Metode de găsire a matricei inverse, . Luați în considerare o matrice pătrată

Să notăm Δ =det A.

Matricea pătrată A se numește nedegenerat, sau Nimic special, dacă determinantul său este diferit de zero și degenerat, sau special, DacăΔ = 0.

O matrice pătrată B este pentru o matrice pătrată A de același ordin dacă produsul lor este A B = B A = E, unde E este matricea de identitate de același ordin ca și matricele A și B.

Teorema . Pentru ca matricea A să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca determinantul ei să fie diferit de zero.

Matricea inversă a matricei A, notată cu A- 1, deci B = A - 1 și se calculează prin formula

, (1)

unde A i j sunt complemente algebrice ale elementelor a i j ale matricei A..

Calcularea A -1 folosind formula (1) pentru matrice de ordin înalt este foarte laborioasă, așa că în practică este convenabil să găsiți A -1 folosind metoda transformărilor elementare (ET). Orice matrice nesingulară A poate fi redusă la matricea de identitate E prin intermediul ED-urilor numai de coloane (sau numai de rânduri).Dacă ED-urile perfecționate peste matricea A sunt aplicate în aceeași ordine matricei de identitate E, atunci rezultatul este o matrice inversă. Este convenabil să efectuați EP pe matricele A și E simultan, scriind ambele matrici una lângă alta printr-o linie. Să remarcăm încă o dată că atunci când căutați forma canonică a unei matrice, pentru a o găsi, puteți utiliza transformări de rânduri și coloane. Dacă trebuie să găsiți inversul unei matrice, ar trebui să utilizați numai rânduri sau numai coloane în timpul procesului de transformare.

Exemplul 2.10. Pentru matrice găsiți A-1.

Soluţie.Mai întâi găsim determinantul matricei A
Aceasta înseamnă că matricea inversă există și o putem găsi folosind formula: , unde A i j (i,j=1,2,3) sunt adunări algebrice ale elementelor a i j ale matricei originale.

Unde .

Exemplul 2.11. Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți A -1 pentru matricea: A = .

Soluţie.Atribuim matricei inițiale din dreapta o matrice de identitate de același ordin: . Folosind transformări elementare ale coloanelor, vom reduce „jumătatea” stângă la cea de identitate, efectuând simultan exact aceleași transformări pe matricea din dreapta.
Pentru a face acest lucru, schimbați prima și a doua coloană: ~ . La a treia coloană o adăugăm pe prima, iar la a doua - prima, înmulțită cu -2: . Din prima coloană scadem a doua dublată, iar din a treia - a doua înmulțită cu 6; . Să adăugăm a treia coloană la prima și a doua: . Înmulțiți ultima coloană cu -1: . Matricea pătrată obținută în dreapta barei verticale este matricea inversă a matricei date A. Deci,
.

Matricea $A^(-1)$ se numește inversul matricei pătrate $A$ dacă este îndeplinită condiția $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, unde $E $ este matricea de identitate, a cărei ordine este egală cu ordinea matricei $A$.

O matrice nesingulară este o matrice al cărei determinant nu este egal cu zero. În consecință, o matrice singulară este una al cărei determinant este egal cu zero.

Matricea inversă $A^(-1)$ există dacă și numai dacă matricea $A$ este nesingulară. Dacă matricea inversă $A^(-1)$ există, atunci este unică.

Există mai multe moduri de a găsi inversul unei matrice și ne vom uita la două dintre ele. Această pagină va discuta despre metoda matricei adiacente, care este considerată standard în majoritatea cursurilor superioare de matematică. A doua metodă de găsire a matricei inverse (metoda transformărilor elementare), care presupune utilizarea metodei Gauss sau a metodei Gauss-Jordan, este discutată în partea a doua.

Metoda matricei adjuncte

Fie dată matricea $A_(n\times n)$. Pentru a găsi matricea inversă $A^(-1)$ sunt necesari trei pași:

1. Găsiți determinantul matricei $A$ și asigurați-vă că $\Delta A\neq 0$, i.e. că matricea A este nesingulară.
2. Compuneți complementele algebrice $A_(ij)$ ale fiecărui element al matricei $A$ și scrieți matricea $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ din algebricul găsit completează.
3. Scrieți matricea inversă ținând cont de formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matricea $(A^(*))^T$ este adesea numită adjunctă (reciprocă, aliată) la matricea $A$.

Dacă soluția se face manual, atunci prima metodă este bună numai pentru matrici de ordine relativ mici: a doua (), a treia (), a patra (). Pentru a găsi inversul unei matrice de ordin superior, se folosesc alte metode. De exemplu, metoda Gaussiană, care este discutată în partea a doua.

