Să ne uităm la acest algoritm folosind un exemplu. Vom găsi

primul pas. Împărțim numărul de sub rădăcină în fețe de două cifre (de la dreapta la stânga):

al 2-lea pas. Extragem Rădăcină pătrată din prima față, adică din numărul 65, obținem numărul 8. Sub prima față scriem pătratul numărului 8 și scădem. Atribuim a doua față (59) restului:

(numărul 159 este primul rest).

al 3-lea pas. Dublam rădăcina găsită și scriem rezultatul în stânga:

al 4-lea pas. Separăm o cifră în dreapta în restul (159), iar în stânga obținem numărul de zeci (este egal cu 15). Apoi împărțim 15 la dublul primei cifre a rădăcinii, adică la 16, deoarece 15 nu este divizibil cu 16, coeficientul rezultă în zero, pe care îl scriem ca a doua cifră a rădăcinii. Deci, în coeficient am primit numărul 80, pe care îl dublem din nou și eliminăm marginea următoare

(numărul 15.901 este al doilea rest).

al 5-lea pas. În al doilea rest separăm o cifră din dreapta și împărțim numărul rezultat 1590 la 160. Scriem rezultatul (numărul 9) ca a treia cifră a rădăcinii și îl adăugăm la numărul 160. Înmulțim numărul rezultat 1609 cu 9 și găsiți următorul rest (1420):

Ulterior, acțiunile sunt efectuate în secvența specificată în algoritm (rădăcina poate fi extrasă cu gradul de acuratețe necesar).

Cometariu. Dacă expresia radicală este o fracție zecimală, atunci întreaga sa parte este împărțită în muchii de două cifre de la dreapta la stânga, partea fracțională - două cifre de la stânga la dreapta, iar rădăcina este extrasă conform algoritmului specificat.

MATERIAL DIDACTIC

1. Se ia rădăcina pătrată a numărului: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

Ce este o rădăcină pătrată?

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Acest concept este foarte simplu. Natural, as spune. Matematicienii încearcă să găsească o reacție pentru fiecare acțiune. Există adunare - există și scădere. Există înmulțire - există și împărțire. Există pătrare... Așa că există și luând rădăcina pătrată! Asta e tot. Această acțiune ( rădăcină pătrată) la matematică este indicată de această pictogramă:

Icoana în sine este numită un cuvânt frumos "radical".

Cum se extrage rădăcina? E mai bine să te uiți exemple.

Care este rădăcina pătrată a lui 9? Ce număr pătrat ne va da 9? 3 pătrat ne dă 9! Acestea:

Dar care este rădăcina pătrată a lui zero? Nici o problemă! Ce număr la pătrat face zero? Da, dă zero! Mijloace:

Am înţeles, ce este radacina patrata? Atunci luăm în considerare exemple:

Răspunsuri (în dezordine): 6; 1; 4; 9; 5.

Hotărât? Într-adevăr, cât de ușor este asta?!

Dar... Ce face o persoană când vede o sarcină cu rădăcini?

O persoană începe să se simtă tristă... Nu crede în simplitatea și lejeritatea rădăcinilor sale. Deși pare să știe ce este rădăcina pătrată...

Acest lucru se datorează faptului că persoana a ignorat câteva puncte importante atunci când a studiat rădăcinile. Atunci aceste mofturi se răzbune crunt pe teste și examene...

Punctul unu. Trebuie să recunoști rădăcinile din vedere!

Care este rădăcina pătrată a lui 49? Șapte? Dreapta! De unde ai știut că era șapte? A pătrat șapte și a primit 49? Dreapta! Te rog noteaza asta extrage rădăcina din 49 trebuia sa facem operatiunea inversa - careul 7! Și asigură-te că nu ratam. Sau ar fi putut rata...

Aceasta este dificultatea extragerea rădăcinilor. Pătrat orice număr fără probleme speciale. Înmulțiți un număr cu el însuși cu o coloană - asta-i tot. Dar pentru extragerea rădăcinilor Nu există o astfel de tehnologie simplă și sigură. Trebuie să ne ridica răspundeți și verificați dacă este corect, punându-l la pătrat.

