Obiectivele lecției:

Educațional: Repetați informații teoretice pe tema „Aplicarea derivatelor”, generalizați, consolidați și îmbunătățiți cunoștințele pe această temă.

Să predea cum să aplice cunoștințele teoretice dobândite la rezolvarea diferitelor tipuri de probleme matematice.

Luați în considerare metode de rezolvare a sarcinilor USE legate de conceptul de derivat de niveluri de bază și avansate de complexitate.

Educational:

Pregătirea abilităților: planificarea activităților, lucrul într-un ritm optim, lucrul în grup, rezumatul.

Dezvoltați capacitatea de a-și evalua abilitățile și abilitatea de a comunica cu prietenii.

Stimularea sentimentelor de responsabilitate si empatie Contribuie la dezvoltarea capacitatii de lucru in echipa; aptitudini.. se referă la opiniile colegilor de clasă.

Dezvoltare: să fie capabil să formuleze conceptele cheie ale subiectului studiat. Dezvoltați abilitățile de lucru în grup.

Tip de lecție: combinată:

Generalizarea, consolidarea deprinderilor, aplicarea proprietăților funcțiilor elementare, aplicarea cunoștințelor, aptitudinilor și abilităților deja formate, aplicarea derivatelor în situații non-standard.

Echipament: computer, proiector, ecran, fișe.

Planul lecției:

1. Activitati organizatorice

Reflectarea stării de spirit

2. Actualizarea cunoștințelor elevului

3. Lucrări orale

4. Munca independentă în grup

5. Protecția lucrărilor finalizate

6. Munca independentă

7. Tema pentru acasă

8. Rezumatul lecției

9. Reflectarea stării de spirit

În timpul orelor

1. Reflectarea stării de spirit.

Băieți, bună dimineața. Am venit la lecția voastră cu această dispoziție (arată o imagine a soarelui)!

Care este starea ta?

Pe masa ta sunt cărți cu imagini cu soarele, soarele în spatele unui nor și nori. Arată în ce dispoziție te afli.

2. Analizând rezultatele examenelor de probă, precum și rezultatele certificării finale din ultimii ani, putem concluziona că sarcinile analiză matematică,din Lucrări de examinare unificată de stat nu mai mult de 30%-35% dintre absolvenți fac față.Și în clasa noastră, pe baza rezultatelor muncii de formare și diagnosticare, nu toți le efectuează corect. Acesta este motivul alegerii noastre Vom exersa priceperea folosirii derivatelor atunci când rezolvăm probleme de USE.

Pe lângă problemele de certificare finală, apar întrebări și îndoieli cu privire la măsura în care cunoștințele dobândite în acest domeniu pot și vor fi solicitate în viitor și cât de justificată este investiția de timp și sănătate în studierea acestei teme.

De ce este nevoie de un derivat? Unde ne întâlnim și folosim derivatul? Se poate face fără ea la matematică și nu numai?

Mesajul studentului 3 minute -

3. Lucrări orale.

4. Munca independentă în grupuri (3 grupuri)

Sarcina grupului 1

) Ce este sens geometric derivat?

2) a) În figura se prezintă un grafic al funcției y=f(x) și o tangentă la acest grafic desenată în punctul cu abscisa x0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0.

b) Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) și o tangentă la acest grafic desenată în punctul cu abscisa x0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0.

Răspuns grupa 1:

1) Valoarea derivatei funcției în punctul x=x0 este egală cu coeficientul condiționat al tangentei trasate la graficul acestei funcții în punctul cu abscisa x 0. Coeficientul zero este egal cu tangentei unghiul de înclinare al tangentei (sau, cu alte cuvinte) tangentei unghiului format de tangentă și... direcția axei Ox)

2) A)f1(x)=4/2=2

3) B)f1(x)=-4/2=-2

Sarcina grupului 2

1) Care este sensul fizic al derivatului?

2) Punctul material se deplasează rectiliniu conform legii
x(t)=-t2+8t-21, unde x este distanța de la punctul de referință în metri, t este timpul în secunde, măsurat de la începutul mișcării. Aflați viteza acesteia (în metri pe secundă) la momentul t=3 s.

3) Punctul material se deplasează rectiliniu conform legii
x(t)= ½*t2-t-4, unde x este distanța de la punctul de referință în metri, t este timpul în secunde, măsurat de la începutul mișcării. În ce moment (în secunde) viteza sa a fost egală cu 6 m/s?

