Pregătire pentru nivelul de specialitate al unui single examen de stat matematică. Materiale utile despre trigonometrie, prelegeri video teoretice mari, analize video a problemelor și o selecție de teme din anii precedenți.
Materiale utile
Colecții video și cursuri online
Formule trigonometrice
Ilustrație geometrică a formulelor trigonometrice
Funcții arc. Cele mai simple ecuații trigonometrice
Ecuații trigonometrice
- Teoria necesară pentru rezolvarea problemelor.
- a) Rezolvați ecuația $7\cos^2 x - \cos x - 8 = 0$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații, aparţinând intervalului$\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. - a) Rezolvați ecuația $\dfrac(6)(\cos^2 x) - \dfrac(7)(\cos x) + 1 = 0$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[ -3\pi; -\pi \right]$. - Rezolvați ecuația $\sin\sqrt(16 - x^2) = \dfrac12$.
- a) Rezolvați ecuația $2\cos 2x - 12\cos x + 7 = 0$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[ -\pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. - a) Rezolvați ecuația $\dfrac(5)(\mathrm(tg)^2 x) - \dfrac(19)(\sin x) + 17 = 0$.
- Rezolvați ecuația $\dfrac(2\cos^3 x + 3 \cos^2 x + \cos x)(\sqrt(\mathrm(ctg)x)) = 0$.
- Rezolvați ecuația $\dfrac(\mathrm(tg)^3x - \mathrm(tg)x)(\sqrt(-\sin x)) = 0$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi \right)$.- a) Rezolvați ecuația $\cos 2x = \sin\left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right)$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[ \dfrac(3\pi)(2); \dfrac(5\pi)(2) \right]$. - a) Rezolvați ecuația $2\sin^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) = \sqrt3\cos x$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi\right]$.
Analiza video a sarcinilor
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ \sqrt(3); \sqrt(20) \right]$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi\right]$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -\sqrt(3); \sqrt(30) \right]$.
a) Rezolvați ecuația $\cos 2x = 1 - \cos\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right)$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi \right)$.
a) Rezolvați ecuația $\cos^2 (\pi - x) - \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) = 0$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[\dfrac(5\pi)(2); 4\pi \right]$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[\log_5 2; \log_5 20 \right]$.
a) Rezolvați ecuația $8 \sin^2 x + 2\sqrt(3) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right) = 9$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[- \dfrac(5\pi)(2); -\pi \right]$.
a) Rezolvați ecuația $2\log_3^2 (2 \cos x) - 5\log_3 (2 \cos x) + 2 = 0$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[\pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
a) Rezolvați ecuația $\left(\dfrac(1)(49) \right)^(\sin x) = 7^(2 \sin 2x)$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[\dfrac(3\pi)(2); 3\pi \right]$.
a) Rezolvați ecuația $\sin x + \left(\cos \dfrac(x)(2) - \sin \dfrac(x)(2)\right)\left(\cos \dfrac(x)(2) + \sin \dfrac(x)(2)\right) = 0$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[\pi; \dfrac(5\pi)(2)\right]$.
a) Rezolvați ecuația $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului $\left[ -4\pi; -\dfrac(5\pi)(2) \right]$.
O selecție de misiuni din anii anteriori
- a) Rezolvați ecuația $\dfrac(\sin x)(\sin^2\dfrac(x)(2)) = 4\cos^2\dfrac(x)(2)$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi\right]$. (Examen de stat unificat 2018. Val timpuriu) - a) Rezolvați ecuația $\sqrt(x^3 - 4x^2 - 10x + 29) = 3 - x$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -\sqrt(3); \sqrt(30) \right]$. (UTILIZARE 2018. Val timpuriu, zi de rezervă) - a) Rezolvați ecuația $2 \sin^2 x + \sqrt2 \sin \left(x + \dfrac(\pi)(4)\right) = \cos x $.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -2\pi; -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Valul principal) - a) Rezolvați ecuația $\sqrt6 \sin^2 x + \cos x = 2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(6) \right)$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ 3\pi; \dfrac(9\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Valul principal) - a) Rezolvați ecuația $\sin x + 2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) = \sqrt3 \sin 2x + 1$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi\right]$. (USE-2018. Valul principal) - a) Rezolvați ecuația $\cos^2 x + \sin x = \sqrt2 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right)$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -4\pi; -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Valul principal) - a) Rezolvați ecuația $2 \sin\left(2x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \sqrt(3) \sin x = \sin 2x + \sqrt3$.
- a) Rezolvați ecuația $2\sqrt3 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \cos 2x = 3\cos x - 1$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ 2\pi; \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Valul principal) - a) Rezolvați ecuația $2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) - \cos x = \sqrt3\sin 2x - 1$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ \dfrac(5\pi)(2); 4\pi \right]$. (USE-2018. Valul principal) - a) Rezolvați ecuația $\sqrt2\sin\left(\dfrac(\pi)(4) + x \right) + \cos 2x = \sin x - 1$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ \dfrac(7\pi)(2); 5\pi \right]$. (USE-2018. Valul principal) - a) Rezolvați ecuația $\sqrt2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \sqrt2\cos x = \sin 2x - 1$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi \right]$. (USE-2018. Valul principal) - a) Rezolvați ecuația $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) + \cos 2x = \sqrt3\cos x + 1$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -3\pi; -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Valul principal)
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ \pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Valul principal)- a) Rezolvați ecuația $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \cos 2x = \sqrt2\cos x + 1$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ \pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Val principal, zi de rezervă) - a) Rezolvați ecuația $2\cos x - \sqrt3 \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi\right]$. (USE-2018. Val principal, zi de rezervă) - a) Rezolvați ecuația $2\cos x + \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi\right]$. (USE-2018. Val principal, zi de rezervă) - a) Rezolvați ecuația $2\sqrt2\sin \left(x + \dfrac(\pi)(3)\right) + 2\cos^2 x = 2 + \sqrt6 \cos x$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ -3\pi; -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Val principal, zi de rezervă) - a) Rezolvați ecuația $x - 3\sqrt(x - 1) + 1 = 0$.
