Pentru a obține indicatori generali ai dinamicii fenomenelor socio-economice, se determină valori medii: nivelul mediu, creșterea medie absolută, rata medie de creștere și creștere etc.
Nivelul mediu al unei serii de dinamici caracterizează valoarea tipică a nivelurilor absolute.
În serii de intervale de dinamică, nivelul mediu y este determinat prin împărțirea sumei nivelurilor la numărul lor n (formula 12):
Într-o serie de momente de dinamică cu date de timp egal distanțate, nivelul mediu este determinat de formula 13:
(13)
Într-o serie de momente de dinamică cu date distanțate inegal, nivelul mediu este determinat de formula 14:
unde sunt nivelurile unei serii de dinamici care au rămas neschimbate într-o perioadă de timp.
Creșterea medie absolută este o caracteristică generalizată a creșterilor absolute individuale într-o serie de dinamică. Pentru a determina creșterea medie absolută, suma creșterilor absolute în lanț este împărțită la numărul lor n (formula 15):
(15)
Creșterea medie absolută poate fi determinată de nivelurile absolute ale seriei de dinamică. Pentru a face acest lucru, se determină diferența dintre nivelurile final și de bază ale perioadei studiate, care este împărțită în m – 1 subperioade (formula 16):
(16)
Pe baza relației dintre creșterile absolute de bază și în lanț, creșterea medie absolută poate fi determinată folosind formula 17:
Rata medie de creștere este o caracteristică generală a ratelor individuale de creștere a unei serii de dinamici. Pentru a determina rata medie de creștere, se utilizează formula 18:
unde Tr1, Tr2, ..., Trn sunt rate de creștere individuale (în lanț) (în coeficienți), n este numărul de rate de creștere individuale.
Rata medie de creștere poate fi determinată și din nivelurile absolute ale seriei dinamice folosind formula 19:
(19)
Pe baza relației dintre ratele de creștere în lanț și de bază, rata medie de creștere poate fi determinată folosind formula 20:
(20)
Rata medie de creștere poate fi determinată pe baza relației dintre rata de creștere și rata de creștere. Dacă sunt disponibile date privind ratele medii de creștere, dependența exprimată prin formula 21 este utilizată pentru a obține rata medie de creștere:
(21)
(când se exprimă rata medie de creștere în coeficienți)
25. Determinarea tendințelor de dezvoltare în seriile de dinamică
Tendință (tendință) - direcția de dezvoltare a unui anumit fenomen. În unele cazuri, o tendință poate fi stabilită prin cunoașterea valorilor nivelurilor seriei. Folosind aceste valori, construim un grafic empiric al lui y versus t. În procesele economice se pot distinge următoarele reprezentări grafice ale principalelor tendințe. Creșterea uniformă (scăderea) este prezentată în Fig. 6.1, creștere lentă (scădere) - în Fig. 6.2, creștere accelerată (scădere) - în Fig. 6.3. Dacă, sub influența unor factori aleatori, nivelurile seriei nu prezintă o tendință clară de dezvoltare, atunci se folosesc metode statistice speciale pentru a o identifica (descrie). În acest scop, seria este netezită (mărită). Cele mai simple metode de netezire a unei serii includ metodele de medie pe etape (variabile) și medii mobile. Mediile în trepte sunt medii calculate pe intervale de timp mai mari. În acest caz, nivelurile primare (empirice) sunt înlocuite cu niveluri medii. Mărirea intervalului începe de obicei cu cel mai mic, adică se combină două perioade. În acest caz, nivelurile primare sunt înlocuite cu medii aritmetice pentru două perioade, adică. valori; Numărul de medii de pas este egal cu o parte întreagă a lui n/m, unde n este numărul de niveluri primare ale seriei, m este numărul de intervale mărite (în acest caz m=2). Dacă, în același timp, tendința nu se manifestă încă suficient de clar, atunci treceți la următorul interval, combinând trei perioade. În acest caz, nivelurile primare sunt înlocuite cu medii aritmetice pentru trei perioade, adică. valori; Numărul de medii ale pașilor este egal cu o parte întreagă a lui n/3, unde n este numărul de niveluri primare ale seriei. Dacă este necesar, calculați medii pentru 4 perioade și așa mai departe. Mediile mobile sunt medii calculate pe intervale crescute cu mișcare secvențială cu un interval. Perioada mediei mobile poate fi pară sau impară. Se recomandă utilizarea unei perioade impare, deoarece în acest caz media mobilă va fi atribuită la mijlocul intervalului mărit. Mediile mobile cu o durată a perioadei egală cu două sunt următoarele: Mediile mobile cu o durată a perioadei egală cu trei sunt următoarele: Numărul de medii mobile este egal cu unde n este numărul de niveluri ale seriei originale, m este perioada valoare. Pentru o perioadă