Acesta este complicat proces creativ- alegerea unui răspuns este mult simplificată dacă dvs tine minte pătrate de numere populare. Ca o masă de înmulțire. Dacă, să zicem, trebuie să înmulțiți 4 cu 6, nu adunați de patru de 6 ori, nu-i așa? Apare imediat răspunsul 24. Deși, nu toată lumea înțelege, da...

În mod gratuit și munca de succes cu rădăcini este suficient să cunoaștem pătratele numerelor de la 1 la 20. Mai mult AcoloȘi înapoi. Acestea. ar trebui să puteți recita cu ușurință atât, de exemplu, 11 pătrat, cât și rădăcina pătrată a lui 121. Pentru a realiza această memorare, există două moduri. Primul este să înveți tabelul pătratelor. Acesta va fi de mare ajutor în rezolvarea exemplelor. Al doilea este de a rezolva mai multe exemple. Acest lucru vă va ajuta foarte mult să vă amintiți tabelul cu pătrate.

Și fără calculatoare! Numai în scopuri de testare. Altfel, vei încetini fără milă în timpul examenului...

Asa de, ce este rădăcina pătrată Si cum extrage rădăcinile- Cred că e clar. Acum haideți să aflăm DIN CE le putem extrage.

Punctul doi. Root, nu te cunosc!

Din ce numere poți lua rădăcini pătrate? Da, aproape oricare dintre ele. Este mai ușor de înțeles de la ce este este interzis extrage-le.

Să încercăm să calculăm această rădăcină:

Pentru a face acest lucru, trebuie să alegem un număr care pătratul ne va da -4. Selectam.

Ce, nu se potrivește? 2 2 dă +4. (-2) 2 dă din nou +4! Gata... Nu există numere care, la pătrat, să ne dea un număr negativ! Deși știu aceste numere. Dar nu vă spun). Du-te la facultate și vei afla singur.

Aceeași poveste se va întâmpla cu orice număr negativ. De aici concluzia:

O expresie în care există un număr negativ sub semnul rădăcinii pătrate - nu are sens! Aceasta este o operațiune interzisă. Este la fel de interzis ca împărțirea la zero. Amintiți-vă cu fermitate acest fapt! Sau cu alte cuvinte:

Nu poți extrage rădăcini pătrate din numere negative!

Dar dintre toate celelalte, este posibil. De exemplu, este foarte posibil să se calculeze

La prima vedere, acest lucru este foarte dificil. Selectarea fracțiilor și pătrarea lor... Nu vă faceți griji. Când înțelegem proprietățile rădăcinilor, astfel de exemple vor fi reduse la același tabel de pătrate. Viața va deveni mai ușoară!

Bine, fracții. Dar încă întâlnim expresii precum:

E bine. Tot la fel. Rădăcina pătrată a lui doi este numărul care, la pătrat, ne dă doi. Doar acest număr este complet neuniform... Iată-l:

Ceea ce este interesant este că această fracție nu se termină niciodată... Astfel de numere se numesc iraționale. În rădăcini pătrate, acesta este cel mai comun lucru. Apropo, de aceea se numesc expresiile cu rădăcini iraţional. Este clar că a scrie o astfel de fracție infinită tot timpul este incomod. Prin urmare, în loc de o fracție infinită, o lasă așa:

Dacă, atunci când rezolvați un exemplu, ajungeți cu ceva care nu poate fi extras, cum ar fi:

apoi o lăsăm așa. Acesta va fi răspunsul.

Trebuie să înțelegeți clar ce înseamnă pictogramele

Desigur, dacă se ia rădăcina numărului neted, trebuie să faci asta. Răspunsul la sarcină este sub formă, de exemplu

Un răspuns destul de complet.

Și, desigur, trebuie să cunoașteți valorile aproximative din memorie:

Aceste cunoștințe ajută foarte mult la evaluarea situației în sarcini complexe.

Punctul trei. Cel mai viclean.

