Ecuațiile trigonometrice nu sunt un subiect ușor. Sunt prea diverse.) De exemplu, acestea:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
etc...
Dar acești monștri trigonometrici (și toți ceilalți) au două caracteristici comune și obligatorii. În primul rând - nu veți crede - există funcții trigonometrice în ecuații.) În al doilea rând: toate expresiile cu x sunt găsite în cadrul acestor aceleaşi funcţii.Și numai acolo! Dacă X apare undeva in afara, De exemplu, sin2x + 3x = 3, aceasta va fi deja o ecuație tip mixt. Astfel de ecuații necesită abordare individuală. Nu le vom lua în considerare aici.
Nici în această lecție nu vom rezolva ecuații malefice.) Aici ne vom ocupa de cele mai simple ecuații trigonometrice. De ce? Da pentru ca solutia orice ecuații trigonometrice constă din două etape. În prima etapă, ecuația malefica este redusă la una simplă printr-o varietate de transformări. Pe a doua, această ecuație cea mai simplă este rezolvată. Nici o alta cale.
Deci, dacă aveți probleme la a doua etapă, prima etapă nu are prea mult sens.)
Cum arată ecuațiile trigonometrice elementare?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Aici A reprezintă orice număr. Orice.
Apropo, în interiorul unei funcții poate să nu existe un X pur, ci un fel de expresie, cum ar fi:
cos(3x+π /3) = 1/2
etc. Acest lucru complică viața, dar nu afectează metoda de rezolvare a unei ecuații trigonometrice.
Cum se rezolvă ecuații trigonometrice?
Ecuațiile trigonometrice pot fi rezolvate în două moduri. Prima modalitate: folosind logica și cercul trigonometric. Vom privi aici această cale. A doua modalitate - folosirea memoriei și a formulelor - va fi discutată în lecția următoare.
Prima modalitate este clară, fiabilă și greu de uitat.) Este bună pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, a inegalităților și a tot felul de exemple nestandardizate complicate. Logica este mai puternică decât memoria!)
Rezolvarea ecuațiilor folosind un cerc trigonometric.
Includem logica elementară și capacitatea de a folosi cercul trigonometric. Nu știi cum? Totuși... Îți va fi greu în trigonometrie...) Dar nu contează. Aruncă o privire la lecțiile „Cercul trigonometric...... Ce este?” și „Măsurarea unghiurilor pe un cerc trigonometric”. Totul este simplu acolo. Spre deosebire de manuale...)
Oh stii tu!? Și chiar ați stăpânit „Lucrarea practică cu cercul trigonometric”!? Felicitări. Acest subiect vă va fi aproape și de înțeles.) Ceea ce este deosebit de plăcut este că cercul trigonometric nu-i pasă ce ecuație rezolvați. Sinus, cosinus, tangent, cotangent - totul este la fel pentru el. Există un singur principiu de soluție.
Deci luăm orice ecuație trigonometrică elementară. Cel putin asta:
cosx = 0,5
Trebuie să găsim X. Vorbind în limbaj uman, ai nevoie găsiți unghiul (x) al cărui cosinus este 0,5.
Cum am folosit anterior cercul? Am desenat un unghi pe el. În grade sau radiani. Și imediat a văzut funcţiile trigonometrice ale acestui unghi. Acum să facem invers. Să desenăm un cosinus pe cerc egal cu 0,5 și imediat vom vedea colţ. Rămâne doar să scrieți răspunsul.) Da, da!
Desenați un cerc și marcați cosinusul egal cu 0,5. Pe axa cosinusului, desigur. Ca aceasta:
Acum să desenăm unghiul pe care ni-l oferă acest cosinus. Treceți mouse-ul peste imagine (sau atingeți imaginea de pe tabletă) și vei vedea chiar acest colt X.
Cosinusul cărui unghi este 0,5?
x = π /3
cos 60°= cos( π /3) = 0,5
Unii oameni vor chicoti sceptici, da... Cum ar fi, a meritat să faci un cerc când totul este deja clar... Puteți, desigur, să chicotiți...) Dar adevărul este că acesta este un răspuns eronat. Sau mai bine zis, insuficient. Cunoscătorii de cerc înțeleg că există o grămadă de alte unghiuri aici care dau și un cosinus de 0,5.
