Inegalitățile sunt relații de forma a › b, unde a și b sunt expresii care conțin cel puțin o variabilă. Inegalitățile pot fi stricte - ‹, › și nestrictive - ≥, ≤.

Inegalitățile trigonometrice sunt expresii de forma: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, în care F(x) este reprezentată de una sau mai multe funcții trigonometrice .

Un exemplu de cea mai simplă inegalitate trigonometrică este: sin x ‹ 1/2. Se obișnuiește să se rezolve astfel de probleme grafic; au fost dezvoltate două metode pentru aceasta.

Metoda 1 - Rezolvarea inegalităților prin reprezentarea grafică a unei funcții

Pentru a găsi un interval care îndeplinește condițiile inegalității sin x ‹ 1/2, trebuie să efectuați următorii pași:

1. Pe axa de coordonate construiți o sinusoidă y = sin x.
2. Pe aceeași axă, desenați un grafic al argumentului numeric al inegalității, adică o dreaptă care trece prin punctul ½ al ordonatei OY.
3. Marcați punctele de intersecție ale celor două grafice.
4. Umbriți segmentul care este soluția pentru exemplu.

Atunci când într-o expresie sunt prezente semne stricte, punctele de intersecție nu sunt soluții. Deoarece cea mai mică perioadă pozitivă a unei sinusoide este 2π, scriem răspunsul după cum urmează:

Dacă semnele expresiei nu sunt stricte, atunci intervalul de soluție trebuie inclus între paranteze drepte - . Răspunsul la problemă poate fi scris și ca următoarea inegalitate:

Metoda 2 - Rezolvarea inegalităților trigonometrice folosind cercul unitar

Probleme similare pot fi rezolvate cu ușurință folosind un cerc trigonometric. Algoritmul pentru găsirea răspunsurilor este foarte simplu:

1. Mai întâi trebuie să desenați un cerc unitar.
2. Apoi trebuie să rețineți valoarea funcției arc a argumentului din partea dreaptă a inegalității pe arcul de cerc.
3. Este necesar să se tragă o linie dreaptă care trece prin valoarea funcției arc paralelă cu axa absciselor (OX).
4. După aceea, tot ce rămâne este să selectați arcul de cerc, care este setul de soluții la inegalitatea trigonometrică.
5. Notează răspunsul în forma cerută.

Să analizăm etapele soluției folosind exemplul inegalității sin x › 1/2. Punctele α și β sunt marcate pe cerc - valori

Punctele arcului situat deasupra α și β sunt intervalul de rezolvare a inegalității date.

Dacă trebuie să rezolvați un exemplu pentru cos, atunci arcul de răspuns va fi situat simetric față de axa OX, nu OY. Puteți lua în considerare diferența dintre intervalele de soluție pentru sin și cos în diagramele de mai jos din text.

Soluțiile grafice pentru inegalitățile tangente și cotangente vor diferi atât de sinus, cât și de cosinus. Acest lucru se datorează proprietăților funcțiilor.

Arctangente și arccotangente sunt tangente la un cerc trigonometric, iar perioada minimă pozitivă pentru ambele funcții este π. Pentru a utiliza rapid și corect a doua metodă, trebuie să vă amintiți pe ce axă sunt reprezentate valorile sin, cos, tg și ctg.

Tangenta tangentă este paralelă cu axa OY. Dacă trasăm valoarea arctanului a pe cercul unitar, atunci al doilea punct necesar va fi situat în sfertul diagonalei. Unghiuri

Sunt puncte de întrerupere pentru funcție, deoarece graficul tinde spre ele, dar nu ajunge niciodată la ele.

În cazul cotangentei, tangenta este paralelă cu axa OX, iar funcția este întreruptă în punctele π și 2π.

Inegalități trigonometrice complexe

Dacă argumentul funcției de inegalitate este reprezentat nu doar de o variabilă, ci de o întreagă expresie care conține o necunoscută, atunci vorbim de o inegalitate complexă. Procesul și procedura de rezolvare sunt oarecum diferite de metodele descrise mai sus. Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la următoarea inegalitate:

Soluția grafică implică construirea unei sinusoide obișnuite y = sin x folosind valori ale lui x alese arbitrar. Să calculăm un tabel cu coordonatele pentru punctele de control ale graficului:

Rezultatul ar trebui să fie o curbă frumoasă.

Pentru a ușura găsirea unei soluții, să înlocuim argumentul funcției complexe

Intersecția a două grafice ne permite să determinăm aria valorilor dorite la care este îndeplinită condiția de inegalitate.

Segmentul găsit este o soluție pentru variabila t:

Cu toate acestea, scopul sarcinii este de a găsi totul opțiuni posibile necunoscut x:

Rezolvarea inegalității duble este destul de simplă; trebuie să mutați π/3 în părțile extreme ale ecuației și să efectuați calculele necesare:

Răspuns la sarcină va arăta ca intervalul pentru inegalitatea strictă:

Astfel de probleme vor necesita experiența și dexteritatea elevilor în manipularea funcțiilor trigonometrice. Cu cât sunt rezolvate mai multe sarcini de instruire în timpul procesului de pregătire, cu atât elevul va găsi mai ușor și mai rapid răspunsul la întrebare. Întrebare pentru examenul de stat unificat Test.

Ministerul Educației al Republicii Belarus

Instituție educațională

„Universitatea de Stat Gomel

numit după Francysk Skaryna"

Facultatea de Matematică

Departamentul de Algebră și Geometrie

Acceptat pentru apărare

Cap Departamentul Shemetkov L.A.

Ecuații trigonometrice și inegalități

Lucrări de curs

Executor testamentar:

elev al grupei M-51

CM. Gorsky

Conducător științific Ph.D.-M.Sc.,

Lector superior

V.G. Safonov

Gomel 2008

INTRODUCERE

METODE DE BAZĂ PENTRU REZOLVAREA ECUATIILOR TRIGONOMETRICE

Factorizarea

Rezolvarea ecuațiilor prin conversia produsului funcțiilor trigonometrice într-o sumă

Rezolvarea ecuațiilor folosind formule cu trei argumente

Înmulțirea cu o funcție trigonometrică

ECUAȚII TRIGONOMETRICE NE-STANDARD

INEGALITATI TRIGONOMETRICE

SELECTAREA RĂDĂCINILOR

SARCINI PENTRU SOLUȚIE INDEPENDENTĂ

CONCLUZIE

LISTA SURSELOR UTILIZATE

În antichitate, trigonometria a apărut în legătură cu nevoile astronomiei, topografiei și construcțiilor, adică era de natură pur geometrică și reprezenta în principal<<исчисление хорд>>. De-a lungul timpului, unele momente analitice au început să se intercaleze în ea. În prima jumătate a secolului al XVIII-lea a avut loc o schimbare bruscă, după care trigonometria a luat o nouă direcție și s-a deplasat către analiză matematică. În acest moment relațiile trigonometrice au început să fie considerate funcții.

Ecuațiile trigonometrice sunt unul dintre cele mai dificile subiecte dintr-un curs de matematică școlar. Ecuațiile trigonometrice apar la rezolvarea problemelor din planimetrie, stereometrie, astronomie, fizică și alte domenii. Ecuațiile și inegalitățile trigonometrice se găsesc între sarcinile de testare centralizate an de an.

Cea mai importantă diferență ecuații trigonometrice din cele algebrice este că în ecuațiile algebrice există un număr finit de rădăcini, iar în cele trigonometrice există un număr infinit, ceea ce complică foarte mult selecția rădăcinilor. O altă trăsătură specifică a ecuațiilor trigonometrice este forma non-unica de scriere a răspunsului.

Această teză este dedicată metodelor de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților trigonometrice.

Teza este formată din 6 secțiuni.

Prima secțiune oferă informații teoretice de bază: definiția și proprietățile funcțiilor trigonometrice și trigonometrice inverse; tabel de valori ale funcțiilor trigonometrice pentru unele argumente; exprimarea funcțiilor trigonometrice în termenii altor funcții trigonometrice, ceea ce este foarte important pentru transformarea expresiilor trigonometrice, în special a celor care conțin funcții trigonometrice inverse; cu excepția celor principale formule trigonometrice, bine cunoscute din cursul școlar, se dau formule pentru simplificarea expresiilor care conțin funcții trigonometrice inverse.

A doua secțiune prezintă metodele de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Sunt luate în considerare soluția ecuațiilor trigonometrice elementare, metoda factorizării și metodele de reducere a ecuațiilor trigonometrice la cele algebrice. Datorită faptului că soluțiile ecuațiilor trigonometrice pot fi scrise în mai multe moduri, iar forma acestor soluții nu permite să se determine imediat dacă aceste soluții sunt identice sau diferite, ceea ce poate<<сбить с толку>> la rezolvarea testelor se are in vedere schema generala de rezolvare a ecuatiilor trigonometrice si se considera in detaliu transformarea grupurilor de solutii generale a ecuatiilor trigonometrice.

A treia secțiune examinează ecuațiile trigonometrice non-standard, ale căror soluții se bazează pe abordarea funcțională.

A patra secțiune discută inegalitățile trigonometrice. Sunt discutate în detaliu metode de rezolvare a inegalităților trigonometrice elementare, atât pe cercul unitar, cât și prin metoda grafică. Este descris procesul de rezolvare a inegalităților trigonometrice neelementare prin inegalități elementare și metoda intervalelor, deja binecunoscută școlarilor.

