Acasă Diagnostic și boli Găsește-ți propriile vectori online. Valori proprii (numere) și vectori proprii Exemple de soluții

Găsește-ți propriile vectori online. Valori proprii (numere) și vectori proprii Exemple de soluții

Matricele diagonale au cea mai simplă structură. Se pune întrebarea dacă este posibil să se găsească o bază în care matricea operatorului liniar să aibă o formă diagonală. O astfel de bază există.
Să fie dat un spațiu liniar R n și un operator liniar A care acționează în el; în acest caz, operatorul A ia R n în sine, adică A:R n → R n .

Definiție. Un vector diferit de zero se numește vector propriu al operatorului A dacă operatorul A se traduce într-un vector coliniar, adică. Numărul λ se numește valoare proprie sau valoare proprie a operatorului A, corespunzătoare vectorului propriu.
Să notăm câteva proprietăți ale valorilor proprii și ale vectorilor proprii.
1. Orice combinație liniară de vectori proprii operatorul A care corespunde aceleiași valori proprii λ este un vector propriu cu aceeași valoare proprie.
2. Vectori proprii operatorul A cu valori proprii diferite în perechi λ 1 , λ 2 , …, λ m sunt liniar independenți.
3. Dacă valorile proprii λ 1 =λ 2 = λ m = λ, atunci valoarea proprie λ corespunde nu mai mult de m vectori proprii liniar independenți.

Deci, dacă există n vectori proprii liniar independenți , corespunzătoare diferitelor valori proprii λ 1, λ 2, ..., λ n, atunci acestea sunt liniar independente, prin urmare, pot fi luate ca bază a spațiului R n. Să găsim forma matricei operatorului liniar A pe baza vectorilor proprii ai acestuia, pentru care vom acționa cu operatorul A pe vectorii de bază: Apoi .
Astfel, matricea operatorului liniar A pe baza vectorilor proprii are o formă diagonală, iar valorile proprii ale operatorului A sunt de-a lungul diagonalei.
Există o altă bază în care matricea are o formă diagonală? Răspunsul la această întrebare este dat de următoarea teoremă.

Teorema. Matricea operatorului liniar A din baza (i = 1..n) are o formă diagonală dacă și numai dacă toți vectorii bazei sunt vectori proprii operatorul A.

Regula pentru găsirea valorilor proprii și vectorilor proprii

Fie dat un vector

, unde x 1, x 2, …, x n sunt coordonatele vectorului relativ la bază

și este vectorul propriu al operatorului liniar A corespunzător valorii proprii λ, adică. Această relație poate fi scrisă sub formă de matrice

. (*)

Ecuația (*) poate fi considerată ca o ecuație pentru găsirea , și , adică ne interesează soluțiile netriviale, deoarece vectorul propriu nu poate fi zero. Se știe că soluțiile netriviale ale unui sistem omogen ecuatii lineare există dacă și numai dacă det(A - λE) = 0. Astfel, pentru ca λ să fie o valoare proprie a operatorului A este necesar și suficient ca det(A - λE) = 0.
Dacă ecuația (*) este scrisă în detaliu sub formă de coordonate, atunci obținem un sistem liniar ecuații omogene:

(1)
Unde - matrice operator liniar.

Sistemul (1) are o soluție diferită de zero dacă determinantul său D este egal cu zero

Am primit o ecuație pentru găsirea valorilor proprii.
Această ecuație se numește ecuație caracteristică și ea partea stanga- polinomul caracteristic al matricei (operatorul) A. Dacă polinomul caracteristic nu are rădăcini reale, atunci matricea A nu are vectori proprii și nu poate fi redusă la formă diagonală.
Fie λ 1, λ 2, …, λ n rădăcinile reale ale ecuației caracteristice, iar printre ele pot exista multipli. Înlocuind aceste valori la rândul lor în sistemul (1), găsim vectorii proprii.

Exemplul 12. Operatorul liniar A acţionează în R 3 conform legii, unde x 1, x 2, .., x n sunt coordonatele vectorului din bază , , . Găsiți valorile proprii și vectorii proprii ai acestui operator.
Soluţie. Construim matricea acestui operator:
.
Creăm un sistem pentru determinarea coordonatelor vectorilor proprii:

Compunem o ecuație caracteristică și o rezolvăm:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Înlocuind λ = -1 în sistem, avem:
sau
Deoarece , atunci există două variabile dependente și o variabilă liberă.
Fie x 1 o necunoscută liberă, atunci Rezolvăm acest sistem în orice fel și găsim decizie comună al acestui sistem: Sistemul fundamental de soluții constă dintr-o singură soluție, deoarece n - r = 3 - 2 = 1.
Mulțimea vectorilor proprii corespunzători valorii proprii λ = -1 are forma: , unde x 1 este orice număr altul decât zero. Să alegem un vector din această mulțime, de exemplu, punând x 1 = 1: .
Raționând în mod similar, găsim vectorul propriu corespunzător valorii proprii λ = 3: .
În spațiul R 3, baza constă din trei vectori liniar independenți, dar am primit doar doi vectori proprii liniar independenți, din care nu poate fi compusă baza din R 3. În consecință, nu putem reduce matricea A a unui operator liniar la formă diagonală.

Exemplul 13. Dată o matrice .
1. Demonstrați că vectorul este un vector propriu al matricei A. Găsiți valoarea proprie corespunzătoare acestui vector propriu.
2. Găsiți o bază în care matricea A are formă diagonală.
Soluţie.
1. Dacă , atunci este un vector propriu

.
Vectorul (1, 8, -1) este un vector propriu. Valoare proprie λ = -1.
Matricea are o formă diagonală într-o bază formată din vectori proprii. Unul dintre ei este celebru. Hai să găsim restul.
Căutăm vectori proprii din sistem:

Ecuația caracteristică: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Să găsim vectorul propriu corespunzător valorii proprii λ = -3:

Rangul matricei acestui sistem este doi și egal cu numărul de necunoscute, deci acest sistem are doar o soluție zero x 1 = x 3 = 0. x 2 aici poate fi orice altceva decât zero, de exemplu, x 2 = 1. Astfel, vectorul (0 ,1,0) este un vector propriu corespunzător lui λ = -3. Sa verificam:
.
Dacă λ = 1, atunci obținem sistemul
Rangul matricei este doi. Tăiem ultima ecuație.
Fie x 3 o necunoscută liberă. Atunci x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Presupunând x 3 = 1, avem (-3,-9,1) - un vector propriu corespunzător valorii proprii λ = 1. Verificați:

.
Deoarece valorile proprii sunt reale și distincte, vectorii corespunzători acestora sunt independenți liniar, deci pot fi luați ca bază în R 3 . Astfel, în bază , , matricea A are forma:
.
Nu orice matrice a unui operator liniar A:R n → R n poate fi redusă la formă diagonală, deoarece pentru unii operatori liniari pot exista mai puțin de n vectori proprii liniari independenți. Cu toate acestea, dacă matricea este simetrică, atunci rădăcina ecuației caracteristice a multiplicității m corespunde exact m vectori independenți liniar.

