Rezolvarea problemelor fizice sau a exemplelor de matematică este complet imposibilă fără cunoașterea derivatei și a metodelor de calcul. Derivata este unul dintre cele mai importante concepte în analiza matematică. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este o derivată, care este semnificația sa fizică și geometrică, cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?

Sensul geometric și fizic al derivatului

Să existe o funcție f(x) , specificat într-un anumit interval (a, b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența de valori x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. O modificare sau o creștere a unei funcții este diferența dintre valorile unei funcții în două puncte. Definiția derivatului:

Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.

Altfel se poate scrie asa:

Ce rost are să găsești o astfel de limită? Și iată ce este:

derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.

Sensul fizic al derivatului: derivata traseului în raport cu timpul este egală cu viteza mișcării rectilinie.

Într-adevăr, încă din timpul școlii, toată lumea știe că viteza este o cale anume x=f(t) si timpul t . viteza medie pentru o anumită perioadă de timp:

Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:

Prima regulă: setați o constantă

Constanta poate fi scoasă din semnul derivatului. Mai mult, acest lucru trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați-o ca regulă - Dacă puteți simplifica o expresie, asigurați-vă că o simplificați .

Exemplu. Să calculăm derivata:

Regula a doua: derivata sumei functiilor

Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.

Nu vom da o demonstrație a acestei teoreme, ci mai degrabă vom lua în considerare un exemplu practic.

Aflați derivata funcției:

Regula trei: derivata produsului de funcții

Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:

Exemplu: găsiți derivata unei funcții:

Soluţie:

Este important să vorbim aici despre calcularea derivatelor funcțiilor complexe. Derivat functie complexa este egal cu produsul derivatei acestei funcții față de argumentul intermediar și derivata argumentului intermediar față de variabila independentă.

În exemplul de mai sus întâlnim expresia:

În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, mai întâi calculăm derivata funcției externe în raport cu argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar în sine față de variabila independentă.

Regula a patra: derivată a câtului a două funcții

Formula pentru determinarea derivatei coeficientului a două funcții:

Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.

Cu orice întrebări pe acest subiect și pe alte subiecte, puteți contacta serviciul studenți. In spate Pe termen scurt Vă vom ajuta să rezolvați cele mai dificile teste și să rezolvați probleme, chiar dacă nu ați mai făcut niciodată calcule derivate.

În această lecție ne vom familiariza cu conceptul de funcție a două variabile și, de asemenea, vom lua în considerare în detaliu sarcina cea mai comună - găsirea derivate parțiale diferența completă a unei funcții de ordinul întâi și al doilea.

Pentru a studia eficient materialul de mai jos, tu necesar să poată găsi mai mult sau mai puțin cu încredere derivate „obișnuite” ale funcțiilor unei variabile. Puteți învăța cum să gestionați corect derivatele în lecții Cum să găsesc derivatul? și Derivată a unei funcții complexe. Avem nevoie și de un tabel de derivate functii elementareși regulile de diferențiere, este cel mai convenabil dacă este la îndemână în formă tipărită.

Să începem cu însuși conceptul de funcție a două variabile, vom încerca să ne limităm la minim de teorie, întrucât site-ul are o orientare practică. O funcție a două variabile este de obicei scrisă ca , variabilele fiind numite variabile independente sau argumente.

Exemplu: - funcţia a două variabile.

Uneori se folosește notația. Există, de asemenea, sarcini în care litera este folosită în loc de scrisoare.

Este util să cunoaștem semnificația geometrică a funcțiilor. O funcție a unei variabile corespunde unei anumite drepte pe un plan, de exemplu, parabola școlară familiară. Orice funcție a două variabile cu punct geometric vedere reprezintă o suprafață în spațiu tridimensional (plane, cilindri, bile, paraboloizi etc.). Dar, de fapt, aceasta este deja geometrie analitică, iar analiza matematică este pe agenda noastră.

Să trecem la problema găsirii derivatelor parțiale de ordinul întâi și al doilea. Trebuie raportat Vești bune pentru cei care au băut câteva cești de cafea și s-au conectat la un material neînchipuit de dificil: derivatele parțiale sunt aproape la fel cu derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile.

Pentru derivatele parțiale sunt valabile toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare. Există doar câteva mici diferențe, la care vom ajunge într-un moment.

Exemplul 1

Găsiți derivatele parțiale de ordinul I și II ale funcției

Mai întâi, să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi. Sunt doi dintre ei.

Denumiri:

Sau – derivată parțială în raport cu „x”

Sau – derivată parțială în raport cu „y”

Sa incepem cu .

Important! Când găsim derivata parțială față de „x”, atunci variabila este considerată o constantă (număr constant).