Exemplul nr. 1

Găsiți inversul matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(matrice) \right)$.

Deoarece toate elementele coloanei a patra sunt egale cu zero, atunci $\Delta A=0$ (adică matricea $A$ este singulară). Deoarece $\Delta A=0$, nu există o matrice inversă matricei $A$.

Exemplul nr. 2

Găsiți inversul matricei $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Folosim metoda matricei adiacente. Mai întâi, să găsim determinantul matricei date $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Deoarece $\Delta A \neq 0$, atunci matricea inversă există, deci vom continua soluția. Găsirea complementelor algebrice

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligned)

Compunem o matrice de adunări algebrice: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Transpunem matricea rezultată: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the matricea rezultată este adesea numită matrice adjunctă sau aliată matricei $A$). Folosind formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, avem:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Deci, se găsește matricea inversă: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\ dreapta) $. Pentru a verifica adevărul rezultatului, este suficient să verificați adevărul uneia dintre egalitățile: $A^(-1)\cdot A=E$ sau $A\cdot A^(-1)=E$. Să verificăm egalitatea $A^(-1)\cdot A=E$. Pentru a lucra mai puțin cu fracții, vom înlocui matricea $A^(-1)$ nu în forma $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ și în forma $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(matrice )\right)$:

Răspuns: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Exemplul nr. 3

Găsiți matricea inversă pentru matricea $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .

Să începem prin a calcula determinantul matricei $A$. Deci, determinantul matricei $A$ este:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Deoarece $\Delta A\neq 0$, atunci matricea inversă există, deci vom continua soluția. Găsim complementele algebrice ale fiecărui element dintr-o matrice dată:

Compunem o matrice de adunări algebrice și o transpunem:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

Folosind formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, obținem:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Deci $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Pentru a verifica adevărul rezultatului, este suficient să verificați adevărul uneia dintre egalitățile: $A^(-1)\cdot A=E$ sau $A\cdot A^(-1)=E$. Să verificăm egalitatea $A\cdot A^(-1)=E$. Pentru a lucra mai puțin cu fracții, vom înlocui matricea $A^(-1)$ nu în forma $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ și în forma $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Verificarea a avut succes, matricea inversă $A^(-1)$ a fost găsită corect.

Răspuns: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Exemplul nr. 4

Găsiți inversul matricei a matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Pentru o matrice de ordinul al patrulea, găsirea matricei inverse folosind adunări algebrice este oarecum dificilă. Cu toate acestea, astfel de exemple apar în lucrările de testare.

Pentru a găsi inversul unei matrice, mai întâi trebuie să calculați determinantul matricei $A$. Cel mai bun mod de a face acest lucru în această situație este prin descompunerea determinantului de-a lungul unui rând (coloană). Selectăm orice rând sau coloană și găsim complementele algebrice ale fiecărui element din rândul sau coloana selectată.

Definiția 1: o matrice se numește singulară dacă determinantul ei este zero.

Definiția 2: o matrice se numește nesingulară dacă determinantul ei nu este egal cu zero.

Se numește matricea „A”. matrice inversă, dacă condiția A*A-1 = A-1 *A = E (matricea unitară) este îndeplinită.

O matrice pătrată este inversabilă numai dacă este nesingulară.

Schema de calcul a matricei inverse:

1) Calculați determinantul matricei „A” dacă ∆ A = 0, atunci matricea inversă nu există.

2) Găsiți toate complementele algebrice ale matricei "A".

3) Creați o matrice de adunări algebrice (Aij)

4) Transpuneți matricea complementelor algebrice (Aij )T

5) Înmulțiți matricea transpusă cu inversul determinantului acestei matrice.

6) Efectuați verificarea:

La prima vedere poate părea complicat, dar de fapt totul este foarte simplu. Toate soluțiile se bazează pe operații aritmetice simple, principalul lucru atunci când rezolvați este să nu vă confundați cu semnele „-” și „+” și să nu le pierdeți.

Acum să rezolvăm împreună o sarcină practică calculând matricea inversă.

Sarcină: găsiți matricea inversă „A” prezentată în imaginea de mai jos:

Rezolvăm totul exact așa cum este indicat în planul de calcul al matricei inverse.

1. Primul lucru de făcut este să găsiți determinantul matricei "A":

Explicaţie:

Ne-am simplificat determinantul folosind funcțiile sale de bază. Mai întâi, am adăugat la liniile a 2-a și a 3-a elementele primei linii, înmulțite cu un număr.

