Obiective:

1. Învățământ general: sistematizați, generalizați, extindeți cunoștințele și abilitățile elevilor legate de utilizarea metodelor de rezolvare a inegalităților.
2. Dezvoltare: dezvoltați capacitatea elevilor de a asculta o prelegere notându-l într-un caiet.
3. Educațional: pentru a forma motivație cognitivă pentru studiul matematicii.

În timpul orelor

I. Conversație introductivă:

Am terminat subiectul „Rezolvarea ecuațiilor iraționale” și astăzi începem să învățăm cum să rezolvăm inegalitățile iraționale.

În primul rând, să ne amintim ce tipuri de inegalități puteți rezolva și prin ce metode?

Răspuns: Liniar, pătratic, rațional, trigonometric. Pe cele liniare le rezolvăm pe baza proprietăților inegalităților, pe cele trigonometrice le reducem la cele mai simple trigonometrice, rezolvate cu cercul trigonometric, iar restul, în principal, folosind metoda intervalelor.

Întrebare: Pe ce afirmație se bazează metoda intervalului?

Răspuns: Pe teorema care afirmă că functie continua, care nu dispare pe un anumit interval, își păstrează semnul pe acest interval.

II. Să ne uităm la o inegalitate irațională ca >

Întrebare: Este posibil să folosiți metoda intervalului pentru a o rezolva?

Răspuns: Da, din moment ce funcția y=– continuu pentru D(y).

Rezolvarea acestei inegalități metoda intervalului .

Concluzie: am rezolvat destul de ușor această inegalitate irațională folosind metoda intervalului, reducând-o de fapt la rezolvarea unei ecuații iraționale.

Să încercăm să rezolvăm o altă inegalitate folosind această metodă.

3)f(x) continuu pe D(f)

4) Zerourile funcției:

• Este nevoie de mult timp pentru a căuta D(f).
• Este dificil de calculat punctele de control.

Apare întrebarea: „Există alte modalități de a rezolva această inegalitate?”

Evident, există și acum îi vom cunoaște.

III. Asa de, subiect astăzi lecția: „Metode de rezolvare a inegalităților iraționale”.

Lecția se va desfășura sub forma unei prelegeri, deoarece manualul nu conține o analiză detaliată a tuturor metodelor. Prin urmare noastre sarcină importantă: Faceți un rezumat detaliat al acestei prelegeri.

IV. Am vorbit deja despre prima metodă de rezolvare a inegalităților iraționale.

Acest - metoda intervalului , o metodă universală de rezolvare a tuturor tipurilor de inegalități. Dar nu întotdeauna duce la obiectiv într-un mod scurt și simplu.

V. Când rezolvați inegalități iraționale, puteți folosi aceleași idei ca și atunci când rezolvați ecuații iraționale, dar deoarece simpla verificare a soluțiilor este imposibilă (la urma urmei, soluțiile inegalităților sunt cel mai adesea intervale numerice întregi), este necesar să folosiți echivalența.

Prezentăm scheme de rezolvare a principalelor tipuri de inegalități iraționale metoda tranzițiilor echivalente de la o inegalitate la un sistem de inegalităţi.

2. În mod similar, se demonstrează că

Să notăm aceste diagrame pe placa de suport. Gândește-te acasă la dovezile de tipurile 3 și 4, le vom discuta în lecția următoare.

VI. Să rezolvăm inegalitatea într-un mod nou.

Inegalitatea originală este echivalentă cu o colecție de sisteme.

VII.Și există o a treia metodă care ajută adesea la rezolvarea inegalităților iraționale complexe. Am vorbit deja despre ea în legătură cu inegalitățile cu modul. Acest metoda de înlocuire a funcțiilor (factori de înlocuire). Permiteți-mi să vă reamintesc că esența metodei de înlocuire este că diferența dintre valorile funcțiilor monotone poate fi înlocuită cu diferența dintre valorile argumentelor lor.

Luați în considerare o inegalitate irațională a formei<,

acesta este -< 0.