uniformă, datele sunt uneori centrate, adică se găsește media mediei și se determină perioada de mijloc. La calcularea mediilor indicate, fluctuațiile din seria temporală sunt netezite, dar dezavantajul metodei este că seria netezită este mai scurtă decât cea empirică. În plus, noua serie de medii doar ilustrează tendința, dar nu face posibilă cuantificarea acesteia. Dacă se observă oscilații periodice într-o serie de timp, atunci intervalul mărit trebuie luat egal cu perioada de oscilație. Intervalele mărite „atenuează” fluctuațiile aleatoare, dar nu reflectă modificări ale nivelurilor în intervalul mărit. Metoda de aliniere analitică face posibilă demonstrarea unei tendințe și măsurarea acesteia cantitativ. Esența acestei metode este că se găsesc ecuații care exprimă modelul modificărilor într-un proces (fenomen) în funcție de timp. În acest caz, se folosesc modele de tendințe - funcții matematice cu ajutorul cărora este descrisă tendința principală. Tipul de model de tendință depinde de specificul procesului, de natura dinamicii acestuia: creștere sau scădere uniformă, accelerată sau lentă a nivelurilor seriei. Alegerea tipului de ecuație se poate baza pe o analiză a indicatorilor de dinamică calculați sau pe un grafic empiric al seriei de dinamică și anume: dacă creșterile absolute sunt relativ constante (graficul 6.1), se folosește o funcție liniară dacă valoarea absolută crește uniform crește (descrește), puteți utiliza o parabolă de ordinul doi (funcție pătratică) · dacă creșterea absolută crește (descrește) rapid (graficele 6.2-6.3), se poate folosi o funcție hiperbolică · dacă ratele de creștere sunt relativ stabile, o poate fi utilizată funcția exponențială. Cel mai simplu mod de a determina coeficienții necunoscuți a, b sau c este utilizarea metodei celor mai mici pătrate (LSM). În acest caz, ajungem la necesitatea de a rezolva sisteme de ecuații pentru a găsi acești coeficienți, similar cu ceea ce se face în analiza de regresie a corelației. Acest sistem va fi mai simplu dacă alegeți mijlocul rândului ca punct de plecare. În acest caz, perioadele de timp sunt desemnate prin numere naturale (pozitive și negative). Uneori este nevoie să găsiți nivelurile intermediare lipsă dintr-o serie. Această procedură se numește interpolare și se realizează dintr-o trecere în revistă a tendinței generale de dezvoltare pentru perioada studiată. La prognozarea indicatorilor economici se folosește un alt instrument statistic - extrapolarea. În acest caz, valorile nivelului sunt calculate dincolo de limitele datelor reale disponibile. Când extrapolăm, presupunem că tendința identificată va continua în viitor. Pentru a efectua această operație, este necesar să înlocuiți valoarea t în ecuația de tendință în conformitate cu continuarea seriei originale și să calculați valoarea nivelului seriei. În plus, interpolarea și extrapolarea pot fi efectuate folosind polinoame Lagrange sau Newton. În ultimii ani, spline cubice au fost folosite pentru interpolare.
Ei sunt responsabili de procesele temporale, adică o serie care studiază dinamica (dezvoltarea în timp) a unui fenomen.
Există două grupuri mari de serii statistice în statistică, acestea sunt seriile de distribuție despre care vorbeam și seriile de dinamică. În esență, seriile sunt foarte asemănătoare, conțin date care caracterizează un anumit fenomen. Obținem o serie care este o secvență a unor date.
Principala trăsătură distinctivă a seriei de dinamică de seria de distribuție este esența materialului studiat. Distribuția rândurilor este o contorizare a numărului de elemente sau a numărului de repetări ale acestor elemente. Și o serie de dinamică este o secvență de timp.
Prin urmare, vom numi seria dinamicii dezvoltarea unui fenomen în timp. Pentru a caracteriza o astfel de dezvoltare se folosesc două elemente, din care constă seria dinamică.
- Perioada de timp este o parte obligatorie, ceea ce face din dinamica unei serii o serie statistică de dinamică. Dacă există un parametru de timp, atunci acesta este o serie de dinamică.
- Nivelul seriei este valoarea numerică a perioadei de timp corespunzătoare. Pentru fiecare perioadă există un nivel corespunzător.
Cel mai simplu exemplu de serie temporală vine din copilărie! Amintește-ți cum ți-ai măsurat înălțimea....! Modificarea înălțimii odată cu vârsta este o serie de dinamică în cea mai simplă formă.
În funcție de perioada de timp, seria temporală va varia.
Serie de momente de dinamică. Serii de intervale de dinamică
Deci, datele pentru un interval de timp pot fi fie acumulate, fie instantanee. Într-o astfel de situație apar două tipuri de serii temporale (seri dinamice).