Dacă întoarceți partea în mișcare OA viraj complet, punctul A va reveni la poziția inițială. Cu același cosinus egal cu 0,5. Acestea. unghiul se va schimba cu 360° sau 2π radiani și cosinus - nu. Noul unghi 60° + 360° = 420° va fi, de asemenea, o soluție pentru ecuația noastră, deoarece
Se pot face un număr infinit de astfel de revoluții complete... Și toate aceste unghiuri noi vor fi soluții la ecuația noastră trigonometrică. Și toate trebuie să fie scrise cumva ca răspuns. Toate. Altfel, decizia nu contează, da...)
Matematica poate face acest lucru simplu și elegant. Scrieți într-un singur răspuns scurt set infinit decizii. Iată cum arată ecuația noastră:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
o voi descifra. Mai scrie semnificativ Este mai plăcut decât să desenezi prost niște litere misterioase, nu?)
π /3 - Acesta este același colț în care noi a văzut pe cerc şi determinat conform tabelului cosinus.
2π este o revoluție completă în radiani.
n - acesta este numărul celor complete, adică întreg rpm Este clar că n poate fi egal cu 0, ±1, ±2, ±3.... și așa mai departe. După cum se menționează nota scurta:
n ∈ Z
n aparține ( ∈ ) mulţime de numere întregi ( Z ). Apropo, în loc de scrisoare n literele pot fi bine folosite k, m, t etc.
Această notație înseamnă că puteți lua orice număr întreg n . Cel puțin -3, cel puțin 0, cel puțin +55. Ce vrei tu. Dacă înlocuiți acest număr în răspuns, veți obține un unghi specific, care va fi cu siguranță soluția ecuației noastre dure.)
Sau, cu alte cuvinte, x = π /3 este singura rădăcină a număr infinit. Pentru a obține toate celelalte rădăcini, este suficient să adăugați orice număr de rotații complete la π /3 ( n ) în radiani. Acestea. 2π n radian.
Toate? Nu. Prelungesc în mod deliberat plăcerea. Pentru a ne aminti mai bine.) Am primit doar o parte din răspunsurile la ecuația noastră. Voi scrie această primă parte a soluției astfel:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - nu doar o rădăcină, ci o serie întreagă de rădăcini, scrise într-o formă scurtă.
Dar există și unghiuri care dau și un cosinus de 0,5!
Să revenim la poza noastră din care am notat răspunsul. Iat-o:
Treceți mouse-ul peste imagine și v-om vedea alt unghi care dă, de asemenea, un cosinus de 0,5. Cu ce crezi că este egal? Triunghiurile sunt la fel... Da! Este egal cu unghiul X , doar întârziat în direcția negativă. Acesta este colțul -X. Dar am calculat deja x. π /3 sau 60°. Prin urmare, putem scrie în siguranță:
x 2 = - π /3
Ei bine, desigur, adăugăm toate unghiurile care se obțin prin rotații complete:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Asta-i tot acum.) Pe cercul trigonometric noi a văzut(cine înțelege, desigur)) Toate unghiuri care dau un cosinus de 0,5. Și am notat aceste unghiuri într-o formă matematică scurtă. Răspunsul a rezultat în două serii infinite de rădăcini:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Acesta este răspunsul corect.
Speranţă, principiul general de rezolvare a ecuaţiilor trigonometrice folosirea unui cerc este clară. Marcam pe cerc cosinusul (sinus, tangent, cotangent) din ecuația dată, desenează unghiurile corespunzătoare și notează răspunsul. Desigur, trebuie să ne dăm seama în ce colțuri suntem a văzut pe cerc. Uneori nu este atât de evident. Ei bine, am spus că aici este necesară logica.)
De exemplu, să ne uităm la o altă ecuație trigonometrică:
Vă rugăm să țineți cont de faptul că numărul 0,5 nu este singurul număr posibil în ecuații!) Este mai convenabil pentru mine să-l scriu decât rădăcinile și fracțiile.
Lucrăm după principiul general. Desenăm un cerc, marcam (pe axa sinusoidală, desigur!) 0,5. Desenăm simultan toate unghiurile corespunzătoare acestui sinus. Obținem această imagine:
Să ne ocupăm mai întâi de unghi X în primul trimestru. Amintim tabelul sinusurilor și determinăm valoarea acestui unghi. Este o chestiune simplă:
x = π /6
Ne amintim despre revoluții depline și, cu conștiință curată, notăm prima serie de răspunsuri:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Jumătate din treabă este făcută. Dar acum trebuie să stabilim al doilea colt... E mai complicat decât folosirea cosinusurilor, da... Dar logica ne va salva! Cum să determinați al doilea unghi prin x? Da Ușor! Triunghiurile din imagine sunt aceleași, iar colțul roșu X egal cu unghiul X . Numai că se numără din unghiul π în direcția negativă. De aceea este roșu.) Și pentru răspuns avem nevoie de un unghi, măsurat corect, din semiaxa pozitivă OX, adică. dintr-un unghi de 0 grade.