Secțiunea a cincea prezintă cele mai dificile sarcini: atunci când este necesar nu numai să se rezolve o ecuație trigonometrică, ci și să se selecteze rădăcini din rădăcinile găsite care îndeplinesc o anumită condiție. Această secțiune oferă soluții pentru sarcinile tipice de selecție a rădăcinilor. Informațiile teoretice necesare pentru selectarea rădăcinilor sunt date: împărțirea unei mulțimi de numere întregi în submulțimi disjunse, rezolvarea ecuațiilor în numere întregi (diafantine).

A șasea secțiune prezintă sarcini pentru soluție independentă, prezentate sub forma unui test. Cele 20 de sarcini de testare conțin cele mai dificile sarcini care pot fi întâlnite în timpul testării centralizate.

Ecuații trigonometrice elementare

Ecuațiile trigonometrice elementare sunt ecuații de forma , unde --- una dintre funcțiile trigonometrice: , , , .

Ecuațiile trigonometrice elementare au un număr infinit de rădăcini. De exemplu, următoarele valori satisfac ecuația: , , , etc. Formula generala de-a lungul căruia se găsesc toate rădăcinile ecuației, unde , este:

Aici poate lua orice valori întregi, fiecare dintre ele corespunde unei rădăcini specifice a ecuației; în această formulă (precum şi în alte formule prin care se rezolvă ecuaţii trigonometrice elementare) se numesc parametru. De obicei, ei scriu , subliniind astfel că parametrul poate accepta orice valori întregi.

Soluțiile ecuației , unde , se găsesc prin formula

Ecuația se rezolvă folosind formula

iar ecuația este după formula

Să notăm mai ales câteva cazuri speciale de ecuații trigonometrice elementare, când soluția poate fi scrisă fără a folosi formule generale:

La rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, perioada funcțiilor trigonometrice joacă un rol important. Prin urmare, prezentăm două teoreme utile:

Teorema Dacă --- perioada principală a funcției, atunci numărul este perioada principală a funcției.

Perioadele funcțiilor și se spune că sunt comensurabile dacă există numere întregiŞi ce dacă .

Teorema Dacă funcțiile periodice și , au proporționale și , atunci au o perioadă comună, care este perioada funcțiilor , , .

Teorema afirmă că perioada funcției , , , este și nu este neapărat perioada principală. De exemplu, perioada principală a funcțiilor și --- , și perioada principală a produsului lor --- .

Introducerea unui argument auxiliar

Prin modul standard de transformare a expresiilor formei este următoarea tehnică: lasă --- colț, dat de egalităţi , . Pentru oricare, un astfel de unghi există. Prin urmare . Dacă , sau , , , în alte cazuri.

Schema de rezolvare a ecuatiilor trigonometrice

Schema de bază pe care o vom urma atunci când rezolvăm ecuațiile trigonometrice este următoarea:

soluţie ecuația dată se rezumă la rezolvarea ecuațiilor elementare. Soluții --- conversii, factorizarea, înlocuirea necunoscutelor. Principiul călăuzitor este să nu-ți pierzi rădăcinile. Aceasta înseamnă că atunci când trecem la următoarea(e) ecuație(e), nu ne este frică de apariția unor rădăcini suplimentare (străine), ci ne pasă doar ca fiecare ecuație ulterioară a „lanțului” nostru (sau un set de ecuații în cazul ramificării). ) este o consecință a celei precedente. Unul dintre metode posibile selecția rădăcină este o verificare. Să observăm imediat că, în cazul ecuațiilor trigonometrice, dificultățile asociate cu selectarea rădăcinilor și verificarea, de regulă, cresc brusc în comparație cu ecuațiile algebrice. La urma urmei, trebuie să verificăm serii formate din număr infinit membrii.

Mențiune specială trebuie făcută pentru înlocuirea necunoscutelor la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. În cele mai multe cazuri, după înlocuirea necesară, se dovedește ecuație algebrică. Mai mult decât atât, ecuațiile nu sunt atât de rare încât, deși sunt trigonometrice în aspect, în esență nu sunt, deoarece după primul pas --- înlocuiri variabilele --- se transformă în algebrice, iar revenirea la trigonometrie are loc numai în stadiul rezolvării ecuațiilor trigonometrice elementare.

Permiteți-ne să vă reamintim încă o dată: înlocuirea necunoscutului ar trebui făcută cu prima ocazie; ecuația rezultată după înlocuire trebuie rezolvată până la sfârșit, inclusiv etapa de selectare a rădăcinilor și abia apoi revenită la necunoscutul inițial.

Una dintre caracteristicile ecuațiilor trigonometrice este că răspunsul poate fi scris, în multe cazuri, într-o varietate de moduri. Chiar și pentru a rezolva ecuația raspunsul poate fi scris astfel:

1) sub forma a doua serii: , , ;

2) în formă standard, care este o combinație a seriei de mai sus: , ;

3) pentru că , atunci răspunsul poate fi scris sub formă , . (În cele ce urmează, prezența parametrului , , sau în înregistrarea răspunsului înseamnă automat că acest parametru acceptă toate valorile întregi posibile. Vor fi specificate excepții.)

Evident, cele trei cazuri enumerate nu epuizează toate posibilitățile de scriere a răspunsului la ecuația luată în considerare (există la infinit de multe).

De exemplu, când egalitatea este adevărată . Prin urmare, în primele două cazuri, dacă , putem înlocui cu .

De obicei, răspunsul este scris pe baza punctului 2. Este util să ne amintim următoarea recomandare: dacă munca nu se termină cu rezolvarea ecuației, este încă necesar să se efectueze cercetări și să selecteze rădăcini, atunci cea mai convenabilă formă de înregistrare este indicat la punctul 1. (O recomandare similară ar trebui făcută pentru ecuație.)

Să luăm în considerare un exemplu care ilustrează ceea ce s-a spus.

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Cea mai evidentă cale este următoarea. Această ecuație se descompune în două: și . Rezolvând fiecare dintre ele și combinând răspunsurile obținute, găsim .

Altă cale. Din , atunci, înlocuirea și utilizarea formulelor de reducere a gradului. După mici transformări obținem , de unde .

La prima vedere, a doua formulă nu are avantaje speciale față de prima. Totuși, dacă luăm, de exemplu, atunci se dovedește că, i.e. ecuația are o soluție, în timp ce prima metodă ne conduce la răspuns . „Vezi” și dovedește egalitatea nu asa de usor.

Răspuns. .

Conversia și combinarea grupurilor de soluții generale ale ecuațiilor trigonometrice

Vom lua în considerare o progresie aritmetică care se extinde la infinit în ambele direcții. Membrii acestei progresii pot fi împărțiți în două grupuri de membri, situate la dreapta și la stânga unui anumit membru numit membru central sau zero al progresiei.

Fixând unul dintre termenii unei progresii infinite cu un număr zero, va trebui să efectuăm o numerotare dublă pentru toți termenii rămași: pozitiv pentru termenii aflați în dreapta și negativ pentru termenii aflați în stânga zero.

ÎN caz general, dacă diferența de progresie este termenul zero, formula pentru orice (al-lea) termen al unei progresii aritmetice infinite este:

Transformări de formule pentru orice termen al unei progresii aritmetice infinite

1. Dacă adăugați sau scădeți diferența de progresie la termenul zero, atunci progresia nu se va modifica, ci doar termenul zero se va muta, adică. Numerotarea membrilor se va modifica.

2. Dacă coeficientul la variabilînmulțit cu , atunci aceasta va avea ca rezultat doar o rearanjare a grupurilor de membri din dreapta și din stânga.

3. Dacă termeni succesivi ai unei progresii infinite

de exemplu, , , ..., , faceți termenii centrali ai progresiilor cu aceeași diferență egali cu:

apoi o progresie și o serie de progresii exprimă aceleași numere.

Exemplu Rândul poate fi înlocuit cu următoarele trei rânduri: , , .

4. Dacă progresiile infinite cu aceeași diferență au ca termeni centrali numere care formează o progresie aritmetică cu diferență, atunci aceste serii pot fi înlocuite cu o progresie cu diferență și cu un termen central egal cu oricare dintre termenii centrali ai acestor progresii, adică Dacă

apoi aceste progresii sunt combinate într-una singură:

Exemplu ... ambele sunt combinate într-un singur grup, deoarece .

Pentru a transforma grupurile care au soluții comune în grupuri care nu au soluții comune, aceste grupuri sunt descompuse în grupuri cu o perioadă comună, iar apoi se încearcă unirea grupurilor rezultate, excluzându-le pe cele repetate.

Factorizarea

Metoda de factorizare este următoarea: dacă

apoi fiecare soluție a ecuației

este soluția unui set de ecuații

Afirmația inversă este, în general, falsă: nu orice soluție a populației este o soluție a ecuației. Acest lucru se explică prin faptul că soluțiile ecuațiilor individuale pot să nu fie incluse în domeniul de definire al funcției.

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Folosind identitatea trigonometrică de bază, reprezentăm ecuația sub formă

Răspuns. ; .

Transformarea sumei funcțiilor trigonometrice într-un produs

Exemplu Rezolvați ecuația .

