Punctele staționare ale unei funcții. O condiție necesară pentru un extremum local al unei funcții

Prima condiție suficientă pentru un extremum local

A doua și a treia condiții suficiente pentru un extremum local

Cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe un segment

Funcții convexe și puncte de inflexiune

1. Puncte staţionare ale funcţiei. O condiție necesară pentru un extremum local al unei funcții

Definiția 1 . Lasă funcția să fie definită pe
. Punct numit punctul staționar al funcției
, Dacă
diferentiat la un punct Și
.

Teorema 1 (condiția necesară pentru o extremă locală a unei funcții) . Lasă funcția
determinat pe
si are la punct
extremul local. Atunci una dintre condiții este îndeplinită:

Astfel, pentru a găsi puncte care sunt suspecte pentru un extremum, este necesar să se găsească puncte staționare ale funcției și puncte în care derivata funcției nu există, dar care aparțin domeniului de definire a funcției.

Exemplu . Lăsa
. Găsiți puncte pentru aceasta care sunt suspecte pentru extremum. Pentru a rezolva problema, în primul rând, găsim domeniul de definire al funcției:
. Să găsim acum derivata funcției:

Puncte în care derivata nu există:
. Puncte de funcționare staționare:

Din moment ce și
, Și
aparțin domeniului de definire a funcției, atunci ambele vor fi suspecte pentru un extremum. Dar pentru a concluziona dacă va exista într-adevăr un extremum acolo, este necesar să se aplice condiții suficiente pentru extremum.

2. Prima condiție suficientă pentru un extremum local

Teorema 1 (prima condiție suficientă pentru extremul local) . Lasă funcția
determinat pe
și diferențiat pe acest interval peste tot, cu excepția, poate, a punctului
, dar în acest moment funcţie
este continuu. Dacă există astfel de semivecinații din dreapta și din stânga unui punct , în fiecare dintre care
păstrează un anumit semn, atunci

1) funcția
are un extremum local la punct , Dacă
ia valori ale diferitelor semne în semi-cartierele corespunzătoare;

2) funcția
nu are un extremum local la punct , dacă la dreapta și la stânga punctului
are acelasi semn.

Dovada . 1) Să presupunem că într-un semi-cartier
derivat
, si in

.

Astfel la punct funcţie
are un extremum local, și anume un maxim local, care era ceea ce trebuia demonstrat.

2) Să presupunem că la stânga și la dreapta punctului derivatul își păstrează semnul, de exemplu,
. Apoi
Și
funcţie
crește strict monoton, adică:

Astfel extremul la punct funcţie
nu are, ceea ce trebuia dovedit.

Nota 1 . Dacă derivatul
la trecerea printr-un punct schimbă semnul de la „+” la „-”, apoi la punctul funcţie
are un maxim local, iar dacă semnul se schimbă de la „-” la „+”, atunci există un minim local.

Nota 2 . O condiție importantă este continuitatea funcției
la punct . Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci teorema 1 poate să nu fie valabilă.

Exemplu . Se ia în considerare funcția (Fig. 1):

Această funcție este definită pe și este continuă peste tot, cu excepția unui punct
, unde are un gol detașabil. La trecerea printr-un punct

schimbă semnul din „-” în „+”, dar funcția nu are un minim local în acest moment, dar are un maxim local prin definiție. Într-adevăr, aproape de punct
este posibil să se construiască o vecinătate astfel încât pentru toate argumentele din această vecinătate valorile funcției să fie mai mici decât valoarea
. Teorema 1 nu a funcționat pentru că în acel moment
funcția avea un decalaj.

Nota 3 . Prima condiție suficientă pentru un extremum local nu poate fi utilizată atunci când derivata funcției
isi schimba semnul in fiecare semivecinatate stanga si dreapta a unui punct .

Exemplu . Funcția luată în considerare este:

Deoarece
, Acea
, prin urmare
, Dar
. Prin urmare:

,

acestea. la punct
funcţie
are un minim local prin definiție. Să vedem dacă prima condiție suficientă pentru un extremum local funcționează aici.