În al doilea rând, am schimbat coloana a 2-a și a 3-a a determinantului și, în funcție de proprietățile acestuia, am schimbat semnul din fața acestuia.

În al treilea rând, am scos factorul comun (-1) din a doua linie, schimbând astfel din nou semnul și a devenit pozitiv. De asemenea, am simplificat linia 3 în același mod ca la începutul exemplului.

Avem un determinant triunghiular ale cărui elemente de sub diagonală sunt egale cu zero, iar prin proprietatea 7 este egal cu produsul elementelor diagonale. Până la urmă am primit ∆ A = 26, deci matricea inversă există.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Următorul pas este să compilați o matrice din adăugările rezultate:

5. Înmulțiți această matrice cu inversul determinantului, adică cu 1/26:

6. Acum trebuie doar să verificăm:

În timpul testului, am primit o matrice de identitate, prin urmare, soluția a fost efectuată absolut corect.

2 moduri de a calcula matricea inversă.

1. Transformarea matricei elementare

2. Matrice inversă printr-un convertor elementar.

Transformarea matricei elementare include:

1. Înmulțirea unui șir cu un număr care nu este egal cu zero.

2. Adăugând la orice linie o altă linie înmulțită cu un număr.

3. Schimbați rândurile matricei.

4. Aplicând un lanț de transformări elementare, obținem o altă matrice.

A -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2.A -1 * A = E

Să ne uităm la asta folosind un exemplu practic cu numere reale.

Exercițiu: Aflați matricea inversă.

Soluţie:

Sa verificam:

O mica precizare asupra solutiei:

Mai întâi, am rearanjat rândurile 1 și 2 ale matricei, apoi am înmulțit primul rând cu (-1).

După aceea, am înmulțit primul rând cu (-2) și l-am adăugat cu al doilea rând al matricei. Apoi am înmulțit linia 2 cu 1/4.

Etapa finală a transformării a fost înmulțirea a doua linie cu 2 și adăugarea acesteia cu prima. Ca urmare, avem matricea de identitate în stânga, prin urmare, matricea inversă este matricea din dreapta.

După verificare, ne-am convins că decizia a fost corectă.

După cum puteți vedea, calcularea matricei inverse este foarte simplă.

La sfârșitul acestei prelegeri, aș dori, de asemenea, să petrec puțin timp asupra proprietăților unei astfel de matrice.

Acest subiect este unul dintre cele mai urâte printre studenți. Mai rău, probabil, sunt calificările.

Trucul este că însuși conceptul de element invers (și nu mă refer doar la matrice) ne trimite la operația de înmulțire. Chiar și în curiculumul scolarînmulțirea este considerată o operație complexă, iar înmulțirea matriceală în general subiect separat, căruia am un paragraf întreg și un tutorial video dedicat.

Astăzi nu vom intra în detaliile calculelor matriceale. Să ne amintim: cum sunt desemnate matricele, cum sunt înmulțite și ce rezultă din aceasta.

Recenzie: Înmulțirea matricelor

În primul rând, să cădem de acord asupra notării. O matrice $A$ de dimensiunea $\left[ m\times n \right]$ este pur și simplu un tabel de numere cu exact $m$ rânduri și $n$ coloane:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrice) \right])_(n)\]

Pentru a evita amestecarea accidentală a rândurilor și coloanelor (credeți-mă, la un examen puteți confunda unul cu doi, darămite câteva rânduri), priviți imaginea:

Determinarea indicilor pentru celulele matriceale

Ce se întâmplă? Dacă plasați sistemul de coordonate standard $OXY$ în colțul din stânga sus și direcționați axele astfel încât să acopere întreaga matrice, atunci fiecare celulă a acestei matrice poate fi asociată în mod unic cu coordonatele $\left(x;y \right)$ - acesta va fi numărul rândului și numărul coloanei.

De ce este plasat sistemul de coordonate în colțul din stânga sus? Da, pentru că de acolo începem să citim orice texte. Este foarte ușor de reținut.

De ce axa $x$ este îndreptată în jos și nu spre dreapta? Din nou, este simplu: luați un sistem de coordonate standard (axa $x$ merge la dreapta, axa $y$ merge în sus) și rotiți-l astfel încât să acopere matricea. Aceasta este o rotație de 90 de grade în sensul acelor de ceasornic - vedem rezultatul în imagine.

În general, ne-am dat seama cum să determinăm indicii elementelor matricei. Acum să ne uităm la înmulțire.

Definiție. Matricele $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$, când numărul de coloane din prima coincide cu numărul de rânduri din a doua, sunt numite consistente.

