La școală aceste acțiuni sunt studiate de la simplu la complex. Prin urmare, este imperativ să înțelegeți în detaliu algoritmul pentru efectuarea acestor operații exemple simple. Astfel încât mai târziu să nu fie dificultăți în împărțirea fracțiilor zecimale într-o coloană. La urma urmei, acesta este cel mai mult varianta dificila sarcini similare.
Acest subiect necesită un studiu consecvent. Lacunele în cunoștințe sunt inacceptabile aici. Fiecare elev ar trebui să învețe acest principiu deja în clasa întâi. Prin urmare, dacă pierzi mai multe lecții la rând, va trebui să stăpânești singur materialul. În caz contrar, vor apărea probleme ulterioare nu numai la matematică, ci și la alte subiecte legate de aceasta.
Al doilea condiție cerutăÎnvățare cu succes a matematicii - treceți la exemple de împărțire lungă numai după ce ați stăpânit adunarea, scăderea și înmulțirea.
Va fi dificil pentru un copil să împartă dacă nu a învățat tabla înmulțirii. Apropo, este mai bine să-l înveți folosind tabelul lui Pitagora. Nu este nimic de prisos, iar înmulțirea este mai ușor de învățat în acest caz.
Cum se înmulțesc numerele naturale într-o coloană?
Dacă apare dificultăți în rezolvarea exemplelor într-o coloană pentru împărțire și înmulțire, atunci ar trebui să începeți să rezolvați problema cu înmulțirea. Deoarece împărțirea este operația inversă a înmulțirii:
- Înainte de a înmulți două numere, trebuie să le priviți cu atenție. Alege-l pe cel cu mai multe cifre (mai lung) și notează-l mai întâi. Pune-l pe al doilea sub el. Mai mult decât atât, numerele categoriei corespunzătoare trebuie să fie sub aceeași categorie. Adică, cifra din dreapta primului număr ar trebui să fie deasupra cifrei din dreapta a celui de-al doilea.
- Înmulțiți cifra din dreapta a numărului de jos cu fiecare cifră a numărului de sus, începând din dreapta. Scrieți răspunsul sub linie, astfel încât ultima sa cifră să fie sub cea cu care ați înmulțit.
- Repetați același lucru cu o altă cifră a numărului inferior. Dar rezultatul înmulțirii trebuie mutat cu o cifră la stânga. În acest caz, ultima sa cifră va fi sub cea cu care a fost înmulțită.
Continuați această înmulțire într-o coloană până când se epuizează numerele din al doilea factor. Acum trebuie să fie pliate. Acesta va fi răspunsul pe care îl căutați.
Algoritm pentru înmulțirea zecimalelor
În primul rând, trebuie să vă imaginați că fracțiile date nu sunt zecimale, ci naturale. Adică, eliminați virgulele din ele și apoi procedați așa cum este descris în cazul anterior.
Diferența începe când răspunsul este scris. În acest moment, este necesar să numărați toate numerele care apar după zecimale în ambele fracții. Acesta este exact câte dintre ele trebuie numărate de la sfârșitul răspunsului și puneți o virgulă acolo.
Este convenabil să ilustrați acest algoritm folosind un exemplu: 0,25 x 0,33:
De unde să începem divizia de învățare?
Înainte de a rezolva exemplele de diviziune lungă, trebuie să vă amintiți numele numerelor care apar în exemplul de diviziune lungă. Primul dintre ele (cel care este împărțit) este divizibil. Al doilea (împărțit la) este divizorul. Raspunsul este privat.
După aceasta, folosind un exemplu simplu de zi cu zi, vom explica esența acestui lucru operatie matematica. De exemplu, dacă luați 10 dulciuri, atunci este ușor să le împărțiți în mod egal între mama și tata. Dar dacă trebuie să le dai părinților și fratelui tău?
După aceasta, puteți face cunoștință cu regulile de împărțire și le puteți stăpâni exemple concrete. Mai întâi cele simple, apoi treceți la altele din ce în ce mai complexe.
Algoritm pentru împărțirea numerelor într-o coloană
În primul rând, să prezentăm procedura pentru numerele naturale divizibile cu un număr dintr-o singură cifră. Ele vor fi, de asemenea, baza pentru divizori cu mai multe cifre sau fracții zecimale. Numai atunci ar trebui să faci mici modificări, dar mai multe despre asta mai târziu:
- Înainte de a face o împărțire lungă, trebuie să vă dați seama unde sunt dividendele și divizorul.
- Notați dividendul. În dreapta ei se află separatorul.
- Desenați un colț în stânga și jos lângă ultimul colț.
- Determinați dividendul incomplet, adică numărul care va fi minim pentru împărțire. De obicei este format dintr-o cifră, maxim două.
- Alegeți numărul care va fi scris primul în răspuns. Ar trebui să fie de câte ori se încadrează divizorul în dividend.
- Notați rezultatul înmulțirii acestui număr cu divizorul.
- Scrieți-l sub dividendul incomplet. Efectuați scăderea.
- Adăugați la rest prima cifră după partea care a fost deja împărțită.
- Alegeți din nou numărul pentru răspuns.
- Repetați înmulțirea și scăderea. Dacă restul este zero și dividendul s-a încheiat, atunci exemplul este gata. În caz contrar, repetați pașii: eliminați numărul, ridicați numărul, înmulțiți, scădeți.
Cum se rezolvă diviziunea lungă dacă divizorul are mai multe cifre?
Algoritmul în sine coincide complet cu ceea ce a fost descris mai sus. Diferența va fi numărul de cifre din dividendul incomplet. Acum ar trebui să fie cel puțin două, dar dacă se dovedesc a fi mai mic decât divizorul, atunci ar trebui să lucrați cu primele trei cifre.
Mai există o nuanță în această diviziune. Faptul este că restul și numărul adăugat la acesta nu sunt uneori divizibile cu divizor. Apoi trebuie să adăugați un alt număr în ordine. Dar răspunsul trebuie să fie zero. Dacă împărțiți numere din trei cifre într-o coloană, poate fi necesar să eliminați mai mult de două cifre. Apoi se introduce o regulă: în răspuns ar trebui să fie cu un zero mai puțin decât numărul de cifre eliminate.
Puteți lua în considerare această împărțire folosind exemplul - 12082: 863.
- Dividendul incomplet din el se dovedește a fi numărul 1208. Numărul 863 este plasat în el o singură dată. Prin urmare, răspunsul ar trebui să fie 1, iar sub 1208 scrieți 863.
- După scădere, restul este 345.
- Trebuie să adăugați numărul 2.
- Numărul 3452 conține 863 de patru ori.
- Patru trebuie să fie scrise ca răspuns. Mai mult, atunci când este înmulțit cu 4, acesta este exact numărul obținut.
- Restul după scădere este zero. Adică împărțirea este finalizată.
Răspunsul din exemplu ar fi numărul 14.
Ce se întâmplă dacă dividendul se termină cu zero?
Sau câteva zerouri? În acest caz, restul este zero, dar dividendul conține în continuare zerouri. Nu este nevoie să disperi, totul este mai simplu decât ar părea. Este suficient să adăugați pur și simplu la răspuns toate zerourile care rămân neîmpărțite.
De exemplu, trebuie să împărțiți 400 la 5. Dividendul incomplet este 40. Cinci se încadrează în el de 8 ori. Aceasta înseamnă că răspunsul trebuie scris ca 8. La scădere, nu mai rămâne niciun rest. Adică diviziunea este finalizată, dar rămâne un zero în dividend. Va trebui adăugată la răspuns. Astfel, împărțirea a 400 la 5 este egală cu 80.
Ce trebuie să faceți dacă trebuie să împărțiți o fracție zecimală?
Din nou, acest număr arată ca un număr natural, dacă nu pentru virgula care separă întreaga parte de partea fracțională. Acest lucru sugerează că împărțirea fracțiilor zecimale într-o coloană este similară cu cea descrisă mai sus.
Singura diferență va fi punctul și virgulă. Ar trebui să fie introdus în răspuns de îndată ce prima cifră din partea fracțională este eliminată. Un alt mod de a spune acest lucru este acesta: dacă ați terminat de împărțit întreaga parte, puneți o virgulă și continuați soluția mai departe.