Raspuns grupa 2:

1) Sensul fizic (mecanic) al derivatului este următorul.

Dacă S(t) este legea mișcării rectilinie a unui corp, atunci derivata exprimă viteza instantanee la momentul t:

V(t)=-x(t)=-2t=8=-2*3+8=2

3) X(t)=1/2t^2-t-4

Sarcina grupului 3

1) Linia dreaptă y= 3x-5 este paralelă cu tangenta la graficul funcției y=x2+2x-7. Aflați abscisa punctului tangent.

2) Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x), definită pe intervalul (-9;8). Determinați numărul de puncte întregi din acest interval la care derivata funcției f(x) este pozitivă.

Răspuns grupa 3:

1) Deoarece linia dreaptă y=3x-5 este paralelă cu tangentei, atunci coeficientul unghiular al tangentei este egal cu coeficientul unghiular al dreptei y=3x-5, adică k=3.

Y1(x)=3 ,y1=(x^2+2x-7)1=2x=2 2x+2=3

2) Punctele întregi sunt puncte cu valori întregi de abscisă.

Derivata unei funcții f(x) este pozitivă dacă funcția este crescătoare.

Întrebare: Ce puteți spune despre derivata funcției, care este descrisă de proverba „Cu cât mai departe în pădure, cu atât mai mult lemn de foc”

Răspuns: Derivata este pozitivă în întregul domeniu de definiție, deoarece această funcție crește monoton

6. Munca independentă (6 opțiuni)

7. Tema pentru acasă.

Munca de formare Raspunsuri:

Rezumatul lecției.

„Muzica poate ridica sau liniște sufletul, pictura poate încânta ochiul, poezia poate trezi sentimente, filosofia poate satisface nevoile minții, ingineria poate îmbunătăți latura materială a vieții oamenilor. Dar matematica poate atinge toate aceste obiective.”

Asta-i ce-a spus el matematician american Maurice Kline.

Mulțumesc pentru muncă!

Serghei Nikiforov

Dacă derivata unei funcții este de semn constant pe un interval, iar funcția în sine este continuă pe granițele sale, atunci punctele de limită sunt adăugate atât la intervale crescătoare, cât și la intervale descrescătoare, ceea ce corespunde pe deplin definiției funcțiilor crescătoare și descrescătoare.

Farit Yamaev 26.10.2016 18:50

Buna ziua. Cum (pe ce bază) putem spune că în punctul în care derivata este egală cu zero, funcția crește. Da motive. Altfel, e doar capriciu al cuiva. După ce teoremă? Și, de asemenea, dovada. Mulțumesc.

A sustine

Valoarea derivatei într-un punct nu este direct legată de creșterea funcției pe interval. Luați în considerare, de exemplu, funcțiile - toate cresc pe interval

Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21

Dacă o funcție crește pe intervalul (a;b) și este definită și continuă în punctele a și b, atunci este în creștere pe intervalul . Acestea. punctul x=2 este inclus în acest interval.

Deși, de regulă, creșterea și scăderea sunt considerate nu pe un segment, ci pe un interval.

Dar în punctul x=2 însuși, funcția are un minim local. Și cum să explicăm copiilor că atunci când caută puncte de creștere (scădere), nu numărăm punctele de extremum local, ci intrăm în intervale de creștere (scădere).

Avand in vedere ca primul parte a examenului de stat unificat Pentru " grupa mijlocie grădiniţă„, atunci poate că astfel de nuanțe sunt prea multe.

Separat, multe mulțumiri întregului personal pentru „Rezolvarea examenului de stat unificat” - un ghid excelent.

Serghei Nikiforov

O explicație simplă poate fi obținută dacă pornim de la definiția unei funcții crescătoare/descrescătoare. Permiteți-mi să vă reamintesc că sună așa: o funcție se numește crescător/descrescător pe un interval dacă unui argument mai mare al funcției îi corespunde o valoare mai mare/mai mică a funcției. Această definiție nu folosește în niciun fel conceptul de derivată, așa că nu pot apărea întrebări despre punctele în care derivata dispare.

Irina Ismakova 20.11.2017 11:46

Bună ziua. Aici, în comentarii, văd convingeri că trebuie incluse granițele. Să zicem că sunt de acord cu asta. Dar vă rugăm să priviți soluția dvs. la problema 7089. Acolo, atunci când specificați intervale crescătoare, limitele nu sunt incluse. Și asta afectează răspunsul. Acestea. soluțiile la sarcinile 6429 și 7089 se contrazic. Vă rugăm să clarificați această situație.

