I. Mărimi direct proporţionale.

Lasă valoarea y depinde de marime X. Dacă la creşterea X de mai multe ori mai mare la crește cu aceeași cantitate, apoi astfel de valori XȘi la se numesc direct proportionale.

Exemple.

1 . Cantitatea de bunuri achiziționate și prețul de achiziție (cu un preț fix pentru o unitate de mărfuri - 1 bucată sau 1 kg etc.) De câte ori s-au cumpărat mai multe bunuri, cu atât au plătit mai mult.

2 . Distanța parcursă și timpul petrecut pe ea (la viteză constantă). De câte ori cale mai lungă, vom petrece de atâtea ori mai mult timp pentru a trece prin asta.

3 . Volumul unui corp și masa acestuia. ( Dacă un pepene verde este de 2 ori mai mare decât altul, atunci masa lui va fi de 2 ori mai mare)

II. Proprietatea proporționalității directe a cantităților.

Dacă două cantități sunt direct proporționale, atunci raportul dintre două valori luate în mod arbitrar ale primei cantități este egal cu raportul dintre două valori corespunzătoare ale celei de-a doua cantități.

Sarcina 1. Pentru gem de zmeură am luat 12 kg zmeura si 8 kg Sahara. De cât zahăr vei avea nevoie dacă l-ai lua? 9 kg zmeura?

Soluţie.

Raționăm astfel: să fie necesar x kg zahăr pentru 9 kg zmeura Masa de zmeură și masa de zahăr sunt cantități direct proporționale: de câte ori sunt mai puține zmeură, de același număr de ori mai puțin zahăr este nevoie. Prin urmare, raportul dintre zmeura luată (în greutate) ( 12:9 ) va fi egal cu raportul de zahăr luat ( 8:x). Obținem proporția:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Răspuns: pe 9 kg trebuie luate zmeura 6 kg Sahara.

Rezolvarea problemei S-ar putea face astfel:

Dai drumul 9 kg trebuie luate zmeura x kg Sahara.

(Săgețile din figură sunt îndreptate într-o singură direcție, iar în sus sau în jos nu contează. Semnificație: de câte ori numărul 12 mai mult număr 9 , de același număr de ori 8 mai mult număr X, adică aici există o relație directă).

Răspuns: pe 9 kg Trebuie să iau niște zmeură 6 kg Sahara.

Sarcina 2. Masina pentru 3 ore a parcurs distanta 264 km. Cât îi va lua să călătorească? 440 km, dacă conduce cu aceeași viteză?

Soluţie.

Lasă pt x ore mașina va acoperi distanța 440 km.

Răspuns: va trece mașina 440 km in 5 ore.

§ 129. Precizări preliminare.

O persoană se ocupă în mod constant cu o mare varietate de cantități. Un angajat și un muncitor încearcă să ajungă la serviciu până la o anumită oră, un pieton se grăbește să ajungă la loc faimos Pe scurt, distribuitorul de încălzire cu abur este îngrijorat de faptul că temperatura din cazan crește încet, directorul de afaceri își face planuri pentru a reduce costul de producție etc.

S-ar putea da orice număr de astfel de exemple. Timp, distanță, temperatură, cost - toate acestea sunt cantități variate. În prima și a doua parte a acestei cărți, ne-am familiarizat cu câteva cantități deosebit de comune: suprafață, volum, greutate. Întâlnim multe cantități atunci când studiem fizica și alte științe.

Imaginați-vă că călătoriți într-un tren. Din când în când te uiți la ceas și observi cât timp ai fost pe drum. Spui, de exemplu, că au trecut 2, 3, 5, 10, 15 ore de când a plecat trenul tău etc. Aceste numere reprezintă perioade diferite de timp; ele se numesc valorile acestei mărimi (timp). Sau te uiți pe fereastră și urmărești stâlpii de drum pentru a vedea distanța pe care o parcurge trenul tău. Numerele 110, 111, 112, 113, 114 km clipesc în fața ta. Aceste numere reprezintă diferitele distanțe pe care le-a parcurs trenul de la punctul său de plecare. Se mai numesc si valori, de data aceasta de o magnitudine diferita (cale sau distanta intre doua puncte). Astfel, o cantitate, de exemplu timpul, distanța, temperatura, poate lua tot atâtea sensuri diferite.

Vă rugăm să rețineți că o persoană aproape niciodată nu ia în considerare o singură cantitate, ci întotdeauna o conectează cu alte cantități. Are de-a face cu doi, trei și un numar mare cantități Imaginează-ți că trebuie să ajungi la școală până la ora 9. Te uiți la ceas și vezi că ai 20 de minute. Apoi îți dai seama rapid dacă ar trebui să iei tramvaiul sau dacă poți merge la școală. După ce te gândești, te hotărăști să mergi pe jos. Observați că în timp ce vă gândiți, rezolvați o problemă. Această sarcină a devenit simplă și familiară, deoarece rezolvi astfel de probleme în fiecare zi. În ea ați comparat rapid mai multe cantități. Tu ai fost cel care te-ai uitat la ceas, ceea ce inseamna ca ai luat in calcul ora, apoi ti-ai imaginat mental distanta de la casa ta pana la scoala; în cele din urmă, ai comparat două cantități: viteza pasului tău și viteza tramvaiului și ai concluzionat că timp dat(20 min.) Veți avea timp să mergeți. Din acest exemplu simplu puteți observa că în practica noastră unele cantități sunt interconectate, adică depind una de alta

Capitolul doisprezece a vorbit despre relația cantităților omogene. De exemplu, dacă un segment are 12 m și celălalt are 4 m, atunci raportul acestor segmente va fi 12: 4.

Am spus că acesta este raportul a două mărimi omogene. Un alt mod de a spune acest lucru este că este raportul dintre două numere un singur nume.

