Cu exceptia găsirea ariei unei figuri plane folosind o integrală definită (vezi 7.2.3.) cea mai importantă aplicaţie a temei este calcularea volumului unui corp de rotație. Materialul este simplu, dar cititorul trebuie să fie pregătit: trebuie să fii capabil să rezolvi integrale nedefinite complexitate medie și aplicați formula Newton-Leibniz în integrală definită, n De asemenea, aveți nevoie de abilități puternice de desen. În general, există multe aplicații interesante în calculul integral; folosind o integrală definită, puteți calcula aria unei figuri, volumul unui corp de rotație, lungimea unui arc, aria suprafeței unui corp. și mult mai mult. Imaginează-ți o figură plată pe planul de coordonate. Introdus? ... Acum această cifră poate fi, de asemenea, rotită și rotită în două moduri:

– în jurul axei x ;

– în jurul axei ordonatelor .

Să ne uităm la ambele cazuri. A doua metodă de rotație este deosebit de interesantă; provoacă cele mai multe dificultăți, dar de fapt soluția este aproape aceeași ca în rotația mai comună în jurul axei x. Să începem cu cel mai popular tip de rotație.

Calculul volumului corporal, format prin rotaţie figură plată în jurul unei axe BOU

Exemplul 1

Calculați volumul unui corp obținut prin rotirea unei figuri delimitate de linii în jurul unei axe.

Soluţie: Ca și în problema găsirii zonei, soluția începe cu un desen al unei figuri plate. Adică într-un avion XOY este necesar să construiți o figură delimitată de drepte și nu uitați că ecuația specifică axa. Desenul de aici este destul de simplu:

Figura plată dorită este umbrită în albastru; este cea care se rotește în jurul axei. Ca rezultat al rotației, rezultatul este o farfurie zburătoare ușor ovoidă, cu două vârfuri ascuțite pe axă BOU, simetric față de axă BOU. De fapt, corpul are un nume matematic, uită-te în cartea de referință.

Cum se calculează volumul unui corp de revoluție? Dacă un corp se formează ca urmare a rotației în jurul unei axeBOU, este împărțit mental în straturi paralele de grosime mică dx, care sunt perpendiculare pe axa BOU. Volumul întregului corp este în mod evident egal cu suma volumelor unor astfel de straturi elementare. Fiecare strat, ca o felie rotundă de lămâie, este un cilindru mic în înălțime dx si cu raza bazei f(X). Atunci volumul unui strat este produsul ariei de bază π f 2 pe înălțime de cilindru ( dx), sau π∙ f 2 (X)∙dx. Și aria întregului corp de rotație este suma volumelor elementare sau integrala definită corespunzătoare. Volumul unui corp de revoluție poate fi calculat folosind formula:

.

Cum să setați limitele integrării „a” și „fi” poate fi ușor de ghicit din desenul finalizat. Funcția... ce este această funcție? Să ne uităm la desen. Figura plană este delimitată de graficul parabolei din partea de sus. Aceasta este funcția care este implicată în formulă. În sarcinile practice, o figură plată poate fi uneori situată sub axă BOU. Acest lucru nu schimbă nimic - funcția din formulă este pătrat: f 2 (X), Prin urmare, volumul unui corp de revoluție este întotdeauna nenegativ, ceea ce este foarte logic. Să calculăm volumul unui corp de rotație folosind această formulă:

.

După cum am observat deja, integrala se dovedește aproape întotdeauna a fi simplă, principalul lucru este să fii atent.

Răspuns:

În răspunsul dvs., trebuie să indicați dimensiunea - unități cubice. Adică, în corpul nostru de rotație există aproximativ 3,35 „cuburi”. De ce cubic unitati? Pentru că aceasta este formularea cea mai universală. Ar putea fi centimetri cubi, ar putea fi metri cubi, ar putea fi kilometri cubi, etc., așa câți oameni verzi poate pune imaginația ta într-o farfurie zburătoare.

Exemplul 2

Aflați volumul unui corp format prin rotație în jurul unei axe BOU o figură delimitată de linii , , .