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând segmentului $\left[ \sqrt(3); \sqrt(20) \right]$. (USE-2018. Val principal, zi de rezervă) - a) Rezolvați ecuația $2x\cos x - 8\cos x + x - 4 = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ -\dfrac(\pi)(2);\ \pi \right]$. (UTILIZARE 2017, val principal, zi de rezervă) - a) Rezolvați ecuația $\log_3 (x^2 - 2x) = 1$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ \log_2 0(,)2;\ \log_2 5 \right]$. (UTILIZARE 2017, val principal, zi de rezervă) - a) Rezolvați ecuația $\log_3 (x^2 - 24x) = 4$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ \log_2 0(,)1;\ 12\sqrt(5) \right]$. (UTILIZARE 2017, val principal, zi de rezervă) - a) Rezolvați ecuația $0(,)4^(\sin x) + 2(,)5^(\sin x) = 2$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (USE-2017, val principal) - a) Rezolvați ecuația $\log_8 \left(7\sqrt(3) \sin x - \cos 2x - 10\right) = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$. (USE-2017, val principal) - a) Rezolvați ecuația $\log_4 \left(2^(2x) - \sqrt(3) \cos x - 6\sin^2 x\right) = x$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ \dfrac(5\pi)(2);\ 4\pi \right]$. (USE-2017, val principal) - a) Rezolvați ecuația $2\log_2^2 \left(\sin x\right) - 5 \log_2 \left(\sin x\right) - 3 = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ - 3\pi;\ - \dfrac(3\pi)(2) \right]$. (USE-2017, val principal) - a) Rezolvați ecuația $81^(\cos x) - 12\cdot 9^(\cos x) + 27 = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ - 4\pi;\ - \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2017, val principal) - a) Rezolvați ecuația $8^x - 9 \cdot 2^(x + 1) + 2^(5 - x) = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ \log_5 2;\ \log_5 20 \right]$. (UTILIZARE 2017, val timpuriu) - a) Rezolvați ecuația $2\log^2_9 x - 3 \log_9 x + 1 = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ \sqrt(10);\ \sqrt(99) \right]$. (USE 2016, val principal, zi de rezervă) - a) Rezolvați ecuația $6\log^2_8 x - 5 \log_8 x + 1 = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ 2;\ 2(,)5 \right]$. (USE 2016, val principal, zi de rezervă) - a) Rezolvați ecuația $\sin 2x = 2\sin x + \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) + 1$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE 2016, val principal, zi de rezervă) - a) Rezolvați ecuația $2\cos^2 x + 1 = 2\sqrt(2) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right)$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$. (USE-2016, val principal) - a) Rezolvați ecuația $2\log^2_2 (2\cos x) - 9 \log_2 (2\cos x) + 4 = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ -2\pi;\ -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (USE-2016, val principal) - a) Rezolvați ecuația $8^x - 7 \cdot 4^x - 2^(x + 4) + 112 = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ \log_2 5;\ \log_2 11 \right]$. (Examen de stat unificat 2016, val timpuriu) - a) Rezolvați ecuația $\cos 2x + \cos^2 \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right) = 0,25$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (Examen de stat unificat 2016, val timpuriu) - a) Rezolvați ecuația $\dfrac(13\sin^2 x - 5\sin x)(13\cos x + 12) = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (Examen de stat unificat 2016, val timpuriu) - a) Rezolvați ecuația $\dfrac(\sin2x)(\sin\left(\dfrac(7\pi)(2) - x \right)) = \sqrt(2)$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left$. (USE-2015, val principal) - a) Rezolvați ecuația $4 \sin^2 x = \mathrm(tg) x$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ - \pi;\ 0\right]$. (USE-2015, val principal) - a) Rezolvați ecuația $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$. (USE-2015, val principal) - a) Rezolvați ecuația $\cos 2x - 5\sqrt(2)\cos x - 5 = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (USE-2015, val principal) - a) Rezolvați ecuația $\sin 2x + \sqrt(2) \sin x = 2\cos x + \sqrt(2)$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$. (Examen de stat unificat 2015, val timpuriu) - a) Rezolvați ecuația $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2)\right]$. (Examen de stat unificat 2015, val timpuriu) - a) Rezolvați ecuația $\mathrm(tg)^2 x + (1 + \sqrt(3)) \mathrm(tg) x + \sqrt(3) = 0$.
b) Indicaţi rădăcinile acestei ecuaţii care aparţin segmentului $\left[ \dfrac(5\pi)(2); \4\pi\right]$. (USE-2014, val principal) - a) Rezolvați ecuația $2\sqrt(3) \cos^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) - \sin 2x = 0$.
b) Indicaţi rădăcinile acestei ecuaţii care aparţin segmentului $\left[ \dfrac(3\pi)(2); \3\pi\right]$. (USE-2014, val principal) - a) Rezolvați ecuația $\cos 2x + \sqrt(2) \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right) + 1 = 0$.
b) Indicaţi rădăcinile acestei ecuaţii care aparţin segmentului $\left[ -3\pi; \ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (USE-2014, val principal) - a) Rezolvați ecuația $-\sqrt(2) \sin\left(-\dfrac(5\pi)(2) + x\right) \cdot \sin x = \cos x$.
b) Indicaţi rădăcinile acestei ecuaţii care aparţin segmentului $\left[ \dfrac(9\pi)(2); \6\pi\right]$. (Examen de stat unificat 2014, val timpuriu) - a) Rezolvați ecuația $\sin 2x = \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right)$.
b) Indicaţi rădăcinile acestei ecuaţii aparţinând segmentului $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); \ -\dfrac(5\pi)(2)\right]$. (USE-2013, val principal) - a) Rezolvați ecuația $6\sin^2 x + 5\sin\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right) - 2 = 0$.
b) Indicaţi rădăcinile acestei ecuaţii care aparţin segmentului $\left[ -5\pi; \ - \dfrac(7\pi)(2)\right]$. (USE-2012, al doilea val)
Scopul lecției:
A) consolidarea capacității de a rezolva ecuații trigonometrice simple;
b) învață cum să selectezi rădăcinile ecuațiilor trigonometrice dintr-un interval dat
În timpul orelor.
1. Actualizarea cunoștințelor.
a)Verificarea temelor: clasa se acordă avansat teme pentru acasă– rezolvați ecuația și găsiți o modalitate de a selecta rădăcini dintr-un interval dat.