Pentru
:

Pentru primul termen din partea dreaptă a formulei rezultate avem:

,

şi deci într-o mică vecinătate a punctului
semnul derivatei este determinat de semnul celui de-al doilea termen, adică:

,

ceea ce înseamnă că în orice vecinătate a punctului

va lua atât valori pozitive, cât și negative. Într-adevăr, luați în considerare o vecinătate arbitrară a punctului
:
. Când

,

Acea

(Fig. 2) și își schimbă semnul aici de nenumărate ori. Astfel, prima condiție suficientă pentru un extremum local nu poate fi utilizată în exemplul dat.

Domeniul unei funcții, calculați derivata acesteia, găsiți domeniul unei derivate a unei funcții, găsiți puncte transformând derivata la zero, demonstrați că punctele găsite aparțin domeniului de definire a funcției inițiale.

Exemplul 1 Identificați elementele critice puncte funcțiile y = (x - 3)²·(x-2).

Soluție Aflați domeniul de definiție al funcției, în acest caz nu există restricții: x ∈ (-∞; +∞); Calculați derivata y’. Conform regulilor de diferențiere a produsului a doi, avem: y' = ((x - 3)²)'·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)' = 2·( x - 3)·(x - 2) + (x - 3)²·1. După aceea se dovedește ecuație pătratică: y’ = 3 x² – 16 x + 21.

Aflați domeniul de definiție al derivatei funcției: x ∈ (-∞; +∞) Rezolvați ecuația 3 x² – 16 x + 21 = 0 pentru a afla la care devine zero: 3 x² – 16 x + 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3. Deci, derivata ajunge la zero la valorile lui x egale cu 3 și 7/3.

Stabiliți dacă cele găsite aparțin puncte domeniul de definire a funcției originale. Deoarece x (-∞; +∞), atunci ambele puncte sunt critice.

Exemplul 2: Identificați elementele critice puncte funcțiile y = x² – 2/x.

RezolvareDomeniul funcției: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), deoarece x este la numitor Calculați derivata y’ = 2 x + 2/x².

Domeniul de definiție al derivatei funcției este același cu cel al originalului: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) Rezolvați ecuația 2 x + 2/x² = 0: 2 x = -2/x² → x = -1.

Deci, derivata ajunge la zero la x = -1. Este îndeplinită condiția necesară, dar nu suficientă, pentru criticitate. Deoarece x=-1 se încadrează în intervalul (-∞; 0) ∪ (0; +∞), atunci acest punct este critic.

Surse:

• Volum critic de vânzări, prag buc

Multe femei suferă de sindromul premenstrual, care se manifestă nu numai senzații dureroase, dar și creșterea apetitului. Drept urmare, zilele critice pot încetini semnificativ procesul de pierdere în greutate.

Motive pentru creșterea apetitului în perioadele menstruale

Motivul creșterii apetitului în timpul menstruației este o modificare a nivelurilor hormonale generale din corpul feminin. Cu câteva zile înainte de debutul menstruației, nivelul hormonului progesteron crește, organismul se adaptează la posibilitate și încearcă să-și facă rezerve de energie suplimentare sub formă de depozite de grăsime, chiar dacă femeia stă în șezut. Astfel, modificările de greutate în zilele critice sunt normale.

Cum să mănânci în timpul menstruației

Încercați să nu mâncați dulciuri, dulciuri și alte alimente bogate în calorii care conțin alimente „rapide” în aceste zile. Excesul lor se va depune imediat în grăsime. În această perioadă, multe femei își doresc foarte mult să mănânce ciocolată; în acest caz, puteți cumpăra ciocolată neagră și vă puteți răsfăța cu câteva felii, dar nu mai mult. Nu utilizați în timpul menstruației bauturi alcoolice, marinate, muraturi, afumaturi, seminte si nuci. În general, murăturile și alimentele afumate ar trebui limitate în dietă cu 6-8 zile înainte de începerea menstruației, deoarece astfel de produse cresc rezervele de apă din organism, iar această perioadă se caracterizează printr-o acumulare crescută de lichide. Pentru a reduce cantitatea de sare din dieta ta, adaugă-o la cantitate minimaîn mesele gata.

Se recomandă consumul de produse lactate cu conținut scăzut de grăsimi, alimente vegetale și cereale. Fasole, cartofi fierți, orez - produse care conțin carbohidrați „lenti” vor fi utile. Fructele de mare, ficatul, peștele, carnea de vită, carnea de pasăre, ouăle, leguminoasele și fructele uscate vor ajuta la refacerea pierderilor de fier. Tarate de grau vor fi de folos. O reacție naturală în timpul menstruației este umflarea. Ierburile diuretice ușoare vor ajuta la corectarea stării: busuioc, mărar, pătrunjel, țelină. Se pot folosi ca condimente. În a doua jumătate a ciclului se recomandă utilizarea produse proteice(carnuri slabe si peste, produse lactate), iar cantitatea de carbohidrati din dieta trebuie redusa cat mai mult.

