numere întregi– numerele naturale sunt numere care sunt folosite pentru a număra obiecte. Mulțimea tuturor numerelor naturale este uneori numită seria naturală: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 etc. .

Pentru a scrie numere naturale se folosesc zece cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Folosindu-le, puteți scrie orice număr natural. Această notație a numerelor se numește zecimală.

Seria naturală de numere poate fi continuată la nesfârșit. Nu există un astfel de număr care să fie ultimul, deoarece poți oricând să adaugi unul la ultimul număr și vei obține un număr care este deja mai mare decât cel pe care îl cauți. În acest caz, ei spun că nu există cel mai mare număr în seria naturală.

Locurile numerelor naturale

Când scrieți orice număr folosind cifre, locul în care apare cifra în număr este critic. De exemplu, cifra 3 înseamnă: 3 unități, dacă apare pe ultimul loc în număr; 3 zeci, dacă ea se află pe penultimul loc în număr; 4 sute dacă ea este pe locul trei de la final.

Ultima cifră înseamnă locul unităților, penultima cifră înseamnă locul zecilor, iar 3 de la sfârșit înseamnă locul sutelor.

Numere cu o singură și mai multe cifre

Dacă orice cifră a unui număr conține cifra 0, aceasta înseamnă că nu există unități în această cifră.

Numărul 0 este folosit pentru a desemna numărul zero. Zero este „nu unul”.

Zero nu este un număr natural. Deși unii matematicieni gândesc diferit.

Dacă un număr este format dintr-o cifră se numește o singură cifră, dacă este format din două se numește două cifre, dacă este format din trei se numește trei cifre etc.

Numerele care nu sunt formate dintr-o singură cifră sunt numite și mai multe cifre.

Clase de cifre pentru citirea numerelor naturale mari

Pentru a citi numere naturale mari, numărul este împărțit în grupuri de trei cifre, începând de la marginea dreaptă. Aceste grupuri se numesc clase.

Primele trei cifre de pe marginea dreaptă alcătuiesc clasa de unități, următoarele trei sunt clasa de mii, iar următoarele trei sunt clasa de milioane.

Milion – o mie de mii, abrevierea milion este folosită pentru înregistrare 1 milion = 1.000.000.

Un miliard = o mie de milioane. Pentru înregistrare, utilizați abrevierea billion 1 miliard = 1.000.000.000.

Exemplu de scriere și citire

Acest număr are 15 unități în clasa miliardelor, 389 unități în clasa milioanelor, zero unități în clasa a miilor și 286 unități în clasa unităților.

Acest număr arată astfel: 15 miliarde 389 milioane 286.

Citiți numerele de la stânga la dreapta. Apelați pe rând numărul de unități din fiecare clasă și apoi adăugați numele clasei.

Ce sunt numerele naturale și nenaturale? Cum să explic unui copil, sau poate nu unui copil, care sunt diferențele dintre ei? Să ne dăm seama. Din câte știm, numerele nenaturale și naturale sunt studiate în clasa a V-a, iar scopul nostru este să explicăm elevilor pentru ca aceștia să înțeleagă și să învețe cu adevărat ce și cum.

Poveste

Numerele naturale sunt unul dintre vechile concepte. Cu mult timp în urmă, când oamenii nu știau încă să numere și nu aveau idee despre numere, când aveau nevoie să numere ceva, de exemplu, pești, animale, băteau diverse subiecte puncte sau liniuțe, după cum au aflat mai târziu arheologii. Viața le era foarte grea la acea vreme, dar civilizația s-a dezvoltat mai întâi la sistemul numeric roman și apoi la sistemul numeric zecimal. În zilele noastre, aproape toată lumea folosește cifre arabe

Totul despre numere naturale

Numerele naturale sunt numere prime pe care le folosim în viața de zi cu zi pentru a număra obiecte pentru a determina cantitatea și ordinea. În prezent, pentru a scrie numerele folosim sistem zecimal Socoteala. Pentru a scrie orice număr, folosim zece cifre - de la zero la nouă.

Numerele naturale sunt acele numere pe care le folosim atunci când numărăm obiecte sau indicăm numărul de serie al ceva. Exemplu: 5, 368, 99, 3684.

O serie de numere se referă la numere naturale care sunt aranjate în ordine crescătoare, adică. de la unu la infinit. Această serie începe cu cel mai mic număr- 1 și nu există cel mai mare număr natural, deoarece seria de numere este pur și simplu infinită.

În general, zero - numar natural nu se numără, deoarece înseamnă absența a ceva și nu există nici o numărare a obiectelor

Sistemul de numere arabe este un sistem modern pe care îl folosim în fiecare zi. Este o variantă de indian (zecimal).

Acest sistem numeric a devenit modern datorită numărului 0, care a fost inventat de arabi. Înainte de aceasta, nu era disponibil în sistemul indian.

Numere nenaturale. Ce este asta?

Numerele naturale nu includ numere negative sau non-întregi. Aceasta înseamnă că sunt - numere nenaturale

Mai jos sunt exemple.