1) cos X= -0,5, unde xI [- ]. Răspuns:.
2) păcatul X= , unde xI . Răspuns: ; .
3) cos 2 X= -, unde xI. Răspuns:
Elevii notează soluția pe tablă, unii folosind un grafic, alții folosind metoda de selecție.
La ora aceasta ora lucrează pe cale orală.
Găsiți sensul expresiei:
a) tg – sin + cos + sin. Raspunsul 1.
b) 2arccos 0 + 3 arccos 1. Răspuns: ?
c) arcsin + arcsin. Răspuns:.
d) 5 arctg (-) – arccos (-). Răspuns:-.
– Să vă verificăm temele, să vă deschidem caietele cu temele.
Unii dintre voi au găsit soluția folosind metoda de selecție, iar alții folosind graficul.
2. Concluzie despre modalitățile de rezolvare a acestor sarcini și enunțarea problemei, adică comunicarea temei și a scopului lecției.
– a) Este dificil de rezolvat folosind selecția dacă este dat un interval mare.
– b) Metoda grafică nu oferă rezultate precise, necesită verificare și necesită mult timp.
– Prin urmare, trebuie să mai existe cel puțin o metodă, cea mai universală - să încercăm să o găsim. Deci, ce vom face astăzi în clasă? (Învățați să alegeți rădăcinile unei ecuații trigonometrice pe un interval dat.)
– Exemplul 1. (Elevul merge la tablă)
cos X= -0,5, unde xI [- ].
Întrebare: Ce determină răspunsul la această sarcină? (Din solutie generala ecuații Să scriem soluția în vedere generala). Soluția este scrisă pe tablă
x = + 2?k, unde k R.
– Să scriem această soluție sub forma unui set:
– În opinia dumneavoastră, în ce notație a soluției este convenabil să alegeți rădăcini pe interval? (de la a doua intrare). Dar aceasta este din nou o metodă de selecție. Ce trebuie să știm pentru a obține răspunsul corect? (Trebuie să cunoașteți valorile lui k).
(Hai sa ne impacam model matematic pentru a găsi k).
deoarece kI Z, atunci k = 0, deci X= = |
Din această inegalitate este clar că nu există valori întregi ale lui k. |
Concluzie: Pentru a selecta rădăcini dintr-un interval dat atunci când rezolvați o ecuație trigonometrică, trebuie să:
- pentru a rezolva o ecuație de forma sin x = a, cos x = a Este mai convenabil să scrieți rădăcinile ecuației ca două serii de rădăcini.
- pentru a rezolva ecuații de forma tan x = a, ctg x = a scrie formula generala rădăcini.
- creați un model matematic pentru fiecare soluție din formular dubla inegalitateși găsiți valoarea întreagă a parametrului k sau n.
- înlocuiți aceste valori în formula rădăcină și calculați-le.
Rezolvați exemplele nr. 2 și nr. 3 din teme folosind algoritmul rezultat. Doi elevi lucrează la tablă în același timp, urmat de verificarea lucrării.
A) Rezolvați ecuația 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.
b) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right].
Arată soluțiaSoluţie
A) Deschiderea parantezelor și mutarea tuturor termenilor în partea stanga, obținem ecuația 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Avand in vedere ca \cos x \neq 0, termenul 2 \sin x poate fi inlocuit cu 2 tan x \cos x, se obtine ecuatia 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, care prin grupare se poate reduce la forma (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.
1) 1-tg x=0, tan x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;
2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.
b) Folosind cercul numeric, selectați rădăcinile aparținând intervalului \left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].
x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,
x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.
Răspuns
A) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;
b) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.
Condiție
A) Rezolvați ecuația (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;
Arată soluțiaSoluţie
A) ODZ: \begin(cases) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(cases)
Ecuația originală de pe ODZ este echivalentă cu un set de ecuații
\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(matrice)\dreapta.
Să rezolvăm prima ecuație. Pentru a face acest lucru, vom face o înlocuire \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Atunci \sin^24x=1-t^2. Primim:
2(1-t^2)-3t=0,
2t^2+3t-2=0,
t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].
\cos 4x=\frac12,
4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,
x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.
Să rezolvăm a doua ecuație.
tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.
Folosind cercul unitar, găsim soluții care satisfac ODZ.
Semnul „+” marchează sferturile 1 și 3, în care tg x>0.
Se obține: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.
b) Să găsim rădăcinile aparținând intervalului \left(0;\,\frac(3\pi )2\right].
.png)
x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).
Răspuns
A) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.
b) \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).
Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Condiție
A) Rezolvați ecuația: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;
b) Enumerați toate rădăcinile care aparțin intervalului \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right].
Arată soluțiaSoluţie
A) Deoarece \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, Acea \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, Mijloace, ecuația dată este echivalentă cu ecuația \cos^2x=\cos ^22x, care, la rândul ei, este echivalentă cu ecuația \cos^2x-\cos ^2 2x=0.
Dar \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)Și
\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, deci ecuația devine
(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,
(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.
Atunci fie 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, fie 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.
Rezolvarea primei ecuații ca ecuație pătratică raportat la \cos x, obținem:
(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Prin urmare fie \cos x=1 fie \cos x=-\frac12. Dacă \cos x=1, atunci x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Dacă \cos x=-\frac12, Acea x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.
În mod similar, rezolvând a doua ecuație, obținem fie \cos x=-1, fie \cos x=\frac12. Dacă \cos x=-1, atunci rădăcinile x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Dacă \cos x=\frac12, Acea x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.
Să combinăm soluțiile obținute:
x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.
b) Să selectăm rădăcinile care se încadrează într-un interval dat folosind un cerc numeric.
Primim: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.
Răspuns
A) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;
b) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.
Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Condiție
A) Rezolvați ecuația 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).
b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\right).
Arată soluțiaSoluţie
A) 1. Conform formulei de reducere, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx. Domeniul de definire al ecuației va fi astfel de valori ale lui x astfel încât \cos x \neq 0 și tan x \neq -1. Să transformăm ecuația folosind formula cosinusului cu unghi dublu 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Obtinem ecuatia: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).
observa asta \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), deci ecuația devine: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). De aici \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cos x+\sin x =\frac65.