Concept economic volum critic vânzări corespunde poziției întreprinderii pe piață, în care veniturile din vânzarea mărfurilor sunt minime. Această situație se numește pragul de rentabilitate, când cererea de produse scade și profiturile abia acoperă costurile. Pentru a determina volumul critic vânzări, folosiți mai multe metode.

Instrucțiuni

Ciclul de lucru nu se limitează la activitățile sale - producție sau servicii. Aceasta este o lucrare complexă a unei anumite structuri, inclusiv munca personalului principal, personalului de conducere, personalului de conducere etc., precum și a economiștilor, a căror sarcină este analiza financiară a întreprinderii.

Scopul acestei analize este de a calcula anumite cantități care, într-o măsură sau alta, afectează mărimea profitului final. Acest tipuri diferite volumele de producție și vânzări, complete și medii, indicatori de cerere etc. Sarcina principală este identificarea volumului de producție la care se stabilește o relație stabilă între costuri și profit.

Volum minim vânzări, la care venitul acoperă complet costurile, dar nu mărește capitalul propriu al companiei, se numește volum critic vânzări. Există trei metode de calcul a metodei acestui indicator: metoda ecuațiilor, venitul marginal și grafic.

Pentru a determina volumul critic vânzări conform primei metode, creați o ecuație de forma: Вп – Zper – Зpos = Пп = 0, unde: Вп – venituri din vânzăriși ;Zper și Zpos – costuri variabile și constante; Pp – profit din vânzăriȘi.

Potrivit unei alte metode, primul termen, venituri din vânzări, prezentați-l ca produsul venitului marginal pe unitatea de bunuri și volum vânzări, același lucru este valabil și pentru costurile variabile. Costurile fixe se aplică întregului lot de mărfuri, așa că lăsați această componentă comună: MD N – Zper1 N – Zpos = 0.

Exprimați valoarea lui N din această ecuație și obțineți volumul critic vânzări:N = Zpos/(MD – Zper1), unde Zper1 este costurile variabile pe unitate de marfă.

Metoda grafică presupune construirea. Desenați două linii pe planul de coordonate: funcția venituri din vânzări minus atât funcția de cost, cât și cea de profit. Pe axa absciselor, grafic volumul producției, iar pe axa ordonatelor, reprezentați veniturile din cantitatea corespunzătoare de mărfuri, exprimată în unități monetare. Punctul de intersecție al acestor linii corespunde volumului critic vânzări, poziție de prag de rentabilitate.

Surse:

• cum să definești munca critică

Gândirea critică este un ansamblu de judecăți pe baza cărora se formează anumite concluzii și se face o evaluare a obiectelor criticii. Este caracteristic în special cercetătorilor și oamenilor de știință din toate ramurile științei. Gândirea critică ocupă un nivel superior în comparație cu gândirea obișnuită.

Valoarea experienței în dezvoltarea gândirii critice

Este dificil să analizezi și să tragi concluzii despre ceva ce nu înțelegi bine. Prin urmare, pentru a învăța să gândim critic, este necesar să studiem obiectele în tot felul de conexiuni și relații cu alte fenomene. Și mare importanțăîn acest caz, are cunoștințe despre informații despre astfel de obiecte, abilitatea de a construi lanțuri logice de judecăți și de a trage concluzii rezonabile.

De exemplu, judecarea valorii operă de artă este posibil doar cunoscând destul de multe alte fructe ale activității literare. În același timp, este bine să fii un expert în istoria dezvoltării umane, formarea literaturii și critica literară. Izolată de contextul istoric, o lucrare își poate pierde sensul dorit. Pentru ca evaluarea unei opere de artă să fie suficient de completă și justificată, este, de asemenea, necesar să vă folosiți cunoștințele literare, care includ regulile de construire a unui text literar în cadrul genurilor individuale, un sistem de diverse tehnici literare, clasificare și analiză. a stilurilor și tendințelor existente în literatură etc. În același timp, este, de asemenea, important să se studieze logica internă a intrigii, succesiunea acțiunilor, aranjarea și interacțiunea personajelor dintr-o operă de artă.

