Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile aleargă o sută de pași, țestoasa se târăște încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la infinit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu țestoasa.
Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Toți au considerat într-un fel sau altul aporia lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ...discuțiile continuă și astăzi; comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună cu privire la esența paradoxurilor... au fost implicate în studiul problemei analiză matematică, teoria multimilor, noi abordari fizice si filozofice; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată la problemă...„[Wikipedia, „Aporia lui Zeno”. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege în ce constă înșelăciunea.
Din punct de vedere matematic, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la cantitate la . Această tranziție presupune aplicare în loc de cele permanente. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru utilizarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zeno. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, datorită inerției gândirii, aplicăm unități constante de timp valorii reciproce. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.
Dacă ne întoarcem logica obișnuită, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al drumului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va ajunge din urmă broasca testoasă infinit de repede”.
Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la unități reciproce. În limbajul lui Zeno arată astfel:
În timpul necesar lui Ahile să alerge o mie de pași, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.
Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre irezistibilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Mai trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.
O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:
O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.
În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp o săgeată zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Un alt punct trebuie remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini de pe șosea este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, fie distanța până la ea. Pentru a determina dacă o mașină se mișcă, aveți nevoie de două fotografii făcute din același punct în momente diferite, dar nu puteți determina distanța față de ele. Pentru a determina distanța până la o mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte ale spațiului la un moment dat, dar din ele nu puteți determina faptul mișcării (desigur, mai aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta ). Ce vreau să subliniez Atentie speciala, este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite pentru cercetare.
miercuri, 4 iulie 2018
Diferențele dintre set și multiset sunt descrise foarte bine pe Wikipedia. Să vedem.
După cum puteți vedea, „nu pot exista două elemente identice într-o mulțime”, dar dacă există elemente identice într-o mulțime, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică absurdă. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, care nu au inteligență din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.
Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timp ce testau podul. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.
Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „amintește-mă, sunt în casă” sau, mai degrabă, „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care le conectează inextricabil cu realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Aplicabil teorie matematică seturi către matematicienii înșiși.
Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casa de marcat, dăm salarii. Deci un matematician vine la noi pentru banii lui. Îi numărăm întreaga sumă și o întindem pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său matematic de salariu”. Să-i explicăm matematicianului că va primi bancnotele rămase doar atunci când va dovedi că o mulțime fără elemente identice nu este egală cu o mulțime cu elemente identice. Aici începe distracția.
În primul rând, logica deputaților va funcționa: „Acest lucru poate fi aplicat altora, dar nu și mie!” Apoi vor începe să ne liniștească că bancnotele de aceeași denominație au numere de bancnote diferite, ceea ce înseamnă că nu pot fi considerate aceleași elemente. Bine, să numărăm salariile în monede - nu există numere pe monede. Aici matematicianul va începe să-și amintească frenetic de fizică: pe diferite monede există cantități diferite murdăria, structura cristalină și aranjamentul atomic al fiecărei monede sunt unice...
Și acum am cel mai mult interes Întreabă: unde este linia dincolo de care elementele unui multiset se transforma in elemente ale unei multimi si invers? O astfel de linie nu există - totul este hotărât de șamani, știința nu este nici măcar aproape să zacă aici.
Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Zonele câmpurilor sunt aceleași - ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă ne uităm la numele acestor stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set, cât și un multiset. Care este corect? Și aici matematicianul-șamanul-ascuțitor scoate un as de atuuri din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.
Pentru a înțelege cum funcționează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.
Duminică, 18 martie 2018
Suma cifrelor unui număr este un dans al șamanilor cu o tamburină, care nu are nimic de-a face cu matematica. Da, la lecțiile de matematică suntem învățați să găsim suma cifrelor unui număr și să o folosim, dar de aceea ei sunt șamani, pentru a-și învăța descendenții abilitățile și înțelepciunea, altfel șamanii pur și simplu vor muri.
Ai nevoie de dovezi? Deschideți Wikipedia și încercați să găsiți pagina „Suma cifrelor unui număr”. Ea nu există. Nu există nicio formulă în matematică care să poată fi folosită pentru a găsi suma cifrelor oricărui număr. La urma urmei, cifrele sunt simboluri grafice, cu ajutorul căruia scriem numere și în limbajul matematicii sarcina sună astfel: „Găsiți suma simbolurilor grafice care reprezintă orice număr”. Matematicienii nu pot rezolva această problemă, dar șamanii o pot face cu ușurință.
Să ne dăm seama ce și cum facem pentru a găsi suma cifrelor unui număr dat. Și așa, să avem numărul 12345. Ce trebuie făcut pentru a găsi suma cifrelor acestui număr? Să luăm în considerare toți pașii în ordine.
1. Notează numărul pe o foaie de hârtie. Ce am făcut? Am convertit numărul într-un simbol numeric grafic. Aceasta nu este o operație matematică.
2. Tăiem o imagine rezultată în mai multe imagini care conțin numere individuale. Decuparea unei imagini nu este o operație matematică.
3. Convertiți simbolurile grafice individuale în numere. Aceasta nu este o operație matematică.
4. Adăugați numerele rezultate. Acum asta e matematica.
Suma cifrelor numărului 12345 este 15. Acestea sunt „cursurile de tăiere și cusut” predate de șamani pe care le folosesc matematicienii. Dar asta nu este tot.
Din punct de vedere matematic, nu contează în ce sistem de numere scriem un număr. Deci, în sisteme de numere diferite, suma cifrelor aceluiași număr va fi diferită. În matematică, sistemul numeric este indicat ca indice în dreapta numărului. CU un numar mare 12345 Nu vreau să-mi păcălesc capul, să ne uităm la numărul 26 din articolul despre . Să scriem acest număr în sisteme de numere binar, octal, zecimal și hexazecimal. Nu ne vom uita la fiecare pas la microscop; am făcut-o deja. Să ne uităm la rezultat.
După cum puteți vedea, în sisteme numerice diferite, suma cifrelor aceluiași număr este diferită. Acest rezultat nu are nimic de-a face cu matematica. Este la fel ca și cum ai determina aria unui dreptunghi în metri și centimetri, ai obține rezultate complet diferite.
Zero arată la fel în toate sistemele de numere și nu are sumă de cifre. Acesta este un alt argument în favoarea faptului că. Întrebare pentru matematicieni: cum este ceva care nu este un număr desemnat în matematică? Ce, pentru matematicieni nu există nimic în afară de numere? Pot permite asta șamanilor, dar nu și oamenilor de știință. Realitatea nu este doar despre cifre.
Rezultatul obținut ar trebui considerat ca o dovadă că sistemele numerice sunt unități de măsură pentru numere. La urma urmei, nu putem compara numerele cu unități de măsură diferite. Dacă aceleaşi acţiuni cu unităţi de măsură diferite ale aceleiaşi mărimi conduc la rezultate diferite după ce le comparăm, înseamnă că nu are nicio legătură cu matematica.
Ce este matematica reală? Acesta este momentul în care rezultatul unei operații matematice nu depinde de mărimea numărului, de unitatea de măsură folosită și de cine efectuează această acțiune.
Oh! Asta nu este toaleta pentru femei?
