În teoria serielor funcționale, locul central este ocupat de secțiunea dedicată extinderii unei funcții într-o serie.

Astfel, sarcina este stabilită: pentru o funcție dată trebuie să găsim o astfel de serie de puteri

care convergea pe un anumit interval şi suma lui era egală cu
, acestea.

= ..

Această sarcină se numește problema extinderii unei funcții într-o serie de puteri.

O condiție necesară pentru descompunerea unei funcții dintr-o serie de puteri este diferențiabilitatea sa de un număr infinit de ori - aceasta rezultă din proprietățile seriei de puteri convergente. Această condiție este îndeplinită, de regulă, pentru funcțiile elementare din domeniul lor de definire.

Deci să presupunem că funcția
are derivate de orice ordin. Este posibil să o extindem într-o serie de putere? Dacă da, cum putem găsi această serie? A doua parte a problemei este mai ușor de rezolvat, așa că să începem cu ea.

Să presupunem că funcția
poate fi reprezentat ca suma unei serii de puteri convergente în intervalul care conține punctul X 0 :

= .. (*)

Unde A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A P ,... – coeficienți necunoscuți (încă).

Să punem în egalitate (*) valoarea x = x 0 , atunci primim

.

Să diferențiem seria de puteri (*) termen cu termen

= ..

și crezând aici x = x 0 , primim

.

Cu următoarea diferențiere obținem seria

= ..

crezând x = x 0 , primim
, Unde
.

După P-diferențierea multiplă obținem

Presupunând în ultima egalitate x = x 0 , primim
, Unde

Deci, se găsesc coeficienții

,
,
, …,
,….,

înlocuind care în serie (*), obținem

Seria rezultată se numește lângă Taylorpentru functie
.

Astfel, am stabilit că dacă funcția poate fi extinsă într-o serie de puteri în puteri (x - x 0 ), atunci această expansiune este unică și seria rezultată este în mod necesar o serie Taylor.

Rețineți că seria Taylor poate fi obținută pentru orice funcție care are derivate de orice ordin în punct x = x 0 . Dar asta nu înseamnă că se poate plasa un semn egal între funcție și seria rezultată, adică. că suma seriei este egală cu funcția inițială. În primul rând, o astfel de egalitate poate avea sens numai în regiunea de convergență, iar seria Taylor obținută pentru funcție poate diverge și, în al doilea rând, dacă seria Taylor converge, atunci suma ei poate să nu coincidă cu funcția inițială.

Să formulăm o declarație cu ajutorul căreia sarcina va fi rezolvată.

Dacă funcţia
într-o vecinătate a punctului x 0 are derivate până la (n+ 1) de ordin inclusiv, atunci în acest cartier avemformulăTaylor

UndeR n (X)-termenul rămas al formulei Taylor – are forma (forma Lagrange)

Unde punctξ se află între x și x 0 .

Rețineți că există o diferență între seria Taylor și formula Taylor: formula Taylor este o sumă finită, i.e. P - număr fix.

Amintiți-vă că suma seriei S(X) poate fi definită ca limita unei succesiuni funcționale de sume parțiale S P (X) la un anumit interval X:

.

În conformitate cu aceasta, a extinde o funcție într-o serie Taylor înseamnă a găsi o serie astfel încât pentru oricare XX

Să scriem formula lui Taylor sub forma unde

observa asta
definește eroarea pe care o obținem, înlocuiți funcția f(X) polinom S n (X).

Dacă
, Acea
,acestea. funcția este extinsă într-o serie Taylor. Viceversa, dacă
, Acea
.

Așa am dovedit criteriul de descompunere a unei funcții dintr-o serie Taylor.

Pentru functiaf(x) se extinde într-o serie Taylor, este necesar și suficient ca pe acest interval
, UndeR n (X) este termenul rămas al seriei Taylor.

Folosind criteriul formulat se poate obține suficientcondițiile de descompunere a unei funcții dintr-o serie Taylor.

Dacă învreo vecinătate a punctului x 0 valorile absolute ale tuturor derivatelor funcției sunt limitate la același număr M≥ 0, adică

, To în această vecinătate funcția se extinde într-o serie Taylor.

Din cele de mai sus rezultă algoritmextinderea funcțieif(X) în seria Taylorîn vecinătatea unui punct X 0 :

1. Găsirea derivatelor de funcții f(X):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (X),…

2. Calculați valoarea funcției și valorile derivatelor sale la punctul X 0

f(x 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (X 0 ),…

3. Scriem în mod formal seria Taylor și găsim regiunea de convergență a seriei de puteri rezultate.

4. Verificam indeplinirea conditiilor suficiente, i.e. stabilim pentru care X din regiunea de convergență, restul termenului R n (X) tinde spre zero ca
sau
.

Se numește extinderea funcțiilor într-o serie Taylor folosind acest algoritm extinderea unei funcții într-o serie Taylor prin definiție sau descompunere directă.

Elevii la matematică superioară ar trebui să știe că suma unui anumit serie de puteri, aparținând intervalului de convergență al seriei date nouă, se dovedește a fi o funcție continuă și infinită de ori diferențiată. Se pune întrebarea: este posibil să spunem că o funcție arbitrară dată f(x) este suma unei anumite serii de puteri? Adică, în ce condiții poate fi reprezentată funcția f(x) printr-o serie de puteri? Importanța acestei întrebări constă în faptul că este posibil să înlocuim aproximativ funcția f(x) cu suma primilor termeni ai unei serii de puteri, adică un polinom. Această înlocuire a unei funcții cu o expresie destul de simplă - un polinom - este convenabilă și la rezolvarea anumitor probleme și anume: la rezolvarea integralelor, la calcul etc.

S-a dovedit că pentru o anumită funcție f(x), în care este posibil să se calculeze derivate până la (n+1)-lea, inclusiv ultimul, în vecinătatea lui (α - R; x 0 + R). ) un punct x = α, este adevărat că formula:

Această formulă poartă numele celebrului om de știință Brooke Taylor. Seria care se obține din cea anterioară se numește seria Maclaurin:

Regula care face posibilă efectuarea unei extinderi într-o serie Maclaurin:

R n (x) -> 0 la n -> infinit. Dacă există una, funcția f(x) din ea trebuie să coincidă cu suma seriei Maclaurin.

Să luăm acum în considerare seria Maclaurin pentru funcții individuale.

1. Deci, primul va fi f(x) = e x. Desigur, prin caracteristicile sale, o astfel de funcție are derivate de ordine foarte diferite, iar f (k) (x) = e x , unde k este egal cu toate. Înlocuiește x = 0. Se obține f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Pe baza celor de mai sus, seria e x va arăta astfel:

2. Seria Maclaurin pentru funcția f(x) = sin x. Să clarificăm imediat că funcția pentru toate necunoscutele va avea derivate, în plus, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), unde k este egal cu orice numar natural. Adică, făcând calcule simple, putem ajunge la concluzia că seria pentru f(x) = sin x va fi de următoarea formă:

3. Acum să încercăm să considerăm funcția f(x) = cos x. Pentru toate necunoscutele are derivate de ordin arbitrar și |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|