Exact în acea ordine. Se poate confunda și spune că matricele $A$ și $B$ formează o pereche ordonată $\left(A;B \right)$: dacă sunt consistente în această ordine, atunci nu este deloc necesar ca $B $ și $A$ acelea. perechea $\left(B;A \right)$ este de asemenea consistentă.

Numai matricele potrivite pot fi multiplicate.

Definiție. Produsul matricelor potrivite $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$ este noua matrice $C=\left[ m\times k \right ]$ , ale căror elemente $((c)_(ij))$ se calculează după formula:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Cu alte cuvinte: pentru a obține elementul $((c)_(ij))$ al matricei $C=A\cdot B$, trebuie să luați $i$-rândul primei matrice, $j$ -a coloană a celei de-a doua matrice, apoi înmulțiți în perechi elementele din acest rând și coloană. Adunați rezultatele.

Da, aceasta este o definiție atât de dură. Din aceasta decurg imediat mai multe fapte:

1. Înmulțirea matriceală, în general, este necomutativă: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Totuși, înmulțirea este asociativă: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Și chiar distributiv: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Și încă o dată distributiv: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Distributivitatea înmulțirii a trebuit să fie descrisă separat pentru factorul de sumă din stânga și din dreapta tocmai din cauza necomutativității operației de înmulțire.

Dacă se dovedește că $A\cdot B=B\cdot A$, astfel de matrici se numesc comutative.

Printre toate matricele care sunt înmulțite cu ceva acolo, există unele speciale - cele care, atunci când sunt înmulțite cu orice matrice $A$, dau din nou $A$:

Definiție. O matrice $E$ se numește identitate dacă $A\cdot E=A$ sau $E\cdot A=A$. În cazul unei matrice pătrate $A$ putem scrie:

Matricea de identitate este un invitat frecvent în rezolvare ecuații matriceale. Și, în general, un invitat frecvent în lumea matricelor. :)

Și din cauza acestui $E$, cineva a venit cu toate prostiile care vor fi scrise în continuare.

Ce este o matrice inversă

Deoarece înmulțirea matricei este o operație foarte intensă de muncă (trebuie să înmulțiți o grămadă de rânduri și coloane), conceptul de matrice inversă se dovedește a nu fi cel mai banal. Și necesită niște explicații.

Definiție cheie

Ei bine, este timpul să cunoaștem adevărul.

Definiție. O matrice $B$ se numește inversul unei matrice $A$ dacă

Matricea inversă este notată cu $((A)^(-1))$ (a nu se confunda cu gradul!), deci definiția poate fi rescrisă după cum urmează:

S-ar părea că totul este extrem de simplu și clar. Dar atunci când analizăm această definiție, apar imediat câteva întrebări:

1. Există întotdeauna o matrice inversă? Și dacă nu întotdeauna, atunci cum să determinați: când există și când nu există?
2. Și cine a spus că există exact o astfel de matrice? Ce se întâmplă dacă pentru o matrice inițială $A$ există o mulțime întreagă de inverse?
3. Cum arată toate aceste „reversuri”? Și cum, mai exact, ar trebui să le numărăm?

În ceea ce privește algoritmii de calcul, despre asta vom vorbi puțin mai târziu. Dar vom răspunde la întrebările rămase chiar acum. Să le formulăm sub forma unor enunţuri-leme separate.

Proprietăți de bază

Să începem cu cum ar trebui, în principiu, să arate matricea $A$ pentru ca $((A)^(-1))$ să existe pentru ea. Acum ne vom asigura că ambele matrice trebuie să fie pătrate și de aceeași dimensiune: $\left[ n\times n \right]$.

Lema 1. Având în vedere o matrice $A$ și inversul ei $((A)^(-1))$. Atunci ambele aceste matrici sunt pătrate și de același ordin $n$.

Dovada. E simplu. Fie matricea $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Deoarece produsul $A\cdot ((A)^(-1))=E$ există prin definiție, matricele $A$ și $((A)^(-1))$ sunt consistente în ordinea prezentată:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( alinia)\]

Acest consecință directă din algoritmul de multiplicare a matricei: coeficienții $n$ și $a$ sunt „tranzit” și trebuie să fie egali.

În același timp, se definește și înmulțirea inversă: $((A)^(-1))\cdot A=E$, deci matricele $((A)^(-1))$ și $A$ sunt de asemenea, consecvent în ordinea specificată:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( alinia)\]

Astfel, fără pierderea generalității, putem presupune că $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Cu toate acestea, conform definiției lui $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, prin urmare dimensiunile matricelor coincid strict:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Deci, se dovedește că toate cele trei matrici - $A$, $((A)^(-1))$ și $E$ - sunt matrici pătrate de dimensiunea $\left[ n\times n \right]$. Lema este dovedită.