- Femeie tânără! Acesta este un laborator pentru studiul sfințeniei nefilice a sufletelor în timpul înălțării lor la cer! Halo în partea de sus și săgeată în sus. Ce altă toaletă?
Femeie... Aureola de sus și săgeata în jos sunt masculine.
Dacă o astfel de operă de artă de design îți fulgerează în fața ochilor de mai multe ori pe zi,
Atunci nu este surprinzător că găsiți brusc o pictogramă ciudată în mașina dvs.:
Personal, fac un efort să văd minus patru grade la o persoană care face caca (o poză) (o compoziție din mai multe imagini: un semn minus, numărul patru, o denumire de grade). Și nu cred că această fată este o proastă care nu știe fizică. Ea are doar un stereotip puternic de a percepe imaginile grafice. Și matematicienii ne învață asta tot timpul. Iată un exemplu.
1A nu este „minus patru grade” sau „unu a”. Acesta este „pooping om” sau numărul „douăzeci și șase” în notație hexazecimală. Acei oameni care lucrează constant în acest sistem numeric percep automat un număr și o literă ca un simbol grafic.
Funcția principală a parantezelor este de a schimba ordinea acțiunilor la calcularea valorilor. De exemplu, în expresia numerică \(5·3+7\) se va calcula mai întâi înmulțirea, iar apoi adunarea: \(5·3+7 =15+7=22\). Dar în expresia \(5·(3+7)\) se va calcula mai întâi adunarea dintre paranteze și abia apoi înmulțirea: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Exemplu.
Extindeți paranteza: \(-(4m+3)\).
Soluţie
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Exemplu.
Deschideți paranteza și dați termeni similari \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Soluţie
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Exemplu.
Extindeți parantezele \(5(3-x)\).
Soluţie
: În paranteză avem \(3\) și \(-x\), iar înaintea parantezei este un cinci. Aceasta înseamnă că fiecare membru al parantezei este înmulțit cu \(5\) - vă reamintesc că Semnul înmulțirii dintre un număr și o paranteză nu este scris în matematică pentru a reduce dimensiunea intrărilor.
Exemplu.
Extindeți parantezele \(-2(-3x+5)\).
Soluţie
: Ca și în exemplul anterior, \(-3x\) și \(5\) din paranteză sunt înmulțite cu \(-2\).
Exemplu.
Simplificați expresia: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Soluţie
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Rămâne de luat în considerare ultima situație.
Când înmulțiți o paranteză cu o paranteză, fiecare termen din prima paranteză este înmulțit cu fiecare termen din a doua:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
Exemplu.
Extindeți parantezele \((2-x)(3x-1)\).
Soluţie
: Avem un produs de paranteze și poate fi extins imediat folosind formula de mai sus. Dar pentru a nu ne încurca, să facem totul pas cu pas.
Pasul 1. Îndepărtați prima paranteză - înmulțiți fiecare dintre termenii săi cu a doua paranteză:
Pasul 2. Extindeți produsele parantezelor și factorul așa cum este descris mai sus:
- Să începem cu începutul...
Apoi al doilea.
Pasul 3. Acum înmulțim și prezentăm termeni similari:
Nu este necesar să descrii toate transformările atât de detaliat; le poți înmulți imediat. Dar dacă doar înveți cum să deschizi parantezele, să scrii în detaliu, vor fi mai puține șanse să faci greșeli.
Notă la întreaga secțiune. De fapt, nu trebuie să vă amintiți toate cele patru reguli, trebuie să vă amintiți doar una, aceasta: \(c(a-b)=ca-cb\) . De ce? Pentru că dacă înlocuiți unul în loc de c, obțineți regula \((a-b)=a-b\) . Și dacă înlocuim minus unu, obținem regula \(-(a-b)=-a+b\) . Ei bine, dacă înlocuiți o altă paranteză în loc de c, puteți obține ultima regulă.
Paranteză într-o paranteză
Uneori, în practică, există probleme cu parantezele imbricate în alte paranteze. Iată un exemplu de astfel de sarcină: simplificați expresia \(7x+2(5-(3x+y))\).
Pentru a rezolva cu succes astfel de sarcini, aveți nevoie de:
- înțelegeți cu atenție imbricarea parantezelor - care este în care;
- deschideți parantezele succesiv, începând, de exemplu, cu cel mai interior.
Este important la deschiderea unuia dintre suporturi nu atingeți restul expresiei, doar rescriindu-l așa cum este.
Să ne uităm la sarcina scrisă mai sus ca exemplu.
Exemplu.
Deschideți parantezele și dați termeni similari \(7x+2(5-(3x+y))\).
Soluţie:
Exemplu.
Deschideți parantezele și dați termeni similari \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Soluţie
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Există trei cuiburi de paranteze aici. Să începem cu cel mai interior (evidențiat cu verde). Există un plus în fața suportului, așa că pur și simplu se desprinde. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Acum trebuie să deschideți al doilea parantez, cel intermediar. Dar înainte de asta, vom simplifica expresia termenilor asemănătoare fantome din această a doua paranteză. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Acum deschidem al doilea parantez (evidențiat cu albastru). Înainte de paranteză este un factor - deci fiecare termen din paranteză este înmulțit cu acesta. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
Și deschide ultimul parantez. Există un semn minus în fața parantezei, deci toate semnele sunt inversate. |
||
Extinderea parantezelor este o abilitate de bază în matematică. Fără această abilitate, este imposibil să ai o notă peste C în clasa a VIII-a și a IX-a. Prin urmare, vă recomand să înțelegeți bine acest subiect.
Acum vom trece la deschiderea parantezelor în expresii în care expresia din paranteze este înmulțită cu un număr sau expresie. Să formulăm o regulă pentru deschiderea parantezelor precedate de semnul minus: parantezele împreună cu semnul minus sunt omise, iar semnele tuturor termenilor din paranteze sunt înlocuite cu cele opuse.
Un tip de transformare a expresiei este extinderea parantezelor. Expresiile numerice, literale și variabile pot fi scrise folosind paranteze, care pot indica ordinea acțiunilor, pot conține un număr negativ etc. Să presupunem că în expresiile descrise mai sus, în loc de numere și variabile, pot exista orice expresii.
Și să fim atenți la încă un punct referitor la particularitățile scrierii unei soluții atunci când deschidem paranteze. În paragraful anterior, ne-am ocupat de ceea ce se numește paranteze de deschidere. Pentru a face acest lucru, există reguli pentru deschiderea parantezelor, pe care acum le vom revizui. Această regulă este dictată de faptul că numerele pozitive sunt de obicei scrise fără paranteze; în acest caz, parantezele sunt inutile. Expresia (−3.7)−(−2)+4+(−9) poate fi scrisă fără paranteze ca −3.7+2+4−9.
În cele din urmă, a treia parte a regulii se datorează pur și simplu particularităților scrierii numerelor negative în stânga în expresie (pe care am menționat-o în secțiunea despre paranteze pentru scrierea numerelor negative). Puteți întâlni expresii formate dintr-un număr, semne minus și mai multe perechi de paranteze. Dacă deschideți parantezele, trecând de la interior la exterior, atunci soluția va fi următoarea: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5) ))=−( 5)=−5.
Cum se deschid parantezele?