Soluţie. Aplicând formula, obținem ecuația echivalentă

Răspuns. .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie.În acest caz, înainte de a aplica formulele pentru suma funcțiilor trigonometrice, ar trebui să utilizați formula de reducere . Ca rezultat, obținem ecuația echivalentă

Răspuns. , .

Rezolvarea ecuațiilor prin conversia produsului funcțiilor trigonometrice într-o sumă

La rezolvarea unui număr de ecuații se folosesc formule.

Exemplu Rezolvați ecuația

Soluţie.

Răspuns. , .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Aplicând formula, obținem o ecuație echivalentă:

Răspuns. .

Rezolvarea ecuațiilor folosind formule de reducere

Atunci când se rezolvă o gamă largă de ecuații trigonometrice, formulele joacă un rol cheie.

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Aplicând formula, obținem o ecuație echivalentă.

Răspuns. ; .

Rezolvarea ecuațiilor folosind formule cu trei argumente

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Aplicând formula, obținem ecuația

Răspuns. ; .

Exemplu Rezolvați ecuația .

Soluţie. Aplicând formulele de reducere a gradului obținem: . Aplicand obtinem:

Răspuns. ; .

Egalitatea funcțiilor trigonometrice cu același nume

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie.

Răspuns. , .

Exemplu Rezolvați ecuația .

Soluţie. Să transformăm ecuația.

Răspuns. .

Exemplu Se știe că și satisface ecuația

Găsiți suma.

Soluţie. Din ecuație rezultă că

Răspuns. .

Să luăm în considerare sumele formei

Aceste sume pot fi convertite într-un produs prin înmulțirea și împărțirea lor la, apoi obținem

Această tehnică poate fi folosită pentru a rezolva unele ecuații trigonometrice, dar trebuie avut în vedere că, în consecință, pot apărea rădăcini străine. Să rezumam aceste formule:

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Se poate observa că mulțimea este o soluție a ecuației inițiale. Prin urmare, înmulțirea părților stânga și dreaptă ale ecuației cu nu va duce la apariția unor rădăcini suplimentare.

Avem .

Răspuns. ; .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Să înmulțim părțile stânga și dreaptă ale ecuației cu și să aplicăm formulele de conversie a produsului funcțiilor trigonometrice într-o sumă, obținem

Această ecuație este echivalentă cu combinația a două ecuații și , unde și .

Deoarece rădăcinile ecuației nu sunt rădăcinile ecuației, ar trebui să excludem . Aceasta înseamnă că în set este necesar să se excludă .

Răspuns.Și , .

Exemplu Rezolvați ecuația .

Soluţie. Să transformăm expresia:

Ecuația se va scrie astfel:

Răspuns. .

Reducerea ecuațiilor trigonometrice la cele algebrice

Reductibil la pătrat

Dacă ecuația este de forma

apoi înlocuirea o duce la pătrat, din moment ce () Și.

Dacă în locul termenului există , atunci înlocuirea necesară va fi .

Ecuația

se reduce la ecuație pătratică

prezentare ca . Este ușor de verificat acela pentru care , nu sunt rădăcini ale ecuației, iar făcând substituția , ecuația se reduce la una pătratică.

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Să o mutam în partea stângă, să o înlocuim cu , și să o exprimăm prin și .

După simplificări obținem: . Împărțiți termen cu termen și faceți înlocuirea:

Revenind la , găsim .

Ecuații omogene în raport cu ,

Luați în considerare o ecuație de formă

unde , , , ..., , sunt numere reale. În fiecare termen din partea stângă a ecuației, gradele monomiilor sunt egale, adică suma gradelor de sinus și cosinus este aceeași și egală. Această ecuație se numește omogen relativ la și , iar numărul este numit indicator de omogenitate .

Este clar că dacă , atunci ecuația va lua forma:

ale căror soluții sunt valorile la care , adică numerele , . A doua ecuație scrisă între paranteze este și ea omogenă, dar gradele sunt cu 1 mai mici.

Dacă , atunci aceste numere nu sunt rădăcinile ecuației.

Când obținem: , și partea stanga ecuația (1) ia valoarea .

Deci, pentru , și , prin urmare putem împărți ambele părți ale ecuației la . Ca rezultat, obținem ecuația:

care, prin substituție, poate fi ușor redusă la algebric:

Ecuații omogene cu indice de omogenitate 1. Când avem ecuația .

Dacă , atunci această ecuație este echivalentă cu ecuația , , de unde , .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Această ecuație este omogenă de gradul I. Împărțim ambele părți la obținem: , , , .

Răspuns. .

Exemplu Când ajungem ecuație omogenă drăguț

Soluţie.

Dacă , atunci împărțim ambele părți ale ecuației la , obținem ecuația , care poate fi ușor redus la pătrat prin substituție: . Dacă , atunci ecuația are rădăcini reale , . Ecuația inițială va avea două grupe de soluții: , , .

Dacă , atunci ecuația nu are soluții.

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Această ecuație secundă omogenă grade. Împărțim ambele părți ale ecuației la , obținem: . Fie , atunci , , . , , ; . . .

Răspuns. .

Ecuația se reduce la o ecuație de formă

Pentru a face acest lucru, este suficient să folosiți identitatea

În special, ecuația este redusă la omogenă dacă o înlocuim cu , atunci obținem o ecuație echivalentă:

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Să transformăm ecuația într-una omogenă:

Să împărțim ambele părți ale ecuației cu , obținem ecuația:

Fie , atunci ajungem la ecuația pătratică: , , , , .

Răspuns. .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Să pătram ambele părți ale ecuației, având în vedere că au valori pozitive: , ,

Lasă să fie, apoi primim , , .

Răspuns. .

Ecuații rezolvate folosind identități

Este util să cunoașteți următoarele formule:

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Folosind, primim

Răspuns.

Oferim nu formulele în sine, ci o metodă de derivare a acestora:

prin urmare,

La fel, .

Exemplu Rezolvați ecuația .

Soluţie. Să transformăm expresia:

Ecuația se va scrie astfel:

Acceptând, primim. , . Prin urmare

Răspuns. .

Substituție trigonometrică universală

Ecuația trigonometrică a formei

Unde --- rațional o funcție cu ajutorul formulelor - , precum și cu ajutorul formulelor - poate fi redusă la o ecuație rațională în raport cu argumentele , , , , după care ecuația poate fi redusă la o ecuație rațională algebrică în raport cu utilizarea formulele de substituție trigonometrică universală

Trebuie remarcat faptul că utilizarea formulelor poate duce la o îngustare a OD a ecuației inițiale, deoarece nu este definită la puncte, deci în astfel de cazuri este necesar să se verifice dacă unghiurile sunt rădăcinile ecuației originale. .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Conform condiţiilor sarcinii. Aplicând formulele și făcând substituția, obținem

de unde si deci .

Ecuații de formă

Ecuațiile de forma , unde --- un polinom, sunt rezolvate folosind modificări de necunoscute

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Făcând înlocuirea și ținând cont de asta, obținem

Unde , . --- străin rădăcină, pentru că . Rădăcinile ecuației sunt .

Utilizarea limitărilor caracteristicilor

În practica testării centralizate, nu este atât de rar să întâlnim ecuații a căror soluție se bazează pe funcțiile limitate și . De exemplu:

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Deoarece , , atunci partea stângă nu depășește și este egală cu , dacă

Pentru a găsi valori care satisfac ambele ecuații, procedăm după cum urmează. Să rezolvăm una dintre ele, apoi dintre valorile găsite le vom selecta pe cele care o satisfac pe cealaltă.

Să începem cu al doilea: , . Apoi , .

Este clar că numai pentru numere pare vor exista .

Răspuns. .

O altă idee se realizează prin rezolvarea următoarei ecuații:

Exemplu Rezolvați ecuația .

Soluţie. Să folosim proprietatea functie exponentiala: , .

Adăugând aceste inegalități termen cu termen avem:

Prin urmare, partea stângă a acestei ecuații este egală dacă și numai dacă sunt îndeplinite două egalități:

adică poate prelua valorile , , , sau poate prelua valorile , .

Răspuns. , .

Exemplu Rezolvați ecuația .

Soluţie., . Prin urmare, .

Răspuns. .

Exemplu Rezolvați ecuația

Soluţie. Să notăm , apoi din definiția funcției trigonometrice inverse pe care o avem Și .

Deoarece, atunci inegalitatea rezultă din ecuație, i.e. . De când și , atunci și . Totuși, de aceea.

Dacă și, atunci. Întrucât s-a stabilit anterior că , atunci .

Răspuns. , .

Exemplu Rezolvați ecuația

Soluţie. Gama de valori acceptabile ale ecuației este .

Mai întâi arătăm că funcția

Pentru oricare, poate lua doar valori pozitive.

Să ne imaginăm funcția astfel: .

Din moment ce , atunci are loc, i.e. .

Prin urmare, pentru a demonstra inegalitatea, este necesar să se arate că . În acest scop, să cubăm ambele părți ale acestei inegalități

Inegalitatea numerică rezultată indică faptul că . Dacă luăm în considerare și faptul că , atunci partea stângă a ecuației este nenegativă.

Să ne uităm acum la partea dreaptă a ecuației.

