Fie doi vectori nenuli și să fie dați pe un plan sau într-un spațiu tridimensional. Să amânăm dintr-un punct arbitrar O vectori și . Atunci următoarea definiție este valabilă.

Definiție.

Unghiul dintre vectori iar unghiul dintre raze se numește O.A.Și O.B..

Unghiul dintre vectori și va fi notat ca .

Unghiul dintre vectori poate lua valori de la 0 la sau, care este același lucru, de la la.

Când vectorii sunt ambii co-direcționați, atunci când vectorii sunt de asemenea direcționați opus.

Definiție.

Se numesc vectori perpendicular, dacă unghiul dintre ele este egal cu (radiani).

Dacă cel puțin unul dintre vectori este zero, atunci unghiul nu este definit.

Găsirea unghiului dintre vectori, exemple și soluții.

Cosinusul unghiului dintre vectorii și , și, prin urmare, unghiul însuși, în caz general poate fi găsit fie folosind produsul scalar al vectorilor, fie folosind teorema cosinusului pentru un triunghi construit din vectorii și .

Să ne uităm la aceste cazuri.

A-prioriu produs scalar există vectori. Dacă vectorii și sunt diferite de zero, atunci putem împărți ambele părți ale ultimei egalități la produsul lungimilor vectorilor și , și obținem formula pentru aflarea cosinusului unghiului dintre vectorii nenuli: . Această formulă poate fi utilizată dacă sunt cunoscute lungimile vectorilor și produsul lor scalar.

Exemplu.

Calculați cosinusul unghiului dintre vectorii și și găsiți, de asemenea, unghiul însuși dacă lungimile vectorilor și sunt egale 3 Și 6 respectiv, iar produsul lor scalar este egal cu -9 .

Soluţie.

Enunțul problemei conține toate cantitățile necesare pentru aplicarea formulei. Se calculează cosinusul unghiului dintre vectori și: .

Acum găsim unghiul dintre vectori: .

Răspuns:

Există probleme în care vectorii sunt specificați prin coordonate într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan sau în spațiu. În aceste cazuri, pentru a găsi cosinusul unghiului dintre vectori, puteți folosi aceeași formulă, dar sub formă de coordonate. Sa o luam.

Lungimea unui vector este rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale, produsul scalar al vectorilor este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare. Prin urmare, formula pentru calcularea cosinusului unghiului dintre vectori pe plan are forma , iar pentru vectorii din spațiul tridimensional - .

Exemplu.

Aflați unghiul dintre vectorii dați într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

Soluţie.

Puteți utiliza imediat formula:

Sau puteți folosi formula pentru a găsi cosinusul unghiului dintre vectori, după ce au calculat în prealabil lungimile vectorilor și produsul scalar peste coordonate:

Răspuns:

Problema se reduce la cazul anterior când sunt date coordonatele a trei puncte (de exemplu A, ÎNȘi CU) într-un sistem de coordonate dreptunghiular și trebuie să găsiți un unghi (de exemplu, ).

Într-adevăr, unghiul este egal cu unghiul dintre vectori și . Coordonatele acestor vectori sunt calculate ca diferența dintre coordonatele corespunzătoare ale punctelor de capăt și de început ale vectorului.

Exemplu.

Pe un plan, coordonatele a trei puncte sunt date în sistemul de coordonate carteziene. Aflați cosinusul unghiului dintre vectorii și .

Soluţie.

Să determinăm coordonatele vectorilor și coordonatele punctelor date:

Acum să folosim formula pentru a găsi cosinusul unghiului dintre vectori pe un plan în coordonate:

Răspuns:

Unghiul dintre vectori și poate fi calculat și prin teorema cosinusului. Dacă amânăm de la punct O vectori și , apoi prin teorema cosinusului într-un triunghi OAV putem scrie, ceea ce este echivalent cu egalitatea, din care găsim cosinusul unghiului dintre vectori. Pentru a aplica formula rezultată, avem nevoie doar de lungimile vectorilor și , care pot fi găsite cu ușurință din coordonatele vectorilor și . Cu toate acestea, această metodă practic nu este utilizată, deoarece cosinusul unghiului dintre vectori este mai ușor de găsit folosind formula.

Calculul proiecției ortogonale (proiecție proprie):

Proiecția vectorului pe axa l este egală cu produsul dintre modulul vectorial și cosinusul unghiului φ dintre vector și axă, i.e. pr cosφ.