Definiție. O matrice simetrică este o matrice pătrată în care elementele simetrice față de diagonala principală sunt egale, adică în care .
Note. 1. Toate valorile proprii ale unei matrice simetrice sunt reale.
2. Vectorii proprii ai unei matrice simetrice corespunzători diferitelor valori proprii în perechi sunt ortogonali.
Ca una dintre numeroasele aplicații ale aparatului studiat, considerăm problema determinării tipului unei curbe de ordinul doi.

Definiție 9.3. Vector X numit vector propriu matrici A, dacă există un astfel de număr λ, că egalitatea este valabilă: A X= λ X, adică rezultatul aplicării la X transformare liniară specificată de matrice A, este înmulțirea acestui vector cu numărul λ . Numărul în sine λ numit valoare proprie matrici A.

Înlocuirea în formule (9.3) x` j = λx j , obținem un sistem de ecuații pentru determinarea coordonatelor vectorului propriu:

. (9.5)

Acest sistem liniar omogen va avea soluție nebanală numai dacă principalul său determinant este 0 (regula lui Cramer). Scriind această condiție sub forma:

obţinem o ecuaţie pentru determinarea valorilor proprii λ , numit ecuație caracteristică. Pe scurt, poate fi reprezentat astfel:

| A - λE | = 0, (9.6)

întrucât partea stângă a acestuia conține determinantul matricei A-λE. Relativ polinom λ | A - λE| numit polinom caracteristic matricele A.

Proprietățile polinomului caracteristic:

1) Polinomul caracteristic al unei transformări liniare nu depinde de alegerea bazei. Dovada. (vezi (9.4)), dar prin urmare, . Astfel, nu depinde de alegerea bazei. Aceasta înseamnă că | A-λE| nu se schimbă la trecerea la o nouă bază.

2) Dacă matricea A transformarea liniară este simetric(acestea. și ij =a ji), atunci toate rădăcinile ecuației caracteristice (9.6) sunt numere reale.

Proprietăți ale valorilor proprii și ale vectorilor proprii:

1) Dacă alegeți o bază din vectorii proprii x 1, x 2, x 3 , corespunzătoare valorilor proprii λ 1, λ 2, λ 3 matrici A, atunci în această bază transformarea liniară A are o matrice de formă diagonală:

(9.7) Dovada acestei proprietăți rezultă din definiția vectorilor proprii.

2) Dacă valorile proprii ale transformării A sunt diferiți, atunci vectorii lor proprii corespunzători sunt liniar independenți.

3) Dacă polinomul caracteristic al matricei A are trei rădăcini diferite, apoi într-o anumită bază matricea A are un aspect diagonal.

Să găsim valorile proprii și vectorii proprii ai matricei Să creăm o ecuație caracteristică: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Să găsim coordonatele vectorilor proprii corespunzători fiecărei valori găsite λ. Din (9.5) rezultă că dacă X (1) ={x 1 ,x 2 ,x 3) – vector propriu corespunzător λ 1 =-2, atunci

- un sistem cooperant, dar incert. Soluția sa poate fi scrisă sub formă X (1) ={A,0,-A), unde a este orice număr. În special, dacă solicităm ca | X (1) |=1, X (1) =

Înlocuirea în sistem (9.5) λ 2 =3, obținem un sistem de determinare a coordonatelor celui de-al doilea vector propriu - X (2) ={y 1 ,y 2 ,y 3}:

, Unde X (2) ={b,-b,b) sau, cu condiția | X (2) |=1, X (2) =

Pentru λ 3 = 6 găsiți vectorul propriu X (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:

, X (3) ={c,2c,c) sau în versiunea normalizată

x (3) = Se poate observa că X (1) X (2) = ab–ab= 0, X (1) X (3) = ac-ac= 0, X (2) X (3) = bc- 2bc + bc= 0. Astfel, vectorii proprii ai acestei matrice sunt ortogonali pe perechi.

Cursul 10.

Formele pătratice și legătura lor cu matrici simetrice. Proprietăți ale vectorilor proprii și ale valorilor proprii ale unei matrice simetrice. Reducerea unei forme pătratice la forma canonică.

Definiția 10.1.Forma pătratică variabile reale x 1, x 2,…, x n se numeste polinom de gradul II in aceste variabile care nu contine un termen liber si termeni de gradul I.

Exemple de forme pătratice:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Să ne amintim definiția unei matrice simetrice dată în ultima prelegere:

Definiția 10.2. Matricea pătrată se numește simetric, dacă , adică dacă elementele matricei care sunt simetrice față de diagonala principală sunt egale.

Proprietăți ale valorilor proprii și ale vectorilor proprii ai unei matrice simetrice:

1) Toate valorile proprii ale unei matrice simetrice sunt reale.

Dovada (pentru n = 2).

Lasă matricea A are forma: . Să creăm o ecuație caracteristică:

(10.2) Să găsim discriminantul:

Prin urmare, ecuația are doar rădăcini reale.

2) Vectorii proprii ai unei matrice simetrice sunt ortogonali.

Dovada (pentru n= 2).

Coordonatele vectorilor proprii și trebuie să satisfacă ecuațiile.

„Prima parte prezintă prevederile care sunt minim necesare pentru înțelegerea chimiometriei, iar a doua parte conține faptele pe care trebuie să le cunoașteți pentru o înțelegere mai profundă a metodelor de analiză multivariată. Prezentarea este ilustrată cu exemple realizate în caietul de lucru Excel. Matrix.xls, care însoțește acest document.