Ei bine, asta e deja bine. Vedem că numai matricele pătrate sunt inversabile. Acum să ne asigurăm că matricea inversă este întotdeauna aceeași.

Lema 2. Având în vedere o matrice $A$ și inversul ei $((A)^(-1))$. Atunci această matrice inversă este singura.

Dovada. Să trecem prin contradicție: să fie matricea $A$ să aibă cel puțin două inverse - $B$ și $C$. Atunci, conform definiției, următoarele egalități sunt adevărate:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]

Din lema 1 concluzionăm că toate cele patru matrice - $A$, $B$, $C$ și $E$ - sunt pătrate de același ordin: $\left[ n\times n \right]$. Prin urmare, produsul este definit:

Deoarece înmulțirea matriceală este asociativă (dar nu comutativă!), putem scrie:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(align)\]

Am primit singurul varianta posibila: două instanțe ale matricei inverse sunt egale. Lema este dovedită.

Argumentele de mai sus repetă aproape textual demonstrația unicității elementului invers pentru toate numerele reale $b\ne 0$. Singura adăugare semnificativă este luarea în considerare a dimensiunii matricelor.

Cu toate acestea, încă nu știm nimic despre dacă fiecare matrice pătrată este inversabilă. Aici ne vine în ajutor determinantul - aceasta este o caracteristică cheie pentru toată lumea matrici pătrate.

Lema 3. Dată o matrice $A$. Dacă matricea sa inversă $((A)^(-1))$ există, atunci determinantul matricei originale este diferit de zero:

\[\stanga| A\dreapta|\ne 0\]

Dovada. Știm deja că $A$ și $((A)^(-1))$ sunt matrici pătrate de dimensiune $\left[ n\times n \right]$. Prin urmare, pentru fiecare dintre ele putem calcula determinantul: $\left| A\dreapta|$ și $\stânga| ((A)^(-1)) \dreapta|$. Totuși, determinantul unui produs este egal cu produsul determinanților:

\[\stanga| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \dreapta|\]

Dar conform definiției, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, iar determinantul lui $E$ este întotdeauna egal cu 1, deci

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\dreapta|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]

Produsul a două numere este egal cu unul numai dacă fiecare dintre aceste numere este diferit de zero:

\[\stanga| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \dreapta|\ne 0.\]

Deci, se dovedește că $\left| A \dreapta|\ne 0$. Lema este dovedită.

De fapt, această cerință este destul de logică. Acum vom analiza algoritmul de găsire a matricei inverse - și va deveni complet clar de ce, cu un determinant zero, nu poate exista în principiu nicio matrice inversă.

Dar mai întâi, să formulăm o definiție „auxiliară”:

Definiție. O matrice singulară este o matrice pătrată de dimensiunea $\left[ n\times n \right]$ al cărei determinant este zero.

Astfel, putem pretinde că fiecare matrice inversabilă este nesingulară.

Cum se află inversul unei matrice

Acum vom lua în considerare un algoritm universal pentru găsirea matricilor inverse. În general, există doi algoritmi general acceptați și îl vom lua în considerare și pe al doilea astăzi.

Cea care va fi discutată acum este foarte eficientă pentru matrice de dimensiune $\left[ 2\times 2 \right]$ și - parțial - dimensiune $\left[ 3\times 3 \right]$. Dar pornind de la dimensiunea $\left[ 4\times 4 \right]$ este mai bine să nu-l folosești. De ce - acum vei înțelege totul singur.

Adunări algebrice

Pregateste-te. Acum va fi durere. Nu, nu-ți face griji: o asistentă frumoasă în fustă, ciorapi cu dantelă nu vor veni la tine și îți vor face o injecție în fese. Totul este mult mai prozaic: adăugările algebrice și Majestatea Sa „Matricea Unirii” vin la tine.

Să începem cu principalul. Să fie o matrice pătrată de mărimea $A=\left[ n\times n \right]$, ale cărei elemente se numesc $((a)_(ij))$. Apoi pentru fiecare astfel de element putem defini un complement algebric:

Definiție. Complement algebric $((A)_(ij))$ la elementul $((a)_(ij))$ situat în $i$-lea rând și $j$-a coloană a matricei $A=\left[ n \times n \right]$ este o construcție a formei

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Unde $M_(ij)^(*)$ este determinantul matricei obținute din $A$ original prin ștergerea aceluiași $i$-lea și $j$-a coloană.