Când rezolvați exemple de diviziune lungă cu fracții zecimale, trebuie să vă amintiți că orice număr de zerouri poate fi adăugat la partea după virgulă zecimală. Uneori, acest lucru este necesar pentru a completa numerele.
Împărțirea a două zecimale
Poate părea complicat. Dar numai la început. La urma urmei, cum se face împărțirea într-o coloană de fracții prin numar natural, este deja clar. Aceasta înseamnă că trebuie să reducem acest exemplu la o formă deja familiară.
Este ușor de făcut. Trebuie să înmulțiți ambele fracții cu 10, 100, 1.000 sau 10.000 și poate cu un milion dacă problema o cere. Multiplicatorul ar trebui să fie ales în funcție de câte zerouri sunt în partea zecimală a divizorului. Adică, rezultatul va fi că va trebui să împărțiți fracția la un număr natural.
Și acesta va fi cel mai rău caz. La urma urmei, se poate întâmpla ca dividendul din această operațiune să devină un număr întreg. Apoi soluția exemplului cu împărțirea pe coloană a fracțiilor se va reduce la cea mai simplă variantă: operații cu numere naturale.
De exemplu: împărțiți 28,4 la 3,2:
- Ele trebuie mai întâi înmulțite cu 10, deoarece al doilea număr are o singură cifră după virgulă. Înmulțirea va da 284 și 32.
- Ar trebui să fie separați. În plus, numărul întreg este 284 pe 32.
- Primul număr ales pentru răspuns este 8. Înmulțind, rezultă 256. Restul este 28.
- Împărțirea întregii părți s-a încheiat și este necesară o virgulă în răspuns.
- Eliminați la restul 0.
- Luați din nou 8.
- Rest: 24. Adăugați un alt 0 la acesta.
- Acum trebuie să iei 7.
- Rezultatul înmulțirii este 224, restul este 16.
- Luați încă 0. Luați 5 fiecare și obțineți exact 160. Restul este 0.
Împărțirea este completă. Rezultatul exemplului 28.4:3.2 este 8.875.
Ce se întâmplă dacă divizorul este 10, 100, 0,1 sau 0,01?
La fel ca în cazul înmulțirii, împărțirea lungă nu este necesară aici. Este suficient să mutați pur și simplu virgula în direcția dorită pentru un anumit număr de cifre. Mai mult, folosind acest principiu, puteți rezolva exemple atât cu numere întregi, cât și cu fracții zecimale.
Deci, dacă trebuie să împărțiți la 10, 100 sau 1.000, atunci punctul zecimal este mutat la stânga cu același număr de cifre ca și zerouri în divizor. Adică, atunci când un număr este divizibil cu 100, punctul zecimal trebuie să se deplaseze la stânga cu două cifre. Dacă dividendul este un număr natural, atunci se presupune că virgula este la sfârșit.
Această acțiune dă același rezultat ca și cum numărul ar fi înmulțit cu 0,1, 0,01 sau 0,001. În aceste exemple, virgula este de asemenea mutată la stânga cu numărul de cifre, egal cu lungimea parte fracționată.
La împărțirea cu 0,1 (etc.) sau înmulțirea cu 10 (etc.), punctul zecimal ar trebui să se deplaseze la dreapta cu o cifră (sau două, trei, în funcție de numărul de zerouri sau de lungimea părții fracționale).
Este demn de remarcat faptul că numărul de cifre dat în dividend poate să nu fie suficient. Apoi zerourile lipsă pot fi adăugate la stânga (în toată partea) sau la dreapta (după virgulă).
Împărțirea fracțiilor periodice
În acest caz, nu va fi posibil să obțineți un răspuns precis atunci când vă împărțiți într-o coloană. Cum să rezolvi un exemplu dacă întâlnești o fracție cu punct? Aici trebuie să trecem la fracțiile obișnuite. Și apoi împărțiți-le conform regulilor învățate anterior.
De exemplu, trebuie să împărțiți 0.(3) la 0.6. Prima fracție este periodică. Se transformă în fracția 3/9, care atunci când este redusă dă 1/3. A doua fracție este zecimala finală. Este și mai ușor să-l notați ca de obicei: 6/10, care este egal cu 3/5. Regula de împărțire a fracțiilor obișnuite prescrie înlocuirea diviziunii cu înmulțirea și divizorul - număr reciproc. Adică, exemplul se reduce la înmulțirea a 1/3 cu 5/3. Răspunsul va fi 5/9.
Dacă exemplul conține fracții diferite...
Atunci sunt posibile mai multe soluții. In primul rand, fracție comună Puteți încerca să îl convertiți în zecimală. Apoi împărțiți două zecimale folosind algoritmul de mai sus.
În al doilea rând, fiecare fracție zecimală finală poate fi scrisă ca o fracție comună. Dar acest lucru nu este întotdeauna convenabil. Cel mai adesea, astfel de fracții se dovedesc a fi uriașe. Și răspunsurile sunt greoaie. Prin urmare, prima abordare este considerată mai preferabilă.
Să ne uităm la exemple de împărțire a zecimalelor în această lumină.
Exemplu.
Împărțiți fracția zecimală 1,2 la zecimal 0,48 .
Soluţie.
Răspuns:
1,2:0,48=2,5 .
Exemplu.
Împărțiți fracția zecimală periodică 0.(504) la fracția zecimală 0.56.
Soluţie.
Să transformăm fracția zecimală periodică într-o fracție obișnuită: . De asemenea, convertim fracția zecimală finală 0,56 într-o fracție obișnuită, avem 0,56 = 56/100. Acum putem trece de la împărțirea zecimalelor inițiale la împărțirea fracțiilor obișnuite și să încheiem calculele: .
Să convertim fracția obișnuită rezultată într-o fracție zecimală, împărțind numărătorul la numitorul cu o coloană:
Răspuns:
0,(504):0,56=0,(900) .
Principiul împărțirii fracțiilor zecimale neperiodice infinite diferă de principiul împărțirii fracțiilor zecimale finite și periodice, deoarece fracțiile zecimale neperiodice nu pot fi convertite în fracții obișnuite. Împărțirea fracțiilor zecimale infinite neperiodice se reduce la împărțirea fracțiilor zecimale finite, pentru care efectuăm rotunjirea numerelor până la un anumit nivel. Mai mult, dacă unul dintre numerele cu care se realizează împărțirea este o fracție zecimală finită sau periodică, atunci se rotunjește și la aceeași cifră ca și fracția zecimală neperiodică.
Exemplu.
Împărțiți zecimala infinită neperiodică 0,779... la zecimala finită 1,5602.
Soluţie.
Mai întâi trebuie să rotunjiți zecimale, astfel încât să puteți trece de la împărțirea infinitelor zecimale neperiodice la împărțirea zecimale finite. Putem rotunji la cea mai apropiată sutime: 0,779…≈0,78 și 1,5602≈1,56. Astfel, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100·100/156= 78/156=1/2=0,5 .
Răspuns:
0,779…:1,5602≈0,5 .
Împărțirea unui număr natural la o fracție zecimală și invers
Esența abordării împărțirii unui număr natural la o fracție zecimală și a împărțirii unei fracții zecimale la un număr natural nu este diferită de esența împărțirii fracțiilor zecimale. Adică, fracțiile finite și periodice sunt înlocuite cu fracții obișnuite, iar fracțiile neperiodice infinite sunt rotunjite.
Pentru a ilustra, luați în considerare exemplul împărțirii unei fracții zecimale la un număr natural.
Exemplu.
Împărțiți fracția zecimală 25,5 la numărul natural 45.
Soluţie.
Prin înlocuirea fracției zecimale 25,5 cu fracția comună 255/10=51/2, împărțirea se reduce la împărțirea fracției comune la un număr natural:. Fracția rezultată în notație zecimală are forma 0,5(6) .
Răspuns:
25,5:45=0,5(6) .
Împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural cu o coloană
Este convenabil să împărțiți fracțiile zecimale finite în numere naturale printr-o coloană, prin analogie cu împărțirea printr-o coloană de numere naturale. Să prezentăm regula împărțirii.