Legăturile către exemple sunt plasate în text ca obiecte Excel. Aceste exemple sunt de natură abstractă; ele nu sunt în niciun fel legate de problemele chimiei analitice. Exemple din viața reală de utilizare a algebrei matriceale în chimiometrie sunt discutate în alte texte care acoperă o varietate de aplicații chimiometrice.

Majoritatea măsurătorilor efectuate în chimia analitică nu sunt directe, dar indirect. Aceasta înseamnă că în experiment, în locul valorii analitului dorit C (concentrația), se obține o altă valoare. X(semnal), înrudit dar nu egal cu C, i.e. X(C) ≠ C. De regulă, tipul de dependență X(C) este necunoscut, dar din fericire în chimia analitică, majoritatea măsurătorilor sunt proporționale. Aceasta înseamnă că, odată cu creșterea concentrației de C în A de ori, semnalul X va crește cu aceeași cantitate, adică X(A C) = un x(C). În plus, semnalele sunt și aditive, deci semnalul de la o probă în care sunt prezente două substanțe cu concentrații C 1 și C 2 va fi egal cu suma semnalelor de la fiecare componentă, adică. X(C1 + C2) = X(C1)+ X(C 2). Proporționalitatea și aditivitatea împreună dau liniaritatea. Pot fi date multe exemple pentru a ilustra principiul liniarității, dar este suficient să menționăm cele două exemple cele mai izbitoare - cromatografia și spectroscopie. A doua caracteristică inerentă unui experiment de chimie analitică este multicanal. Echipamentele analitice moderne măsoară simultan semnalele pentru mai multe canale. De exemplu, intensitatea transmisiei luminii este măsurată pentru mai multe lungimi de undă simultan, adică gamă. Prin urmare, în experiment ne ocupăm de multe semnale X 1 , X 2 ,...., X n, care caracterizează ansamblul concentraţiilor C 1 , C 2 , ..., C m de substanţe prezente în sistemul studiat.

Orez. 1 Spectre

Deci, un experiment analitic este caracterizat de liniaritate și multidimensionalitate. Prin urmare, este convenabil să se considere datele experimentale ca vectori și matrice și să le manipuleze folosind aparatul algebrei matriceale. Productivitatea acestei abordări este ilustrată de exemplul prezentat în, care prezintă trei spectre luate la 200 de lungimi de undă de la 4000 la 4796 cm -1. În primul rând ( X 1) și al doilea ( X 2) spectrele au fost obținute pentru probe standard în care se cunosc concentrațiile a două substanțe A și B: în prima probă [A] = 0,5, [B] = 0,1, iar în a doua probă [A] = 0,2, [ B] = 0,6. Ce se poate spune despre o probă nouă, necunoscută, al cărei spectru este indicat X 3 ?

Să luăm în considerare trei spectre experimentale X 1 , X 2 și X 3 ca trei vectori de dimensiunea 200. Folosind algebra liniară, se poate arăta cu ușurință că X 3 = 0.1 X 1 +0.3 X 2, deci a treia probă conține evident doar substanțele A și B în concentrații [A] = 0,5×0,1 + 0,2×0,3 = 0,11 și [B] = 0,1×0,1 + 0,6×0,3 = 0,19.

1. Informații de bază

1.1 Matrici

Matrice numit tabel dreptunghiular de numere, de exemplu

Orez. 2 Matrice

Matricele sunt notate cu majuscule aldine ( A), și elementele acestora - prin litere mici corespunzătoare cu indici, i.e. A ij. Primul index numește rândurile, iar al doilea - coloanele. În chimiometrie, se obișnuiește să se noteze valoarea maximă a unui index cu aceeași literă ca și indicele în sine, dar cu majuscule. Prin urmare matricea A poate fi scris și ca ( A ij , i = 1,..., eu; j = 1,..., J). Pentru exemplul de matrice eu = 4, J= 3 și A 23 = −7.5.

Pereche de numere euȘi J se numește dimensiunea matricei și se notează ca eu× J. Un exemplu de matrice în chimiometrie este un set de spectre obţinute pentru eu mostre pentru J lungimi de undă.

1.2. Cele mai simple operații cu matrici

Matricele pot fi inmultiti cu numere. În acest caz, fiecare element este înmulțit cu acest număr. De exemplu -

Orez. 3 Înmulțirea unei matrice cu un număr

Două matrice de aceeași dimensiune pot fi element cu element pliazăȘi scădea. De exemplu,

Orez. 4 Adăugarea matricei

Ca rezultat al înmulțirii cu un număr și al adunării, se obține o matrice de aceeași dimensiune.

O matrice zero este o matrice formată din zerouri. Este desemnat O. Este evident că A+O = A, A−A = O si 0 A = O.

Matricea poate fi transpune. În timpul acestei operațiuni, matricea este răsturnată, adică rândurile și coloanele sunt schimbate. Transpunerea este indicată de un prim, A" sau index A t. Astfel, dacă A = {A ij , i = 1,..., eu; j = 1,...,J), Acea A t = ( A ji , j = 1,...,J; i = 1,..., eu). De exemplu

Orez. 5 Transpunerea matricei

Este evident că ( A t) t = A, (A+B) t =A t+ B t.

1.3. Înmulțirea matricei

Matricele pot fi multiplica, dar numai dacă au dimensiunile corespunzătoare. De ce este așa va fi clar din definiție. Produs Matrix A, dimensiune eu× K, și matrice B, dimensiune K× J, se numește matrice C, dimensiune eu× J, ale căror elemente sunt numere

Astfel pentru produs AB este necesar ca numărul de coloane din matricea din stânga A a fost egal cu numărul de rânduri din matricea dreaptă B. Un exemplu de produs matrice -

Fig.6 Produsul matricelor

Regula pentru înmulțirea matricei poate fi formulată după cum urmează. Pentru a găsi un element de matrice C, stând la intersecție i-a linia și j a coloana ( c ij) trebuie înmulțit element cu element i--lea rând al primei matrice A pe j a doua coloană a celei de-a doua matrice Bși adună toate rezultatele. Deci, în exemplul prezentat, un element din al treilea rând și din a doua coloană este obținut ca sumă a produselor în funcție de elemente ale celui de-al treilea rând Ași a doua coloană B

Fig.7 Element al produsului matricelor

Produsul matricelor depinde de ordine, i.e. AB ≠ B.A., cel putin din motive dimensionale. Ei spun că nu este comutativ. Totuși, produsul matricelor este asociativ. Înseamnă că ABC = (AB)C = A(B.C.). În plus, este și distributiv, adică A(B+C) = AB+A.C.. Este evident că A.O. = O.