Prin teoremă, dacă p(x) creşte pe un anumit interval căruia îi aparţin AȘi b, și A>b, apoi inegalitățile p(a) – p(b) > 0 și a–b> 0 sunt echivalente cu D(p), acesta este

VIII. Să rezolvăm inegalitatea prin înlocuirea factorilor.

Aceasta înseamnă că această inegalitate este echivalentă cu sistemul

Astfel, am văzut că utilizarea metodei de înlocuire a factorilor pentru a reduce soluția unei inegalități la metoda intervalului reduce semnificativ cantitatea de muncă.

IX. Acum că am acoperit cele trei metode principale de rezolvare a ecuațiilor, să facem lucru independent cu autotest.

Este necesar să completați următoarele numere (conform manualului de A. M. Mordkovich): 1790 (a) - rezolvați prin metoda tranzițiilor echivalente, 1791 (a) - rezolvați prin metoda înlocuirii factorilor. Pentru a rezolva inegalitățile iraționale, se se propune utilizarea metodelor discutate anterior la rezolvarea ecuațiilor iraționale:

• înlocuirea variabilelor;
• utilizarea ODZ;
• folosind proprietăţile monotonităţii funcţiilor.

Finalizarea studiului temei este o probă.

Analiza lucrărilor de testare arată:

• greșelile tipice ale elevilor slabi, pe lângă aritmetică și algebră, sunt tranziții echivalente incorecte la un sistem de inegalități;
• Metoda de înlocuire a factorilor este folosită cu succes doar de studenții puternici.

T.D. Ivanova

METODE DE SOLUȚIONARE A INEGALITĂȚILOR IRAȚIONALE

CDO și NIT SRPTL

UDC 511 (O75.3)

BBK 22. 1Y72

Alcătuit de T.D.Ivanova

Referent: Baisheva M.I.– Candidat la Științe Pedagogice, Conferențiar al Departamentului

analiza matematică a Facultăţii de Matematică

Institutul de Matematică și Informatică din Yakutsk

universitate de stat

Metode de rezolvare a inegalităților iraționale: Manual metodologic

M 34 pentru elevii din clasele 9-11 / comp. Ivanova T.D. din Suntar Suntarsky ulus

RS (Y): CDO NIT SRPTL, 2007, – 56 p.

Manualul se adresează elevilor de liceu din gimnaziu, precum și celor care intră în universități ca ghid metodologic pentru rezolvarea inegalităților iraționale. Manualul examinează în detaliu principalele metode de rezolvare a inegalităților iraționale, oferă exemple de rezolvare a inegalităților iraționale cu parametri și oferă, de asemenea, exemple pentru a le rezolva singur. Profesorii pot folosi manualul ca material didactic pentru munca independentă în timp ce revizuiesc subiectul „Inegalități iraționale”.

Manualul reflectă experiența profesorului în studierea temei „Inegalități iraționale” cu elevii.

Sarcinile sunt preluate din materialele examenelor de admitere, ziare și reviste metodologice, manuale, a căror listă este dată la finalul manualului

UDC 511 (O75.3)

BBK 22. 1Y72

 T.D. Ivanova, comp., 2006.

 CDO NIT SRPTL, 2007.

Prefață 5

Introducere 6

Secțiunea I. Exemple de rezolvare a celor mai simple inegalități iraționale 7

Sectiunea II.Inegalitatile formei
>g(x), g(x), g(x) 9

Secțiunea III. Inegalitățile de formă
;
;

;
13

Secțiunea IV. Inegalități care conțin mai multe rădăcini de gradul par 16

Secțiunea V. Metoda de înlocuire (introducerea unei noi variabile) 20

Secțiunea VI. Inegalități de forma f(x)
0; f(x)0;