Alexandru Ivanov

Sarcinile 6429 și 7089 au întrebări complet diferite.

Unul este despre intervale crescătoare, iar celălalt este despre intervale cu derivată pozitivă.

Nu există nicio contradicție.

Extremele sunt incluse în intervalele de creștere și scădere, dar punctele în care derivata este egală cu zero nu sunt incluse în intervalele în care derivata este pozitivă.

A Z 28.01.2019 19:09

Colegii, există un concept de creștere la un moment dat

(vezi Fichtenholtz de exemplu)

iar înțelegerea dvs. a creșterii la x=2 este contrară definiției clasice.

Creșterea și scăderea este un proces și aș dori să ader la acest principiu.

În orice interval care conține punctul x=2, funcția nu crește. Prin urmare includerea punct dat x=2 este un proces special.

De obicei, pentru a evita confuzia, includerea capetelor de intervale este discutată separat.

Alexandru Ivanov

Se spune că o funcție y=f(x) crește într-un anumit interval dacă o valoare mai mare a argumentului din acest interval îi corespunde unei valori mai mari a funcției.

În punctul x=2 funcția este diferențiabilă, iar pe intervalul (2; 6) derivata este pozitivă, adică pe intervalul .

Arată soluția

Soluţie

Graficul arată că derivata f"(x) a funcției f(x) își schimbă semnul din plus în minus (în astfel de puncte va fi maxim) la exact un punct (între -5 și -4) din intervalul [ -6; -2 ] Prin urmare, pe intervalul [-6; -2] există exact un punct maxim.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x), definită pe intervalul (-2; 8). Determinați numărul de puncte la care derivata funcției f(x) este egală cu 0.

Arată soluția

Soluţie

Egalitatea derivatei într-un punct la zero înseamnă că tangenta la graficul funcției desenate în acest punct este paralelă cu axa Ox. Prin urmare, găsim puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa Ox. Pe acest grafic, astfel de puncte sunt puncte extreme (puncte maxime sau minime). După cum puteți vedea, există 5 puncte extreme.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Linia dreaptă y=-3x+4 este paralelă cu tangenta la graficul funcției y=-x^2+5x-7. Aflați abscisa punctului tangent.

Arată soluția

Soluţie

Coeficientul unghiular al dreptei la graficul funcției y=-x^2+5x-7 într-un punct arbitrar x_0 este egal cu y"(x_0). Dar y"=-2x+5, ceea ce înseamnă y" (x_0)=-2x_0+5. Unghiar coeficientul dreptei y=-3x+4 specificat în condiție este egal cu -3. Paralele au aceiași coeficienți de pantă.De aceea, găsim o valoare x_0 astfel încât =- 2x_0 +5=-3.

Se obține: x_0 = 4.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) și punctele -6, -1, 1, 4 sunt marcate pe abscisă. În care dintre aceste puncte este derivata cea mai mică? Vă rugăm să indicați acest punct în răspunsul dvs.

Derivatul unei funcții este unul dintre subiectele dificile din programa școlară. Nu fiecare absolvent va răspunde la întrebarea ce este un derivat.

Acest articol explică într-un mod simplu și clar ce este un derivat și de ce este necesar.. Nu ne vom strădui acum pentru rigoare matematică în prezentare. Cel mai important lucru este să înțelegeți sensul.

Să ne amintim definiția:

Derivata este rata de schimbare a unei functii.

Figura prezintă grafice a trei funcții. Care crezi că crește mai repede?

Răspunsul este evident - al treilea. Are cea mai mare rată de schimbare, adică cea mai mare derivată.

Iată un alt exemplu.

Kostya, Grisha și Matvey au primit locuri de muncă în același timp. Să vedem cum s-au schimbat veniturile lor în cursul anului:

Graficul arată totul deodată, nu-i așa? Venitul lui Kostya s-a dublat în șase luni. Și venitul lui Grisha a crescut, dar doar puțin. Și venitul lui Matvey a scăzut la zero. Condițiile de pornire sunt aceleași, dar rata de schimbare a funcției, adică derivat, - diferit. În ceea ce privește Matvey, derivatul său de venit este în general negativ.

Intuitiv, estimăm cu ușurință rata de schimbare a unei funcții. Dar cum facem asta?