Plasăm cursorul peste desen și vedem totul. Am scos primul colt ca sa nu complic poza. Unghiul care ne interesează (desenat în verde) va fi egal cu:
π - x
X știm asta π /6 . Prin urmare, al doilea unghi va fi:
π - π /6 = 5π /6
Din nou ne amintim despre adăugarea de revoluții complete și notăm a doua serie de răspunsuri:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Asta e tot. Un răspuns complet constă din două serii de rădăcini:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Ecuațiile tangente și cotangente pot fi rezolvate cu ușurință folosind același principiu general pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Dacă, desigur, știi să desenezi tangenta și cotangenta pe un cerc trigonometric.
În exemplele de mai sus, am folosit valoarea tabelului sinus și cosinus: 0,5. Acestea. unul dintre acele semnificații pe care le cunoaște elevul trebuie sa. Acum să ne extindem capacitățile la toate celelalte valori. Decide, deci decide!)
Deci, să presupunem că trebuie să rezolvăm această ecuație trigonometrică:
Nu există o astfel de valoare a cosinusului în tabelele scurte. Ignorăm cu răceală acest fapt teribil. Desenați un cerc, marcați 2/3 pe axa cosinusului și desenați unghiurile corespunzătoare. Primim această imagine.
Să ne uităm, mai întâi, la unghiul din primul sfert. Dacă am ști cu ce este x, am scrie imediat răspunsul! Nu știm... Eșec!? Calm! Matematica nu-și lasă oamenii în necaz! Ea a venit cu arc cosinus pentru acest caz. Nu stiu? Degeaba. Aflați, este mult mai ușor decât credeți. Pe acest link nu există o singură vrajă complicată despre „revers funcții trigonometrice„Nu... Acest lucru este de prisos în acest subiect.
Dacă știți, spuneți-vă: „X este un unghi al cărui cosinus este egal cu 2/3”. Și imediat, pur prin definiția arccosinusului, putem scrie:
Ne amintim despre revoluțiile suplimentare și notăm cu calm prima serie de rădăcini a ecuației noastre trigonometrice:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
A doua serie de rădăcini pentru al doilea unghi este aproape automat scrisă. Totul este la fel, doar X (arcurile 2/3) va fi cu minus:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Si asta e! Acesta este răspunsul corect. Chiar mai ușor decât cu valorile din tabel. Nu este nevoie să vă amintiți nimic.) Apropo, cei mai atenți vor observa că această imagine arată soluția prin arc cosinus în esență, nu diferă de imagine pentru ecuația cosx = 0,5.
Exact! Principiu general De aceea este comun! Am desenat în mod deliberat două imagini aproape identice. Cercul ne arată unghiul X prin cosinusul său. Dacă este un cosinus tabular sau nu, este necunoscut tuturor. Ce fel de unghi este acesta, π /3 sau ce este arccosinus - asta depinde de noi să decidem.
Același cântec cu sine. De exemplu:
Desenați din nou un cerc, marcați sinusul egal cu 1/3, desenați unghiurile. Aceasta este imaginea pe care o obținem:
Și din nou imaginea este aproape aceeași ca pentru ecuație sinx = 0,5.Începem din nou de la colț în primul sfert. Cu ce este X egal dacă sinusul său este 1/3? Nici o problemă!
Acum primul pachet de rădăcini este gata:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Să ne ocupăm de al doilea unghi. În exemplul cu o valoare de tabel de 0,5, aceasta a fost egală cu:
π - x
Va fi exact la fel și aici! Doar x este diferit, arcsin 1/3. Şi ce dacă!? Puteți nota în siguranță al doilea pachet de rădăcini:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Acesta este un răspuns complet corect. Deși nu pare foarte cunoscut. Dar e clar, sper.)
Așa se rezolvă ecuațiile trigonometrice folosind un cerc. Această cale este clară și de înțeles. El este cel care salvează în ecuațiile trigonometrice cu selecția rădăcinilor pe un interval dat, în inegalități trigonometrice- acestea se rezolvă în general aproape întotdeauna în cerc. Pe scurt, în orice sarcini care sunt puțin mai dificile decât cele standard.