Seria dinamica momentului caracterizează starea unui fenomen la un anumit moment în timp. Adică au venit, au înregistrat datele în momentul actual și atât. Să presupunem că numărul de angajați la locul de muncă la 10.20 este de 12 persoane, iar numărul de angajați la 10.30 este de 13 persoane. Aceștia sunt doi indicatori diferiți. În același timp, în procesul de lucru cu date, acestea nu pot fi adăugate, deoarece poate apărea o numărare dublă. La urma urmei, 13 persoane de la 10.30 pot conține aceleași 12 (cel mai probabil acesta este cazul) care erau la 10.20.
Să dăm un exemplu de serie de momente
| Timp de contabilitate | Numărul de angajați la locul de muncă |
| 10.00 | 10 |
| 10.20 | 12 |
| 10.30 | 13 |
| 11.00 | 11 |
În total, într-o serie de momente înregistrăm date într-o anumită perioadă de timp. Și datele din astfel de rânduri nu pot fi adăugate sau împărțite, sunt întregi și nu pot fi împărțite sau adăugate. Serii de momente cele mai caracteristice sunt serii care caracterizează abundența și reziduurile materialelor.
Serii de intervale de dinamică . Astfel de serii sunt mai frecvente decât serii de momente. În astfel de serii, datele sunt acumulate pe o anumită perioadă de timp. Procesul de acumulare a datelor pentru o zi, săptămână, lună, an oferă valoarea totală finală pentru această perioadă de timp. Aceasta înseamnă că putem să adunăm și să împărțim astfel de date, să aflăm câți bani am câștigat în două sau trei luni sau, prin împărțire, să calculăm aproximativ cât am făcut în 1 oră sau 2 ore de muncă în raport cu o zi întreagă de lucru. (8 ore ).
Să dăm un exemplu de serie de dinamică a intervalelor.
| An | Volumul produselor produse, milioane de ruble. |
| 2010 | 129 |
| 2011 | 142 |
| 2012 | 146 |
| 2013 | 144 |
| 2014 | 151 |
| Total | 712 |
Astfel, o serie de intervale, cum ar fi, acumulează date pentru o întreagă perioadă și apoi le prezintă ca un nivel de serie. De aceea putem adăuga date de la două niveluri, obținând un rezultat total, sau împărțim datele de la un nivel, obținând dimensiunea fenomenului într-o perioadă mai scurtă de timp.
Cu toate acestea, seriile temporale în sine sunt rareori folosite. Fie că ne place sau nu, astfel de serii sunt compilate pentru analiza ulterioară a datelor. Acesta poate fi calculul nivelului mediu al unei serii și calculul indicatorilor pentru analiza serii dinamice și analiza tendințelor și o serie de alte acțiuni analitice.
Mai jos dăm un exemplu de calcul al nivelului mediu al unei serii.
Calculul nivelului mediu în serii de dinamică
Pentru început, să ne amintim asta fenomen de nivelîi caracterizează starea la un moment dat sau pentru această perioadă timp.
În statistică, atunci când se lucrează cu serii de timp, sunt utilizați trei indicatori de nivel diferit:
— Primul nivel– у1 – caracterizează valoarea primului termen al seriei;
— nivelul final– уn – caracterizează valoarea ultimului membru al seriei;
— nivel mediu- nivelul mediu va fi calculat diferit in functie de tipul seriei dinamice.
În seria de intervale de dinamică, calculul se efectuează folosind formula medie aritmetică simplă.
În seria momentelor de dinamică, calculul se efectuează folosind formula cronologică medie. 
Să dăm un exemplu de calcul al acestor indicatori pe baza exemplelor din acest articol.
1. Pentru moment serie de dinamică. Să determinăm nivelurile inițiale finale și medii.
Acesta este modul în care este destul de ușor să calculezi indicatori-niveluri ale seriilor temporale. Întreaga dificultate constă în a determina corect dacă un moment sau un interval este o serie de dinamică.
În articolul următor ne vom uita la utilizarea indicatorilor de analiză a seriilor de timp.
Serii dinamice sunt valorile indicatorilor statistici care sunt prezentați într-o anumită secvență cronologică.
Fiecare serie temporală conține două componente:
Nivelurile seriei sunt exprimate atât în valori absolute, cât și medii sau relative. În funcție de natura indicatorilor, se construiesc serii temporale de valori absolute, relative și medii. Serii dinamice din valori relative și medii sunt construite pe baza unor serii derivate de valori absolute. Există intervale și serii de momente de dinamică.
Serii de intervale dinamice conține valori indicatoare pentru anumite perioade de timp. Într-o serie de intervale, nivelurile pot fi însumate pentru a obține volumul fenomenului pe o perioadă mai lungă, sau așa-numitele totaluri acumulate.