Acum că suntem mai familiarizați cu cantitățile și am introdus conceptul de valoare a unei cantități, putem exprima definiția unui raport într-un mod nou. De fapt, când am luat în considerare două segmente de 12 m și 4 m, vorbeam despre o singură valoare - lungimea, iar 12 m și 4 m erau doar două sensuri diferite această valoare.

Prin urmare, în viitor, când vom începe să vorbim despre rapoarte, vom lua în considerare două valori ale unei cantități, iar raportul dintre o valoare a unei cantități și o altă valoare a aceleiași cantități va fi numit coeficient de împărțire a primei valori de a doua.

§ 130. Valorile sunt direct proporționale.

Să luăm în considerare o problemă a cărei condiție include două mărimi: distanța și timpul.

Sarcina 1. Un corp care se mișcă rectiliniu și uniform parcurge 12 cm în fiecare secundă.Determină distanța parcursă de corp în 2, 3, 4, ..., 10 secunde.

Să creăm un tabel care poate fi folosit pentru a urmări schimbările în timp și distanță.

Tabelul ne oferă posibilitatea de a compara aceste două serii de valori. Vedem din aceasta că atunci când valorile primei mărimi (timp) cresc treptat cu 2, 3,..., de 10 ori, atunci și valorile celei de-a doua mărimi (distanță) cresc și cu 2, 3, ..., 10 ori. Astfel, atunci când valorile unei cantități cresc de mai multe ori, valorile unei alte cantități cresc cu aceeași cantitate, iar când valorile unei cantități scad de mai multe ori, valorile unei alte cantități scad cu acelasi numar.

Să luăm acum în considerare o problemă care implică două astfel de cantități: cantitatea de materie și costul acesteia.

Sarcina 2. 15 m de țesătură costă 120 de ruble. Calculați costul acestei țesături pentru alte câteva cantități de metri indicate în tabel.

Folosind acest tabel, putem urmări modul în care costul unui produs crește treptat în funcție de creșterea cantității acestuia. În ciuda faptului că această problemă implică cantități complet diferite (în prima problemă - timp și distanță, iar aici - cantitatea de mărfuri și valoarea acesteia), cu toate acestea, pot fi găsite asemănări mari în comportamentul acestor cantități.

De fapt, în linia de sus a tabelului există numere care indică numărul de metri de țesătură; sub fiecare dintre ele există un număr care exprimă costul cantității corespunzătoare de mărfuri. Chiar și o privire rapidă asupra acestui tabel arată că numerele din rândurile de sus și de jos sunt în creștere; la o examinare mai atentă a tabelului și la compararea coloanelor individuale, se descoperă că, în toate cazurile, valorile celei de-a doua cantități cresc de același număr de ori cu valorile primei creșteri, adică dacă valoarea prima cantitate crește, să zicem, de 10 ori, apoi valoarea celei de-a doua cantități a crescut și ea de 10 ori.

Dacă ne uităm prin tabel de la dreapta la stânga, vom constata că valorile indicate ale cantităților vor scădea de același număr de ori. În acest sens, există o asemănare necondiționată între prima sarcină și a doua.

Se numesc perechile de mărimi pe care le-am întâlnit în prima și a doua problemă direct proportional.

Astfel, dacă două mărimi sunt legate între ele în așa fel încât, pe măsură ce valoarea uneia dintre ele crește (scade) de mai multe ori, valoarea celeilalte crește (scade) cu aceeași cantitate, atunci astfel de mărimi se numesc direct proporționale. .

Se spune că asemenea cantități sunt legate între ele printr-o relație direct proporțională.

Există multe cantități similare găsite în natură și în viața din jurul nostru. Aici sunt cateva exemple:

1. Timp munca (zi, doua zile, trei zile etc.) si castiguri, primit în acest timp cu salariul zilnic.

2. Volum orice obiect dintr-un material omogen și greutate Acest obiect.

§ 131. Proprietatea mărimilor direct proporţionale.

Să luăm o problemă care implică următoarele două cantități: timp de lucru si castigurile. Dacă castigurile zilnice 20 de ruble, atunci câștigurile pentru 2 zile vor fi de 40 de ruble etc. Cel mai convenabil este să creați un tabel în care un anumit număr de zile va corespunde unui anumit câștig.

Privind acest tabel, vedem că ambele cantități au luat 10 valori diferite. Fiecare valoare a primei valori corespunde unei anumite valori a celei de-a doua valori, de exemplu, 2 zile corespund la 40 de ruble; 5 zile corespund la 100 de ruble. În tabel, aceste numere sunt scrise unul sub celălalt.

Știm deja că, dacă două mărimi sunt direct proporționale, atunci fiecare dintre ele, în procesul schimbării sale, crește de câte ori crește cealaltă. Rezultă imediat de aici: dacă luăm raportul dintre oricare două valori ale primei cantități, atunci va fi egal cu raportul dintre cele două valori corespunzătoare ale celei de-a doua cantități. Într-adevăr:

De ce se întâmplă asta? Dar pentru că aceste valori sunt direct proporționale, adică atunci când una dintre ele (timpul) a crescut de 3 ori, atunci cealaltă (castigul) a crescut de 3 ori.

Prin urmare, am ajuns la următoarea concluzie: dacă luăm două valori ale primei mărimi și le împărțim una la alta, apoi împărțim la una valorile corespunzătoare ale celei de-a doua mărimi, atunci în ambele cazuri vom obține același număr, adică aceeași relație. Aceasta înseamnă că cele două relații pe care le-am scris mai sus pot fi conectate cu un semn egal, i.e.

Fără îndoială că dacă am lua nu aceste relații, ci altele, și nu în ordinea aceea, ci în ordine opusă, am obține și egalitatea relațiilor. De fapt, vom lua în considerare valorile cantităților noastre de la stânga la dreapta și vom lua a treia și a noua valoare:

60:180 = 1 / 3 .