Să aplicăm cunoștințele în practică?)
Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice:
În primul rând, mai simplu, direct din această lecție.
Acum e mai complicat.
Sugestie: aici va trebui să vă gândiți la cerc. Personal.)
Și acum sunt simple în exterior... Se mai numesc și cazuri speciale.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Sugestie: aici trebuie să vă dați seama într-un cerc unde sunt două serii de răspunsuri și unde există unul... Și cum să scrieți unul în loc de două serii de răspunsuri. Da, astfel încât să nu se piardă o singură rădăcină dintr-un număr infinit!)
Ei bine, foarte simplu):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Sugestie: aici trebuie să știți ce sunt arcsinus și arccosinus? Ce este arctangent, arccotangent? Cele mai simple definiții. Dar nu trebuie să vă amintiți nicio valoare din tabel!)
Răspunsurile sunt, desigur, o mizerie):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Nu merge totul? Se întâmplă. Citiți din nou lecția. Numai gânditor(există așa cuvânt învechit...) Și urmați linkurile. Legăturile principale sunt despre cerc. Fără ea, trigonometria este ca și cum ai traversa drumul legat la ochi. Uneori funcționează.)
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple.
Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de orice nivel de complexitate se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. Și în acest sens, cercul trigonometric se dovedește din nou a fi cel mai bun asistent.
Să ne amintim definițiile cosinusului și sinusului.
Cosinusul unui unghi este abscisa (adică coordonata de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător unei rotații printr-un unghi dat.
Sinusul unui unghi este ordonata (adică coordonata de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător unei rotații printr-un unghi dat.
Direcția pozitivă a mișcării pe cercul trigonometric este în sens invers acelor de ceasornic. O rotație de 0 grade (sau 0 radiani) corespunde unui punct cu coordonate (1;0)
Folosim aceste definiții pentru a rezolva ecuații trigonometrice simple.
1. Rezolvați ecuația
Această ecuație este satisfăcută de toate valorile unghiului de rotație care corespund punctelor din cerc a căror ordonată este egală cu .
Să marchem un punct cu ordonată pe axa ordonatelor:
Desenați o linie orizontală paralelă cu axa x până când se intersectează cu cercul. Obținem două puncte situate pe cerc și având o ordonată. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație în și radiani:
Dacă, lăsând punctul corespunzător unghiului de rotație pe radian, ocolim un cerc complet, atunci vom ajunge la un punct corespunzător unghiului de rotație pe radian și având aceeași ordonată. Adică, acest unghi de rotație satisface și ecuația noastră. Putem face câte revoluții „în gol” ne dorim, revenind la același punct, iar toate aceste valori ale unghiului ne vor satisface ecuația. Numărul de rotații „în gol” va fi notat cu litera (sau). Deoarece putem face aceste revoluții atât în direcții pozitive, cât și negative, (sau) poate lua orice valoare întreagă.
Adică, prima serie de soluții la ecuația originală are forma:
, , - set de numere întregi (1)
În mod similar, a doua serie de soluții are forma:
, Unde , . (2)
După cum probabil ați ghicit, această serie de soluții se bazează pe punctul de pe cerc corespunzător unghiului de rotație cu .
Aceste două serii de soluții pot fi combinate într-o singură intrare:
Dacă luăm (adică chiar) în această intrare, atunci vom obține prima serie de soluții.
Dacă luăm (adică impar) în această intrare, atunci obținem a doua serie de soluții.
2. Acum să rezolvăm ecuația
Deoarece aceasta este abscisa unui punct de pe cercul unitar obtinut prin rotirea printr-un unghi, marcam punctul cu abscisa pe axa:
Desenați o linie verticală paralelă cu axa până când se intersectează cu cercul. Vom obține două puncte situate pe cerc și având o abscisă. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație în și radiani. Amintiți-vă că atunci când ne mișcăm în sensul acelor de ceasornic obținem un unghi de rotație negativ:
Să notăm două serii de soluții:
,
,
(Ajungem la punctul dorit mergând de la cercul complet principal, adică.