Serii de momente dinamice reflectă valorile indicatorilor la un anumit moment în timp (data de timp). În seria de momente, cercetătorul poate fi interesat doar de diferența de fenomene care reflectă schimbarea nivelului seriei între anumite date, deoarece suma nivelurilor de aici nu are un conținut real. Totalurile cumulate nu sunt calculate aici.
Cea mai importantă condiție pentru construirea corectă a seriilor de timp este comparabilitatea nivelurilor de serie aparținând unor perioade diferite. Nivelurile trebuie prezentate în cantități omogene și trebuie să existe o acoperire egală a diferitelor părți ale fenomenului.
Pentru a evita denaturarea dinamicii reale, în cercetarea statistică se efectuează calcule preliminare (închiderea seriilor de dinamică), care preced analiza statistică a seriei temporale. Sub închiderea seriei de dinamicăînseamnă combinarea într-o serie a două sau mai multe serii, ale căror niveluri sunt calculate folosind o metodologie diferită sau nu corespund limitelor teritoriale etc. Închiderea seriei de dinamică poate implica, de asemenea, aducerea nivelurilor absolute ale seriei de dinamică la o bază comună, ceea ce neutralizează incomparabilitatea nivelurilor seriei de dinamică.
Indicatori ai modificărilor nivelurilor serii temporale
Pentru a caracteriza intensitatea dezvoltării în timp se folosesc indicatori statistici, obținuți prin compararea nivelurilor între ele, în urma cărora obținem un sistem de indicatori de dinamică absolută și relativă: creștere absolută, coeficient de creștere, ritm de creștere, ritm de creștere. , valoare absolută de creștere de 1%. Pentru a caracteriza intensitatea dezvoltării pe o perioadă lungă, se calculează indicatori medii: nivelul mediu al seriei, creșterea medie absolută, rata medie de creștere, rata medie de creștere, rata medie de creștere, valoarea medie absolută a creșterii de 1%.
Dacă în timpul studiului este necesară compararea mai multor niveluri succesive, atunci se poate obține fie o comparație cu o bază constantă (indicatori de bază), fie o comparație cu o bază variabilă (indicatori în lanț).
Indicatori de bază caracterizează rezultatul final al tuturor modificărilor nivelurilor seriei de la perioada nivelului de bază până la perioada dată (i-a).
Indicatori de lanț caracterizează intensitatea schimbărilor de nivel de la o perioadă la alta în perioada de timp studiată.
Creștere absolută exprimă rata absolută de schimbare într-o serie de dinamică și este definită ca diferența dintre un nivel dat și nivelul luat ca bază de comparație.
Creștere absolută (de bază)
(9.1)
unde y i este nivelul perioadei comparate; y 0 - nivelul perioadei de bază.
Creștere absolută cu o bază variabilă (lanț), care se numește rata de creștere,
(9.2)
unde y i este nivelul perioadei comparate; y i-1 - nivelul perioadei precedente.
Rata de crestere K i este definit ca raportul dintre un nivel dat și nivelul anterior sau de bază, arată rata relativă de schimbare a seriei. Dacă rata de creștere este exprimată în procente, se numește rata de creștere.
Rata de creștere de bază
Factor de creștere a lanțului
Rata de crestere
(9.5)
Rata de creștere a TP este definită ca raportul dintre creșterea absolută a unui anumit nivel față de cel anterior sau de bază.
Rata de creștere de bază
(9.6)
Rata de creștere a lanțului
(9.7)
1) T p = T p - 100%; 2) T p = K i - 1. (9.8)
Valoarea absolută de un procent de creștere A i. Acest indicator servește ca măsură indirectă a nivelului de referință. Reprezintă o sutime din nivelul de bază, dar în același timp reprezintă și raportul dintre creșterea absolută și rata de creștere corespunzătoare.
Acest indicator este calculat folosind formula
(9.9)
Pentru a caracteriza dinamica fenomenului studiat pe o perioadă lungă, se calculează un grup de indicatori de dinamică medie. Se pot distinge două categorii de indicatori din această grupă: a) niveluri medii ale seriei; b) indicatori medii ai modificărilor nivelurilor seriei.
Niveluri medii ale rândurilor sunt calculate în funcţie de tipul seriei temporale.
Pentru o serie de intervale de dinamică a indicatorilor absoluti, nivelul mediu al seriei este calculat folosind formula medie aritmetică simplă:
unde n este numărul de niveluri ale seriei.
Pentru o serie dinamică de moment, nivelul mediu este determinat după cum urmează.
Nivelul mediu al seriei de momente la intervale egale se calculează folosind formula cronologică medie:
(9.11)
unde n este numărul de date.
Nivelul mediu al unei serii de momente cu intervale inegale este calculat folosind formula medie aritmetică ponderată, în care durata intervalelor de timp dintre momentele de timp ale modificărilor nivelurilor seriei dinamice este luată ca ponderi:
unde t este durata perioadei (zile, luni) în care nivelul nu s-a modificat.