Principala confuzie în lucrul cu rădăcinile este cauzată de acest punct. El este cel care dă incertitudine puterea proprie... Să ne ocupăm de această problemă în mod corespunzător!

Mai întâi, să luăm din nou rădăcina pătrată a patru dintre ele. V-am deranjat deja cu această rădăcină?) Nu contează, acum va fi interesant!

Ce număr înseamnă 4 pătrat? Ei bine, doi, doi - aud răspunsuri nemulțumite...

Dreapta. Două. Dar de asemenea minus doi va da 4 pătrat... Între timp, răspunsul

corect si raspunsul

greseala grosolana. Ca aceasta.

Deci care e treaba?

Într-adevăr, (-2) 2 = 4. Și sub definiția rădăcinii pătrate a lui patru minus doi destul de potrivit... Aceasta este și rădăcina pătrată a lui patru.

Dar! În cursul școlii de matematică, se obișnuiește să se ia în considerare rădăcinile pătrate doar numere nenegative! Adică zero și toate sunt pozitive. Chiar și un termen special a fost inventat: din număr A- Acest nenegativ număr al cărui pătrat este A. Rezultatele negative la extragerea unei rădăcini pătrate aritmetice sunt pur și simplu aruncate. La școală, totul este rădăcină pătrată - aritmetic. Deși acest lucru nu este menționat în mod deosebit.

Bine, e de înțeles. Este și mai bine să nu te deranjezi cu rezultate negative... Aceasta nu este încă o confuzie.

Confuzia începe la rezolvarea ecuațiilor pătratice. De exemplu, trebuie să rezolvați următoarea ecuație.

Ecuația este simplă, scriem răspunsul (cum este predat):

Acest răspuns (absolut corect, de altfel) este doar o versiune prescurtată Două raspunsuri:

Opreste opreste! Chiar mai sus am scris că rădăcina pătrată este un număr Mereu nenegativ! Și iată unul dintre răspunsuri - negativ! Tulburare. Aceasta este prima (dar nu ultima) problemă care provoacă neîncredere în rădăcini... Să rezolvăm această problemă. Să notăm răspunsurile (doar pentru înțelegere!) astfel:

Parantezele nu schimbă esența răspunsului. Am separat-o doar cu paranteze semne din rădăcină. Acum puteți vedea clar că rădăcina în sine (în paranteze) este încă un număr nenegativ! Și semnele sunt rezultatul rezolvării ecuației. La urma urmei, atunci când rezolvăm orice ecuație trebuie să scriem Toate X care, atunci când sunt înlocuite în ecuația originală, vor da rezultatul corect. Rădăcina lui cinci (pozitivă!) cu un plus și un minus se încadrează în ecuația noastră.

Ca aceasta. daca tu luați doar rădăcina pătrată din orice, tu Mereu primesti unul nenegativ rezultat. De exemplu:

Pentru ca - rădăcină pătrată aritmetică.

Dar dacă decizi ceva ecuație pătratică, tip:

Acea Mereu se dovedește Două raspuns (cu plus si minus):

Pentru că aceasta este soluția ecuației.

Speranţă, ce este rădăcina pătrată Ai punctele clare. Acum rămâne să aflăm ce se poate face cu rădăcinile, care sunt proprietățile lor. Și care sunt punctele și capcanele... scuze, pietre!)

Toate acestea sunt în următoarele lecții.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

În matematică, întrebarea cum se extrage o rădăcină este considerată relativ simplă. Dacă pătram numere din seria naturală: 1, 2, 3, 4, 5...n, atunci obținem următoarea serie de pătrate: 1, 4, 9, 16...n 2. Rândul de pătrate este infinit și, dacă te uiți cu atenție la el, vei vedea că nu sunt foarte multe numere întregi în el. De ce este așa, vom explica puțin mai târziu.

Rădăcina unui număr: reguli de calcul și exemple

Deci, am pătrat numărul 2, adică l-am înmulțit cu el însuși și am obținut 4. Cum să extragem rădăcina numărului 4? Să spunem imediat că rădăcinile pot fi pătrate, cubice și orice grad până la infinit.