Să decidem. În această lecție, vom oferi imediat soluția completă și vom oferi comentarii mai jos.

Comentarii asupra acțiunilor efectuate:

(1) Primul lucru pe care îl facem atunci când găsim derivata parțială este să concluzionam toate funcţionează între paranteze sub prim cu indice.

Atentie, important! NU PIERDERM abonamente în timpul procesului de soluționare. În acest caz, dacă desenați o „lovitură” undeva fără , atunci profesorul, cel puțin, o poate pune lângă sarcină (mușcă imediat o parte din punct pentru neatenție).

(2) Folosim regulile de diferențiere ; . Pentru exemplu simplu ca aceasta, ambele reguli pot fi aplicate cu ușurință într-un singur pas. Atenție la primul termen: de când este considerată o constantă și orice constantă poate fi scoasă din semnul derivatului, apoi l-am scos din paranteze. Adică, în această situație nu este mai bun decât un număr obișnuit. Acum să ne uităm la al treilea termen: aici, dimpotrivă, nu este nimic de scos. Deoarece este o constantă, este și o constantă și, în acest sens, nu este mai bună decât ultimul termen - „șapte”.

(2) Folosim tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Să schimbăm mental toate „X”-urile din tabel cu „I”. Adică acest tabel este la fel de valabil pentru (și pentru orice scrisoare în general).În acest caz, formulele pe care le folosim sunt: ​​și .

Deci, se găsesc derivate parțiale de ordinul întâi

Calculatorul calculează derivatele tuturor funcțiilor elementare, dând solutie detaliata. Variabila de diferențiere este determinată automat.

Derivată a unei funcții- unul dintre cele mai importante concepte din analiză matematică. Apariția derivatei a dus la probleme precum, de exemplu, calcularea vitezei instantanee a unui punct la un moment dat, dacă se cunoaște calea în funcție de timp, problema găsirii tangentei la o funcție într-un punct.

Cel mai adesea, derivata unei funcții este definită ca limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, dacă acesta există.

Definiție. Fie definită funcția într-o anumită vecinătate a punctului. Atunci derivata funcției într-un punct se numește limită, dacă există

Cum se calculează derivata unei funcții?

Pentru a învăța să diferențiezi funcții, trebuie să înveți și să înțelegi reguli de diferențiere si invata sa folosesti tabelul derivatelor.

Reguli de diferențiere

Fie și să fie funcții diferențiabile arbitrare ale unei variabile reale și să fie o constantă reală. Apoi

— regula de diferențiere a produsului de funcții

— regula de diferențiere a funcțiilor de coeficient

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — diferențierea unei funcții cu exponent variabil

— regula de diferențiere a unei funcții complexe

— regula de diferențiere a unei funcții de putere

Derivată a unei funcții online

Calculatorul nostru va calcula rapid și precis derivata oricărei funcții online. Programul nu va face greșeli la calcularea derivatei și vă va ajuta să evitați calculele lungi și plictisitoare. Calculator online De asemenea, va fi util în cazul în care este nevoie să verificați corectitudinea soluției dvs. și, dacă este incorectă, găsiți rapid eroarea.

Fiecare derivată parțială (prin Xși prin y) a unei funcții a două variabile este derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile pentru o valoare fixă ​​a celeilalte variabile:

(Unde y= const),

(Unde X= const).

Prin urmare, derivatele parțiale sunt calculate folosind formule și reguli pentru calcularea derivatelor funcțiilor unei variabile, luând în considerare cealaltă constantă variabilă.

Dacă nu aveți nevoie de o analiză a exemplelor și de teoria minimă necesară pentru aceasta, ci aveți nevoie doar de o soluție la problema dvs., atunci accesați calculator de derivate parțiale online .

Dacă este greu să vă concentrați pentru a urmări unde se află constanta în funcție, atunci în schița de soluție a exemplului, în loc de o variabilă cu o valoare fixă, puteți înlocui orice număr - atunci puteți calcula rapid derivata parțială ca derivata obisnuita a unei functii a unei variabile. Trebuie doar să vă amintiți să returnați constanta (o variabilă cu o valoare fixă) la locul ei când terminați proiectul final.

Proprietatea derivatelor parțiale descrisă mai sus rezultă din definiția derivatelor parțiale, care poate apărea în întrebările de examen. Prin urmare, pentru a vă familiariza cu definiția de mai jos, puteți deschide referința teoretică.

Conceptul de continuitate a funcției z= f(X, y) într-un punct este definit în mod similar cu acest concept pentru o funcție a unei variabile.

