Fie R o relație binară pe mulțimea X. Relația R se numește reflectorizant , dacă (x, x) О R pentru toate x О X; simetric – dacă din (x, y) О R rezultă (y, x) О R; numărul tranzitiv 23 corespunde opțiunii 24 dacă (x, y) О R și (y, z) О R implică (x, z) О R.

Exemplul 1

Vom spune că x О X are în comun cu elementul y О X, dacă mulţimea
x Ç y nu este gol. Relația de a avea în comun va fi reflexivă și simetrică, dar nu tranzitivă.

Relația de echivalență pe X este o relație reflexivă, tranzitivă și simetrică. Este ușor de observat că R Í X ´ X va fi o relație de echivalență dacă și numai dacă au loc incluziuni:

Id X Í R (reflexivitate),

R -1 Í R (simetrie),

R ° R Í R (tranzitivitate).

În realitate, aceste trei condiții sunt echivalente cu următoarele:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

Prin despicare a unei mulțimi X este mulțimea A de submulțimi disjunse perechi a Í X astfel încât UA = X. Cu fiecare partiție A putem asocia o relație de echivalență ~ pe X, punând x ~ y dacă x și y sunt elemente ale unor a Î A .

Fiecărei relații de echivalență ~ pe X îi corespunde o partiție A, ale cărei elemente sunt submulțimi, fiecare fiind formată din cele din relația ~. Aceste subseturi sunt numite clase de echivalenţă . Această partiție A se numește mulțime de factori a mulțimii X față de ~ și se notează: X/~.

Să definim relația ~ pe mulțimea w numere naturale, punând x ~ y dacă resturile la împărțirea x și y la 3 sunt egale. Atunci w/~ constă din trei clase de echivalență corespunzătoare resturilor 0, 1 și 2.

Relația de comandă

O relație binară R pe o mulțime X se numește antisimetric , dacă din x R y și y R x rezultă: x = y. O relație binară R pe o mulțime X se numește relație de ordine , dacă este reflexiv, antisimetric și tranzitiv. Este ușor de observat că acest lucru este echivalent cu următoarele condiții:

1) Id X Í R (reflexivitate),

2) R Ç R -1 (antisimetrie),

3) R ° R Í R (tranzitivitate).

Se numește o pereche ordonată (X, R) formată dintr-o mulțime X și o relație de ordine R pe X set parțial comandat .

Exemplul 1

Fie X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2) ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

Deoarece R îndeplinește condițiile 1 – 3, atunci (X, R) este o mulțime parțial ordonată. Pentru elementele x = 2, y = 3, nici x R y nici y R x nu sunt adevărate. Astfel de elemente sunt numite incomparabil . De obicei, relația de ordine este notată cu £. În exemplul dat, 0 £ 1 și 2 £ 2, dar nu este adevărat că 2 £ 3.

Exemplul 2

Lasă< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Elementele x, y О X ale unei mulțimi parțial ordonate (X, £) sunt numite comparabil , dacă x £ y sau y £ x.

Se numește o mulțime parțial ordonată (X, £). ordonat liniar sau lanţ , dacă oricare dintre elementele sale sunt comparabile. Setul din exemplul 2 va fi ordonat liniar, dar setul din exemplul 1 nu.

Se numește o submulțime A Í X dintr-o mulțime parțial ordonată (X, £). mărginit deasupra , dacă există un element x О X astfel încât un £ x pentru tot un О A. Elementul x О X se numește cel mai mare în X dacă y £ x pentru tot y О X. Un element x О X se numeşte maxim dacă nu există elemente y О X diferite de x pentru care x £ y. În exemplul 1, elementele 2 și 3 vor fi maxime, dar nu cele mai mari. Definit în mod similar limita inferioară submulțimi, elementele cele mai mici și minime. În exemplul 1, elementul 0 va fi atât cel mai mic, cât și minim. În Exemplul 2, 0 are și aceste proprietăți, dar (w, £) nu are nici cel mai mare, nici cel mai mare element.