Deci putem scrie:

Acest lucru duce la următoarea concluzie: dacă două cantități sunt direct proporționale, atunci raportul a două valori luate în mod arbitrar ale primei cantități este egal cu raportul dintre cele două valori corespunzătoare ale celei de-a doua cantități.

§ 132. Formula de proporţionalitate directă.

Să creăm un tabel de costuri diverse cantitati dulciuri, dacă 1 kg costă 10,4 ruble.

Acum hai să o facem așa. Luați orice număr din a doua linie și împărțiți-l la numărul corespunzător din prima linie. De exemplu:

Vedeți că în coeficient se obține tot timpul același număr. În consecință, pentru o pereche dată de mărimi direct proporționale, câtul de împărțire a oricărei valori a unei mărimi la valoarea corespunzătoare a unei alte mărimi este un număr constant (adică, care nu se modifică). În exemplul nostru, acest coeficient este 10,4. Acest număr constant se numește factor de proporționalitate. În acest caz, exprimă prețul unei unități de măsură, adică un kilogram de mărfuri.

Cum se găsește sau se calculează coeficientul de proporționalitate? Pentru a face acest lucru, trebuie să luați orice valoare a unei cantități și să o împărțiți la valoarea corespunzătoare a celeilalte cantități.

Să notăm această valoare arbitrară a unei cantități cu literă la , și valoarea corespunzătoare a unei alte cantități - litera X , apoi coeficientul de proporționalitate (îl notăm LA) găsim prin împărțire:

În această egalitate la - divizibil, X - divizor și LA- cât, și întrucât, prin proprietatea împărțirii, dividendul este egal cu divizorul înmulțit cu cât, putem scrie:

y = K X

Egalitatea rezultată se numește formula de proporționalitate directă. Folosind această formulă, putem calcula orice număr de valori ale uneia dintre mărimile direct proporționale dacă cunoaștem valorile corespunzătoare ale celeilalte mărimi și coeficientul de proporționalitate.

Exemplu. Din fizică știm acea greutate R a oricărui corp este egală cu greutatea sa specifică d , înmulțit cu volumul acestui corp V, adică R = d V.

Să luăm cinci bare de fier de diferite volume; Cunoscând greutatea specifică a fierului (7.8), putem calcula greutățile acestor lingouri folosind formula:

R = 7,8 V.

Comparând această formulă cu formula la = LA X , noi vedem asta y = R, x = V, și coeficientul de proporționalitate LA= 7,8. Formula este aceeași, doar literele sunt diferite.

Folosind această formulă, să facem un tabel: lasă volumul primului gol să fie egal cu 8 metri cubi. cm, atunci greutatea sa este de 7,8 8 = 62,4 (g). Volumul celui de-al doilea semifabricat este de 27 de metri cubi. cm.Greutatea sa este de 7,8 27 = 210,6 (g). Tabelul va arăta astfel:

Calculați numerele care lipsesc în acest tabel folosind formula R= d V.

§ 133. Alte metode de rezolvare a problemelor cu mărimi direct proporţionale.

În paragraful anterior, am rezolvat o problemă a cărei condiție includea mărimi direct proporționale. În acest scop, am derivat mai întâi formula de proporționalitate directă și apoi am aplicat această formulă. Acum vom arăta alte două moduri de a rezolva probleme similare.

Să creăm o problemă folosind datele numerice date în tabelul din paragraful anterior.

Sarcină. Blank cu un volum de 8 metri cubi. cm cântărește 62,4 g. Cât va cântări un semifabricat cu un volum de 64 de metri cubi? cm?

Soluţie. Greutatea fierului, după cum se știe, este proporțională cu volumul său. Dacă 8 cu. cm cântăresc 62,4 g, apoi 1 cu. cm vor cântări de 8 ori mai puțin, adică

62,4:8 = 7,8 (g).

Blank cu un volum de 64 de metri cubi. cm va cântări de 64 de ori mai mult decât un blank de 1 metru cub. cm, adică

7,8 64 = 499,2(g).

Ne-am rezolvat problema reducându-ne la unitate. Semnificația acestui nume este justificată de faptul că pentru a-l rezolva a trebuit să găsim greutatea unei unități de volum la prima întrebare.

2. Metoda proporției. Să rezolvăm aceeași problemă folosind metoda proporției.

Deoarece greutatea fierului și volumul său sunt cantități direct proporționale, raportul dintre două valori ale unei cantități (volum) este egal cu raportul a două valori corespunzătoare ale unei alte cantități (greutate), adică

(scrisoare R am desemnat greutatea necunoscută a semifabricatului). De aici:

(G).

Problema a fost rezolvată folosind metoda proporțiilor. Aceasta înseamnă că pentru a o rezolva, a fost compilată o proporție din numerele incluse în condiție.

§ 134. Valorile sunt invers proporționale.

Luați în considerare următoarea problemă: „Cinci zidari pot așeza pereții de cărămidă ai unei case în 168 de zile. Stabiliți în câte zile 10, 8, 6, etc zidari ar putea finaliza aceeași lucrare.”

Dacă 5 zidari au pus pereții unei case în 168 de zile, atunci (cu aceeași productivitate a muncii) 10 zidari ar putea face acest lucru în jumătate din timp, deoarece în medie 10 persoane lucrează de două ori mai mult decât 5 persoane.

Să întocmim un tabel prin care să putem monitoriza modificările numărului de muncitori și a orelor de lucru.

De exemplu, pentru a afla câte zile durează 6 lucrători, trebuie mai întâi să calculați câte zile este nevoie de un lucrător (168 5 = 840), apoi de câte zile durează șase lucrători (840: 6 = 140). Privind acest tabel, vedem că ambele cantități au luat șase valori diferite. Fiecare valoare a primei marimi corespunde uneia anume; valoarea celei de-a doua valori, de exemplu, 10 corespunde cu 84, numărul 8 corespunde numărului 105 etc.