Iată o explicație: −(−2 x) este +2 x și, deoarece această expresie este prima, +2 x poate fi scris ca 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /x și −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Prima parte a regulii scrise pentru deschiderea parantezelor decurge direct din regula pentru înmulțirea numerelor negative. A doua parte a acesteia este o consecință a regulii de înmulțire a numerelor cu semne diferite. Să trecem la exemple de deschidere a parantezelor în produse și câte a două numere cu semne diferite.
Paranteze de deschidere: reguli, exemple, soluții.
Regula de mai sus ia în considerare întregul lanț al acestor acțiuni și accelerează semnificativ procesul de deschidere a parantezelor. Aceeași regulă vă permite să deschideți paranteze în expresii care sunt produse și expresii parțiale cu semnul minus care nu sunt sume și diferențe.
Să ne uităm la exemple de aplicare a acestei reguli. Să dăm regula corespunzătoare. Mai sus am întâlnit deja expresii de forma −(a) și −(−a), care fără paranteze sunt scrise ca −a și, respectiv, a. De exemplu, −(3)=3 și. Acestea sunt cazuri speciale ale regulii enunțate. Acum să ne uităm la exemple de paranteze deschise când conțin sume sau diferențe. Să arătăm exemple de utilizare a acestei reguli. Să notăm expresia (b1+b2) ca b, după care folosim regula înmulțirii parantezei cu expresia din paragraful anterior, avem (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b.
Prin inducție, această afirmație poate fi extinsă la un număr arbitrar de termeni din fiecare paranteză. Rămâne să deschideți parantezele din expresia rezultată folosind regulile de la paragrafele anterioare, ca rezultat obținem 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.
Regula la matematică este deschiderea parantezelor dacă există (+) și (-) în fața parantezelor.
Această expresie este produsul a trei factori (2+4), 3 și (5+7·8). Va trebui să deschideți parantezele succesiv. Acum folosim regula pentru înmulțirea unei paranteze cu un număr, avem ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Gradele, ale căror baze sunt câteva expresii scrise între paranteze, cu exponenți naturali pot fi considerate ca produsul mai multor paranteze.
De exemplu, să transformăm expresia (a+b+c)2. Mai întâi, o scriem ca produs a două paranteze (a+b+c)·(a+b+c), acum înmulțim o paranteză cu o paranteză, obținem a·a+a·b+a·c+ b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.
De asemenea, vom spune că pentru a ridica sumele și diferențele dintre două numere la o putere naturală, este recomandabil să folosiți formula binomială a lui Newton. De exemplu, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Nu este mai puțin convenabil să înlocuiți mai întâi împărțirea cu înmulțirea și apoi să folosiți regula corespunzătoare pentru deschiderea parantezelor într-un produs.
Rămâne să înțelegem ordinea deschiderii parantezelor folosind exemple. Să luăm expresia (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Inlocuim aceste rezultate in expresia originala: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . Tot ce rămâne este să terminam de deschidere a parantezelor, ca rezultat avem −5+3·2:4+6·7. Aceasta înseamnă că la deplasarea din partea stângă a egalității la dreapta, a avut loc deschiderea parantezelor.
Rețineți că în toate cele trei exemple am eliminat pur și simplu parantezele. Mai întâi, adăugați 445 la 889. Această acțiune poate fi efectuată mental, dar nu este foarte ușor. Să deschidem parantezele și să vedem că procedura schimbată va simplifica semnificativ calculele.
Cum să extindeți parantezele într-un alt grad
Exemplu ilustrativ și regulă. Să ne uităm la un exemplu: . Puteți găsi valoarea unei expresii adunând 2 și 5, apoi luând numărul rezultat cu semnul opus. Regula nu se schimbă dacă nu sunt doi, ci trei sau mai mulți termeni între paranteze. Cometariu. Semnele sunt inversate numai în fața termenilor. Pentru a deschide parantezele, în acest caz trebuie să ne amintim proprietatea distributivă.
Pentru numere simple între paranteze
Greșeala ta nu este în semne, ci în manipularea incorectă a fracțiilor? În clasa a VI-a am învățat despre numerele pozitive și negative. Cum vom rezolva exemple și ecuații?
Cât este între paranteze? Ce poți spune despre aceste expresii? Desigur, rezultatul primului și celui de-al doilea exemplu este același, ceea ce înseamnă că putem pune un semn egal între ele: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Ce am făcut cu parantezele?
Demonstrarea slide 6 cu reguli pentru deschiderea parantezelor. Astfel, regulile de deschidere a parantezelor ne vor ajuta să rezolvăm exemple și să simplificăm expresiile. În continuare, elevii sunt rugați să lucreze în perechi: trebuie să folosească săgeți pentru a conecta expresia care conține paranteze cu expresia corespunzătoare fără paranteze.
Slide 11 Odată ajunsi în Sunny City, Znayka și Dunno s-au certat despre care dintre ei a rezolvat corect ecuația. În continuare, elevii rezolvă singuri ecuația folosind regulile pentru deschiderea parantezelor. Rezolvarea ecuațiilor” Obiectivele lecției: educaționale (întărirea cunoștințelor pe tema: „Paranteze de deschidere.
Subiectul lecției: „Parantezele de deschidere. În acest caz, trebuie să înmulțiți fiecare termen din primele paranteze cu fiecare termen din a doua paranteză și apoi să adăugați rezultatele. În primul rând, se iau primii doi factori, încadrați într-o altă paranteză, iar în interiorul acestor paranteze se deschid parantezele conform uneia dintre regulile deja cunoscute.
rawalan.freezeet.ru
Paranteze de deschidere: reguli și exemple (clasa 7)
Funcția principală a parantezelor este de a schimba ordinea acțiunilor la calcularea valorilor expresii numerice . De exemplu, în expresia numerică \(5·3+7\) se va calcula mai întâi înmulțirea, iar apoi adunarea: \(5·3+7 =15+7=22\). Dar în expresia \(5·(3+7)\) se va calcula mai întâi adunarea dintre paranteze și abia apoi înmulțirea: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Totuşi, dacă avem de-a face cu expresie algebrica conținând variabil- de exemplu, așa: \(2(x-3)\) - atunci este imposibil să calculați valoarea din paranteză, variabila este în cale. Prin urmare, în acest caz, parantezele sunt „deschise” folosind regulile corespunzătoare.
Reguli pentru deschiderea parantezelor
Dacă există un semn plus în fața parantezei, atunci paranteza este pur și simplu eliminată, expresia din el rămâne neschimbată. Cu alte cuvinte:
Aici este necesar să lămurim că la matematică, pentru a scurta notațiile, se obișnuiește să nu se scrie semnul plus dacă apare primul în expresie. De exemplu, dacă adăugăm două numere pozitive, de exemplu, șapte și trei, atunci nu scriem \(+7+3\), ci pur și simplu \(7+3\), în ciuda faptului că șapte este, de asemenea, un număr pozitiv . În mod similar, dacă vedeți, de exemplu, expresia \((5+x)\) - știți că înaintea parantezei este un plus, care nu este scris.
Exemplu
. Deschideți paranteza și dați termeni similari: \((x-11)+(2+3x)\).
Soluţie
: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).