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Exemplul 3

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea figurii delimitate de liniile , , și în jurul axei absciselor.

Soluţie: Să înfățișăm în desen o figură plată delimitată de liniile , , , , fără a uita că ecuația X= 0 specifică axa OY:

Figura dorită este umbrită în albastru. Când se rotește în jurul unei axe BOU rezultatul este o gogoașă plată, unghiulară (o șaibă cu două suprafețe conice).

Să calculăm volumul corpului de revoluție ca diferența de volume a corpurilor. Mai întâi, să ne uităm la figura încercuită cu roșu. Când se rotește în jurul unei axe BOU rezultatul este un trunchi de con. Să notăm volumul acestui trunchi de con cu V 1 .

Luați în considerare figura care este încercuită verde. Dacă rotiți această cifră în jurul axei BOU, apoi obțineți același trunchi de con, doar puțin mai mic. Să notăm volumul acestuia cu V 2 .

Este evident că diferența de volume V = V 1 - V 2 este volumul „gogoșii” noastre.

Folosim formula standard pentru a găsi volumul unui corp de revoluție:

1) Figura încercuită cu roșu este delimitată deasupra printr-o linie dreaptă, prin urmare:

2) Figura încercuită cu verde este delimitată deasupra printr-o linie dreaptă, prin urmare:

3) Volumul corpului de rotație dorit:

Răspuns:

Este curios că în acest caz soluția poate fi verificată folosind formula școlară de calcul al volumului unui trunchi de con.

Decizia în sine este adesea scrisă mai scurt, ceva de genul acesta:

figură plată în jurul unei axe

Exemplul 3

Dată o figură plată delimitată de liniile , , .

1) Aflați aria unei figuri plate delimitate de aceste linii.

2) Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Atenţie! Chiar dacă vrei să citești doar al doilea punct, mai întâi Neapărat citeste primul!

Soluţie: Sarcina constă din două părți. Să începem cu pătratul.

1) Să facem un desen:

Este ușor de observat că funcția specifică ramura superioară a parabolei, iar funcția specifică ramura inferioară a parabolei. În fața noastră se află o parabolă banală care „se află pe o parte”.

Figura dorită, a cărei zonă se găsește, este umbrită în albastru.

Cum să găsiți aria unei figuri? Poate fi găsit în mod „normal”. În plus, aria figurii se găsește ca suma suprafețelor:

- pe segment ;

- pe segment.

De aceea:

Există o soluție mai rațională: constă în trecerea la funcții inverse și integrarea de-a lungul axei.

Cum se ajunge la funcțiile inverse? În linii mari, trebuie să exprimați „x” prin „y”. Mai întâi, să ne uităm la parabola:

Este suficient, dar să ne asigurăm că aceeași funcție poate fi derivată din ramura inferioară:

Este mai ușor cu o linie dreaptă:

Acum uitați-vă la axă: vă rugăm să înclinați periodic capul la dreapta cu 90 de grade în timp ce explicați (aceasta nu este o glumă!). Cifra de care avem nevoie se află pe segment, care este indicată de linia punctată roșie. În acest caz, pe segment, linia dreaptă este situată deasupra parabolei, ceea ce înseamnă că aria figurii trebuie găsită folosind formula deja familiară: . Ce s-a schimbat în formulă? Doar o scrisoare și nimic mai mult.

! Notă : Limitele de integrare a axei ar trebui plasatstrict de jos în sus !

Găsirea zonei:

Pe segment, prin urmare:

Vă rugăm să rețineți cum am realizat integrarea, acesta este cel mai rațional mod, iar în următorul paragraf al sarcinii va fi clar de ce.

Pentru cititorii care se îndoiesc de corectitudinea integrării, voi găsi derivate:

Se obține funcția integrand originală, ceea ce înseamnă că integrarea a fost efectuată corect.

Răspuns:

2) Să calculăm volumul corpului format prin rotirea acestei figuri în jurul axei.

