Din articolul de mai sus puteți afla care este limita și cu ce se mănâncă - acest lucru este FOARTE important. De ce? S-ar putea să nu înțelegi ce sunt determinanții și să-i rezolvi cu succes; s-ar putea să nu înțelegi deloc ce este o derivată și să le găsești cu un „A”. Dar dacă nu înțelegeți ce este o limită, atunci rezolvarea sarcinilor practice va fi dificilă. De asemenea, ar fi o idee bună să vă familiarizați cu soluțiile eșantionului și cu recomandările mele de proiectare. Toate informațiile sunt prezentate într-o formă simplă și accesibilă.

Și în scopul acestei lecții vom avea nevoie de următoarele materiale didactice: Limite minunateȘi Formule trigonometrice. Ele pot fi găsite pe pagină. Cel mai bine este să tipăriți manualele - este mult mai convenabil și, în plus, va trebui adesea să le consultați offline.

Ce este atât de special la limitele remarcabile? Lucrul remarcabil la aceste limite este că au fost dovedite de cele mai mari minți ale matematicienilor celebri, iar descendenții recunoscători nu trebuie să sufere de limite teribile cu o acumulare. funcții trigonometrice, logaritmi, puteri. Adică, atunci când găsim limitele, vom folosi rezultate gata făcute care au fost dovedite teoretic.

Există câteva limite minunate, dar în practică, în 95% din cazuri, studenții cu fracțiune de normă au două limite minunate: Primul limita minunata , A doua limită minunată. Trebuie remarcat faptul că acestea sunt nume consacrate istoric, iar când, de exemplu, se vorbește despre „prima limită remarcabilă”, ele înțeleg prin aceasta un lucru foarte specific, și nu o limită aleatorie luată din plafon.

Prima limită minunată

Luați în considerare următoarea limită: (în loc de litera nativă „el” voi folosi litera greacă „alfa”, acest lucru este mai convenabil din punctul de vedere al prezentării materialului).

Conform regulii noastre de găsire a limitelor (vezi articolul Limite. Exemple de soluții) încercăm să înlocuim zero în funcție: la numărător obținem zero (sinusul lui zero este zero), iar la numitor, evident, există și zero. Astfel, ne confruntăm cu o incertitudine a formei, care, din fericire, nu trebuie dezvăluită. Știu analiză matematică, se dovedește că:

Acest fapt matematic se numește Prima limită minunată. Nu voi da o dovadă analitică a limitei, dar iată-o: sens geometricîl vom privi în clasă despre funcții infinitezimale.

Adesea, în sarcinile practice, funcțiile pot fi aranjate diferit, acest lucru nu schimbă nimic:

- aceeași primă limită minunată.

Dar nu poți rearanja numitorul și numitorul singur! Dacă o limită este dată în forma , atunci aceasta trebuie rezolvată în aceeași formă, fără a rearanja nimic.

În practică, nu doar o variabilă poate acționa ca parametru, ci și functie elementara, functie complexa. Singurul lucru important este că tinde spre zero.

Exemple:
, , ,

Aici , , , , și totul este bine - se aplică prima limită minunată.

Dar următoarea intrare este erezie:

De ce? Deoarece polinomul nu tinde spre zero, tinde spre cinci.

Apropo, o întrebare rapidă: care este limita? ? Răspunsul poate fi găsit la sfârșitul lecției.

În practică, nu totul este atât de simplu; aproape niciodată unui student nu i se oferă să rezolve o limită gratuită și să obțină o trecere ușoară. Hmmm... Scriu aceste rânduri și mi-a venit în minte un gând foarte important - la urma urmei, este mai bine să ne amintim definițiile și formulele matematice „libere” pe de rost, acest lucru poate oferi un ajutor neprețuit în test, când întrebarea va fi să fie decis între „doi” și „trei”, iar profesorul decide să pună elevului o întrebare simplă sau să ofere de rezolvat cel mai simplu exemplu(„poate el (e) mai știe ce?!”).

Să trecem la a lua în considerare exemple practice:

Exemplul 1

Găsiți limita

Dacă observăm un sinus în limită, atunci acest lucru ar trebui să ne conducă imediat să ne gândim la posibilitatea aplicării primei limite remarcabile.

În primul rând, încercăm să substituim 0 în expresia de sub semnul limită (facem acest lucru mental sau într-o schiță):

Deci avem o incertitudine a formei asigurați-vă că indicațiîn luarea unei decizii. Expresia sub semnul limită este asemănătoare cu prima limită minunată, dar nu este tocmai aceasta, este sub sinus, ci în numitor.