Creștere medie absolută(rata medie de creștere) este definită ca media aritmetică a indicatorilor ratei de creștere pentru perioade individuale de timp:
(9.13)
unde y n este nivelul final al seriei; y 1 - nivelul inițial al rândului.
Rata medie de creștere() se calculează folosind formula mediei geometrice a coeficienților de creștere pentru perioade individuale:
(9.14)
unde K p1, K p2, ..., K p n-1 sunt coeficienți de creștere comparativ cu perioada anterioară; n este numărul de niveluri ale seriei.
Rata medie de creștere poate fi definită diferit:
Rata medie de creștere,%. Aceasta este rata medie de creștere, care este exprimată ca procent:
Rata medie de creștere,%. Pentru a calcula acest indicator, se determină inițial rata medie de creștere, care este apoi redusă cu 100%. Poate fi determinată și prin scăderea ratei medii de creștere cu una:
Valoarea medie absolută de creștere de 1%. poate fi calculat folosind formula
Metode de prelucrare a seriilor temporale
Atunci când se prelucrează o serie temporală, cea mai importantă sarcină este identificarea tendinței principale în dezvoltarea fenomenului (tendință) și netezirea fluctuațiilor aleatorii. Pentru a rezolva această problemă în statistică, există metode speciale numite metode de aliniere.
Există trei moduri principale de procesare a seriilor temporale:
a) mărirea intervalelor serii temporale și calculul mediilor pentru fiecare interval mărit;
b) metoda mediei mobile;
c) alinierea analitică (alinierea folosind formule analitice).
Mărirea intervalelor- cel mai simplu mod. Constă în transformarea seriei de dinamică inițială în perioade de timp mai lungi, ceea ce face posibilă identificarea mai clară a efectului tendinței principale (factorilor principali) de modificare a nivelurilor.
Pentru seriile de intervale, totalurile sunt calculate prin simpla însumare a nivelurilor seriei inițiale. Pentru alte cazuri, se calculează valorile medii ale seriei mărite ( medie variabilă). Variabila medie este calculată folosind formulele medii aritmetice simple.
Media mobilă- aceasta este o medie dinamică care este calculată secvenţial atunci când se deplasează un interval pentru o anumită perioadă de timp. Dacă, să presupunem, durata perioadei este 3, atunci mediile mobile se calculează după cum urmează:
(9.19)
Cu perioade egale ale mediei mobile, puteți centra datele, de ex. determinaţi media mediilor găsite. De exemplu, dacă media mobilă este calculată cu o perioadă de 2, atunci mediile centrate pot fi definite după cum urmează:
(9.20)
Prima centrată calculată este atribuită celei de-a doua perioade, a doua celei de-a treia, a treia a patra etc. În comparație cu cea actuală, seria netezită devine mai scurtă cu (m - 1)/2, unde m este numărul de niveluri de interval.
Cel mai important mod de a exprima cantitativ tendința generală a modificărilor nivelurilor unei serii de timp este alinierea analitică a seriei de dinamică, ceea ce ne permite să obținem o descriere a liniei netede de dezvoltare a seriei. În acest caz, nivelurile empirice sunt înlocuite cu niveluri care sunt calculate pe baza unei curbe specifice, unde ecuația este considerată în funcție de timp. Forma ecuației depinde de natura specifică a dinamicii dezvoltării. Poate fi definit atât teoretic cât și practic. Analiza teoretică se bazează pe indicatori de dinamică calculați. Analiză practică - pe studiul unei diagrame liniare.
Sarcina alinierii analitice este de a determina nu numai tendința generală de dezvoltare a fenomenului, ci și unele valori lipsă atât în cadrul perioadei, cât și dincolo. Metoda de determinare a valorilor necunoscute într-o serie de timp se numește interpolare. Aceste valori necunoscute pot fi determinate:
1) folosind semisuma nivelurilor situate lângă cele interpolate;
2) prin creștere medie absolută;
3) după rata de creștere.
Metoda de determinare a valorilor cantitative în afara seriei se numește extrapolare. Extrapolarea este folosită pentru a prezice acei factori care nu numai că determină dezvoltarea unui fenomen în trecut și prezent, dar pot influența și dezvoltarea acestuia în viitor.
Puteți extrapola folosind media aritmetică, creșterea medie absolută sau rata medie de creștere.
denivelări sezoniere ( fluctuații sezoniere), care se înțelege ca fluctuații intraanuale stabile cauzate de numeroși factori, inclusiv cei naturali și climatici. Variațiile sezoniere sunt măsurate folosind indici de sezonalitate, care sunt calculate în două moduri în funcție de natura dezvoltării dinamice.