Funcţie z = f(X, y) se numeste continuu intr-un punct daca

Diferența (2) se numește increment total al funcției z(se obține ca urmare a creșterii ambelor argumente).

Să fie dată funcția z= f(X, y) și punct

Dacă funcția se schimbă z apare atunci când doar unul dintre argumente se schimbă, de exemplu, X, cu o valoare fixă ​​a altui argument y, atunci funcția va primi un increment

numită creștere parțială a funcției f(X, y) De X.

Luând în considerare o schimbare a funcției zîn funcție de schimbarea doar a unuia dintre argumente, trecem efectiv la o funcție a unei variabile.

Dacă există o limită finită

atunci se numește derivată parțială a funcției f(X, y) prin argumentare Xși este indicată de unul dintre simboluri

(4)

Creșterea parțială este determinată în mod similar z De y:

și derivată parțială f(X, y) De y:

(6)

Exemplul 1.

Soluţie. Găsim derivata parțială față de variabila „x”:

(y fix);

Găsim derivata parțială față de variabila „y”:

(X fix).

După cum puteți vedea, nu contează în ce măsură variabila este fixă: în acest caz este pur și simplu un anumit număr care este un factor (ca și în cazul derivatei obișnuite) al variabilei cu care găsim derivata parțială. . Dacă variabila fixă ​​nu este înmulțită cu variabila cu care găsim derivata parțială, atunci această constantă singuratică, indiferent în ce măsură, ca în cazul derivatei obișnuite, dispare.

Exemplul 2. Dată o funcție

Găsiți derivate parțiale

(prin X) și (prin Y) și calculați valorile lor la punctul A (1; 2).

Soluţie. La fix y derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției putere ( tabelul funcțiilor derivate ale unei variabile):

.

La fix X derivata primului termen se găsește ca derivată functie exponentiala, iar al doilea – ca derivată a unei constante:

Acum să calculăm valorile acestor derivate parțiale la punctul respectiv A (1; 2):

Puteți verifica soluția problemelor derivate parțiale la calculator de derivate parțiale online .

Exemplul 3. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții

Soluţie. Într-un singur pas găsim

(y X, de parcă argumentul sinelui ar fi 5 X: la fel, 5 apare înaintea semnului funcției);

(X este fix și este în acest caz un multiplicator la y).

Puteți verifica soluția problemelor derivate parțiale la calculator de derivate parțiale online .

Derivatele parțiale ale unei funcții de trei sau mai multe variabile sunt definite în mod similar.

Dacă fiecare set de valori ( X; y; ...; t) variabile independente din mulţime D corespunde unei anumite valori u din multi E, Acea u numită funcţie de variabile X, y, ..., t si denota u= f(X, y, ..., t).

Pentru funcțiile a trei sau mai multe variabile, nu există o interpretare geometrică.

Derivatele parțiale ale unei funcții a mai multor variabile sunt, de asemenea, determinate și calculate sub ipoteza că doar una dintre variabilele independente se modifică, în timp ce celelalte sunt fixe.

Exemplul 4. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții

.

Soluţie. yȘi z fix:

XȘi z fix:

XȘi y fix:

Găsiți singur derivate parțiale și apoi uitați-vă la soluții

Exemplul 5.

Exemplul 6. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții.

Derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile are același lucru sensul mecanic este același cu derivata unei funcții a unei variabile, este rata de modificare a funcției în raport cu o modificare a unuia dintre argumente.

Exemplul 8. Valoarea cantitativă a debitului P pasagerii căi ferate poate fi exprimat printr-o funcție

Unde P– numărul de pasageri, N– numărul de rezidenți ai punctelor corespondente, R- distanta dintre puncte.

Derivată parțială a unei funcții P De R, egal

arată că scăderea fluxului de pasageri este invers proporțională cu pătratul distanței dintre punctele corespunzătoare cu același număr de rezidenți în puncte.

Derivată parțială P De N, egal

arată că creșterea fluxului de pasageri este proporțională cu dublul numărului de locuitori ai localităților aflate la aceeași distanță între puncte.

Puteți verifica soluția problemelor derivate parțiale la calculator de derivate parțiale online .

Diferenţial complet

Produsul unei derivate parțiale și incrementul variabilei independente corespunzătoare se numește diferențială parțială. Diferențele parțiale se notează după cum urmează:

Suma diferenţialelor parţiale pentru toate variabilele independente dă diferenţialul total. Pentru o funcție a două variabile independente, diferența totală este exprimată prin egalitate

(7)

Exemplul 9. Găsiți diferența completă a unei funcții

Soluţie. Rezultatul utilizării formulei (7):

Se spune că o funcție care are o diferență totală în fiecare punct al unui anumit domeniu este diferențiabilă în acel domeniu.