Deoarece , Acea

Cu toate acestea, se știe că . Rezultă că, i.e. partea dreaptă a ecuaţiei nu depăşeşte . S-a dovedit anterior că partea stângă a ecuației este nenegativă, astfel încât egalitatea în poate avea loc numai dacă ambele părți sunt egale, iar acest lucru este posibil numai dacă .

Răspuns. .

Exemplu Rezolvați ecuația

Soluţie. Să notăm și . Aplicând inegalitatea Cauci-Bunyakovsky, obținem . Rezultă că . Pe de altă parte, există . Prin urmare, ecuația nu are rădăcini.

Răspuns. .

Exemplu Rezolvați ecuația:

Soluţie. Să rescriem ecuația ca:

Răspuns. .

Metode funcționale de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice și combinate

Nu orice ecuație ca rezultat al transformărilor poate fi redusă la o ecuație de una sau alta formă standard, pentru care există o metodă specifică de soluție. În astfel de cazuri, se dovedește a fi util să folosiți astfel de proprietăți ale funcțiilor și ca monotonitate, mărginire, paritate, periodicitate etc. Deci, dacă una dintre funcții scade și a doua crește pe interval, atunci dacă ecuația are o rădăcină pe acest interval, această rădăcină este unică și apoi, de exemplu, poate fi găsită prin selecție. Dacă funcția este mărginită deasupra și , iar funcția este mărginită mai jos și , atunci ecuația este echivalentă cu sistemul de ecuații

Exemplu Rezolvați ecuația

Soluţie. Să transformăm ecuația inițială în formă

și rezolvați-l ca un pătratic relativ la . Atunci primim,

Să rezolvăm prima ecuație a populației. Ținând cont de natura limitată a funcției, ajungem la concluzia că ecuația poate avea doar rădăcină pe segment. Pe acest interval funcția crește, iar funcția scade. Prin urmare, dacă această ecuație are o rădăcină, atunci este unică. Găsim prin selecție.

Răspuns. .

Exemplu Rezolvați ecuația

Soluţie. Lasă și , atunci ecuația originală poate fi scrisă ca o ecuație funcțională. Deoarece funcția este impară, atunci . În acest caz, obținem ecuația.

Deoarece , și este monotonă pe , ecuația este echivalentă cu ecuația, i.e. , care are o singură rădăcină.

Răspuns. .

Exemplu Rezolvați ecuația .

Soluţie. Pe baza teoremei derivate functie complexa este clar că funcţia descrescătoare (funcție descrescătoare, crescândă, descrescătoare). Din aceasta este clar că funcția definite pe , descrescătoare. Prin urmare, această ecuație are cel mult o rădăcină. Deoarece , Acea

Răspuns. .

Exemplu Rezolvați ecuația.

Soluţie. Să considerăm ecuația pe trei intervale.

a) Fie . Apoi, pe această mulțime, ecuația inițială este echivalentă cu ecuația. Care nu are solutii pe interval, pentru ca , , A . Pe interval, ecuația originală, de asemenea, nu are rădăcini, deoarece , A .

b) Fie . Apoi, pe această mulțime, ecuația inițială este echivalentă cu ecuația

ale căror rădăcini din interval sunt numerele , , , .

c) Fie . Apoi, pe această mulțime, ecuația inițială este echivalentă cu ecuația

Care nu are soluții asupra intervalului, deoarece , și . Pe interval, ecuația nu are nicio soluție, deoarece , , A .

Răspuns. , , , .

Metoda simetriei

Metoda simetriei este convenabilă de utilizat atunci când formularea sarcinii necesită soluția unică a unei ecuații, inegalități, sistem etc. sau o indicație exactă a numărului de soluții. În acest caz, orice simetrie a expresiilor date ar trebui detectată.

De asemenea, este necesar să se țină cont de varietatea diferitelor tipuri posibile de simetrie.

La fel de importantă este respectarea strictă a etapelor logice în raționamentul cu simetrie.

De obicei, simetria ne permite să stabilim doar condițiile necesare și apoi trebuie să verificăm suficiența acestora.

Exemplu Găsiți toate valorile parametrului pentru care ecuația are o soluție unică.

Soluţie. Rețineți că și sunt funcții pare, deci partea stângă a ecuației este o funcție pară.

Astfel, dacă --- solutie ecuații, adică și soluția ecuației. Dacă --- singurul lucru soluția ecuației, atunci necesar , .

Vom selecta posibil valori, necesitând ca aceasta să fie rădăcina ecuației.

Să observăm imediat că alte valori nu pot satisface condițiile problemei.

Dar nu se știe încă dacă toți cei selectați îndeplinesc într-adevăr condițiile problemei.

Adecvarea.

1), ecuația va lua forma .

2), ecuația va lua forma:

Este evident că, pentru toată lumea și . Prin urmare, ultima ecuație este echivalentă cu sistemul:

Astfel, am demonstrat că pentru , ecuația are o soluție unică.

Răspuns. .

Soluție cu explorare a funcției

Exemplu Demonstrați că toate soluțiile ecuației

Numere întregi.

Soluţie. Perioada principală a ecuației originale este . Prin urmare, examinăm mai întâi această ecuație pe interval.

Să transformăm ecuația în forma:

Folosind un microcalculator obținem:

Dacă , atunci din egalitățile anterioare obținem:

După ce am rezolvat ecuația rezultată, obținem: .

Calculele efectuate fac posibilă presupunerea că rădăcinile ecuației aparținând segmentului sunt , și .

Testarea directă confirmă această ipoteză. Astfel, s-a dovedit că rădăcinile ecuației sunt doar numere întregi , .

Exemplu Rezolvați ecuația .

Soluţie. Să găsim perioada principală a ecuației. Funcția are o perioadă de bază egală cu . Perioada principală a funcției este . Cel mai mic multiplu comun al lui și este egal cu . Prin urmare, perioada principală a ecuației este . Lăsa .

Evident, este o soluție a ecuației. Pe interval. Funcția este negativă. Prin urmare, alte rădăcini ale ecuației ar trebui căutate numai pe intervalele x și .

Folosind un microcalculator, găsim mai întâi valorile aproximative ale rădăcinilor ecuației. Pentru a face acest lucru, alcătuim un tabel cu valorile funcției pe intervalele si ; adică pe intervalele şi .

0	0	202,5	0,85355342
3	-0,00080306	207	0,6893642
6	-0,00119426	210	0,57635189
9	-0,00261932	213	0,4614465
12	-0,00448897	216	0,34549155
15	-0,00667995	219	0,22934931
18	-0,00903692	222	0,1138931
21	-0,01137519	225	0,00000002
24	-0,01312438	228	-0,11145712
27	-0,01512438	231	-0,21961736
30	-0,01604446	234	-0,32363903
33	-0,01597149	237	-0,42270819
36	-0,01462203	240	-0,5160445
39	-0,01170562	243	-0,60290965
42	-0,00692866	246	-0,65261345
45	0,00000002	249	-0,75452006
48	0,00936458	252	-0,81805397
51	0,02143757	255	-0,87270535
54	0,03647455	258	-0,91803444
57	0,0547098	261	-0,95367586
60	0,07635185	264	-0,97934187
63	0,10157893	267	-0,99482505
66	0,1305352	270	-1
67,5	0,14644661

Din tabel sunt ușor de deslușit următoarele ipoteze: rădăcinile ecuației aparținând segmentului sunt numerele: ; ; . Testarea directă confirmă această ipoteză.

Răspuns. ; ; .

Rezolvarea inegalităților trigonometrice folosind cercul unitar

La rezolvarea inegalităților trigonometrice de forma , unde este una dintre funcțiile trigonometrice, este convenabil să folosiți un cerc trigonometric pentru a reprezenta cât mai clar soluțiile inegalității și a scrie răspunsul. Principala metodă de rezolvare a inegalităților trigonometrice este reducerea acestora la cele mai simple inegalități de tip. Să ne uităm la un exemplu despre cum să rezolvăm astfel de inegalități.

Exemplu Rezolvați inegalitatea.

Soluţie. Să desenăm un cerc trigonometric și să marchem pe el punctele pentru care ordonata depășește .

Soluția la această inegalitate va fi . De asemenea, este clar că dacă un anumit număr diferă de orice număr din intervalul specificat prin , atunci va fi, de asemenea, nu mai mic de . Prin urmare, trebuie doar să adăugați la capetele segmentului de soluție găsită. În cele din urmă, constatăm că soluțiile la inegalitatea inițială vor fi toate .

Răspuns. .

Pentru a rezolva inegalitățile cu tangentă și cotangentă, este util conceptul unei linii de tangente și cotangente. Acestea sunt liniile drepte și, respectiv (în figura (1) și (2)), tangente la cercul trigonometric.

Este ușor de observat că dacă construim o rază cu originea la originea coordonatelor, făcând un unghi cu direcția pozitivă a axei absciselor, atunci lungimea segmentului de la punctul până la punctul de intersecție al acestei raze cu linia tangentă este exact egală cu tangenta unghiului pe care această rază îl face cu axa absciselor. O observație similară are loc pentru cotangentă.

Exemplu Rezolvați inegalitatea.

Soluţie. Să notăm , atunci inegalitatea va lua cea mai simplă formă: . Să considerăm un interval de lungime egal cu cea mai mică perioadă pozitivă (LPP) a tangentei. Pe acest segment, folosind dreapta tangentelor, stabilim ca . Să ne amintim acum ce trebuie adăugat deoarece funcțiile NPP. Asa de, . Revenind la variabilă, obținem că.