Ceea ce ne uităm cu adevărat este cât de abrupt urcă (sau jos) graficul unei funcții. Cu alte cuvinte, cât de repede se schimbă y pe măsură ce x se schimbă? Evident, aceeași funcție în puncte diferite poate avea valori derivate diferite - adică se poate schimba mai repede sau mai lent.

Derivata unei functii se noteaza .

Vă vom arăta cum să-l găsiți folosind un grafic.

A fost desenat un grafic al unei anumite funcții. Să luăm un punct cu o abscisă pe el. Să desenăm o tangentă la graficul funcției în acest punct. Vrem să estimăm cât de abrupt crește graficul unei funcții. O valoare convenabilă pentru aceasta este tangenta unghiului tangentei.

Derivata unei functii intr-un punct este egala cu tangentei unghiului tangentei desenat la graficul functiei in acest punct.

Vă rugăm să rețineți că ca unghi de înclinare al tangentei luăm unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei.

Uneori, elevii întreabă ce este o tangentă la graficul unei funcții. Aceasta este o linie dreaptă care are un singur punct comun cu graficul din această secțiune și așa cum se arată în figura noastră. Arată ca o tangentă la un cerc.

Să-l găsim. Ne amintim că tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este egală cu raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Din triunghi:

Am găsit derivata folosind un grafic fără să știm măcar formula funcției. Astfel de probleme se găsesc adesea în examenul de stat unificat la matematică sub numărul.

Există o altă relație importantă. Amintiți-vă că linia dreaptă este dată de ecuație

Mărimea din această ecuație se numește panta unei drepte. Este egală cu tangenta unghiului de înclinare a dreptei la axă.

.

Înțelegem asta

Să ne amintim această formulă. Exprimă semnificația geometrică a derivatei.

Derivata unei functii intr-un punct este egala cu panta tangentei trasate la graficul functiei in acel punct.

Cu alte cuvinte, derivata este egală cu tangentei unghiului tangentei.

Am spus deja că aceeași funcție poate avea derivate diferite în puncte diferite. Să vedem cum este legată derivata de comportamentul funcției.

Să desenăm un grafic al unei funcții. Lăsați această funcție să crească în unele zone și să scadă în altele și în ritmuri diferite. Și lasă această funcție să aibă puncte maxime și minime.

La un moment dat funcția crește. O tangentă la graficul desenat într-un punct formează un unghi ascuțit cu direcția pozitivă a axei. Aceasta înseamnă că derivata din punct este pozitivă.

În momentul în care funcția noastră scade. Tangenta în acest punct formează un unghi obtuz cu direcția pozitivă a axei. Deoarece tangentei unui unghi obtuz este negativă, derivata din punct este negativă.

Iată ce se întâmplă:

Dacă o funcție este în creștere, derivata ei este pozitivă.

Dacă scade, derivata sa este negativă.

Ce se va întâmpla la punctele maxime și minime? Vedem ca in punctele (punctul maxim) si (punctul minim) tangenta este orizontala. Prin urmare, tangentei tangentei în aceste puncte este zero, iar derivata este, de asemenea, zero.

Punct - punct maxim. În acest moment, creșterea funcției este înlocuită cu o scădere. În consecință, semnul derivatei se schimbă în punctul „plus” în „minus”.

În punctul - punctul minim - derivata este, de asemenea, zero, dar semnul său se schimbă de la „minus” la „plus”.

Concluzie: folosind derivata putem afla tot ce ne intereseaza despre comportamentul unei functii.

Dacă derivata este pozitivă, atunci funcția crește.

Dacă derivata este negativă, atunci funcția scade.

În punctul maxim, derivata este zero și își schimbă semnul din „plus” în „minus”.

La punctul minim, derivata este, de asemenea, zero și își schimbă semnul din „minus” în „plus”.

Să scriem aceste concluzii sub forma unui tabel:

	crește	punct maxim	scade	punct minim	crește
+	0	-	0	+

Să facem două mici precizări. Veți avea nevoie de unul dintre ele când rezolvați problemele USE. Un altul - în primul an, cu un studiu mai serios al funcțiilor și derivatelor.

Este posibil ca derivata unei funcții la un moment dat să fie egală cu zero, dar funcția nu are nici un maxim, nici un minim în acest punct. Acesta este așa-numitul :

Într-un punct, tangenta la grafic este orizontală, iar derivata este zero. Cu toate acestea, înainte de punct funcția a crescut - și după punct continuă să crească. Semnul derivatului nu se schimbă - rămâne pozitiv așa cum a fost.