Voi redesena desenul într-un design ușor diferit:

Deci, figura umbrită în albastru se rotește în jurul axei. Rezultatul este un „fluture plutitor” care se rotește în jurul axei sale.

Pentru a găsi volumul unui corp de rotație, vom integra de-a lungul axei. Mai întâi trebuie să mergem la funcțiile inverse. Acest lucru a fost deja făcut și descris în detaliu în paragraful anterior.

Acum înclinăm din nou capul spre dreapta și ne studiem silueta. Evident, volumul unui corp de rotație ar trebui găsit ca diferență de volume.

Rotim figura încercuită cu roșu în jurul axei, rezultând un trunchi de con. Să notăm acest volum cu .

Rotim figura încercuită cu verde în jurul axei și o notăm cu volumul corpului de rotație rezultat.

Volumul fluturelui nostru este egal cu diferența de volume.

Folosim formula pentru a găsi volumul unui corp de revoluție:

Care este diferența față de formula din paragraful anterior? Doar în scrisoare.

Dar avantajul integrării, despre care am vorbit recent, este mult mai ușor de găsit , mai degrabă decât ridicarea întâi a integrandului la puterea a 4-a.

Răspuns:

Rețineți că, dacă aceeași figură plată este rotită în jurul axei, veți obține un corp de rotație complet diferit, cu un volum diferit, în mod natural.

Exemplul 7

Calculați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri delimitate de curbe și .

Soluţie: Hai să facem un desen:

Pe parcurs, ne familiarizăm cu graficele altor funcții. Iată un grafic interesant al unei funcții pare...

Pentru a găsi volumul unui corp de revoluție, este suficient să folosim jumătatea dreaptă a figurii, pe care am umbrit-o în albastru. Ambele funcții sunt pare, graficele lor sunt simetrice față de axă, iar figura noastră este simetrică. Astfel, partea dreaptă umbrită, care se rotește în jurul axei, va coincide cu siguranță cu partea stângă neumbrită.

I. Volumele corpurilor de rotaţie. Studiați preliminar Capitolul XII, paragrafele 197, 198 din manualul lui G. M. Fikhtengolts * Analizați în detaliu exemplele date în paragraful 198.

508. Calculați volumul unui corp format prin rotirea unei elipse în jurul axei Ox.

Prin urmare,

530. Aflați aria suprafeței formate prin rotația în jurul axei Ox a arcului sinusoid y = sin x de la punctul X = 0 până la punctul X = It.

531. Calculați aria suprafeței unui con cu înălțimea h și raza r.

532. Calculați aria suprafeței formate

rotirea astroidului x3 -)- y* - a3 în jurul axei Ox.

533. Calculați aria suprafeței formate prin rotirea buclei curbei 18 ug - x (6 - x) z în jurul axei Ox.

534. Aflați suprafața torusului produsă de rotația cercului X2 - j - (y-3)2 = 4 în jurul axei Ox.

535. Calculați suprafața formată prin rotația cercului X = a cost, y = asint în jurul axei Ox.

536. Calculați aria suprafeței formate prin rotirea buclei curbei x = 9t2, y = St - 9t3 în jurul axei Ox.

537. Aflați aria suprafeței formate prin rotirea arcului curbei x = e*sint, y = el cost în jurul axei Ox

de la t = 0 la t = —.

538. Arătaţi că suprafaţa produsă de rotaţia arcului cicloid x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) în jurul axei Oy este egală cu 16 u2 o2.

539. Aflați suprafața obținută prin rotirea cardioidului în jurul axei polare.

540. Aflați aria suprafeței formate prin rotația lemniscatei În jurul axei polare.

Sarcini suplimentare pentru Capitolul IV

Arii figurilor plane

541. Aflați întreaga zonă a regiunii delimitată de curbă Și axa Ox.

542. Aflați aria regiunii delimitate de curbă

Și axa Ox.

543. Aflați partea din aria regiunii situată în primul cadran și delimitată de curbă

l axele de coordonate.