1.4. Matrici pătrate

Dacă numărul coloanelor matricei este egal cu numărul rândurilor sale ( eu = J=N), atunci o astfel de matrice se numește pătrat. În această secțiune vom lua în considerare numai astfel de matrici. Dintre aceste matrici se pot distinge matrice cu proprietăți speciale.

Singur matrice (notat eu, si cateodata E) este o matrice în care toate elementele sunt egale cu zero, cu excepția celor diagonale, care sunt egale cu 1, i.e.

Evident A.I. = IN ABSENTA. = A.

Matricea se numește diagonală, dacă toate elementele sale, cu excepția celor diagonale ( A ii) sunt egale cu zero. De exemplu

Orez. 8 Matrice diagonală

Matrice A numit vârf triunghiular, dacă toate elementele sale situate sub diagonală sunt egale cu zero, i.e. A ij= 0, la i>j. De exemplu

Orez. 9 Matricea triunghiulară superioară

Matricea triunghiulară inferioară este definită în mod similar.

Matrice A numit simetric, Dacă A t = A. Cu alte cuvinte A ij = A ji. De exemplu

Orez. 10 Matricea simetrică

Matrice A numit ortogonală, Dacă

A t A = A.A. t = eu.

Matricea se numește normal Dacă

1.5. Urmă și determinant

Următorul matrice pătrată A(notat cu Tr( A) sau Sp( A)) este suma elementelor sale diagonale,

De exemplu,

Orez. 11 Urmă matrice

Este evident că

Sp(α A) = α Sp( A) Și

Sp( A+B) = Sp( A)+ Sp( B).

Se poate arăta că

Sp( A) = Sp( A t), Sp( eu) = N,

și de asemenea că

Sp( AB) = Sp( B.A.).

O altă caracteristică importantă a unei matrice pătrate este ea determinant(notat det( A)). Definiţia determinant in caz general destul de complicat, așa că vom începe cu cea mai simplă opțiune - matricea A dimensiunea (2×2). Apoi

Pentru o matrice (3×3) determinantul va fi egal cu

În cazul matricei ( N× N) determinantul se calculează ca suma 1·2·3· ... · N= N! termeni, fiecare dintre acestea fiind egal

Indici k 1 , k 2 ,..., k N sunt definite ca toate permutările ordonate posibile r numerele din multime (1, 2, ..., N). Calcularea determinantului unei matrice este o procedură complexă, care în practică se realizează folosind programe speciale. De exemplu,

Orez. 12 Determinant de matrice

Să notăm doar proprietățile evidente:

det( eu) = 1, det( A) = det( A t),

det( AB) = det( A)det( B).

1.6. Vectori

Dacă matricea constă dintr-o singură coloană ( J= 1), atunci un astfel de obiect este numit vector. Mai precis, un vector coloană. De exemplu

De asemenea, se pot lua în considerare matrici formate dintr-un rând, de exemplu

Acest obiect este, de asemenea, un vector, dar vector rând. Când analizăm datele, este important să înțelegem cu ce vectori avem de-a face - coloane sau rânduri. Deci, spectrul luat pentru o probă poate fi considerat ca un vector rând. Apoi, setul de intensități spectrale la o anumită lungime de undă pentru toate probele ar trebui tratat ca un vector coloană.

Dimensiunea unui vector este numărul elementelor sale.

Este clar că orice vector coloană poate fi transformat într-un vector rând prin transpunere, adică.

În cazurile în care forma vectorului nu este specificată în mod specific, ci pur și simplu se spune că este un vector, atunci ele înseamnă un vector coloană. De asemenea, vom respecta această regulă. Un vector este notat cu o literă minusculă, dreaptă, aldine. Un vector zero este un vector ale cărui elemente sunt zero. Este desemnat 0 .

1.7. Cele mai simple operații cu vectori

Vectorii pot fi adunați și înmulțiți cu numere în același mod ca matricele. De exemplu,

Orez. 13 Operații cu vectori

Doi vectori XȘi y sunt numite coliniar, dacă există un număr α astfel încât

1.8. Produse ale vectorilor

Doi vectori de aceeași dimensiune N poate fi multiplicat. Să fie doi vectori X = (X 1 , X 2 ,...,X N)t și y = (y 1 , y 2 ,...,y N) t . Ghidați de regula înmulțirii rând cu coloană, putem compune două produse din ele: X t yȘi X y t. Prima lucrare

numit scalar sau intern. Rezultatul său este un număr. Se notează și prin ( X,y)= X t y. De exemplu,

Orez. 14 Produs interior (scalar).

A doua piesa

numit extern. Rezultatul său este o matrice de dimensiuni ( N× N). De exemplu,

Orez. 15 Lucrări externe

Vectori, produs scalar care este egal cu zero se numesc ortogonală.

1.9. Norma vectoriala

Produsul scalar al unui vector cu el însuși se numește pătrat scalar. Această valoare

definește un pătrat lungime vector X. Pentru a indica lungimea (numită și norma vector) se folosește notația

De exemplu,

Orez. 16 Norma vectoriala

Vector lungime unitate (|| X|| = 1) se numește normalizat. Vector diferit de zero ( X ≠ 0 ) poate fi normalizat prin împărțirea lui la lungime, adică X = ||X|| (X/||X||) = ||X|| e. Aici e = X/||X|| - vector normalizat.

Vectorii sunt numiți ortonormali dacă toți sunt normalizați și ortogonali pe perechi.

1.10. Unghiul dintre vectori

Produsul scalar determină și colţφ între doi vectori XȘi y

Dacă vectorii sunt ortogonali, atunci cosφ = 0 și φ = π/2, iar dacă sunt coliniari, atunci cosφ = 1 și φ = 0.

1.11. Reprezentarea vectorială a unei matrice

Fiecare matrice A mărimea eu× J poate fi reprezentat ca un set de vectori

Aici fiecare vector A j este j a-a coloană și vectorul rând b i este i al-lea rând al matricei A

1.12. Vectori dependenți liniar

Vectori de aceeași dimensiune ( N) poate fi adăugat și înmulțit cu un număr, la fel ca matricele. Rezultatul va fi un vector de aceeași dimensiune. Să fie mai mulți vectori de aceeași dimensiune X 1 , X 2 ,...,X K și același număr de numere α α 1 , α 2 ,...,α K. Vector

y= α 1 X 1 + α 2 X 2 +...+ α K X K

numit combinație liniară vectori X k .