2. Transformați \sin x+\cos x folosind formula de reducere și formula sumei cosinusurilor: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.
De aici \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5. Mijloace, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,
sau x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.
De aceea x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,
sau x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.
Valorile găsite ale lui x aparțin domeniului definiției.
b) Să aflăm mai întâi unde cad rădăcinile ecuației la k=0 și t=0. Acestea vor fi numere în consecință a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5Și b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.
1. Să demonstrăm inegalitatea auxiliară:
\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.
Într-adevăr, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.
De asemenea, rețineți că \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, Mijloace \frac(3\sqrt 2)5<1.
2. Din inegalităţi (1) Prin proprietatea arccosinus obținem:
arccos 1 0 De aici \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,
0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,
0 De asemenea, -\frac\pi 4 0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5<
0 Pentru k=-1 și t=-1 obținem rădăcinile ecuației a-2\pi și b-2\pi. \Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg).în care -2\pi 2\pi Pentru alte valori ale lui k și t, rădăcinile ecuației nu aparțin intervalului dat. Într-adevăr, dacă k\geqslant 1 și t\geqslant 1, atunci rădăcinile sunt mai mari decât 2\pi. Dacă k\leqslant -2 și t\leqslant -2, atunci rădăcinile sunt mai mici -\frac(7\pi )2. A) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z; b) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5. Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova. A) Rezolvați ecuația \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x). b) Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului ; A) Să transformăm ecuația: \cos x =-\sin 2x, \cos x+2 \sin x \cos x=0, \cos x(1+2 \sin x)=0, \cos x=0, x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z; 1+2 \sin x=0, \sin x=-\frac12, x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z. b) Găsim rădăcinile aparținând segmentului folosind cercul unitar. Intervalul indicat conține un singur număr \frac\pi 2. A) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z; b) \frac\pi 2. Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova. Mijloace, \sin x \neq 1. Împărțiți ambele părți ale ecuației cu un factor (\sin x-1), diferit de zero. Obținem ecuația \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)), sau ecuație 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Aplicând formula de reducere în partea stângă și formula de reducere în dreapta, obținem ecuația 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Această ecuație este prin substituție \cos x=t, Unde -1 \leqslant t \leqslant 1 reduceți-l la pătrat: 2t^2+t-1=0, ale căror rădăcini t_1=-1Și t_2=\frac12. Revenind la variabila x, obținem \cos x = \frac12 sau \cos x=-1, Unde x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z. b) Să rezolvăm inegalitățile 1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , 2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,) 3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , 1)
-\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56 , -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12). \left [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right]. 2)
-\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12). Nu există numere întregi în interval \left[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\dreapta]. 3)
-\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34. Această inegalitate este satisfăcută de k=-1, apoi x=-\pi. A) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z; b) -\pi . În acest articol voi încerca să explic 2 moduri selectarea rădăcinilor într-o ecuație trigonometrică: folosind inegalitățile și folosind cercul trigonometric. Să trecem direct la un exemplu ilustrativ și ne vom da seama cum funcționează lucrurile. A) Rezolvați ecuația sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x) Să rezolvăm punctul a. Să folosim formula de reducere pentru sinus sin(Pi/2+x) = cos(x) Sqrt(2)cos^2x = cosx Sqrt(2)cos^2x - cosx = 0 Cosx(sqrt(2)cosx - 1) = 0 X1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z Sqrt(2)cosx - 1 = 0 Cosx = 1/sqrt(2) Cosx = sqrt(2)/2 X2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z X2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z Să rezolvăm punctul b. 1) Selectarea rădăcinilor folosind inegalități Aici totul se face simplu, înlocuim rădăcinile rezultate în intervalul dat [-7Pi/2; -2Pi], găsiți valori întregi pentru n. 7Pi/2 mai mic sau egal cu Pi/2 + Pin mai mic sau egal cu -2Pi Împărțim imediat totul la Pi 7/2 mai mic sau egal cu 1/2 + n mai mic sau egal cu -2 7/2 - 1/2 mai mic sau egal cu n mai mic sau egal cu -2 - 1/2 4 mai mic sau egal cu n mai mic sau egal cu -5/2 Numărul întreg n din acest interval este -4 și -3. Aceasta înseamnă că rădăcinile aparținând acestui interval vor fi Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2 În mod similar, mai facem două inegalități 7Pi/2 mai mic sau egal cu Pi/4 + 2Pin mai mic sau egal cu -2Pi Nu există n întreg în acest interval 7Pi/2 mai mic sau egal cu -Pi/4 + 2Pin mai mic sau egal cu -2Pi Un număr întreg n în acest interval este -1. Aceasta înseamnă că rădăcina selectată pe acest interval este -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4. Deci răspunsul la punctul b: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4 2) Selectarea rădăcinilor folosind un cerc trigonometric Pentru a utiliza această