În astfel de cazuri, trebuie să organizăm singuri prima limită remarcabilă, folosind o tehnică artificială. Linia de raționament ar putea fi următoarea: „sub sinus avem , ceea ce înseamnă că trebuie să intrăm și în numitor”.
Și acest lucru se face foarte simplu:

Adică, numitorul este înmulțit artificial în acest caz cu 7 și împărțit la același șapte. Acum, înregistrarea noastră a căpătat o formă familiară.
Când sarcina este întocmită manual, este recomandabil să marcați prima limită remarcabilă cu un creion simplu:

Ce s-a întâmplat? De fapt, expresia noastră încercuită s-a transformat într-o unitate și a dispărut în lucrare:

Acum tot ce rămâne este să scăpăm de fracția cu trei etaje:

Cine a uitat de simplificarea fracțiilor cu mai multe niveluri, vă rugăm să reîmprospătați materialul din cartea de referință Formule fierbinți pentru cursul școlar de matematică .

Gata. Răspuns final:

Dacă nu doriți să utilizați semne de creion, atunci soluția poate fi scrisă astfel:

“

Să folosim prima limită minunată

“

Exemplul 2

Găsiți limita

Din nou vedem o fracție și un sinus în limită. Să încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Într-adevăr, avem incertitudine și, prin urmare, trebuie să încercăm să organizăm prima limită minunată. La lectie Limite. Exemple de soluții am considerat regula că atunci când avem incertitudine, trebuie să factorizăm numărătorul și numitorul. Aici este același lucru, vom reprezenta gradele ca produs (multiplicatori):

Similar cu exemplul anterior, desenăm un creion în jurul limitelor remarcabile (aici sunt două dintre ele) și indicăm că acestea tind spre unitate:

De fapt, răspunsul este gata:

În următoarele exemple, nu voi face artă în Paint, mă gândesc cum să elaborez corect o soluție într-un caiet - ați înțeles deja.

Exemplul 3

Găsiți limita

Inlocuim zero in expresia sub semnul limita:

S-a obținut o incertitudine care trebuie dezvăluită. Dacă există o tangentă în limită, atunci aceasta este aproape întotdeauna convertită în sinus și cosinus folosind binecunoscuta formulă trigonometrică (apropo, ei fac aproximativ același lucru cu cotangente, vezi Fig. material metodologic Formule trigonometrice fierbinți Pe pagina Formule matematice, tabele și materiale de referință).

În acest caz:

Cosinusul lui zero este egal cu unu și este ușor să scapi de el (nu uitați să marcați că tinde spre unu):

Astfel, dacă în limită cosinusul este un MULTIPLICATOR, atunci, în linii mari, trebuie transformat într-o unitate, care dispare în produs.

Aici totul a ieșit mai simplu, fără înmulțiri și împărțiri. Prima limită remarcabilă se transformă și ea într-una și dispare în produs:

Ca rezultat, se obține infinitul și se întâmplă acest lucru.

Exemplul 4

Găsiți limita

Să încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Se obține incertitudinea (cosinusul lui zero, după cum ne amintim, este egal cu unu)

Folosim formula trigonometrică. Ia-ti notite! Din anumite motive, limitele care utilizează această formulă sunt foarte frecvente.

Să mutăm factorii constanți dincolo de pictograma limită:

Să organizăm prima limită minunată:

Aici avem o singură limită remarcabilă, care se transformă într-una și dispare în produs:

Să scăpăm de structura cu trei etaje:

Limita este de fapt rezolvată, indicăm că sinusul rămas tinde spre zero:

Exemplul 5

Găsiți limita

Acest exemplu este mai complicat, încercați să vă dați seama singur:

Unele limite pot fi reduse la prima limită remarcabilă prin schimbarea unei variabile, puteți citi despre asta puțin mai târziu în articol Metode de rezolvare a limitelor.

A doua limită minunată

În teoria analizei matematice s-a dovedit că:

Acest fapt se numește a doua limită minunată.

Referinţă: este un număr irațional.

Parametrul poate fi nu numai o variabilă, ci și o funcție complexă. Singurul lucru important este că tinde spre infinit.

Exemplul 6

Găsiți limita

Când expresia de sub semnul limită este într-un grad, acesta este primul semn că trebuie să încercați să aplicați a doua limită minunată.

Dar mai întâi, ca întotdeauna, încercăm să substituim un număr infinit de mare în expresie, principiul după care se face acest lucru este discutat în lecție Limite. Exemple de soluții.

Este ușor de observat că atunci când baza gradului este , iar exponentul este , adică există incertitudinea formei:

Această incertitudine este dezvăluită tocmai cu ajutorul celei de-a doua limite remarcabile. Dar, așa cum se întâmplă adesea, a doua limită minunată nu se află pe un platou de argint și trebuie să fie organizată artificial. Se poate raționa astfel: în în acest exemplu parametru, ceea ce înseamnă că în indicator trebuie să organizăm și . Pentru a face acest lucru, ridicăm baza la putere și, pentru ca expresia să nu se schimbe, o ridicăm la putere:

Când sarcina este finalizată manual, notăm cu un creion:

Aproape totul este gata, gradul teribil s-a transformat într-o scrisoare frumoasă:

În acest caz, mutăm pictograma limită în sine la indicator:

Exemplul 7

Găsiți limita

Atenţie! Acest tip de limită apare foarte des, vă rugăm să studiați acest exemplu cu atenție.