Dacă există un semn minus în fața parantezei, atunci când paranteza este îndepărtată, fiecare membru al expresiei din interiorul său își schimbă semnul în opus:
Aici este necesar să se clarifice că, în timp ce a fost în paranteză, a existat un semn plus (pur și simplu nu l-au scris), iar după eliminarea parantezei, acest plus s-a schimbat cu un minus.
Exemplu
: Simplificați expresia \(2x-(-7+x)\).
Soluţie
: în paranteză sunt doi termeni: \(-7\) și \(x\), iar înaintea parantezei există un minus. Aceasta înseamnă că semnele se vor schimba - iar cele șapte vor fi acum un plus, iar x-ul va fi acum un minus. Deschideți suportul și prezentăm termeni similari .
Exemplu.
Deschideți paranteza și dați termeni similari \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Soluţie
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Dacă există un factor în fața parantezei, atunci fiecare membru al parantezei este înmulțit cu acesta, adică:
Exemplu.
Extindeți parantezele \(5(3-x)\).
Soluţie
: În paranteză avem \(3\) și \(-x\), iar înaintea parantezei este un cinci. Aceasta înseamnă că fiecare membru al parantezei este înmulțit cu \(5\) - vă reamintesc că Semnul înmulțirii dintre un număr și o paranteză nu este scris în matematică pentru a reduce dimensiunea intrărilor.
Exemplu.
Extindeți parantezele \(-2(-3x+5)\).
Soluţie
: Ca și în exemplul anterior, \(-3x\) și \(5\) din paranteză sunt înmulțite cu \(-2\).
Rămâne de luat în considerare ultima situație.
Când înmulțiți o paranteză cu o paranteză, fiecare termen din prima paranteză este înmulțit cu fiecare termen din a doua:
Exemplu.
Extindeți parantezele \((2-x)(3x-1)\).
Soluţie
: Avem un produs de paranteze și poate fi extins imediat folosind formula de mai sus. Dar pentru a nu ne încurca, să facem totul pas cu pas.
Pasul 1. Îndepărtați primul suport și înmulțiți fiecare membru cu al doilea suport:
Pasul 2. Extindeți produsele parantezelor și factorul așa cum este descris mai sus:
- Să începem cu începutul...
Pasul 3. Acum înmulțim și prezentăm termeni similari:
Nu este necesar să descrii toate transformările atât de detaliat; le poți înmulți imediat. Dar dacă doar înveți cum să deschizi parantezele, să scrii în detaliu, vor fi mai puține șanse să faci greșeli.
Notă la întreaga secțiune. De fapt, nu trebuie să vă amintiți toate cele patru reguli, trebuie să vă amintiți doar una, aceasta: \(c(a-b)=ca-cb\) . De ce? Pentru că dacă înlocuiți unul în loc de c, obțineți regula \((a-b)=a-b\) . Și dacă înlocuim minus unu, obținem regula \(-(a-b)=-a+b\) . Ei bine, dacă înlocuiți o altă paranteză în loc de c, puteți obține ultima regulă.
Paranteză într-o paranteză
Uneori, în practică, există probleme cu parantezele imbricate în alte paranteze. Iată un exemplu de astfel de sarcină: simplificați expresia \(7x+2(5-(3x+y))\).
Pentru a rezolva cu succes astfel de sarcini, aveți nevoie de:
- înțelegeți cu atenție imbricarea parantezelor - care este în care;
— deschideți parantezele succesiv, începând, de exemplu, cu cel mai interior.
Este important la deschiderea unuia dintre suporturi nu atingeți restul expresiei, doar rescriindu-l așa cum este.
Să ne uităm la sarcina scrisă mai sus ca exemplu.
Exemplu.
Deschideți parantezele și dați termeni similari \(7x+2(5-(3x+y))\).
Soluţie:
Să începem sarcina prin deschiderea suportului interior (cel din interior). Extindendu-l, avem de-a face numai cu ceea ce are legătură directă cu acesta - acesta este paranteza în sine și minusul din fața lui (evidențiat cu verde). Rescriem totul în rest (neevidențiat) în același mod.
Rezolvarea problemelor de matematică online
Calculator online.
Simplificarea unui polinom.
Înmulțirea polinoamelor.
Cu acest program de matematică puteți simplifica un polinom.
În timp ce programul rulează:
- multiplica polinoamele
— însumează monomii (oferă unele similare)
- deschide parantezele
- ridică un polinom la o putere
Programul de simplificare polinomială nu numai că dă răspunsul problemei, ci oferă solutie detaliata cu explicații, adică afișează procesul de rezolvare, astfel încât să vă puteți verifica cunoștințele de matematică și/sau algebră.
Acest program poate fi util pentru studenți scoala secundaraîn pregătirea pentru teste și examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi manuale noi? Sau vrei doar să o faci cât mai repede posibil? teme pentru acasă la matematică sau algebră? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate.
În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formare a fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul rezolvării problemelor crește.
Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde soluția va apărea mai jos.
Vă rugăm să așteptați o secundă.
Puțină teorie.
Produsul unui monom și al unui polinom. Conceptul de polinom
Printre diferitele expresii care sunt luate în considerare în algebră, sumele de monomii ocupă un loc important. Iată exemple de astfel de expresii:
Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom se numesc termeni ai polinomului. Monomiile sunt, de asemenea, clasificate ca polinoame, considerând că un monom este un polinom format dintr-un membru.
Să reprezentăm toți termenii sub formă de monomii de forma standard:
Să prezentăm termeni similari în polinomul rezultat:
Rezultatul este un polinom, toți termenii căruia sunt monomii de forma standard, iar printre ei nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.
In spate gradul de polinom de o formă standard ia cea mai înaltă dintre puterile membrilor săi. Astfel, un binom are al treilea grad, iar un trinom are al doilea.
De obicei, termenii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților. De exemplu:
Suma mai multor polinoame poate fi transformată (simplificată) într-un polinom de formă standard.
Uneori, termenii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece includerea parantezelor este transformarea inversă a parantezelor de deschidere, este ușor de formulat reguli pentru deschiderea parantezelor:
Dacă semnul „+” este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu aceleași semne.
Dacă un semn „-” este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semne opuse.
Transformarea (simplificarea) a produsului dintre un monom și un polinom
Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, puteți transforma (simplifica) produsul dintre un monom și un polinom într-un polinom. De exemplu:
Produsul unui monom și unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.
Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.
Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțiți acel monom cu fiecare dintre termenii polinomului.
Am folosit deja această regulă de mai multe ori pentru a înmulți cu o sumă.
Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame
În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.
De obicei se folosește următoarea regulă.
Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.
Formule de înmulțire prescurtate. Suma pătrate, diferențe și diferență de pătrate
Trebuie să te confrunți cu unele expresii în transformările algebrice mai des decât altele. Poate că cele mai comune expresii sunt u, adică pătratul sumei, pătratul diferenței și diferența de pătrate. Ați observat că numele acestor expresii par a fi incomplete, de exemplu, acesta este, desigur, nu doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu apare foarte des; de regulă, în loc de literele a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe.
Expresiile pot fi ușor convertite (simplificate) în polinoame de forma standard; de fapt, ați întâlnit deja o astfel de sarcină la înmulțirea polinoamelor:
Este util să vă amintiți identitățile rezultate și să le aplicați fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.