Răspuns. .

Este convenabil să se rezolve inegalitățile cu funcții trigonometrice inverse folosind grafice ale funcțiilor trigonometrice inverse. Să arătăm cum se face acest lucru cu un exemplu.

Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice

Rețineți că dacă --- periodic funcția, atunci pentru a rezolva inegalitatea este necesar să găsim soluția acesteia pe un segment a cărui lungime este egală cu perioada funcției. Toate soluțiile la inegalitatea inițială vor consta din valorile găsite, precum și din toate cele care diferă de cele găsite prin orice număr întreg de perioade ale funcției.

Să luăm în considerare soluția inegalității ().

Din moment ce , atunci inegalitatea nu are soluții. Dacă , atunci mulțimea soluțiilor inegalității --- o multime de toate numerele reale.

Lăsa . Funcția sinus are cea mai mică perioadă pozitivă, astfel încât inegalitatea poate fi rezolvată mai întâi pe un segment de lungime, de exemplu, pe segment. Construim grafice ale funcțiilor și (). sunt date de inegalități de forma: și, de unde,

În această lucrare au fost luate în considerare metode de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, atât simple, cât și la nivel olimpic. Au fost considerate principalele metode de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților trigonometrice și, în plus, ca specifice --- caracteristic numai pentru ecuații și inegalități trigonometrice și metode funcționale generale pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților aplicate ecuațiilor trigonometrice.

Teza oferă informații teoretice de bază: definiția și proprietățile funcțiilor trigonometrice și trigonometrice inverse; exprimarea funcțiilor trigonometrice în termenii altor funcții trigonometrice, ceea ce este foarte important pentru transformarea expresiilor trigonometrice, în special a celor care conțin funcții trigonometrice inverse; Pe lângă formulele trigonometrice de bază, binecunoscute din cursul școlar, sunt date formule care simplifică expresiile care conțin funcții trigonometrice inverse. Sunt luate în considerare soluția ecuațiilor trigonometrice elementare, metoda factorizării și metodele de reducere a ecuațiilor trigonometrice la cele algebrice. Datorită faptului că soluțiile ecuațiilor trigonometrice pot fi scrise în mai multe moduri, iar forma acestor soluții nu permite să se determine imediat dacă aceste soluții sunt identice sau diferite, se ia în considerare o schemă generală de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice și transformarea a grupurilor de soluții generale ale ecuațiilor trigonometrice este considerată în detaliu. Sunt discutate în detaliu metode de rezolvare a inegalităților trigonometrice elementare, atât pe cercul unitar, cât și prin metoda grafică. Este descris procesul de rezolvare a inegalităților trigonometrice neelementare prin inegalități elementare și metoda intervalelor, deja binecunoscută școlarilor. Sunt oferite soluții la sarcinile tipice pentru selectarea rădăcinilor. Informațiile teoretice necesare pentru selectarea rădăcinilor sunt date: împărțirea unei mulțimi de numere întregi în submulțimi disjunse, rezolvarea ecuațiilor în numere întregi (diafantine).

Rezultatele acestei teze pot fi folosite ca material educațional în pregătirea lucrărilor de curs și teze, la alcătuirea opțiunilor pentru școlari, lucrarea poate fi folosită și în pregătirea elevilor pentru examenele de admitere și testarea centralizată.

Vygodsky Ya.Ya., Manual de matematică elementară. /Vygodsky Ya.Ya. --- M.: Nauka, 1970.

Igudisman O., Matematica la examenul oral / Igudisman O. --- M.: Iris Press, Rolf, 2001.

Azarov A.I., ecuații/Azarov A.I., Gladun O.M., Fedosenko V.S. --- Mn.: Trivium, 1994.

Litvinenko V.N., Atelier de matematică elementară / Litvinenko V.N. --- M.: Educație, 1991.

Sharygin I.F., Curs opțional de matematică: rezolvarea de probleme / Sharygin I.F., Golubev V.I. --- M.: Educație, 1991.

Bardushkin V., Ecuații trigonometrice. Selectarea rădăcinii/B. Bardushkin, A. Prokofiev.// Matematică, nr. 12, 2005 p. 23--27.

Vasilevsky A.B., Teme de lucru extracurricular la matematică/Vasilevsky A.B. --- Mn.: Asveta Poporului. 1988. --- 176 p.

Sapunov P. I., Transformarea și unirea grupelor de soluții generale ale ecuațiilor trigonometrice / Sapunov P. I. // Educația matematică, numărul 3, 1935.

Borodin P., Trigonometrie. Materiale ale examenelor de admitere la Universitatea de Stat din Moscova [text]/P. Borodin, V. Galkin, V. Panferov, I. Sergeev, V. Tarasov // Matematică nr. 1, 2005 p. 36--48.

Samusenko A.V., Matematică: Greșeli comune solicitanți: Manual de referință/Samusenko A.V., Kazachenok V.V. --- Mn.: Liceu, 1991.

Azarov A.I., Metode funcționale și grafice pentru rezolvarea problemelor de examinare / Azarov A.I., Barvenov S.A., --- Mn.: Aversev, 2004.

METODE DE REZOLVARE A INEGALĂȚILOR TRIGONOMETRICE

Relevanţă. Din punct de vedere istoric, ecuațiilor și inegalităților trigonometrice li s-a acordat un loc special în programa școlară. Putem spune că trigonometria este una dintre cele mai importante secțiuni ale cursului școlar și ale întregii științe matematice în general.

Ecuațiile și inegalitățile trigonometrice ocupă unul dintre locurile centrale în cursul de matematică din gimnaziu, atât în ​​ceea ce privește conținutul materialului educațional, cât și metodele de activitate educațională și cognitivă care pot și trebuie formate în cursul studiului lor și aplicate la soluționare. un numar mare probleme de natură teoretică şi aplicativă.

Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților trigonometrice creează premisele pentru sistematizarea cunoștințelor elevilor legate de tot material educativîn trigonometrie (de exemplu, proprietăți ale funcțiilor trigonometrice, metode de transformare a expresiilor trigonometrice etc.) și face posibilă stabilirea de legături eficiente cu materialul studiat în algebră (ecuații, echivalență de ecuații, inegalități, transformări identice ale expresiilor algebrice etc. .).

Cu alte cuvinte, luarea în considerare a tehnicilor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice și a inegalităților implică un fel de transfer al acestor abilități către conținut nou.

Semnificația teoriei și numeroasele ei aplicații sunt o dovadă a relevanței temei alese. Aceasta, la rândul său, vă permite să determinați scopurile, obiectivele și subiectul cercetării lucrării cursului.

Scopul studiului: generalizează tipurile disponibile de inegalități trigonometrice, metode de bază și speciale de rezolvare a acestora, selectează un set de probleme pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice de către școlari.

Obiectivele cercetării:

1. Pe baza unei analize a literaturii disponibile pe tema de cercetare, sistematizați materialul.

2. Furnizați un set de sarcini necesare pentru a consolida subiectul „Inegalități trigonometrice”.

Obiect de studiu sunt inegalităţi trigonometrice la cursul de matematică şcolară.

Subiect de studiu: tipuri de inegalități trigonometrice și metode de rezolvare a acestora.

Semnificație teoretică este de a sistematiza materialul.

Semnificație practică: aplicarea cunoștințelor teoretice în rezolvarea problemelor; analiza principalelor metode comune de rezolvare a inegalităţilor trigonometrice.

Metode de cercetare : analiza literaturii științifice, sinteza și generalizarea cunoștințelor dobândite, analiza rezolvării problemelor, căutarea metodelor optime de rezolvare a inegalităților.

§1. Tipuri de inegalități trigonometrice și metode de bază de rezolvare a acestora

1.1. Cele mai simple inegalități trigonometrice

Două expresii trigonometrice legate prin semn sau > se numesc inegalități trigonometrice.

Rezolvarea unei inegalități trigonometrice înseamnă găsirea mulțimii de valori ale necunoscutelor incluse în inegalitatea pentru care inegalitatea este satisfăcută.

Partea principală a inegalităților trigonometrice este rezolvată prin reducerea lor la cea mai simplă soluție:

Aceasta poate fi o metodă de factorizare, schimbare a variabilei (
,
etc.), unde se rezolvă mai întâi inegalitatea obișnuită și apoi o inegalitate de formă
etc., sau alte metode.

Cele mai simple inegalități pot fi rezolvate în două moduri: folosind cercul unitar sau grafic.

Lăsaf(x  – una dintre funcțiile trigonometrice de bază. Pentru a rezolva inegalitatea
este suficient să-și găsești soluția pe o singură perioadă, adică. pe orice segment a cărui lungime este egală cu perioada funcțieif  X  . Apoi se va găsi soluția la inegalitatea inițialăX , precum și acele valori care diferă de cele găsite de orice număr întreg de perioade ale funcției. În acest caz, este convenabil să folosiți metoda grafică.

Să dăm un exemplu de algoritm pentru rezolvarea inegalităților
(
) Și
.

Algoritm pentru rezolvarea inegalității
(
).