Să combinăm aceste două serii într-o singură intrare:
3. Rezolvați ecuația
Linia tangentă trece prin punctul cu coordonatele (1,0) ale cercului unitar paralel cu axa OY
Să marchem un punct pe el cu o ordonată egală cu 1 (căutăm tangenta a cărei unghiuri este egală cu 1):
Să conectăm acest punct la originea coordonatelor cu o linie dreaptă și să marchem punctele de intersecție ale dreptei cu cercul unitar. Punctele de intersecție ale dreptei și ale cercului corespund unghiurilor de rotație pe și:
Deoarece punctele corespunzătoare unghiurilor de rotație care satisfac ecuația noastră se află la o distanță de radiani unul de celălalt, putem scrie soluția astfel:
4. Rezolvați ecuația
Linia cotangentelor trece prin punctul cu coordonatele cercului unitar paralel cu axa.
Să marchem un punct cu abscisa -1 pe linia cotangentelor:
Să conectăm acest punct la originea dreptei și să o continuăm până când se intersectează cu cercul. Această linie dreaptă va intersecta cercul în puncte corespunzătoare unghiurilor de rotație în și radiani:
Deoarece aceste puncte sunt separate unul de celălalt printr-o distanță egală cu , atunci decizie comună Putem scrie această ecuație astfel:
În exemplele date care ilustrează soluția celor mai simple ecuații trigonometrice, s-au folosit valori tabelare ale funcțiilor trigonometrice.
Totuși, dacă partea dreaptă a ecuației conține o valoare netabelară, atunci înlocuim valoarea în soluția generală a ecuației:
SOLUȚII SPECIALE:
Să marchem punctele de pe cerc a cărui ordonată este 0:
Să marchem un singur punct pe cerc a cărui ordonată este 1:
Să marchem un singur punct pe cerc a cărui ordonată este egală cu -1:
Deoarece se obișnuiește să se indice valorile cele mai apropiate de zero, scriem soluția după cum urmează:
Să marchem punctele de pe cerc a cărui abscisă este egală cu 0:
5.
Să marchem un singur punct pe cerc a cărui abscisă este egală cu 1:
Să marchem un singur punct pe cerc a cărui abscisă este egală cu -1:
Și exemple puțin mai complexe:
1.
Sinusul este egal cu unu dacă argumentul este egal cu
Argumentul sinusului nostru este egal, deci obținem:
Să împărțim ambele părți ale egalității la 3:
Răspuns:
2.
Cosinus este zero dacă argumentul cosinus este
Argumentul cosinusului nostru este egal cu , deci obținem:
Să exprimăm , pentru a face acest lucru ne deplasăm mai întâi la dreapta cu semnul opus:
Să simplificăm partea dreaptă:
Împărțiți ambele părți la -2:
Rețineți că semnul din fața termenului nu se schimbă, deoarece k poate lua orice valoare întreagă.
Răspuns:
Și, în sfârșit, urmăriți lecția video „Selectarea rădăcinilor într-o ecuație trigonometrică folosind un cerc trigonometric”
Aceasta încheie conversația noastră despre rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple. Data viitoare vom vorbi despre cum să decidem.
Am asistat odată la o conversație între doi solicitanți:
– Când ar trebui să adăugați 2πn și când să adăugați πn? Pur și simplu nu-mi amintesc!
— Și am aceeași problemă.
Am vrut doar să le spun: „Nu trebuie să memorați, ci să înțelegeți!”
Acest articol se adresează în primul rând elevilor de liceu și, sper, îi va ajuta să rezolve cele mai simple ecuații trigonometrice cu „înțelegere”:
Cercul numeric
Alături de conceptul de dreptă numerică, există și conceptul de cerc numeric. După cum știm, într-un sistem de coordonate dreptunghiular, un cerc cu un centru în punctul (0;0) și raza 1 se numește cerc unitar. Să ne imaginăm o linie numerică ca un fir subțire și să o înfășurăm în jurul acestui cerc: vom atașa originea (punctul 0) la punctul „dreapta” al cercului unitar, vom înfășura semiaxa pozitivă în sens invers acelor de ceasornic și semiaxa negativă. -axa in directie (Fig. 1). Un astfel de cerc unitar se numește cerc numeric.
Proprietățile cercului numeric
- Fiecare număr real se află pe un punct al cercului numeric.
- Există infinit de multe numere reale în fiecare punct al cercului numeric. Deoarece lungimea cercului unitar este 2π, diferența dintre oricare două numere dintr-un punct al cercului este egală cu unul dintre numerele ±2π; ±4π; ±6π; ...
Să conchidem: cunoscând unul dintre numerele punctului A, putem găsi toate numerele punctului A.