Doc: Dacă φ=< , то пр l =+ = *cos φ.

Dacă φ> (φ≤ ), atunci pr l =- =- * cos( -φ) = cosφ (vezi Fig.10)

Dacă φ= , atunci pr l = 0 = cos φ.

Consecinţă: Proiecția unui vector pe o axă este pozitivă (negativă) dacă vectorul formează un unghi ascuțit (obtuz) cu axa și este egală cu zero dacă acest unghi este drept.

Consecinţă: Proiecțiile vectorilor egali pe aceeași axă sunt egale între ele.

Calculul proiecției ortogonale a sumei vectorilor (proprietatea proiecției):

Proiecția sumei mai multor vectori pe aceeași axă este egală cu suma proiecțiilor lor pe această axă.

Doc: Fie, de exemplu, = + + . Avem pr l =+ =+ + - , i.e. pr l ( + + ) = pr l + pr l + pr l (vezi Fig.11)

OREZ. unsprezece

Calculul produsului dintre un vector și un număr:

Când un vector este înmulțit cu un număr λ, proiecția lui pe axă este, de asemenea, înmulțită cu acest număr, adică. pr l (λ* )= λ* pr l .

Demonstrație: Pentru λ > 0 avem pr l (λ* )= *cos φ = λ* φ = λ*pr l

Când λl (λ* )= *cos( -φ)=- * (-cosφ) = * cosφ= λ *pr l .

Proprietatea este valabilă și când

Astfel, operațiile liniare pe vectori conduc la operații liniare corespunzătoare asupra proiecțiilor acestor vectori.

Definiție

Se numește o figură geometrică formată din toate punctele planului cuprinse între două raze care emană dintr-un punct unghi plat.

Definiție

Unghiul dintre doi intersectându-se Drept este valoarea celui mai mic unghi plan la intersecția acestor drepte. Dacă două drepte sunt paralele, atunci unghiul dintre ele este considerat zero.

Unghiul dintre două drepte care se intersectează (dacă unghiurile plane sunt măsurate în radiani) poate lua valori de la zero la $\dfrac(\pi)(2)$.

Definiție

Unghiul dintre două drepte care se intersectează este o mărime egală cu unghiul dintre două drepte care se intersectează paralele cu cele care se intersectează. Unghiul dintre liniile $a$ și $b$ este notat cu $\angle (a, b)$.

Corectitudinea definiției introduse rezultă din următoarea teoremă.

Teorema unghiurilor plane cu laturile paralele

Mărimile a două unghiuri plane convexe cu laturile paralele și, respectiv, direcționate identic sunt egale.

Dovada

Dacă unghiurile sunt drepte, atunci ambele sunt egale cu $\pi$. Dacă nu sunt desfășurate, atunci trasăm segmentele egale $ON=O_1ON_1$ și $OM=O_1M_1$ pe laturile corespunzătoare ale unghiurilor $\angle AOB$ și $\angle A_1O_1B_1$.

Patrulaterul $O_1N_1NO$ este un paralelogram deoarece laturile sale opuse $ON$ și $O_1N_1$ sunt egale și paralele. La fel, patrulaterul $O_1M_1MO$ ​​​​este un paralelogram. Prin urmare, $NN_1 = OO_1 = MM_1$ și $NN_1 \parallel OO_1 \parallel MM_1$, prin urmare, $NN_1=MM_1$ și $NN_1 \parallel MM_1$ prin tranzitivitate. Patrulaterul $N_1M_1MN$ este un paralelogram, deoarece laturile sale opuse sunt egale și paralele. Aceasta înseamnă că segmentele $NM$ și $N_1M_1$ sunt egale. Triunghiurile $ONM$ și $O_1N_1M_1$ sunt egale conform celui de-al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor, ceea ce înseamnă că unghiurile corespunzătoare $\angle NOM$ și $\angle N_1O_1M_1$ sunt egale.

Acest material este dedicat unui astfel de concept precum unghiul dintre două linii care se intersectează. În primul paragraf vom explica ce este și o vom arăta în ilustrații. Apoi ne vom uita la modalitățile în care puteți găsi sinusul, cosinusul acestui unghi și unghiul în sine (vom lua în considerare separat cazurile cu un plan și spațiu tridimensional), vom da formulele necesare și vom arăta cu exemple exact modul în care sunt utilizate în practică.