1. Formulați definiția sinusului unui numărX pe cercul unitar.

3. Pe axa ordonatelor, marcați punctul cu coordonateleA .

4. Desenați o linie paralelă cu axa OX prin acest punct și marcați punctele sale de intersecție cu cerc.

5. Selectați un arc de cerc, toate punctele căruia au o ordonată mai mică decâtA .

6. Indicați direcția rundei (în sens invers acelor de ceasornic) și notați răspunsul adunând perioada funcției la capetele intervalului2πn ,
.

Algoritm pentru rezolvarea inegalității
.

1. Formulați definiția tangentei unui numărX pe cercul unitar.

2. Desenați un cerc unitar.

3. Desenați o linie de tangente și marcați un punct cu o ordonată pe eaA .

4. Conectați acest punct cu originea și marcați punctul de intersecție al segmentului rezultat cu cercul unitar.

5. Selectați un arc de cerc, ale cărui toate punctele au o ordonată pe linia tangentă mai mică decâtA .

6. Indicați direcția parcurgerii și scrieți răspunsul ținând cont de domeniul de definire al funcției, adăugând un punctπn ,
(numărul din stânga în intrare este întotdeauna număr mai mic, stând în dreapta).

Interpretarea grafică a soluțiilor la ecuații simple și a formulelor de rezolvare a inegalităților în vedere generala sunt indicate în anexă (Anexele 1 și 2).

Exemplul 1. Rezolvați inegalitatea
.

Desenați o linie dreaptă pe cercul unității
, care intersectează cercul în punctele A și B.

Toate semnificațiiley pe intervalul NM este mai mare , toate punctele arcului AMB satisfac această inegalitate. La toate unghiurile de rotație, mare , dar mai mic ,
va prelua valori mai mari (dar nu mai mult de unul).

Fig.1

Astfel, soluția inegalității vor fi toate valorile din interval
, adică
. Pentru a obține toate soluțiile acestei inegalități, este suficient să adăugați la capetele acestui interval
, Unde
, adică
,
. Rețineți că valorile
Și
sunt rădăcinile ecuației
,

acestea.
;
.

Răspuns:
,
.

1.2. Metoda grafica

În practică, metoda grafică de rezolvare a inegalităților trigonometrice se dovedește adesea a fi utilă. Să luăm în considerare esența metodei folosind exemplul inegalității
:

1. Dacă argumentul este complex (diferit deX ), apoi înlocuiți-l cut .

2. Construim într-un singur plan de coordonatejucărie grafice de funcții
Și
.

3. Găsim astfeldouă puncte de intersecție adiacente ale graficelor, între careundă sinusoidalăsituatsuperior Drept
. Găsim abscisele acestor puncte.

4. Scrieți o inegalitate dublă pentru argumentt , ținând cont de perioada cosinus (t va fi între abscisele găsite).

5. Faceți o substituție inversă (reveniți la argumentul inițial) și exprimați valoareaX din dubla inegalitate scriem raspunsul sub forma unui interval numeric.

Exemplul 2. Rezolvați inegalitatea: .

La rezolvarea inegalităților folosind metoda grafică, este necesar să se construiască grafice ale funcțiilor cât mai precis posibil. Să transformăm inegalitatea în forma:

Să construim grafice ale funcțiilor într-un sistem de coordonate
Și
(Fig. 2).

Fig.2

Graficele funcțiilor se intersectează în punctA cu coordonate
;
. Intre
puncte grafice
sub punctele graficului
. Și atunci când
valorile funcției sunt aceleași. De aceea
la
.

Răspuns:
.

1.3. Metoda algebrică

Destul de des, inegalitatea trigonometrică inițială poate fi redusă la o inegalitate algebrică (rațională sau irațională) printr-o substituție bine aleasă. Aceasta metoda implică transformarea unei inegalități, introducerea unei substituții sau înlocuirea unei variabile.

Să ne uităm la exemple concrete aplicarea acestei metode.

Exemplul 3. Reducere la forma cea mai simplă
.

(Fig. 3)

Fig.3

,
.

Răspuns:
,

Exemplul 4. Rezolvați inegalitatea:

ODZ:
,
.

Folosind formule:
,

Să scriem inegalitatea sub forma:
.

Sau, crezând
după simple transformări obținem

,

,

.

Rezolvând ultima inegalitate folosind metoda intervalului, obținem:

Fig.4

, respectiv
. Apoi din Fig. 4 urmează
, Unde
.

Fig.5

Răspuns:
,
.

1.4. Metoda intervalului

Schema generală de rezolvare a inegalităților trigonometrice folosind metoda intervalului:

Factorizați folosind formule trigonometrice.

Găsiți punctele de discontinuitate și zerourile funcției și plasați-le pe cerc.

Luați orice punctLA (dar nu a fost găsit mai devreme) și află semnul produsului. Dacă produsul este pozitiv, atunci plasați un punct în afara cercului unitar pe raza corespunzătoare unghiului. În caz contrar, plasați punctul în interiorul cercului.

Dacă punctul se întâlnește număr par de ori, să-l numim un punct de multiplicitate par; dacă este un număr impar de ori, îl vom numi un punct de multiplicitate impar. Desenați arce după cum urmează: începeți dintr-un punctLA , dacă următorul punct este de multiplicitate impară, atunci arcul intersectează cercul în acest punct, dar dacă punctul este de multiplicitate pară, atunci nu se intersectează.

Arcurile din spatele cercului sunt intervale pozitive; în interiorul cercului există spații negative.

Exemplul 5. Rezolvați inegalitatea

,
.

Puncte din prima serie:
.

Puncte din a doua serie:
.

Fiecare punct apare de un număr impar de ori, adică toate punctele sunt de multiplicitate impară.

Să aflăm semnul produsului la
: . Să marchem toate punctele de pe cercul unitar (Fig. 6):

Orez. 6

Răspuns:
,
;
,
;
,
.

Exemplul 6 . Rezolvați inegalitatea.

Soluţie:

Să găsim zerourile expresiei .

A primiaem :

,
;

,
;

,
;

,
;

Pe valorile seriei cercului unitarX 1 reprezentate prin puncte
. SerieX 2 dă puncte
. O serieX 3 obținem două puncte
. În sfârșit, serialulX 4 va reprezenta puncte
. Să reprezentăm toate aceste puncte pe cercul unitar, indicând multiplicitatea acestuia în paranteze lângă fiecare dintre ele.

Lasă acum numărul va fi egal. Să facem o estimare pe baza semnului:

Deci, punctA trebuie selectat pe raza care formează unghiul cu grindăOh, în afara cercului unitar. (Rețineți că fasciculul auxiliarDESPRE A Nu este deloc necesar să o înfățișați într-o imagine. PunctA este ales aproximativ.)

Acum din punct de vedereA trageți o linie continuă ondulată succesiv la toate punctele marcate. Și la puncte
linia noastră merge dintr-o zonă în alta: dacă era în afara cercului unității, atunci merge în interiorul acestuia. Apropiindu-se de punct , linia revine în regiunea interioară, deoarece multiplicitatea acestui punct este pară. În mod similar la punct (cu multiplicitate egală) linia trebuie îndreptată către regiunea exterioară. Deci, am desenat o anumită imagine prezentată în Fig. 7. Ajută la evidențierea zonelor dorite de pe cercul unității. Sunt marcate cu semnul „+”.

Fig.7

Răspuns final:

Notă. Dacă o linie ondulată, după ce a ocolit toate punctele marcate pe cercul unității, nu poate fi returnată la punctA , fără a traversa cercul într-un loc „ilegal”, aceasta înseamnă că a fost făcută o eroare în soluție, și anume, un număr impar de rădăcini a fost ratat.

Răspuns: .

§2. Un set de probleme pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice

În procesul de dezvoltare a capacității școlarilor de a rezolva inegalitățile trigonometrice, se pot distinge și 3 etape.

1. pregătitoare,

2. dezvoltarea capacităţii de rezolvare a inegalităţilor trigonometrice simple;

3. introducerea inegalităţilor trigonometrice de alte tipuri.

Scopul etapei pregătitoare este acela că este necesar să se dezvolte la școlari capacitatea de a folosi un cerc sau un grafic trigonometric pentru a rezolva inegalitățile, și anume:

Capacitatea de a rezolva inegalități simple ale formei
,
,
,
, utilizarea proprietăților funcțiilor sinus și cosinus;

Capacitatea de a construi inegalități duble pentru arce de cerc numeric sau pentru arce de grafice ale funcțiilor;

Capacitatea de a efectua diverse transformări ale expresiilor trigonometrice.

Se recomandă implementarea acestei etape în procesul de sistematizare a cunoștințelor școlarilor despre proprietățile funcțiilor trigonometrice. Principalele mijloace pot fi sarcinile oferite elevilor și efectuate fie sub îndrumarea unui profesor, fie independent, precum și abilitățile dezvoltate în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

Iată exemple de astfel de sarcini:

1 . Marcați un punct pe cercul unității , Dacă

.

2. În ce sfert din planul de coordonate este situat punctul? , Dacă este egal cu:

3. Marcați punctele pe cercul trigonometric , Dacă:

4. Convertiți expresia în funcții trigonometriceeusferturi.

A)
, b)
, V)

5. Arc MR este dat.M - mijloceu- al treilea trimestru,R - mijlocIItrimestrul. Limitați valoarea unei variabilet pentru: (faceți o inegalitate dublă) a) arc MR; b) arcele RM.