Fie (X, £) o mulțime parțial ordonată, A Í X o submulțime. O relație pe A, formată din perechi (a, b) de elemente a, b О A, pentru care a £ b, va fi o relație de ordine pe A. Această relație se notează cu același simbol: £. Astfel, (A, £) este o mulțime parțial ordonată. Dacă este ordonată liniar, atunci vom spune că A este lanţ în (X, £).

Principiul maxim

Unele afirmații matematice nu pot fi dovedite fără axioma alegerii. Se spune că aceste afirmații sunt depinde de axioma de alegere sau valabil în teoria ZFC , în practică, în locul axiomei de alegere, fie axioma Zermelo, fie lema Kuratowski-Zorn, fie orice altă afirmație echivalentă cu axioma alegerii este de obicei folosită pentru demonstrație.

Lema Kuratowski-Zorn. Dacă fiecare lanț într-un set parțial ordonat(X, £) este limitat de sus, apoi în X există cel puțin un element maxim.

Această lemă este echivalentă cu axioma alegerii și, prin urmare, poate fi acceptată ca axiomă.

Teorema.Pentru orice set parțial comandat(X, £) există o relaţie care conţine relaţia£ și transformând X într-o mulțime ordonată liniar.

Dovada. Mulțimea tuturor relațiilor de ordine care conțin relația £ este ordonată după relația de includere U. Deoarece unirea unui lanț de relații de ordine va fi o relație de ordine, atunci după lema Kuratowski-Zorn există o relație maximă R astfel încât x £ y implică x R y. Să demonstrăm că R este o relație care ordonează liniar pe X. Să presupunem contrariul: să existe a, b О X astfel încât nici (a, b) și nici (b, a) să nu aparțină lui R. Să considerăm relația:

R¢ = R È ((x, y): x Ra și b R y).

Se obține prin adăugarea perechii (a, b) la R și a perechilor (x, y), care trebuie adăugate la R¢ din condiția ca R¢ să fie o relație de ordine. Este ușor de observat că R¢ este reflexiv, antisimetric și tranzitiv. Obținem R Ì R¢, care contrazice maximalitatea lui R, prin urmare, R este relația de ordin liniar dorită.

O mulțime X ordonată liniar se numește bine ordonată dacă fiecare submulțime nevide A Í X a acesteia conține cel mai mic element a Î A. Lema Kuratowski-Zorn și axioma alegerii sunt, de asemenea, echivalente cu următoarea afirmație:

Axioma lui Zermelo. Pentru fiecare mulțime există o relație de ordine care o transformă într-o mulțime complet ordonată.

De exemplu, mulțimea w de numere naturale este complet ordonată. Principiul inductanței este rezumat după cum urmează:

Inducția transfinită. Dacă(X, £) este o mulțime complet ordonată și F(x) este o proprietate a elementelor sale, adevărat pentru cel mai mic element x 0 О X și astfel încât din adevărul lui F(y) pentru tot y < z следует истинность F(z), то F(x) adevărat pentru toată lumea x О X .

Aici y< z означает, что у £ z, но y ¹ z. Действительно, в противном случае среди x Î X, не обладающих свойством F(x), можно выбрать наименьший элемент x 1 , и выполнение F(y) для всех y < x 1 приводит к выполнению F(x 1), противоречащему предположению.

Conceptul de putere

Fie f: X à Y și g: Y à Z hărți de mulțimi. Deoarece f și g sunt relații, compoziția lor este definită g ° f(x) = g(f(x)). Dacă h: Z à T este o hartă de mulțimi, atunci h ° (g ° f) = (h ° g) ° f. Relațiile Id X și Id Y sunt funcții, prin urmare, se definesc compozițiile Id Y ° f = f ° Id x = f. Pentru X = Y, definim f 2 = f ° f, f 3 = f 2 ° f, ..., f n+1 = f n ° f.

Se numește maparea f: X àY prin injectare , dacă pentru orice elemente x 1 ¹ x 2 ale mulțimii X, f(x 1) ¹ f(x 2) este adevărată. Maparea f este numită surjecție , dacă pentru fiecare y ОY există un x ​​О X astfel încât f(x) = y. Dacă f este atât o suprajecție cât și o injecție, atunci f se numește bijectie . Este ușor de observat că f este o bijecție dacă și numai dacă relația inversă f -1 Í Y ´ X este o funcție.