metodă, trebuie să înțelegeți cum funcționează acest cerc. Voi încerca să explic într-un limbaj simplu cum înțeleg asta. Cred că în școli, la lecțiile de algebră, această temă a fost explicată de multe ori cu cuvinte inteligente de la profesor, în manuale erau formulări complexe. Personal, înțeleg asta ca un cerc care poate fi parcurs de un număr infinit de ori, acest lucru se explică prin faptul că funcțiile sinus și cosinus sunt periodice. Să mergem în sens invers acelor de ceasornic Să mergem de 2 ori în sens invers acelor de ceasornic Să mergem în jur de 1 dată în sensul acelor de ceasornic (valorile vor fi negative) Să revenim la întrebarea noastră, trebuie să selectăm rădăcini în intervalul [-7Pi/2; -2Pi] Pentru a ajunge la numerele -7Pi/2 și -2Pi trebuie să ocoliți cercul în sens invers acelor de ceasornic de două ori. Pentru a găsi rădăcinile ecuației pe acest interval, trebuie să estimați și să înlocuiți. Luați în considerare x = Pi/2 + Pin. Aproximativ ce ar trebui să fie n pentru ca x să fie undeva în acest interval? Inlocuim, sa zicem -2, obtinem Pi/2 - 2Pi = -3Pi/2, evident acest lucru nu este inclus in intervalul nostru, deci luam mai putin de -3, Pi/2 - 3Pi = -5Pi/2, asta este potrivit, să încercăm din nou -4 , Pi/2 - 4Pi = -7Pi/2, de asemenea, potrivit. Raționând în mod similar pentru Pi/4 + 2Pin și -Pi/4 + 2Pin, găsim o altă rădăcină -9Pi/4. Comparația a două metode. Prima metodă (folosind inegalități) este mult mai fiabilă și mult mai ușor de înțeles, dar dacă chiar iei în serios cercul trigonometric și a doua metodă de selecție, atunci selectarea rădăcinilor va fi mult mai rapidă, poți economisi aproximativ 15 minute la examen. . Sarcina nr. 1 Logica este simplă: vom proceda așa cum am făcut înainte, indiferent de faptul că acum funcțiile trigonometrice au un argument mai complex! Dacă ar fi să rezolvăm o ecuație de forma: Apoi vom scrie următorul răspuns: Sau (din moment ce) Dar acum rolul nostru este jucat de această expresie: Apoi putem scrie: Scopul nostru cu tine este să ne asigurăm că partea stângă stă simplu, fără „impurități”! Să scăpăm treptat de ele! În primul rând, să eliminăm numitorul de la: pentru a face acest lucru, înmulțiți egalitatea noastră cu: Acum să scăpăm de el împărțind ambele părți: Acum să scăpăm de cele opt: Expresia rezultată poate fi scrisă ca 2 serii de soluții (prin analogie cu o ecuație pătratică, în care fie adunăm, fie scădem discriminantul) Trebuie să găsim cea mai mare rădăcină negativă! Este clar că trebuie să rezolvăm. Să ne uităm mai întâi la primul episod: Este clar că dacă luăm, atunci ca rezultat vom primi numere pozitive, dar acestea nu ne interesează. Deci trebuie să o luați negativ. Lasa. Când rădăcina va fi mai îngustă: Și trebuie să găsim cel mai mare negativ!! Aceasta înseamnă că mersul în direcția negativă nu mai are sens aici. Și cea mai mare rădăcină negativă pentru această serie va fi egală cu. Acum să ne uităm la a doua serie: Și din nou înlocuim: , apoi: Nu sunt interesat! Atunci nu mai are sens să crești! Să o reducem! Lasă atunci: Se potrivește! Lasa. Apoi Apoi - cea mai mare rădăcină negativă! Răspuns: Sarcina nr. 2 Rezolvăm din nou, indiferent de argumentul cosinus complex: Acum exprimăm din nou în stânga: Înmulțiți ambele părți cu Împărțiți ambele părți Rămâne doar să îl mutați spre dreapta, schimbându-i semnul din minus în plus. Obținem din nou 2 serii de rădăcini, una cu și alta cu. Trebuie să găsim cea mai mare rădăcină negativă. Să ne uităm la primul episod: Este clar că vom obține prima rădăcină negativă la, va fi egală cu și va fi cea mai mare rădăcină negativă din 1 serie. Pentru a doua serie Prima rădăcină negativă se va obține și la și va fi egală cu. Deoarece, atunci este cea mai mare rădăcină negativă a ecuației. Răspuns: . Sarcina nr. 3 Rezolvăm, indiferent de argumentul tangentei complexe. Acum, nu pare complicat, nu? Ca și înainte, exprimăm în partea stângă: Ei bine, este grozav, există o singură serie de rădăcini aici! Să găsim din nou cel mai mare negativ. Este clar că se dovedește dacă îl lași jos. Și această rădăcină este egală. Răspuns: Acum încercați să rezolvați singur următoarele probleme. Gata? Sa verificam. Nu voi descrie în detaliu întreg algoritmul de soluție; mi se pare că a primit deja suficientă atenție mai sus. Ei bine, este totul în regulă? Oh, sinusurile alea urâte, întotdeauna există un fel de probleme cu ele! Ei bine, acum poți rezolva ecuații trigonometrice simple! Să ne exprimăm Cea mai mică rădăcină pozitivă se obține dacă punem, din moment ce, atunci Răspuns: Cea mai mică rădăcină pozitivă se obține la. Va fi egal. Răspuns: . Când primim, când avem. Răspuns: . Aceste cunoștințe te vor ajuta să rezolvi multe probleme pe care le vei întâlni la examen. Dacă aplicați pentru un rating „5”, atunci trebuie doar să continuați să citiți articolul pentru nivel mediu care va fi dedicat rezolvării ecuaţiilor trigonometrice mai complexe (sarcina C1). În acest articol voi descrie rezolvarea unor ecuații trigonometrice mai complexeși cum să le aleagă rădăcinile. Aici mă voi baza pe următoarele subiecte: Ecuațiile trigonometrice mai complexe stau la baza problemelor avansate. Ele necesită atât rezolvarea ecuației în sine în formă generală, cât și găsirea rădăcinilor acestei ecuații aparținând unui anumit interval dat. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice se reduce la două subsarcini: Trebuie remarcat faptul că al doilea nu este întotdeauna necesar, dar în majoritatea exemplelor selecția este încă necesară. Dar dacă nu este necesar, atunci vă putem simpatiza - asta înseamnă că ecuația este destul de complexă în sine. Experiența mea în analiza problemelor C1 arată că acestea sunt de obicei împărțite în următoarele categorii. Pentru a spune simplu: dacă ești prins una dintre ecuaţiile primelor trei tipuri, atunci consideră-te norocos. Pentru ei, de regulă, trebuie să selectați suplimentar rădăcinile care aparțin unui anumit interval. Dacă întâlniți o ecuație de tip 4, atunci ești mai puțin norocos: trebuie să o faci mai mult și mai atent, dar destul de des nu necesită o selecție suplimentară de rădăcini. Cu toate acestea, voi analiza acest tip de ecuații în articolul următor, iar acesta îl voi dedica rezolvării ecuațiilor din primele trei tipuri. Cel mai important lucru pe care trebuie să-l amintești pentru a rezolva acest tip de ecuație este După cum arată practica, de regulă, aceste cunoștințe sunt suficiente. Să ne uităm la câteva exemple: Iată, așa cum am promis, formulele de reducere funcționează: Atunci ecuația mea va arăta astfel: Atunci ecuația mea va lua următoarea formă: Un student miop ar putea spune: acum voi reduce ambele părți, voi obține cea mai simplă ecuație și mă voi bucura de viață! Și se va înșela amarnic! Deci ce să fac? Da, este simplu, mutați totul într-o parte și eliminați factorul comun: Ei bine, am luat-o în calcul în factori, hai! Acum să decidem: Prima ecuație are rădăcini: Si al doilea: Aceasta completează prima parte a problemei. Acum trebuie să selectați rădăcinile: Decalajul este astfel: Sau poate fi scris și așa: Ei bine, să luăm rădăcinile: În primul rând, să lucrăm cu primul episod (și e mai simplu, ca să spunem cel puțin!) Deoarece intervalul nostru este în întregime negativ, nu este nevoie să luăm cele nenegative, ele vor da în continuare rădăcini nenegative. Să o luăm, atunci - e prea mult, nu lovește. Lasă să fie, atunci - nu l-am lovit din nou. Încă o încercare - apoi - da, am înțeles! Prima rădăcină a fost găsită! Trag iar: apoi lovesc iar! Ei bine, încă o dată: : - acesta este deja un zbor. Deci din prima serie sunt 2 rădăcini aparținând intervalului: . Lucrăm cu a doua serie (construim la puterea conform regulii): Undershoot! Mi-a lipsit din nou! Mi-a lipsit din nou! Am înţeles! Zbor! Astfel, intervalul meu are următoarele rădăcini: Acesta este algoritmul pe care îl vom folosi pentru a rezolva toate celelalte exemple. Să exersăm împreună cu încă un exemplu. Soluţie: Din nou notoriile formule de reducere: Nu încercați să reduceți din nou! Prima ecuație are rădăcini: Si al doilea: Acum din nou căutarea rădăcinilor. Voi începe cu al doilea episod, știu deja totul despre el din exemplul anterior! Priviți și asigurați-vă că rădăcinile aparținând intervalului sunt după cum urmează: Acum primul episod și e mai simplu: Dacă - potrivit Dacă și asta e bine Dacă este deja un zbor. Apoi rădăcinile vor fi după cum urmează: Ei bine, tehnica este clară pentru tine? Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice nu mai pare atât de dificilă? Apoi rezolvați rapid următoarele probleme și apoi vom rezolva alte exemple: Și din nou formula de reducere: Prima serie de rădăcini: A doua serie de rădăcini: Începem selecția pentru decalaj Răspuns: , . O grupare destul de complicată în factori (voi folosi formula sinusului cu unghi dublu): apoi sau Aceasta este o soluție generală. Acum trebuie să selectăm rădăcinile. Problema este că nu putem spune valoarea exactă a unui unghi al cărui cosinus este egal cu un sfert. Prin urmare, nu pot să scap doar de arc cosinus - atât de păcat! Ce pot face este să-mi dau seama că așa, așa, atunci. Să creăm un tabel: interval: Ei bine, prin căutări dureroase am ajuns la concluzia dezamăgitoare că ecuația noastră are o singură rădăcină în intervalul indicat: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi O ecuație înspăimântătoare. Cu toate acestea, poate fi rezolvată destul de simplu prin aplicarea formulei sinusului cu unghi dublu: Să o reducem cu 2: Să grupăm primul termen cu al doilea și al treilea cu al patrulea și să scoatem factorii comuni: Este clar că prima ecuație nu are rădăcini, iar acum să luăm în considerare a doua: În general, aveam să mă opresc puțin mai târziu asupra rezolvării unor astfel de ecuații, dar din moment ce a apărut, nu am nimic de făcut, trebuie să o rezolv... Ecuații de forma: Această ecuație se rezolvă prin împărțirea ambelor părți la: Astfel, ecuația noastră are o singură serie de rădăcini: Trebuie să le găsim pe cele care aparțin intervalului: . Să construim din nou un tabel, așa cum am făcut mai devreme: Răspuns: . Ecuații reduse la forma: Ei bine, acum este timpul să trec la a doua porțiune de ecuații, mai ales că am expus deja în ce constă soluția la ecuațiile trigonometrice de un nou tip. Dar merită repetat că ecuația este de formă Rezolvat prin împărțirea ambelor părți la cosinus: Exemplul 1. Primul este destul de simplu. Deplasați-vă la dreapta și aplicați formula cosinusului cu unghi dublu: Da! Ecuația de formă: . Împărțim ambele părți la Facem screening rădăcină: Decalaj: Răspuns: Exemplul 2. Totul este, de asemenea, destul de banal: să deschidem parantezele din dreapta: Identitatea trigonometrică de bază: Sinusul unghiului dublu: În sfârșit obținem: Screening rădăcină: interval. Răspuns: . Ei bine, cum vă place tehnica, nu este prea complicată? Sper ca nu. Putem face imediat o rezervă: în forma lor pură, ecuațiile care se reduc imediat la o ecuație pentru tangentă sunt destul de rare. De obicei, această tranziție (diviziunea prin cosinus) este doar o parte a unei probleme mai complexe. Iată un exemplu pe care să îl exersați: Sa verificam: Ecuația poate fi rezolvată imediat; este suficient să împărțiți ambele părți la: Screening rădăcină: Răspuns: . Într-un fel sau altul, încă nu am întâlnit ecuații de tipul pe care tocmai l-am examinat. Cu toate acestea, este prea devreme să numim asta: a mai rămas încă un „strat” de ecuații pe care nu l-am rezolvat. Asa de: Totul este transparent aici: ne uităm atent la ecuație, o simplificăm pe