilele nebazice sunt egale cu zero solutie de baza.

În exemplul anterior, soluția de bază va fi (4/5; -17/5; 0; 0) (variabilele x 3 și x 4 (c 1 și c 2) sunt setate la zero, iar variabilele de bază x 1 iar prin ele se calculează x 2) . Pentru a da un exemplu de soluție nebază, trebuie să echivalăm x 3 și x 4 (c 1 și c 2) cu numere arbitrare care nu sunt simultan zero și să calculăm variabilele rămase prin intermediul acestora. De exemplu, cu c 1 = 1 și c 2 = 0, obținem o soluție nebazică - (4/5; -12/5; 1; 0). Prin înlocuire este ușor de verificat dacă ambele soluții sunt corecte.

Este evident că într-un sistem nedefinit poate exista un număr infinit de soluții nebazice. Câte soluții de bază pot exista? Fiecare rând al matricei transformate trebuie să corespundă unei variabile de bază. Există n variabile în problemă și r linii de bază. Prin urmare, numărul tuturor seturilor posibile de variabile de bază nu poate depăși numărul de combinații ale lui n cu 2. Poate fi mai puțin de , deoarece nu este întotdeauna posibil să se transforme sistemul într-o astfel de formă încât acest set particular de variabile să fie baza.

Ce fel este acesta? Acesta este tipul în care matricea formată din coloane de coeficienți pentru aceste variabile va fi în trepte și, în același timp, va fi formată din r rânduri. Acestea. rangul matricei coeficienților pentru aceste variabile trebuie să fie egal cu r. Nu poate fi mai mare, deoarece numărul de coloane este egal. Dacă se dovedește a fi mai mic decât r, atunci aceasta indică o dependență liniară a coloanelor de variabile. Astfel de coloane nu pot constitui o bază.

Să luăm în considerare ce alte soluții de bază pot fi găsite în exemplul discutat mai sus. Pentru a face acest lucru, luați în considerare toate combinațiile posibile de patru variabile, câte două de bază fiecare. Vor exista astfel de combinații
, iar unul dintre ele (x 1 și x 2) a fost deja luat în considerare.

Să luăm variabilele x 1 și x 3. Să găsim rangul matricei de coeficienți pentru ei:

Deoarece este egal cu doi, ele pot fi de bază. Să echivalăm cu zero variabilele nebaze x 2 și x 4: x 2 = x 4 = 0. Atunci din formula x 1 = 4/5 – (1/5)*x 4 rezultă că x 1 = 4 /5, iar din formula x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5)*x 4 = -17/5 + x 3 rezultă că x 3 = x 2 +17/5 = 17/ 5. Astfel, obținem soluția de bază (4/5; 0; 17/5; 0).

În mod similar, puteți obține soluții de bază pentru variabilele de bază x 1 și x 4 – (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 și x 4 – (0; -9; 0; 4); x 3 și x 4 – (0; 0; 9; 4).

Variabilele x 2 și x 3 din acest exemplu nu pot fi luate ca fiind de bază, deoarece rangul matricei corespunzătoare este egal cu unul, adică. mai putin de doua:

.

Este posibilă și o altă abordare pentru a determina dacă este sau nu posibil să se construiască o bază din anumite variabile. La rezolvarea exemplului, ca rezultat al conversiei matricei de sistem într-o formă în trepte, acesta a luat forma:

Prin selectarea perechilor de variabile, a fost posibil să se calculeze minorele corespunzătoare acestei matrice. Este ușor de verificat că pentru toate perechile, cu excepția x 2 și x 3, acestea nu sunt egale cu zero, adică. coloanele sunt liniar independente. Și numai pentru coloanele cu variabile x 2 și x 3
, ceea ce indică dependența lor liniară.

Să ne uităm la un alt exemplu. Să rezolvăm sistemul de ecuații

Deci, ecuația corespunzătoare celui de-al treilea rând al ultimei matrice este contradictorie - a dus la egalitatea incorectă 0 = -1, prin urmare, acest sistem este inconsecvent.

metoda Jordan-Gauss 3 este o dezvoltare a metodei gaussiene. Esența sa este că matricea extinsă a sistemului este transformată într-o formă în care coeficienții variabilelor formează o matrice de identitate până la permutarea rândurilor sau coloanelor 4 (unde r este rangul matricei sistemului).

Să rezolvăm sistemul folosind această metodă:

Să luăm în considerare matricea extinsă a sistemului:

În această matrice selectăm un element unitar. De exemplu, coeficientul pentru x 2 din a treia constrângere este 5. Să ne asigurăm că rândurile rămase din această coloană conțin zerouri, adică Să facem coloana unică. În timpul procesului de transformare vom numi acest lucru coloanăpermisiv(conducere, cheie). A treia limitare (a treia linia) vom suna si noi permisiv. Eu insumi element, care se află la intersecția rândului și coloanei de rezolvare (aici este una), se mai numește permisiv.

Prima linie conține acum coeficientul (-1). Pentru a obține un zero în locul său, înmulțiți a treia linie cu (-1) și scădeți rezultatul din prima linie (adică pur și simplu adăugați prima linie la a treia).