6. Notați inegalitatea dublă pentru secțiunile selectate ale graficului:

Orez. 1

7. Rezolvați inegalitățile
,
,
,
.

8. Conversia expresiei .

La a doua etapă a învăţării rezolvării inegalităţilor trigonometrice, putem oferi următoarele recomandări legate de metodologia de organizare a activităţilor elevilor. În acest caz, este necesar să ne concentrăm pe abilitățile existente ale elevilor în lucrul cu un cerc sau grafic trigonometric, format în timpul rezolvării celor mai simple ecuații trigonometrice.

În primul rând, motivați fezabilitatea obținerii admitere generală soluțiile la cele mai simple inegalități trigonometrice pot fi obținute prin trecerea, de exemplu, la o inegalitate de formă
. Folosind cunoștințele și abilitățile dobândite la etapa pregătitoare, elevii vor reduce inegalitatea propusă la forma
, dar poate fi dificil să găsească un set de soluții la inegalitatea rezultată, deoarece Este imposibil să o rezolvi doar folosind proprietățile funcției sinus. Această dificultate poate fi evitată apelând la ilustrația corespunzătoare (rezolvarea grafică a ecuației sau folosind un cerc unitar).

În al doilea rând, profesorul ar trebui să atragă atenția elevilor asupra diferite căi finalizați sarcina, oferiți un exemplu adecvat de rezolvare a inegalității atât grafic, cât și folosind un cerc trigonometric.

Să luăm în considerare următoarele soluții ale inegalității
.

1. Rezolvarea inegalității folosind cercul unitar.

În prima lecție despre rezolvarea inegalităților trigonometrice, vom oferi studenților un algoritm de soluție detaliat, care într-o prezentare pas cu pas reflectă toate abilitățile de bază necesare rezolvării inegalității.

Pasul 1.Să desenăm un cerc unitar și să marchem un punct pe axa ordonatelor și trageți o linie dreaptă prin ea paralelă cu axa x. Această linie va intersecta cercul unitar în două puncte. Fiecare dintre aceste puncte reprezintă numere al căror sinus este egal cu .

Pasul 2.Această linie dreaptă a împărțit cercul în două arce. Să-l selectăm pe cel care prezintă numere care au un sinus mai mare decât . Desigur, acest arc este situat deasupra liniei drepte trasate.

Orez. 2

Pasul 3.Selectați unul dintre capetele arcului marcat. Să notăm unul dintre numerele care este reprezentat de acest punct al cercului unitar .

Pasul 4.Pentru a selecta numărul corespunzător celui de-al doilea capăt al arcului selectat, „mergem” de-a lungul acestui arc de la capătul numit la celălalt. În același timp, amintiți-vă că atunci când vă deplasați în sens invers acelor de ceasornic, numerele prin care vom trece cresc (când ne deplasăm în sens opus, numerele ar scădea). Să notăm numărul care este reprezentat pe cercul unității de al doilea capăt al arcului marcat .

Astfel, vedem acea inegalitate
satisface numerele pentru care inegalitatea este adevărată
. Am rezolvat inegalitatea pentru numerele situate pe aceeași perioadă a funcției sinus. Prin urmare, toate soluțiile inegalității pot fi scrise sub forma

Elevii ar trebui să fie rugați să examineze cu atenție desenul și să descopere de ce toate soluțiile la inegalitate
poate fi scris sub forma
,
.

Orez. 3

Este necesar să atragem atenția elevilor asupra faptului că atunci când rezolvăm inegalități pentru funcția cosinus, trasăm o dreaptă paralelă cu axa ordonatelor.

Metoda grafică soluții la inegalități.

Construim grafice
Și
, dat fiind
.

Orez. 4

Apoi scriem ecuația
si decizia lui
,
,
, găsit folosind formule
,
,
.

(Dăruindn valorile 0, 1, 2, găsim cele trei rădăcini ale ecuației compilate). Valori
sunt trei abscise consecutive ale punctelor de intersecție ale graficelor
Și
. Evident, mereu la interval
inegalitatea este valabilă
, iar pe interval
– inegalitatea
. Ne interesează primul caz, iar apoi adăugând la capetele acestui interval un număr care este un multiplu al perioadei sinusului, obținem o soluție a inegalității
la fel de:
,
.

Orez. 5

Rezuma. Pentru a rezolva inegalitatea
, trebuie să creați ecuația corespunzătoare și să o rezolvați. Găsiți rădăcinile din formula rezultată Și , și scrieți răspunsul la inegalitate sub forma: ,
.

În al treilea rând, faptul despre mulțimea de rădăcini a inegalității trigonometrice corespunzătoare este confirmat foarte clar atunci când o rezolvăm grafic.

Orez. 6

Este necesar să le demonstrăm elevilor că turnul, care este soluția inegalității, se repetă în același interval, egal cu perioada funcției trigonometrice. De asemenea, puteți lua în considerare o ilustrație similară pentru graficul funcției sinus.

În al patrulea rând, este recomandabil să se efectueze lucrări de actualizare a tehnicilor elevilor pentru conversia sumei (diferențelor) funcțiilor trigonometrice într-un produs și să se atragă atenția elevilor asupra rolului acestor tehnici în rezolvarea inegalităților trigonometrice.

O astfel de muncă poate fi organizată prin îndeplinirea independentă de către elevi a sarcinilor propuse de profesor, dintre care evidențiem următoarele:

În al cincilea rând, elevilor trebuie să li se ceară să ilustreze soluția fiecărei inegalități trigonometrice simple folosind un grafic sau un cerc trigonometric. Cu siguranță ar trebui să acordați atenție oportunității sale, în special utilizării cercului, deoarece atunci când rezolvați inegalitățile trigonometrice, ilustrația corespunzătoare servește ca un mijloc foarte convenabil de înregistrare a setului de soluții la o anumită inegalitate.

Se recomandă introducerea elevilor în metode de rezolvare a inegalităților trigonometrice care nu sunt cele mai simple după următoarea schemă: trecerea la o anumită inegalitate trigonometrică trecerea la ecuația trigonometrică corespunzătoare căutarea comună (profesor - elevi) a unei soluții; transfer independent de metoda găsită la alte inegalități de același tip.

Pentru a sistematiza cunoștințele elevilor despre trigonometrie, recomandăm selectarea specială a unor astfel de inegalități, a căror rezolvare necesită diverse transformări care pot fi implementate în procesul de rezolvare a acesteia, și focalizarea atenției elevilor asupra trăsăturilor lor.

Ca atare inegalități productive putem propune, de exemplu, următoarele:

În concluzie, dăm un exemplu de set de probleme pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice.

1. Rezolvați inegalitățile:

2. Rezolvați inegalitățile: 3. Găsiți toate soluțiile la inegalități: 4. Găsiți toate soluțiile la inegalități:

A)
, îndeplinind condiția
;

b)
, îndeplinind condiția
.

5. Găsiți toate soluțiile la inegalități:

A) ;

b) ;

V)
;

G)
;

d)
.

6. Rezolvați inegalitățile:

A) ;

b) ;

V) ;

G)
;

d) ;

e) ;

și)
.

7. Rezolvați inegalitățile:

A)
;

b) ;

V) ;

G).

8. Rezolvați inegalitățile:

A) ;

b) ;

V) ;

G)
;

d)
;

e) ;

și)
;

h) .

Este recomandabil să se ofere sarcinile 6 și 7 studenților care studiază matematica la un nivel avansat, sarcina 8 studenților din clasele cu studii avansate de matematică.

§3. Metode speciale de rezolvare a inegalităților trigonometrice

Metode speciale pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice - adică acele metode care pot fi folosite doar pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Aceste metode se bazează pe utilizarea proprietăților funcțiilor trigonometrice, precum și pe utilizarea diferitelor formule și identități trigonometrice.

3.1. Metoda sectorială

Să luăm în considerare metoda sectorială pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice. Rezolvarea inegalităților de formă

, UndeP ( X ) ȘiQ ( X ) – funcții trigonometrice raționale (sinusurile, cosinusurile, tangentele și cotangentele sunt incluse în ele rațional), similare rezolvării inegalităților raționale. Este convenabil să se rezolve inegalitățile raționale folosind metoda intervalelor pe dreapta numerică. Analogul său pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice raționale este metoda sectoarelor din cercul trigonometric, pt.sinx Șicosx (
) sau semicerc trigonometric pentrutgx Șictgx (
).

În metoda intervalului, fiecare factor liniar al numărătorului și numitorului formei
pe axa numerelor corespunde unui punct , iar la trecerea prin acest punct
schimba semnul. În metoda sectorului, fiecare factor al formei
, Unde
- una dintre funcțiisinx saucosx Și
, într-un cerc trigonometric îi corespund două unghiuri Și
, care împart cercul în două sectoare. La trecere prin Și funcţie
schimba semnul.

Trebuie reținute următoarele:

a) Factorii formei
Și
, Unde
, păstrați semnul pentru toate valorile . Astfel de factori ai numărătorului și numitorului sunt eliminați prin schimbare (dacă
) cu fiecare astfel de respingere, semnul inegalității este inversat.

b) Factorii formei
Și
sunt de asemenea aruncate. Mai mult, dacă aceștia sunt factori ai numitorului, atunci inegalitățile de formă sunt adăugate sistemului echivalent de inegalități
Și
. Dacă aceștia sunt factori ai numărătorului, atunci în sistemul echivalent de restricții corespund inegalităților
Și
în cazul unei inegalități inițiale stricte și egalitate
Și
în cazul unei inegalităţi iniţiale nestricte. La aruncarea multiplicatorului
sau
semnul inegalității este inversat.