Vom spune că egalitatea |X| = |Y|, dacă există o bijecție între X și Y. Fie |X| £ |Y|, dacă există o injecție f: X à Y.

Teorema Cantor-Schroeder-Bernstein. Dacă|X| £ |Y| Şi|Y| £ |X| , Asta|X| = |Y|.

Dovada. După condiție, există injecții f: X à Y și g: Y à X. Fie A = g¢¢Y = Img imaginea mulțimii Y față de maparea g. Apoi

(X \ A) Ç (gf)¢¢(X \ A) = Æ,

(gf)¢¢(X \ A) Ç (gf) 2 ¢¢(X \ A) = Æ, …,

(gf) n ¢¢(X \ A) Ç (gf) n+1 ¢¢(X \ A) = Æ, …

Se consideră maparea j: X à A, dată ca j(x) = gf(x), cu

x Î (X \ A) È (gf)¢¢(X \ A) È (gf) 2 ¢¢(X \ A) È …, iar j(x) = x în alte cazuri. Este ușor de observat că j este o bijecție. Bijecția necesară între X și Y va fi egală cu g -1 ° j.

Antinomia lui Cantor

Fie |X|< |Y|, если |X| £ |Y| и не существует биекции между X и Y.

teorema lui Cantor. Pentru orice set X, |X|< |P(X)|, где P(X) – множество всех подмножеств множества X.

(adică care are următoarele proprietăți: fiecare element al mulțimii este echivalent cu el însuși; dacă x echivalent y, Asta y echivalent x; Dacă x echivalent y, A y echivalent z, Asta x echivalent z ).

Apoi se numește mulțimea tuturor claselor de echivalență set de factori si este desemnat . Partiționarea unui set în clase de elemente echivalente se numește sa factorizarea.

Afișare de la Xîn mulţimea claselor de echivalenţă se numeşte cartografierea factorilor.

Exemple

Este rezonabil să se folosească factorizarea multime pentru a obține spații normate din cele semi-normate, spații cu produs interior din spații cu produs aproape interior etc. Pentru a face acest lucru, se introduce norma unei clase, care este egală cu norma. a elementului său arbitrar și produs punctual clasele ca produs scalar al elementelor de clasă arbitrare. La rândul său, relația de echivalență este introdusă astfel (de exemplu, pentru a forma un spațiu de coeficient normalizat): se introduce o submulțime a spațiului seminormat inițial, formată din elemente cu seminorma zero (apropo, este liniară, adică, este un subspaţiu) şi se consideră că două elemente sunt echivalente dacă diferenţa lor aparţine chiar acestui subspaţiu.

Dacă, pentru factorizarea unui spațiu liniar, se introduce un anumit subspațiu și se presupune că dacă diferența a două elemente ale spațiului original aparține acestui subspațiu, atunci aceste elemente sunt echivalente, atunci mulțimea factorilor este un spațiu liniar și se numește un spațiu factorial.

Exemple

Vezi de asemenea

Fundația Wikimedia.

2010.

Vedeți ce este „Setul de factori” în alte dicționare:

O formă de gândire care reflectă proprietățile esențiale, conexiunile și relațiile obiectelor și fenomenelor în contradicția și dezvoltarea lor; un gând sau un sistem de gânduri care generalizează, distinge obiecte dintr-o anumită clasă în funcție de un anumit general și în agregat... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Coomologia grupului Galois. Dacă M este un grup Abelian și un grup Galois cu o extensie care acționează pe M, atunci grupurile de coomologie Galois sunt grupuri de coomologie definite de un complex format din toate hărțile, iar d este un operator de coomologie (vezi Coomologia grupurilor).... . .. Enciclopedie matematică

Construcția, spre paradis, a apărut mai întâi în teoria mulțimilor, apoi a devenit utilizată pe scară largă în algebră, topologie și alte domenii ale matematicii. Important caz special Un i.p este un i.p dintr-o familie de structuri matematice de același tip. Lasă... Enciclopedie matematică