Pentru a înțelege care este unghiul format atunci când două drepte se intersectează, trebuie să ne amintim însăși definiția unghiului, perpendicularității și punctului de intersecție.

Definiția 1

Numim două linii care se intersectează dacă au una punct comun. Acest punct se numește punctul de intersecție a două drepte.

Fiecare linie dreaptă este împărțită de un punct de intersecție în raze. Ambele linii drepte formează 4 unghiuri, dintre care două sunt verticale și două sunt adiacente. Dacă știm măsura unuia dintre ele, atunci le putem determina pe cele rămase.

Să presupunem că știm că unul dintre unghiuri este egal cu α. În acest caz, unghiul care este vertical în raport cu acesta va fi, de asemenea, egal cu α. Pentru a găsi unghiurile rămase, trebuie să calculăm diferența 180 ° - α. Dacă α este egal cu 90 de grade, atunci toate unghiurile vor fi unghiuri drepte. Liniile care se intersectează în unghi drept sunt numite perpendiculare (un articol separat este dedicat conceptului de perpendicularitate).

Aruncă o privire la poză:

Să trecem la formularea definiției principale.

Definiția 2

Unghiul format din două drepte care se intersectează este măsura celui mai mic dintre cele 4 unghiuri care formează aceste două drepte.

Din definiție trebuie trasă o concluzie importantă: mărimea unghiului în acest caz va fi exprimată prin orice număr real din intervalul (0, 90). Dacă dreptele sunt perpendiculare, atunci unghiul dintre ele va fi în orice caz. egal cu 90 de grade.

Capacitatea de a găsi măsura unghiului dintre două drepte care se intersectează este utilă pentru rezolvarea multor probleme practice. Metoda de rezolvare poate fi aleasă din mai multe opțiuni.

Pentru început, putem lua metode geometrice. Dacă știm ceva despre unghiurile complementare, atunci le putem raporta la unghiul de care avem nevoie folosind proprietățile figurilor egale sau similare. De exemplu, dacă cunoaștem laturile unui triunghi și trebuie să calculăm unghiul dintre liniile pe care sunt situate aceste laturi, atunci teorema cosinusului este potrivită pentru soluția noastră. Dacă avem condiția triunghi dreptunghic, atunci pentru calcule vom avea nevoie și de cunoștințe despre sinus, cosinus și tangenta unui unghi.

Metoda coordonatelor este, de asemenea, foarte convenabilă pentru rezolvarea problemelor de acest tip. Să explicăm cum să-l folosim corect.

Avem un sistem de coordonate dreptunghiular (cartezian) O x y, în care sunt date două drepte. Să le notăm cu literele a și b. Liniile drepte pot fi descrise folosind unele ecuații. Liniile originale au un punct de intersecție M. Cum se determină unghiul necesar (să-l notăm α) între aceste drepte?

Să începem prin a formula principiul de bază al găsirii unui unghi în condiții date.

Știm că conceptul de linie dreaptă este strâns legat de concepte precum un vector de direcție și un vector normal. Dacă avem o ecuație a unei anumite drepte, putem lua din ea coordonatele acestor vectori. Putem face acest lucru pentru două linii care se intersectează simultan.

Unghiul subtins de două drepte care se intersectează poate fi găsit folosind:

• unghiul dintre vectorii de direcție;
• unghiul dintre vectorii normali;
• unghiul dintre vectorul normal al unei linii și vectorul direcție al celeilalte.

Acum să ne uităm la fiecare metodă separat.

1. Să presupunem că avem o dreaptă a cu un vector de direcție a → = (a x, a y) și o dreaptă b cu un vector de direcție b → (b x, b y). Acum să reprezentăm doi vectori a → și b → din punctul de intersecție. După aceasta vom vedea că fiecare va fi situat pe propria linie dreaptă. Apoi avem patru opțiuni pentru aranjarea lor relativă. Vezi ilustrația:

Dacă unghiul dintre doi vectori nu este obtuz, atunci va fi unghiul de care avem nevoie între liniile care se intersectează a și b. Dacă este obtuz, atunci unghiul dorit va fi egal cu unghiul adiacent unghiului a →, b → ^. Astfel, α = a → , b → ^ dacă a → , b → ^ ≤ 90 ° , și α = 180 ° - a → , b → ^ dacă a → , b → ^ > 90 ° .