Cu un nivel anual relativ constant al fenomenului indicele de sezonalitate poate fi calculată ca procent din valoarea medie de la nivelurile reale ale acelorași luni până la nivelul mediu global pentru perioada în studiu:
(9.23)
În condiţii de variabilitate a nivelului anual, indicele de sezonalitate este definit ca raportul procentual dintre valoarea medie din nivelurile efective ale aceloraşi luni şi valoarea medie de la nivelurile nivelate ale aceloraşi luni.
Pentru generalizarea dinamicii fenomenului studiat se determină indicatori medii: niveluri medii ale seriei și indicatori medii ai modificărilor nivelurilor seriei.
Nivel mediu serie caracterizează valoarea generalizată a nivelurilor absolute. Se calculează în funcție de media cronologică, adică. pe baza mediei calculate din valori care se modifică în timp.
Metodele de calcul al nivelului mediu al serii temporale de interval și moment sunt diferite.
Pentru serii de intervale de dinamică de la niveluri absolute, media pentru o perioadă de timp este determinată de formula mediei aritmetice:
a) se aplică la intervale egale medie aritmeticăsimplu:
Unde la 1 ,…,la n– niveluri absolute ale seriei; n– numărul de niveluri ale seriei.
b) la intervale inegale - medie aritmetică ponderată:
,
Unde la 1 ,…,la n– niveluri ale unei serii de dinamici care rămân neschimbate pe o perioadă de timp, t;t 1 ,…, t n– ponderi, durata intervalelor de timp (zile, luni) dintre datele adiacente.
Nivelul mediu al producției de energie electrică pentru 1989-1994:
Nivelul mediu al unei serii de momente de dinamică cu niveluri egal distanțate este determinat de formula seriei de momente cronologice medii:
,
Unde la 1 ,…,la n– nivelurile perioadei pentru care se face calculul; n– numărul de niveluri; n–1 – durata perioadei de timp.
Un indicator general al ratei de schimbare a nivelurilor în timp - creştere medie absolută(scădere), care este o caracteristică generalizată a creșterilor absolute individuale într-o serie de dinamică. Folosind datele în lanț privind creșterea absolută pe un număr de ani, se poate calcula creșterea medie anuală absolută ca medie aritmetică simplă:
,
Unde n– numărul de incremente absolute ale lanțului 
perioada studiată.
Folosind datele din tabel. 5 privind creșterile absolute în lanț ale producției de energie electrică, miliarde kWh:
(5
– 14 – 60 – 51 – 81) : 5 = ‑201: 5 = ‑40,2
Definim creșterea medie absolută prin creșterea absolută acumulată (de bază). 
. În cazul intervalelor egale, aplicăm următoarea formulă:
,
Unde T -
Pentru exemplul nostru, miliarde kWh:
acestea. s-a obtinut acelasi rezultat.
O caracteristică generală rezumată a intensității modificărilor nivelurilor unei serii de dinamică este rata medie de creștere (scădere), care arată de câte ori se modifică în medie nivelul unei serii de dinamică pe unitatea de timp.
Rata medie de creștere(scădere) - o caracteristică generalizată a ratelor individuale de creștere a unei serii de dinamici. Ca bază și criteriu pentru calculul corect al ratei medii (scăderii), este utilizat un indicator definitoriu - produsul ratelor de creștere în lanț egal cu rata de creștere pentru întreaga perioadă luată în considerare. Prin urmare, dacă valoarea unei caracteristici este formată ca produs al opțiunilor individuale, atunci trebuie utilizată media geometrică. Deoarece rata medie de creștere este rata medie de creștere exprimată ca procent, 
, apoi pentru serii dinamice egale, calculele care utilizează media geometrică sunt reduse la calcularea coeficienților medii de creștere din coeficienții de creștere în lanț (folosind metoda lanțului):
Unde n– numărul de coeficienți de creștere a lanțului; 
- coeficienții de creștere a lanțului; 
- rata de baza de crestere pe toata perioada.
În exemplul nostru, rata medie anuală de modificare a producției de energie electrică din 1990 până în 1994:
În consecință, din 1990 până în 1994. Producția de energie electrică în Rusia a scăzut în medie cu 4% pe an, adică. (0,96 * 100) – 100.
Dacă nivelurile seriei de timp sunt cunoscute, atunci calculul ratei medii de creștere este simplificat. Deoarece produsul coeficienților de creștere a lanțului este egal cu cel de bază, factorul de creștere a bazei este substituit în expresia radicalului. Coeficientul de bază, după cum se știe, se obține direct ca coeficient al nivelului ultimei perioade la P la nivelul perioadei de bază la 0 .
Apoi, formula pentru calcularea coeficientului mediu de creștere pentru serii dinamice egal distanțate (conform „metodei de bază”) este următoarea:
,
Unde T - numărul de niveluri ale unei serii de dinamici în perioada studiată, inclusiv cel de bază.