La împărțiți o fracție zecimală la un număr natural folosind o coloană, necesar:
- adăugați mai multe cifre 0 la dreapta fracției zecimale care este împărțită (în timpul procesului de împărțire, dacă este necesar, puteți adăuga orice număr de zerouri, dar este posibil ca aceste zerouri să nu fie necesare);
- efectuați împărțirea printr-o coloană a unei fracții zecimale cu un număr natural conform tuturor regulilor de împărțire a unei coloane de numere naturale, dar când împărțirea întregii părți a fracției zecimale este finalizată, atunci în coeficient trebuie să puneți o virgulă și continuă împărțirea.
Să spunem imediat că, ca rezultat al împărțirii unei fracții zecimale finite la un număr natural, puteți obține fie o fracție zecimală finită, fie o fracție zecimală periodică infinită. Într-adevăr, după ce împărțirea tuturor zecimale non-0 ale fracției care este împărțită este finalizată, fie restul poate fi 0 și vom obține fracția zecimală finală, fie resturile vor începe să se repete periodic și vom obține o fracție zecimală periodică.
Să înțelegem toate complexitățile împărțirii fracțiilor zecimale la numere naturale într-o coloană atunci când rezolvăm exemple.
Exemplu.
Împărțiți fracția zecimală 65,14 la 4.
Soluţie.
Să împărțim o fracție zecimală la un număr natural folosind o coloană. Să adăugăm câteva zerouri la dreapta în notația fracției 65,14 și vom obține o fracție zecimală egală 65,1400 (vezi fracțiile zecimale egale și inegale). Acum puteți începe să împărțiți cu o coloană partea întreagă a fracției zecimale 65,1400 la numărul natural 4: 
Aceasta completează împărțirea părții întregi a fracției zecimale. Aici, în coeficient, trebuie să puneți un punct zecimal și să continuați împărțirea: 
Am ajuns la un rest de 0, în această etapă se termină împărțirea după coloană. Ca rezultat, avem 65.14:4=16.285.
Răspuns:
65,14:4=16,285 .
Exemplu.
Împărțiți 164,5 la 27.
Soluţie.
Să împărțim fracția zecimală la un număr natural folosind o coloană. După împărțirea întregii părți obținem următoarea imagine: 
Acum punem o virgulă în coeficient și continuăm împărțirea cu o coloană: 
Acum este clar că reziduurile 25, 7 și 16 au început să se repete, în timp ce în coeficient se repetă numerele 9, 2 și 5. Astfel, împărțirea zecimalei 164,5 la 27 ne dă zecimala periodică 6,0(925) .
Răspuns:
164,5:27=6,0(925) .
Împărțirea pe coloane a fracțiilor zecimale
Împărțirea unei fracții zecimale cu o fracție zecimală poate fi redusă la împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural cu o coloană. Pentru a face acest lucru, dividendul și divizorul trebuie înmulțite cu un număr precum 10, sau 100, sau 1.000 etc., astfel încât divizorul să devină un număr natural și apoi împărțit cu un număr natural cu o coloană. Putem face acest lucru datorită proprietăților împărțirii și înmulțirii, deoarece a:b=(a·10):(b·10) , a:b=(a·100):(b·100) și așa mai departe.
Cu alte cuvinte, pentru a împărți o zecimală finală la o zecimală finală, trebuie sa:
- în dividend și divizor, mutați virgula la dreapta cu câte locuri există după punctul zecimal din divizor; dacă în dividend nu există suficiente semne pentru a muta virgula, atunci trebuie să adăugați numărul necesar de zerouri la dreapta;
- După aceasta, împărțiți cu o coloană zecimală la un număr natural.
Când rezolvați un exemplu, luați în considerare aplicarea acestei reguli de împărțire cu o fracție zecimală.
Exemplu.
Împărțiți cu o coloană 7,287 la 2,1.
Soluţie.
Să mutăm virgula în aceste fracții zecimale cu o cifră la dreapta, acest lucru ne va permite să trecem de la împărțirea fracției zecimale 7,287 la fracția zecimală 2,1 la împărțirea fracției zecimale 72,87 la numărul natural 21. Să facem împărțirea după coloană: 
Răspuns:
7,287:2,1=3,47 .
Exemplu.
Împărțiți zecimala 16,3 la zecimala 0,021.
Soluţie.
Mutați virgula în dividend și divizor în cele trei locuri din dreapta. Evident, divizorul nu are suficiente cifre pentru a muta punctul zecimal, așa că vom adăuga numărul necesar de zerouri la dreapta. Acum să împărțim fracția 16300.0 cu o coloană la numărul natural 21: 
Din acest moment, resturile 4, 19, 1, 10, 16 si 13 incep sa se repete, ceea ce inseamna ca se vor repeta si numerele 1, 9, 0, 4, 7 si 6 din cat. Ca rezultat, obținem fracția zecimală periodică 776,(190476) .
Răspuns:
16,3:0,021=776,(190476) .
Rețineți că regula anunțată vă permite să împărțiți un număr natural cu o coloană într-o fracție zecimală finală.
Exemplu.
Împărțiți numărul natural 3 la fracția zecimală 5.4.
Soluţie.
După ce am mutat virgulă zecimală cu o cifră la dreapta, ajungem la împărțirea numărului 30,0 la 54. Să facem împărțirea după coloană: 
.
Această regulă se poate aplica și la împărțirea fracțiilor zecimale infinite la 10, 100, .... De exemplu, 3,(56):1,000=0,003(56) și 593,374…:100=5,93374… .
Împărțirea zecimalelor la 0,1, 0,01, 0,001 etc.
Deoarece 0,1 = 1/10, 0,01 = 1/100 etc., atunci din regula împărțirii la o fracție comună rezultă că se împarte fracția zecimală la 0,1, 0,01, 0,001 etc. este același lucru cu înmulțirea unei date zecimale cu 10, 100, 1.000 etc. respectiv.
Cu alte cuvinte, pentru a împărți o fracție zecimală la 0,1, 0,01, ... trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu 1, 2, 3, ... cifre, iar dacă cifrele din fracția zecimală nu sunt suficiente pentru a muta punctul zecimal, atunci trebuie să adăugați numărul necesar la zerourile din dreapta.
De exemplu, 5.739:0.1=57.39 și 0.21:0.00001=21.000.
Aceeași regulă poate fi aplicată la împărțirea fracțiilor zecimale infinite la 0,1, 0,01, 0,001 etc. În acest caz, ar trebui să fii foarte atent la împărțirea fracțiilor periodice pentru a nu greși cu perioada fracției care se obține ca urmare a împărțirii. De exemplu, 7.5(716):0.01=757,(167), deoarece după mutarea punctului zecimal în fracția zecimală 7.5716716716... două locuri la dreapta, avem intrarea 757.167167.... Cu fracții zecimale neperiodice infinite totul este mai simplu: 394,38283…:0,001=394382,83… .
Împărțirea unei fracții sau a unui număr mixt cu o zecimală și invers
Împărțirea unei fracții sau număr mixt la o zecimală finită sau periodică și împărțirea unei zecimale finite sau periodice la o fracție sau număr mixt se rezumă la împărțirea fracțiilor obișnuite. Pentru a face acest lucru, fracțiile zecimale sunt înlocuite cu fracțiile ordinare corespunzătoare, iar numărul mixt este reprezentat ca o fracție improprie.
Când împărțiți o fracție zecimală neperiodică infinită la o fracție comună sau un număr mixt și invers, ar trebui să treceți la împărțirea fracțiilor zecimale, înlocuind fracția comună sau numărul mixt cu fracția zecimală corespunzătoare.
Bibliografie.
- Matematică: manual pentru clasa a 5-a. educatie generala instituții / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. 21, șters. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematică. Clasa a VI-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior şcoală, 1984.-351 p., ill.
Dreptunghi?
Soluţie. Deoarece 2,88 dm2 = 288 cm2 și 0,8 dm = 8 cm, atunci lungimea dreptunghiului este 288: 8, adică 36 cm = 3,6 dm. Am găsit un număr 3,6 astfel încât 3,6 0,8 = 2,88. Este câtul de 2,88 împărțit la 0,8.
Ei scriu: 2,88: 0,8 = 3,6.