Pe baza faptului că cosinusurile unghiurilor egale sunt egale, putem rescrie egalitățile rezultate astfel: cos α = cos a →, b → ^, dacă a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, dacă a →, b → ^ > 90 °.

În al doilea caz s-au folosit formule de reducere. Prin urmare,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Să scriem ultima formulă în cuvinte:

Definiția 3

Cosinusul unghiului format din două drepte care se intersectează va fi egal cu modulul cosinusului unghiului dintre vectorii săi de direcție.

Forma generală a formulei pentru cosinusul unghiului dintre doi vectori a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) arată astfel:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Din aceasta putem deriva formula pentru cosinusul unghiului dintre două drepte date:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Apoi unghiul în sine poate fi găsit folosind următoarea formulă:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Aici a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) sunt vectorii de direcție ai dreptelor date.

Să dăm un exemplu de rezolvare a problemei.

Exemplul 1

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan, sunt date două drepte care se intersectează a și b. Ele pot fi descrise prin ecuațiile parametrice x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R și x 5 = y - 6 - 3. Calculați unghiul dintre aceste drepte.

Soluţie

Avem o ecuație parametrică în starea noastră, ceea ce înseamnă că pentru această linie putem nota imediat coordonatele vectorului său de direcție. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm valorile coeficienților pentru parametru, adică. dreapta x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R va avea un vector de direcție a → = (4, 1).

A doua linie dreaptă este descrisă folosind ecuație canonică x 5 = y - 6 - 3 . Aici putem lua coordonatele de la numitori. Astfel, această dreaptă are un vector de direcție b → = (5 , - 3) .

Apoi, trecem direct la găsirea unghiului. Pentru a face acest lucru, pur și simplu înlocuiți coordonatele existente ale celor doi vectori în formula de mai sus α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Obținem următoarele:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Răspuns: Aceste linii drepte formează un unghi de 45 de grade.

Putem rezolva o problemă similară găsind unghiul dintre vectorii normali. Dacă avem o dreaptă a cu un vector normal n a → = (n a x , n a y) și o dreaptă b cu un vector normal n b → = (n b x , n b y), atunci unghiul dintre ele va fi egal cu unghiul dintre n a → și n b → sau unghiul care va fi adiacent lui n a →, n b → ^. Această metodă este prezentată în imagine:

Formulele pentru calcularea cosinusului unghiului dintre liniile care se intersectează și acest unghi în sine folosind coordonatele vectorilor normali arată astfel:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n de y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n de y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n de y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Aici n a → și n b → denotă vectorii normali ai două drepte date.

Exemplul 2

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, două linii drepte sunt date folosind ecuațiile 3 x + 5 y - 30 = 0 și x + 4 y - 17 = 0. Găsiți sinusul și cosinusul unghiului dintre ele și mărimea acestui unghi în sine.

Soluţie

Liniile originale sunt specificate folosind ecuații de linii normale de forma A x + B y + C = 0. Notăm vectorul normal ca n → = (A, B). Să găsim coordonatele primului vector normal pentru o linie și să le scriem: n a → = (3, 5) . Pentru a doua linie x + 4 y - 17 = 0, vectorul normal va avea coordonatele n b → = (1, 4). Acum să adăugăm valorile obținute la formulă și să calculăm totalul:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Dacă cunoaștem cosinusul unui unghi, atunci putem calcula sinusul acestuia folosind identitatea trigonometrică de bază. Deoarece unghiul α format din drepte nu este obtuz, atunci sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

În acest caz, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Răspuns: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Să analizăm ultimul caz - găsirea unghiului dintre drepte dacă cunoaștem coordonatele vectorului de direcție al unei drepte și vectorul normal al celeilalte.

Să presupunem că dreapta a are un vector de direcție a → = (a x , a y) , iar dreapta b are un vector normal n b → = (n b x , n b y) . Trebuie să setăm acești vectori deoparte de punctul de intersecție și să luăm în considerare toate opțiunile pentru pozițiile lor relative. Vezi in poza:

Dacă unghiul dintre vectorii dați nu este mai mare de 90 de grade, se dovedește că va completa unghiul dintre a și b la un unghi drept.

a → , n b → ^ = 90 ° - α dacă a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Dacă este mai mică de 90 de grade, atunci obținem următoarele:

a → , n b → ^ > 90 ° , apoi a → , n b → ^ = 90 ° + α

Folosind regula egalității cosinusurilor de unghiuri egale, scriem:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pentru a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pentru a → , n b → ^ > 90 ° .