Să încercăm să substituim un număr infinit de mare în expresia de sub semnul limită:

Rezultatul este incertitudinea. Dar a doua limită remarcabilă se aplică incertitudinii formei. Ce să fac? Trebuie să convertim baza gradului. Raționăm astfel: la numitor avem , ceea ce înseamnă că la numărător trebuie să organizăm și .

Limita functiei- număr A va fi limita unei marimi variabile daca, in procesul schimbarii ei, aceasta marime variabila se apropie la nesfarsit A.

Sau cu alte cuvinte, numărul A este limita funcției y = f(x) la punct x 0, dacă pentru orice succesiune de puncte din domeniul de definire a funcției , nu este egal x 0, și care converge spre punct x 0 (lim x n = x0), succesiunea valorilor funcției corespunzătoare converge către număr A.

Graficul unei funcții a cărei limită, având în vedere un argument care tinde spre infinit, este egală cu L:

Sens A este limita ( valoare limită) funcții f(x) la punct x 0în cazul oricărei succesiuni de puncte , care converge spre x 0, dar care nu conține x 0 ca unul dintre elementele sale (adică în vecinătatea perforată x 0), succesiune de valori ale funcției converge spre A.

Limita unei funcții Cauchy.

Sens A va fi limita functiei f(x) la punct x 0 dacă pentru orice număr nenegativ luat în avans ε se va găsi numărul nenegativ corespunzător δ = δ(ε) astfel încât pentru fiecare argument X, îndeplinind condiția 0 < | x - x0 | < δ , inegalitatea va fi satisfăcută | f(x)A |< ε .

Va fi foarte simplu dacă înțelegeți esența limitei și regulile de bază pentru găsirea acesteia. Care este limita funcției f (X) la X lupta pentru A egală A, este scris astfel:

Mai mult, valoarea la care tinde variabila X, poate fi nu numai un număr, ci și infinit (∞), uneori +∞ sau -∞, sau poate să nu existe nicio limită.

Pentru a înțelege cum afla limitele unei functii, cel mai bine este să te uiți la exemple de soluții.

Este necesar să găsiți limitele funcției f (x) = 1/X la:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Să găsim o soluție la prima limită. Pentru a face acest lucru, puteți pur și simplu să înlocuiți X numărul la care tinde, adică 2, obținem:

Să găsim a doua limită a funcției. Aici înlocuiți în schimb 0 pur X este imposibil, pentru că Nu poți împărți la 0. Dar putem lua valori apropiate de zero, de exemplu, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 și așa mai departe și valoarea funcției f (X) va crește: 100; 1000; 10000; 100.000 și așa mai departe. Astfel, se poate înțelege că atunci când X→ 0 valoarea funcției care se află sub semnul limită va crește fără limită, i.e. străduiește-te spre infinit. Care înseamnă:

Referitor la a treia limită. Aceeași situație ca și în cazul precedent, este imposibil de înlocuit ∞ în forma sa cea mai pură. Trebuie să luăm în considerare cazul creșterii nelimitate X. Inlocuim 1000 unul cate unul; 10000; 100000 și așa mai departe, avem că valoarea funcției f (x) = 1/X va scadea: 0,001; 0,0001; 0,00001; și așa mai departe, tinzând spre zero. De aceea:

Este necesar să se calculeze limita funcției

Începând să rezolvăm al doilea exemplu, vedem incertitudine. De aici găsim cel mai înalt grad al numărătorului și numitorului - acesta este x 3, îl scoatem din paranteze în numărător și numitor și apoi îl reducem cu:

Răspuns

Primul pas în găsirea acestei limite, înlocuiți valoarea 1 X, rezultând incertitudine. Pentru a o rezolva, să factorizăm numărătorul și să facem acest lucru folosind metoda de a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Deci numărătorul va fi:

Răspuns

Aceasta este definiția acesteia sens specific sau o zonă specifică în care se încadrează o funcție care este limitată de o limită.

Pentru a rezolva limitele, urmați regulile:

După ce am înțeles esența și principalul reguli pentru rezolvarea limitei, Vei primi concept de bază despre cum să le rezolvi.