Din nou. Complementul algebric la un element de matrice cu coordonatele $\left(i;j \right)$ se notează $((A)_(ij))$ și se calculează conform schemei:

1. În primul rând, ștergem $i$-rândul și $j$-a coloană din matricea originală. Obținem o nouă matrice pătrată și notăm determinantul ei $M_(ij)^(*)$.
2. Apoi înmulțim acest determinant cu $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - la început această expresie poate părea uimitoare, dar, în esență, pur și simplu descoperim semnul din fața lui $M_(ij)^(*) $.
3. Numărăm și obținem un anumit număr. Acestea. adunarea algebrică este tocmai un număr, și nu o matrice nouă etc.

Matricea $M_(ij)^(*)$ însăși este numită un minor suplimentar pentru elementul $((a)_(ij))$. Și în acest sens, definiția de mai sus a unui complement algebric este un caz special al unei definiții mai complexe - ceea ce ne-am uitat în lecția despre determinant.

Notă importantă. De fapt, în matematica „adulților”, adunările algebrice sunt definite după cum urmează:

1. Luăm $k$ rânduri și $k$ coloane într-o matrice pătrată. La intersecția lor obținem o matrice de dimensiune $\left[ k\times k \right]$ - determinantul său se numește minor de ordin $k$ și se notează $((M)_(k))$.
2. Apoi tăiem aceste $k$ rânduri și $k$ coloane „selectate”. Încă o dată obțineți o matrice pătrată - determinantul său se numește minor suplimentar și se notează $M_(k)^(*)$.
3. Înmulțiți $M_(k)^(*)$ cu $((\left(-1 \right))^(t))$, unde $t$ este (atenție acum!) suma numerelor tuturor rândurilor selectate si coloane. Aceasta va fi adunarea algebrică.

Uită-te la al treilea pas: există de fapt o sumă de termeni de 2k$! Alt lucru este că pentru $k=1$ vom obține doar 2 termeni - aceștia vor fi aceiași $i+j$ - „coordonatele” elementului $((a)_(ij))$ pentru care suntem căutând un complement algebric.

Deci astăzi folosim o definiție ușor simplificată. Dar după cum vom vedea mai târziu, va fi mai mult decât suficient. Următorul lucru este mult mai important:

Definiție. Matricea aliată $S$ cu matricea pătrată $A=\left[ n\times n \right]$ este o nouă matrice de dimensiune $\left[ n\times n \right]$, care se obține din $A$ prin înlocuirea $(( a)_(ij))$ cu adunări algebrice $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrice) \right]\]

Primul gând care apare în momentul realizării acestei definiții este „cât va trebui să fie numărat!” Relaxează-te: va trebui să numeri, dar nu atât. :)

Ei bine, toate acestea sunt foarte frumoase, dar de ce este necesar? Dar de ce.

Teorema principală

Să ne întoarcem puțin înapoi. Amintiți-vă, în Lema 3 s-a afirmat că matricea inversabilă $A$ este întotdeauna nesingulară (adică determinantul său este diferit de zero: $\left| A \right|\ne 0$).

Deci, este și opusul adevărat: dacă matricea $A$ nu este singulară, atunci este întotdeauna inversabilă. Și există chiar și o schemă de căutare pentru $((A)^(-1))$. Verifică:

Teorema matricei inverse. Fie dată o matrice pătrată $A=\left[ n\times n \right]$, iar determinantul ei este diferit de zero: $\left| A \dreapta|\ne 0$. Atunci matricea inversă $((A)^(-1))$ există și se calculează prin formula:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

Și acum - totul este la fel, dar cu un scris de mână lizibil. Pentru a găsi matricea inversă, aveți nevoie de:

1. Calculați determinantul $\left| A \right|$ și asigurați-vă că este diferit de zero.
2. Construiți matricea de unire $S$, i.e. numărați 100500 de adunări algebrice $((A)_(ij))$ și plasați-le în locul $((a)_(ij))$.
3. Transpuneți această matrice $S$ și apoi înmulțiți-o cu un număr $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Asta e tot! S-a găsit matricea inversă $((A)^(-1))$. Să ne uităm la exemple:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

Soluţie. Să verificăm reversibilitatea. Să calculăm determinantul:

\[\stanga| A\dreapta|=\stânga| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinantul este diferit de zero. Aceasta înseamnă că matricea este inversabilă. Să creăm o matrice de unire:

Să calculăm adunările algebrice:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\right|=3. \\ \end(align)\]

Vă rugăm să rețineți: determinanții |2|, |5|, |1| și |3| sunt determinanți ai matricelor de dimensiune $\left[ 1\times 1 \right]$, și nu module. Acestea. Dacă au existat numere negative în determinanți, nu este nevoie să eliminați „minus”.