Prin urmare,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Să formulăm o concluzie.

Definiția 4

Pentru a găsi sinusul unghiului dintre două drepte care se intersectează pe un plan, trebuie să calculați modulul cosinusului unghiului dintre vectorul de direcție al primei linii și vectorul normal al celei de-a doua.

Să notăm formulele necesare. Aflarea sinusului unui unghi:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Găsirea unghiului în sine:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Aici a → este vectorul de direcție al primei linii, iar n b → este vectorul normal al celei de-a doua.

Exemplul 3

Două drepte care se intersectează sunt date de ecuațiile x - 5 = y - 6 3 și x + 4 y - 17 = 0. Aflați unghiul de intersecție.

Soluţie

Luăm coordonatele ghidului și ale vectorului normal din ecuațiile date. Rezultă a → = (- 5, 3) și n → b = (1, 4). Luăm formula α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 și calculăm:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Vă rugăm să rețineți că am luat ecuațiile din problema anterioară și am obținut exact același rezultat, dar într-un mod diferit.

Răspuns:α = a r c sin 7 2 34

Să prezentăm o altă modalitate de a găsi unghiul dorit folosind coeficienții unghiulari ai liniilor drepte date.

Avem o linie a, care este definită într-un sistem de coordonate dreptunghiular folosind ecuația y = k 1 x + b 1, și o linie b, definită ca y = k 2 x + b 2. Acestea sunt ecuații ale dreptelor cu pante. Pentru a găsi unghiul de intersecție, folosim formula:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, unde k 1 și k 2 sunt pantele dreptelor date. Pentru a obține această înregistrare s-au folosit formule pentru determinarea unghiului prin coordonatele vectorilor normali.

Exemplul 4

Există două drepte care se intersectează într-un plan, dat de ecuaţii y = - 3 5 x + 6 și y = - 1 4 x + 17 4 . Calculați valoarea unghiului de intersecție.

Soluţie

Coeficienții unghiulari ai dreptelor noastre sunt egali cu k 1 = - 3 5 și k 2 = - 1 4. Să le adăugăm la formula α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 și să calculăm:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Răspuns:α = a r c cos 23 2 34

În concluziile acestui paragraf, trebuie menționat că formulele pentru găsirea unghiului prezentate aici nu trebuie învățate pe de rost. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți coordonatele ghidajelor și/sau ale vectorilor normali ai liniilor date și să le puteți determina prin tipuri diferite ecuații. Dar este mai bine să vă amintiți sau să scrieți formulele pentru calcularea cosinusului unui unghi.

Cum se calculează unghiul dintre liniile care se intersectează în spațiu

Calculul unui astfel de unghi poate fi redus la calcularea coordonatelor vectorilor de direcție și determinarea mărimii unghiului format de acești vectori. Pentru astfel de exemple se folosește același raționament pe care l-am dat mai înainte.

Să presupunem că avem un sistem de coordonate dreptunghiular situat în spațiul tridimensional. Conține două drepte a și b cu un punct de intersecție M. Pentru a calcula coordonatele vectorilor de direcție, trebuie să cunoaștem ecuațiile acestor drepte. Să notăm vectorii de direcție a → = (a x , a y , a z) și b → = (b x , b y , b z) . Pentru a calcula cosinusul unghiului dintre ele, folosim formula:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Pentru a găsi unghiul în sine, avem nevoie de această formulă:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Exemplul 5

Avem o linie definită în spațiul tridimensional folosind ecuația x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Se știe că se intersectează cu axa O z. Calculați unghiul de interceptare și cosinusul acelui unghi.

Soluţie

Să notăm unghiul care trebuie calculat cu litera α. Să notăm coordonatele vectorului direcție pentru prima dreaptă – a → = (1, - 3, - 2) . Pentru axa aplicată, putem lua ca ghid vectorul de coordonate k → = (0, 0, 1). Am primit datele necesare și le putem adăuga la formula dorită:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Ca rezultat, am constatat că unghiul de care avem nevoie va fi egal cu a r c cos 1 2 = 45 °.