Punctele deși relativ la grupul G care acționează asupra mulțimii X (în stânga), mulțimea Mulțimea este un subgrup al lui G și este numită. stabilizator sau subgrup staționar al unui punct în raport cu G. Harta induce o bijecție între G/Gx și orbita G(x). DESPRE…… Enciclopedie matematică

Acest articol are o introducere prea scurtă. Vă rugăm să adăugați o secțiune introductivă care prezintă pe scurt subiectul articolului și rezumă conținutul acestuia... Wikipedia

Acest articol este despre sistem algebric. Pentru ramura logicii matematice care studiază enunțurile și operațiile asupra lor, vezi Algebra logicii. Algebra booleană este o mulțime A nevidă cu două operații binare (analoage unei conjuncții), ... ... Wikipedia

Fie dată o relație de echivalență pe o mulțime. Apoi, mulțimea tuturor claselor de echivalență se numește mulțime de factori și se notează. Partiționarea unei mulțimi în clase de elemente echivalente se numește factorizare. Maparea de la la... ... Wikipedia

În geometrie, un segment direcționat este înțeles ca o pereche ordonată de puncte, primul dintre care, punctul A, se numește începutul său, iar al doilea, B, sfârșitul său. Cuprins 1 Definiție ... Wikipedia

În diferite ramuri ale matematicii, nucleul unei mapări este un anumit kerf set, care într-un sens caracterizează diferența dintre f și o mapare injectivă. Definiție specifică poate varia, dar pentru maparea injectivă a... ... Wikipedia

Pot fi demonstrate următoarele teoreme.

Teorema 1.4. O functie f are o functie inversa f -1 daca si numai daca f este bijectiva.

Teorema 1.5. Compoziția funcțiilor bijective este o funcție bijectivă.

Orez. 1.12 arată relații diferite, toate, cu excepția primei, sunt funcții.

atitudine, dar

injectie, dar

surjecție, dar

nu o funcție

nu o surjecție

nu o injecție

Fie f : A→B o funcție, iar mulțimile A și B să fie mulțimi finite, să punem A = n, B = m. Principiul lui Dirichlet afirmă că dacă n > m, atunci cel puțin o valoare a lui f apare de mai multe ori. Cu alte cuvinte, există o pereche de elemente a i ≠ a j , a i , a j A pentru care f(a i )= f(a j ).

Principiul lui Dirichlet este ușor de demonstrat, așa că îl lăsăm cititorului ca un exercițiu banal. Să ne uităm la un exemplu. Să fie mai mult de 12 elevi într-un grup. Atunci este evident că cel puțin doi dintre ei au o zi de naștere în aceeași lună.

§ 7. Relația de echivalență. Factor - set

O relație binară R pe o mulțime A se numește relație de echivalență dacă R este reflexiv, simetric și tranzitiv.

O relație de egalitate pe o mulțime de numere are proprietățile indicate și, prin urmare, este o relație de echivalență.

Relația de similitudine a triunghiului este, evident, o relație de echivalență.

Relația de inegalitate nestrictă (≤ ) pe mulțimea numerelor reale nu va fi o relație de echivalență, deoarece nu este simetrică: din 3≤ 5 nu rezultă că 5≤ 3.

O clasă de echivalență (coset) generată de un element a pentru o relație de echivalență dată R este submulțimea acelor x A care sunt în relația R cu a. Clasa de echivalență indicată se notează cu [a]R, prin urmare, avem:

[a] R = (x A: a, x R).

Să ne uităm la un exemplu. Pe multimea triunghiurilor se introduce o relatie de asemanare. Este clar că toate triunghiurile echilaterale se încadrează într-un singur grup, deoarece fiecare dintre ele este similar, de exemplu, cu un triunghi, ale cărui laturi au lungimea unitară.

Teorema 1.6. Fie R o relație de echivalență pe mulțimea A și fie [a] R o serie, i.e. [a] R = (x A: a, x R), atunci:

1) pentru orice a A: [a] R ≠, în special, a [a] R;

2) diferite clase nu se intersectează;

3) uniunea tuturor claselor coincide cu întreaga mulțime A;

4) un set de diferite clase formează o partiție a mulțimii A.