Teoria limitelor- una dintre secțiunile analizei matematice pe care unii o pot stăpâni, în timp ce alții au dificultăți în calcularea limitelor. Întrebarea găsirii limitelor este destul de generală, deoarece există zeci de tehnici limite de soluție tipuri variate. Aceleași limite pot fi găsite atât folosind regula lui L'Hopital, cât și fără ea. Se întâmplă ca programarea unei serii de funcții infinitezimale vă permite să obțineți rapid rezultatul dorit. Există un set de tehnici și trucuri care vă permit să găsiți limita unei funcții de orice complexitate. În acest articol vom încerca să înțelegem principalele tipuri de limite care sunt cel mai des întâlnite în practică. Nu vom da aici teoria și definiția limitei; există multe resurse pe Internet unde se discută acest lucru. Prin urmare, să trecem la calcule practice, aici este locul în care „Nu știu! Nu pot! Nu am fost învățați!”

Calcularea limitelor folosind metoda substituției

Exemplul 1. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Rezolvare: Exemple de acest fel pot fi calculate teoretic folosind substituția obișnuită

Limita este 18/11.
Nu este nimic complicat sau înțelept în legătură cu astfel de limite - am înlocuit valoarea, am calculat-o și am notat limita ca răspuns. Cu toate acestea, pe baza unor astfel de limite, toată lumea este învățată că, în primul rând, trebuie să înlocuiască valoarea în funcție. În plus, limitele devin mai complicate, introducând conceptul de infinit, incertitudine și altele asemenea.

O limită cu incertitudine ca infinitul împărțit la infinit. Tehnici de dezvăluire a incertitudinii

Exemplul 2. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinit).
Rezolvare: este dată o limită a formei polinom împărțită la un polinom, iar variabila tinde spre infinit

Pur și simplu înlocuirea valorii la care ar trebui găsită variabila pentru a găsi limitele nu va ajuta, obținem o incertitudine de forma infinit împărțită la infinit.
Conform teoriei limitelor, algoritmul de calcul al limitei este de a găsi cea mai mare putere a lui „x” în numărător sau numitor. În continuare, numărătorul și numitorul sunt simplificați la acesta și se găsește limita funcției

Deoarece valoarea tinde spre zero atunci când variabila se apropie de infinit, acestea sunt neglijate sau sunt scrise în expresia finală sub formă de zerouri.

Imediat din practică, puteți obține două concluzii care sunt un indiciu în calcule. Dacă o variabilă tinde spre infinit și gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului, atunci limita este egală cu infinitul. În caz contrar, dacă polinomul din numitor este de ordin mai mare decât în ​​numărător, limita este zero.
Limita poate fi scrisă în formule ca aceasta:

Dacă avem o funcție de forma unui câmp obișnuit fără fracții, atunci limita sa este egală cu infinitul

Următorul tip de limite se referă la comportamentul funcțiilor aproape de zero.

Exemplul 3. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Soluție: Nu este nevoie să eliminați aici factorul conducător al polinomului. Exact invers, trebuie să găsiți cea mai mică putere a numărătorului și numitorului și să calculați limita

Valoarea x^2; x tinde spre zero atunci când variabila tinde spre zero. Prin urmare, ele sunt neglijate, așa că obținem

că limita este 2,5.

Acum știi cum să găsiți limita unei funcții din formă, împărțiți un polinom la un polinom dacă variabila tinde spre infinit sau 0. Dar aceasta este doar o mică și ușoară parte a exemplelor. Din următorul material veți învăța cum să descoperiți incertitudinile în limitele unei funcții.

Limită cu incertitudine de tip 0/0 și metode de calcul a acesteia

Toată lumea își amintește imediat regula că nu poți împărți la zero. Totuși, teoria limitelor în acest context implică funcții infinitezimale.
Să ne uităm la câteva exemple pentru claritate.

Exemplul 4. Găsiți limita unei funcții
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Rezolvare: Când înlocuim valoarea variabilei x = -1 în numitor, obținem zero și obținem același lucru la numărător. Deci avem incertitudinea formei 0/0.
Abordarea unei astfel de incertitudini este simplă: trebuie să factorizați polinomul sau, mai degrabă, să selectați factorul care transformă funcția în zero.

După extindere, limita funcției poate fi scrisă ca

Aceasta este întreaga metodă de calcul a limitei unei funcții. Facem același lucru dacă există o limită a formei polinom împărțit la un polinom.

Exemplul 5. Găsiți limita unei funcții
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Soluție: Substituirea directă arată
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
ce avem incertitudine de tip 0/0.
Să împărțim polinoamele la factorul care introduce singularitatea


Există profesori care învață că polinoamele de ordinul 2, adică de tipul „ecuații pătratice”, trebuie rezolvate prin discriminant. Dar practica reală arată că acest lucru este mai lung și mai confuz, așa că scăpați de caracteristicile în limitele conform algoritmului specificat. Astfel, scriem funcția sub formă de factori simpli și o calculăm în limită

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în calcularea unor astfel de limite. Până când studiezi limitele, știi să împarți polinoamele, cel puțin conform programului pe care ar fi trebuit să-l fi trecut deja.
Printre sarcinile pe incertitudine de tip 0/0 Există unele în care trebuie să utilizați formule de înmulțire abreviate. Dar dacă nu le cunoașteți, atunci împărțind un polinom la un monom puteți obține formula dorită.