Exemplul 1. Rezolvați inegalitățile: a)
, b)
. avem funcția b) . Rezolvați inegalitatea pe care o avem,

3.2. Metoda cercului concentric

Această metodă este un analog al metodei axelor numerice paralele pentru rezolvarea sistemelor de inegalități raționale.

Să luăm în considerare un exemplu de sistem de inegalități.

Exemplul 5. Rezolvați un sistem de inegalități trigonometrice simple

În primul rând, rezolvăm fiecare inegalitate separat (Figura 5). În colțul din dreapta sus al figurii vom indica pentru ce argument se ia în considerare cercul trigonometric.

Fig.5

Apoi, construim un sistem de cercuri concentrice pentru argumentX . Desenăm un cerc și îl umbrim conform soluției primei inegalități, apoi desenăm un cerc de rază mai mare și îl umbrim conform soluției celei de-a doua, apoi construim un cerc pentru a treia inegalitate și un cerc de bază. Desenăm raze din centrul sistemului prin capetele arcelor, astfel încât acestea să intersecteze toate cercurile. Formăm o soluție pe cercul de bază (Figura 6).

Fig.6

Răspuns:
,
.

Concluzie

Toate obiectivele cercetării cursului au fost îndeplinite. Materialul teoretic este sistematizat: sunt date principalele tipuri de inegalități trigonometrice și principalele metode de rezolvare a acestora (grafică, algebrică, metoda intervalelor, sectoarelor și metoda cercurilor concentrice). Pentru fiecare metodă a fost dat un exemplu de rezolvare a unei inegalități. Partea teoretică a fost urmată de partea practică. Conține un set de sarcini pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice.

Acest curs poate fi folosit de studenți pentru muncă independentă. Elevii pot verifica nivelul de stăpânire a acestui subiect și pot exersa îndeplinirea sarcinilor de complexitate diferită.

După ce am studiat literatura relevantă despre această problemăÎn mod evident, putem concluziona că abilitatea și abilitățile de a rezolva inegalitățile trigonometrice în cursul școlar de algebră și începuturile de analiză sunt foarte importante, a căror dezvoltare necesită un efort semnificativ din partea profesorului de matematică.

De aceea acest lucru va fi util pentru profesorii de matematică, deoarece face posibilă organizarea eficientă a pregătirii elevilor pe tema „Inegalități trigonometrice”.

Cercetarea poate fi continuată prin extinderea acesteia la o lucrare finală de calificare.

Lista literaturii folosite

Bogomolov, N.V. Culegere de probleme de matematică [Text] / N.V. Bogomolov. – M.: Butarda, 2009. – 206 p.

Vygodsky, M.Ya. Manual de matematică elementară [Text] / M.Ya. Vygodski. – M.: Butarda, 2006. – 509 p.

Zhurbenko, L.N. Matematică în exemple și probleme [Text] / L.N. Zhurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 p.

Ivanov, O.A. Matematică elementară pentru școlari, elevi și profesori [Text] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 p.

Karp, A.P. Teme de algebră și începuturi de analiză pentru organizarea repetiției finale și certificarea în clasa a 11-a [Text] / A.P. Crap. – M.: Educație, 2005. – 79 p.

Kulanin, E.D. 3000 de probleme de concurs la matematică [Text] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 p.

Leibson, K.L. Culegere de sarcini practice la matematică [Text] / K.L. Leibson. – M.: Butarda, 2010. – 182 p.

Cot, V.V. Probleme cu parametrii și soluțiile acestora. Trigonometrie: ecuații, inegalități, sisteme. clasa a X-a [Text] / V.V. Cot. – M.: ARKTI, 2008. – 64 p.

Manova, A.N. Matematică. Tutor expres pentru pregătirea pentru examenul de stat unificat: student. manual [Text] / A.N. Manova. – Rostov-pe-Don: Phoenix, 2012. – 541 p.

Mordkovich, A.G. Algebra și începutul analizei matematice. 10-11 clase. Manual pentru elevii instituțiilor de învățământ general [Text] / A.G. Mordkovici. – M.: Iris-press, 2009. – 201 p.

Novikov, A.I. Funcții trigonometrice, ecuații și inegalități [Text] / A.I. Novikov. – M.: FIZMATLIT, 2010. – 260 p.

Oganesyan, V.A. Metode de predare a matematicii în liceu: Tehnica generala. Manual manual pentru studenții la fizică - mat. fals. ped. Inst. [Text] / V.A. Oganesyan. – M.: Educație, 2006. – 368 p.

Olehnik, S.N. Ecuații și inegalități. Metode de rezolvare nestandard [Text] / S.N. Olehnik. – M.: Editura Factorial, 1997. – 219 p.

Sevriukov, P.F. Trigonometric, exponențial și ecuații logaritmiceși inegalități [Text] / P.F. Sevriukov. – M.: Educație publică, 2008. – 352 p.

Sergheev, I.N. Examen de stat unificat: 1000 de probleme cu răspunsuri și soluții la matematică. Toate sarcinile grupului C [Text] / I.N. Sergheev. – M.: Examen, 2012. – 301 p.

Sobolev, A.B. Matematică elementară [Text] / A.B. Sobolev. – Ekaterinburg: Instituția de Învățământ de Stat de Învățământ Profesional Superior USTU-UPI, 2005. – 81 p.

Fenko, L.M. Metoda intervalelor în rezolvarea inegalităților și studierea funcțiilor [Text] / L.M. Fenko. – M.: Butarda, 2005. – 124 p.

Friedman, L.M. Baza teoretica metode de predare a matematicii [Text] / L.M. Friedman. – M.: Casa de carte „LIBROKOM”, 2009. – 248 p.

Anexa 1

Interpretarea grafică a soluțiilor la inegalități simple

Orez. 1

Orez. 2

Fig.3

Fig.4

Fig.5

Fig.6

Fig.7

Fig.8

Anexa 2

Soluții la inegalități simple

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple

În primul rând, să ne amintim formulele pentru rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice.

1. $sinx=a$

1. $cosx=a$

1. $tgx=a$

1. $ctgx=a$

Rezolvarea inegalităților trigonometrice simple.

Pentru a rezolva cele mai simple inegalități trigonometrice, trebuie mai întâi să rezolvăm ecuația corespunzătoare și apoi, folosind un cerc trigonometric, să găsim o soluție a inegalității. Să luăm în considerare soluțiile celor mai simple inegalități trigonometrice folosind exemple.

Exemplul 1

$sinx\ge \frac(1)(2)$

Să găsim soluția inegalității trigonometrice $sinx=\frac(1)(2)$

\ \

Figura 1. Rezolvarea inegalitatii $sinx\ge \frac(1)(2)$.

Deoarece inegalitatea are semnul „mai mare sau egal cu”, soluția se află pe arcul superior al cercului (în raport cu soluția ecuației).

Răspuns: $\left[\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(5\pi )(6)+2\pi n\right]$.

Exemplul 2

Să găsim soluția inegalității trigonometrice $cosx=\frac(\sqrt(3))(2)$

\ \

Să marchem soluția pe cercul trigonometric

Deoarece inegalitatea are semnul „mai puțin decât”, soluția se află pe arcul de cerc situat la stânga (față de soluția ecuației).

Răspuns: $\left(\frac(\pi )(6)+2\pi n,\frac(11\pi )(6)+2\pi n\right)$.

Exemplul 3

$tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$

Să găsim soluția inegalității trigonometrice $tgx=\frac(\sqrt(3))(3)$

\ \

Aici avem nevoie și de un domeniu de definiție. După cum ne amintim, funcția tangentă $x\ne \frac(\pi )(2)+\pi n,n\in Z$

Să marchem soluția pe cercul trigonometric

Figura 3. Rezolvarea inegalității $tgx\le \frac(\sqrt(3))(3)$.

Deoarece inegalitatea are un semn „mai mic sau egal”, soluția se află pe arcele de cerc marcate cu albastru în Figura 3.

Răspuns:$\ \left(-\frac(\pi )(2)+2\pi n\right.,\left.\frac(\pi )(6)+2\pi n\right]\cup \left (\frac(\pi )(2)+2\pi n,\dreapta.\left.\frac(7\pi )(6)+2\pi n\right]$

Exemplul 4

Să găsim soluția inegalității trigonometrice $ctgx=\sqrt(3)$

\ \

Aici avem nevoie și de un domeniu de definiție. După cum ne amintim, funcția tangentă $x\ne \pi n,n\in Z$

Să marchem soluția pe cercul trigonometric

Figura 4. Rezolvarea inegalității $ctgx\le \sqrt(3)$.

Deoarece inegalitatea are un semn „mai mare decât”, soluția se află pe arcele de cerc marcate cu albastru în Figura 4.

Răspuns:$\ \left(2\pi n,\frac(\pi )(6)+2\pi n\right)\cup \left(\pi +2\pi n,\frac(7\pi )( 6)+2\pi n\dreapta)$