Să desenăm diametrul AC (Fig. 2). Deoarece x_0 este unul dintre numerele punctului A, atunci numerele x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... și numai ele vor fi numerele punctului C. Să alegem unul dintre aceste numere, să zicem, x_0+π, și să îl folosim pentru a scrie toate numerele punctului C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Rețineți că numerele din punctele A și C pot fi combinate într-o singură formulă: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (pentru k = 0; ±2; ±4; ... obținem numerele de punctul A, iar pentru k = ±1; ±3; ±5; … – numerele punctului C).
Să conchidem: cunoscând unul dintre numerele la unul din punctele A sau C ale diametrului AC, putem găsi toate numerele în aceste puncte.
- Două numere opuse sunt situate în puncte ale cercului care sunt simetrice față de axa absciselor.
Să desenăm o coardă verticală AB (Fig. 2). Deoarece punctele A și B sunt simetrice față de axa Ox, numărul -x_0 este situat în punctul B și, prin urmare, toate numerele punctului B sunt date prin formula: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Scriem numerele din punctele A și B folosind o formulă: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Să conchidem: cunoscând unul dintre numerele la unul din punctele A sau B ale coardei verticale AB, putem găsi toate numerele în aceste puncte. Să luăm în considerare coarda orizontală AD și să găsim numerele punctului D (Fig. 2). Deoarece BD este un diametru și numărul -x_0 aparține punctului B, atunci -x_0 + π este unul dintre numerele punctului D și, prin urmare, toate numerele acestui punct sunt date prin formula x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z. Numerele din punctele A și D pot fi scrise folosind o singură formulă: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (pentru k= 0; ±2; ±4; … obținem numerele punctului A, iar pentru k = ±1; ±3; ±5; … – numerele punctului D).
Să conchidem: cunoscând unul dintre numerele la unul din punctele A sau D ale coardei orizontale AD, putem găsi toate numerele în aceste puncte.
Șaisprezece puncte principale ale cercului numeric
În practică, rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice implică șaisprezece puncte pe un cerc (Fig. 3). Ce sunt aceste puncte? Punctele roșii, albastre și verzi împart cercul în 12 părți egale. Deoarece lungimea semicercului este π, atunci lungimea arcului A1A2 este π/2, lungimea arcului A1B1 este π/6, iar lungimea arcului A1C1 este π/3.
Acum putem indica câte un număr odată: 
π/3 pe C1 și
Vârfurile pătratului portocaliu sunt punctele mijlocii ale arcelor fiecărui sfert, prin urmare, lungimea arcului A1D1 este egală cu π/4 și, prin urmare, π/4 este unul dintre numerele punctului D1. Folosind proprietățile cercului numeric, putem folosi formule pentru a scrie toate numerele în toate punctele marcate ale cercului nostru. Coordonatele acestor puncte sunt de asemenea marcate în figură (vom omite descrierea achiziției lor).
După ce am învățat cele de mai sus, avem acum suficientă pregătire pentru a rezolva cazuri speciale (pentru nouă valori ale numărului A) cele mai simple ecuații.
Rezolvați ecuații
1)sinx=1⁄(2).
– Ce ni se cere?
– Găsiți toate acele numere x al căror sinus este egal cu 1/2.
Să ne amintim definiția sinusului: sinx – ordonata punctului de pe cercul numeric pe care se afla numarul x. Avem două puncte pe cerc a căror ordonată este egală cu 1/2. Acestea sunt capetele coardei orizontale B1B2. Aceasta înseamnă că cerința „rezolvați ecuația sinx=1⁄2” este echivalentă cu cerința „găsiți toate numerele din punctul B1 și toate numerele din punctul B2”.
2)sinx=-√3⁄2 .
Trebuie să găsim toate numerele în punctele C4 și C3.
3) sinx=1. Pe cerc avem un singur punct cu ordonata 1 - punctul A2 și, prin urmare, trebuie să găsim doar toate numerele acestui punct.
Răspuns: x=π/2+2πk, k∈Z.
4)sinx=-1 .
Doar punctul A_4 are ordonata -1. Toate numerele acestui punct vor fi caii ecuației.
Răspuns: x=-π/2+2πk, k∈Z.
5) sinx=0 .
Pe cerc avem doua puncte cu ordonata 0 - punctele A1 si A3. Puteți indica numerele de la fiecare dintre puncte separat, dar având în vedere că aceste puncte sunt diametral opuse, este mai bine să le combinați într-o singură formulă: x=πk,k∈Z.