Răspuns: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

În această lecție vom da definiția razelor codirecționale și vom demonstra teorema despre egalitatea unghiurilor cu laturile codirecționale. În continuare, vom da definiția unghiului dintre liniile de intersectare și liniile oblice. Să luăm în considerare care poate fi unghiul dintre două linii drepte. La sfârșitul lecției vom rezolva mai multe probleme privind găsirea unghiurilor între liniile care se intersectează.

Tema: Paralelismul dreptelor și planurilor

Lecția: Unghiuri cu laturile aliniate. Unghiul dintre două linii drepte

Orice linie dreaptă, de exemplu OO 1(Fig. 1.), taie planul în două semiplane. Dacă razele OAȘi O 1 A 1 sunt paralele și se află în același semiplan, atunci se numesc co-regizat.

Raze O 2 A 2Și OA nu sunt co-directionale (Fig. 1.). Sunt paralele, dar nu se află în același semiplan.

Dacă laturile a două unghiuri sunt aliniate, atunci unghiurile sunt egale.

Dovada

Să ni se dea raze paralele OAȘi O 1 A 1și raze paralele OBȘi Aproximativ 1 în 1(Fig. 2.). Adică avem două unghiuri AOBȘi A 1 O 1 B 1, ale căror laturi se află pe raze codirecționale. Să demonstrăm că aceste unghiuri sunt egale.

Pe partea grinzii OAȘi O 1 A 1 selectați puncte AȘi A 1 astfel încât segmentele OAȘi O 1 A 1 au fost egali. La fel, puncte ÎNȘi ÎN 1 alege astfel încât segmentele OBȘi Aproximativ 1 în 1 au fost egali.

Luați în considerare un patrulater A 1 O 1 OA(Fig. 3.) OAȘi O 1 A 1 A 1 O 1 OA A 1 O 1 OA OO 1Și AA 1 paralele și egale.

Luați în considerare un patrulater B 1 O 1 OV. Această latură patrulateră OBȘi Aproximativ 1 în 1 paralele și egale. Bazat pe paralelogram, patrulater B 1 O 1 OV este un paralelogram. Deoarece B 1 O 1 OV- paralelogram, apoi laturile OO 1Și BB 1 paralele și egale.

Și drept AA 1 paralel cu linia OO 1, și drept BB 1 paralel cu linia OO 1, înseamnă drept AA 1Și BB 1 paralel.

Luați în considerare un patrulater B 1 A 1 AB. Această latură patrulateră AA 1Și BB 1 paralele și egale. Bazat pe paralelogram, patrulater B 1 A 1 AB este un paralelogram. Deoarece B 1 A 1 AB- paralelogram, apoi laturile ABȘi A 1 B 1 paralele și egale.

Luați în considerare triunghiuri AOBȘi A 1 O 1 B 1. Petreceri OAȘi O 1 A 1 egale în construcție. Petreceri OBȘi Aproximativ 1 în 1 sunt de asemenea egale în construcție. Și așa cum am demonstrat, ambele părți ABȘi A 1 B 1 sunt de asemenea egali. Deci triunghiuri AOBȘi A 1 O 1 B 1 egal pe trei laturi. În triunghiuri egale, unghiurile egale se află opuse laturilor egale. Deci unghiurile AOBȘi A 1 O 1 B 1 sunt egale, așa cum se cere pentru a demonstra.

1) Liniile care se intersectează.

Dacă liniile se intersectează, atunci avem patru unghiuri diferite. Unghiul dintre două linii drepte, se numește cel mai mic unghi dintre două drepte. Unghiul dintre liniile care se intersectează AȘi b să notăm α (Fig. 4.). Unghiul α este astfel încât .

Orez. 4. Unghiul dintre două drepte care se intersectează

2) Trecerea liniilor

Lasă drept AȘi bîncrucișarea. Să alegem un punct arbitrar DESPRE. Prin punct DESPRE hai sa facem un direct a 1, paralel cu linia A, și drept b 1, paralel cu linia b(Fig. 5.). Direct a 1Și b 1 se intersectează într-un punct DESPRE. Unghiul dintre două linii care se intersectează a 1Și b 1, unghiul φ, și se numește unghiul dintre liniile care se intersectează.