Exemplul 6. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Rezolvare: Avem o incertitudine de tip 0/0. La numărător folosim formula de înmulțire prescurtată

și calculați limita necesară

Metodă de dezvăluire a incertitudinii prin înmulțirea cu conjugatul său

Metoda se aplică la limitele în care incertitudinea este generată de funcțiile iraționale. Numătorul sau numitorul se transformă în zero în punctul de calcul și nu se știe cum să se găsească granița.

Exemplul 7. Găsiți limita unei funcții
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Soluţie: Să reprezentăm variabila în formula limită

La substituire, obținem o incertitudine de tip 0/0.
Conform teoriei limitelor, modalitatea de a ocoli această caracteristică este de a multiplica expresia irațională cu conjugatul ei. Pentru a vă asigura că expresia nu se schimbă, numitorul trebuie împărțit la aceeași valoare

Folosind regula diferenței de pătrate, simplificăm numărătorul și calculăm limita funcției

Simplificam termenii care creeaza singularitatea in limita si efectuam substitutia

Exemplul 8. Găsiți limita unei funcții
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Rezolvare: Substituția directă arată că limita are o singularitate de forma 0/0.

Pentru a extinde, înmulțim și împărțim la conjugatul numărătorului

Notăm diferența de pătrate

Simplificam termenii care introduc singularitatea si gasim limita functiei

Exemplul 9. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Soluție: Înlocuiți doi în formulă

Primim incertitudine 0/0.
Numitorul trebuie înmulțit cu expresia conjugată, iar numărătorul trebuie rezolvat ecuație pătratică sau factorizați, ținând cont de singularitate. Deoarece se știe că 2 este o rădăcină, găsim a doua rădăcină folosind teorema lui Vieta

Astfel, scriem numeratorul sub forma

și înlocuiți-l în limită

Prin reducerea diferenței de pătrate, scăpăm de singularitățile din numărător și numitor

În acest fel, puteți scăpa de singularități în multe exemple, iar aplicația trebuie remarcată oriunde o anumită diferență de rădăcini se transformă în zero în timpul înlocuirii. Alte tipuri de limite se referă funcții exponențiale, funcții infinitezimale, logaritmi, limite speciale și alte tehnici. Dar puteți citi despre acest lucru în articolele enumerate mai jos despre limite.

Număr constant A numit limită secvente(x n ), dacă pentru orice număr pozitiv arbitrar micε > 0 există un număr N care are toate valorile x n, pentru care n>N, satisface inegalitatea

|x n - a|< ε. (6.1)

Notează-l după cum urmează: sau x n → A.

Inegalitatea (6.1) este echivalentă dubla inegalitate

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

ceea ce înseamnă că punctele x n, pornind de la un număr n>N, se află în interiorul intervalului (a-ε, a+ ε ), adică cad în orice micε -vecinatatea unui punct A.

Se numește o secvență care are o limită convergent, in caz contrar - divergente.

Conceptul de limită a funcției este o generalizare a conceptului de limită a secvenței, deoarece limita unei secvențe poate fi considerată ca limita unei funcții x n = f(n) a unui argument întreg n.

Fie dată funcția f(x) și fie A - punct limită domeniul de definitie al acestei functii D(f), i.e. un astfel de punct, a cărui vecinătate conține puncte ale mulțimii D(f) altele decât A. Punct A poate aparține sau nu mulțimii D(f).

Definiția 1.Numărul constant A se numește limită funcții f(x) la x→a, dacă pentru orice succesiune (x n ) de valori ale argumentelor care tind la A, secvențele corespunzătoare (f(x n)) au aceeași limită A.

Această definiție se numește prin definirea limitei unei funcții după Heine, sau " în limbajul succesiv”.

Definiția 2. Numărul constant A se numește limită funcții f(x) la x→a, dacă, prin specificarea unui număr pozitiv arbitrar arbitrar mic ε, se poate găsi astfel de δ>0 (în funcție de ε), care este pentru toată lumea X, întins înε-vecinătăți ale numărului A, adică Pentru X, satisfacerea inegalitatii
0 < x-a< ε , se vor afla valorile funcției f(x).ε-vecinatatea numarului A, i.e.|f(x)-A|< ε.

Această definiție se numește prin definirea limitei unei funcții după Cauchy, sau „în limbajul ε - δ “.

Definițiile 1 și 2 sunt echivalente. Dacă funcția f(x) ca x →a are limită, egal cu A, aceasta se scrie sub forma

. (6.3)

În cazul în care șirul (f(x n)) crește (sau scade) fără limită pentru orice metodă de aproximare X la limita ta A, atunci vom spune că funcția f(x) are limita infinita, si scrie-l sub forma:

Valoare variabilă(adică o secvență sau o funcție) a cărei limită este zero este numită infinit de mici.