În total, matricea noastră de uniuni arată astfel:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (matrice)(*(35)(r)) 2 și -1 \\ -5 și 3 \\\end(matrice) \right]\]

OK, totul sa terminat acum. Problema este rezolvată.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Soluţie. Calculăm din nou determinantul:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinantul este diferit de zero - matricea este inversabilă. Dar acum va fi foarte greu: trebuie să numărăm până la 9 (nouă, nenorocitul!) adăugiri algebrice. Și fiecare dintre ele va conține determinantul $\left[ 2\times 2 \right]$. A zburat:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(matrice)\]

Pe scurt, matricea de unire va arăta astfel:

Prin urmare, matricea inversă va fi:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(matrice) \right]\]

Asta este. Iată răspunsul.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

După cum puteți vedea, la sfârșitul fiecărui exemplu am efectuat o verificare. În acest sens, o notă importantă:

Nu fi lene să verifici. Înmulțiți matricea originală cu matricea inversă găsită - ar trebui să obțineți $E$.

Efectuarea acestei verificări este mult mai ușoară și mai rapidă decât căutarea unei erori în calculele ulterioare atunci când, de exemplu, rezolvați o ecuație matriceală.

Mod alternativ

După cum am spus, teorema matricei inverse funcționează grozav pentru dimensiunile $\left[ 2\times 2 \right]$ și $\left[ 3\times 3 \right]$ (în acest ultim caz, nu este atât de „mare”" ), dar pentru matrici dimensiuni mariîncepe tristețea.

Dar nu vă faceți griji: există un algoritm alternativ cu care puteți găsi calm inversul chiar și pentru matricea $\left[ 10\times 10 \right]$. Dar, așa cum se întâmplă adesea, pentru a lua în considerare acest algoritm avem nevoie de o mică introducere teoretică.

Transformări elementare

Printre toate transformările de matrice posibile, există mai multe speciale - ele sunt numite elementare. Există exact trei astfel de transformări:

1. Multiplicare. Puteți lua $i$-lea rând (coloană) și îl puteți înmulți cu orice număr $k\ne 0$;
2. Plus. Adaugă la $i$--lea rând (coloană) orice alt $j$--lea rând (coloană) înmulțit cu orice număr $k\ne 0$ (puteți, desigur, să faceți $k=0$, dar care este nu se va schimba nimic).
3. Rearanjare. Luați rândurile $i$i și $j$-lea (coloane) și schimbați locurile.

De ce aceste transformări sunt numite elementare (pentru matrice mari nu arată atât de elementar) și de ce sunt doar trei dintre ele - aceste întrebări depășesc scopul lecției de astăzi. Prin urmare, nu vom intra în detalii.

Un alt lucru este important: trebuie să realizăm toate aceste perversiuni pe matricea adiacentă. Da, da: ai auzit bine. Acum va mai exista o definiție - ultima din lecția de astăzi.

Matrice adjunctă

Cu siguranță la școală ai rezolvat sisteme de ecuații folosind metoda adunării. Ei bine, scădeți altul dintr-o linie, înmulțiți o linie cu un număr - asta-i tot.

Deci: acum totul va fi la fel, dar într-un mod „adult”. Gata?

Definiție. Fie date o matrice $A=\left[ n\times n \right]$ și o matrice de identitate $E$ de aceeași dimensiune $n$. Apoi matricea adjunctă $\left[ A\left| E\ dreapta. \right]$ este o nouă matrice de dimensiune $\left[ n\time 2n \right]$ care arată astfel:

\[\left[ A\left| E\ dreapta. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(matrice) \right]\]

Pe scurt, luăm matricea $A$, iar în dreapta îi atribuim matricea de identitate $E$ dimensiunea potrivită, le separăm cu o linie verticală pentru frumusețe - aici o aveți pe cea atașată. :)

Care e siretlicul? Iată ce:

Teorema. Fie matricea $A$ să fie inversabilă. Se consideră matricea adjunctă $\left[ A\left| E\ dreapta. \dreapta]$. Dacă se utilizează conversii elementare de șiruri aduceți-l la forma $\left[ E\left| Luminos. \right]$, adică prin înmulțirea, scăderea și rearanjarea rândurilor pentru a obține din $A$ matricea $E$ din dreapta, apoi matricea $B$ obținută în stânga este inversul lui $A$:

\[\left[ A\left| E\ dreapta. \right]\la \left[ E\left| Luminos. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