Orez. 5. Unghiul dintre două drepte care se intersectează

Mărimea unghiului depinde de punctul O selectat? Să alegem un punct O 1. Prin punct O 1 hai sa facem un direct a 2, paralel cu linia A, și drept b 2, paralel cu linia b(Fig. 6.). Unghiul dintre liniile care se intersectează a 2Și b 2 să notăm φ 1. Apoi unghiurile φ Și φ 1 - colțuri cu laturile aliniate. După cum am demonstrat, astfel de unghiuri sunt egale între ele. Aceasta înseamnă că mărimea unghiului dintre liniile care se intersectează nu depinde de alegerea punctului DESPRE.

Direct OBȘi CD paralel, OAȘi CD se încrucișează. Găsiți unghiul dintre linii OAȘi CD, Dacă:

1) ∠AOB= 40°.

Să alegem un punct CU. Treceți o linie dreaptă prin el CD. Să ducem la îndeplinire CA 1 paralel OA(Fig. 7.). Apoi unghiul Un 1 CD- unghiul dintre liniile care se intersectează OAȘi CD. Conform teoremei despre unghiurile cu laturile concurente, unghiul Un 1 CD egal cu unghiul AOB, adică 40°.

Orez. 7. Găsiți unghiul dintre două drepte

2) ∠AOB= 135°.

Să facem aceeași construcție (Fig. 8.). Apoi unghiul dintre liniile de încrucișare OAȘi CD este egal cu 45°, deoarece este cel mai mic dintre unghiurile care se obțin atunci când liniile drepte se intersectează CDȘi CA 1.

3) ∠AOB= 90°.

Să facem aceeași construcție (Fig. 9.). Apoi toate unghiurile care se obțin atunci când liniile se intersectează CDȘi CA 1 egal cu 90°. Unghiul necesar este de 90°.

1) Demonstrați că punctele medii ale laturilor unui patrulater spațial sunt vârfurile unui paralelogram.

Dovada

Să ni se dea un patrulater spațial ABCD. M,N,K,L- mijlocul coastelor B.D.ANUNȚ.AC,B.C.în consecință (Fig. 10.). Este necesar să se demonstreze că MNKL- paralelogram.

Luați în considerare un triunghi ABD. MN MN paralel ABși este egal cu jumătate din ea.

Luați în considerare un triunghi ABC. LK- linia de mijloc. Conform proprietății liniei mediane, LK paralel ABși este egal cu jumătate din ea.

ȘI MN, Și LK paralel AB. Mijloace, MN paralel LK prin teorema a trei drepte paralele.

Găsim că într-un patrulater MNKL- laterale MNȘi LK paralel și egal, deoarece MNȘi LK egală cu jumătate AB. Deci, după criteriul paralelogramului, un patrulater MNKL- un paralelogram, care este ceea ce trebuia demonstrat.

2) Aflați unghiul dintre linii ABȘi CD, dacă unghiul MNK= 135°.

După cum am demonstrat deja, MN paralel cu linia AB. NK- linia de mijloc a triunghiului ACD, după proprietate, NK paralel DC. Deci, prin punct N sunt două linii drepte MNȘi NK, care sunt paralele cu liniile oblice ABȘi DC respectiv. Deci, unghiul dintre linii MNȘi NK este unghiul dintre liniile care se intersectează ABȘi DC. Ni se oferă un unghi obtuz MNK= 135°. Unghiul dintre liniile drepte MNȘi NK- cel mai mic dintre unghiurile obtinute prin intersectarea acestor drepte, adica 45°.

Deci, ne-am uitat la unghiuri cu laturile codirecționale și am demonstrat egalitatea lor. Ne-am uitat la unghiurile dintre liniile care se intersectează și cele înclinate și am rezolvat câteva probleme privind găsirea unghiului dintre două linii. În următoarea lecție vom continua să rezolvăm probleme și să revizuim teoria.

1. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general (nivel de bază și de specialitate) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și extinsă - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p. : bolnav.

2. Geometrie. Clasa 10-11: Manual pentru învățământul general institutii de invatamant/ Sharygin I.F. - M.: Butard, 1999. - 208 p.: ill.

3. Geometrie. Nota a 10-a: Manual pentru instituţiile de învăţământ general cu studiu aprofundat şi de specialitate la matematică /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - ediția a 6-a, stereotip. - M.: Butard, 008. - 233 p. :il.

ÎN) B.C.Și D 1 ÎN 1.

Orez. 11. Găsiți unghiul dintre linii

4. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general (nivel de bază și de specialitate) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și extinsă - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.

Sarcinile 13, 14, 15 p. 54