Răspuns: x=πk ,k∈Z .
6)cosx=√2⁄2 .
Să ne amintim definiția cosinusului: cosx este abscisa punctului de pe cercul numeric pe care se află numărul x. Pe cerc avem două puncte cu abscisa √2⁄2 - capetele coardei orizontale D1D4. Trebuie să găsim toate numerele din aceste puncte. Să le notăm, combinându-le într-o singură formulă.
Răspuns: x=±π/4+2πk, k∈Z.
7) cosx=-1⁄2 .
Trebuie să găsim numerele în punctele C_2 și C_3.
Răspuns: x=±2π/3+2πk , k∈Z .
10) cosx=0 .
Doar punctele A2 și A4 au o abscisă de 0, ceea ce înseamnă că toate numerele din fiecare dintre aceste puncte vor fi soluții ale ecuației. 
.
Soluțiile ecuației sistemului sunt numerele din punctele B_3 și B_4.La inegalitatea cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Răspuns: x=-5π/6+2πk, k∈Z.
Rețineți că pentru orice valoare admisibilă a lui x, al doilea factor este pozitiv și, prin urmare, ecuația este echivalentă cu sistemul
Soluțiile ecuației sistemului sunt numărul de puncte D_2 și D_3. Numerele punctului D_2 nu satisfac inegalitatea sinx≤0,5, dar numerele punctului D_3 satisfac.
blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.
Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare pentru a promova cu succes Examenul de stat unificat la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!
Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.
Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.
Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.
Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.
Cele mai simple ecuații trigonometrice se rezolvă, de regulă, folosind formule. Permiteți-mi să vă reamintesc că cele mai simple ecuații trigonometrice sunt:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x este unghiul care trebuie găsit,
a este orice număr.
Și iată care sunt formulele cu care puteți nota imediat soluțiile acestor ecuații simple.
Pentru sinus:
Pentru cosinus:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Pentru tangentă:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Pentru cotangentă:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
De fapt, aceasta este partea teoretică a rezolvării celor mai simple ecuații trigonometrice. Mai mult, totul!) Nimic. Cu toate acestea, numărul de erori pe acest subiect este pur și simplu în afara graficelor. Mai ales dacă exemplul se abate ușor de la șablon. De ce?
Da, pentru că mulți oameni notează aceste scrisori, fără să le înțelegem deloc sensul! El scrie cu prudență, ca să nu se întâmple ceva...) Acest lucru trebuie rezolvat. Trigonometrie pentru oameni sau oameni pentru trigonometrie, până la urmă!?)
Să ne dăm seama?
Un unghi va fi egal cu arccos a, al doilea: -arccos a.
Și întotdeauna va funcționa așa. Pentru orice A.
Dacă nu mă credeți, treceți mouse-ul peste imagine sau atingeți fotografia de pe tabletă.) Am schimbat numărul A la ceva negativ. Oricum, avem un colț arccos a, al doilea: -arccos a.
Prin urmare, răspunsul poate fi întotdeauna scris ca două serii de rădăcini:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Să combinăm aceste două serii într-una singură:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Și asta e tot. Am obținut o formulă generală pentru rezolvarea celei mai simple ecuații trigonometrice cu cosinus.
Dacă înțelegi că acesta nu este un fel de înțelepciune supraștiințifică, dar doar o versiune scurtă a două serii de răspunsuri, De asemenea, veți putea face față sarcinilor „C”. Cu inegalități, cu selectarea rădăcinilor dintr-un interval dat... Acolo răspunsul cu plus/minus nu merge. Dar dacă tratați răspunsul într-o manieră de afaceri și îl descompuneți în două răspunsuri separate, totul va fi rezolvat.) De fapt, de aceea îl analizăm. Ce, cum și unde.
În cea mai simplă ecuație trigonometrică
sinx = a
obținem și două serii de rădăcini. Mereu. Și aceste două serii pot fi și înregistrate într-o singură linie. Doar această linie va fi mai complicată:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Dar esența rămâne aceeași. Matematicienii au conceput pur și simplu o formulă pentru a face una în loc de două intrări pentru serii de rădăcini. Asta e tot!
Să verificăm matematicienii? Și nu se știe niciodată...)
