Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Este posibil să vi se solicite să furnizați Informații personale oricând ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Considerăm un cerc înscris într-un triunghi (Fig. 302). Reamintim că centrul său O este situat la intersecția bisectoarelor unghiurilor interioare ale triunghiului. Segmentele OA, OB, OC care leagă O cu vârfurile triunghiului ABC vor împărți triunghiul în trei triunghiuri:

AOV, VOS, SOA. Înălțimea fiecăruia dintre aceste triunghiuri este egală cu raza și, prin urmare, ariile lor vor fi exprimate ca

Aria întregului triunghi S este egală cu suma acestor trei zone:

unde este semiperimetrul triunghiului. De aici

Raza cercului înscris este egală cu raportul dintre aria triunghiului și semiperimetrul său.

Pentru a obține o formulă pentru circumraza unui triunghi, demonstrăm următoarea propoziție.

Teorema a: În orice triunghi, latura este egală cu diametrul cercului circumscris înmulțit cu sinusul unghiului opus.

Dovada. Luați în considerare un triunghi arbitrar ABC și un cerc circumscris în jurul lui, a cărui rază va fi notată cu R (Fig. 303). Fie A unghiul ascuțit al triunghiului. Să desenăm razele OB, OS ale cercului și să aruncăm perpendiculara OK din centrul său O către latura BC a triunghiului. Rețineți că unghiul a al unui triunghi este măsurat cu jumătate din arcul BC, pentru care unghiul BOC este unghiul central. Din aceasta rezultă clar că . Prin urmare, din triunghiul dreptunghic RNS găsim , sau , care este ceea ce trebuia să demonstrăm.

Fig. dată. 303 iar raționamentul se referă la cazul unui unghi ascuțit al unui triunghi; Ar fi ușor de realizat demonstrația pentru cazurile de unghiuri drepte și obtuze (cititorul va face acest lucru singur), dar puteți folosi teorema sinusurilor (218.3). Din moment ce trebuie să fie de unde

Teorema sinusului este de asemenea scrisă în. formă

iar compararea cu forma de notație (218.3) dă pt

Raza cercului circumscris este egală cu raportul dintre produsul celor trei laturi ale triunghiului și aria sa cvadrupla.

Sarcină. Găsiți părțile laterale triunghi isoscel, dacă cercurile sale înscrise și, respectiv, circumscrise au raze

Soluţie. Să scriem formule care exprimă razele cercurilor înscrise și circumscrise ale unui triunghi:

Pentru un triunghi isoscel cu o latură și o bază, aria este exprimată prin formula

sau, reducând fracția cu un factor diferit de zero, avem

care duce la ecuație pătratică relativ

Are doua solutii:

Înlocuind în loc de expresia sa în oricare dintre ecuațiile pentru sau R, vom găsi în sfârșit două răspunsuri la problema noastră:

Exerciții

1. Înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat de la vârf unghi drept, delnt ipotenuză în relație Aflați relația fiecărui catete cu ipotenuza.

2. Motive trapez isoscel circumscrise unui cerc sunt egale cu a și b. Aflați raza cercului.

3. Două cercuri se ating pe plan extern. Tangentele lor comune sunt înclinate față de linia centrelor la un unghi de 30°. Lungimea segmentului tangent dintre punctele tangente este de 108 cm.Aflați razele cercurilor.

4. Catele unui triunghi dreptunghic sunt egale cu a și b. Găsiți aria unui triunghi ale cărui laturi sunt altitudinea și mediana triunghiului dat desenat din vârful unghiului drept și segmentul ipotenuzei dintre punctele de intersecție a acestora cu ipotenuza.

5. Laturile triunghiului sunt 13, 14, 15. Aflați proiecția fiecăruia dintre ele pe celelalte două.

6. Se cunosc latura și altitudinile unui triunghi.Găsiți laturile b și c.

7. Se cunosc două laturi ale triunghiului și mediana.Aflați a treia latură a triunghiului.

8. Având în vedere două laturi ale unui triunghi și un unghi a între ele: Aflați razele cercurilor înscrise și circumscrise.

9. Laturile triunghiului a, b, c sunt cunoscute. Care sunt segmentele în care sunt împărțite prin punctele de contact ale cercului înscris cu laturile triunghiului?

Dacă un cerc este situat în interiorul unui unghi și atinge laturile acestuia, se numește înscris în acest unghi. Centrul unui astfel de cerc înscris este situat pe bisectoare a acestui unghi.