Dacă există astfel de numere diferite de zero α k ≠ 0, k = 1,..., K, Ce y = 0 , atunci un astfel de set de vectori X k numit dependent liniar. În caz contrar, se spune că vectorii sunt independenți liniar. De exemplu, vectori X 1 = (2, 2)t și X 2 = (−1, −1) t sunt dependente liniar, deoarece X 1 +2X 2 = 0

1.13. Rangul matricei

Luați în considerare un set de K vectori X 1 , X 2 ,...,X K dimensiuni N. Rangul acestui sistem de vectori este numărul maxim de vectori liniar independenți. De exemplu, în set

există doar doi vectori liniar independenți, de exemplu X 1 și X 2, deci rangul său este 2.

Evident, dacă există mai mulți vectori într-o mulțime decât dimensiunea lor ( K>N), atunci ele sunt în mod necesar dependente liniar.

Rangul matricei(notat prin rang( A)) este rangul sistemului de vectori din care este format. Deși orice matrice poate fi reprezentată în două moduri (vectori coloană sau rând), acest lucru nu afectează valoarea rangului, deoarece

1.14. matrice inversă

Matrice pătrată A se numeste nedegenerat daca are un unic verso matrice A-1, determinată de condiții

A.A. −1 = A −1 A = eu.

Matricea inversă nu există pentru toate matricele. O condiție necesară și suficientă pentru non-degenerare este

det( A) ≠ 0 sau rang( A) = N.

Inversarea matricei este o procedură complexă pentru care există programe speciale. De exemplu,

Orez. 17 Inversarea matricei

Să prezentăm formulele pentru cel mai simplu caz - o matrice 2×2

Dacă matrice AȘi B sunt nedegenerate, atunci

(AB) −1 = B −1 A −1 .

1.15. matrice pseudoinversă

Dacă matricea A este singular și matricea inversă nu există, atunci în unele cazuri puteți utiliza pseudoinvers matrice, care este definită ca o astfel de matrice A+ că

A.A. + A = A.

Matricea pseudoinversă nu este singura, iar forma sa depinde de metoda de construcție. De exemplu, pentru o matrice dreptunghiulară puteți folosi metoda Moore-Penrose.

Dacă numărul de coloane număr mai mic linii, atunci

A + =(A t A) −1 A t

De exemplu,

Orez. 17a Pseudo-inversie a unei matrice

Dacă numărul de coloane mai mult număr linii, atunci

A + =A t ( A.A. t) −1

1.16. Înmulțirea unui vector cu o matrice

Vector X poate fi înmulțit cu o matrice A dimensiune potrivită. În acest caz, vectorul coloană este înmulțit în dreapta Topor, iar rândul vectorial este în stânga X t A. Dacă dimensiunea vectorială J, și dimensiunea matricei eu× J atunci rezultatul va fi un vector de dimensiune eu. De exemplu,

Orez. 18 Înmulțirea unui vector cu o matrice

Dacă matricea A- pătrat ( eu× eu), apoi vectorul y = Topor are aceeași dimensiune ca X. Este evident că

A(α 1 X 1 + α 2 X 2) = α 1 Topor 1 + α 2 Topor 2 .

Prin urmare, matricele pot fi considerate transformări liniare ale vectorilor. În special Ix = X, Bou = 0 .

2. Informații suplimentare

2.1. Sisteme de ecuații liniare

Lăsa A- dimensiunea matricei eu× J, A b- vector de dimensiune J. Luați în considerare ecuația

Topor = b

relativ la vector X, dimensiuni eu. În esență, este un sistem de eu ecuații liniare cu J necunoscut X 1 ,...,X J. O soluție există dacă și numai dacă

rang( A) = rang( B) = R,

Unde B este o matrice extinsă de dimensiuni eu×( J+1), constând dintr-o matrice A, completat de o coloană b, B = (A b). În caz contrar, ecuațiile sunt inconsistente.

Dacă R = eu = J, atunci soluția este unică

X = A −1 b.

Dacă R < eu, atunci sunt multe diverse solutii, care poate fi exprimat printr-o combinație liniară J−R vectori. Sistem de ecuații omogene Topor = 0 cu matrice pătrată A (N× N) are o soluție netrivială ( X ≠ 0 ) dacă și numai dacă det( A) = 0. Dacă R= rang( A)<N, apoi sunt N−R soluții liniar independente.

2.2. Forme biliniare și pătratice

Dacă A este o matrice pătrată și XȘi y- vector al dimensiunii corespunzătoare, apoi produsul scalar al formei X t Ay numit biliniar formă definită de matrice A. La X = y expresie X t Topor numit pătratică formă.

2.3. Matrici definite pozitive

Matrice pătrată A numit definit pozitiv, dacă pentru orice vector diferit de zero X ≠ 0 ,

X t Topor > 0.

Definit în mod similar negativ (X t Topor < 0), nenegativ (X t Topor≥ 0) și negativ (X t Topor≤ 0) anumite matrice.

2.4. Descompunerea Cholesky

Dacă matricea simetrică A este definită pozitivă, atunci există o matrice triunghiulară unică U cu elemente pozitive, pentru care

A = U t U.

De exemplu,

Orez. 19 Descompunerea Cholesky

2.5. Descompunerea polară

Lăsa A este o matrice pătrată nesingulară de dimensiune N× N. Apoi există un unic polar performanţă

A = S.R.

Unde S este o matrice simetrică nenegativă și R este o matrice ortogonală. Matrici SȘi R poate fi definit în mod explicit:

S 2 = A.A. t sau S = (A.A. t) ½ și R = S −1 A = (A.A. t) -½ A.

De exemplu,

Orez. 20 Descompunerea polară

Dacă matricea A este degenerată, atunci descompunerea nu este unică - și anume: Sîncă singur, dar R poate mult. Descompunerea polară reprezintă matricea A ca o combinație de compresie/extensie Sși întoarce-te R.