În lecția anterioară, soluția (fără formule) a unei ecuații trigonometrice cu sinus a fost discutată în detaliu:
Răspunsul a rezultat în două serii de rădăcini:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Dacă rezolvăm aceeași ecuație folosind formula, obținem răspunsul:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
De fapt, acesta este un răspuns neterminat.) Studentul trebuie să știe asta arcsin 0,5 = π /6. Răspunsul complet ar fi:
x = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z
Aceasta ridică o întrebare interesantă. Răspunde prin x 1; x 2 (acesta este răspunsul corect!) și prin singuratic X (și acesta este răspunsul corect!) - sunt sau nu același lucru? Vom afla acum.)
Inlocuim in raspuns cu x 1 valorile n =0; 1; 2; etc., numărăm, obținem o serie de rădăcini:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 și așa mai departe.
Cu aceeași înlocuire ca răspuns cu x 2 , primim:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 și așa mai departe.
Acum să înlocuim valorile n (0; 1; 2; 3; 4...) în formula generală pentru single X . Adică ridicăm minus unu la puterea zero, apoi la prima, a doua etc. Ei bine, desigur, substituim 0 în al doilea termen; 1; 2 3; 4, etc. Și numărăm. Primim seria:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 și așa mai departe.
Atât se vede.) Formula generală ne oferă exact aceleasi rezultate la fel ca cele două răspunsuri separat. Doar totul deodată, în ordine. Matematicienii nu au fost păcăliți.)
Pot fi verificate și formule pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice cu tangentă și cotangentă. Dar nu vom face.) Ele sunt deja simple.
Am scris în mod special toate aceste înlocuiri și verificări. Aici este important să înțelegeți un lucru simplu: există formule pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice elementare, doar un scurt rezumat al răspunsurilor. Pentru această concizie, a trebuit să introducem plus/minus în soluția de cosinus și (-1) n în soluția de sinus.
Aceste inserții nu interferează în niciun fel în sarcinile în care trebuie doar să scrieți răspunsul la o ecuație elementară. Dar dacă trebuie să rezolvați o inegalitate sau atunci trebuie să faceți ceva cu răspunsul: selectați rădăcini pe un interval, verificați ODZ etc., aceste inserții pot deranja cu ușurință o persoană.
Si ce ar trebui sa fac? Da, fie scrieți răspunsul în două serii, fie rezolvați ecuația/inegalitatea folosind cercul trigonometric. Apoi aceste inserții dispar și viața devine mai ușoară.)
Putem rezuma.
Pentru a rezolva cele mai simple ecuații trigonometrice, există formule de răspuns gata făcute. Patru piese. Sunt bune pentru a scrie instantaneu soluția unei ecuații. De exemplu, trebuie să rezolvați ecuațiile:
sinx = 0,3
Uşor: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Nici o problemă: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Uşor: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
A mai ramas una: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Dacă tu, strălucind de cunoștințe, scrii instantaneu răspunsul:
x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
atunci deja stralucesti, asta... aia... dintr-o balta.) Raspuns corect: nu exista solutii. Nu inteleg de ce? Citiți ce este arccosinusul. În plus, dacă în partea dreaptă a ecuației inițiale există valori tabelare de sinus, cosinus, tangentă, cotangentă, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 și așa mai departe. - răspunsul prin arcade va fi neterminat. Arcurile trebuie convertite în radiani.
Și dacă te întâlnești cu inegalitate, cum ar fi
atunci raspunsul este:
x πn, n ∈ Z
există prostii rare, da...) Aici trebuie să rezolvi folosind cercul trigonometric. Ce vom face în subiectul corespunzător.
Pentru cei care citesc eroic aceste rânduri. Pur și simplu nu pot să nu apreciez eforturile tale titane. Bonus pentru tine.)
Primă:
Când notează formule într-o situație alarmantă de luptă, chiar și tocilarii experimentați devin adesea confuzi în legătură cu unde πn, Si unde 2π n. Iată un truc simplu pentru tine. În toata lumea formule de valoare πn. Cu excepția singurei formule cu arc cosinus. Stă acolo 2πn. Două ciocăni. Cuvânt cheie - Două.În aceeași formulă există Două semnează la început. Plus și minus. Aici si acolo - Două.
Deci daca ai scris Două semn înaintea arcului cosinus, este mai ușor să ne amintim ce se va întâmpla la sfârșit Două ciocăni. Și se întâmplă și invers. Persoana va rata semnul ± , ajunge până la capăt, scrie corect Două Pien și își va veni în fire. Mai e ceva înainte Două semn! Persoana se va întoarce la început și va corecta greșeala! Ca aceasta.)
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.