De asemenea, se întâmplă ca în punctul de maxim sau minim derivata să nu existe. Pe grafic, aceasta corespunde unei ruperi ascuțite, când este imposibil să desenați o tangentă într-un punct dat.

Cum să găsiți derivata dacă funcția este dată nu de un grafic, ci de o formulă? În acest caz se aplică

Mai întâi, încercați să găsiți domeniul funcției:

Ai reușit? Să comparăm răspunsurile:

Este totul în regulă? Bine făcut!

Acum să încercăm să găsim intervalul de valori al funcției:

Găsite? Să comparăm:

Am înţeles? Bine făcut!

Să lucrăm din nou cu grafice, doar că acum este puțin mai complicat - găsiți atât domeniul de definire al funcției, cât și domeniul de valori al funcției.

Cum să găsiți atât domeniul, cât și domeniul unei funcții (avansat)

Iată ce s-a întâmplat:

Cred că ți-ai dat seama de grafice. Acum să încercăm să găsim domeniul de definire al unei funcții în conformitate cu formulele (dacă nu știți cum să faceți acest lucru, citiți secțiunea despre):

Ai reușit? Sa verificam răspunsuri:

1. , deoarece expresia radicală trebuie să fie mai mare sau egală cu zero.
2. , deoarece nu puteți împărți la zero și expresia radicală nu poate fi negativă.
3. , întrucât, respectiv, pentru toți.
4. , deoarece nu puteți împărți la zero.

Cu toate acestea, mai avem încă un punct fără răspuns...

Voi repeta definiția încă o dată și o voi sublinia:

Ai observat? Cuvântul „singur” este un element foarte, foarte important al definiției noastre. Voi încerca să vă explic cu degetele mele.

Să presupunem că avem o funcție definită de o linie dreaptă. . La, substituim această valoare în „regula” noastră și obținem asta. O valoare corespunde unei singure valori. Putem chiar să facem un tabel cu diferitele valori și să graficăm această funcție pentru a vedea singuri.

"Uite! - spui, „“ apare de două ori!” Deci poate o parabolă nu este o funcție? Nu este!

Faptul că „ ” apare de două ori nu este un motiv pentru a acuza parabola de ambiguitate!

Faptul este că, la calculul pentru, am primit un joc. Și când calculăm cu, am primit un joc. Deci, așa este, o parabolă este o funcție. Uită-te la grafic:

Am înţeles? Dacă nu, iată un exemplu de viață care este foarte departe de matematică!

Să presupunem că avem un grup de solicitanți care s-au întâlnit în timp ce depuneau documente, fiecare dintre ei a spus într-o conversație unde locuiește:

De acord, este foarte posibil ca mai mulți bărbați să locuiască într-un oraș, dar este imposibil ca o persoană să trăiască în mai multe orașe în același timp. Aceasta este ca o reprezentare logică a „parabolei” noastre - Mai multe X-uri diferite corespund aceluiași joc.

Acum să venim cu un exemplu în care dependența nu este o funcție. Să presupunem că aceiași tipi ne-au spus pentru ce specialități au aplicat:

Aici avem o situație complet diferită: o persoană poate depune cu ușurință documente pentru una sau mai multe direcții. Acesta este un element seturile sunt puse în corespondență mai multe elemente mulţimi. Respectiv, aceasta nu este o funcție.

Să-ți testăm cunoștințele în practică.

Determinați din imagini ce este o funcție și ce nu este:

Am înţeles? Și iată-l răspunsuri:

• Funcția este - B, E.
• Funcția nu este - A, B, D, D.

Te intrebi de ce? Da, iată de ce:

In toate pozele cu exceptia ÎN)Și E) Sunt mai multe pentru unul!

Sunt sigur că acum puteți distinge cu ușurință o funcție de o non-funcție, să spuneți ce este un argument și ce este o variabilă dependentă și, de asemenea, să determinați intervalul de valori permise ale unui argument și domeniul de definire a unei funcții . Să trecem la următoarea secțiune - cum să setăm o funcție?

Metode pentru specificarea unei funcții

Ce crezi că înseamnă cuvintele? "setare functie"? Așa e, asta înseamnă să explicăm tuturor despre ce funcție vorbim în acest caz. Mai mult, explicați-o în așa fel încât toată lumea să vă înțeleagă corect și graficele de funcții desenate de oameni pe baza explicației dvs. să fie aceleași.