2.6. Vectori proprii și valori proprii

Lăsa A este o matrice pătrată. Vector v numit vector propriu matrici A, Dacă

Av = λ v,

unde se numește numărul λ valoare proprie matrici A. Astfel, transformarea pe care o realizează matricea A deasupra vectorului v, se reduce la simpla întindere sau compresie cu un coeficient λ. Vectorul propriu este determinat până la înmulțire cu o constantă α ≠ 0, adică. Dacă v este un vector propriu, atunci α v- de asemenea un vector propriu.

2.7. Valori proprii

La matrice A, dimensiune ( N× N) nu poate fi mai mult de N valori proprii. Ei satisfac ecuație caracteristică

det( A − λ eu) = 0,

fiind ecuație algebrică N-a ordine. În special, pentru o matrice 2×2 ecuația caracteristică are forma

De exemplu,

Orez. 21 Valori proprii

Mulțimea valorilor proprii λ 1 ,..., λ N matrici A numit spectru A.

Spectrul are proprietăți diferite. În special

det( A) = λ 1 ×...×λ N,Sp( A) = λ 1 +...+λ N.

Valorile proprii ale unei matrice arbitrare pot fi numere complexe, dar dacă matricea este simetrică ( A t = A), atunci valorile sale proprii sunt reale.

2.8. Vectori proprii

La matrice A, dimensiune ( N× N) nu poate fi mai mult de N vectori proprii, fiecare dintre care corespunde propriei valori proprii. Pentru a determina vectorul propriu v n trebuie să rezolvăm un sistem de ecuații omogene

(A − λ n eu)v n = 0 .

Are o soluție non-trivială, deoarece det( A -λ n eu) = 0.

De exemplu,

Orez. 22 de vectori proprii

Vectorii proprii ai unei matrice simetrice sunt ortogonali.

Un vector propriu al unei matrice pătrate este unul care, atunci când este înmulțit cu o matrice dată, are ca rezultat un vector coliniar. Cu cuvinte simple, la înmulțirea unei matrice cu un vector propriu, acesta din urmă rămâne același, dar înmulțit cu un anumit număr.

Definiție

Un vector propriu este un vector diferit de zero V, care, atunci când este înmulțit cu o matrice pătrată M, devine el însuși mărit cu un număr λ. În notația algebrică arată astfel:

M × V = λ × V,

unde λ este valoarea proprie a matricei M.

Să ne uităm la un exemplu numeric. Pentru ușurința înregistrării, numerele din matrice vor fi separate prin punct și virgulă. Să avem o matrice:

M = 0; 4;
6; 10.

Să-l înmulțim cu un vector coloană:

V = -2;

Când înmulțim o matrice cu un vector coloană, obținem și un vector coloană. În limbaj matematic strict, formula pentru înmulțirea unei matrice 2 × 2 cu un vector coloană va arăta astfel:

M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
M21 × V11 + M22 × V21.

M11 înseamnă elementul matricei M situat în primul rând și prima coloană, iar M22 înseamnă elementul situat în al doilea rând și a doua coloană. Pentru matricea noastră, aceste elemente sunt egale cu M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Pentru un vector coloană, aceste valori sunt egale cu V11 = –2, V21 = 1. Conform acestei formule, obținem următorul rezultat al produsului unei matrice pătrate de un vector:

M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Pentru comoditate, să scriem vectorul coloană într-un rând. Deci, am înmulțit matricea pătrată cu vectorul (-2; 1), rezultând vectorul (4; -2). Evident, acesta este același vector înmulțit cu λ = -2. Lambda în acest caz desemnează valoarea proprie a matricei.

Un vector propriu al unei matrice este un vector coliniar, adică un obiect care nu își schimbă poziția în spațiu atunci când este înmulțit cu o matrice. Conceptul de coliniaritate în algebra vectorială este similar cu termenul de paralelism în geometrie. Într-o interpretare geometrică, vectorii coliniari sunt segmente direcționate paralele de lungimi diferite. Din vremea lui Euclid, știm că o linie are un număr infinit de linii paralele cu ea, așa că este logic să presupunem că fiecare matrice are un număr infinit de vectori proprii.

Din exemplul anterior este clar că vectorii proprii pot fi (-8; 4), și (16; -8) și (32, -16). Aceștia sunt toți vectori coliniari corespunzători valorii proprii λ = -2. Când înmulțim matricea originală cu acești vectori, vom ajunge totuși cu un vector care diferă de original de 2 ori. De aceea, atunci când se rezolvă probleme de găsire a unui vector propriu, este necesar să se găsească numai obiecte vectoriale liniar independente. Cel mai adesea, pentru o matrice n × n, există un număr n de vectori proprii. Calculatorul nostru este conceput pentru analiză matrici pătrate de ordinul doi, deci aproape întotdeauna rezultatul va fi doi vectori proprii, cu excepția cazului în care acestea coincid.

În exemplul de mai sus, știam în avans vectorul propriu al matricei originale și am determinat în mod clar numărul lambda. Cu toate acestea, în practică, totul se întâmplă invers: mai întâi se găsesc valorile proprii și abia apoi vectorii proprii.

Algoritm de rezolvare

Să ne uităm din nou la matricea originală M și să încercăm să găsim ambii vectori proprii. Deci matricea arată astfel:

M = 0; 4;
6; 10.

Mai întâi trebuie să determinăm valoarea proprie λ, care necesită calcularea determinantului următoarei matrice:

(0 − λ); 4;
6; (10 − λ).

Această matrice se obține prin scăderea necunoscutului λ din elementele de pe diagonala principală. Determinantul se determină folosind formula standard:

detA = M11 × M21 − M12 × M22
detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Deoarece vectorul nostru trebuie să fie diferit de zero, acceptăm ecuația rezultată ca fiind dependentă liniar și echivalăm determinantul nostru detA cu zero.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Să deschidem parantezele și să obținem ecuația caracteristică a matricei:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Acesta este standard ecuație pătratică, care trebuie rezolvată prin discriminant.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Rădăcina discriminantului este sqrt(D) = 14, prin urmare λ1 = -2, λ2 = 12. Acum pentru fiecare valoare lambda trebuie să găsim vectorul propriu. Să exprimăm coeficienții sistemului pentru λ = -2.

M − λ × E = 2; 4;
6; 12.

În această formulă, E este matricea identității. Pe baza matricei rezultate, creăm un sistem de ecuații liniare:

2x + 4y = 6x + 12y,

unde x și y sunt elementele vectorului propriu.