Numerele nenaturale sunt:

• Numerele negative, de exemplu: -1, -5, -36.. și așa mai departe.
• Numere rationale, care se exprimă în fracții zecimale: 4,5, -67, 44,6.
• Sub forma unei fracții simple: 1 / 2, 40 2 /7 etc.

Numere iraționale, cum ar fi e = 2,71828, √2 = 1,41421 și altele asemenea.

Sperăm că v-am ajutat foarte mult să înțelegeți numerele nenaturale și naturale. Acum îți va fi mai ușor să-i explici copilului tău Acest subiect, și o va stăpâni la fel de bine ca marii matematicieni!

Matematica a apărut din filosofia generală în jurul secolului al VI-lea î.Hr. e., iar din acel moment a început marșul ei victorios în jurul lumii. Fiecare etapă de dezvoltare a introdus ceva nou - numărătoarea elementară a evoluat, s-a transformat în calcul diferențial și integral, au trecut secolele, formulele au devenit din ce în ce mai confuze și a venit momentul în care „a început cea mai complexă matematică - toate numerele au dispărut din ea”. Dar care a fost baza?

Începutul timpului

Numerele naturale au apărut împreună cu primele operatii matematice. O coloană, doi țepi, trei țepi... Au apărut datorită oamenilor de știință indieni care au dezvoltat primul

Cuvântul „poziționalitate” înseamnă că locația fiecărei cifre dintr-un număr este strict definită și corespunde rangului său. De exemplu, numerele 784 și 487 sunt aceleași numere, dar numerele nu sunt echivalente, deoarece primul include 7 sute, în timp ce al doilea doar 4. Inovația indiană a fost preluată de arabi, care au adus numerele la forma pe care le știm acum.

În antichitate, numerelor li s-a dat un sens mistic; Pitagora credea că numărul stă la baza creării lumii împreună cu elementele de bază - foc, apă, pământ, aer. Dacă luăm în considerare totul doar din partea matematică, atunci ce este un număr natural? Câmpul numerelor naturale se notează cu N și este o serie infinită de numere care sunt întregi și pozitive: 1, 2, 3, … + ∞. Zero este exclus. Folosit în principal pentru a număra articolele și a indica ordinea.

Ce este la matematică? Axiomele lui Peano

Câmpul N este cel de bază pe care se bazează matematica elementară. De-a lungul timpului, câmpurile de numere întregi, raționale,

Lucrarea matematicianului italian Giuseppe Peano a făcut posibilă structurarea ulterioară a aritmeticii, a atins formalitatea acesteia și a pregătit calea pentru concluzii ulterioare care au depășit domeniul de câmp N.

Ce este un număr natural a fost clarificat mai devreme într-un limbaj simplu, mai jos vom lua în considerare o definiție matematică bazată pe axiomele lui Peano.

• Unul este considerat un număr natural.
• Numărul care urmează unui număr natural este un număr natural.
• Nu există un număr natural înainte de unu.
• Dacă numărul b urmează atât numărul c cât și numărul d, atunci c=d.
• O axiomă de inducție, care arată la rândul său ce este un număr natural: dacă o afirmație care depinde de un parametru este adevărată pentru numărul 1, atunci presupunem că funcționează și pentru numărul n din câmpul numerelor naturale N. Atunci afirmația este valabilă și pentru n =1 din câmpul numerelor naturale N.

Operații de bază pentru domeniul numerelor naturale

Întrucât câmpul N a fost primul pentru calcule matematice, îi aparțin atât domeniile de definiție, cât și intervalele de valori ale unui număr de operații de mai jos. Sunt inchise si nu. Principala diferență este că operațiile închise sunt garantate pentru a lăsa rezultatul în mulțimea N, indiferent de ce numere sunt implicate. Este suficient ca sunt naturale. Rezultatul altor interacțiuni numerice nu mai este atât de clar și depinde direct de ce fel de numere sunt implicate în expresie, deoarece poate contrazice definiția principală. Deci, operațiuni închise:

• adăugare - x + y = z, unde x, y, z sunt incluse în câmpul N;
• înmulțire - x * y = z, unde x, y, z sunt incluse în câmpul N;
• exponentiație - x y, unde x, y sunt incluse în câmpul N.

Operațiunile rămase, al căror rezultat poate să nu existe în contextul definiției „ce este un număr natural”, sunt următoarele:

Proprietățile numerelor aparținând câmpului N

Toate raționamentele matematice ulterioare se vor baza pe următoarele proprietăți, cele mai banale, dar nu mai puțin importante.

• Proprietatea comutativă a adunării este x + y = y + x, unde numerele x, y sunt incluse în câmpul N. Sau binecunoscutul „suma nu se schimbă prin schimbarea locurilor termenilor”.
• Proprietatea comutativă a înmulțirii este x * y = y * x, unde numerele x, y sunt incluse în câmpul N.
• Proprietatea combinațională a adunării este (x + y) + z = x + (y + z), unde x, y, z sunt incluse în câmpul N.
• Proprietatea de potrivire a înmulțirii este (x * y) * z = x * (y * z), unde numerele x, y, z sunt incluse în câmpul N.
• proprietate distributivă - x (y + z) = x * y + x * z, unde numerele x, y, z sunt incluse în câmpul N.