Gradul de rădăcină – întotdeauna numar natural, adică este imposibil să rezolvi o astfel de ecuație: o rădăcină la puterea lui 3,6 a lui n.

Rădăcină pătrată

Să revenim la întrebarea cum să extragem rădăcina pătrată a lui 4. Deoarece am pătrat numărul 2, vom extrage și rădăcina pătrată. Pentru a extrage corect rădăcina lui 4, trebuie doar să alegeți numărul potrivit care, la pătrat, ar da numărul 4. Și acesta, desigur, este 2. Uitați-vă la exemplu:

• 2 2 =4
• Rădăcina lui 4 = 2

Acest exemplu este destul de simplu. Să încercăm să extragem rădăcina pătrată a lui 64. Ce număr, înmulțit cu el însuși, dă 64? Evident, este 8.

• 8 2 =64
• Rădăcina lui 64=8

Rădăcină cubă

După cum s-a spus mai sus, rădăcinile nu sunt doar pătrate; folosind un exemplu, vom încerca să explicăm mai clar cum să extragem o rădăcină cubă sau o rădăcină de gradul trei. Principiul extragerii unei rădăcini cubice este același cu cel al unei rădăcini pătrate, singura diferență este că numărul necesar a fost inițial înmulțit cu el însuși nu o dată, ci de două ori. Adică, să presupunem că luăm următorul exemplu:

• 3x3x3=27
• Desigur, rădăcina cubă a lui 27 este trei:
• Rădăcina 3 din 27 = 3

Să presupunem că trebuie să găsiți rădăcina cubă a lui 64. Pentru a rezolva această ecuație, este suficient să găsiți un număr care, atunci când este ridicat la a treia putere, ar da 64.

• 4 3 =64
• Rădăcina 3 din 64 = 4

Extrageți rădăcina unui număr pe un calculator

Desigur, cel mai bine este să înveți să extragi pătrate, cuburi și alte rădăcini prin practică, rezolvând multe exemple și memorând tabele de pătrate și cuburi de numere mici. În viitor, acest lucru va facilita și va reduce foarte mult timpul necesar pentru rezolvarea ecuațiilor. Deși, trebuie remarcat că uneori este necesar să se extragă rădăcina unui astfel de un numar mare că găsirea pătratului corect ar fi foarte dificilă, dacă este posibil. Un calculator obișnuit va veni în ajutor în extragerea rădăcinii pătrate. Cum se extrage rădăcina de pe un calculator? Introduceți foarte simplu numărul de la care doriți să găsiți rezultatul. Acum aruncați o privire atentă la butoanele calculatorului. Chiar și cel mai simplu dintre ele are o cheie cu o pictogramă rădăcină. Făcând clic pe el, veți obține imediat rezultatul final.

Nu orice număr poate avea o rădăcină întreagă; luați în considerare următorul exemplu:

Rădăcina lui 1859 = 43,116122...

Puteți încerca simultan să rezolvați acest exemplu pe un calculator. După cum puteți vedea, numărul rezultat nu este un întreg; în plus, setul de cifre după virgulă zecimală nu este finit. Calculatoarele speciale de inginerie pot da un rezultat mai precis, dar rezultatul complet pur și simplu nu se potrivește pe afișajul celor obișnuite. Și dacă continuați seria de pătrate pe care ați început-o mai devreme, nu veți găsi în ea numărul 1859 tocmai pentru că numărul care a fost pătrat pentru a-l obține nu este un întreg.

Dacă trebuie să extrageți a treia rădăcină pe un calculator simplu, atunci trebuie să faceți dublu clic pe butonul cu semnul rădăcină. De exemplu, luați numărul 1859 folosit mai sus și luați rădăcina cubă din el:

Rădăcina 3 din 1859 = 6,5662867...

Adică, dacă numărul 6,5662867... este ridicat la a treia putere, atunci obținem aproximativ 1859. Astfel, extragerea rădăcinilor din numere nu este dificilă, trebuie doar să vă amintiți algoritmii de mai sus.