Răspunsul 3.6 poate fi obținut fără a converti decimetrii în centimetri. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți divizorul 0,8 și dividendul 2,88 cu 10 (adică, mutați virgula cu o cifră la dreapta) și împărțiți 28,8 la 8. Din nou obținem: 28,8: 8 = 3,6.
Pentru a împărți un număr la o fracție zecimală, trebuie să:
1) în dividend și divizor, mutați virgula la dreapta cu atâtea cifre câte sunt după punctul zecimal din divizor;
2) după aceasta, împărțiți la un număr natural.
Exemplul 1.Împărțiți 12,096 la 2,24. Mutați virgula în dividend și divizor cu 2 cifre la dreapta. Obținem numerele 1209,6 și 224. Deoarece 1209,6: 224 = 5,4, apoi 12,096: 2,24 = 5,4.
Exemplul 2.Împărțiți 4,5 la 0,125. Aici trebuie să mutați virgula în dividend și divizor cu 3 cifre la dreapta. Deoarece dividendul are o singură cifră după virgulă zecimală, vom adăuga două zerouri în dreapta acestuia. După ce mutam virgula, obținem numere 4500 și 125. Deoarece 4500: 125 = 36, apoi 4,5: 0,125 = 36.
Din exemplele 1 și 2 este clar că la împărțirea unui număr la fracție improprie acest număr scade sau nu se modifică, iar atunci când este împărțit la o fracție zecimală adecvată, crește: 12,096 > 5,4 și 4,5< 36.
Împărțiți 2,467 la 0,01. După ce am mutat virgula în dividend și divizor cu 2 cifre spre dreapta, constatăm că coeficientul este egal cu 246,7: 1, adică 246,7.
Aceasta înseamnă 2,467: 0,01 = 246,7. De aici obținem regula:
Pentru a împărți o zecimală la 0,1; 0,01; 0,001, trebuie să mutați virgula din ea la dreapta cu atâtea cifre câte zerouri sunt înainte de unu în divizor (adică, înmulțiți-o cu 10, 100, 1000).
Dacă nu sunt suficiente numere, trebuie mai întâi să le adăugați la sfârșit fractii câteva zerouri.
De exemplu, 56,87: 0,0001 = 56,8700: 0,0001 = 568.700.
Formulați regula de împărțire a unei fracții zecimale: la o fracție zecimală; cu 0,1; 0,01; 0,001.
Înmulțind cu ce număr puteți înlocui împărțirea cu 0,01?
1443. Aflați câtul și verificați prin înmulțire:
a) 0,8: 0,5; b) 3,51: 2,7; c) 14,335: 0,61.
1444. Aflați câtul și verificați prin împărțire:
a) 0,096: 0,12; b) 0,126: 0,9; c) 42,105: 3,5.
a) 7,56: 0,6; g) 6,944: 3,2; n) 14,976: 0,72;
b) 0,161: 0,7; h) 0,0456: 3,8; o) 168,392: 5,6;
c) 0,468: 0,09; i) 0,182: 1,3; n) 24,576: 4,8;
d) 0,00261: 0,03; j) 131,67: 5,7; p) 16,51: 1,27;
e) 0,824: 0,8; k) 189,54: 0,78; c) 46,08: 0,384;
e) 10,5: 3,5; m) 636: 0,12; t) 22,256: 20,8.
1446. Notează expresiile:
a) 10 - 2,4x = 3,16; e) 4,2р - р = 5,12;
b) (y + 26,1) 2,3 = 70,84; e) 8,2t - 4,4t = 38,38;
c) (z - 1,2): 0,6 = 21,1; g) (10,49 - s): 4,02 = 0,805;
d) 3,5m + t = 9,9; h) 9k - 8,67k = 0,6699.
1460. În două rezervoare erau 119,88 tone de benzină. Primul rezervor conținea de 1,7 ori mai multă benzină decât al doilea. Câtă benzină era în fiecare rezervor?
1461. De pe trei parcele s-au strâns 87,36 tone de varză. În același timp, s-a colectat de 1,4 ori mai mult din prima parcelă și de 1,8 ori mai mult din a doua parcelă decât din a treia parcelă. Câte tone de varză au fost colectate de pe fiecare parcelă?
1462. Un cangur este de 2,4 ori mai scurt decât o girafă, iar o girafă este cu 2,52 m mai înaltă decât un cangur.Care este înălțimea unei girafe și care este înălțimea unui cangur?
1463. Doi pietoni se aflau la o distanţă de 4,6 km unul de celălalt. Au mers unul spre celălalt și s-au întâlnit după 0,8 ore.Aflați viteza fiecărui pieton dacă viteza unuia dintre ei este de 1,3 ori viteza celuilalt.
1464. Urmați acești pași:
a) (130,2 - 30,8) : 2,8 - 21,84:
b) 8,16: (1,32 + 3,48) - 0,345;
c) 3,712: (7 - 3,8) + 1,3 (2,74 + 0,66);
d) (3,4: 1,7 + 0,57: 1,9) 4,9 + 0,0825: 2,75;
e) (4,44: 3,7 - 0,56: 2,8): 0,25 - 0,8;
e) 10,79: 8,3 0,7 - 0,46 3,15: 6,9.
1465. Reprezentați o fracție ca zecimală și găsiți valoarea expresii:
1466. Calculați oral:
a) 25,5: 5; b) 9 0,2; c) 0,3: 2; d) 6,7 - 2,3;
1,5: 3; 1 0,1; 2:5; 6- 0,02;
4,7: 10; 16 0,01; 17,17: 17; 3,08 + 0,2;
0,48: 4; 24 0,3; 25,5: 25; 2,54 + 0,06;
0,9:100; 0,5 26; 0,8:16; 8,2-2,2.
1467. Găsiți lucrarea:
a) 0,1 0,1; d) 0,4 0,4; g) 0,7 0,001;
b) 1,3 1,4; e) 0,06 0,8; h) 100 0,09;
c) 0,3 0,4; e) 0,01 100; i) 0,3 0,3 0,3.
1468. Aflați: 0,4 din numărul 30; 0,5 din numărul 18; 0,1 numere 6,5; 2,5 numere 40; 0,12 numărul 100; 0,01 din numărul 1000.
1469. Care este valoarea expresiei 5683,25a când a = 10; 0,1; 0,01; 100; 0,001; 1000; 0,00001?
1470. Gândiți-vă care dintre numere poate fi exact și care poate fi aproximativ:
a) în clasă sunt 32 de elevi;
b) distanța de la Moscova la Kiev este de 900 km;
c) paralelipipedul are 12 muchii;
d) lungimea mesei 1,3 m;
e) populația Moscovei este de 8 milioane de oameni;
e) într-un sac 0,5 kg făină;
g) suprafața insulei Cuba este de 105.000 km2;
h) biblioteca școlară are 10.000 de cărți;
i) un interval este egal cu 4 vershok, iar un vershok este egal cu 4,45 cm (vershok
lungimea falangei degetului arătător).
1471. Găsiți trei soluții ale inegalității:
a) 1.2< х < 1,6; в) 0,001 < х < 0,002;
b) 2.1< х< 2,3; г) 0,01 <х< 0,011.
1472. Comparați, fără a calcula, valorile expresiilor:
a) 24 0,15 și (24 - 15): 100;
b) 0,084 0,5 și (84 5) : 10.000.
Explică-ți răspunsul.
1473. Rotunjiți numerele:
1474. Efectuați împărțirea:
a) 22,7: 10; 23,3:10; 3.14:10; 9,6:10;
b) 304: 100; 42,5: 100; 2,5: 100; 0,9: 100; 0,03: 100;
c) 143,4: 12; 1,488: 124; 0,3417: 34; 159,9: 235; 65,32: 568.
1475. Un biciclist a părăsit satul cu viteza de 12 km/h. După 2 ore, un alt biciclist a ieșit din același sat în sens opus,
iar viteza celui de-al doilea este de 1,25 ori mai mare decât viteza primului. Care va fi distanța dintre ei la 3,3 ore după plecarea celui de-al doilea biciclist?
1476. Viteza proprie a ambarcațiunii este de 8,5 km/h, iar viteza curentului este de 1,3 km/h. Cât de departe va parcurge barca în aval în 3,5 ore? Cât de departe va parcurge barca împotriva curentului în 5,6 ore?