Secțiunea VII. Inegalitățile de formă
25

Secțiunea VIII. Folosind transformări radicale de expresie

în inegalitățile iraționale 26

Secțiunea a IX-a. Rezolvarea grafică a inegalităților iraționale 27

Secțiunea X. Inegalități tip mixt 31

Secțiunea a XI-a. Folosind proprietatea de monotonitate a unei funcții 41

Secțiunea XII. Metoda de înlocuire a funcției 43

Secțiunea XIII. Exemple de rezolvare directă a inegalităților

metoda intervalului 45

Secțiunea XIV. Exemple de rezolvare a inegalităților iraționale cu parametrii 46

Literatura 56

REVIZUIRE

Acest material didactic este destinat elevilor din clasele 10-11. După cum arată practica, elevii și solicitanții de școală întâmpină dificultăți deosebite în rezolvarea inegalităților iraționale. Acest lucru se datorează faptului că în matematica școlară această secțiune nu este suficient luată în considerare; diferite metode de rezolvare a unor astfel de inegalități nu sunt luate în considerare mai detaliat. De asemenea, cadrele didactice simt o lipsă de literatură metodologică, care se manifestă într-o cantitate limitată de material problematic indicând diverse abordări și metode de soluționare.

Manualul discută metode de rezolvare a inegalităților iraționale. Ivanova T.D. la începutul fiecărei secțiuni, prezintă studenților ideea principală a metodei, apoi arată exemple cu explicații și oferă, de asemenea, probleme pentru rezolvare independentă.

Compilatorul folosește cele mai „spectaculoase” metode pentru rezolvarea inegalităților iraționale care apar la intrarea în învățământul superior unități de învățământ cu pretenţii sporite asupra cunoştinţelor elevilor.

Elevii, după ce au citit acest manual, pot dobândi experiență și abilități neprețuite în rezolvarea inegalităților iraționale complexe. Cred că acest manual va fi util și profesorilor de matematică care lucrează în clase de specialitate, precum și dezvoltatorilor de cursuri opționale.

Candidat la Științe Pedagogice, Profesor asociat al Departamentului de Analiză Matematică, Facultatea de Matematică, Institutul de Matematică și Informatică, Universitatea de Stat Yakut

Baisheva M.I.

PREFAŢĂ

Manualul se adresează elevilor de liceu din gimnaziu, precum și celor care intră în universități ca ghid metodologic pentru rezolvarea inegalităților iraționale. Manualul examinează în detaliu principalele metode de rezolvare a inegalităților iraționale, oferă exemple aproximative de rezolvare a inegalităților iraționale, oferă exemple de rezolvare a inegalităților iraționale cu parametri și oferă, de asemenea, exemple de rezolvare a acestora; pentru unele dintre ele, răspunsuri scurte și instrucțiuni. sunt date.

Atunci când analizează exemple și rezolvă inegalitățile în mod independent, se presupune că elevul știe să rezolve inegalități liniare, pătratice și alte inegalități și cunoaște diferite metode de rezolvare a inegalităților, în special, metoda intervalelor. Se propune rezolvarea inegalității în mai multe moduri.

Profesorii pot folosi manualul ca material didactic pentru munca independentă în timp ce revizuiesc subiectul „Inegalități iraționale”.

Manualul reflectă experiența profesorului în studierea temei „Inegalități iraționale” cu elevii.

Problemele au fost selectate din materiale ale examenelor de admitere la instituții de învățământ superior, ziare metodologice și reviste de matematică „Primul septembrie”, „Matematică la școală”, „Quantum”, manuale, a căror listă este dată la finalul manualului. .

INTRODUCERE

Inegalitățile iraționale sunt acelea în care variabile sau o funcție a unei variabile intră sub semnul rădăcinii.

Principala metodă standard pentru rezolvarea inegalităților iraționale este de a ridica succesiv ambele părți ale inegalității la o putere pentru a scăpa de rădăcină. Dar această operație duce adesea la apariția rădăcinilor străine sau chiar la pierderea rădăcinilor, adică. duce la o inegalitate care este inegală cu cea inițială. Prin urmare, trebuie să monitorizăm cu mare atenție echivalența transformărilor și să luăm în considerare numai acele valori ale variabilei pentru care inegalitatea are sens:

dacă rădăcina este un grad par, atunci expresia radicală trebuie să fie nenegativă și valoarea rădăcinii trebuie să fie și un număr nenegativ.

dacă rădăcina gradului este un număr impar, atunci expresia radicală poate lua orice număr real și semnul rădăcinii coincide cu semnul expresiei radicale.

este posibil să se ridice ambele părți ale inegalității la o putere egală numai după ce ne-am asigurat mai întâi că acestea sunt nenegative;

Ridicarea ambelor părți ale unei inegalități la aceeași putere impară este întotdeauna o transformare echivalentă.