Dacă luăm în considerare valorile ambelor cantități de la stânga la dreapta, vom vedea că valorile cantității superioare cresc, iar valorile cantității inferioare scad. Creșterea și scăderea sunt supuse următoarei legi: valorile numărului de lucrători cresc în același timp cu cât scad valorile timpului de lucru petrecut. Această idee poate fi exprimată și mai simplu după cum urmează: cu cât lucrătorii sunt mai mulți angajați în orice sarcină, cu atât mai puțin timp au nevoie pentru a finaliza un anumit loc de muncă. Cele două mărimi pe care le-am întâlnit în această problemă se numesc invers proporțională.

Astfel, dacă două mărimi sunt legate între ele în așa fel încât, pe măsură ce valoarea uneia dintre ele crește (scade) de mai multe ori, valoarea celeilalte scade (crește) cu aceeași cantitate, atunci astfel de mărimi se numesc invers proporționale. .

Există multe cantități similare în viață. Să dăm exemple.

1. Dacă pentru 150 de ruble. Dacă trebuie să cumpărați mai multe kilograme de dulciuri, numărul de dulciuri va depinde de prețul unui kilogram. Cu cât prețul este mai mare, cu atât poți cumpăra mai puține bunuri cu acești bani; asta se vede din tabel:

Pe măsură ce prețul bomboanelor crește de mai multe ori, numărul de kilograme de bomboane care pot fi cumpărate pentru 150 de ruble scade cu aceeași cantitate. În acest caz, două cantități (greutatea produsului și prețul acestuia) sunt invers proporționale.

2. Dacă distanța dintre două orașe este de 1.200 km, atunci aceasta poate fi parcursă în timpi diferiți în funcție de viteza de deplasare. Exista căi diferite transport: pe jos, călare, cu bicicleta, cu barca, cu mașina, cu trenul, cu avionul. Cu cât viteza este mai mică, cu atât este nevoie de mai mult timp pentru deplasare. Acest lucru se poate observa din tabel:

Cu o creștere a vitezei de mai multe ori, timpul de călătorie scade cu aceeași valoare. Aceasta înseamnă că în aceste condiții, viteza și timpul sunt mărimi invers proporționale.

§ 135. Proprietatea mărimilor invers proporționale.

Să luăm al doilea exemplu, la care ne-am uitat în paragraful anterior. Acolo ne-am ocupat de două cantități - viteza și timpul. Dacă ne uităm la tabelul de valori ale acestor mărimi de la stânga la dreapta, vom vedea că valorile primei mărimi (viteza) cresc, iar valorile celei de-a doua (timp) scad și viteza crește cu aceeași cantitate cu cât timpul scade. Nu este greu de înțeles că, dacă scrieți raportul dintre unele valori ale unei cantități, atunci acesta nu va fi egal cu raportul valorilor corespunzătoare unei alte cantități. De fapt, dacă luăm raportul dintre a patra valoare a valorii superioare și a șaptea valoare (40: 80), atunci nu va fi egal cu raportul dintre a patra și a șaptea valori ale valorii inferioare (30: 15). Se poate scrie asa:

40:80 nu este egal cu 30:15 sau 40:80 =/=30:15.

Dar dacă în loc de una dintre aceste relații luăm opusul, atunci obținem egalitate, adică din aceste relații va fi posibil să creăm o proporție. De exemplu:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Pe baza celor de mai sus, putem trage următoarea concluzie: dacă două cantități sunt invers proporționale, atunci raportul a două valori luate arbitrar ale unei cantități este egal cu raportul invers al valorilor corespunzătoare unei alte cantități.

§ 136. Formula de proporţionalitate inversă.

Luați în considerare problema: „Există 6 bucăți de țesătură de mătase de diferite dimensiuni și grade diferite. Toate piesele costa la fel. O bucată conține 100 m de țesătură, la prețul de 20 de ruble. pe metru Câți metri sunt în fiecare dintre celelalte cinci bucăți, dacă un metru de material din aceste bucăți costă 25, 40, 50, 80, respectiv 100 de ruble?” Pentru a rezolva această problemă, să creăm un tabel:

Trebuie să completăm celulele goale din rândul de sus al acestui tabel. Să încercăm mai întâi să stabilim câți metri sunt în a doua piesă. Acest lucru se poate face după cum urmează. Din condițiile problemei se știe că costul tuturor pieselor este același. Costul primei piese este ușor de determinat: conține 100 de metri și fiecare metru costă 20 de ruble, ceea ce înseamnă că prima bucată de mătase valorează 2.000 de ruble. Deoarece a doua bucată de mătase conține aceeași cantitate de ruble, atunci, împărțind 2.000 de ruble. pentru prețul unui metru, adică 25, găsim dimensiunea celei de-a doua piese: 2.000: 25 = 80 (m). În același mod vom găsi dimensiunea tuturor celorlalte piese. Tabelul va arăta astfel:

Este ușor de observat că există o relație inversă între numărul de metri și preț dependență proporțională.

Dacă faci singur calculele necesare, vei observa că de fiecare dată trebuie să împărțiți numărul 2.000 la prețul de 1 m. Dimpotrivă, dacă acum începeți să înmulți dimensiunea piesei în metri cu prețul de 1 m. , veți obține întotdeauna numărul 2000. Acest lucru și a fost necesar să așteptați, deoarece fiecare piesă costă 2000 de ruble.

De aici putem trage următoarea concluzie: pentru o pereche dată de mărimi invers proporționale, produsul oricărei valori a unei mărimi cu valoarea corespunzătoare a unei alte mărimi este un număr constant (adică, care nu se modifică).