1477. Fabrica a produs 3,75 mii de piese și le-a vândut la un preț de 950 de ruble. o bucată. Cheltuielile fabricii pentru producția unei piese s-au ridicat la 637,5 ruble. Găsiți profitul primit de fabrică din vânzarea acestor piese.
1478. Lățimea unui paralelipiped dreptunghiular este de 7,2 cm, adică 
Aflați volumul acestui paralelipiped și rotunjiți răspunsul la numere întregi.
1479. Papa Carlo a promis că îi va da lui Piero 4 soldați în fiecare zi, iar lui Buratino 1 soldat în prima zi și încă 1 soldat în fiecare zi următoare dacă se poartă bine. Pinocchio a fost jignit: a hotărât că, oricât s-ar fi străduit, nu va reuși niciodată să obțină atât de mulți soldați ca Pierrot. Gândește-te dacă Pinocchio are dreptate.
1480. Pentru 3 dulapuri și 9 rafturi s-au folosit 231 m de scânduri, iar pentru dulap se folosește de 4 ori mai mult material decât pentru raft. Câți metri de scânduri merg pe un dulap și câți pe un raft?
1481. Rezolvați problema:
1) Primul număr este 6,3 și formează al doilea număr. Al treilea număr îl alcătuiește pe al doilea. Găsiți al doilea și al treilea număr.
2) Primul număr este 8.1. Al doilea număr este de la primul număr și de la al treilea număr. Găsiți al doilea și al treilea număr.
1482. Găsiți sensul expresiei:
1) (7 - 5,38) 2,5;
2) (8 - 6,46) 1,5.
1483. Aflați valoarea coeficientului:
a) 17,01: 6,3; d) 1,4245: 3,5; g) 0,02976: 0,024;
b) 1,598: 4,7; e) 193,2: 8,4; h) 11,59: 3,05;
c) 39,156: 7,8; e) 0,045: 0,18; i) 74,256: 18,2.
1484. Distanta de la casa la scoala este de 1,1 km. Fata parcurge acest drum în 0,25 ore Cât de repede merge fata?
1485. Într-un apartament cu două camere, suprafața unei camere este de 20,64 m2, iar suprafața celeilalte camere este de 2,4 ori mai mică. Găsiți împreună suprafața acestor două camere.
1486. Motorul consumă 111 litri de combustibil în 7,5 ore. Câți litri de combustibil va consuma motorul în 1,8 ore?
1487. O piesă metalică cu volumul de 3,5 dm3 are masa de 27,3 kg. O altă piesă din același metal are o masă de 10,92 kg. Care este volumul celei de-a doua părți?
1488. 2,28 tone de benzină au fost turnate într-un rezervor prin două conducte. Prin prima conductă curgeau 3,6 tone de benzină pe oră, iar aceasta a fost deschisă timp de 0,4 ore, iar prin a doua țeavă curgeau 0,8 tone de benzină pe oră mai puțin decât prin prima. Cât timp a fost deschisă a doua țeavă?
1489. Rezolvați ecuația:
a) 2,136: (1,9 - x) = 7,12; c) 0,2t + 1,7t - 0,54 = 0,22;
b) 4,2 (0,8 + y) = 8,82; d) 5,6g - 2z - 0,7z + 2,65 = 7.
1490. Mărfuri cu o greutate de 13,3 tone au fost distribuite între trei vehicule. Prima mașină a fost încărcată cu de 1,3 ori mai mult, iar a doua mașină - de 1,5 ori mai mult decât a treia mașină. Câte tone de mărfuri au fost încărcate pe fiecare vehicul?
1491. Doi pietoni au părăsit același loc în același timp în direcții opuse. După 0,8 ore, distanța dintre ele a devenit 6,8 km. Viteza unui pieton era de 1,5 ori viteza celuilalt. Aflați viteza fiecărui pieton.
1492. Urmați acești pași:
a) (21,2544: 0,9 + 1,02 3,2): 5,6;
b) 4,36: (3,15 + 2,3) + (0,792 - 0,78) 350;
c) (3,91: 2,3 5,4 - 4,03) 2,4;
d) 6,93: (0,028 + 0,36 4,2) - 3,5.
1493. Un doctor a venit la școală și a adus 0,25 kg de ser pentru vaccinare. Câți băieți le poate face injecții dacă fiecare injecție necesită 0,002 kg de ser?
1494. Au fost livrate la magazin 2,8 tone de turtă dulce. Înainte de prânz s-au vândut aceste prăjituri din turtă dulce. Câte tone de turtă dulce au mai rămas de vândut?
1495. Dintr-o bucată de țesătură au fost tăiați 5,6 m. Câți metri de țesătură erau în bucată dacă această bucată a fost tăiată?
N.Da. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matematică clasa a 5-a, Manual pentru instituțiile de învățământ general
Cum se înmulțesc și se împart zecimale?
- Nu vă faceți griji și nu vă grăbiți.
-
0,065 1000 = 0065 = 65;
De exemplu: 1,1 0,2 = 0,22
De exemplu: 22 0,1 = 2,2
22: 10 = 2,2 - Dacă o fracție zecimală are virgulă, atunci când este înmulțită cu 10, 100, 1000, punctul zecimal este deplasat la dreapta cu 1 2 sau 3 cifre 0,234*10=2,34 0,234*100=23,4
dacă nu are virgulă, atunci se adaugă 0 00 sau 000 în spate 23*10=230
la împărțire, virgula este mutată la stânga cu 1 2 sau 3 cifre 234/100=2/34 - 2
Va trebui în continuare să înmulți numerele, dar trebuie să înțelegi cum se schimbă poziția punctului zecimal. Puteți formula o anumită regulă, dar pentru a o înțelege, trebuie să înțelegeți cum sunt convertite fracțiile zecimale în fracții obișnuite și cum sunt înmulțite fracțiile obișnuite.Pentru a reprezenta o fracție zecimală ca fracție obișnuită, trebuie să scrieți acest număr la numărător fără virgulă zecimală, iar la numitor un număr de forma unu și atâtea zerouri câte zecimale au existat separate în fracția zecimală (care este, în numitorul numerelor 10, 100, 1000 etc. În continuare).
De exemplu, numărul 1.238 sub forma unei fracții obișnuite poate fi scris ca 12381000 la numărător același număr, dar fără virgulă, iar la numitorul 1000 există unu și trei zerouri, deoarece în 1.238 virgula separă trei cifre .
În acest exemplu, fracțiile ar fi 5410, 710 și 2810.
La fel, în sens opus, dacă numitorul este unul cu zerouri: la numărător, virgula separă atâtea locuri câte zerouri au fost în numitor. De exemplu:
537100=5,37
În continuare, vom lua în considerare problema înmulțirii și împărțirii fracțiilor obișnuite. La înmulțirea fracțiilor obișnuite, numărătorul rezultatului este produsul numărătorilor factorilor, iar numitorul rezultatului este produsul numitorilor factorilor. De exemplu:3752=3572=1514
La împărțirea unei fracții zecimale la alta, fracția care se împarte este inversată și prima fracție este înmulțită cu aceasta. De exemplu:3475=3457=1528
Acum să vedem cum se înmulțesc zecimale. Să luăm două fracții, să le reprezentăm ca fracții obișnuite, să le înmulțim și să le scriem din nou ca zecimale:5,40,7=5410710=547100=378100=3,78
- 4,15*10 = 41,5 - un 0 înseamnă că va fi 1 cifră după virgulă.
De asemenea 3.12*1000=3120 - eliminam virgula, deoarece nu sunt suficiente numere
Asta e tot. - la înmulțire: înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul
la împărțire: lăsăm prima fracție la fel și o întoarcem pe a doua, iar apoi respectăm regula înmulțirii - Înmulțiți ca numere fără virgulă și apoi în rezultatul rezultat separați atâtea semne (de la dreapta la stânga) câte semne există în ambii factori împreună.
- Când înmulțiți o fracție zecimală cu 10, 100, 1000 etc., trebuie să mutați punctul zecimal din această fracție la dreapta cu atâtea locuri câte zerouri există în multiplicator. De exemplu:
0,065 1000 = 0065 = 65;
2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900.Înmulțirea a două fracții zecimale se face astfel: Numerele se înmulțesc fără a lua în considerare virgulele. Virgula din produs este plasată astfel încât să separe câte caractere din dreapta sunt separate în ambii factori combinați.