Găsiți singur diferența totală și apoi uitați-vă la soluție

La fel ca și în cazul unei funcții a unei variabile, diferențiabilitatea unei funcții într-un anumit domeniu implică continuitatea acesteia în acest domeniu, dar nu invers.

Să formulăm fără dovezi o condiție suficientă pentru derivabilitatea unei funcții.

Teorema. Dacă funcţia z= f(X, y) are derivate parțiale continue

într-o regiune dată, atunci este diferențiabilă în această regiune și diferența sa este exprimată prin formula (7).

Se poate demonstra că, la fel ca în cazul unei funcții a unei variabile, diferența funcției este partea liniară principală a incrementului funcției, deci în cazul unei funcții de mai multe variabile, diferența totală este principala, liniară în raport cu incrementele variabilelor independente, parte din incrementul total al funcției.

Pentru o funcție de două variabile, incrementul total al funcției are forma

(8)

unde α și β sunt infinitezimale la și .

Derivate parțiale de ordin superior

Derivate parțiale și funcții f(X, y) în sine sunt unele funcții ale acelorași variabile și, la rândul lor, pot avea derivate față de diferite variabile, care sunt numite derivate parțiale de ordin superior.

Funcții a două variabile, derivate parțiale, diferențiale și gradient

Subiectul 5.Funcțiile a două variabile.

derivate parțiale

Definirea unei funcții a două variabile, metode de setare.

Derivate parțiale.

Gradientul unei funcții a unei variabile

Găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții a două variabile într-un domeniu mărginit închis

1. Definirea unei funcţii a mai multor variabile, metode de setare

Pentru funcţiile a două variabile
domeniul definirii este ceva set de puncte dintr-un plan
, iar intervalul de valori este intervalul de pe axă
.

Pentru reprezentare vizuală funcţiile a două modificări nyh sunt aplicate linii de nivel.

Exemplu . Pentru funcție
construiți un grafic și linii de nivel. Scrieți ecuația dreptei de nivel care trece prin punct
.

Programa funcție liniară este avion in spatiu.

Pentru o funcție, graficul este un plan care trece prin puncte
,
,
.

Linii de nivel de funcție sunt drepte paralele a căror ecuație este
.

Pentru funcţie liniară a două variabile
liniile de nivel sunt date de ecuație
si reprezinta o familie de drepte paralele pe un plan.

4

Graficul unei funcții 0 1 2 X

Linii de nivel de funcție

Proiecte privatefuncţii derivate a două variabile

Luați în considerare funcția
. Să dăm variabila la punct
increment arbitrar
, plecând valoare variabilă neschimbat. Creșterea funcției corespunzătoare

numit increment privat al unei funcții prin variabilă la punct
.

Definit în mod similar increment parțial al funcțieidupă variabilă: .

Desemnarederivată parțială cu privire la: , ,
,
.

Derivată parțială a unei funcții față de o variabilă numită limită finală :

Denumiri: , ,
,
.

Pentru a găsi derivata parțială
după variabilă, sunt utilizate regulile de diferențiere a unei funcții a unei variabile, presupunând că variabila este constantă..

În mod similar, pentru a găsi derivata parțială în raport cu o variabilă o variabilă este considerată constantă .

Exemplu . Pentru funcție
găsiți derivate parțiale
,
și calculați valorile lor la punctul
.

Derivată parțială a unei funcții
prin variabilă se presupune că este constantă:

Să găsim derivata parțială a funcției în raport cu , presupunând constantă:

Să calculăm valorile derivatelor parțiale la
,
:

;
.

Derivate parțiale de ordinul doi funcțiile mai multor variabile se numesc derivate parțiale ale derivatelor parțiale de ordinul întâi.

Să notăm derivatele parțiale de ordinul 2 pentru funcția:

;
;

;
.

;
etc.

Dacă derivatele parțiale mixte ale funcțiilor mai multor variabile sunt continue la un moment dat
, atunci ei egale între eleîn acest moment. Aceasta înseamnă că pentru o funcție a două variabile, valorile derivatelor parțiale mixte nu depind de ordinea diferențierii:

.

Exemplu. Pentru funcție, găsiți derivatele parțiale de ordinul doi
Și
.

Soluţie

Derivata parțială mixtă se găsește prin diferențierea succesivă mai întâi a funcției prin (presupunând constantă), apoi diferențierea derivatei
de (considerând constantă).

Derivata se gaseste prin diferentierea mai intai a functiei fata de , apoi derivata fata de .

Derivatele parțiale mixte sunt egale între ele:
.