Dovada. 1) Datorită reflexivității lui R, obținem că pentru orice a, a A, avem a,a R, deci a [ a] R și [ a] R ≠ ;

2) să presupunem că [a] R ∩ [b] R ≠, i.e. există un element c al lui A și c [a]R ∩ [b]R. Apoi din (cRa)&(cRb) datorita simetriei lui R obtinem ca (aR c)&(cRb), iar din tranzitivitatea lui R avem aRb.

Pentru orice x [a] R avem: (xRa)&(aRb), atunci datorită tranzitivității lui R obținem xRb, adică. x [b] R, deci [a] R [b] R. În mod similar, pentru orice y, y [b] R, avem: (yRb)&(aRb), iar datorită simetriei lui R obținem că (yRb)&(bR a), atunci, datorită tranzitivității lui R , obținem că yR a , i.e. y [a]R și

prin urmare [b] R [a] R . Din [ a ] ​​​​​R [ b ] R și [ b ] R [ a ] ​​​​R obținem [ a ] ​​​​R = [ b ] R , adică dacă clasele se intersectează, atunci ele coincid;

3) pentru orice a, a A, după cum s-a dovedit, avem un [a] R, atunci este evident că unirea tuturor claselor coincide cu mulțimea A.

Din 1)-3) rezultă afirmația 4) din teorema 1.6). Teorema a fost demonstrată. Următoarea teoremă poate fi demonstrată.

Teorema 1.7. Diferite relații de echivalență pe mulțimea A generează diferite partiții ale lui A.

Teorema 1.8. Fiecare partiție a mulțimii A generează o relație de echivalență pe mulțimea A, iar diferite partiții generează relații de echivalență diferite.

Dovada. Să fie dată o partiție B = (B i ) a mulțimii A. Să definim relația R : a,b R dacă și numai dacă există un B i astfel încât a și b să aparțină ambii acestui B i . Este evident că relația introdusă este reflexivă, simetrică și tranzitivă, prin urmare, R este o relație de echivalență. Se poate arăta că dacă partițiile sunt diferite, atunci relațiile de echivalență generate de acestea sunt și ele diferite.

Mulțimea tuturor claselor unei mulțimi A în raport cu o relație de echivalență dată R este numită mulțime de factori și se notează cu A/R. Elementele unui set de factori sunt seturi. Clasa de clase [a]R, așa cum se știe, constă din elementele A care sunt în relație între ele R.

Să considerăm un exemplu de relație de echivalență pe mulțimea numerelor întregi Z = (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...).

Două numere întregi a și b se numesc comparabile (congruente) modulo m dacă m este un divizor numerele a-b, adică dacă avem:

a=b+km , k=…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

În acest caz, scrieți a≡ b(mod m) .

Teorema 1.9. Pentru orice numere a, b, c și m>0 avem:

1) a ≡ a(mod m) ;

2) dacă a ≡ b(mod m), atunci b ≡ a(mod m);

3) dacă a ≡ b(mod m) și b ≡ c(mod m), atunci a ≡ c(mod m).

Dovada. Afirmațiile 1) și 2) sunt evidente. Să demonstrăm 3). Fie a=b+k 1 m, b=c+k 2 m, apoi a=c+(k 1 +k 2)m, i.e. a ≡ c(mod m) . Teorema a fost demonstrată.

Astfel, relația de comparabilitate modulo m este o relație de echivalență și împarte mulțimea de numere întregi în clase disjunse de numere.

Să construim o spirală care se desfășoară la nesfârșit, care este prezentată în Fig. 1.13 este prezentat ca o linie continuă, iar o spirală care se răsucește la nesfârșit este prezentată ca o linie întreruptă. Fie dat un întreg nenegativ m. Vom plasa toate numerele întregi (elementele din mulțimea Z) în punctele de intersecție ale acestor spirale cu m raze, așa cum se arată în Fig. 1.13.

Pentru o relație de comparabilitate modulo m (în special, pentru m =8), clasa de echivalență este numerele aflate pe rază. Evident, fiecare număr se încadrează într-o singură clasă. Se poate obține că pentru m= 8 avem:

[ 0] ={…, -8, 0, 8, 16, …};
[ 1] ={…, -7, 1, 9, 17, …};
[ 2] ={…, -6, 2, 10, 18, …};
[ 7] ={…, -9, -1, 7, 15, …}.