- pătratul sumei este egal cu suma pătratelor și produsul dublu.
- pătratul diferenței este egal cu suma pătratelor fără produsul dublu.
- diferența de pătrate este egală cu produsul dintre diferență și suma.
Aceste trei identități permit înlocuirea părților sale din stânga cu cele din dreapta în transformări și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți cum sunt înlocuite variabilele a și b în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.
Cărți (manale) Rezumate ale examenului de stat unificat și teste OGE Jocuri online, puzzle-uri Construirea graficelor de funcții Dicționarul ortografic al limbii ruse Dicționarul argoului tinerilor Catalogul școlilor rusești Catalogul instituțiilor de învățământ secundar din Rusia Catalogul universităților ruse Lista de probleme Găsirea GCD și LCM Simplificarea unui polinom (înmulțirea polinoamelor) Împărțirea unui polinom în un polinom după o coloană Calcularea fracțiilor numerice Rezolvarea problemelor cu procente Numere complexe: suma, diferența, produsul și câtul sistemului lui 2 ecuatii lineare cu doi variabile Soluţie ecuație pătratică Izolarea pătratului unui binom și factorizarea unui trinom pătratic Rezolvarea inegalităților Rezolvarea sistemelor de inegalități Reprezentarea grafică a unei funcții patratice Reprezentarea grafică a unei funcții fracționale-liniare Rezolvarea progresiilor aritmetice și geometrice Rezolvarea trigonometrice, exponențiale, ecuații logaritmice Calculul limitelor, derivata, tangentei Integrale, antiderivate Rezolvarea triunghiurilor Calculul actiunilor cu vectori Calculul actiunilor cu drepte si plane Aria forme geometrice Perimetrul formelor geometrice Volumul corpurilor geometrice Suprafața corpurilor geometrice
Constructor de situație de trafic
Vremea - știri - horoscoape
www.mathsolution.ru
Paranteze extinse
Continuăm să studiem elementele de bază ale algebrei. În această lecție vom învăța cum să extindem parantezele în expresii. Extinderea parantezelor înseamnă eliminarea parantezelor dintr-o expresie.
Pentru a deschide paranteze, trebuie să memorați doar două reguli. Cu antrenament regulat, puteți deschide parantezele cu cu ochii inchisi, iar acele reguli care trebuiau memorate pot fi uitate în siguranță.
Prima regulă pentru deschiderea parantezelor
Luați în considerare următoarea expresie:
Valoarea acestei expresii este 2 . Să deschidem parantezele din această expresie. Extinderea parantezelor înseamnă a scăpa de ele fără a afecta sensul expresiei. Adică, după ce am scăpat de paranteze, valoarea expresiei 8+(−9+3) ar trebui să fie în continuare egal cu doi.
Prima regulă pentru deschiderea parantezelor este următoarea:
La deschiderea parantezelor, dacă există un plus în fața parantezelor, atunci acest plus este omis împreună cu parantezele.
Deci, vedem asta în expresie 8+(−9+3) Înaintea parantezei este un semn plus. Acest plus trebuie omis împreună cu parantezele. Cu alte cuvinte, parantezele vor dispărea împreună cu plusul care stătea în fața lor. Și ceea ce era între paranteze va fi scris fără modificări:
8−9+3 . Această expresie este egală cu 2 , ca și expresia anterioară cu paranteze, a fost egal cu 2 .
8+(−9+3) Și 8−9+3
8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
Exemplul 2. Extindeți parantezele în expresie 3 + (−1 − 4)
Există un plus în fața parantezelor, ceea ce înseamnă că acest plus este omis împreună cu paranteze. Ceea ce a fost între paranteze va rămâne neschimbat:
3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4
Exemplul 3. Extindeți parantezele în expresie 2 + (−1)
ÎN în acest exemplu deschiderea parantezelor a devenit un fel de operație inversă de înlocuire a scăderii cu adunarea. Ce înseamnă?
În exprimare 2−1 are loc scăderea, dar poate fi înlocuită prin adunare. Apoi obținem expresia 2+(−1) . Dar dacă în expresie 2+(−1) deschide parantezele, primești originalul 2−1 .
Prin urmare, prima regulă pentru deschiderea parantezelor poate fi folosită pentru a simplifica expresiile după unele transformări. Adică, scăpați de paranteze și faceți-l mai simplu.
De exemplu, să simplificăm expresia 2a+a−5b+b .
Pentru a simplifica această expresie, pot fi dați termeni similari. Să ne reamintim că pentru a reduce termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții termenilor similari și să înmulțiți rezultatul cu partea comună a literei:
Am o expresie 3a+(−4b). Să eliminăm parantezele din această expresie. Există un plus în fața parantezelor, așa că folosim prima regulă pentru deschiderea parantezelor, adică omitem parantezele împreună cu plusul care vine înaintea acestor paranteze:
Deci expresia 2a+a−5b+b simplifică la 3a−4b .
După ce au deschis unele paranteze, este posibil să întâlniți altele pe parcurs. Le aplicăm aceleași reguli ca și primilor. De exemplu, să extindem parantezele în următoarea expresie:
Există două locuri în care trebuie să deschideți parantezele. În acest caz, se aplică prima regulă de deschidere a parantezelor, și anume, omiterea parantezelor împreună cu semnul plus care precede aceste paranteze:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
Exemplul 3. Extindeți parantezele în expresie 6+(−3)+(−2)
În ambele locuri unde există paranteze, acestea sunt precedate de un plus. Aici se aplică din nou prima regulă de deschidere a parantezelor:
Uneori, primul termen dintre paranteze este scris fără semn. De exemplu, în expresia 1+(2+3−4) primul termen între paranteze 2 scris fără semn. Se pune întrebarea, ce semn va apărea în fața celor două după ce sunt omise parantezele și plusul din fața parantezelor? Răspunsul sugerează de la sine - va fi un plus în fața celor doi.
De fapt, chiar și fiind între paranteze există un plus în fața celor doi, dar nu îl vedem pentru că nu este scris. Am spus deja că notația completă a numerelor pozitive arată ca +1, +2, +3. Dar conform tradiției, plusurile nu sunt notate, motiv pentru care vedem numerele pozitive care ne sunt familiare 1, 2, 3 .
Prin urmare, pentru a extinde parantezele din expresie 1+(2+3−4) , ca de obicei, trebuie să omiteți parantezele împreună cu semnul plus din fața acestor paranteze, dar scrieți primul termen care a fost între paranteze cu semnul plus:
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
Exemplul 4. Extindeți parantezele în expresie −5 + (2 − 3)
Există un plus în fața parantezelor, așa că aplicăm prima regulă pentru deschiderea parantezelor, și anume, omitem parantezele împreună cu plusul care vine înaintea acestor paranteze. Dar primul termen, pe care îl scriem între paranteze cu semnul plus:
−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3
Exemplul 5. Extindeți parantezele în expresie (−5)
În fața parantezei este un plus, dar nu este scris pentru că înaintea lui nu existau alte numere sau expresii. Sarcina noastră este să scoatem parantezele aplicând prima regulă de deschidere a parantezelor, și anume, să omitem parantezele împreună cu acest plus (chiar dacă este invizibil)
Exemplul 6. Extindeți parantezele în expresie 2a + (−6a + b)
Există un plus în fața parantezelor, ceea ce înseamnă că acest plus este omis împreună cu paranteze. Ceea ce era între paranteze va fi scris neschimbat:
2a + (−6a + b) = 2a −6a + b
Exemplul 7. Extindeți parantezele în expresie 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)
Există două locuri în această expresie în care trebuie să extindeți parantezele. În ambele secțiuni există un plus înaintea parantezelor, ceea ce înseamnă că acest plus este omis împreună cu parantezele. Ceea ce era între paranteze va fi scris neschimbat:
5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d
A doua regulă pentru deschiderea parantezelor
Acum să ne uităm la a doua regulă pentru deschiderea parantezelor. Este folosit când există un minus înaintea parantezei.
Dacă există un minus înaintea parantezelor, atunci acest minus este omis împreună cu parantezele, dar termenii care erau în paranteze își schimbă semnul în sens opus.
De exemplu, să extindem parantezele din următoarea expresie
Vedem că există un minus înaintea parantezelor. Aceasta înseamnă că trebuie să aplicați a doua regulă de extindere, și anume, omiteți parantezele împreună cu semnul minus din fața acestor paranteze. În acest caz, termenii care erau între paranteze își vor schimba semnul în sens invers:
Avem o expresie fără paranteze 5+2+3 . Această expresie este egală cu 10, la fel cum expresia anterioară cu paranteze a fost egală cu 10.
Astfel, între expresii 5−(−2−3) Și 5+2+3 puteți pune un semn egal, deoarece sunt egale cu aceeași valoare:
5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
Exemplul 2. Extindeți parantezele în expresie 6 − (−2 − 5)
Există un minus înainte de paranteze, așa că aplicăm a doua regulă pentru deschiderea parantezelor, și anume, omitem parantezele împreună cu minusul care vine înaintea acestor paranteze. În acest caz, scriem termenii care erau între paranteze cu semne opuse:
6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5
Exemplul 3. Extindeți parantezele în expresie 2 − (7 + 3)
Există un minus înainte de paranteze, așa că aplicăm a doua regulă pentru deschiderea parantezelor:
Exemplul 4. Extindeți parantezele în expresie −(−3 + 4)
Exemplul 5. Extindeți parantezele în expresie −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
Există două locuri în care trebuie să deschideți parantezele. În primul caz, trebuie să aplicați a doua regulă pentru deschiderea parantezelor și atunci când vine vorba de expresie +(−9−2) trebuie să aplicați prima regulă:
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
Exemplul 6. Extindeți parantezele în expresie −(−a − 1)
Exemplul 7. Extindeți parantezele în expresie −(4a + 3)
Exemplul 8. Extindeți parantezele în expresie A − (4b + 3) + 15
Exemplul 9. Extindeți parantezele în expresie 2a + (3b − b) − (3c + 5)
Există două locuri în care trebuie să deschideți parantezele. În primul caz, trebuie să aplicați prima regulă pentru deschiderea parantezelor și atunci când vine vorba de expresie −(3c+5) trebuie să aplicați a doua regulă:
2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5
Exemplul 10. Extindeți parantezele în expresie −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
Există trei locuri în care trebuie să deschideți paranteze. Mai întâi trebuie să aplicați a doua regulă pentru deschiderea parantezelor, apoi prima și apoi a doua din nou:
−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15
Mecanism de deschidere a suportului
Regulile pentru deschiderea parantezelor pe care le-am examinat acum se bazează pe legea distributivă a înmulțirii:
De fapt parantezele de deschidere este procedura în care factorul comun este înmulțit cu fiecare termen din paranteze. Ca urmare a acestei înmulțiri, parantezele dispar. De exemplu, să extindem parantezele din expresie 3×(4+5)
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Prin urmare, dacă trebuie să înmulțiți un număr cu o expresie între paranteze (sau să înmulțiți o expresie între paranteze cu un număr), trebuie să spuneți să deschidem parantezele.
Dar cum este legea distributivă a înmulțirii legată de regulile de deschidere a parantezelor pe care le-am examinat mai devreme?
Cert este că înaintea oricărei paranteze există un factor comun. În exemplu 3×(4+5) factorul comun este 3 . Și în exemplu a(b+c) factorul comun este o variabilă A.
Dacă nu există numere sau variabile înaintea parantezei, atunci factorul comun este 1 sau −1 , în funcție de ce semn se află în fața parantezelor. Dacă există un plus în fața parantezelor, atunci factorul comun este 1 . Dacă există un minus înaintea parantezei, atunci factorul comun este −1 .
De exemplu, să extindem parantezele din expresie −(3b−1). Există un semn minus în fața parantezelor, așa că trebuie să utilizați a doua regulă pentru deschiderea parantezelor, adică omiteți parantezele împreună cu semnul minus din fața parantezelor. Și scrieți expresia care era între paranteze cu semne opuse:
Am extins parantezele folosind regula pentru extinderea parantezelor. Dar aceleași paranteze pot fi deschise folosind legea distributivă a înmulțirii. Pentru a face acest lucru, mai întâi scrieți înaintea parantezelor factorul comun 1, care nu a fost notat:
Semnul minus care stătea anterior înaintea parantezelor se referea la această unitate. Acum puteți deschide parantezele folosind legea distributivă a înmulțirii. În acest scop factorul comun −1 trebuie să înmulțiți cu fiecare termen din paranteze și să adăugați rezultatele.
Pentru comoditate, înlocuim diferența dintre paranteze cu suma:
−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1
Ca ultima dată când am primit expresia −3b+1. Toată lumea va fi de acord că de data aceasta s-a petrecut mai mult timp rezolvând un exemplu atât de simplu. Prin urmare, este mai înțelept să folosiți reguli gata făcute pentru deschiderea parantezelor, despre care am discutat în această lecție:
Dar nu strică să știi cum funcționează aceste reguli.
În această lecție am învățat o altă transformare identică. Împreună cu deschiderea parantezelor, scoaterea generalului din paranteze și aducerea unor termeni similari, puteți extinde ușor gama de probleme de rezolvat. De exemplu:
Aici trebuie să efectuați două acțiuni - mai întâi deschideți parantezele, apoi aduceți termeni similari. Deci, în ordine:
1) Deschideți parantezele:
2) Prezentăm termeni similari:
În expresia rezultată −10b+(−1) puteți extinde parantezele:
Exemplul 2. Deschideți parantezele și adăugați termeni similari în următoarea expresie:
1) Să deschidem parantezele:
2) Să prezentăm termeni similari. De data aceasta, pentru a economisi timp și spațiu, nu vom nota modul în care coeficienții sunt înmulțiți cu partea comună a literei
Exemplul 3. Simplificați o expresie 8m+3mși găsiți-i valoarea la m=−4
1) Mai întâi, să simplificăm expresia. Pentru a simplifica expresia 8m+3m, puteți elimina factorul comun din el mîn afara parantezelor:
2) Aflați valoarea expresiei m(8+3) la m=−4. Pentru a face acest lucru, în expresia m(8+3)în loc de o variabilă mînlocuiți numărul −4
m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44
În acest articol ne vom uita în detaliu la regulile de bază ale acestora subiect important curs de matematică, cum ar fi parantezele de deschidere. Trebuie să cunoașteți regulile de deschidere a parantezelor pentru a rezolva corect ecuațiile în care sunt folosite.