Caracteristicile gândirii critice

Alte caracteristici ale gândirii critice includ următoarele:
- cunoașterea obiectului studiat este doar un punct de plecare pentru continuarea activității creierului asociată cu construcția lanțurilor logice;
- construit în mod constant și bazat pe bun simț raționamentul duce la identificarea informațiilor adevărate și eronate despre obiectul studiat;
- gândirea critică este întotdeauna asociată cu evaluarea informațiilor disponibile despre un obiect dat și concluziile corespunzătoare, evaluarea, la rândul său, este asociată cu abilitățile existente.

Spre deosebire de gândirea obișnuită, gândirea critică nu este supusă unei credințe oarbe. Gândirea critică permite, cu ajutorul unui întreg sistem de judecăți asupra obiectului criticii, să-i înțeleagă esența, să identifice cunoștințe adevărate despre asta și respinge cele false. Se bazează pe logica, profunzimea și completitudinea studiului, veridicitatea, adecvarea și consistența judecăților. În acest caz, afirmațiile evidente și dovedite de mult timp sunt acceptate ca postulate și nu necesită dovezi și evaluări repetate.

Luați în considerare următoarea figură.

Arată graficul funcției y = x^3 – 3*x^2. Să considerăm un interval care conține punctul x = 0, de exemplu de la -1 la 1. Un astfel de interval se mai numește și vecinătatea punctului x = 0. După cum se poate observa în grafic, în această vecinătate funcția y = x ^3 – 3*x^2 ia cea mai mare valoare exact în punctul x = 0.

Funcție maximă și minimă

În acest caz, punctul x = 0 se numește punctul maxim al funcției. Prin analogie cu aceasta, punctul x = 2 se numește punctul minim al funcției y = x^3 – 3*x^2. Pentru că există o vecinătate a acestui punct în care valoarea în acest punct va fi minimă printre toate celelalte valori din acest cartier.

Punct maxim funcția f(x) se numește punctul x0, cu condiția să existe o vecinătate a punctului x0 astfel încât pentru toate x care nu sunt egale cu x0 din această vecinătate, inegalitatea f(x) să fie valabilă< f(x0).

Punct minim funcția f(x) se numește punctul x0, cu condiția să existe o vecinătate a punctului x0 astfel încât pentru toate x care nu sunt egale cu x0 din această vecinătate, inegalitatea f(x) > f(x0) să fie valabilă.

În punctele de maxim și minim de funcții, valoarea derivatei funcției este zero. Dar aceasta nu este o condiție suficientă pentru existența unei funcții într-un punct maxim sau minim.

De exemplu, funcția y = x^3 în punctul x = 0 are o derivată egală cu zero. Dar punctul x = 0 nu este punctul minim sau maxim al funcției. După cum știți, funcția y = x^3 crește de-a lungul întregii axe numerice.

Astfel, punctele minime și maxime vor fi întotdeauna printre rădăcinile ecuației f’(x) = 0. Dar nu toate rădăcinile acestei ecuații vor fi puncte maxime sau minime.

Puncte staționare și critice

Punctele la care valoarea derivatei funcției este zero se numesc puncte staționare. Pot exista și puncte de maxim sau minim în punctele în care derivata funcției nu există deloc. De exemplu, y = |x| în punctul x = 0 are un minim, dar derivata nu există în acest punct. Acest punct va fi punctul critic al funcției.

Punctele critice ale unei funcții sunt punctele în care derivata este egală cu zero, sau derivata nu există în acest punct, adică funcția în acest punct este nediferențiabilă. Pentru a găsi maximul sau minimul unei funcții, trebuie îndeplinită o condiție suficientă.

Fie f(x) o funcție diferențiabilă pe intervalul (a;b). Punctul x0 aparține acestui interval și f’(x0) = 0. Atunci:

1. dacă, la trecerea printr-un punct staționar x0, funcția f(x) și derivata ei își schimbă semnul, de la „plus” la „minus”, atunci punctul x0 este punctul maxim al funcției.

2. dacă, la trecerea printr-un punct staționar x0, funcția f(x) și derivata ei își schimbă semnul, de la „minus” la „plus”, atunci punctul x0 este punctul minim al funcției.