Pentru a calcula ratele medii de creștere, nu trebuie să cunoașteți rata anuală. Pentru exemplul nostru:
S-a obtinut acelasi rezultat, calculele au fost simplificate.
Rata medie de creștere(tăieri) sunt calculate pe baza ratelor medii de creștere, scăzând 100% din ultimele. În consecință, atunci când se calculează ratele medii de creștere, se scade din valorile ratelor de creștere:
; 
,
Unde 
- rata medie de crestere.
Dacă nivelurile seriei de dinamică scad, atunci rata medie de creștere va fi mai mică de 100%, iar rata medie de creștere va fi negativă. Rata de creștere negativă 
reprezintă rata medie de reducere și caracterizează rata medie relativă de scădere a nivelului.
Când se analizează evoluția fenomenelor reflectate de două serii cronologice, este interesant să se compare intensitățile schimbării în timp ale ambelor fenomene. O astfel de comparare a intensităților schimbării se face atunci când se compară serii cronologice cu același conținut, dar care se referă la diferite teritorii (țări, republici, regiuni etc.), sau la diferite organizații (ministerie, întreprinderi, instituții), sau când se compară serii de conținut diferit, dar care caracterizează același obiect. De exemplu, o comparație a seriilor temporale care caracterizează producția celor mai importante tipuri de produse din Federația Rusă și din alte țări.
Compararea intensității modificărilor nivelurilor serie în timp este posibilă folosind coeficienți de avans(lag), care este raportul dintre ratele de creștere de bază (sau creșterea) a două serii dinamice pentru aceleași perioade de timp:
, 
,
Unde 
-rate de creștere de bază și creșteri ale primului și al doilea rând de dinamică (respectiv).
Coeficienții de avans (decalaj) pot fi calculați pe baza unei comparații a ratelor medii de creștere (sau câștig) a două serii cronologice în aceeași perioadă de timp:
,
Unde 
-rate medii de creștere ale primului și respectiv al doilea rând de dinamică; n– numărul de ani din perioadă.
Coeficientul de avans (întârziere) arată de câte ori crește nivelul unei serii de dinamică (întârzieri) față de alta. În această comparație, ratele ar trebui să caracterizeze tendința într-o direcție.
Statistica populației
Conceptul de statistică a populației, obiectul său subiect de studiu
Populația ca obiect de cercetare
1. Statistica populației - ramură a științei statistice, studiezpopulația și procesele asociate cu dinamica acesteia,Cu latura cantitativă în condiţii specifice dezvoltării socialeȘiîn curs de dezvoltare metode statisticeȘi demonstrație de analizăfenomene şi procese grafice.
Obiect de studiu - populaţia în ansamblu, anumite grupuri ale populaţiei (persoane fizice, handicapate, bărbaţi, femei etc.), familii tinere născute (decedate) într-o anumită perioadă de timp.
Subiect al statisticii populației - populația și tiparele acesteiadezvoltare.
Sarcinile principale ale statisticii populației :
determinarea mărimii populației;
analiza distribuției populației pe teritoriul țării;
caracteristicile compoziției populației;
studiul proceselor de reproducere a populației;
determinarea mărimii şi componenţei viitoare a populaţiei.
Unitate de observatie - individ ca individ, familie, gospodărie, localitate.
În acest caz, sursele de informare sunt: contabilitatea curentă; recensământ unic (microrecensăminte; recensământ eșantion; recensământ complet).
2. Populația - o colecție de oameni care trăiesc în interior defini teritoriul feudal :
părți ale țării;
prin tara;
grupuri de țări;
întregul glob.
Se disting următoarele grupuri: populatie:
O serie cronologică (serie dinamică, serie dinamică) este o serie de indicatori statistici, a căror modificare secvențială reflectă dezvoltarea fenomenelor sociale în timp. Seria de dinamică conține două elemente: un indicator al timpului, la care se referă indicatorii statistici; nivelul seriei y.
Pe baza timpului reflectat în seriile de dinamică, se disting serii cronologice de moment și interval.
Într-o serie de momente de dinamică, indicatorii statistici caracterizează starea unui fenomen la un anumit moment în timp. Pentru o serie de momente de dinamică, este caracteristic ca fiecare ulterioară, prin urmare suma indicatorilor unei astfel de serii nu are sens economic.
O serie de intervale de dinamică constă în indicatori care caracterizează dimensiunea unui fenomen pe o anumită perioadă de timp. Indicatorii unei astfel de serii pot fi rezumați, rezultând o nouă serie de dinamică, fiecare indicator caracterizează dimensiunea fenomenului pe o perioadă mai lungă de timp.
După modul în care sunt exprimate seriile de dinamică, acestea pot fi serii de valori absolute, relative și medii.