De exemplu: 1,1 0,2 = 0,22
În loc să înmulțiți orice număr cu 0,1; 0,01; 0,001, puteți împărți acest număr la 10; 100; sau respectiv 1000.
De exemplu: 22 0,1 = 2,2
22: 10 = 2,2 - nu m-ai văzut, doar câștig puncte)
- Înmulțirea fracțiilor zecimale se face la fel ca înmulțirea numerelor naturale, după aceleași reguli, dar în produs se pune virgulă în funcție de suma cifrelor factorilor din partea fracționară, numărând de la dreapta la stânga ( suma cifrelor factorilor este numărul de cifre după virgulă zecimală pentru factorii luați împreună).
La împărțirea fracțiilor, divizorul zecimal crește cu atâtea cifre câte cifre sunt în partea fracțională. Pentru a vă asigura că fracția nu se modifică, dividendul este mărit cu același număr de cifre (în dividend și divizor, virgula este mutată la același număr de cifre). O virgulă este plasată în coeficient în acel stadiu de împărțire când se împarte întreaga parte a fracției.
Adăugarea de zecimale este la fel cu adăugarea numerelor întregi. Să vedem asta cu exemple.
1) 0,132 + 2,354. Să etichetăm termenii unul sub celălalt.
Aici, adăugarea a 2 miimi la 4 miimi a rezultat în 6 miimi;
din adunarea a 3 sutimi cu 5 sutimi rezultatul este 8 sutimi;
de la adăugarea a 1 zecime cu 3 zecimi -4 zecimi și
din adunarea a 0 numere întregi cu 2 numere întregi - 2 numere întregi.
2) 5,065 + 7,83.
Nu există miimi în al doilea termen, așa că este important să nu faceți greșeli atunci când etichetați termenii unul după altul.
3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.
Aici, la adăugarea de miimi, rezultatul este 21 de miimi; am scris 1 sub miimi și am adăugat 2 la sutimi, așa că pe locul sutimiilor am obținut următorii termeni: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; in total ei dau 19 sutimi, noi am semnat 9 sub sutimi, iar 1 a socotit zecimi etc.
Astfel, la adunarea fracțiilor zecimale, trebuie respectată următoarea ordine: semnați fracțiile una sub alta astfel încât în toți termenii aceleași cifre să fie situate una sub alta și toate virgulele să fie în aceeași coloană verticală; În dreapta zecimalelor unor termeni se adaugă un astfel de număr de zerouri, cel puțin mental, astfel încât toți termenii după virgulă zecimală să aibă același număr de cifre. Apoi efectuează adunarea cu cifre, începând din partea dreaptă, iar în suma rezultată pun o virgulă în aceeași coloană verticală în care se află în acești termeni.
§ 108. Scăderea fracțiilor zecimale.
Scăderea zecimalelor funcționează în același mod ca și scăderea numerelor întregi. Să arătăm asta cu exemple.
1) 9,87 - 7,32. Să semnăm subtraendul sub minuend, astfel încât unitățile din aceeași cifră să fie una sub cealaltă:
2) 16,29 - 4,75. Să semnăm subtraend sub minuend, ca în primul exemplu:
Pentru a scădea zecimi, trebuia să luați o unitate întreagă din 6 și să o împărțiți în zecimi.
3) 14.0213- 5.350712. Să semnăm subtraend sub minuend:
Scăderea a fost efectuată după cum urmează: deoarece nu putem scădea 2 milionimi din 0, ar trebui să ne întoarcem la cea mai apropiată cifră din stânga, adică o sută de miimi, dar în locul sutei de miimi există și zero, așa că luăm 1 zece miimi din 3 zece miimi și O împărțim în sută de miimi, obținem 10 sute de miimi, din care lăsăm 9 sute de miimi în categoria de sute de miimi, și despărțim 1 sută de miimi în milionimi, obținem 10 milioane. Astfel, în ultimele trei cifre am obținut: milionimi 10, sută de miimi 9, zece miimi 2. Pentru o mai mare claritate și comoditate (pentru a nu uita), aceste numere sunt scrise deasupra cifrelor fracționale corespunzătoare ale minuendului. Acum poți începe să scazi. Din 10 milionatimi scadem 2 milionatimi, obtinem 8 milionatimi; din 9 sute de miimi scădem 1 sută de miimi, obținem 8 sute de miimi etc.
Astfel, la scăderea fracțiilor zecimale se respectă următoarea ordine: semnați subtraend sub minuend astfel încât aceleași cifre să fie situate una sub alta și toate virgulele să fie în aceeași coloană verticală; in dreapta se adauga, cel putin mental, atatea zerouri in minuend sau subtraend astfel incat sa aiba acelasi numar de cifre, apoi scade cu cifre, incepand din dreapta, iar in diferenta rezultata pun virgula in aceeasi coloana verticala in care se afla in diminuat si scazut.
§ 109. Înmulțirea fracțiilor zecimale.
Să ne uităm la câteva exemple de înmulțire a fracțiilor zecimale.
Pentru a afla produsul acestor numere, putem raționa astfel: dacă factorul este mărit de 10 ori, atunci ambii factori vor fi numere întregi și apoi îi putem înmulți conform regulilor de înmulțire a numerelor întregi. Dar știm că atunci când unul dintre factori crește de mai multe ori, produsul crește cu aceeași cantitate. Aceasta înseamnă că numărul care se obține din înmulțirea factorilor întregi, adică 28 cu 23, este de 10 ori mai mare decât produsul adevărat, iar pentru a obține produsul adevărat, produsul găsit trebuie redus de 10 ori. Prin urmare, aici va trebui să înmulțiți cu 10 o dată și să împărțiți cu 10 o dată, dar înmulțirea și împărțirea cu 10 se face prin mutarea punctului zecimal la dreapta și la stânga cu un loc. Prin urmare, trebuie să faceți acest lucru: în factor, mutați virgula în locul potrivit, aceasta o va face egală cu 23, apoi trebuie să înmulțiți numerele întregi rezultate:
Acest produs este de 10 ori mai mare decât produsul adevărat. Prin urmare, trebuie redusă de 10 ori, pentru care mutam virgula cu un loc la stânga. Astfel, primim
28 2,3 = 64,4.
În scopuri de verificare, puteți scrie o fracție zecimală cu un numitor și puteți efectua acțiunea conform regulii de înmulțire a fracțiilor obișnuite, adică.
2) 12,27 0,021.
Diferența dintre acest exemplu și cel precedent este că aici ambii factori sunt reprezentați ca fracții zecimale. Dar aici, în procesul de înmulțire, nu vom acorda atenție virgulelor, adică vom crește temporar multiplicantul de 100 de ori și multiplicatorul de 1.000 de ori, ceea ce va crește produsul de 100.000 de ori. Astfel, înmulțind 1.227 cu 21, obținem:
1 227 21 = 25 767.
Având în vedere că produsul rezultat este de 100.000 de ori mai mare decât produsul adevărat, acum trebuie să-l reducem de 100.000 de ori prin plasarea corectă a unei virgule în el, apoi obținem:
32,27 0,021 = 0,25767.
Sa verificam:
Astfel, pentru a înmulți două fracții zecimale, este suficient, fără a fi atent la virgule, să le înmulțim ca numere întregi și în produs să despărțim cu virgulă în dreapta câte zecimale erau în multiplicand și în multiplicator împreună.
Ultimul exemplu a rezultat într-un produs cu cinci zecimale. Dacă nu este necesară o precizie atât de mare, atunci fracția zecimală este rotunjită. Când rotunjiți, ar trebui să utilizați aceeași regulă ca cea indicată pentru numerele întregi.
§ 110. Înmulțirea folosind tabele.
Înmulțirea zecimalelor se poate face uneori folosind tabele. În acest scop, puteți utiliza, de exemplu, acele tabele de înmulțire pentru numere de două cifre, a căror descriere a fost dată mai devreme.
1) Înmulțiți 53 cu 1,5.