Dacă se află în interiorul unui poligon convex și atinge toate laturile acestuia, se numește înscris într-un poligon convex.

Cerc înscris într-un triunghi

Un cerc înscris într-un triunghi atinge fiecare latură a acestei figuri într-un singur punct. Un singur cerc poate fi înscris într-un triunghi.

Raza unui astfel de cerc va depinde de următorii parametri ai triunghiului:

1. Lungimile laturilor triunghiului.
2. Zona sa.
3. Perimetrul său.
4. Măsurătorile unghiurilor unui triunghi.

Pentru a calcula raza cercului înscris într-un triunghi, nu este întotdeauna necesar să cunoașteți toți parametrii enumerați mai sus, deoarece aceștia sunt interrelaționați prin funcții trigonometrice.

Calcul folosind semiperimetrul

1. Dacă se cunosc lungimile tuturor laturilor figură geometrică(le notăm cu literele a, b și c), atunci va trebui să calculați raza luând rădăcina pătrată.
2. La începerea calculelor, este necesar să adăugați încă o variabilă la datele inițiale - semiperimetrul (p). Se poate calcula însumând toate lungimile și împărțind suma rezultată la 2. p = (a+b+c)/2. În acest fel, formula pentru găsirea razei poate fi simplificată semnificativ.
3. În general, formula trebuie să includă semnul radicalului sub care este plasată fracția; numitorul acestei fracții va fi valoarea semiperimetrului p.
4. Numătorul acestei fracții va fi produsul diferențelor (p-a)*(p-b)*(p-c)
5. Astfel, forma completă a formulei va fi prezentată astfel: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Calcul ținând cont de aria unui triunghi

Daca stim aria unui triunghiși lungimile tuturor laturilor sale, acest lucru ne va permite să găsim raza cercului care ne interesează fără a recurge la extragerea rădăcinilor.

1. Mai întâi trebuie să dublezi dimensiunea zonei.
2. Rezultatul este împărțit la suma lungimilor tuturor laturilor. Apoi formula va arăta astfel: r = 2*S/(a+b+c).
3. Dacă utilizați valoarea semiperimetrului, puteți obține o formulă foarte simplă: r = S/p.

Calcul folosind funcții trigonometrice

Dacă enunțul problemei conține lungimea uneia dintre laturi, dimensiunea unghiului opus și perimetrul, puteți utiliza functie trigonometrica- tangentă. În acest caz, formula de calcul va arăta astfel:

r = (P /2- a)* tg (α/2), unde r este raza dorită, P este perimetrul, a este lungimea uneia dintre laturi, α este valoarea laturii opuse și unghi.

Raza cercului care va trebui să fie înscris într-un triunghi regulat poate fi găsită folosind formula r = a*√3/6.

Cercul înscris într-un triunghi dreptunghic

Te poți încadra într-un triunghi dreptunghic doar un cerc. Centrul unui astfel de cerc servește simultan ca punct de intersecție al tuturor bisectoarelor. Această figură geometrică are unele trăsături distinctive, care trebuie luată în considerare la calcularea razei cercului înscris.

1. Mai întâi trebuie să construiți un triunghi dreptunghic cu parametrii dați. Puteți construi o astfel de figură după dimensiunea unei laturi și valorile a două unghiuri sau după două laturi și unghiul dintre aceste laturi. Toți acești parametri trebuie specificați în condițiile sarcinii. Triunghiul este notat cu ABC, cu C fiind vârful unghiului drept. Picioarele sunt desemnate prin variabile, AȘi b, iar ipotenuza este o variabilă Cu.
2. Pentru a construi formula clasică și a calcula raza unui cerc, este necesar să găsiți dimensiunile tuturor laturilor figurii descrise în enunțul problemei și să calculați semiperimetrul din ele. Dacă condițiile dau dimensiunile a două catete, le puteți folosi pentru a calcula dimensiunea ipotenuzei pe baza teoremei lui Pitagora.
3. Dacă condiția dă dimensiunea unui picior și a unui unghi, este necesar să înțelegem dacă acest unghi este adiacent sau opus. În primul caz, ipotenuza se găsește folosind teorema sinusului: c=a/sinСАВ, în al doilea caz se aplică teorema cosinusului c=a/cosCBA.
4. Când toate calculele au fost finalizate și valorile tuturor laturilor sunt cunoscute, semiperimetrul este găsit folosind formula descrisă mai sus.
5. Cunoscând dimensiunea semi-perimetrului, puteți găsi raza. Formula este o fracție. Numătorul său este produsul diferențelor dintre semiperimetru și fiecare latură, iar numitorul este valoarea semiperimetrului.