Capitoleu. Exemple de rezolvare a inegalităților iraționale simple

Exemplele 1- 6:

Soluţie:

1. a)
.

b)
.

2. a)

b)

3. a)
.

b)
.

4. a)

b)

5. a)
.

b)

6. a)
.

b)
.

7.

8. a)
.

b)

9. a)
.

b)

11.

12. Găsiți cel mai mic număr întreg valoare pozitivă x satisfăcând inegalitatea

13. a) Aflați punctul de mijloc al intervalului de soluție al inegalității

b) Aflați media aritmetică a tuturor valorilor întregi ale lui x pentru care inegalitatea are soluție 4

14. Găsiți cea mai mică soluție negativă a inegalității

15. a)
;

b)

Secțiunea II. Inegalitatile de forma >g(x), g(x),g(x)

La fel ca la rezolvarea exemplelor 1-4, raționăm la rezolvarea inegalităților de tipul indicat.

Exemplul 7 : Rezolvați inegalitatea
> X + 1

Soluţie: Inegalitatea DZ: X-3. Pentru partea dreaptă există două cazuri posibile:

A) X+ 10 (partea dreaptă este nenegativă) sau b) X + 1

Luați în considerare a) Dacă X+10, adică X- 1, atunci ambele părți ale inegalității sunt nenegative. Punem la patrat ambele laturi: X + 3 >X+ 2X+ 1. Primim inegalitatea pătratică X+ X – 2 X x - 1, obținem -1

Luați în considerare b) Dacă X+1 x x -3

Combinarea soluțiilor pentru cazul a) -1 și b) X-3, hai să scriem răspunsul: X
.

Este convenabil să scrieți toate argumentele atunci când rezolvați Exemplul 7, după cum urmează:

Inegalitatea originală este echivalentă cu un set de sisteme de inegalități
.

X

Răspuns: .

Raționamentul pentru rezolvarea inegalităților de formă

1.> g(X); 2. g(X); 3. g(X); 4. g(X) poate fi scrisă pe scurt sub forma următoarelor diagrame:

eu. > g(X)

2. g(X)

3. g(X)

4. g(X)
.

Exemplul 8 :
X.

Soluţie: Inegalitatea originală este echivalentă cu sistemul

x>0

Răspuns: X
.

Sarcini pentru soluție independentă:

b)

b)
.

b)

b)

20. a)
X

b)

21. a)

În această lecție ne vom uita la rezolvarea inegalităților iraționale, vom da diverse exemple.

Tema: Ecuații și inegalități. Sisteme de ecuații și inegalități

Lecţie:Inegalități iraționale

Când se rezolvă inegalitățile iraționale, este adesea necesar să se ridice ambele părți ale inegalității într-o oarecare măsură; aceasta este o operație destul de responsabilă. Să ne amintim caracteristicile.

Ambele părți ale inegalității pot fi pătrate dacă ambele sunt nenegative, numai atunci obținem o inegalitate adevărată dintr-o inegalitate adevărată.

Ambele părți ale inegalității pot fi cudate în orice caz; dacă inegalitatea inițială a fost adevărată, atunci când sunt cuburi, obținem inegalitatea corectă.

Luați în considerare o inegalitate de forma:

Expresia radicală trebuie să fie nenegativă. Funcția poate lua orice valoare; trebuie luate în considerare două cazuri.

În primul caz, ambele părți ale inegalității sunt nenegative, avem dreptul să o pătram. În al doilea caz, partea dreaptă este negativă și nu avem dreptul să o pătram. În acest caz, este necesar să ne uităm la sensul inegalității: aici este o expresie pozitivă ( Rădăcină pătrată) este mai mare decât o expresie negativă, ceea ce înseamnă că inegalitatea este întotdeauna satisfăcută.