Cum pot face acest lucru? Cum se setează o funcție? Cea mai simplă metodă, care a fost deja folosită de mai multe ori în acest articol, este folosind formula. Scriem o formulă și, substituind o valoare în ea, calculăm valoarea. Și după cum vă amintiți, o formulă este o lege, o regulă prin care devine clar pentru noi și pentru o altă persoană cum un X se transformă într-un Y.

De obicei, acest lucru este exact ceea ce fac ei - în sarcini vedem funcții gata făcute specificate de formule, cu toate acestea, există și alte modalități de a seta o funcție de care toată lumea uită și, prin urmare, întrebarea „cum altfel poți seta o funcție?” deflectoare. Să înțelegem totul în ordine și să începem cu metoda analitică.

Metodă analitică de specificare a unei funcții

Metoda analitică este de a specifica o funcție folosind o formulă. Aceasta este metoda cea mai universală, cuprinzătoare și lipsită de ambiguitate. Dacă aveți o formulă, atunci știți absolut totul despre o funcție - puteți face un tabel de valori din ea, puteți construi un grafic, puteți determina unde crește funcția și unde scade, în general, studiați-o în întregime.

Să luăm în considerare funcția. Care este diferența?

"Ce înseamnă?" - tu intrebi. Voi explica acum.

Permiteți-mi să vă reamintesc că în notație expresia dintre paranteze se numește argument. Și acest argument poate fi orice expresie, nu neapărat simplă. În consecință, oricare ar fi argumentul (expresia dintre paranteze), îl vom scrie în schimb în expresie.

În exemplul nostru va arăta astfel:

Să luăm în considerare o altă sarcină legată de metoda analitică de specificare a unei funcții, pe care o vei avea la examen.

Găsiți valoarea expresiei la.

Sunt sigur că la început te-ai speriat când ai văzut o astfel de expresie, dar nu este absolut nimic înfricoșător în asta!

Totul este la fel ca în exemplul anterior: oricare ar fi argumentul (expresia dintre paranteze), îl vom scrie în schimb în expresie. De exemplu, pentru o funcție.

Ce trebuie făcut în exemplul nostru? În schimb, trebuie să scrieți și în schimb -:

scurtați expresia rezultată:

Asta e tot!

Muncă independentă

Acum încercați să găsiți singur sensul următoarelor expresii:

1. , Dacă
2. , Dacă

Ai reușit? Să comparăm răspunsurile noastre: Suntem obișnuiți cu faptul că funcția are forma

Chiar și în exemplele noastre, definim funcția exact în acest fel, dar analitic este posibil să specificam funcția într-o formă implicită, de exemplu.

Încercați să construiți singur această funcție.

Ai reușit?

Așa am construit-o.

Ce ecuație am derivat în cele din urmă?

Dreapta! Liniar, ceea ce înseamnă că graficul va fi o linie dreaptă. Să facem un tabel pentru a determina ce puncte aparțin liniei noastre:

Exact despre asta vorbeam... Unul corespunde mai multor.

Să încercăm să desenăm ce s-a întâmplat:

Este ceea ce avem o funcție?

Așa e, nu! De ce? Încercați să răspundeți la această întrebare cu ajutorul unui desen. Ce ai primit?

„Pentru că o singură valoare corespunde mai multor valori!”

Ce concluzie putem trage din asta?

Așa este, o funcție nu poate fi întotdeauna exprimată în mod explicit, iar ceea ce este „deghizat” ca funcție nu este întotdeauna o funcție!

Metodă tabelară de specificare a unei funcții

După cum sugerează și numele, această metodă este un semn simplu. Da Da. Ca cea pe care tu și eu am făcut-o deja. De exemplu:

Aici ați observat imediat un model - Y este de trei ori mai mare decât X. Și acum sarcina de a „gândi foarte atent”: crezi că o funcție dată sub formă de tabel este echivalentă cu o funcție?

Să nu mai vorbim multă vreme, dar să desenăm!

Asa de. Desenăm funcția specificată de tapet în următoarele moduri:

Vedeți diferența? Nu totul e vorba de punctele marcate! Priveste mai atent:

L-ai văzut acum? Când definim o funcție în mod tabelar, afișăm pe grafic doar acele puncte pe care le avem în tabel și linia (ca și în cazul nostru) trece doar prin ele. Când definim o funcție analitic, putem lua orice puncte, iar funcția noastră nu se limitează la ele. Aceasta este particularitatea. Tine minte!