Vom înmulți 53 cu 15. În tabel, acest produs este egal cu 795. Am găsit produsul 53 cu 15, dar al doilea factor a fost de 10 ori mai mic, ceea ce înseamnă că produsul trebuie redus de 10 ori, adică.
53 1,5 = 79,5.
2) Înmulțiți 5,3 cu 4,7.
În primul rând, găsim în tabel produsul 53 cu 47, acesta va fi 2 491. Dar din moment ce am mărit multiplicantul și multiplicatorul cu un total de 100 de ori, produsul rezultat este de 100 de ori mai mare decât ar trebui să fie; deci trebuie să reducem acest produs de 100 de ori:
5,3 4,7 = 24,91.
3) Înmulțiți 0,53 cu 7,4.
În primul rând, găsim în tabel produsul 53 cu 74; va fi 3 922. Dar din moment ce am crescut multiplicantul de 100 de ori, iar multiplicatorul de 10 ori, produsul a crescut de 1.000 de ori; așa că acum trebuie să o reducem de 1.000 de ori:
0,53 7,4 = 3,922.
§ 111. Împărțirea fracțiilor zecimale.
Ne vom uita la împărțirea fracțiilor zecimale în această ordine:
1. Împărțirea unei fracții zecimale la un număr întreg,
1. Împărțiți o fracție zecimală la un număr întreg.
1) Împărțiți 2,46 la 2.
Am impartit la 2 prima intregi, apoi zecimi si in final sutimi.
2) Împărțiți 32,46 la 3.
32,46: 3 = 10,82.
Am împărțit 3 zeci la 3, apoi am început să împărțim 2 zeci la 3; întrucât numărul de unități ale dividendului (2) este mai mic decât divizorul (3), a trebuit să punem 0 în coeficient; în continuare, la rest am luat 4 zecimi și am împărțit 24 de zecimi la 3; a primit 8 zecimi în coeficient și a împărțit în final 6 sutimi.
3) Împărțiți 1,2345 la 5.
1,2345: 5 = 0,2469.
Aici în cât primul loc este zero numere întregi, deoarece un întreg nu este divizibil cu 5.
4) Împărțiți 13,58 la 4.
Particularitatea acestui exemplu este că atunci când am primit 9 sutimi în coeficient, am descoperit un rest egal cu 2 sutimi, am împărțit acest rest în miimi, am obținut 20 de miimi și am finalizat împărțirea.
Regulă.Împărțirea unei fracții zecimale cu un întreg se realizează în același mod ca și împărțirea numerelor întregi, iar resturile rezultate sunt convertite în fracții zecimale, din ce în ce mai mici; Împărțirea continuă până când restul este zero.
2. Împărțiți o zecimală la o zecimală.
1) Împărțiți 2,46 la 0,2.
Știm deja cum să împărțim o fracție zecimală la un număr întreg. Să ne gândim, este posibil să reducem acest nou caz de divizare la cel anterior? La un moment dat, am considerat proprietatea remarcabilă a unui coeficient, care constă în faptul că acesta rămâne neschimbat atunci când dividendul și divizorul cresc sau scad simultan de același număr de ori. Am putea împărți cu ușurință numerele date nouă dacă divizorul ar fi un număr întreg. Pentru a face acest lucru, este suficient să îl creșteți de 10 ori și pentru a obține coeficientul corect, este necesar să creșteți dividendul cu aceeași sumă, adică de 10 ori. Apoi împărțirea acestor numere va fi înlocuită cu împărțirea următoarelor numere:
În plus, nu va mai fi nevoie să se facă modificări la detalii.
Să facem această împărțire:
Deci 2,46: 0,2 = 12,3.
2) Împărțiți 1,25 la 1,6.
Creștem divizorul (1,6) de 10 ori; pentru ca coeficientul să nu se modifice, creștem dividendul de 10 ori; 12 numere întregi nu sunt divizibile cu 16, așa că scriem 0 în cât și împărțim 125 de zecimi la 16, obținem 7 zecimi în cât și restul 13. Împărțim 13 zecimi în sutimi atribuind zero și împărțim 130 de zecimi la 16, etc. Vă rugăm să rețineți următoarele:
a) când nu există numere întregi într-un anumit, atunci în locul lor se scriu numere întregi zero;
b) când, după adăugarea cifrei dividendului la rest, se obține un număr care nu este divizibil cu divizor, atunci se scrie zero în cât;
c) când, după eliminarea ultimei cifre a dividendului, împărțirea nu se încheie, atunci, adăugând zerouri la rest, împărțirea continuă;
d) dacă dividendul este un număr întreg, atunci când îl împărțim la o fracție zecimală, acesta se mărește prin adăugarea de zerouri.
Astfel, pentru a împărți un număr la o fracție zecimală, trebuie să renunțați la virgula din divizor și apoi să creșteți dividendul de atâtea ori cât a crescut divizorul atunci când aruncați virgula din el și apoi să efectuați împărțirea conform regulii. pentru împărțirea unei fracții zecimale la un număr întreg.
§ 112. Coeficienti aproximativi.
În paragraful anterior, ne-am uitat la împărțirea fracțiilor zecimale, iar în toate exemplele pe care le-am rezolvat împărțirea a fost finalizată, adică s-a obținut un coeficient exact. Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor, un coeficient exact nu poate fi obținut, indiferent cât de departe continuăm împărțirea. Iată un astfel de caz: împărțiți 53 la 101.
Am primit deja cinci cifre în coeficient, dar împărțirea nu s-a încheiat încă și nu există nicio speranță că se va termina vreodată, deoarece în rest începem să avem numere care au fost deja întâlnite înainte. În coeficient se vor repeta și numerele: este evident că după numărul 7 va apărea numărul 5, apoi 2 etc. la nesfârșit. În astfel de cazuri, împărțirea este întreruptă și limitată la primele câteva cifre ale coeficientului. Acest coeficient se numeste cei apropiati. Vom arăta cu exemple cum se efectuează împărțirea.
Să fie necesar să se împartă 25 la 3. Evident, dintr-o astfel de împărțire nu se poate obține un coeficient exact, exprimat ca număr întreg sau fracție zecimală. Prin urmare, vom căuta un coeficient aproximativ:
25: 3 = 8 și restul 1
Coeficientul aproximativ este 8; este, desigur, mai mic decât câtul exact, deoarece există un rest 1. Pentru a obține câtul exact, trebuie să adăugați fracția care se obține prin împărțirea restului egal cu 1 la 3 la câtul aproximativ găsit, adică. , la 8; aceasta va fi o fracție 1/3. Aceasta înseamnă că câtul exact va fi exprimat ca un număr mixt 8 1/3. Deoarece 1/3 este o fracție proprie, adică o fracție, mai putin de unul, apoi, aruncând-o, vom permite eroare, care mai putin de unul. Coeficientul 8 va fi coeficientul aproximativ până la unitate cu un dezavantaj. Dacă în loc de 8 luăm 9 în coeficient, atunci vom permite și o eroare mai mică de unu, deoarece nu vom adăuga întreaga unitate, ci 2/3. Un astfel de testament privat coeficientul aproximativ la unul cu exces.
Să luăm acum un alt exemplu. Să presupunem că trebuie să împărțim 27 la 8. Deoarece aici nu vom obține un coeficient exact exprimat ca un număr întreg, vom căuta un coeficient aproximativ:
27: 8 = 3 și restul 3.
Aici eroarea este egală cu 3/8, este mai mică decât unu, ceea ce înseamnă că coeficientul aproximativ (3) a fost găsit corect pentru unul cu dezavantaj. Să continuăm împărțirea: împărțim restul de 3 în zecimi, obținem 30 de zecimi; împărțiți-le la 8.
Am primit 3 în coeficient în loc de zecimi și 6 zecimi în rest. Dacă ne limităm la numărul 3.3 și renunțăm la restul de 6, atunci vom permite o eroare mai mică de o zecime. De ce? Pentru că câtul exact s-ar obține atunci când am adăuga la 3,3 rezultatul împărțirii a 6 zecimi la 8; această împărțire ar da 6/80, care este mai puțin de o zecime. (Verifică!) Astfel, dacă în coeficient ne limităm la zecimi, atunci putem spune că am găsit coeficientul precisă cu o zecime(cu un dezavantaj).