cât posibil, facem o înlocuire, o rezolvăm, facem o înlocuire inversă! În cuvinte, totul este foarte ușor. Să vedem în acțiune: Exemplu. Ei bine, aici înlocuitorul în sine ni se sugerează! Atunci ecuația noastră se va transforma în asta: Prima ecuație are rădăcini: Iar al doilea este cam asa: Acum să găsim rădăcinile aparținând intervalului Răspuns: . Să ne uităm împreună la un exemplu puțin mai complex: Aici înlocuirea nu este imediat vizibilă, în plus, nu este foarte evidentă. Să ne gândim mai întâi: ce putem face? Ne putem, de exemplu, să ne imaginăm Și în același timp Atunci ecuația mea va lua forma: Și acum atenție, concentrează-te: Să împărțim ambele părți ale ecuației la: Dintr-o dată, tu și cu mine avem o relativă ecuație pătratică! Să facem o înlocuire, apoi obținem: Ecuația are următoarele rădăcini: A doua serie neplăcută de rădăcini, dar nu se poate face nimic! Selectăm rădăcini în interval. Trebuie să luăm în considerare și asta De când și, atunci Răspuns: Pentru a consolida acest lucru înainte de a rezolva singur problemele, iată un alt exercițiu pentru tine: Aici trebuie să ții ochii deschiși: acum avem numitori care pot fi zero! Prin urmare, trebuie să fii deosebit de atent la rădăcini! În primul rând, trebuie să rearanjez ecuația astfel încât să pot face o înlocuire adecvată. Nu mă pot gândi la nimic mai bun acum decât să rescriu tangenta în termeni de sinus și cosinus: Acum voi trece de la cosinus la sinus folosind identitatea trigonometrică de bază: Și, în sfârșit, voi aduce totul la un numitor comun: Acum pot trece la ecuația: Dar la (adică la). Acum totul este gata pentru înlocuire: Apoi sau Cu toate acestea, rețineți că dacă, atunci în același timp! Cine suferă de asta? Problema cu tangentei este că nu este definită când cosinusul este egal cu zero (se produce împărțirea la zero). Astfel, rădăcinile ecuației sunt: Acum cernem rădăcinile în interval: Astfel, ecuația noastră are o singură rădăcină pe interval și este egală. Vedeți: apariția unui numitor (la fel ca și tangentei, duce la anumite dificultăți cu rădăcinile! Aici trebuie să fiți mai atenți!). Ei bine, tu și cu mine aproape am terminat de analizat ecuațiile trigonometrice; a mai rămas foarte puțin - pentru a rezolva singur două probleme. Aici sunt ei. Hotărât? Nu este foarte greu? Sa verificam: Înlocuiți în ecuație: Să rescriem totul prin cosinus pentru a face mai ușor înlocuirea: Acum este ușor să faci o înlocuire: Este clar că este o rădăcină străină, deoarece ecuația nu are soluții. Apoi: Căutăm rădăcinile de care avem nevoie în interval Răspuns: . Apoi sau Răspuns: Ei bine, asta este acum! Dar rezolvarea ecuațiilor trigonometrice nu se termină aici; suntem lăsați în urmă în cele mai dificile cazuri: atunci când ecuațiile conțin iraționalitate sau diferite tipuri de „numitori complecși”. Vom analiza cum să rezolvăm astfel de sarcini într-un articol pentru un nivel avansat. Pe lângă ecuațiile trigonometrice discutate în cele două articole precedente, vom lua în considerare o altă clasă de ecuații care necesită o analiză și mai atentă. Aceste exemple trigonometrice conțin fie iraționalitate, fie un numitor, ceea ce face analiza lor mai dificilă. Cu toate acestea, este posibil să întâlniți aceste ecuații în partea C a lucrării de examen. Cu toate acestea, fiecare nor are o căptușeală de argint: pentru astfel de ecuații, de regulă, întrebarea care dintre rădăcinile sale aparține unui anumit interval nu se mai pune. Să nu ocolim tufișul, dar să trecem direct la exemple trigonometrice. Exemplul 1. Rezolvați ecuația și găsiți rădăcinile care aparțin segmentului. Soluţie: Avem un numitor care nu trebuie să fie egal cu zero! Atunci rezolvarea acestei ecuații este la fel cu rezolvarea sistemului Să rezolvăm fiecare dintre ecuații: Și acum al doilea: Acum să ne uităm la serie: Este clar că această opțiune nu ne convine, deoarece în acest caz numitorul nostru este resetat la zero (vezi formula pentru rădăcinile celei de-a doua ecuații) Dacă, atunci totul este în ordine, iar numitorul nu este zero! Atunci rădăcinile ecuației sunt următoarele: , . Acum selectăm rădăcinile aparținând intervalului. Apoi rădăcinile sunt după cum urmează: Vedeți, chiar și apariția unei mici perturbări sub forma numitorului a afectat semnificativ soluția ecuației: am aruncat o serie de rădăcini care au anulat numitorul. Lucrurile se pot complica și mai mult dacă dai peste exemple trigonometrice care sunt iraționale. Exemplul 2. Rezolvați ecuația: Soluţie: Ei bine, cel puțin nu trebuie să luați rădăcinile și asta e bine! Să rezolvăm mai întâi ecuația, indiferent de iraționalitate: Deci, asta e tot? Nu, vai, ar fi prea ușor! Trebuie să ne amintim că numai numerele nenegative pot apărea sub rădăcină. Apoi: Soluția acestei inegalități este: Acum rămâne să aflăm dacă o parte din rădăcinile primei ecuații a ajuns din greșeală acolo unde inegalitatea nu este valabilă. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza din nou tabelul: Astfel, una dintre rădăcinile mele „a căzut”! Se dovedește că dacă îl lași jos. Apoi răspunsul poate fi scris după cum urmează: Răspuns: Vedeți, rădăcina necesită și mai multă atenție! Să facem totul mai complicat: acum să am o funcție trigonometrică sub rădăcină. Exemplul 3. Ca și înainte: mai întâi le vom rezolva pe fiecare separat, apoi ne vom gândi la ce am făcut. Acum a doua ecuație: Acum, cel mai dificil lucru este să aflăm dacă se obțin valori negative sub rădăcina aritmetică dacă înlocuim acolo rădăcinile din prima ecuație: Numărul trebuie înțeles ca radiani. Deoarece un radian este de aproximativ grade, atunci radianii sunt de ordinul gradelor. Acesta este colțul celui de-al doilea trimestru. Care este semnul cosinusului celui de-al doilea sfert? Minus. Ce zici de sine? La care se adauga. Deci, ce