3. Gradientul unei funcții a două variabile

Proprietăți de gradient

Exemplu . Dată o funcție
. Găsiți gradientul
la punct
și construiește-l.

Soluţie

Să găsim coordonatele gradientului - derivate parțiale.

La punctul
gradient egal cu . Începutul vectorului
la punct , iar sfârșitul la punct .

5

4. Găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții a două variabile într-o zonă limitată închisă

Formularea problemei. Să existe o regiune delimitată închisă în plan
este dat de un sistem de inegalităţi de formă
. Este necesar să se găsească puncte în regiunea în care funcția ia cele mai mari și cele mai mici valori.

Important este problema găsirii unui extremum, model matematic care contine liniar restricţii (ecuaţii, inegalităţi) şi liniar funcţie
.

Formularea problemei. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții
(2.1)

sub restricții

(2.2)

. (2.3)

Deoarece pentru o funcție liniară nu există multe variabile puncte critice interior regiune
, atunci soluția optimă, care oferă un extremum funcției obiectiv, este atinsă numai la hotarul regiunii. Pentru o regiune definită de constrângeri liniare, punctele extremului posibil sunt puncte de colt. Acest lucru ne permite să luăm în considerare soluția problemei metoda grafica.

Rezolvarea grafică a unui sistem de inegalități liniare

Pentru solutie grafica Pentru această problemă, trebuie să fiți capabil să rezolvați grafic sisteme de inegalități liniare cu două variabile.

Procedură:

Rețineți că inegalitatea
defineste semiplan de coordonate drepte(din axa
), și inegalitatea
- semiplan de coordonate superioare(din axa
).

Exemplu. Rezolvați grafic inegalitatea
.

Să scriem ecuația liniei de limită
și construiți-l pe baza a două puncte, de exemplu,
Și
. O linie dreaptă împarte un plan în două semiplane.

Coordonatele punctului
satisface inegalitatea (
– adevărat), ceea ce înseamnă că coordonatele tuturor punctelor semiplanului care conține punctul satisfac inegalitatea. Soluția inegalității vor fi coordonatele punctelor semiplanului situate la dreapta liniei de frontieră, inclusiv punctele de pe graniță. Semiplanul dorit este evidențiat în figură.

Soluţie
sistem de inegalități se numește acceptabil, dacă coordonatele sale sunt nenegative, . Setul de soluții fezabile ale sistemului de inegalități formează o regiune care este situată în primul sfert al planului de coordonate.

Exemplu. Construiți domeniul de soluție al sistemului de inegalități

Soluțiile inegalităților sunt:

1)
- semiplan situat la stânga și dedesubt față de linia dreaptă ( )
;

2)
– semiplan situat în semiplanul din dreapta jos în raport cu linia dreaptă ( )
;

3)
- semiplan situat la dreapta dreptei ( )
;

4) - semiplan deasupra axei x, adică linie dreaptă ( )
.

0

Gama de soluții fezabile a unui sistem dat de inegalități liniare este o mulțime de puncte situate în interiorul și la limita patrulaterului
, care este intersecție patru semiavioane.

Reprezentarea geometrică a unei funcții liniare

(linii de nivel și gradient)

Să stabilim valoarea
, obținem ecuația
, care definește geometric o linie dreaptă. În fiecare punct al liniei funcția ia valoarea si este linie de nivel. Dăruind sensuri diferite, De exemplu,

, ... , obținem o mulțime de linii de nivel - multime de paralele direct.

Să construim gradient- vector
, ale căror coordonate sunt egale cu valorile coeficienților variabilelor din funcție
. Acest vector: 1) perpendicular pe fiecare linie dreaptă (linie de nivel)
; 2) arată direcția de creștere a funcției obiectiv.

Exemplu . Trasează linii de nivel și funcții de gradient
.

Liniile de nivel la , , sunt drepte

,
,

, paralele între ele. Gradientul este un vector perpendicular pe fiecare linie de nivel.

Găsirea grafică a valorilor mai mari și cele mai mici ale unei funcții liniare într-o zonă

Formularea geometrică a problemei. Aflați în domeniul soluției sistemului de inegalități liniare punctul prin care trece linia de nivel, corespunzător celei mai mari (mai mici) valori a unei funcții liniare cu două variabile.

Secvențiere:

4. Aflați coordonatele punctului A rezolvând sistemul de ecuații ale dreptelor care se intersectează în punctul A și calculați cea mai mică valoare funcții
. La fel și pentru punctul B și cea mai mare valoare funcții
. construit pe puncte.variabile Privatderivatefuncții mai multe variabileși tehnica de diferențiere. Extremum funcțiiDouăvariabile si este necesar...