În problema noastră, acest produs este egal cu 2000. Verificați că în problema anterioară, care vorbea despre viteza de mișcare și timpul necesar pentru a trece dintr-un oraș în altul, a existat și un număr constant pentru problema respectivă (1200).

Ținând cont de totul, este ușor de derivat formula de proporționalitate inversă. Să notăm cu literă o anumită valoare a unei cantități X , iar valoarea corespunzătoare a unei alte cantități este reprezentată de litera la . Apoi, pe baza celor de mai sus, lucrarea X pe la trebuie să fie egală cu o valoare constantă, pe care o notăm prin literă LA, adică

X y = LA.

În această egalitate X - multiplicand la - multiplicator și K- muncă. Conform proprietății înmulțirii, multiplicatorul este egal cu produsul împărțit la multiplicand. Mijloace,

Aceasta este formula de proporționalitate inversă. Folosind-o, putem calcula orice număr de valori ale uneia dintre mărimile invers proporționale, cunoscând valorile celeilalte și numărul constant LA.

Să luăm în considerare o altă problemă: „Autorul unui eseu a calculat că, dacă cartea lui este într-un format obișnuit, atunci va avea 96 de pagini, dar dacă este un format de buzunar, atunci va avea 300 de pagini. El a încercat diferite variante, a început cu 96 de pagini, iar apoi a avut 2.500 de litere pe pagină. Apoi a luat numerele paginilor afișate în tabelul de mai jos și a calculat din nou câte litere ar fi pe pagină.”

Să încercăm să calculăm câte litere vor fi pe o pagină dacă cartea are 100 de pagini.

Există 240.000 de litere în întreaga carte, deoarece 2.500 96 = 240.000.

Ținând cont de acest lucru, folosim formula de proporționalitate inversă ( la - numărul de litere de pe pagină, X - număr de pagini):

În exemplul nostru LA= 240.000 deci

Deci sunt 2.400 de litere pe pagină.

În mod similar, aflăm că dacă o carte are 120 de pagini, atunci numărul de litere de pe pagină va fi:

Tabelul nostru va arăta astfel:

Completați singuri celulele rămase.

§ 137. Alte metode de rezolvare a problemelor cu mărimi invers proporţionale.

În paragraful anterior, am rezolvat probleme ale căror condiții includeau mărimi invers proporționale. Am derivat mai întâi formula de proporționalitate inversă și apoi am aplicat această formulă. Vom arăta acum alte două soluții pentru astfel de probleme.

1. Metoda reducerii la unitate.

Sarcină. 5 strungari pot lucra în 16 zile. În câte zile pot finaliza această lucrare 8 strunjitori?

Soluţie. Există o relație inversă între numărul de strunjitori și orele de lucru. Dacă 5 strunjitori fac treaba în 16 zile, atunci o persoană va avea nevoie de 5 ori mai mult timp pentru aceasta, adică.

5 strungari finalizează lucrarea în 16 zile,

1 strungar îl va finaliza în 16 5 = 80 de zile.

Problema se întreabă câte zile vor dura 8 strunjitori pentru a finaliza lucrarea. Evident, vor face față muncii de 8 ori mai repede decât 1 strunjător, adică în

80: 8 = 10 (zile).

Aceasta este soluția problemei prin reducerea ei la unitate. Aici a fost necesar în primul rând să se determine timpul necesar pentru finalizarea lucrării de către un muncitor.

2. Metoda proporției. Să rezolvăm aceeași problemă în al doilea mod.

Întrucât există o relație invers proporțională între numărul de muncitori și timpul de lucru, putem scrie: durata de lucru a 5 strunchieri număr nou de strunjitori (8) durata de lucru a 8 strunjitori numărul anterior de strunjitori (5) Să notăm durata cerută de muncă prin scrisoare X și înlocuiți numerele necesare în proporția exprimată în cuvinte:

Aceeași problemă este rezolvată prin metoda proporțiilor. Pentru a o rezolva, a trebuit să creăm o proporție din numerele incluse în enunțul problemei.

Notă.În paragrafele precedente am examinat problema proporționalității directe și inverse. Natura și viața ne oferă multe exemple de dependență directă și invers proporțională a cantităților. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că aceste două tipuri de dependență sunt doar cele mai simple. Alături de acestea, există și alte dependențe, mai complexe, între cantități. În plus, nu ar trebui să ne gândim că, dacă oricare două cantități cresc simultan, atunci există neapărat o proporționalitate directă între ele. Acest lucru este departe de a fi adevărat. De exemplu, taxe pentru calea ferata crește în funcție de distanță: cu cât călătorim mai departe, cu atât plătim mai mult, dar asta nu înseamnă că plata este proporțională cu distanța.

Exemplu

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 etc.

Factorul de proporționalitate

Se numește o relație constantă de mărimi proporționale factor de proporționalitate. Coeficientul de proporționalitate arată câte unități dintr-o cantitate sunt pe unitatea alteia.

Proporționalitate directă

Proporționalitate directă- dependenta functionala, in care o anumita cantitate depinde de o alta marime in asa fel incat raportul acestora sa ramana constant. Cu alte cuvinte, aceste variabile se schimbă proporţional, în părți egale, adică dacă argumentul se schimbă de două ori în orice direcție, atunci și funcția se schimbă de două ori în aceeași direcție.

Matematic, proporționalitatea directă este scrisă ca o formulă:

f(X) = AX,A = const

Proporționalitate inversă

Proporționalitate inversă- aceasta este o dependență funcțională, în care o creștere a valorii independente (argumentului) determină o scădere proporțională a valorii dependente (funcției).

Matematic, proporționalitatea inversă se scrie sub formă de formulă:

Proprietățile funcției:

Surse

Fundația Wikimedia. 2010.