Trebuie remarcat faptul că numărătorul acestei formule este un indicator de zonă. În acest caz, formula pentru găsirea razei este mult mai simplă - este suficient să împărțiți zona la semiperimetru.

Este posibil să se determine aria unei figuri geometrice chiar dacă ambele părți sunt cunoscute. Pentru a afla ipotenuza se folosește suma pătratelor acestor catete, apoi se calculează semiperimetrul. Puteți calcula suprafața înmulțind valorile picioarelor între ele și împărțind rezultatul la 2.

Dacă în condițiile sunt date lungimile catetelor și ale ipotenuzei, raza poate fi determinată folosind o formulă foarte simplă: pentru aceasta se adună lungimile catetelor, iar lungimea ipotenuzei se scade din rezultatul. număr. Rezultatul trebuie împărțit în jumătate.

Video

În acest videoclip veți învăța cum să găsiți raza unui cerc înscris într-un triunghi.

Un romb este un paralelogram cu toate laturile egale. Prin urmare, moștenește toate proprietățile unui paralelogram. Și anume:

• Diagonalele unui romb sunt reciproc perpendiculare.
• Diagonalele unui romb sunt bisectoarele unghiurilor sale interioare.

Un cerc poate fi înscris într-un patrulater dacă și numai dacă sumele laturilor opuse sunt egale.
Prin urmare, un cerc poate fi înscris în orice romb. Centrul cercului înscris coincide cu centrul de intersecție al diagonalelor rombului.
Raza cercului înscris într-un romb poate fi exprimată în mai multe moduri

1 cale. Raza cercului înscris într-un romb prin înălțime

Înălțimea unui romb este egală cu diametrul cercului înscris. Aceasta rezultă din proprietatea unui dreptunghi, care este format din diametrul cercului înscris și înălțimea rombului - laturile opuse ale unui dreptunghi sunt egale.

Prin urmare, formula pentru raza unui cerc înscris într-un romb în termeni de înălțime:

Metoda 2. Raza cercului înscris într-un romb prin diagonale

Aria unui romb poate fi exprimată în termeni de raza cercului înscris
, Unde R– perimetrul unui romb. Știind că perimetrul este suma tuturor laturilor patrulaterului, avem P= 4×a. Apoi
Dar aria unui romb este, de asemenea, egală cu jumătate din produsul diagonalelor sale
Echivalând părțile din dreapta ale formulelor ariei, avem următoarea egalitate
Ca rezultat, obținem o formulă care ne permite să calculăm raza cercului înscris într-un romb prin diagonale

Un exemplu de calcul al razei unui cerc înscris într-un romb dacă diagonalele sunt cunoscute
Aflați raza unui cerc înscris într-un romb dacă se știe că lungimile diagonalelor sunt de 30 cm și 40 cm
Lăsa ABCD-romb, atunci A.C.Și BD diagonalele sale. AC= 30 cm ,BD=40 cm
Lasă punctul DESPRE– este centrul celui înscris în romb ABCD cerc, atunci va fi și punctul de intersecție al diagonalelor sale, împărțindu-le în jumătate.


deoarece diagonalele unui romb se intersectează în unghi drept, atunci triunghiul AOB dreptunghiular. Apoi, după teorema lui Pitagora
, înlocuiți valorile obținute anterior în formulă

AB= 25 cm
Aplicând formula derivată anterior pentru raza cercului circumscris într-un romb, obținem

3 căi. Raza cercului înscris într-un romb prin segmentele m și n

Punct F– punctul de contact al cercului cu latura rombului, care îl împarte în segmente A.F.Și B.F.. Lăsa AF=m, BF=n.
Punct O– centrul de intersecție al diagonalelor unui romb și centrul cercului înscris în acesta.
Triunghi AOB– dreptunghiular, deoarece diagonalele unui romb se intersectează în unghi drept.
, deoarece este raza trasată la punctul tangent al cercului. Prin urmare DE– înălțimea triunghiului AOB la ipotenuză. Apoi A.F.Și BF proiecțiile catetelor pe ipotenuză.
Înălțimea într-un triunghi dreptunghic, coborât la ipotenuză, este media proporțională dintre proiecțiile catetelor la ipotenuză.

Formula pentru raza unui cerc înscris într-un romb prin segmente este egală cu rădăcina pătrată a produsului acestor segmente în care punctul de tangență al cercului împarte latura rombului