putem spune despre expresia: Este mai puțin de zero! Aceasta înseamnă că nu este rădăcina ecuației. Acum este timpul. Să comparăm acest număr cu zero. Cotangenta este o functie care scade in 1 sfert (cu cat argumentul este mai mic, cu atat cotangenta este mai mare). radianii sunt aproximativ grade. În același timp de când, atunci și deci Răspuns: . Ar putea deveni mai complicat? Vă rog! Va fi mai dificil dacă rădăcina este încă o funcție trigonometrică, iar a doua parte a ecuației este din nou o funcție trigonometrică. Cu cât mai multe exemple trigonometrice, cu atât mai bine, vezi mai jos: Exemplul 4. Rădăcina nu este potrivită din cauza cosinusului limitat Acum al doilea: În același timp, prin definiția unei rădăcini: Trebuie să ne amintim cercul unitar: și anume acele sferturi în care sinusul este mai mic decât zero. Ce sunt aceste sferturi? Al treilea și al patrulea. Atunci ne vor interesa acele soluții ale primei ecuații care se află în al treilea sau al patrulea trimestru. Prima serie oferă rădăcini situate la intersecția celui de-al treilea și al patrulea sferturi. A doua serie - diametral opusă acesteia - dă naștere la rădăcini situate la granița primului și al doilea sferturi. Prin urmare, această serie nu este potrivită pentru noi. Răspuns: , Și din nou exemple trigonometrice cu „iraționalitate dificilă”. Nu numai că avem din nou funcția trigonometrică sub rădăcină, dar acum este și în numitor! Exemplul 5. Ei bine, nu se poate face nimic - facem ca înainte. Acum lucrăm cu numitorul: Nu vreau să rezolv inegalitatea trigonometrică, așa că voi face ceva viclean: voi lua și voi înlocui seria mea de rădăcini în inegalitate: Dacă - este par, atunci avem: deoarece toate unghiurile de vedere se află în al patrulea sfert. Și din nou întrebarea sacră: care este semnul sinusului în al patrulea trimestru? Negativ. Apoi inegalitatea Dacă -impar, atunci: În ce sfert se află unghiul? Acesta este colțul celui de-al doilea trimestru. Apoi, toate colțurile sunt din nou colțurile celui de-al doilea sfert. Sinusul de acolo este pozitiv. Exact ce ai nevoie! Deci seria: Se potrivește! Ne ocupăm de a doua serie de rădăcini în același mod: Inlocuim in inegalitatea noastra: Dacă – chiar, atunci Colțuri din primul sfert. Sinusul de acolo este pozitiv, ceea ce înseamnă că seria este potrivită. Acum, dacă - impar, atunci: se potriveste si! Ei bine, acum scriem răspunsul! Răspuns: Ei bine, acesta a fost poate cel mai laborios caz. Acum iti propun probleme de rezolvat singur. Solutii: A doua ecuație: Selectarea rădăcinilor care aparțin intervalului Răspuns: Sau Sa luam in considerare: . Dacă - chiar, atunci Răspuns: , . Sau A doua parte: Totodată, potrivit DZ se cere ca Verificăm rădăcinile găsite în prima ecuație: Dacă semnul: Unghiurile primului sfert în care tangenta este pozitivă. Nu se potrivește! Colțul al patrulea sfert. Acolo tangenta este negativă. Se potrivește. Scriem răspunsul: Răspuns: , . Am analizat împreună exemple trigonometrice complexe în acest articol, dar ar trebui să rezolvați singur ecuațiile. O ecuație trigonometrică este o ecuație în care necunoscutul se află strict sub semnul funcției trigonometrice. Există două moduri de a rezolva ecuații trigonometrice: Prima modalitate este utilizarea formulelor. A doua cale este prin cercul trigonometric. Vă permite să măsurați unghiuri, să găsiți sinusurile, cosinusurile, etc.Răspuns
Condiție
Soluţie
Răspuns
Condiție
nu este inclusă în DZ. Răspuns
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului [-7Pi/2; -2Pi]
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
-15/8 mai mic sau egal cu n mai mic sau egal cu -9/8
-13/8 mai mic sau egal cu n mai mic sau egal cu -7/8
Teme pentru acasă sau 3 sarcini de rezolvat independent.
În răspunsul la rădăcina pi-shi-th-the-smallesest-possible.
În răspunsul la rădăcina pi-shi-th-the-smallesest-possible.Consultați soluțiile și răspunsurile:
Sarcina nr. 1
Sarcina nr. 2
Sarcina nr. 3
NIVEL MEDIU
Patru categorii de sarcini de complexitate crescută (fostul C1)
Ecuații care se reduc la factorizare
Exemplul 1. Ecuația redusă la factorizare folosind formulele de reducere și sinus cu unghi dublu
REȚINEȚI: NU POȚI REDUCE NICIODATĂ AMBELE FEȚE ALE ECUATIEI TRIGONOMETRICE CU O FUNCȚIE CARE CONȚINE UN NECUNOSCUT! Așa că îți pierzi rădăcinile!
Exemplul 2. Ecuația redusă la factorizare folosind formule de reducere
Muncă independentă. 3 ecuații.
Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află deasupra intervalului.
Indicați rădăcinile ecuației care se află deasupra tăieturii
Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află între ele.Ecuația 1.
Ecuația 2. Verificarea muncii independente.
Ecuația 3: Test de lucru independent.
Indicați rădăcinile ecuației care se află deasupra tăieturii.
Indicați rădăcinile ecuației care se află între ele.Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice prin schimbarea variabilelor
- se potrivește
- exagerat
Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află deasupra tăieturii.
Indicați rădăcinile acestei ecuații, situate deasupra tăieturii.
Aici înlocuitorul este imediat vizibil:
- se potrivește!
- se potrivește!
- se potrivește!
- se potrivește!
- mult!
- de asemenea, multe!
NIVEL AVANSAT
- nu sunt adecvate
- se potrivește
- se potrivește
- se potrivește
exagerat
exagerat
: , Dar
Nu!
Da!
Da!
,Instruire
Prima ecuație:
sau
ODZ al rădăcinii:
sau
Dar
- nu se potriveste!
Dacă - ciudat, : - potrivit!
Aceasta înseamnă că ecuația noastră are următoarea serie de rădăcini:
sau
Selectarea rădăcinilor în interval:
- nu sunt adecvate
- se potrivește
- se potrivește
- mult
- se potrivește
mult
Din moment ce, atunci tangenta nu este definită. Aruncăm imediat această serie de rădăcini!
Dacă semnul:REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