• A doua lege a lui Newton
• bariera coulombiană

Vedeți ce înseamnă „Proporționalitate directă” în alte dicționare:

proporţionalitate directă- - [A.S. Goldberg. Dicționar energetic englez-rus. 2006] Subiecte energetice în general raport direct EN ... Ghidul tehnic al traducătorului

proporţionalitate directă- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. proporţionalitate directă vok. direkte Proportionalität, f rus. proporţionalitate directă, f pranc. proportionnalité direct, f … Fizikos terminų žodynas

PROPORȚIONALITATE- (din latină proportionalis proporțional, proporțional). Proporționalitate. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. PROPORȚIONALITATE lat. proportionalis, proportional. Proporționalitate. Explicație 25000... ... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

PROPORȚIONALITATE- PROPORȚIONALITATE, proporționalitate, plural. nu, femeie (carte). 1. abstract substantiv la proporţional. Proporționalitatea pieselor. Proporționalitatea corpului. 2. O astfel de relație între cantități atunci când acestea sunt proporționale (vezi proporțional ... Dicţionar Ushakova

Proporționalitate- Două mărimi dependente reciproc se numesc proporționale dacă raportul dintre valorile lor rămâne neschimbat Cuprins 1 Exemplu 2 Coeficient de proporționalitate ... Wikipedia

PROPORȚIONALITATE- PROPORȚIONALITATE și, feminin. 1. vezi proporțional. 2. La matematică: o astfel de relație între mărimi în care o creștere a uneia dintre ele atrage după sine modificarea celeilalte în aceeași valoare. Linie dreaptă (cu o tăietură cu o creștere cu o valoare... ... Dicționarul explicativ al lui Ozhegov

proporționalitatea- Și; și. 1. la Proporțional (1 valoare); proporționalitatea. P. piese. P. fizic. P. reprezentare în parlament. 2. Matematică. Dependența dintre cantitățile care se schimbă proporțional. Factorul de proporționalitate. Linie directă (în care cu... ... Dicţionar enciclopedic

Astăzi ne vom uita la ce cantități sunt numite invers proporționale, cum arată un grafic de proporționalitate inversă și cum toate acestea vă pot fi utile nu numai la lecțiile de matematică, ci și în afara școlii.

Proporții atât de diferite

Proporționalitate numiți două cantități care sunt reciproc dependente una de cealaltă.

Dependența poate fi directă și inversă. În consecință, relațiile dintre cantități sunt descrise prin proporționalitate directă și inversă.

Proporționalitate directă– aceasta este o astfel de relație între două cantități în care o creștere sau scădere a uneia duce la o creștere sau scădere a celeilalte. Acestea. atitudinea lor nu se schimbă.

De exemplu, cu cât depui mai mult efort pentru a studia pentru examene, cu atât ai notele mai mari. Sau cu cât iei mai multe lucruri cu tine în drumeție, cu atât rucsacul tău va fi mai greu de purtat. Acestea. Efortul depus pentru pregătirea examenelor este direct proporțional cu notele obținute. Iar numărul de lucruri ambalate într-un rucsac este direct proporțional cu greutatea acestuia.

Proporționalitate inversă– aceasta este o dependență funcțională în care o scădere sau o creștere de mai multe ori a unei valori independente (se numește argument) determină o creștere sau scădere proporțională (adică de același număr de ori) a unei valori dependente (se numește un funcţie).

Să ilustrăm exemplu simplu. Vrei să cumperi mere de la piață. Merele de pe blat și suma de bani din portofel sunt invers proporționale. Acestea. Cu cât cumpărați mai multe mere, cu atât veți avea mai puțini bani.

Funcția și graficul acesteia

Funcția de proporționalitate inversă poate fi descrisă ca y = k/x. In care X≠ 0 și k≠ 0.

Această funcție are următoarele proprietăți:

1. Domeniul său de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția X = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Intervalul sunt toate numerele reale, cu excepția y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nu are valori maxime sau minime.
4. Este impar și graficul său este simetric față de origine.
5. Neperiodică.
6. Graficul său nu intersectează axele de coordonate.
7. Nu are zerouri.
8. Dacă k> 0 (adică argumentul crește), funcția scade proporțional pe fiecare dintre intervalele sale. Dacă k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Pe măsură ce argumentul crește ( k> 0) valorile negative ale funcției sunt în intervalul (-∞; 0), iar valorile pozitive sunt în intervalul (0; +∞). Când argumentul scade ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graficul unei funcții de proporționalitate inversă se numește hiperbolă. Se arată după cum urmează:

Probleme de proporționalitate inversă

Pentru a fi mai clar, să ne uităm la mai multe sarcini. Nu sunt prea complicate, iar rezolvarea lor vă va ajuta să vizualizați ce este proporționalitatea inversă și cum aceste cunoștințe vă pot fi utile în viața de zi cu zi.

Sarcina nr. 1. O mașină se deplasează cu o viteză de 60 km/h. I-a luat 6 ore să ajungă la destinație. Cât timp îi va lua să parcurgă aceeași distanță dacă se mișcă cu o viteză de două ori mai mare?

Putem începe prin a scrie o formulă care descrie relația dintre timp, distanță și viteză: t = S/V. De acord, ne amintește foarte mult de funcția de proporționalitate inversă. Și indică faptul că timpul petrecut o mașină pe drum și viteza cu care se deplasează sunt invers proporționale.

Pentru a verifica acest lucru, să găsim V 2, care, conform condiției, este de 2 ori mai mare: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Apoi calculăm distanța folosind formula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Acum nu este greu să aflăm timpul t 2 care ne este necesar în funcție de condițiile problemei: t 2 = 360/120 = 3 ore.

După cum puteți vedea, timpul de călătorie și viteza sunt într-adevăr invers proporționale: la o viteză de 2 ori mai mare decât viteza inițială, mașina va petrece de 2 ori mai puțin timp pe drum.