Metodă grafică de construire a unei funcții

Metoda grafică de construire a unei funcții nu este mai puțin convenabilă. Ne desenăm funcția și o altă persoană interesată poate găsi cu ce este egală y la un anumit x și așa mai departe. Metodele grafice și analitice sunt printre cele mai comune.

Cu toate acestea, aici trebuie să vă amintiți despre ce am vorbit la început - nu fiecare „squiggle” desenat în sistemul de coordonate este o funcție! Vă amintiți? Pentru orice eventualitate, voi copia aici definiția a ceea ce este o funcție:

De regulă, oamenii numesc de obicei exact cele trei moduri de a specifica o funcție despre care am discutat - analitică (folosind o formulă), tabelară și grafică, uitând complet că o funcție poate fi descrisă verbal. Ca aceasta? Da, foarte simplu!

Descrierea verbală a funcției

Cum să descrii o funcție verbal? Să luăm exemplul nostru recent - . Această funcție poate fi descrisă ca „fiecare valoare reală a lui x corespunde valorii sale triple”. Asta e tot. Nimic complicat. Desigur, veți obiecta - „există funcții atât de complexe încât este pur și simplu imposibil de specificat verbal!” Da, există așa, dar există funcții care sunt mai ușor de descris verbal decât de definit cu o formulă. De exemplu: „fiecare valoare naturală a lui x corespunde diferenței dintre cifrele din care constă, în timp ce minuendul este considerat cea mai mare cifră conținută în notația numărului.” Acum să ne uităm la modul în care descrierea noastră verbală a funcției este implementată în practică:

Cea mai mare cifră dintr-un număr dat este, respectiv, minuend, apoi:

Principalele tipuri de funcții

Acum să trecem la partea cea mai interesantă - să ne uităm la principalele tipuri de funcții cu care ai lucrat/lucrezi și vei lucra în cursul matematicii școlii și facultății, adică să le cunoaștem, ca să spunem așa și dă-le o scurtă descriere. Citiți mai multe despre fiecare funcție în secțiunea corespunzătoare.

Funcție liniară

O funcție de forma unde, sunt numere reale.

Graficul acestei funcții este o linie dreaptă, așa că construirea unei funcții liniare se reduce la găsirea coordonatele a două puncte.

Poziția dreptei pe planul de coordonate depinde de coeficientul unghiular.

Domeniul de aplicare al unei funcții (denumit și domeniul de aplicare al valorilor argumentelor valide) este .

Gama de valori - .

Funcția pătratică

Funcția formei, unde

Graficul funcției este o parabolă; când ramurile parabolei sunt îndreptate în jos, când ramurile sunt îndreptate în sus.

Multe proprietăți ale unei funcții pătratice depind de valoarea discriminantului. Discriminantul se calculează folosind formula

Poziția parabolei pe planul de coordonate în raport cu valoarea și coeficientul este prezentată în figură:

Domeniu

Gama de valori depinde de extremul funcției date (punctul vârf al parabolei) și de coeficient (direcția ramurilor parabolei)

Proporționalitate inversă

Funcția dată de formula, unde

Numărul se numește coeficient de proporționalitate inversă. În funcție de valoare, ramurile hiperbolei sunt în pătrate diferite:

Domeniu - .

Gama de valori - .

REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ

1. O funcție este o regulă conform căreia fiecare element al unei mulțimi este asociat cu un singur element al mulțimii.

• - aceasta este o formulă care denotă o funcție, adică dependența unei variabile de alta;
• - valoare variabilă, sau argument;
• - cantitate dependentă - se modifică atunci când argumentul se schimbă, adică conform oricărei formule specifice care reflectă dependența unei cantități de alta.

2. Valorile argumentelor valide, sau domeniul unei funcții, este ceea ce este asociat cu posibilitățile în care funcția are sens.

3. Gama de funcții- acestea sunt valorile necesare, având în vedere valori acceptabile.

4. Există 4 moduri de a seta o funcție:

• analitice (folosind formule);
• tabular;
• grafic
• descriere verbală.

5. Principalele tipuri de funcții:

• : , unde, sunt numere reale;
• : , Unde;
• : , Unde.