Pentru a caracteriza intensitatea modificărilor fenomenelor sociale de-a lungul timpului, se calculează următorii indicatori: creștere absolută, rata de creștere, rata de creștere, valoarea absolută a creșterii de 1%, coeficient de avans.
În funcție de baza de comparație, acestea pot fi de bază (unul, nivelul constant este luat ca bază de comparație) și în lanț (nivelul anterior este luat ca bază de comparație).
Creșterea absolută în y este diferența dintre nivelurile seriei, care este exprimată în unități de măsură ale indicatorilor seriei dinamice:
y basic = yi - yo;
lanțul y = yi - yi-1,
unde уi sunt nivelurile seriei de dinamică;
уо - nivel de bază;
ush-1 - nivelul anterior.
Ratele de creștere Tr - raportul dintre un nivel și altul, luat ca bază de comparație, sunt exprimate ca coeficienți sau procente:
Tr de bază = ;
Tr lanț = .
Rata de creștere Tpr - raportul dintre creșterea absolută și nivelul luat ca bază de comparație, exprimat în coeficienți sau procente:
T pr de bază = ;
T pr lanț =
Valoarea absolută a creșterii de 1% A arată ce valoare absolută este conținută în 1% și este definită ca raportul dintre creșterea absolută a lanțului și rata de creștere a lanțului, exprimată ca procent:
Acestea. valoarea absolută a unei creșteri de 1% poate fi definită și ca 0,01 din nivelul anterior.
Pentru a generaliza dinamica fenomenelor sociale se determină nivelul mediu al unei serii de dinamici, creșterea medie absolută, rata medie de creștere și rata medie de creștere.
Nivelul mediu al unei serii de dinamică se numește cronologic mediu, ceea ce oferă o caracteristică generală a dezvoltării fenomenelor în timp.
În seria dinamică a intervalelor, nivelul mediu y este determinat de formula:
unde n este numărul de niveluri ale seriei;
y - niveluri.
În seria momentului de dinamică:
1) cu intervale egale între momente în timp, nivelul mediu este determinat de formula:
unde n este numărul de niveluri;
2) cu intervale inegale între momente în timp, nivelul mediu este determinat de formula:
unde ti este valoarea intervalelor dintre momente în timp.
Creșterea medie absolută este determinată de valorile individuale ale creșterilor absolute în lanț:
Rata medie de creștere este determinată de formula mediei geometrice:
unde Ti este rata de creștere;
m este numărul ratelor de creștere.
Dacă nivelurile seriei dinamice sunt cunoscute, atunci rata medie de creștere poate fi determinată ca
unde уо, уn sunt nivelul primei și ultimei perioade (moment) de timp din seria dinamică.
Rata medie de creștere se determină pe baza ratei medii de creștere:
Tpr = Tr - 1 (100%).
Una dintre sarcinile rezolvate la analiza dinamicii este stabilirea unui pattern (tendință) de dezvoltare a unui fenomen în timp.
În acest scop se folosesc metodele de mărire a intervalelor, medii mobile și nivelare analitică.
Metoda de mărire a intervalelor este aceea că seria dinamică originală este transformată și înlocuită cu alta, în care indicatorii se referă la perioade mai lungi de timp. Această metodă este utilizată numai pentru serii temporale de interval.
Metoda mediei mobile constă în formarea de intervale lărgite formate din același număr de niveluri. În acest caz, obținem fiecare interval ulterior deplasând treptat de la intervalul inițial al seriei de dinamică cu un interval; folosind intervale lărgite se determină media nivelurilor incluse în fiecare interval Când se utilizează metoda de nivelare analitică pentru a identifica tendinţa de dezvoltare a unui fenomen în timp, nivelurile efective sunt înlocuite cu cele teoretice, calculate pe baza ecuația unei curbe sau a unei linii drepte care reflectă tendința generală.
Dacă seria este aliniată cu ecuația unei linii drepte, atunci tendința generală va fi exprimată prin ecuația:
unde a și b sunt parametrii ecuației;
yt - nivelurile teoretice ale seriei de dinamică;
t - perioade sau momente în timp.
Pentru a calcula yt pentru t cunoscut, este necesar să se determine mai întâi parametrii ecuației. Pentru a face acest lucru, se utilizează metoda celor mai mici pătrate, care oferă un sistem de ecuații liniare:
unde y sunt nivelurile reale ale seriei de dinamică;
n este numărul acestor niveluri.
Acest sistem de ecuații poate fi simplificat dacă numerotăm perioadele de timp t în așa fel încât suma lor să fie egală cu 0 (t = 0). Pentru a face acest lucru, într-o serie de dinamică cu un număr par de niveluri, numerotarea trebuie să înceapă de la mijlocul seriei cu numerele -1, +1; într-o serie de dinamică cu un număr impar de nivele, numerotarea trebuie să înceapă de la mijlocul seriei de la 0, apoi