Soluția la această problemă poate fi scrisă și ca proporție. Deci, să creăm mai întâi această diagramă:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Săgețile indică o relație invers proporțională. De asemenea, ei sugerează că atunci când se întocmește o proporție, partea dreaptă a înregistrării trebuie răsturnată: 60/120 = x/6. De unde obținem x = 60 * 6/120 = 3 ore.

Sarcina nr. 2. Atelierul angajează 6 muncitori care pot finaliza o anumită cantitate de muncă în 4 ore. Dacă numărul de muncitori se reduce la jumătate, cât timp va dura muncitorilor rămași pentru a finaliza aceeași cantitate de muncă?

Să notăm condițiile problemei sub forma unei diagrame vizuale:

↓ 6 muncitori – 4 ore

↓ 3 muncitori – x h

Să scriem asta ca proporție: 6/3 = x/4. Și obținem x = 6 * 4/3 = 8 ore Dacă sunt de 2 ori mai puțini lucrători, cei rămași vor petrece de 2 ori mai mult timp făcând toată munca.

Sarcina nr. 3. Există două țevi care duc în piscină. Printr-o țeavă, apa curge cu o viteză de 2 l/s și umple piscina în 45 de minute. Printr-o altă conductă, piscina se va umple în 75 de minute. Cu ce ​​viteză intră apa în piscină prin această conductă?

Pentru început, să reducem toate cantitățile care ne sunt date în funcție de condițiile problemei la aceleași unități de măsură. Pentru a face acest lucru, exprimăm viteza de umplere a piscinei în litri pe minut: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Deoarece rezultă din condiția ca piscina să se umple mai lent prin a doua țeavă, aceasta înseamnă că debitul de apă este mai mic. Proporționalitatea este inversă. Să exprimăm viteza necunoscută prin x și să facem următoarea diagramă:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Și apoi alcătuim proporția: 120/x = 75/45, de unde x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

În problemă, rata de umplere a piscinei este exprimată în litri pe secundă; să reducem răspunsul primit la aceeași formă: 72/60 = 1,2 l/s.

Sarcina nr. 4. O mică tipografie privată tipărește cărți de vizită. Un angajat al unei tipografii lucrează cu o viteză de 42 de cărți de vizită pe oră și lucrează o zi întreagă - 8 ore. Dacă ar lucra mai repede și ar tipări 48 de cărți de vizită într-o oră, cu cât mai devreme ar putea merge acasă?

Urmăm calea dovedită și întocmim o diagramă în funcție de condițiile problemei, desemnând valoarea dorită ca x:

↓ 42 cărți de vizită/oră – 8 ore

↓ 48 cărți de vizită/h – x h

Avem o relație invers proporțională: de câte ori mai multe cărți de vizită tipărește un angajat al unei tipografii pe oră, de câte ori mai puțin timp va avea nevoie pentru a finaliza aceeași muncă. Știind acest lucru, să creăm o proporție:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 ore.

Astfel, după ce a finalizat lucrarea în 7 ore, angajatul tipografiei putea pleca acasă cu o oră mai devreme.

Concluzie

Ni se pare că aceste probleme de proporționalitate inversă sunt cu adevărat simple. Sperăm că acum și tu te gândești la ei așa. Și principalul lucru este că cunoștințele despre dependența invers proporțională a cantităților vă pot fi cu adevărat utile de mai multe ori.

Nu numai la lecțiile și examenele de matematică. Dar și atunci, când te pregătești să pleci într-o excursie, să mergi la cumpărături, să te hotărăști să câștigi niște bani în plus în vacanță etc.

Spune-ne în comentarii ce exemple de relații proporționale inverse și directe observi în jurul tău. Să fie un astfel de joc. Vei vedea cât de interesant este. Nu uitați să distribuiți acest articol pe în rețelele sociale ca să se poată juca și prietenii și colegii tăi.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Astăzi ne vom uita la ce cantități sunt numite invers proporționale, cum arată un grafic de proporționalitate inversă și cum toate acestea vă pot fi utile nu numai la lecțiile de matematică, ci și în afara școlii.

Proporții atât de diferite

Proporționalitate numiți două cantități care sunt reciproc dependente una de cealaltă.

Dependența poate fi directă și inversă. În consecință, relațiile dintre cantități sunt descrise prin proporționalitate directă și inversă.

Proporționalitate directă– aceasta este o astfel de relație între două cantități în care o creștere sau scădere a uneia duce la o creștere sau scădere a celeilalte. Acestea. atitudinea lor nu se schimbă.

De exemplu, cu cât depui mai mult efort pentru a studia pentru examene, cu atât ai notele mai mari. Sau cu cât iei mai multe lucruri cu tine în drumeție, cu atât rucsacul tău va fi mai greu de purtat. Acestea. Efortul depus pentru pregătirea examenelor este direct proporțional cu notele obținute. Iar numărul de lucruri ambalate într-un rucsac este direct proporțional cu greutatea acestuia.

Proporționalitate inversă– aceasta este o dependență funcțională în care o scădere sau o creștere de mai multe ori a unei valori independente (se numește argument) determină o creștere sau scădere proporțională (adică de același număr de ori) a unei valori dependente (se numește un funcţie).

Să ilustrăm cu un exemplu simplu. Vrei să cumperi mere de la piață. Merele de pe blat și suma de bani din portofel sunt invers proporționale. Acestea. Cu cât cumpărați mai multe mere, cu atât veți avea mai puțini bani.

Funcția și graficul acesteia

Funcția de proporționalitate inversă poate fi descrisă ca y = k/x. In care X≠ 0 și k≠ 0.