Să continuăm împărțirea pentru a găsi o altă zecimală. Pentru a face acest lucru, împărțim 6 zecimi în sutimi și obținem 60 de sutimi; împărțiți-le la 8.
În coeficientul de pe locul trei s-a dovedit a fi 7, iar restul de 4 sutimi; dacă le aruncăm, vom permite o eroare mai mică de o sutime, deoarece 4 sutimi împărțite la 8 este mai mică de o sutime. În astfel de cazuri ei spun că a fost găsit coeficientul precisă la o sutime(cu un dezavantaj).
În exemplul pe care îl analizăm acum, putem obține câtul exact exprimat ca fracție zecimală. Pentru a face acest lucru, este suficient să împărțiți ultimul rest, 4 sutimi, în miimi și să împărțiți la 8.
Cu toate acestea, în marea majoritate a cazurilor este imposibil să se obțină un coeficient exact și trebuie să te limitezi la valorile lui aproximative. Ne vom uita acum la acest exemplu:
40: 7 = 5,71428571...
Punctele plasate la sfârșitul numărului indică faptul că împărțirea nu este finalizată, adică egalitatea este aproximativă. De obicei egalitatea aproximativă se scrie după cum urmează:
40: 7 = 5,71428571.
Am luat coeficientul cu opt zecimale. Dar dacă nu este necesară o precizie atât de mare, vă puteți limita doar la întreaga parte a coeficientului, adică numărul 5 (mai precis 6); pentru o mai mare acuratețe, s-ar putea lua în considerare zecimi și s-ar putea lua coeficientul egal cu 5,7; dacă din anumite motive această precizie este insuficientă, atunci vă puteți opri la sutimi și luați 5,71 etc. Să scriem coeficientii individuali și să le numim.
Primul coeficient aproximativ exact la unu 6.
A doua » » » la o zecime 5.7.
Al treilea » » » la o sutime 5.71.
Al patrulea » » » la o miime 5.714.
Astfel, pentru a găsi un coeficient aproximativ corect pentru unii, de exemplu, a treia zecimală (adică până la o miime), opriți împărțirea imediat ce acest semn este găsit. În acest caz, trebuie să vă amintiți regula stabilită la § 40.
§ 113. Cele mai simple probleme care implică procente.
După ce învățăm despre zecimale, vom face mai multe probleme de procente.
Aceste probleme sunt asemănătoare cu cele pe care le-am rezolvat în departamentul de fracții; dar acum vom scrie sutimile sub formă de fracții zecimale, adică fără un numitor desemnat în mod explicit.
În primul rând, trebuie să puteți trece cu ușurință de la o fracție obișnuită la o zecimală cu numitorul 100. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți numărătorul la numitor:
Tabelul de mai jos arată cum un număr cu un simbol % (procent) este înlocuit cu o fracție zecimală cu numitorul 100:
Să luăm acum în considerare câteva probleme.
1. Aflarea procentului unui număr dat.
Sarcina 1. Doar 1.600 de oameni trăiesc într-un sat. Numărul copiilor de vârstă școlară reprezintă 25% din populația totală. Câți copii de vârstă școlară sunt în acest sat?
În această problemă trebuie să găsiți 25%, sau 0,25, din 1 600. Problema este rezolvată prin înmulțirea:
1.600 0,25 = 400 (copii).
Prin urmare, 25% din 1.600 este 400.
Pentru a înțelege clar această sarcină, este util să reamintim că pentru fiecare sută de populație există 25 de copii de vârstă școlară. Prin urmare, pentru a afla numărul tuturor copiilor de vârstă școlară, puteți afla mai întâi câte sute sunt în numărul 1.600 (16), apoi înmulțiți 25 cu numărul sutelor (25 x 16 = 400). În acest fel puteți verifica validitatea soluției.
Sarcina 2. Băncile de economii oferă deponenților un randament de 2% anual. Cât de mult va primi un deponent într-un an dacă pune în casa de marcat: a) 200 de ruble? b) 500 de ruble? c) 750 de ruble? d) 1000 rub.?
În toate cele patru cazuri, pentru a rezolva problema, va trebui să calculați 0,02 din sumele indicate, adică fiecare dintre aceste numere va trebui înmulțit cu 0,02. Hai să o facem:
a) 200 0,02 = 4 (frecare),
b) 500 0,02 = 10 (frecare),
c) 750 0,02 = 15 (frecare),
d) 1.000 0,02 = 20 (frec.).
Fiecare dintre aceste cazuri poate fi verificat prin următoarele considerații. Băncile de economii oferă investitorilor 2% venit, adică 0,02 din suma depusă în economii. Dacă suma a fost de 100 de ruble, atunci 0,02 din aceasta ar fi 2 ruble. Aceasta înseamnă că fiecare sută aduce investitorului 2 ruble. sursa de venit. Prin urmare, în fiecare dintre cazurile luate în considerare, este suficient să ne dăm seama câte sute există într-un anumit număr și să înmulțiți 2 ruble cu acest număr de sute. În exemplul a) sunt 2 sute, ceea ce înseamnă
2 2 = 4 (frec.).
În exemplul d) sunt 10 sute, ceea ce înseamnă
2 10 = 20 (frec.).
2. Găsirea unui număr după procentajul său.
Sarcina 1.Școala a absolvit în primăvară 54 de elevi, reprezentând 6% din numărul total de înscrieri. Câți elevi au fost în școală anul trecut?
Să clarificăm mai întâi sensul acestei sarcini. Școala a absolvit 54 de elevi, adică 6% din numărul total de elevi sau, cu alte cuvinte, 6 sutimi (0,06) din totalul elevilor din școală. Aceasta înseamnă că știm partea elevilor exprimată prin numărul (54) și fracția (0,06), iar din această fracție trebuie să aflăm întregul număr. Astfel, avem în fața noastră o sarcină obișnuită de a găsi un număr din fracția sa (§90, paragraful 6). Problemele de acest tip sunt rezolvate prin împărțire:
Asta înseamnă că în școală erau doar 900 de elevi.
Este util să verificați astfel de probleme prin rezolvarea problemei inverse, adică după rezolvarea problemei, ar trebui, cel puțin în minte, să rezolvați o problemă de primul tip (găsirea procentului unui număr dat): luați numărul găsit ( 900) așa cum este dat și găsiți procentul din acesta indicat în problema rezolvată și anume:
900 0,06 = 54.
Sarcina 2. Familia cheltuiește 780 de ruble pe mâncare în timpul lunii, ceea ce reprezintă 65% din câștigurile lunare ale tatălui. Stabiliți-i salariul lunar.
Această sarcină are aceeași semnificație ca și cea anterioară. Oferă o parte din câștigurile lunare, exprimate în ruble (780 de ruble) și indică faptul că această parte reprezintă 65%, sau 0,65, din câștigurile totale. Și ceea ce cauți sunt toate câștigurile:
780: 0,65 = 1 200.
Prin urmare, venitul necesar este de 1200 de ruble.
3. Aflarea procentului de numere.
Sarcina 1.În biblioteca școlii sunt doar 6.000 de cărți. Printre acestea se numără 1.200 de cărți despre matematică. Ce procent din cărțile de matematică reprezintă numărul total de cărți din bibliotecă?
Am luat deja în considerare (§97) probleme de acest fel și am ajuns la concluzia că pentru a calcula procentul a două numere, trebuie să găsiți raportul acestor numere și să îl înmulțiți cu 100.
În problema noastră trebuie să găsim raportul procentual al numerelor 1.200 și 6.000.
Să găsim mai întâi raportul lor și apoi să îl înmulțim cu 100:
Astfel, procentul numerelor 1.200 și 6.000 este 20. Cu alte cuvinte, cărțile de matematică reprezintă 20% din numărul total al tuturor cărților.
Pentru a verifica, să rezolvăm problema inversă: găsiți 20% din 6.000:
6 000 0,2 = 1 200.
Sarcina 2. Uzina ar trebui să primească 200 de tone de cărbune. Au fost deja livrate 80 de tone Ce procent de cărbune a fost livrat fabricii?
Această problemă întreabă ce procent este un număr (80) față de altul (200). Raportul acestor numere va fi 80/200. Să o înmulțim cu 100:
Aceasta înseamnă că 40% din cărbune a fost livrat.