Cum să deschideți corect parantezele când adăugați
Extindeți parantezele precedate de semnul „+”.
Acesta este cel mai simplu caz, deoarece dacă există un semn de adaos în fața parantezelor, semnele din interiorul lor nu se schimbă atunci când parantezele sunt deschise. Exemplu:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Cum să extindeți parantezele precedate de semnul „-”.
În acest caz, trebuie să rescrieți toți termenii fără paranteze, dar în același timp să schimbați toate semnele din interiorul lor cu cele opuse. Semnele se schimbă numai pentru termenii din acele paranteze care au fost precedate de semnul „-”. Exemplu:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Cum să deschideți parantezele la înmulțire
Înainte de paranteze există un număr multiplicator
În acest caz, trebuie să înmulțiți fiecare termen cu un factor și să deschideți parantezele fără a schimba semnele. Dacă multiplicatorul are semnul „-”, atunci în timpul înmulțirii semnele termenilor sunt inversate. Exemplu:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Cum se deschide două paranteze cu un semn de înmulțire între ele
În acest caz, trebuie să înmulțiți fiecare termen din primele paranteze cu fiecare termen din a doua paranteză și apoi să adăugați rezultatele. Exemplu:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Cum se deschide parantezele într-un pătrat
Dacă suma sau diferența dintre doi termeni este la pătrat, parantezele trebuie deschise conform următoarei formule:
(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.
În cazul unui minus între paranteze, formula nu se modifică. Exemplu:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Cum să extindeți parantezele într-un alt grad
Dacă suma sau diferența de termeni este ridicată, de exemplu, la a 3-a sau a 4-a putere, atunci trebuie doar să spargeți puterea parantezei în „pătrate”. Se adună puterile factorilor identici, iar la împărțire, puterea divizorului este scăzută din puterea dividendului. Exemplu:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Cum se deschide 3 paranteze
Există ecuații în care 3 paranteze sunt înmulțite deodată. În acest caz, trebuie să înmulțiți mai întâi termenii primelor două paranteze împreună, apoi să înmulțiți suma acestei înmulțiri cu termenii celui de-al treilea parantez. Exemplu:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Aceste reguli pentru deschiderea parantezelor se aplică în mod egal pentru rezolvarea ecuațiilor liniare și trigonometrice.
Continui seria articolelor metodologice pe tema predării. Este timpul să ne uităm la caracteristici munca individuala tutore de matematică pentru elevii clasei a VII-a. Cu mare plăcere îmi voi împărtăși gândurile despre formele de prezentare a uneia dintre cele mai importante subiecte curs de algebră în clasa a VII-a - „paranteze de deschidere”. Pentru a nu încerca să înțelegem imensitatea, să ne oprim la stadiul inițial și să analizăm metoda tutorelui de a lucra cu înmulțirea unui polinom cu un polinom. Cum profesor de matematică operează în situatii dificile, Când student slab nu percepe formă clasică explicatii? Ce sarcini ar trebui pregătite pentru un elev puternic de clasa a șaptea? Să luăm în considerare aceste și alte întrebări.
S-ar părea, ce este atât de complicat în asta? „Parantezele sunt la fel de ușor ca decojirea perelor”, va spune orice student excelent. „Există o lege de distribuție și proprietăți ale puterilor pentru lucrul cu monomii, un algoritm general pentru orice număr de termeni. Înmulțiți fiecare cu fiecare și aduceți altele asemănătoare.” Cu toate acestea, nu totul este atât de simplu atunci când lucrați cu întârziați. În ciuda eforturilor profesorului de matematică, elevii reușesc să greșească ei înșiși. diferite calibre chiar şi în cele mai simple transformări. Natura erorilor este izbitoare prin diversitatea sa: de la mici omisiuni de litere și semne până la „erori de oprire” grave.
Ce îl împiedică pe elev să finalizeze corect transformările? De ce este posibilă neînțelegerea?
Există un număr mare de probleme individuale, iar unul dintre principalele obstacole în calea asimilării și consolidării materialelor este dificultatea de a comuta în timp util și rapid a atenției, dificultatea de a procesa o cantitate mare de informații. Unora li se poate părea ciudat că vorbesc despre un volum mare, dar un elev slab de clasa a VII-a poate să nu aibă suficiente resurse de memorie și atenție nici măcar pentru patru trimestri. Coeficienții, variabilele, grade (indicatorii) interferează. Elevul confundă ordinea operațiilor, uită care monomii au fost deja înmulțite și care au rămas neatinse, nu-și poate aminti cum sunt înmulțite etc.
Abordare numerică pentru profesor de matematică
Desigur, trebuie să începeți cu o explicație a logicii din spatele construcției algoritmului în sine. Cum să o facă? Trebuie să punem o problemă: cum să schimbăm ordinea acțiunilor într-o expresie 
ca sa nu se schimbe rezultatul? Destul de des dau exemple care explică cum funcționează anumite reguli folosind anumite numere. Și abia atunci le înlocuiesc cu litere. Tehnica de utilizare a abordării numerice va fi descrisă mai jos.
Probleme de motivație.
La începutul unei lecții, este dificil pentru un tutore de matematică să adune un elev dacă nu înțelege relevanța a ceea ce este studiat. În programa pentru clasele 6-7, este dificil să găsești exemple de utilizare a regulii pentru înmulțirea polinoamelor. Aș sublinia nevoia de a învăța schimba ordinea acțiunilor în expresii Elevul ar trebui să știe că acest lucru ajută la rezolvarea problemelor din experiență în adăugarea unor termeni similari. A trebuit să le adună împreună atunci când rezolva ecuații. De exemplu, în 2x+5x+13=34 el folosește acel 2x+5x=7x. Un profesor de matematică trebuie pur și simplu să concentreze atenția elevului asupra acestui lucru.
Profesorii de matematică se referă adesea la tehnica de deschidere a parantezelor ca regula „fântână”..
Această imagine este bine amintită și cu siguranță ar trebui folosită. Dar cum se dovedește această regulă? Să ne amintim forma clasică, care folosește transformări evidente de identitate:
(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd
Este dificil pentru un profesor de matematică să comenteze ceva aici. Literele vorbesc de la sine. Și un elev puternic de clasa a VII-a nu are nevoie de explicații detaliate. Totuși, ce să facă cu cei slabi, care nu vede niciun conținut în acest „amestetic literal”?
Principala problemă care interferează cu percepția justificării matematice clasice a „fântânii” este forma neobișnuită de a scrie primul factor. Nici în clasa a V-a, nici în clasa a VI-a elevul nu a fost nevoit să tragă prima paranteză la fiecare trimestru al celui de-al doilea. Copiii s-au ocupat doar de numere (coeficienți), cel mai adesea situate în stânga parantezelor, de exemplu:
Până la sfârșitul clasei a VI-a, elevul și-a format o imagine vizuală a unui obiect - o anumită combinație de semne (acțiuni) asociate cu paranteze. Și orice abatere de la viziunea obișnuită către ceva nou poate dezorienta un elev de clasa a șaptea. Este imaginea vizuală a perechii „număr + paranteză” pe care profesorul de matematică o folosește când explică.