Descriere bibliografica: Pryostanovo S. M., Lysogorova L. V. Metode pentru extragerea rădăcinii pătrate // Tânăr om de știință. 2017. Nr 2.2. p. 76-77...02.2019).



Cuvinte cheie : rădăcină pătrată, extracție rădăcină pătrată.

La lecțiile de matematică, m-am familiarizat cu conceptul de rădăcină pătrată și cu operația de extragere a rădăcinii pătrate. M-am interesat dacă extragerea rădăcinii pătrate este posibilă numai folosind un tabel de pătrate, folosind un calculator sau există o modalitate de a o extrage manual. Am găsit mai multe moduri: formula Babilonului Antic, prin rezolvarea ecuațiilor, metoda renunțării unui pătrat complet, metoda lui Newton, metoda geometrică, metoda grafică (, ), metoda ghicirii, metoda deducțiilor de numere impare.

Luați în considerare următoarele metode:

Să factorizăm în factori primi folosind criteriile de divizibilitate 27225=5*5*3*3*11*11. Prin urmare

1. LA Metoda canadiană. Acest metoda rapida a fost descoperit de tineri oameni de știință de la una dintre universitățile de top din Canada în secolul al XX-lea. Precizia sa nu este mai mare de două până la trei zecimale.

unde x este numărul din care trebuie extrasă rădăcina, c este numărul celui mai apropiat pătrat), de exemplu:

=5,92

1. Într-o coloană. Această metodă vă permite să găsiți valoarea aproximativă a rădăcinii oricărui număr real cu orice precizie predeterminată. Dezavantajele acestei metode includ complexitatea tot mai mare a calculului pe măsură ce crește numărul de cifre găsite. Pentru a extrage manual rădăcina, se folosește o notație similară cu diviziunea lungă

Algoritmul rădăcinii pătrate

1. Împărțim partea fracțională și partea întreagă separat de virgulă în pragul a două cifreîn fiecare față ( pup parte - de la dreapta la stânga; fracționat- de la stanga la dreapta). Este posibil ca partea întreagă să conțină o cifră, iar partea fracțională să conțină zerouri.

2. Extragerea începe de la stânga la dreapta, și selectăm un număr al cărui pătrat nu depășește numărul din prima față. Pătratăm acest număr și îl scriem sub numărul de pe prima latură.

3. Găsiți diferența dintre numărul de pe prima față și pătratul primului număr selectat.

4. Adăugăm următoarea muchie la diferența rezultată, numărul rezultat va fi divizibil. Să educăm separator. Dublam prima cifră selectată a răspunsului (înmulțim cu 2), obținem numărul de zeci al divizorului, iar numărul de unități ar trebui să fie astfel încât produsul său cu întregul divizor să nu depășească dividendul. Notăm numărul selectat ca răspuns.

5. Luăm marginea următoare la diferența rezultată și efectuăm acțiunile conform algoritmului. Dacă această față se dovedește a fi o față a unei părți fracționale, atunci punem o virgulă în răspuns. (Fig. 1.)

Folosind această metodă, puteți extrage numere cu precizii diferite, de exemplu, până la miimi. (Fig.2)

Luand in considerare diferite căi extragând rădăcina pătrată, putem concluziona: în fiecare caz specific, trebuie să decideți asupra alegerii celei mai eficiente pentru a petrece mai puțin timp rezolvând

Literatură:

1. Kiselev A. Elemente de algebră și analiză. Prima parte.-M.-1928

Cuvinte cheie: rădăcină pătrată, rădăcină pătrată.

Adnotare: Articolul descrie metode de extragere a rădăcinilor pătrate și oferă exemple de extragere a rădăcinilor.

În prefața primei sale ediții, „În regatul ingeniozității” (1908), E. I. Ignatiev scrie: „... inițiativa intelectuală, înțelepciunea rapidă și „ingeniozitatea” nu pot fi „găurite” sau „puse” în capul nimănui. Rezultatele sunt de încredere numai atunci când introducerea în domeniul cunoștințelor matematice se face într-un mod ușor și frumoasă formă, pe obiecte și exemple de situații obișnuite și de zi cu zi, selectate cu inteligență și divertisment adecvate.”