Se numește o variabilă a cărei limită este egală cu infinitul infinit de mare.

Pentru a găsi limita în practică, se folosesc următoarele teoreme.

Teorema 1 . Dacă există orice limită

(6.4)

(6.5)

(6.6)

cometariu. Expresii ca 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sunt nedeterminate, de exemplu, raportul dintre două infinitezimale sau infinitezimale cantitati mari, iar găsirea unei limite de acest tip se numește „dezvăluirea incertitudinii”.

Teorema 2. (6.7)

acestea. se poate ajunge la limita pe baza puterii cu un exponent constant, în special, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

Unde e » 2.7 - baza logaritmului natural. Formulele (6.10) și (6.11) se numesc primele limita minunata iar a doua limită remarcabilă.

Consecințele formulei (6.11) sunt, de asemenea, utilizate în practică:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

în special limita,

Dacă x → a și în același timp x > a, apoi scrieți x→a + 0. Dacă, în special, a = 0, atunci în locul simbolului 0+0 scrieți +0. În mod similar, dacă x→a și în același timp x a-0. Numerele și sunt chemați în consecință limita dreaptaȘi limita stângă funcții f(x) la punct A. Pentru ca să existe o limită a funcției f(x) ca x→a este necesar şi suficient pentru ca . Se numește funcția f(x). continuu la punct x 0 dacă limită

. (6.15)

Condiția (6.15) poate fi rescrisă ca:

,

adică trecerea la limita sub semnul unei funcţii este posibilă dacă aceasta este continuă într-un punct dat.

Dacă egalitatea (6.15) este încălcată, atunci spunem că la x = x o funcţie f(x) Are decalaj Se consideră funcția y = 1/x. Domeniul de definire al acestei funcții este mulțimea R, cu excepția x = 0. Punctul x = 0 este un punct limită al mulțimii D(f), deoarece în orice vecinătate a acesteia, i.e. în orice interval deschis care conține punctul 0, există puncte din D(f), dar el însuși nu aparține acestei mulțimi. Valoarea f(x o)= f(0) nu este definită, deci în punctul x o = 0 funcția are o discontinuitate.

Se numește funcția f(x). continuă pe dreapta la punct x o dacă limita

,

Și continuu pe stanga la punct x o, dacă limita

Continuitatea unei funcții într-un punct x o este echivalentă cu continuitatea sa în acest punct atât la dreapta cât și la stânga.

Pentru ca funcția să fie continuă într-un punct x o, de exemplu, în dreapta, este necesar, în primul rând, să existe o limită finită, iar în al doilea rând, ca această limită să fie egală cu f(x o). Prin urmare, dacă cel puțin una dintre aceste două condiții nu este îndeplinită, atunci funcția va avea o discontinuitate.

1. Dacă limita există și nu este egală cu f(x o), atunci ei spun că funcţie f(x) la punct x o are ruptura de primul fel, sau salt.

2. Dacă limita este+∞ sau -∞ sau nu există, atunci ei spun că în punct x o funcţia are o discontinuitate al doilea fel.

De exemplu, funcția y = cot x la x→ +0 are o limită egală cu +∞, ceea ce înseamnă că în punctul x=0 are o discontinuitate de al doilea fel. Funcția y = E(x) (parte întreagă a X) în puncte cu abscise întregi are discontinuități de primul fel, sau salturi.

Se numește o funcție care este continuă în fiecare punct al intervalului continuu V . O funcție continuă este reprezentată printr-o curbă solidă.

Multe probleme asociate cu creșterea continuă a unei cantități conduc la a doua limită remarcabilă. Astfel de sarcini, de exemplu, includ: creșterea zăcămintelor conform legii interesului compus, creșterea populației țării, degradarea substanțelor radioactive, proliferarea bacteriilor etc.

Sa luam in considerare exemplu de Ya. I. Perelman, oferind o interpretare a numărului eîn problema dobânzii compuse. Număr e există o limită . În băncile de economii, la capitalul fix se adaugă anual bani din dobânzi. Dacă aderarea se face mai des, atunci capitalul crește mai repede, deoarece o sumă mai mare este implicată în formarea dobânzii. Să luăm un exemplu pur teoretic, foarte simplificat. Să fie depuși 100 de denari în bancă. unitati bazat pe 100% pe an. Dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix numai după un an, atunci până în această perioadă 100 den. unitati se va transforma in 200 de unitati monetare. Acum să vedem în ce se vor transforma 100 denize. unități, dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix la fiecare șase luni. După șase luni, 100 den. unitati va crește la 100× 1,5 = 150, iar după alte șase luni - la 150× 1,5 = 225 (unități den.). Daca aderarea se face la fiecare 1/3 din an, atunci dupa un an 100 den. unitati se va transforma in 100× (1 +1/3) 3 " 237 (den. unităţi). Vom mări termenii pentru adăugarea banilor de dobândă la 0,1 an, la 0,01 an, la 0,001 an etc. Apoi din 100 den. unitati dupa un an va fi:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unități den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unități den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unități den.).