Masa lui Pitagora

Unul dintre primii pași în cunoașterea de către elevi a întregii structuri a matematicii elementare după ce au înțeles singuri care numere se numesc numere naturale este tabelul lui Pitagora. Poate fi considerat nu numai din punct de vedere al științei, ci și ca un monument științific cel mai valoros.

Această masă de înmulțire a suferit o serie de modificări de-a lungul timpului: zero a fost eliminat din ea, iar numerele de la 1 la 10 se reprezintă, fără a ține cont de ordine (sute, mii...). Este un tabel în care titlurile rândurilor și coloanelor sunt numere, iar conținutul celulelor în care se intersectează este egal cu produsul lor.

În practica didactică ultimele decenii a fost nevoie să memorăm tabelul lui Pitagora „în ordine”, adică memorarea a fost pe primul loc. Înmulțirea cu 1 a fost exclusă deoarece rezultatul a fost un multiplicator de 1 sau mai mare. Între timp, în tabelul cu ochiul liber puteți observa un model: produsul numerelor crește cu un pas, care este egal cu titlul liniei. Astfel, al doilea factor ne arată de câte ori trebuie să-l luăm pe primul pentru a obține produsul dorit. Acest sistem este mult mai convenabil decât cel care se practica în Evul Mediu: chiar și înțelegând ce este un număr natural și cât de banal este, oamenii au reușit să-și complice numărarea de zi cu zi folosind un sistem care se baza pe puterile a doi.

Subset ca leagăn al matematicii

Pe acest moment câmpul numerelor naturale N este considerat doar ca una dintre submulţimi numere complexe, dar acest lucru nu le face mai puțin valoroase în știință. Numărul natural este primul lucru pe care îl învață un copil când se studiază pe sine și lumea. Un deget, două degete... Datorită lui, o persoană se dezvoltă gandire logica, precum și capacitatea de a determina cauza și de a deduce efectul, deschizând calea unor mari descoperiri.

De unde începe învățarea matematicii? Da, așa e, din studierea numerelor naturale și a operațiilor cu ele.numere întregi (dinlat. naturalis- naturala; numere naturale) -numere care apar în mod natural la numărare (de exemplu, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...). Secvența tuturor numerelor naturale dispuse în ordine crescătoare se numește serie naturală.

Există două abordări pentru definirea numerelor naturale:

1. numărare (numerotare) articole ( primul, al doilea, al treilea, Al patrulea, a cincea"…);
2. numerele naturale sunt numere care apar atunci când desemnarea cantității articole ( 0 articole, 1 articol, 2 articole, 3 articole, 4 articole, 5 articole ).

În primul caz, seria numerelor naturale începe cu unu, în al doilea - cu zero. Nu există un consens în rândul majorității matematicienilor dacă prima sau a doua abordare este de preferat (adică dacă zero ar trebui considerat un număr natural sau nu). Majoritatea covârșitoare a surselor rusești adoptă în mod tradițional prima abordare. A doua abordare, de exemplu, este folosită în lucrăriNicolas Bourbaki , unde numerele naturale sunt definite caputere multimi finite .

Negativ și întreg (raţional , real ,...) numerele nu sunt considerate numere naturale.

Mulțimea tuturor numerelor naturale de obicei notat cu simbolul N (dinlat. naturalis- naturale). Mulțimea numerelor naturale este infinită, deoarece pentru orice număr natural n există un număr natural mai mare decât n.

Prezența lui zero facilitează formularea și demonstrarea multor teoreme în aritmetica numerelor naturale, așa că prima abordare introduce concept util arie naturală extinsă , inclusiv zero. Seria extinsă este desemnată N 0 sau Z 0 .

LAoperațiuni închise (operațiile care nu derivă un rezultat din mulțimea numerelor naturale) asupra numerelor naturale includ următoarele operații aritmetice:

• plus: termen + termen = suma;
• multiplicare: factor × factor = produs;
• exponentiare: A b , unde a este baza gradului, b este exponentul. Dacă a și b sunt numere naturale, atunci rezultatul va fi un număr natural.

În plus, sunt luate în considerare încă două operații (din punct de vedere formal, nu sunt operații pe numere naturale, deoarece nu sunt definite pentru toateperechi de numere (uneori există, alteori nu)):

• scădere: minuend - subtrahend = diferență. În acest caz, minuendul trebuie să fie mai mare decât subtraend (sau egal cu acesta, dacă considerăm că zero este un număr natural)
• împărțire cu rest: dividend / divizor = (cot, rest). Coeficientul p și restul r din împărțirea a la b se definesc astfel: a=p*r+b, cu 0<=r

De remarcat că operațiile de adunare și înmulțire sunt fundamentale. În special,