544. Aflați aria regiunii cuprinse în interior

bucle:

545. Aflați aria regiunii delimitată de o buclă a curbei:

546. Găsiți aria regiunii conținute în interiorul buclei:

547. Aflați aria regiunii delimitate de curbă

Și axa Ox.

548. Aflați aria regiunii delimitate de curbă

Și axa Ox.

549. Aflați aria regiunii delimitată de axa Oxr

drept și curbat

Subiect: „Calculul volumelor corpurilor de revoluție folosind o integrală definită”

Tip de lecție: combinate.

Scopul lecției:învață să calculezi volumele corpurilor de revoluție folosind integrale.

Sarcini:

consolida capacitatea de a identifica trapezele curbate dintr-o serie forme geometriceși exersați deprinderea de a calcula ariile trapezelor curbilinii;

familiarizează-te cu conceptul de figură tridimensională;

învață să calculezi volumele corpurilor de revoluție;

promovează dezvoltarea gandire logica, vorbire matematică competentă, acuratețe la construirea desenelor;

să cultive interesul pentru subiect, în operarea cu concepte și imagini matematice, să cultive voința, independența și perseverența în obținerea rezultatului final.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric.

Salutări din partea grupului. Comunicați elevilor obiectivele lecției.

Aș vrea să încep lecția de astăzi cu o pildă. „Trăia odată un om înțelept care știa totul. Un bărbat a vrut să demonstreze că înțeleptul nu știe totul. Ținând un fluture în palme, a întrebat: „Spune-mi, înțelept, care fluture este în mâinile mele: mort sau viu?” Și se gândește: „Dacă spune cel viu, o voi omorî; dacă spune cel mort, o eliberez”. Înțeleptul, după ce s-a gândit, a răspuns: „Totul este în mâinile tale”.

Prin urmare, să lucrăm fructuos astăzi, să dobândim un nou depozit de cunoștințe și vom aplica abilitățile și abilitățile dobândite în viața viitoare și în activități practice. „Totul este în mâinile tale”.

II. Repetarea materialului studiat anterior.

Să ne amintim punctele principale ale materialului studiat anterior. Pentru a face acest lucru, să finalizăm sarcina „Excludeți cuvânt de prisos”.

(Elevii spun un cuvânt în plus.)

Dreapta "Diferenţial".Încercați să numiți cuvintele rămase cu un singur cuvânt comun. (Calcul integral.)

Să ne amintim principalele etape și concepte asociate calculului integral.

Exercițiu. Recuperați golurile. (Elevul iese și scrie în cuvintele cerute cu un marker.)

Lucrați în caiete.

Formula Newton-Leibniz a fost derivată de fizicianul englez Isaac Newton (1643-1727) și de filozoful german Gottfried Leibniz (1646-1716). Și acest lucru nu este surprinzător, deoarece matematica este limba vorbită de natura însăși.

Să luăm în considerare modul în care această formulă este utilizată pentru a rezolva probleme practice.

Exemplul 1: Calculați aria unei figuri delimitate de linii

Soluţie: Să construim grafice ale funcțiilor pe planul de coordonate . Să selectăm zona figurii care trebuie găsită.

III. Învățarea de materiale noi.

Acordați atenție ecranului. Ce se arată în prima poză? (Figura arată o figură plată.)

Ce se arată în a doua imagine? Această cifră este plată? (Figura arată o figură tridimensională.)

În spațiu, pe pământ și în interior Viata de zi cu zi ne întâlnim nu numai cu figuri plate, dar și volumetrice, dar cum se calculează volumul unor astfel de corpuri? De exemplu: volumul unei planete, comete, meteorit etc.

Oamenii se gândesc la volum atât atunci când construiesc case, cât și când turnă apă dintr-un vas în altul. Au trebuit să apară reguli și tehnici de calcul al volumelor; cât de exacte și justificate erau acestea este o altă problemă.

Anul 1612 a fost foarte roditor pentru locuitorii orașului austriac Linz, unde a locuit faimosul astronom Johannes Kepler, în special pentru struguri. Oamenii pregăteau butoaie de vin și doreau să știe să-și determine practic volumele.