Se poate oferi următoarea explicație. Tutorul motivează: „Dacă era un număr în fața parantezei, de exemplu 5, atunci am putea schimba proceduraîn această expresie? Cu siguranță. Atunci hai să o facem 
. Gândiți-vă dacă rezultatul lui se va schimba dacă în loc de numărul 5 introducem suma 2+3 cuprinsă între paranteze? Orice student îi va spune tutorelui: „Ce diferență are felul în care scrieți: 5 sau 2+3.” Minunat. Veți primi o înregistrare. Profesorul de matematică face o scurtă pauză, astfel încât elevul să-și amintească vizual imaginea-imagine a obiectului. Apoi își atrage atenția asupra faptului că paranteza, ca și numărul, „s-a distribuit” sau „a sărit” la fiecare termen. Ce înseamnă acest lucru? Aceasta înseamnă că această operație poate fi efectuată nu numai cu un număr, ci și cu o paranteză. Avem două perechi de factori și . Majoritatea elevilor se descurcă cu ușurință singuri și scriu rezultatul tutorelui. Este important să comparați perechile rezultate cu conținutul parantezelor 2+3 și 6+4 și va deveni clar cum se deschid.
Dacă este necesar, după exemplul cu numere, profesorul de matematică realizează o dovadă a literei. Se dovedește a fi o plimbare prin aceleași părți ale algoritmului anterior.
Formarea abilității de a deschide paranteze
Formarea abilității de a înmulți parantezele este una dintre cele cele mai importante etape munca unui profesor de matematică cu o temă. Și chiar mai important decât etapa explicării logicii regulii „fântânii”. De ce? Motivul schimbărilor va fi uitat chiar a doua zi, dar îndemânarea, dacă se formează și se consolidează în timp, va rămâne. Elevii efectuează operația mecanic, ca și cum ar prelua din memorie o tabelă de înmulțire. Acesta este ceea ce trebuie realizat. De ce? Dacă de fiecare dată când un elev deschide paranteze își amintește de ce este deschis astfel și nu altfel, va uita de problema pe care o rezolvă. Acesta este motivul pentru care profesorul de matematică dedică timpul rămas al lecției transformării înțelegerii în memorare prin memorare. Această strategie este adesea folosită în alte subiecte.
Cum poate un tutore să dezvolte abilitatea de a deschide parantezele la un elev? Pentru a face acest lucru, un elev de clasa a VII-a trebuie să realizeze o serie de exerciții în cantități suficiente pentru a se consolida. Acest lucru ridică o altă problemă. Un elev slab de clasa a VII-a nu poate face față numărului crescut de transformări. Chiar și cele mici. Și greșelile cad una după alta. Ce ar trebui să facă un profesor de matematică? În primul rând, se recomandă să desenați săgeți de la fiecare termen la fiecare. Dacă un elev este foarte slab și nu este capabil să treacă rapid de la un tip de muncă la altul sau își pierde concentrarea atunci când urmează comenzi simple de la profesor, atunci profesorul de matematică însuși desenează aceste săgeți. Și nu toate deodată. În primul rând, tutorele conectează primul termen din paranteza stângă cu fiecare termen din paranteza dreaptă și le cere să efectueze înmulțirea corespunzătoare. Abia după aceasta săgețile sunt direcționate de la al doilea termen către aceeași paranteză dreaptă. Cu alte cuvinte, tutorele împarte procesul în două etape. Este mai bine să mențineți o pauză scurtă (5-7 secunde) între prima și a doua operație.
1) Un set de săgeți trebuie desenat deasupra expresiilor, iar celălalt sub ele.
2) Este important să săriți cel puțin între rânduri câteva celule. În caz contrar, înregistrarea va fi foarte densă, iar săgețile nu numai că vor urca pe linia anterioară, ci se vor amesteca și cu săgețile de la exercițiul următor.
3) În cazul înmulțirii parantezelor în format 3 cu 2, se trasează săgeți de la paranteza scurtă la cea lungă. În caz contrar, nu vor fi două, ci trei dintre aceste „fântâni”. Implementarea celui de-al treilea este vizibil mai complicată din cauza lipsei de spațiu liber pentru săgeți.
4) săgețile indică întotdeauna din același punct. Unul dintre elevii mei a tot încercat să le pună unul lângă altul și iată ce a venit cu:
Acest aranjament nu permite selectarea și înregistrarea termenului curent cu care elevul lucrează la fiecare etapă.
Lucrul cu degetul profesorului
4) Pentru a menține atenția asupra unei perechi separate de termeni multiplicați, profesorul de matematică pune două degete pe ei. Acest lucru trebuie făcut în așa fel încât să nu blocheze vederea elevului. Pentru elevii cei mai neatenți, puteți folosi metoda „pulsării”. Profesorul de matematică își mută primul deget la începutul săgeții (la unul dintre termeni) și îl fixează, iar cu al doilea „ciocăne” la sfârșitul acesteia (la al doilea termen). Ripple ajută la concentrarea atenției asupra termenului cu care elevul se înmulțește. După ce prima înmulțire cu paranteza dreaptă este finalizată, profesorul de matematică spune: „Acum lucrăm cu celălalt termen”. Profesorul mută „degetul fix” spre el și trece degetul „pulsător” peste termenii din cealaltă paranteză. Pulsația funcționează ca un „semnal de direcție” într-o mașină și vă permite să concentrați atenția unui elev absent asupra operației pe care o efectuează. Dacă copilul scrie mic, atunci se folosesc două creioane în loc de degete.
Optimizarea repetitiei
La fel ca atunci când studiezi orice alt subiect într-un curs de algebră, înmulțirea polinoamelor poate și ar trebui să fie integrată cu materialul tratat anterior. Pentru a face acest lucru, profesorul de matematică folosește sarcini speciale de tip punte care vă permit să găsiți aplicarea a ceea ce studiați în diferite obiecte matematice. Ele nu numai că conectează subiectele într-un singur întreg, ci și organizează foarte eficient repetarea întregului curs de matematică. Și cu cât tutorul construiește mai multe punți, cu atât mai bine.
În mod tradițional, manualele de algebră de clasa a VII-a integrează parantezele de deschidere cu rezolvarea ecuațiilor liniare. La sfârșitul listei de numere există întotdeauna sarcini de următoarea ordine: rezolvarea ecuației. La deschiderea parantezelor, pătratele sunt reduse, iar ecuația se rezolvă ușor folosind instrumente de clasa a VII-a. Cu toate acestea, din anumite motive, autorii manualelor uită în mod convenabil de construirea unui grafic al unei funcții liniare. Pentru a corecta acest neajuns, aș sfătui profesorii de matematică să includă paranteze în expresiile analitice funcții liniare, De exemplu . În astfel de exerciții, elevul nu numai că își antrenează abilitățile de a efectua transformări identice, ci și repetă grafice. Puteți cere să găsiți punctul de intersecție a doi „monștri”, să determinați poziția relativă a liniilor, să găsiți punctele de intersecție a acestora cu axele etc.
Kolpakov A.N. Profesor de matematică în Strogino. Moscova