Deci, avem următoarea schemă de soluții:

În primul sistem, nu protejăm separat expresia radicală, deoarece atunci când a doua inegalitate a sistemului este satisfăcută, expresia radicală trebuie să fie automat pozitivă.

Exemplul 1 - rezolvarea inegalității:

Conform diagramei, trecem la un set echivalent de două sisteme de inegalități:

Să ilustrăm:

Orez. 1 - ilustrarea soluției la exemplul 1

După cum vedem, atunci când scăpăm de iraționalitate, de exemplu, la pătrat, obținem un set de sisteme. Uneori, acest design complex poate fi simplificat. În mulțimea rezultată, avem dreptul de a simplifica primul sistem și de a obține o mulțime echivalentă:

Ca exercițiu independent, este necesar să se dovedească echivalența acestor mulțimi.

Luați în considerare o inegalitate de forma:

Similar cu inegalitatea anterioară, luăm în considerare două cazuri:

În primul caz, ambele părți ale inegalității sunt nenegative, avem dreptul să o pătram. În al doilea caz, partea dreaptă este negativă și nu avem dreptul să o pătram. În acest caz, este necesar să ne uităm la sensul inegalității: aici expresia pozitivă (rădăcina pătrată) este mai mică decât expresia negativă, ceea ce înseamnă că inegalitatea este contradictorie. Nu este nevoie să luăm în considerare al doilea sistem.

Avem un sistem echivalent:

Uneori, inegalitățile iraționale pot fi rezolvate grafic. Aceasta metoda aplicabil atunci când graficele corespunzătoare pot fi construite destul de ușor și pot fi găsite punctele lor de intersecție.

Exemplul 2 - rezolvați grafic inegalitățile:

A)

b)

Am rezolvat deja prima inegalitate și știm răspunsul.

Pentru a rezolva grafic inegalitățile, trebuie să construiți un grafic al funcției în partea stângă și un grafic al funcției în partea dreaptă.

Orez. 2. Grafice de funcţii şi

Pentru a reprezenta graficul unei funcții, este necesar să transformați parabola într-o parabolă (oglindiți-o în raport cu axa y) și să mutați curba rezultată cu 7 unități la dreapta. Graficul confirmă că această funcție scade monoton în domeniul său de definire.

Graficul unei funcții este o linie dreaptă și este ușor de construit. Punctul de intersecție cu axa y este (0;-1).

Prima funcție scade monoton, a doua crește monoton. Dacă ecuația are o rădăcină, atunci este singura; este ușor să o ghicim din grafic: .

Când valoarea argumentului este mai mică decât rădăcina, parabola este deasupra liniei drepte. Când valoarea argumentului este între trei și șapte, linia dreaptă trece deasupra parabolei.

Avem raspunsul:

Metodă eficientă Metoda intervalelor este utilizată pentru rezolvarea inegalităților iraționale.

Exemplul 3 - rezolvați inegalitățile folosind metoda intervalului:

A)

b)

Conform metodei intervalului, este necesar să se îndepărteze temporar de inegalitate. Pentru a face acest lucru, transferați totul în inegalitatea dată la partea stanga(obțineți zero în dreapta) și introduceți o funcție egală cu partea stângă:

Acum trebuie să studiem funcția rezultată.

ODZ:

Am rezolvat deja această ecuație grafic, așa că nu ne oprim pe determinarea rădăcinii.

Acum este necesar să selectați intervale de semn constant și să determinați semnul funcției pe fiecare interval:

Orez. 3. Intervale de constanță a semnului de exemplu 3

Să ne amintim că pentru a determina semnele pe un interval, este necesar să luăm un punct de probă și să îl înlocuim în funcție; funcția va păstra semnul rezultat pe tot parcursul intervalului.

Să verificăm valoarea la punctul limită:

Raspunsul este evident:

Luați în considerare următorul tip de inegalități:

Mai întâi, să scriem ODZ:

Rădăcinile există, sunt nenegative, putem pătra ambele laturi. Primim:

Avem un sistem echivalent:

Sistemul rezultat poate fi simplificat. Când a doua și a treia inegalități sunt satisfăcute, prima este adevărată automat. Avem::

Exemplul 4 - rezolvarea inegalității:

Acționăm conform schemei - obținem un sistem echivalent.

Obiective:

1. Învățământ general: sistematizați, generalizați, extindeți cunoștințele și abilitățile elevilor legate de utilizarea metodelor de rezolvare a inegalităților.
2. Dezvoltare: dezvoltați capacitatea elevilor de a asculta o prelegere notându-l într-un caiet.
3. Educațional: pentru a forma motivație cognitivă pentru studiul matematicii.

În timpul orelor

I. Conversație introductivă:

Am terminat subiectul „Rezolvarea ecuațiilor iraționale” și astăzi începem să învățăm cum să rezolvăm inegalitățile iraționale.

În primul rând, să ne amintim ce tipuri de inegalități puteți rezolva și prin ce metode?

Răspuns: Liniar, pătratic, rațional, trigonometric. Pe cele liniare le rezolvăm pe baza proprietăților inegalităților, pe cele trigonometrice le reducem la cele mai simple trigonometrice, rezolvate cu cercul trigonometric, iar restul, în principal, folosind metoda intervalelor.

Întrebare: Pe ce afirmație se bazează metoda intervalului?

Răspuns: Pe o teoremă care spune că o funcție continuă care nu dispare într-un anumit interval își păstrează semnul pe acel interval.

II. Să ne uităm la o inegalitate irațională ca >

Întrebare: Este posibil să folosiți metoda intervalului pentru a o rezolva?

Răspuns: Da, din moment ce funcția y=– continuu pentru D(y).

Rezolvarea acestei inegalități metoda intervalului .

Concluzie: am rezolvat destul de ușor această inegalitate irațională folosind metoda intervalului, reducând-o de fapt la rezolvarea unei ecuații iraționale.

Să încercăm să rezolvăm o altă inegalitate folosind această metodă.

3)f(x) continuu pe D(f)

4) Zerourile funcției:

• Este nevoie de mult timp pentru a căuta D(f).
• Este dificil de calculat punctele de control.

Apare întrebarea: „Există alte modalități de a rezolva această inegalitate?”

Evident, există și acum îi vom cunoaște.

III. Asa de, subiect astăzi lecția: „Metode de rezolvare a inegalităților iraționale”.

Lecția se va desfășura sub forma unei prelegeri, deoarece manualul nu conține o analiză detaliată a tuturor metodelor. Prin urmare, sarcina noastră importantă este să alcătuim un rezumat detaliat al acestei prelegeri.

IV. Am vorbit deja despre prima metodă de rezolvare a inegalităților iraționale.

Acest - metoda intervalului , o metodă universală de rezolvare a tuturor tipurilor de inegalități. Dar nu întotdeauna duce la obiectiv într-un mod scurt și simplu.

V. Când rezolvați inegalități iraționale, puteți folosi aceleași idei ca și atunci când rezolvați ecuații iraționale, dar deoarece simpla verificare a soluțiilor este imposibilă (la urma urmei, soluțiile inegalităților sunt cel mai adesea intervale numerice întregi), este necesar să folosiți echivalența.

Prezentăm scheme de rezolvare a principalelor tipuri de inegalități iraționale metoda tranzițiilor echivalente de la o inegalitate la un sistem de inegalităţi.

2. În mod similar, se demonstrează că

Să notăm aceste diagrame pe placa de suport. Gândește-te acasă la dovezile de tipurile 3 și 4, le vom discuta în lecția următoare.

VI. Să rezolvăm inegalitatea într-un mod nou.

Inegalitatea originală este echivalentă cu o colecție de sisteme.

VII.Și există o a treia metodă care ajută adesea la rezolvarea inegalităților iraționale complexe. Am vorbit deja despre ea în legătură cu inegalitățile cu modul. Acest metoda de înlocuire a funcțiilor (factori de înlocuire). Permiteți-mi să vă reamintesc că esența metodei de înlocuire este că diferența dintre valorile funcțiilor monotone poate fi înlocuită cu diferența dintre valorile argumentelor lor.