Astfel, lucrările considerate ale lui Kepler au marcat începutul unui întreg flux de cercetare care a culminat în ultimul sfert al secolului al XVII-lea. design în lucrările lui I. Newton și G.V. Leibniz de calcul diferenţial şi integral. Din acel moment, matematica variabilelor a ocupat un loc de frunte în sistemul cunoștințelor matematice.

Astăzi vom face asta activitati practice, prin urmare,

Tema lecției noastre: „Calculul volumelor corpurilor de rotație folosind o integrală definită.”

Veți învăța definiția unui corp de revoluție completând următoarea sarcină.

"Labirint".

Exercițiu. Găsiți o cale de a ieși din situația confuză și scrieți definiția.

IVCalculul volumelor.

Folosind o integrală definită, puteți calcula volumul unui anumit corp, în special un corp de rotație.

Un corp de revoluție este un corp obținut prin rotație trapez curbatîn jurul bazei sale (Fig. 1, 2)

Volumul unui corp de revoluție se calculează folosind una dintre formule:

1. în jurul axei OX.

2. , dacă rotația unui trapez curbat în jurul axei amplificatorului operațional.

Elevii notează formulele de bază într-un caiet.

Profesorul explică soluțiile la exemplele de pe tablă.

1. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei ordonatelor unui trapez curbiliniu delimitat de drepte: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Soluţie.

Raspuns: 1163 cmc.

2. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unui trapez parabolic în jurul axei x y = , x = 4, y = 0.

Soluţie.

V. Simulator de matematică.

2. Se numește mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date

A) integrală nedefinită,

B) funcția,

B) diferențiere.

7. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor unui trapez curbiliniu delimitat de linii:

D/Z. Consolidarea materialului nou

Calculați volumul corpului format prin rotația petalei în jurul axei x y = x2, y2 = x.

Să construim grafice ale funcției. y = x2, y2 = x. Să transformăm graficul y2 = x în forma y = .

Avem V = V1 - V2 Să calculăm volumul fiecărei funcții:

Concluzie:

Integrala definita- aceasta este o bază pentru studiul matematicii, care aduce o contribuție de neînlocuit la rezolvarea problemelor practice.

Subiectul „Integral” demonstrează în mod clar legătura dintre matematică și fizică, biologie, economie și tehnologie.

Dezvoltare stiinta moderna este de neconceput fără a folosi integrala. În acest sens, este necesar să începem studiul lui în cadrul învățământului secundar de specialitate!

VI. Notare.(Cu comentarii.)

Marele Omar Khayyam - matematician, poet, filozof. El ne încurajează să fim stăpâni pe propriul nostru destin. Să ascultăm un fragment din munca lui:

Tu spui, această viață este un moment.
Apreciază-l, inspiră-te din el.
Pe măsură ce îl cheltuiți, așa va trece.
Nu uita: ea este creația ta.

Definiția 3. Un corp de revoluție este un corp obținut prin rotirea unei figuri plane în jurul unei axe care nu intersectează figura și se află în același plan cu aceasta.

Axa de rotație poate intersecta figura dacă este axa de simetrie a figurii.

Teorema 2.
, axa
și segmente drepte
Și

se rotește în jurul unei axe
. Apoi volumul corpului de rotație rezultat poate fi calculat folosind formula

(2)

Dovada. Pentru un astfel de corp, secțiunea transversală cu abscisă este un cerc cu raza
, Mijloace
iar formula (1) dă rezultatul necesar.

Dacă cifra este limitată de graficele a două funcţii continue
Și
, și segmente de linie
Și
, și
Și
, apoi la rotirea în jurul axei x obținem un corp al cărui volum

Exemplul 3. Calculați volumul unui tor obținut prin rotirea unui cerc delimitat de un cerc

în jurul axei absciselor.