Să colectăm toate X-urile din stânga și toate Y-urile din dreapta. Evident - 4x = 8y. Împărțiți expresia la - 4 și obțineți x = –2y. Acum putem determina primul vector propriu al matricei, luând orice valoare a necunoscutelor (amintiți-vă de infinitatea de vectori proprii dependenți liniar). Să luăm y = 1, apoi x = –2. Prin urmare, primul vector propriu arată ca V1 = (–2; 1). Reveniți la începutul articolului. Acest obiect vector a fost cu care am înmulțit matricea pentru a demonstra conceptul de vector propriu.

Acum să găsim vectorul propriu pentru λ = 12.

M - λ × E = -12; 4
6; -2.

Să creăm același sistem de ecuații liniare;

-12x + 4y = 6x − 2y
-18x = -6y
3x = y.

Acum luăm x = 1, deci y = 3. Astfel, al doilea vector propriu arată ca V2 = (1; 3). La înmulțirea matricei originale cu vector dat, rezultatul va fi întotdeauna același vector înmulțit cu 12. Aceasta încheie algoritmul de soluție. Acum știți cum să determinați manual vectorul propriu al unei matrice.

determinant;
urmă, adică suma elementelor de pe diagonala principală;
rang, adică suma maxima rânduri/coloane liniar independente.

Programul funcționează conform algoritmului de mai sus, scurtând pe cât posibil procesul de soluție. Este important de subliniat că în program lambda este desemnat cu litera „c”. Să ne uităm la un exemplu numeric.

Exemplu de funcționare a programului

Să încercăm să determinăm vectorii proprii pentru următoarea matrice:

M = 5; 13;
4; 14.

Să introducem aceste valori în celulele calculatorului și să obținem răspunsul în următoarea formă:

Rangul matricei: 2;
Determinant de matrice: 18;
Urmă matrice: 19;
Calculul vectorului propriu: c 2 − 19,00c + 18,00 (ecuația caracteristică);
Calcul vectorului propriu: 18 (prima valoare lambda);
Calcul vectorului propriu: 1 (a doua valoare lambda);
Sistem de ecuații pentru vectorul 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
Sistem de ecuații pentru vectorul 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
Vectorul propriu 1: (1; 1);
Vectorul propriu 2: (-3,25; 1).

Astfel, am obținut doi vectori proprii liniar independenți.

Concluzie

algebră liniară și geometrie analitică- materii standard pentru orice boboc la o specialitate tehnică. Un numar mare de vectorii și matricele sunt înspăimântătoare, iar în astfel de calcule greoaie este ușor să faci greșeli. Programul nostru va permite elevilor să-și verifice calculele sau să rezolve automat problema găsirii unui vector propriu. Există și alte calculatoare de algebră liniară în catalogul nostru; utilizați-le în studii sau în muncă.

Valori proprii (numere) și vectori proprii.
Exemple de soluții

Fii tu însuți

Din ambele ecuații rezultă că .

Să o punem atunci: .

Ca urmare: – al doilea vector propriu.

Să repetăm Puncte importante solutii:

– sistemul rezultat are cu siguranță o soluție generală (ecuațiile sunt dependente liniar);

– selectăm „y” în așa fel încât să fie întreg și prima coordonată „x” să fie întreagă, pozitivă și cât mai mică.

– verificăm dacă soluția particulară satisface fiecare ecuație a sistemului.

Răspuns .

Au existat destule „puncte de control” intermediare, așa că verificarea egalității este, în principiu, inutilă.

ÎN diverse surse informații, coordonatele vectorilor proprii sunt destul de des scrise nu în coloane, ci în rânduri, de exemplu: (și, ca să fiu sincer, eu însumi sunt obișnuit să le notez pe rând). Această opțiune este acceptabilă, dar în funcție de subiect transformări liniare tehnic mai convenabil de utilizat vectori coloană.

Poate că soluția ți s-a părut foarte lungă, dar asta doar pentru că am comentat primul exemplu în detaliu.

Exemplul 2

Matrici

Să ne antrenăm singuri! Un exemplu aproximativ de sarcină finală la sfârșitul lecției.

Uneori trebuie să faci sarcină suplimentară, și anume:

scrieți descompunerea matricei canonice

Ce este?

Dacă vectorii proprii ai matricei formează bază, atunci poate fi reprezentat ca:

Unde este o matrice compusă din coordonatele vectorilor proprii, – diagonală matrice cu valori proprii corespunzătoare.

Această descompunere a matricei se numește canonic sau diagonală.

Să ne uităm la matricea primului exemplu. Vectorii săi proprii liniar independent(necoliniare) și formează o bază. Să creăm o matrice cu coordonatele lor:

Pe diagonala principală matrici în ordinea corespunzătoare valorile proprii sunt localizate, iar elementele rămase sunt egale cu zero:
– Subliniez încă o dată importanța ordinii: „doi” corespunde primului vector și, prin urmare, este situat în prima coloană, „trei” – al 2-lea vector.

Folosind algoritmul obișnuit pentru găsire matrice inversă sau metoda Gauss-Jordan găsim . Nu, nu este o greșeală de scriere! - înainte de tine este rar, ca eclipsă de soare un eveniment când inversul coincide cu matricea originală.

Rămâne să notăm descompunerea canonică a matricei:

Sistemul poate fi rezolvat folosind transformări elementare și în exemplele următoare vom recurge aceasta metoda. Dar aici metoda „școală” funcționează mult mai rapid. Din ecuația a 3-a exprimăm: – înlocuiți în a doua ecuație:

Deoarece prima coordonată este zero, obținem un sistem, din fiecare ecuație din care rezultă că .

Și din nou acordați atenție prezenței obligatorii a unei relații liniare. Dacă se obţine doar o soluţie banală , atunci fie valoarea proprie a fost găsită incorect, fie sistemul a fost compilat/rezolvat cu o eroare.

Coordonatele compacte dau valoarea

Vector propriu:

Și încă o dată, verificăm că soluția găsită satisface fiecare ecuație a sistemului. În paragrafele următoare și în sarcinile ulterioare, recomand să luați această dorință ca regulă obligatorie.