Cu o reducere nelimitată a termenelor de adunare a dobânzii, capitalul acumulat nu crește la nesfârșit, ci se apropie de o anumită limită egală cu aproximativ 271. Capitalul depus la 100% pe an nu poate crește de mai mult de 2,71 ori, chiar dacă dobânda acumulată. au fost adăugate la capital în fiecare secundă deoarece limita

Exemplul 3.1.Folosind definiția limitei unei secvențe de numere, demonstrați că șirul x n =(n-1)/n are o limită egală cu 1.

Soluţie.Trebuie să dovedim asta, orice ar fiε > 0, indiferent ce luăm, pentru el există un număr natural N astfel încât pentru toți n N inegalitatea este valabilă|x n -1|< ε.

Să luăm orice e > 0. Deoarece ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, atunci pentru a găsi N este suficient să rezolvi inegalitatea 1/n< e. Prin urmare n>1/ e și, prin urmare, N poate fi luat ca o parte întreagă a lui 1/ e, N = E(1/ e ). Am demonstrat astfel că limita .

Exemplul 3.2 . Aflați limita unei șiruri date de un termen comun .

Soluţie.Să aplicăm limita teoremei sumei și să găsim limita fiecărui termen. Când n→ ∞ numărătorul și numitorul fiecărui termen tind spre infinit și nu putem aplica direct teorema limitei coeficientului. Prin urmare, mai întâi ne transformăm x n, împărțind numărătorul și numitorul primului termen la n 2, iar al doilea pe n. Apoi, aplicând limita coeficientului și limita teoremei sumei, găsim:

.

Exemplul 3.3. . Găsi .

Soluţie. .

Aici am folosit teorema limitei gradului: limita unui grad este egală cu gradul limitei bazei.

Exemplul 3.4 . Găsi ( ).

Soluţie.Este imposibil de aplicat teorema limitei diferenței, deoarece avem o incertitudine a formei ∞-∞ . Să transformăm formula generală a termenului:

.

Exemplul 3.5 . Este dată funcția f(x)=2 1/x. Demonstrează că nu există limită.

Soluţie.Să folosim definiția 1 a limitei unei funcții printr-o secvență. Să luăm o secvență ( x n ) convergentă la 0, adică. Să arătăm că valoarea f(x n)= se comportă diferit pentru secvențe diferite. Fie x n = 1/n. Evident, atunci limita Să alegem acum ca x n o secvență cu un termen comun x n = -1/n, de asemenea, tinde spre zero. Prin urmare, nu există limită.

Exemplul 3.6 . Demonstrează că nu există limită.

Soluţie.Fie x 1 , x 2 ,..., x n ,... o succesiune pentru care
. Cum se comportă șirul (f(x n)) = (sin x n) pentru diferite x n → ∞

Dacă x n = p n, atunci sin x n = sin p n = 0 pentru toate n iar limita Dacă
x n =2 p n+ p /2, atunci sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 pentru toate n si deci limita. Deci nu există.

Widget pentru calcularea limitelor on-line

În fereastra de sus, în loc de sin(x)/x, introduceți funcția a cărei limită doriți să găsiți. În fereastra de jos, introduceți numărul la care tinde x și faceți clic pe butonul Calculator, obțineți limita dorită. Și dacă în fereastra de rezultate dați clic pe Afișare pași în colțul din dreapta sus, veți obține o soluție detaliată.

Reguli de introducere a funcțiilor: sqrt(x) - rădăcină pătrată, cbrt(x) - rădăcină cubă, exp(x) - exponent, ln(x) - logaritm natural, sin(x) - sinus, cos(x) - cosinus, tan (x) - tangentă, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsinus, arccos(x) - arccosinus, arctan(x) - arctangent. Semne: * înmulțire, / împărțire, ^ exponențiere, în schimb infinit Infinit. Exemplu: funcția este introdusă ca sqrt(tan(x/2)).

Limita unei funcții la infinit:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Determinarea limitei Cauchy
Fie funcția f (X) este definită într-o anumită vecinătate a punctului la infinit, cu |x| > Numărul a se numește limita funcției f (X)întrucât x tinde spre infinit (), dacă pentru orice, oricât de mic, număr pozitiv ε > 0 , există un număr N ε >K, în funcție de ε, care pentru tot x, |x| > N ε, valorile funcției aparțin vecinătății ε a punctului a:
|f (x) - a|< ε .
Limita unei funcții la infinit se notează după cum urmează:
.
Sau la .

Următoarea notație este de asemenea folosită adesea:
.