R decizie. Cercul indicat este limitat mai jos de graficul funcției
, iar de sus –
. Diferența pătratelor acestor funcții:

Volumul necesar

(graficul integrandului este semicercul superior, deci integrala scrisă mai sus este aria semicercului).

Exemplul 4. Segment parabolic cu bază
, și înălțimea , se rotește în jurul bazei. Calculați volumul corpului rezultat („lămâie” de Cavalieri).

R decizie. Vom plasa parabola așa cum se arată în figură. Apoi ecuația sa
, și
. Să găsim valoarea parametrului :
. Deci, volumul necesar:

Teorema 3. Fie un trapez curbiliniu mărginit de graficul unei funcții continue nenegative
, axa
și segmente drepte
Și
, și
, se rotește în jurul unei axe
. Apoi volumul corpului de rotație rezultat poate fi găsit prin formula

(3)

Ideea de dovadă. Împărțim segmentul
puncte

, în părți și trageți linii drepte
. Întregul trapez va fi descompus în benzi, care pot fi considerate aproximativ dreptunghiuri cu bază
si inaltime
.

Tăiem cilindrul rezultat prin rotirea unui astfel de dreptunghi de-a lungul generatricei sale și îl desfacem. Obținem un paralelipiped „aproape” cu dimensiuni:
,
Și
. Volumul acestuia
. Deci, pentru volumul unui corp de revoluție vom avea egalitatea aproximativă

Pentru a obține egalitatea exactă, trebuie să mergeți la limita la
. Suma scrisă mai sus este suma integrală pentru funcție
, prin urmare, în limită obținem integrala din formula (3). Teorema a fost demonstrată.

Nota 1. În teoremele 2 și 3 condiția
poate fi omisă: formula (2) este în general insensibilă la semn
, iar în formula (3) este suficient
inlocuit de
.

Exemplul 5. Segment parabolic (bază
, înălțime ) se rotește în jurul înălțimii. Aflați volumul corpului rezultat.

Soluţie. Să plasăm parabola așa cum se arată în figură. Și deși axa de rotație intersectează figura, aceasta - axa - este axa de simetrie. Prin urmare, trebuie să luăm în considerare doar jumătatea dreaptă a segmentului. Ecuația parabolei
, și
, Mijloace
. Pentru volum avem:

Nota 2. Dacă limita curbilinie a unui trapez curbiliniu este dată de ecuații parametrice
,
,
Și
,
apoi puteți folosi formulele (2) și (3) cu înlocuirea pe
Și
pe
când se schimbă t din
inainte de .

Exemplul 6. Figura este limitată de primul arc al cicloidei
,
,
, și axa x. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea acestei figuri în jurul: 1) axei
; 2) axele
.

Soluţie. 1) Formula generală
În cazul nostru:

2) Formula generală
Pentru figura noastră:

Invităm elevii să efectueze singuri toate calculele.

Nota 3. Fie un sector curbat delimitat de o linie continuă
și raze
,

, se rotește în jurul unei axe polare. Volumul corpului rezultat poate fi calculat folosind formula.

Exemplul 7. Parte dintr-o figură delimitată de un cardioid
, situat în afara cercului
, se rotește în jurul unei axe polare. Aflați volumul corpului rezultat.

Soluţie. Ambele linii și, prin urmare, cifra pe care o limitează, sunt simetrice față de axa polară. Prin urmare, este necesar să se ia în considerare numai acea parte pentru care
. Curbele se intersectează la
Și

la
. În plus, cifra poate fi considerată ca diferența a două sectoare și, prin urmare, volumul poate fi calculat ca diferența a două integrale. Avem:

Sarcini pentru o decizie independentă.

1. Un segment circular a cărui bază
, înălțime , se rotește în jurul bazei. Aflați volumul corpului de revoluție.

2. Aflați volumul unui paraboloid de revoluție a cărui bază , iar înălțimea este .

3. Figura delimitată de un astroid
,
se rotește în jurul axei absciselor. Aflați volumul corpului rezultat.

4. Figura delimitată prin linii
Și
se rotește în jurul axei x. Aflați volumul corpului de revoluție.