A doua linie conține coeficientul 2. Pentru a obține zero în locul său, înmulțiți a treia linie cu 2 și scădeți rezultatul din prima linie.

Rezultatul transformării va arăta astfel:

Din această matrice este clar că una dintre primele două restricții poate fi tăiată (rândurile corespunzătoare sunt proporționale, adică aceste ecuații se succed unele de altele). Să tăiem, de exemplu, pe al doilea:

Deci, noul sistem are două ecuații. Se obține o singură coloană (a doua), iar unitatea de aici apare pe al doilea rând. Să ne amintim că a doua ecuație a noului sistem va corespunde variabilei de bază x 2.

Să alegem o variabilă de bază pentru primul rând. Aceasta poate fi orice variabilă, cu excepția x 3 (deoarece pentru x 3 prima constrângere are un coeficient zero, adică setul de variabile x 2 și x 3 nu poate fi de bază aici). Puteți lua prima sau a patra variabilă.

Să alegem x 1. Apoi elementul de rezolvare va fi 5, iar ambele părți ale ecuației de rezolvare vor trebui împărțite la cinci pentru a obține una în prima coloană a primului rând.

Să ne asigurăm că rândurile rămase (adică al doilea rând) au zerouri în prima coloană. Deoarece acum a doua linie conține nu zero, ci 3, trebuie să scădem din a doua linie elementele primei linii transformate, înmulțite cu 3:

Din matricea rezultată, se poate extrage direct o soluție de bază prin echivalarea variabilelor nebazice la zero, iar a celor de bază la termenii liberi din ecuațiile corespunzătoare: (0,8; -3,4; 0; 0). De asemenea, puteți deriva formule generale care exprimă variabile de bază prin cele nebazice: x 1 = 0,8 – 1,2 x 4; x 2 = -3,4 + x 3 + 1,6x 4. Aceste formule descriu întregul set infinit de soluții ale sistemului (echivalând x 3 și x 4 cu numere arbitrare, puteți calcula x 1 și x 2).

Rețineți că esența transformărilor în fiecare etapă a metodei Jordan-Gauss a fost următoarea:

1) linia de rezoluție a fost împărțită la elementul de rezoluție pentru a obține o unitate în locul ei,

2) din toate celelalte rânduri, elementul de rezolvare transformat a fost scăzut, înmulțit cu elementul care se afla în linia dată în coloana de rezolvare, pentru a obține un zero în locul acestui element.

Să considerăm din nou matricea extinsă transformată a sistemului:

Din această înregistrare este clar că rangul matricei sistemului A este egal cu r.

În cursul raționamentului nostru, am stabilit că sistemul va fi cooperant dacă și numai dacă
. Aceasta înseamnă că matricea extinsă a sistemului va arăta astfel:

Renunțând la zero rânduri, obținem că și rangul matricei extinse a sistemului este egal cu r.

Teorema Kronecker-Capelli. Un sistem de ecuații liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse a acestui sistem.

Amintiți-vă că rangul unei matrice este egal cu numărul maxim al rândurilor sale liniar independente. Rezultă din aceasta că, dacă rangul matricei extinse este mai mic decât numărul de ecuații, atunci ecuațiile sistemului sunt dependente liniar și una sau mai multe dintre ele pot fi excluse din sistem (deoarece sunt liniare combinație a celorlalte). Un sistem de ecuații va fi liniar independent numai dacă rangul matricei extinse este egal cu numărul de ecuații.

Mai mult, pentru sistemele simultane de ecuații liniare, se poate argumenta că, dacă rangul matricei este egal cu numărul de variabile, atunci sistemul are o soluție unică, iar dacă este mai mic decât numărul de variabile, atunci sistemul este nedefinit si are infinit de solutii.

1De exemplu, să fie cinci rânduri în matrice (ordinea inițială a rândurilor este 12345). Trebuie să schimbăm a doua linie și a cincea. Pentru ca a doua linie să ia locul celei de-a cincea și să se „miște” în jos, schimbăm succesiv liniile adiacente de trei ori: a doua și a treia (13245), a doua și a patra (13425) și a doua și a cincea (13452). ). Apoi, pentru ca al cincilea rând să ia locul celui de-al doilea în matricea originală, este necesar să „deplasăm” al cincilea rând în sus doar cu două modificări consecutive: al cincilea și al patrulea rând (13542) și al cincilea și al treilea. (15342).

2 Numărul de combinații de la n la r ei numesc numărul tuturor submulților diferite de elemente r ale unei mulțimi de n elemente (cele care au compoziții diferite de elemente sunt considerate mulțimi diferite; ordinea selecției nu este importantă). Se calculează folosind formula:
. Să ne amintim semnificația semnului „!” (factorial):
0!=1.)

3 Deoarece această metodă este mai comună decât metoda Gaussiană discutată anterior și este în esență o combinație a pașilor înainte și înapoi ai metodei Gauss, este uneori numită și metoda Gauss, omițând prima parte a numelui.

4 De exemplu,
.

5Dacă nu ar exista unități în matricea sistemului, atunci ar fi posibil, de exemplu, să se împartă ambele părți ale primei ecuații la două, iar apoi primul coeficient ar deveni unitate; Sau altele asemănătoare