Această funcție are următoarele proprietăți:

1. Domeniul său de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția X = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Intervalul sunt toate numerele reale, cu excepția y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nu are valori maxime sau minime.
4. Este impar și graficul său este simetric față de origine.
5. Neperiodică.
6. Graficul său nu intersectează axele de coordonate.
7. Nu are zerouri.
8. Dacă k> 0 (adică argumentul crește), funcția scade proporțional pe fiecare dintre intervalele sale. Dacă k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Pe măsură ce argumentul crește ( k> 0) valorile negative ale funcției sunt în intervalul (-∞; 0), iar valorile pozitive sunt în intervalul (0; +∞). Când argumentul scade ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graficul unei funcții de proporționalitate inversă se numește hiperbolă. Se arată după cum urmează:

Probleme de proporționalitate inversă

Pentru a fi mai clar, să ne uităm la mai multe sarcini. Nu sunt prea complicate, iar rezolvarea lor vă va ajuta să vizualizați ce este proporționalitatea inversă și cum aceste cunoștințe vă pot fi utile în viața de zi cu zi.

Sarcina nr. 1. O mașină se deplasează cu o viteză de 60 km/h. I-a luat 6 ore să ajungă la destinație. Cât timp îi va lua să parcurgă aceeași distanță dacă se mișcă cu o viteză de două ori mai mare?

Putem începe prin a scrie o formulă care descrie relația dintre timp, distanță și viteză: t = S/V. De acord, ne amintește foarte mult de funcția de proporționalitate inversă. Și indică faptul că timpul petrecut o mașină pe drum și viteza cu care se deplasează sunt invers proporționale.

Pentru a verifica acest lucru, să găsim V 2, care, conform condiției, este de 2 ori mai mare: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Apoi calculăm distanța folosind formula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Acum nu este greu să aflăm timpul t 2 care ne este necesar în funcție de condițiile problemei: t 2 = 360/120 = 3 ore.

După cum puteți vedea, timpul de călătorie și viteza sunt într-adevăr invers proporționale: la o viteză de 2 ori mai mare decât viteza inițială, mașina va petrece de 2 ori mai puțin timp pe drum.

Soluția la această problemă poate fi scrisă și ca proporție. Deci, să creăm mai întâi această diagramă:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Săgețile indică o relație invers proporțională. De asemenea, ei sugerează că atunci când se întocmește o proporție, partea dreaptă a înregistrării trebuie răsturnată: 60/120 = x/6. De unde obținem x = 60 * 6/120 = 3 ore.

Sarcina nr. 2. Atelierul angajează 6 muncitori care pot finaliza o anumită cantitate de muncă în 4 ore. Dacă numărul de muncitori se reduce la jumătate, cât timp va dura muncitorilor rămași pentru a finaliza aceeași cantitate de muncă?

Să notăm condițiile problemei sub forma unei diagrame vizuale:

↓ 6 muncitori – 4 ore

↓ 3 muncitori – x h

Să scriem asta ca proporție: 6/3 = x/4. Și obținem x = 6 * 4/3 = 8 ore Dacă sunt de 2 ori mai puțini lucrători, cei rămași vor petrece de 2 ori mai mult timp făcând toată munca.

Sarcina nr. 3. Există două țevi care duc în piscină. Printr-o țeavă, apa curge cu o viteză de 2 l/s și umple piscina în 45 de minute. Printr-o altă conductă, piscina se va umple în 75 de minute. Cu ce ​​viteză intră apa în piscină prin această conductă?

Pentru început, să reducem toate cantitățile care ne sunt date în funcție de condițiile problemei la aceleași unități de măsură. Pentru a face acest lucru, exprimăm viteza de umplere a piscinei în litri pe minut: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Deoarece rezultă din condiția ca piscina să se umple mai lent prin a doua țeavă, aceasta înseamnă că debitul de apă este mai mic. Proporționalitatea este inversă. Să exprimăm viteza necunoscută prin x și să facem următoarea diagramă:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Și apoi alcătuim proporția: 120/x = 75/45, de unde x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

În problemă, rata de umplere a piscinei este exprimată în litri pe secundă; să reducem răspunsul primit la aceeași formă: 72/60 = 1,2 l/s.

Sarcina nr. 4. O mică tipografie privată tipărește cărți de vizită. Un angajat al unei tipografii lucrează cu o viteză de 42 de cărți de vizită pe oră și lucrează o zi întreagă - 8 ore. Dacă ar lucra mai repede și ar tipări 48 de cărți de vizită într-o oră, cu cât mai devreme ar putea merge acasă?

Urmăm calea dovedită și întocmim o diagramă în funcție de condițiile problemei, desemnând valoarea dorită ca x:

↓ 42 cărți de vizită/oră – 8 ore

↓ 48 cărți de vizită/h – x h

Avem o relație invers proporțională: de câte ori mai multe cărți de vizită tipărește un angajat al unei tipografii pe oră, de câte ori mai puțin timp va avea nevoie pentru a finaliza aceeași muncă. Știind acest lucru, să creăm o proporție:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 ore.

Astfel, după ce a finalizat lucrarea în 7 ore, angajatul tipografiei putea pleca acasă cu o oră mai devreme.

Concluzie

Ni se pare că aceste probleme de proporționalitate inversă sunt cu adevărat simple. Sperăm că acum și tu te gândești la ei așa. Și principalul lucru este că cunoștințele despre dependența invers proporțională a cantităților vă pot fi cu adevărat utile de mai multe ori.

Nu numai la lecțiile și examenele de matematică. Dar și atunci, când te pregătești să pleci într-o excursie, să mergi la cumpărături, să te hotărăști să câștigi niște bani în plus în vacanță etc.

Spune-ne în comentarii ce exemple de relații proporționale inverse și directe observi în jurul tău. Să fie un astfel de joc. Vei vedea cât de interesant este. Nu uitați să distribuiți acest articol pe rețelele de socializare pentru ca și prietenii și colegii tăi să se poată juca.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.