Un paralelipiped este o prismă patruunghiulară cu paralelograme la bază. Înălțimea unui paralelipiped este distanța dintre planurile bazelor sale. În figură, înălțimea este indicată de segment . Există două tipuri de paralelipipede: drepte și înclinate. De regulă, un profesor de matematică oferă mai întâi definițiile adecvate pentru o prismă și apoi le transferă pe un paralelipiped. Vom face la fel.

Permiteți-mi să vă reamintesc că o prismă se numește dreptă dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe baze; dacă nu există perpendicularitate, prisma se numește înclinată. Această terminologie este moștenită și de paralelipiped. Un paralelipiped drept nu este altceva decât un tip de prismă dreaptă, a cărei margine laterală coincide cu înălțimea. Sunt păstrate definițiile unor concepte precum față, margine și vârf, care sunt comune întregii familii de poliedre. Apare conceptul de fețe opuse. Un paralelipiped are 3 perechi de fețe opuse, 8 vârfuri și 12 muchii.

Diagonala unui paralelipiped (diagonala unei prisme) este un segment care leagă două vârfuri ale unui poliedru și nu se află pe niciuna dintre fețele sale.

Secțiune diagonală - o secțiune a unui paralelipiped care trece prin diagonala și diagonala bazei sale.

Proprietățile unui paralelipiped înclinat:
1) Toate fețele sale sunt paralelograme, iar fețele opuse sunt paralelograme egale.
2)Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct și bisectează în acest punct.
3)Fiecare paralelipiped este format din șase piramide triunghiulare de volum egal. Pentru a le arăta elevului, profesorul de matematică trebuie să taie jumătate din paraleliped cu secțiunea diagonală și să o împartă separat în 3 piramide. Bazele lor trebuie să se afle pe diferite fețe ale paralelipipedului original. Un profesor de matematică va găsi aplicarea acestei proprietăți în geometria analitică. Este folosit pentru a deduce volumul unei piramide printr-un produs mixt de vectori.

Formule pentru volumul unui paralelipiped:
1), unde este aria bazei, h este înălțimea.
2) Volumul unui paralelipiped este egal cu produsul dintre aria secțiunii transversale și marginea laterală.
Profesor de matematică: După cum știți, formula este comună tuturor prismelor și dacă tutorele a dovedit-o deja, nu are rost să repeți același lucru pentru un paralelipiped. Totuși, atunci când lucrezi cu un elev de nivel mediu (formula nu este utilă unui elev slab), este indicat ca profesorul să acționeze exact invers. Lăsați prisma în pace și efectuați o probă atentă pentru paralelipiped.
3) , unde este volumul uneia dintre cele șase piramide triunghiulare care alcătuiesc paralelipipedul.
4) Dacă , atunci

Aria suprafeței laterale a unui paralelipiped este suma ariilor tuturor fețelor sale:
Suprafața totală a unui paralelipiped este suma ariilor tuturor fețelor sale, adică aria + două zone ale bazei: .

Despre munca unui tutore cu un paralelipiped înclinat:
Un profesor de matematică nu lucrează adesea la probleme care implică un paralelipiped înclinat. Probabilitatea ca acestea să apară la Examenul Unificat de Stat este destul de mică, iar didactica este indecent de slabă. O problemă mai mult sau mai puțin decentă asupra volumului unui paralelipiped înclinat ridică probleme serioase asociate cu determinarea locației punctului H - baza înălțimii acestuia. În acest caz, profesorul de matematică poate fi sfătuit să taie paralelipipedul la una dintre cele șase piramide ale sale (care sunt discutate în proprietatea nr. 3), să încerce să-i găsească volumul și să-l înmulțească cu 6.

Dacă marginea laterală a unui paralelipiped are unghiuri egale cu laturile bazei, atunci H se află pe bisectoarea unghiului A a bazei ABCD. Și dacă, de exemplu, ABCD este un romb, atunci

Sarcini de profesor de matematică:
1) Fețele unui paralelipiped sunt egale între ele cu o latură de 2 cm și un unghi ascuțit. Aflați volumul paralelipipedului.
2) Într-un paralelipiped înclinat, marginea laterală este de 5 cm. Sectiunea perpendiculara pe aceasta este un patrulater cu diagonale reciproc perpendiculare avand lungimi de 6 cm si 8 cm.Calculati volumul paralelipipedului.
3) Într-un paralelipiped înclinat se știe că , iar în ABCD baza este un romb cu latura de 2 cm și un unghi . Determinați volumul paralelipipedului.