Este atat de simplu! Pe scurt, algoritmul pentru găsirea matricei inverse arată astfel:

1. Scrieți matricea adjunctă $\left[ A\left| E\ dreapta. \dreapta]$;
2. Efectuați conversii elementare de șiruri până când apare $E$ în loc de $A$;
3. Desigur, ceva va apărea și în stânga - o anumită matrice $B$. Acesta va fi invers;
4. PROFIT!:)

Desigur, acest lucru este mult mai ușor de spus decât de făcut. Deci, să ne uităm la câteva exemple: pentru dimensiunile $\left[ 3\times 3 \right]$ și $\left[ 4\times 4 \right]$.

Sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Soluţie. Cream matricea adjunta:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 și 1 \\\end(matrice) \right]\]

Deoarece ultima coloană a matricei originale este umplută cu unele, scădeți primul rând din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrice)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Nu mai există unități, cu excepția primei linii. Dar nu îl atingem, altfel unitățile proaspăt eliminate vor începe să se „înmulțească” în a treia coloană.

Dar putem scădea a doua linie de două ori din ultima - obținem una în colțul din stânga jos:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrice)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Acum putem scădea ultimul rând din primul și de două ori din al doilea - astfel vom „zero” prima coloană:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrice)\to \\ & \ la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Înmulțiți a doua linie cu −1, apoi scădeți-o de 6 ori din prima și adăugați 1 dată la ultima:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Tot ce rămâne este să schimbați liniile 1 și 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(matrice) \right]\]

Gata! În dreapta este matricea inversă necesară.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matrice) \dreapta]\]

Soluţie. Compunem din nou adjunctul:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\]

Să plângem puțin, să fim întristați de cât de mult trebuie să numărăm acum... și să începem să numărăm. Mai întâi, să „eliminăm zero” prima coloană scăzând rândul 1 din rândurile 2 și 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Vedem prea multe „contra” în rândurile 2-4. Înmulțiți toate cele trei rânduri cu -1 și apoi ardeți a treia coloană scăzând rândul 3 din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(matrice) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (matrice) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Acum este momentul să „prăjim” ultima coloană a matricei originale: scădeți linia 4 din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Aruncare finală: „arzi” a doua coloană scăzând linia 2 din rândurile 1 și 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( matrice) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Și din nou matricea de identitate este în stânga, ceea ce înseamnă că inversul este în dreapta. :)

Răspuns. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrice) \right]$

Algebră matriceală - Matrice inversă

matrice inversă

Matrice inversă se numește matrice care, atunci când este înmulțită atât la dreapta cât și la stânga cu această matrice dă matricea identităţii.
Să notăm matricea inversă a matricei A prin , apoi conform definiției obținem:

Unde E- matrice de identitate.
Matrice pătrată numit Nimic special (nedegenerate) dacă determinantul său nu este zero. Altfel se numeste special (degenerat) sau singular.

Teorema este valabilă: Fiecare matrice nesingulară are o matrice inversă.

Operația de găsire a matricei inverse se numește recurs matrici. Să luăm în considerare algoritmul de inversare a matricei. Să fie dată o matrice nesingulară n-a comanda:

unde Δ = det A ≠ 0.

Adunarea algebrică a unui element matrici n-a ordine A se numește determinantul unei matrici luate cu un anumit semn ( n–1)a ordinea obținută prin ștergere i-a linia și j coloana a matricei A:

Să creăm așa-numitul atașat matrice:

unde sunt complementele algebrice ale elementelor corespondente ale matricei A.
Rețineți că adunările algebrice ale elementelor rând matricei A sunt plasate în coloanele corespunzătoare ale matricei à , adică matricea este transpusă în același timp.
Prin împărțirea tuturor elementelor matricei à prin Δ – valoarea determinantului matricei A, obținem matricea inversă ca rezultat:

Să notăm rândul proprietăți speciale matrice inversa:
1) pentru o matrice dată A matricea sa inversă este singurul;
2) dacă există o matrice inversă, atunci dreapta inversăȘi stânga inversă matricele coincid cu acesta;
3) o matrice pătrată singulară (singulară) nu are o matrice inversă.

Proprietățile de bază ale unei matrici inverse:
1) determinantul matricei inverse și determinantul matricei originale sunt reciproce;
2) matricea inversă a produsului matricelor pătrate este egală cu produsul matricei inverse a factorilor, luată în ordine inversă:

3) matricea inversă transpusă este egală cu matricea inversă a matricei transpuse dată:

EXEMPLU Calculați inversul matricei date.