În prefața la ediția din 1911 „Rolul memoriei în matematică” E.I. Ignatiev scrie „... în matematică nu formulele trebuie amintite, ci procesul de gândire”.

Pentru a extrage rădăcina pătrată, există tabele de pătrate pentru numerele din două cifre; puteți factoriza numărul în factori primi și puteți extrage rădăcina pătrată a produsului. Un tabel de pătrate nu este uneori suficient; extragerea rădăcinii prin factoring este o sarcină care necesită timp, care, de asemenea, nu duce întotdeauna la rezultatul dorit. Încercați să luați rădăcina pătrată a lui 209764? Factorizarea în factori primi dă produsul 2*2*52441. Prin încercare și eroare, selecție - acest lucru, desigur, se poate face dacă sunteți sigur că acesta este un număr întreg. Metoda pe care vreau să o propun vă permite să luați rădăcina pătrată în orice caz.

Pe vremuri la institut (Institutul Pedagogic de Stat Perm) ni s-a făcut cunoștință cu această metodă, despre care acum vreau să vă vorbesc. Nu m-am întrebat niciodată dacă această metodă are o dovadă, așa că acum a trebuit să deduc eu o parte din dovadă.

Baza acestei metode este compoziția numărului =.

=&, adică & 2 =596334.

1. Împărțiți numărul (5963364) în perechi de la dreapta la stânga (5`96`33`64)

2. Extrageți rădăcina pătrată a primului grup din stânga ( - numărul 2). Așa obținem prima cifră a lui &.

3. Aflați pătratul primei cifre (2 2 =4).

4. Aflați diferența dintre primul grup și pătratul primei cifre (5-4=1).

5. Scoatem următoarele două cifre (obținem numărul 196).

6. Dublați prima cifră pe care am găsit-o și scrieți-o în stânga în spatele liniei (2*2=4).

7. Acum trebuie să găsim a doua cifră a numărului &: dublu față de prima cifră găsită devine cifra zecilor a numărului, care atunci când este înmulțită cu numărul de unități, trebuie să obțineți un număr mai mic decât 196 (acesta este numărul 4, 44*4=176). 4 este a doua cifră a lui &.

8. Găsiți diferența (196-176=20).

9. Demolam urmatorul grup (obtinem numarul 2033).

10. Dublați numărul 24, obținem 48.

Există 11,48 zeci într-un număr, atunci când înmulțim cu numărul de unități, ar trebui să obținem un număr mai mic decât 2033 (484*4=1936). Cifra pe care am găsit-o (4) este a treia cifră a numărului &.

Am dat dovada pentru următoarele cazuri:

1. Extragerea rădăcinii pătrate a unui număr de trei cifre;

2. Extragerea rădăcinii pătrate a unui număr de patru cifre.

Metode aproximative pentru extragerea rădăcinilor pătrate (fără a folosi un calculator).

1. Babilonienii antici au folosit următoarea metodă pentru a afla valoarea aproximativă a rădăcinii pătrate a numărului lor x. Ei au reprezentat numărul x ca sumă a 2 + b, unde a 2 este pătratul exact al numărului natural a (a 2 ? x) cel mai apropiat de numărul x și au folosit formula . (1)

Folosind formula (1), extragem rădăcina pătrată, de exemplu, din numărul 28:

Rezultatul extragerii rădăcinii lui 28 folosind MK este 5,2915026.

După cum vedem, metoda babiloniană oferă o bună aproximare a valoare exacta rădăcină

2. Isaac Newton a dezvoltat o metodă de a lua rădăcini pătrate care datează de la Heron din Alexandria (circa 100 d.Hr.). Această metodă (cunoscută ca metoda lui Newton) este următoarea.

Lăsa a 1- prima aproximare a unui număr (ca 1 puteți lua valorile rădăcinii pătrate a unui număr natural - un pătrat exact care nu depășește X) .

În continuare, o aproximare mai precisă a 2 numere găsit prin formula .