Setul de factori al mulțimii Z în raport cu relația de comparație modulo m este notat cu Z/m sau cu Z m. Pentru cazul luat în considerare m =8

obţinem că Z/8 = Z8 = ( , , , …, ) .

Teorema 1.10. Pentru orice numere întregi a, b, a*, b*, k și m:

1) dacă a ≡ b(mod m), atunci ka ≡ kb(mod m);

2) dacă a ≡ b(mod m) și a* ≡ b* (mod m), atunci:

a) a+a * ≡ b+b* (mod m); b) aa * ≡ bb* (mod m).

Prezentăm dovada pentru cazul 2b). Fie a ≡ b(mod m) și a * ≡ b * (mod m), apoi a=b+sm și a * =b * +tm pentru unele numere întregi s și t. Înmulțirea

obținem: aa* =bb* + btm+ b* sm+ stm2 =bb* +(bt+ b* s+ stm)m. Prin urmare,

aa* ≡ bb* (mod m).

Astfel, comparațiile modulo pot fi adăugate și multiplicate termen cu termen, i.e. funcționează exact în același mod ca și în cazul egalităților. De exemplu,

Sursa locului de munca: Sarcina 10_20. Examen de stat unificat 2018 Studii sociale. Soluţie

Sarcina 20. Citiți textul de mai jos, în care lipsesc un număr de cuvinte (expresii). Selectați din lista de cuvinte (expresii) care trebuie introduse în locul golurilor.

„Calitatea vieții depinde de mulți factori, de la locul de reședință al unei persoane până la situația generală socio-economică și (A), precum și de starea afacerilor politice din țară. Calitatea vieții poate fi influențată într-o măsură sau alta de situația demografică, condițiile de viață și de producție, volumul și calitatea _____(B), etc. În funcție de gradul de satisfacere a nevoilor din economie, se obișnuiește să se distingă diferite niveluri viata populatiei: avere - folosinta (B), asigurare dezvoltare cuprinzătoare persoană; nivel normal de _____(G) conform standardelor bazate științific, oferind unei persoane refacerea forței sale fizice și intelectuale; sărăcie - consumul de bunuri la nivelul menținerii capacității de muncă ca limită inferioară de reproducere _____(D); Sărăcia este consumul setului minim acceptabil de bunuri și servicii conform criteriilor biologice, care permite doar menținerea viabilității umane.

Populația care se adaptează la condiţiile de piaţă, utilizează diverse surse suplimentare de venit, inclusiv venituri din personal ferme subsidiare, profitați din _____(E).”

Cuvintele (expresiile) din listă sunt date la caz nominativ. Fiecare cuvânt (expresie) poate fi folosit o singură dată.

Selectați un cuvânt (expresie) după altul, completând mental fiecare gol. Vă rugăm să rețineți că există mai multe cuvinte (expresii) în listă decât veți avea nevoie pentru a completa golurile.

Lista termenilor:

1) capitalul

2) de mediu

3) consumul raţional

4) bunuri de consum

5) mijloace de producţie

7) munca

8) activitate antreprenorială

9) mobilitate socială

Soluţie.

Să inserăm termenii în text.

„Calitatea vieții depinde de mulți factori, de la locul de reședință al unei persoane până la situația generală socio-economică și de mediu (2) (A), precum și starea afacerilor politice din țară. Calitatea vieții, într-o măsură sau alta, poate fi influențată de situația demografică, de condițiile de locuire și de producție, de volumul și calitatea bunurilor de consum (4) (B), etc. În funcție de gradul de satisfacere a nevoilor din economie, se obișnuiește să se distingă diferitele niveluri de viață ale populației: bogăție - utilizarea beneficiilor (6) (B) care asigură dezvoltarea cuprinzătoare a unei persoane; nivel normal de consum rațional (3) (D) conform standardelor bazate științific, oferind unei persoane refacerea forței sale fizice și intelectuale; sărăcie - consumul de bunuri la nivelul menținerii capacității de muncă ca limită inferioară a reproducerii forței de muncă (7) (D); Sărăcia este consumul setului minim acceptabil de bunuri și servicii conform criteriilor biologice, care permite doar menținerea viabilității umane.