Luați în considerare o inegalitate irațională a formei<,

acesta este -< 0.

Prin teoremă, dacă p(x) creşte pe un anumit interval căruia îi aparţin AȘi b, și A>b, apoi inegalitățile p(a) – p(b) > 0 și a–b> 0 sunt echivalente cu D(p), acesta este

VIII. Să rezolvăm inegalitatea prin înlocuirea factorilor.

Aceasta înseamnă că această inegalitate este echivalentă cu sistemul

Astfel, am văzut că utilizarea metodei de înlocuire a factorilor pentru a reduce soluția unei inegalități la metoda intervalului reduce semnificativ cantitatea de muncă.

IX. Acum că am acoperit cele trei metode principale de rezolvare a ecuațiilor, să facem lucru independent cu autotest.

Este necesar să completați următoarele numere (conform manualului de A. M. Mordkovich): 1790 (a) - rezolvați prin metoda tranzițiilor echivalente, 1791 (a) - rezolvați prin metoda înlocuirii factorilor. Pentru a rezolva inegalitățile iraționale, se se propune utilizarea metodelor discutate anterior la rezolvarea ecuațiilor iraționale:

• înlocuirea variabilelor;
• utilizarea ODZ;
• folosind proprietăţile monotonităţii funcţiilor.

Finalizarea studiului temei este o probă.

Analiza lucrărilor de testare arată:

• greșelile tipice ale elevilor slabi, pe lângă aritmetică și algebră, sunt tranziții echivalente incorecte la un sistem de inegalități;
• Metoda de înlocuire a factorilor este folosită cu succes doar de studenții puternici.

Orice inegalitate care include o funcție sub rădăcină este numită iraţional. Există două tipuri de astfel de inegalități:

În primul caz, rădăcina este mai mică decât funcția g(x), în al doilea este mai mare. Dacă g(x) - constant, inegalitatea este mult simplificată. Vă rugăm să rețineți: în exterior aceste inegalități sunt foarte asemănătoare, dar schemele lor de soluție sunt fundamental diferite.

Astăzi vom învăța cum să rezolvăm inegalitățile iraționale de primul tip - acestea sunt cele mai simple și mai ușor de înțeles. Semnul de inegalitate poate fi strict sau nestrict. Următoarea afirmație este adevărată pentru ei:

Teorema. Orice inegalitate irațională a formei

Echivalent cu sistemul de inegalități:

Nu slab? Să vedem de unde provine acest sistem:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - totul este clar aici. Aceasta este inegalitatea originală la pătrat;
2. f (x) ≥ 0 este ODZ a rădăcinii. Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina pătrată aritmetică există numai din nenegativ numere;
3. g(x) ≥ 0 este intervalul rădăcinii. Punând la pătrat inegalitatea, ardem negativele. Ca rezultat, pot apărea rădăcini suplimentare. Inegalitatea g(x) ≥ 0 le întrerupe.

Mulți elevi „se blochează” de prima inegalitate a sistemului: f (x) ≤ g 2 (x) - și uită complet de celelalte două. Rezultatul este previzibil: decizie greșită, puncte pierdute.

Deoarece inegalitățile iraționale sunt un subiect destul de complex, să ne uităm la 4 exemple deodată. De la bază la cu adevărat complexă. Toate problemele sunt luate de la examenele de admitere la Universitatea de Stat din Moscova. M. V. Lomonosov.

Exemple de rezolvare a problemelor

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

În fața noastră este un clasic inegalitatea irațională: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - constantă. Avem:

Dintre cele trei inegalități, doar două au rămas la finalul soluției. Deoarece inegalitatea 2 ≥ 0 este întotdeauna valabilă. Să traversăm inegalitățile rămase:

Deci, x ∈ [−1,5; 0,5]. Toate punctele sunt umbrite deoarece inegalitățile nu sunt stricte.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

Aplicam teorema:

Să rezolvăm prima inegalitate. Pentru a face acest lucru, vom dezvălui pătratul diferenței. Avem:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Acum să rezolvăm a doua inegalitate. Si acolo trinom pătratic:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)