2) Pentru valoarea proprie, folosind același principiu, obținem următorul sistem:

Din ecuația a 2-a a sistemului exprimăm: – înlocuiți în a treia ecuație:

Deoarece coordonata „zeta” este egală cu zero, obținem un sistem din fiecare ecuație din care urmează o dependență liniară.

Lăsa

Verificand ca solutia satisface fiecare ecuație a sistemului.

Astfel, vectorul propriu este: .

3) Și în sfârșit, sistemul corespunde valorii proprii:

A doua ecuație arată cea mai simplă, așa că haideți să o exprimăm și să o înlocuim în prima și a treia ecuație:

Totul este în regulă - a apărut o relație liniară, pe care o înlocuim în expresia:

Ca urmare, „x” și „y” au fost exprimate prin „z”: . În practică, nu este necesar să se realizeze exact astfel de relații; în unele cazuri este mai convenabil să se exprime atât prin sau prin . Sau chiar „antrenează” - de exemplu, „X” prin „I” și „I” prin „Z”

Să o punem atunci:

Verificăm dacă soluția a fost găsită satisface fiecare ecuație a sistemului și scrie al treilea vector propriu

Răspuns: vectori proprii:

Geometric, acești vectori definesc trei direcții spațiale diferite ("Acolo și înapoi din nou"), potrivit căreia transformare liniară transformă vectori nenuli (vectori proprii) în vectori coliniari.

Dacă condiția impunea găsirea descompunerii canonice, atunci acest lucru este posibil aici, deoarece valori proprii diferite corespund unor vectori proprii diferiți liniar independenți. Realizarea unei matrice din coordonatele lor, o matrice diagonală din relevante valori proprii și găsiți matrice inversă .

Dacă, prin condiție, trebuie să scrieți matrice de transformare liniară pe baza vectorilor proprii, apoi dăm răspunsul sub forma . Există o diferență, iar diferența este semnificativă! Deoarece această matrice este matricea „de”.

O problemă cu calcule mai simple pe care să le rezolvați singur:

Exemplul 5

Găsiți vectori proprii ai unei transformări liniare date de o matrice

Când vă găsiți propriile numere, încercați să nu mergeți până la un polinom de gradul 3. În plus, soluțiile dvs. de sistem pot diferi de soluțiile mele - nu există nicio certitudine aici; iar vectorii pe care îi găsiți pot diferi de vectorii eșantion până la proporționalitatea coordonatelor respective. De exemplu, și. Este mai plăcut din punct de vedere estetic să prezinți răspunsul în formă, dar este în regulă dacă te oprești la a doua opțiune. Cu toate acestea, există limite rezonabile pentru orice; versiunea nu mai arată foarte bine.

O mostră finală aproximativă a temei la sfârșitul lecției.

Cum se rezolvă problema în cazul mai multor valori proprii?

Algoritmul general rămâne același, dar are propriile sale caracteristici și este recomandabil să păstrați unele părți ale soluției într-un stil academic mai strict:

Exemplul 6

Găsiți valori proprii și vectori proprii

Soluţie

Desigur, să scriem cu majuscule prima coloană fabuloasă:

Și, după factorizarea trinomului pătratic:

Ca urmare, se obțin valori proprii, dintre care două sunt multiple.

Să găsim vectorii proprii:

1) Să ne ocupăm de un soldat singuratic conform unei scheme „simplificate”:

Din ultimele două ecuații, egalitatea este clar vizibilă, care, evident, ar trebui înlocuită în prima ecuație a sistemului:

Nu vei găsi o combinație mai bună:
Vector propriu:

2-3) Acum scoatem câteva santinele. În acest caz se poate dovedi fie doi, fie unul vector propriu. Indiferent de multiplicitatea rădăcinilor, substituim valoarea în determinant care ne aduce următorul sistem omogen de ecuații liniare:

Vectorii proprii sunt exact vectori
sistem fundamental de soluții

De fapt, pe parcursul întregii lecții nu am făcut altceva decât să găsim vectorii sistemului fundamental. Doar că, deocamdată, acest termen nu a fost deosebit de solicitat. Apropo, acei studenți deștepți care au ratat subiectul în costume de camuflaj ecuații omogene, va fi obligat să-l fumeze acum.

Singura acțiune a fost eliminarea liniilor suplimentare. Rezultatul este o matrice una câte trei cu un „pas” formal în mijloc.
– variabilă de bază, – variabile libere. Prin urmare, există două variabile libere există şi doi vectori ai sistemului fundamental.

Să exprimăm variabila de bază în termeni de variabile libere: . Multiplicatorul zero din fața lui „X” îi permite să preia absolut orice valoare (ceea ce este clar vizibil din sistemul de ecuații).

În contextul acestei probleme, este mai convenabil să scrieți soluția generală nu într-un rând, ci într-o coloană:

Perechea corespunde unui vector propriu:
Perechea corespunde unui vector propriu:

Notă : cititorii sofisticați pot selecta acești vectori pe cale orală - pur și simplu analizând sistemul , dar sunt necesare câteva cunoștințe aici: există trei variabile, rangul matricei sistemului- unul, ceea ce înseamnă sistem fundamental de decizie este format din 3 – 1 = 2 vectori. Cu toate acestea, vectorii găsiți sunt clar vizibili chiar și fără această cunoaștere, pur la nivel intuitiv. În acest caz, al treilea vector va fi scris și mai „frumos”: . Vă avertizez însă că într-un alt exemplu o simplă selecție poate să nu fie posibilă, motiv pentru care clauza este destinată persoanelor cu experiență. În plus, de ce să nu luăm, să zicem, ca al treilea vector? La urma urmei, coordonatele sale satisfac, de asemenea, fiecare ecuație a sistemului și vectorii liniar independent. Această opțiune, în principiu, este potrivită, dar „strâmbă”, deoarece vectorul „celălalt” este o combinație liniară de vectori ai sistemului fundamental.

Răspuns: valori proprii: , vectori proprii:

Exemplu similar pentru soluție independentă:

Exemplul 7

Găsiți valori proprii și vectori proprii

O mostră aproximativă a designului final la sfârșitul lecției.

Trebuie remarcat faptul că atât în al 6-lea, cât și în cel de-al 7-lea exemplu se obține un triplu de vectori proprii liniar independenți și, prin urmare, matricea originală este reprezentabilă în descompunerea canonică. Dar astfel de zmeură nu se întâmplă în toate cazurile:

Exemplul 8