∼ (\displaystyle \sim ). Apoi se numește mulțimea tuturor claselor de echivalență set de factori si este desemnat . Partiționarea unui set în clase de elemente echivalente se numește sa factorizarea.

Afișare de la X (\displaystyle X)într-un set de clase de echivalență X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) numit cartografierea factorilor. Datorită proprietăților relației de echivalență, partiția în mulțimi este unică. Aceasta înseamnă că clasele care conțin ∀ x , y ∈ X (\displaystyle \forall x,\;y\in X), fie nu se intersectează, fie coincid complet. Pentru orice element x ∈ X (\displaystyle x\in X) o anumită clasă de X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ), cu alte cuvinte, există o mapare surjectivă din X (\displaystyle X) V X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ). Clasa care contine x (\displaystyle x), uneori notat [ x ] (\displaystyle [x]).

Dacă un set este prevăzut cu o structură, atunci deseori maparea X → X / ∼ (\displaystyle X\to X/\!\sim ) poate fi folosit pentru a furniza un set de factori X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) aceeași structură, de exemplu topologia. În acest caz, mulți X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ) cu structura indusa se numeste spațiu factorial.

YouTube enciclopedic

1 / 4

✪ 3. Clase de echivalare

✪ Teoria multimilor Lecția 3 Partea 1

✪ Teoria multimilor Lecția 3 Partea 2

✪ Teoria multimilor Lecția 3 Partea 3

Subtitrări

Factorizați spațiul cu subspațiu

Relația de echivalență este adesea introdusă după cum urmează. Lasă X (\displaystyle X)- spațiu liniar și L (\displaystyle L)- ceva subspațiu liniar. Apoi două elemente x , y ∈ X (\displaystyle x,\;y\in X) astfel încât x − y ∈ L (\displaystyle x-y\in L), sunt numite echivalent. Acest lucru este indicat x ∼ L y (\displaystyle x\,(\overset (L)(\sim ))\,y). Spațiul rezultat ca rezultat al factorizării se numește factorul spațiu prin subspațiu L (\displaystyle L). Dacă X (\displaystyle X) se descompune într-o sumă directă X = L ⊕ M (\displaystyle X=L\oplus M), atunci există un izomorfism din M (\displaystyle M) V X / ∼ L (\displaystyle X/\,(\overset (L)(\sim ))). Dacă X (\displaystyle X) este un spațiu finit-dimensional, apoi spațiul coeficient X / ∼ L (\displaystyle X/\,(\overset (L)(\sim ))) este, de asemenea, finit-dimensional şi dim ⁡ X / ∼ L = dim ⁡ X − dim ⁡ L (\displaystyle \dim X/\,(\overset (L)(\sim ))=\dim X-\dim L).

Exemple

. Putem considera setul de factori X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim ). Funcţie f (\displaystyle f) definește o corespondență naturală unu-la-unu între X / ∼ (\displaystyle X/\!\sim )Şi Y (\displaystyle Y).

Este rezonabil să folosim factorizarea multime pentru a obține spații normate din cele semi-normate, spații cu produs interior din spații cu produs aproape interior etc. Pentru a face acest lucru, introducem, respectiv, norma unei clase, egală cu norma a unui element arbitrar și produsul interior al claselor ca produs interior al elementelor arbitrare ale claselor. La rândul său, relația de echivalență este introdusă astfel (de exemplu, pentru a forma un spațiu de coeficient normalizat): se introduce o submulțime a spațiului seminormat inițial, formată din elemente cu seminorma zero (apropo, este liniară, adică, este un subspaţiu) şi se consideră că două elemente sunt echivalente dacă diferenţa lor aparţine chiar acestui subspaţiu.

Dacă, pentru factorizarea unui spațiu liniar, se introduce un anumit subspațiu și se presupune că dacă diferența a două elemente ale spațiului original aparține acestui subspațiu, atunci aceste elemente sunt echivalente, atunci mulțimea factorilor este un spațiu liniar și se numește un spațiu factorial.