Să scriem această definiție folosind simbolurile logice ale existenței și universalității:
.
Aceasta presupune că valorile aparțin domeniului funcției.

Limite unilaterale

Limita stângă a unei funcții la infinit:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Există adesea cazuri când funcția este definită numai pentru valori pozitive sau negative ale variabilei x (mai precis în vecinătatea punctului sau ). De asemenea, limitele la infinit pentru valorile pozitive și negative ale lui x pot avea valori diferite. Apoi se folosesc limite unilaterale.

Limită stângă la infinit sau limita ca x tinde spre minus infinit () este definită după cum urmează:
.
Limită dreaptă la infinit sau limita ca x tinde spre plus infinit ():
.
Limitele unilaterale la infinit sunt adesea notate după cum urmează:
; .

Limita infinită a unei funcții la infinit

Limita infinită a unei funcții la infinit:
|f(x)| > M pentru |x| >N

Definirea limitei infinite după Cauchy
Fie funcția f (X) este definită într-o anumită vecinătate a punctului la infinit, cu |x| > K, unde K este un număr pozitiv. Limita funcției f (X)întrucât x tinde spre infinit (), este egal cu infinit, dacă pentru orice număr arbitrar de mare M > 0 , există un astfel de număr N M >K, în funcție de M, care pentru tot x, |x| > N M , valorile funcției aparțin vecinătății punctului de la infinit:
|f (x) | >M.
Limita infinită pe măsură ce x tinde spre infinit se notează după cum urmează:
.
Sau la .

Folosind simbolurile logice ale existenței și universalității, definiția limitei infinite a unei funcții poate fi scrisă după cum urmează:
.

În mod similar, sunt introduse definiții ale limitelor infinite ale anumitor semne egale cu și:
.
.

Definiții ale limitelor unilaterale la infinit.
Limite stânga.
.
.
.
Limite corecte.
.
.
.

Determinarea limitei unei funcţii după Heine

Fie funcția f (X) definit pe o vecinătate a punctului x la infinit 0 , unde sau sau .
Numărul a (finit sau la infinit) se numește limita funcției f (X)în punctul x 0 :
,
dacă pentru orice secvență (xn), convergând spre x 0 : ,
ale căror elemente aparțin vecinătății, secvență (f(xn)) converge spre a:
.

Dacă luăm ca vecinătate vecinătatea unui punct fără semn la infinit: , atunci obținem definiția limitei unei funcții pe măsură ce x tinde spre infinit, . Dacă luăm o vecinătate din stânga sau din dreapta a punctului x la infinit 0 : sau , atunci obținem definiția limitei deoarece x tinde spre minus infinit și, respectiv, plus infinit.

Definițiile Heine și Cauchy ale limitei sunt echivalente.

Exemple

Exemplul 1

Folosind definiția lui Cauchy pentru a arăta că
.

Să introducem următoarea notație:
.
Să găsim domeniul de definire al funcției. Deoarece numărătorul și numitorul fracției sunt polinoame, funcția este definită pentru toți x, cu excepția punctelor în care numitorul dispare. Să găsim aceste puncte. Rezolvarea unei ecuații pătratice. ;
.
Rădăcinile ecuației:
; .
De când , atunci și .
Prin urmare, funcția este definită la . O vom folosi mai târziu.

Să notăm definiția limitei finite a unei funcții la infinit conform lui Cauchy:
.
Să transformăm diferența:
.
Împărțiți numărătorul și numitorul cu și înmulțiți cu -1 :
.

Lăsa .
Apoi
;
;
;
.

Deci, am constatat că atunci când,
.
.
Rezultă că
la , și .

Întrucât îl puteți mări oricând, să luăm . Atunci pentru oricine,
la .
Înseamnă că .

Exemplul 2

Lăsa .
Folosind definiția Cauchy a limitei, arătați că:
1) ;
2) .

1) Rezolvare ca x tinde spre minus infinit

Deoarece , funcția este definită pentru tot x.
Să notăm definiția limitei unei funcții egală cu minus infinit:
.

Lăsa . Apoi
;
.

Deci, am constatat că atunci când,
.
Introduceți numere pozitive și:
.
Rezultă că pentru orice număr pozitiv M există un număr, astfel încât pentru ,
.

Înseamnă că .

2) Rezolvare ca x tinde spre plus infinit

Să transformăm funcția inițială. Înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu și aplicați formula diferenței de pătrate:
.
Avem:

.
Să notăm definiția limitei drepte a funcției la:
.

Să introducem notația: .
Să transformăm diferența:
.
Înmulțiți numărătorul și numitorul cu:
.

Lăsa
.
Apoi
;
.

Deci, am constatat că atunci când,
.
Introduceți numere pozitive și:
.
Rezultă că
la și .

Deoarece acest lucru este valabil pentru orice număr pozitiv, atunci
.

Referinte:
CM. Nikolsky. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 1983.