Profesor de matematică, Alexander Kolpakov

sau (echivalent) un poliedru cu șase fețe care sunt paralelograme. Hexagon.

Paralelogramele care alcătuiesc un paralelipiped sunt margini ale acestui paralelipiped, laturile acestor paralelograme sunt marginile unui paralelipiped, iar vârfurile paralelogramelor sunt culmi paralelipiped. Într-un paralelipiped, fiecare față este paralelogram.

De regulă, orice 2 fețe opuse sunt identificate și numite bazele paralelipipedului, iar fețele rămase - feţele laterale ale paralelipipedului. Marginile paralelipipedului care nu aparțin bazelor sunt coaste laterale.

2 fețe ale unui paralelipiped care au o muchie comună sunt adiacent, și cele care nu au margini comune - opus.

Un segment care conectează 2 vârfuri care nu aparțin primei fețe este diagonală paralelipipedă.

Lungimile marginilor unui paralelipiped dreptunghiular care nu sunt paralele sunt dimensiuni liniare (măsurători) paralelipiped. Un paralelipiped dreptunghiular are 3 dimensiuni liniare.

Tipuri de paralelipiped.

Există mai multe tipuri de paralelipipede:

Direct este un paralelipiped cu muchia perpendiculară pe planul bazei.

Un paralelipiped dreptunghiular în care toate cele 3 dimensiuni sunt egale este cub. Fiecare dintre fețele cubului este egală pătrate .

Orice paralelipiped. Volumul și rapoartele dintr-un paralelipiped înclinat sunt determinate în principal folosind algebră vectorială. Volumul unui paralelipiped este egal cu valoarea absolută a produsului mixt a 3 vectori, care sunt determinate de cele 3 laturi ale paralelipipedului (care provin din același vârf). Relația dintre lungimile laturilor paralelipipedului și unghiurile dintre ele arată afirmația că determinantul Gram al celor 3 vectori dați este egal cu pătratul produsului lor mixt.

Proprietățile unui paralelipiped.

• Paralepipedul este simetric în jurul mijlocului diagonalei sale.
• Orice segment cu capete care aparțin suprafeței unui paralelipiped și care trece prin mijlocul diagonalei acestuia este împărțit de acesta în două părți egale. Toate diagonalele paralelipipedului se intersectează în primul punct și sunt împărțite de acesta în două părți egale.
• Fețele opuse ale paralelipipedului sunt paralele și au dimensiuni egale.
• Pătratul lungimii diagonalei unui paralelipiped dreptunghic este egal cu

În această lecție, toată lumea va putea studia subiectul „Paralepiped dreptunghiular”. La începutul lecției, vom repeta ce sunt paralelipipedele drepte și arbitrare, amintiți-vă proprietățile fețelor și diagonalelor lor opuse ale paralelipipedului. Apoi ne vom uita la ce este un cuboid și vom discuta proprietățile sale de bază.

Tema: Perpendicularitatea dreptelor și a planurilor

Lecția: Cuboid

O suprafață compusă din două paralelograme egale ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 și patru paralelograme ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 se numește paralelipiped(Fig. 1).

Orez. 1 Paralelepiped

Adică: avem două paralelograme egale ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 (baze), acestea se află în plane paralele astfel încât marginile laterale AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 să fie paralele. Astfel, o suprafață compusă din paralelograme se numește paralelipiped.

Astfel, suprafața unui paralelipiped este suma tuturor paralelogramelor care alcătuiesc paralelipipedul.

1. Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și egale.

(formele sunt egale, adică pot fi combinate prin suprapunere)

De exemplu:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (paralelograme egale prin definiție),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (deoarece AA 1 B 1 B și DD 1 C 1 C sunt fețe opuse ale paralelipipedului),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (deoarece AA 1 D 1 D și BB 1 C 1 C sunt fețe opuse ale paralelipipedului).

2. Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct și sunt tăiate în două de acest punct.

Diagonalele paralelipipedului AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se intersectează într-un punct O, iar fiecare diagonală este împărțită la jumătate de acest punct (Fig. 2).

Orez. 2 Diagonalele unui paralelipiped se intersectează și sunt împărțite la jumătate la punctul de intersecție.

3. Există trei cvadruple de margini egale și paralele ale unui paralelipiped: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definiție. Un paralelipiped se numește drept dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe baze.

Lăsați marginea laterală AA 1 să fie perpendiculară pe bază (Fig. 3). Aceasta înseamnă că dreapta AA 1 este perpendiculară pe liniile drepte AD și AB, care se află în planul bazei. Aceasta înseamnă că fețele laterale conțin dreptunghiuri. Și bazele conțin paralelograme arbitrare. Să notăm ∠BAD = φ, unghiul φ poate fi oricare.

Orez. 3 Paralepipedul drept

Deci, un paralelipiped drept este un paralelipiped în care marginile laterale sunt perpendiculare pe bazele paralelipipedului.

Definiție. Paralepipedul se numește dreptunghiular, dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe bază. Bazele sunt dreptunghiuri.

Paralelepipedul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 este dreptunghiular (Fig. 4), dacă:

1. AA 1 ⊥ ABCD (margine laterală perpendiculară pe planul bazei, adică paralelipiped drept).

2. ∠BAD = 90°, adică baza este un dreptunghi.

Orez. 4 Paralepiped dreptunghiular

Un paralelipiped dreptunghiular are toate proprietățile unui paralelipiped arbitrar. Dar există proprietăți suplimentare care sunt derivate din definiția unui cuboid.

Asa de, cuboid este un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe bază. Baza unui cuboid este un dreptunghi.

1. Într-un paralelipiped dreptunghiular, toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri.

ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 sunt dreptunghiuri prin definiție.

2. Coastele laterale sunt perpendiculare pe bază. Aceasta înseamnă că toate fețele laterale ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt dreptunghiuri.

3. Toate unghiurile diedrice ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt drepte.

Să considerăm, de exemplu, unghiul diedric al unui paralelipiped dreptunghic cu muchia AB, adică unghiul diedric dintre planele ABC 1 și ABC.

AB este o muchie, punctul A 1 se află într-un plan - în planul ABB 1, iar punctul D în celălalt - în planul A 1 B 1 C 1 D 1. Atunci unghiul diedric luat în considerare mai poate fi notat astfel: ∠A 1 ABD.

Să luăm punctul A pe muchia AB. AA 1 este perpendicular pe muchia AB în planul АВВ-1, AD este perpendicular pe muchia AB în planul ABC. Aceasta înseamnă că ∠A 1 AD este unghiul liniar al unui unghi diedric dat. ∠A 1 AD = 90°, ceea ce înseamnă că unghiul diedrului la muchia AB este de 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

În mod similar, se dovedește că orice unghiuri diedrice ale unui paralelipiped dreptunghic sunt drepte.

Pătratul diagonalei unui paralelipiped dreptunghic este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

Notă. Lungimile celor trei muchii care emană dintr-un vârf al unui cuboid sunt măsurătorile cuboidului. Ele sunt uneori numite lungime, lățime, înălțime.

Dat: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralelipiped dreptunghiular (Fig. 5).

Demonstrează: .

Orez. 5 Paralepiped dreptunghiular

Dovada:

Linia dreaptă CC 1 este perpendiculară pe planul ABC și, prin urmare, pe dreapta AC. Aceasta înseamnă că triunghiul CC 1 A este dreptunghic. Conform teoremei lui Pitagora:

Luați în considerare triunghiul dreptunghic ABC. Conform teoremei lui Pitagora:

Dar BC și AD sunt laturi opuse ale dreptunghiului. Deci BC = AD. Apoi:

Deoarece , A , Acea. Deoarece CC 1 = AA 1, acesta este ceea ce trebuia demonstrat.

Diagonalele unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale.

Să notăm dimensiunile paralelipipedului ABC ca a, b, c (vezi Fig. 6), apoi AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =