Oferă date de referință pentru functie exponentiala- proprietăți de bază, grafice și formule. Sunt luate în considerare următoarele aspecte: domeniul de definiție, set de valori, monotonitate, funcție inversă, derivată, integrală, expansiune în serie de puteriși reprezentarea folosind numere complexe.

Definiție

Functie exponentiala este o generalizare a produsului a n numere egale cu a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
la mulțimea numerelor reale x:
y (x) = ax.
Aici a este un număr real fix, care este numit baza functiei exponentiale.
Se mai numește și o funcție exponențială cu baza a exponent la baza a.

Generalizarea se realizează după cum urmează.
Pentru natural x = 1, 2, 3,... , funcția exponențială este produsul x factori:
.
Mai mult, are proprietăți (1,5-8) (), care decurg din regulile de înmulțire a numerelor. Pentru valorile zero și negative ale numerelor întregi, funcția exponențială este determinată folosind formulele (1.9-10). Pentru valori fracționale x = m/n numere rationale, , se determină prin formula (1.11). Pentru valori reale, funcția exponențială este definită ca limită de secvență:
,
unde este o succesiune arbitrară de numere raționale care converg către x: .
Cu această definiție, funcția exponențială este definită pentru toate , și satisface proprietățile (1.5-8), ca pentru x natural.

O formulare matematică riguroasă a definiției unei funcții exponențiale și demonstrarea proprietăților acesteia este dată la pagina „Definiția și demonstrarea proprietăților unei funcții exponențiale”.

Proprietățile funcției exponențiale

Funcția exponențială y = a x are următoarele proprietăți pe mulțimea numerelor reale ():
(1.1) definit si continuu, pentru , pentru toti ;
(1.2) pentru un ≠ 1 are multe semnificații;
(1.3) strict crește la , scade strict la ,
este constantă la ;
(1.4) la ;
la ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Alte formule utile.
.
Formula pentru conversia într-o funcție exponențială cu o bază de exponent diferită:

Când b = e, obținem expresia funcției exponențiale prin exponențială:

Valori private

, , , , .

Figura prezintă grafice ale funcției exponențiale
y (x) = ax
pentru patru valori baze de grad: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 și a = 1/8 . Se vede că pentru un > 1 funcţia exponenţială creşte monoton. Cu cât baza gradului a este mai mare, cu atât creșterea este mai puternică. La 0 < a < 1 funcţia exponenţială scade monoton. Cu cât exponentul a este mai mic, cu atât scăderea este mai puternică.

Urcând, coborând

Funcția exponențială pentru este strict monotonă și, prin urmare, nu are extreme. Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel.

	y = a x , a > 1	y = ax, 0 < a < 1
Domeniu	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Gama de valori	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monoton	crește monoton	scade monoton
Zerouri, y = 0	Nu	Nu
Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Funcție inversă

Inversa unei funcții exponențiale cu baza a este logaritmul cu baza a.

Daca atunci
.
Daca atunci
.

Diferențierea unei funcții exponențiale

Pentru a diferenția o funcție exponențială, baza acesteia trebuie redusă la numărul e, aplicați tabelul de derivate și regula de diferențiere functie complexa.

Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați proprietatea logaritmilor
și formula din tabelul derivatelor:
.

Să fie dată o funcție exponențială:
.
O aducem la baza e:

Să aplicăm regula de diferențiere a funcțiilor complexe. Pentru a face acest lucru, introduceți variabila

Apoi

Din tabelul derivatelor avem (înlocuiește variabila x cu z):
.
Deoarece este o constantă, derivata lui z față de x este egală cu
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe:
.

Derivata unei functii exponentiale

.
Derivată de ordin al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >

Un exemplu de diferențiere a unei funcții exponențiale

Aflați derivata unei funcții
y = 3 5 x

Soluţie

Să exprimăm baza funcției exponențiale prin numărul e.
3 = e ln 3
Apoi
.
Introduceți o variabilă
.
Apoi

Din tabelul derivatelor găsim:
.
Deoarece 5ln 3 este o constantă, atunci derivata lui z față de x este egală cu:
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, avem:
.

Răspuns

Integral

Expresii folosind numere complexe

Luați în considerare funcția număr complex z:
f (z) = a z
unde z = x + iy; i 2 = - 1 .
Să exprimăm constanta complexă a în termeni de modul r și argument φ:
a = r e i φ
Apoi


.
Argumentul φ nu este definit în mod unic. În general
φ = φ 0 + 2 πn,
unde n este un număr întreg. Prin urmare, funcția f (z) nici nu este clar. Semnificația sa principală este adesea luată în considerare
.

Extinderea seriei

.

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

Funcțiile și proprietățile lor

Funcția este unul dintre cele mai importante concepte matematice.Funcţie Ei numesc o astfel de dependență a variabilei y de variabila x în care fiecare valoare a variabilei x corespunde unei singure valori a variabilei y.

Variabil X numit variabila independenta sau argument. Variabil la numit variabilă dependentă. Ei spun si astavariabila y este o funcție a variabilei x. Se numesc valorile variabilei dependentevalorile funcției.

Dacă dependenţa variabileila din variabilăX este o funcție, atunci poate fi scrisă pe scurt după cum urmează:y= f( X ). (Citit:la egalăf dinX .) Simbolf( X) notează valoarea funcţiei corespunzătoare valorii argumentului egal cuX .

Toate valorile variabilei independente formeazădomeniul unei funcții . Toate valorile pe care variabila dependentă le ia formăintervalul de funcții .

Dacă o funcție este specificată printr-o formulă și domeniul ei de definiție nu este specificat, atunci domeniul de definire al funcției este considerat a fi format din toate valorile argumentului pentru care formula are sens.

Metode pentru specificarea unei funcții:

1.metoda analitică (funcția este specificată folosind o formulă matematică;

2.metoda tabulară (funcția este specificată folosind un tabel)

3.metoda descriptivă (funcția este specificată prin descriere verbală)

4. metoda grafica (functia este specificata cu ajutorul unui grafic).

Graficul funcției numiți mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate, ale căror abscise sunt egale cu valorile argumentului și ordonatele - valorile funcţiei corespunzătoare.

PROPRIETĂȚI DE BAZĂ ALE FUNCȚIILOR

1. Zerourile funcției

Zero al unei funcții este valoarea argumentului la care valoarea funcției este egală cu zero.

2. Intervale de semn constant al unei funcții

Intervalele de semn constant ale unei funcții sunt seturi de valori ale argumentului pe care valorile funcției sunt doar pozitive sau numai negative.

3. Funcția de creștere (scădere).

Crescând într-un anumit interval o funcţie este o funcţie pentru care valoare mai mare argumentului din acest interval îi corespunde o valoare mai mare a funcției.

Funcţie y = f ( X ) numit crescând pe interval (A; b ), dacă pentru oricare X 1 Și X 2 din acest interval astfel încâtX 1 < X 2 , inegalitatea este adevăratăf ( X 1 )< f ( X 2 ).

Descendentă într-un anumit interval, o funcție este o funcție pentru care o valoare mai mare a argumentului din acest interval îi corespunde unei valori mai mici a funcției.

Funcţie la = f ( X ) numit in scadere pe interval (A; b ) , dacă pentru vreunul X 1 Și X 2 din acest interval astfel încât X 1 < X 2 , inegalitatea este adevăratăf ( X 1 )> f ( X 2 ).

4. Funcție pară (impar).

Chiar și funcție - o funcție al cărei domeniu de definiție este simetric față de origine și pentru oricareX din domeniul definirii egalitateaf (- X ) = f ( X ) . Graficul unei funcții pare este simetric față de ordonată.

De exemplu, y = x 2 - funcția uniformă.

Funcție ciudată- o funcție al cărei domeniu de definiție este simetric față de origine și pentru oricare X din domeniul definiției egalitatea este adevărată f (- X ) = - f (X ). Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

De exemplu: y = x 3 - functie impara .

Funcţie vedere generala nu este par sau impar (y = x 2 +x ).

Proprietățile unor funcții și grafica acestora

1. Funcție liniară numită funcţie a formei , Unde k Și b – numere.

Domeniul de definire al unei funcții liniare este o mulțimeR numere reale.

Graficul unei funcții liniarela = kx + b ( k ≠ 0) este o dreaptă care trece prin punctul (0;b ) și paralel cu liniala = kx .

Drept, nu paralel cu axaOU, este graficul unei funcții liniare.

Proprietățile unei funcții liniare.

1. Când k > 0 functie la = kx + b

2. Când k < 0 functie y = kx + b în scădere în domeniul definiţiei.

y = kx + b ( k ≠ 0 ) este întreaga linie numerică, adică o multime deR numere reale.

La k = 0 set de valori ale funcțieiy = kx + b constă dintr-un numărb .

3. Când b = 0 și k = 0 funcția nu este nici pară, nici impară.

La k = 0 funcția liniară are formay = b iar la b ≠ 0 este chiar.

La k = 0 și b = 0 funcția liniară are formay = 0 și este atât par cât și impar.

Graficul unei funcții liniarey = b este o dreaptă care trece prin punctul (0; b ) și paralel cu axaOh. Rețineți că atunci când b = 0 grafic al funcțieiy = b coincide cu axa Oh .

5. Când k > 0 avem asta la> 0, dacă și la< 0 dacă . La k < 0 avem că y > 0 dacă iar la< 0, если .

2. Funcția y = X 2

Rnumere reale.

Oferirea unei variabileX mai multe valori din domeniul funcției și calculând valorile corespunzătoarela conform formulei y = X 2 , descriem graficul funcției.

Graficul unei funcții y = X 2 numit parabolă.

Proprietățile funcției y = x 2 .

1. Dacă X= 0, atunci y = 0, adică o parabolă are axe de coordonate punct comun(0; 0) - origine.

2. Dacă x ≠ 0 , Acea la > 0, adică toate punctele parabolei, cu excepția originii, se află deasupra axei x.

3. Set de valori ale funcțieila = X 2 este funcția spanla = X 2 scade.

X

3.Funcție

Domeniul acestei funcții este funcția spany = | X | scade.

7. Cea mai mică valoare funcția ia la punctX, aceasta este egal cu 0. Cea mai mare valoare nu exista.

6. Funcţie

Domeniul de aplicare: .

Gama de funcții: .

Graficul este o hiperbolă.

1. Zerourile funcției.

y ≠ 0, fără zerouri.

2. Intervale de constanță a semnelor,

Dacă k > 0, atunci la> 0 la X > 0; la < 0 при X < О.

Dacă k < 0, то la < 0 при X > 0; la> 0 la X < 0.

3. Intervale de crestere si scadere.

Dacă k > 0, atunci funcția scade pe măsură ce .

Dacă k < 0, то функция возрастает при .

4. Funcție pară (impar).

Funcția este ciudată.

Trinom pătrat

Ecuația formei topor 2 + bx + c = 0, unde A , bȘi Cu - niște numere șia≠ 0, numit pătrat.

Într-o ecuație pătraticătopor 2 + bx + c = 0 coeficient A numit primul coeficient b - al doilea coeficient, cu - membru gratuit.

Formula rădăcină ecuație pătratică are forma:

.

Expresia se numește discriminant ecuație pătratică și se notează cuD .

Dacă D = 0, atunci există un singur număr care satisface ecuația topor 2 + bx + c = 0. Totuși, am convenit să spunem că în acest caz ecuația pătratică are două rădăcini reale egale, iar numărul însuși numit rădăcină dublă.

Dacă D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Dacă D > 0, atunci ecuația pătratică are două rădăcini reale diferite.

Să fie dată o ecuație pătraticătopor 2 + bx + c = 0. Din moment ce a≠ 0, apoi împărțind ambele părți ecuația dată peA, obținem ecuația . crezând Și , ajungem la ecuație , în care primul coeficient este egal cu 1. Această ecuație se numeștedat.

Formula pentru rădăcinile ecuației pătratice de mai sus este:

.

Ecuații de formă

A X 2 + bx = 0, topor 2 + s = 0, A X 2 = 0

sunt numite ecuații pătratice incomplete. Ecuațiile patratice incomplete sunt rezolvate prin factorizarea părții stângi a ecuației.

teorema lui Vieta .

Suma rădăcinilor unei ecuații pătratice este egală cu raportul dintre al doilea coeficient și primul, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este raportul dintre termenul liber și primul coeficient, adică.

Teorema inversă.

Dacă suma oricăror două numereX 1 Și X 2 egal cu , iar produsul lor este egal, atunci aceste numere sunt rădăcinile ecuației pătraticeOh 2 + b x + c = 0.

Funcția formei Oh 2 + b x + c numit trinom pătrat. Rădăcinile acestei funcții sunt rădăcinile ecuației pătratice corespunzătoareOh 2 + b x + c = 0.

Dacă discriminantul unui trinom pătratic este mai mare decât zero, atunci acest trinom poate fi reprezentat ca:

Oh 2 + b x + c = a(x-x 1 )(x-x 2 )

Unde X 1 Și X 2 - rădăcinile trinomului

Dacă discriminantul unui trinom pătratic este zero, atunci acest trinom poate fi reprezentat ca:

Oh 2 + b x + c = a(x-x 1 ) 2

Unde X 1 - rădăcina trinomului.

De exemplu, 3x 2 - 12x + 12 = 3(x - 2) 2 .

Ecuația formei Oh 4 + b X 2 + s= 0 este numit biquadratic. Folosind înlocuirea variabilei folosind formulaX 2 = y se reduce la o ecuație pătraticăA y 2 + de + c = 0.

Funcția pătratică

Funcția pătratică este o funcție care poate fi scrisă printr-o formulă de formăy = topor 2 + bx + c , Unde X - variabila independenta,A , b Și c – câteva numere șiA ≠ 0.

Proprietățile funcției și tipul graficului acesteia sunt determinate în principal de valorile coeficientuluiA și discriminant.

Proprietățile unei funcții pătratice

Domeniu:R;

Interval de valori:

la A > 0 [- D/(4 A); ∞)

la A < 0 (-∞; - D/(4 A)];

Chiar ciudat:

la b = 0 funcție pară

la b ≠ Funcția 0 nu este nici pară, nici impară

la D> 0 două zerouri: ,

la D= 0 unu zero:

la D < 0 нулей нет

Intervale de constanță a semnelor:

dacă a > 0, D> 0, atunci

dacă a > 0, D= 0, atunci

e dacă a > 0, D < 0, то

în cazul în care o< 0, D> 0, atunci

în cazul în care o< 0, D= 0, atunci

în cazul în care o< 0, D < 0, то

- Intervale de monotonie

pentru a > 0

la o< 0

Graficul unei funcții pătratice esteparabolă – o curbă simetrică față de o dreaptă , trecând prin vârful parabolei (vârful parabolei este punctul de intersecție al parabolei cu axa de simetrie).

Pentru a reprezenta grafic o funcție pătratică, aveți nevoie de:

1) găsiți coordonatele vârfului parabolei și marcați-l în planul de coordonate;

2) construiți mai multe puncte aparținând parabolei;

3) conectați punctele marcate cu o linie netedă.

Coordonatele vârfului parabolei sunt determinate de formulele:

; .

Conversia graficelor de funcții

1. Întinderea Arte graficey = x 2 de-a lungul axeila V|a| ori (la|a| < 1 este o compresie de 1/|a| o singura data).

Dacă, și< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (ramurile parabolei vor fi îndreptate în jos).

Rezultat: graficul unei funcțiiy = ah 2 .

2. Transfer paralel grafica functionalay = ah 2 de-a lungul axeiX pe| m | (în dreapta când

m > 0 și la stânga cândT< 0).

Rezultat: graficul funcțieiy = a(x - t) 2 .

3. Transfer paralel grafica functionala de-a lungul axeila pe| n | (sus lap> 0 și în jos laP< 0).

Rezultat: graficul funcțieiy = a(x - t) 2 + p.

Inegalități cuadratice

Inegalitățile de formăOh 2 + b x + c > 0 șiOh 2 + bx + c< 0, undeX - variabil,A , b ȘiCu - niște numere șia≠ 0 se numesc inegalități de gradul doi cu o variabilă.

Rezolvarea unei inegalități de gradul doi într-o variabilă poate fi considerată ca găsirea intervalelor în care funcția pătratică corespunzătoare ia valori pozitive sau negative.

Pentru a rezolva inegalitățile de formăOh 2 + bx + c > 0 șiOh 2 + bx + c< 0 procedați după cum urmează:

1) aflați discriminantul trinomului pătratic și aflați dacă trinomul are rădăcini;

2) dacă trinomul are rădăcini, atunci marcați-le pe axăX iar prin punctele marcate se desenează schematic o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus spreA > 0 sau în jos cândA< 0; dacă trinomul nu are rădăcini, atunci descrieți schematic o parabolă situată în semiplanul superior laA > 0 sau mai mic laA < 0;

3) găsite pe axăX intervale pentru care punctele parabolei sunt situate deasupra axeiX (dacă inegalitatea este rezolvatăOh 2 + bx + c > 0) sau sub axăX (dacă inegalitatea este rezolvatăOh 2 + bx + c < 0).

Exemplu:

Să rezolvăm inegalitatea .

Luați în considerare funcția

Graficul său este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos (din moment ce ).

Să aflăm cum se află graficul în raport cu axaX. Să rezolvăm ecuația pentru asta . Înțelegem astax = 4. Ecuația are o singură rădăcină. Aceasta înseamnă că parabola atinge axaX.

Reprezentând schematic o parabolă, constatăm că funcția ia valori negative pentru oricareX, cu exceptia 4.

Răspunsul poate fi scris astfel:X - orice număr care nu este egal cu 4.

Rezolvarea inegalităților folosind metoda intervalului

diagrama solutiei

1. Găsiți zerouri funcția din partea stângă a inegalității.

2. Marcați poziția zerourilor pe axa numerelor și determinați multiplicitatea acestora (Dacăk i este par, atunci zero este de multiplicitate pare dacăk i impar este impar).

3. Găsiți semnele funcției în intervalele dintre zerourile sale, începând din intervalul din dreapta: în acest interval funcția din partea stângă a inegalității este întotdeauna pozitivă pentru forma dată de inegalități. Când treceți de la dreapta la stânga prin zeroul unei funcții de la un interval la unul adiacent, ar trebui să luați în considerare:

dacă zero este impar multiplicitate, semnul funcției se schimbă,

dacă zero este par multiplicitate, se păstrează semnul funcției.

4. Scrieți răspunsul.

Exemplu:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

S-au găsit zerouri de funcție. Sunt egali:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Să marchem zerourile funcției pe linia de coordonatef ( X ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Să găsim semnele acestei funcții în fiecare dintre intervalele (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) și

Din figură reiese clar că mulțimea soluțiilor inegalității este uniunea intervalelor (-∞; -6) și (-1; 4).

Răspuns: (-∞ ; -6) și (-1; 4).

Metoda avută în vedere pentru rezolvarea inegalităților se numeștemetoda intervalului.

Pentru a înțelege acest subiect, să luăm în considerare o funcție reprezentată pe un grafic // Să arătăm cum un grafic al unei funcții vă permite să determinați proprietățile acesteia.

Să ne uităm la proprietățile unei funcții folosind un exemplu

Domeniul de definire al funcției este interval [ 3,5; 5.5].

Gama de valori ale funcției este span [ 1; 3].

1. La x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, valoarea funcției este zero.

Valoarea argumentului la care valoarea funcției este zero se numește funcție zero.

//acestea. pentru această funcție numerele sunt -3;-1;1,5; 4,5 sunt zerouri.

2. La intervale [ 4,5; 3) și (1; 1.5) și (4.5; 5.5] graficul funcției f este situat deasupra axei absciselor, iar în intervalele (-3; -1) și (1.5; 4.5) sub axa absciselor, acesta se explica asa -la intervale[ 4,5; 3) și (1; 1.5) și (4.5;5.5] funcția ia valori pozitive, iar pe intervalele (-3; -1) și (1,5; 4,5) sunt negative.

Fiecare dintre intervalele indicate (unde funcția ia valori de același semn) se numește interval de semn constant al funcției f.//i.e. de exemplu, dacă luăm intervalul (0; 3), atunci nu este un interval de semn constant al acestei funcții.

În matematică, când se caută intervale cu semn constant al unei funcții, se obișnuiește să se indice intervalele lungime maxima. //Acestea. intervalul (2; 3) este interval de constanță a semnului funcția f, dar răspunsul ar trebui să includă intervalul [ 4.5; 3) conţinând intervalul (2; 3).

3. Dacă vă deplasați de-a lungul axei x de la 4,5 la 2, veți observa că graficul funcției scade, adică valorile funcției scad. //În matematică se obișnuiește să se spună că pe intervalul [ 4,5; 2] funcția scade.

Pe măsură ce x crește de la 2 la 0, graficul funcției crește, adică. valorile funcției cresc. //În matematică se obișnuiește să se spună că pe intervalul [ 2; 0] funcția crește.

O funcție f este numită dacă pentru oricare două valori ale argumentului x1 și x2 din acest interval astfel încât x2 > x1, inegalitatea f (x2) > f (x1) este valabilă. // sau funcția este apelată crescând într-un anumit interval, dacă pentru orice valoare a argumentului din acest interval, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției.//i.e. cu cât mai mult x, cu atât mai mult y.

Se apelează funcția f scăzând într-un anumit interval, dacă pentru oricare două valori ale argumentului x1 și x2 din acest interval astfel încât x2 > x1, inegalitatea f(x2) este în scădere pe un anumit interval, dacă pentru orice valoare a argumentului din acest interval valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mici a funcției. //acestea. cu cât mai mult x, cu atât mai puțin y.

Dacă o funcție crește pe întregul domeniu de definiție, atunci este numită crescând.

Dacă o funcție scade pe întregul domeniu de definiție, atunci este numită in scadere.

Exemplul 1. grafic al funcțiilor crescătoare și respectiv descrescătoare.

Exemplul 2.

Definiți fenomenul. Funcția liniară f(x) = 3x + 5 crește sau descrește?

Dovada. Să folosim definițiile. Fie x1 și x2 valori arbitrare ale argumentului și x1< x2., например х1=1, х2=7

Secțiunea conține materiale de referință despre principalele funcții elementare și proprietățile acestora. Este dată o clasificare a funcțiilor elementare. Mai jos sunt legături către subsecțiuni care discută proprietățile funcțiilor specifice - grafice, formule, derivate, antiderivate (integrale), expansiuni de serie, expresii prin variabile complexe.

Pagini de referință pentru funcțiile de bază

Clasificarea funcţiilor elementare

Funcția algebrică este o funcție care satisface ecuația:
,
unde este un polinom în variabila dependentă y și variabila independentă x. Se poate scrie ca:
,
unde sunt polinoame.

Funcțiile algebrice sunt împărțite în polinoame (funcții raționale întregi), funcții raționale și funcții iraționale.

Întreaga funcție rațională, care se mai numește polinom sau polinom, se obține din variabila x și un număr finit de numere folosind operațiile aritmetice de adunare (scădere) și înmulțire. După deschiderea parantezelor, polinomul este redus la forma canonică:
.

Funcție rațională fracțională, sau pur și simplu functie rationala, se obține din variabila x și un număr finit de numere folosind operațiile aritmetice de adunare (scădere), înmulțire și împărțire. Funcția rațională poate fi redusă la forma
,
unde și sunt polinoame.

Funcția irațională este o funcție algebrică care nu este rațională. De regulă, o funcție irațională este înțeleasă ca rădăcini și compozițiile lor cu funcții raționale. O rădăcină de grad n este definită ca soluție a ecuației
.
Se desemnează după cum urmează:
.

Funcții transcendentale se numesc funcţii non-algebrice. Acestea sunt exponențiale, trigonometrice, hiperbolice și funcțiile lor inverse.

Prezentare generală a funcțiilor elementare de bază

Toate funcțiile elementare pot fi reprezentate ca un număr finit de operații de adunare, scădere, înmulțire și împărțire efectuate pe o expresie de forma:
z t .
Funcțiile inverse pot fi exprimate și în termeni de logaritmi. Funcțiile elementare de bază sunt enumerate mai jos.

Funcția de putere:
y(x) = x p ,
unde p este exponentul. Depinde de baza gradului x.
Inversa funcției de putere este, de asemenea, funcția de putere:
.
Pentru o valoare întreagă nenegativă a exponentului p, este un polinom. Pentru o valoare întreagă p - o funcție rațională. Cu un sens rațional - o funcție irațională.

Funcții transcendentale

Functie exponentiala :
y(x) = a x ,
unde a este baza gradului. Depinde de exponentul x.
Funcția inversă este logaritmul la baza a:
x = log a y.

Exponent, e la puterea x:
y(x) = e x ,
Aceasta este o funcție exponențială a cărei derivată este egală cu funcția în sine:
.
Baza exponentului este numărul e:
≈ 2,718281828459045... .
Funcția inversă este logaritmul natural - logaritmul la baza numărului e:
x = ln y ≡ log e y.

Funcții trigonometrice:
Sinus: ;
Cosinus: ;
Tangenta: ;
Cotangent: ;
Aici i este unitatea imaginară, i 2 = -1.

Funcții trigonometrice inverse:
Arcsin: x = arcsin y, ;
Arccosinus: x = arccos y, ;
Arctangent: x = arctan y, ;
Arc tangentă: x = arcctg y, .

The material metodologic este doar pentru referință și se aplică unei game largi de subiecte. Articolul oferă o prezentare generală a graficelor funcțiilor elementare de bază și ia în considerare cea mai importantă problemă - cum să construiți un grafic corect și RAPID. În cursul studierii matematicii superioare fără cunoștințe despre graficele funcțiilor elementare de bază, va fi dificil, așa că este foarte important să ne amintim cum arată graficele unei parabole, hiperbole, sinus, cosinus etc. și amintiți-vă câteva a semnificaţiilor funcţiilor. Vom vorbi și despre câteva proprietăți ale principalelor funcții.

Nu pretind completitudinea și temeinicia științifică a materialelor; accentul va fi pus, în primul rând, pe practică - acele lucruri cu care se întâlnește literalmente la fiecare pas, în orice subiect de matematică superioară. Grafice pentru manechine? S-ar putea spune așa.

Datorită numeroaselor solicitări din partea cititorilor cuprins pe care se poate face clic:

În plus, există un rezumat ultra-scurt pe această temă
– stăpânește 16 tipuri de diagrame studiind șase pagini!

Serios, șase, chiar și eu am fost surprins. Acest rezumat conține grafică îmbunătățită și este disponibil pentru o taxă nominală; o versiune demo poate fi vizualizată. Este convenabil să imprimați fișierul, astfel încât graficele să fie întotdeauna la îndemână. Vă mulțumim pentru susținerea proiectului!

Și să începem imediat:

Cum se construiesc corect axele de coordonate?

În practică, testele sunt aproape întotdeauna finalizate de către elevi în caiete separate, aliniate într-un pătrat. De ce ai nevoie de marcaje în carouri? La urma urmei, munca, în principiu, se poate face pe coli A4. Și cușca este necesară doar pentru proiectarea de înaltă calitate și precisă a desenelor.

Orice desen al unui grafic de funcții începe cu axe de coordonate.

Desenele pot fi bidimensionale sau tridimensionale.

Să luăm mai întâi în considerare cazul bidimensional Sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare:

1) Desenați axele de coordonate. Axa se numește axa x , iar axa este axa y . Întotdeauna încercăm să le desenăm îngrijită și nu strâmbă. De asemenea, săgețile nu ar trebui să semene cu barba lui Papa Carlo.

2) Etichetați axele cu litere mari„X” și „Y”. Nu uitați să etichetați axele.

3) Setați scara de-a lungul axelor: trageți un zero și doi uni. Când faceți un desen, scara cea mai convenabilă și folosită frecvent este: 1 unitate = 2 celule (desen din stânga) - dacă este posibil, rămâneți de ea. Totuși, din când în când se întâmplă ca desenul să nu încapă pe foaia caietului - atunci reducem scara: 1 unitate = 1 celulă (desen din dreapta). Este rar, dar se întâmplă ca scara desenului să fie redusă (sau mărită) și mai mult

NU ESTE NEVOIE să „mitralieră” …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Căci planul de coordonate nu este un monument al lui Descartes, iar elevul nu este un porumbel. Am pus zeroȘi două unități de-a lungul axelor. Uneori în loc de unități, este convenabil să „marcați” alte valori, de exemplu, „două” pe axa absciselor și „trei” pe axa ordonatelor - și acest sistem (0, 2 și 3) va defini, de asemenea, în mod unic grila de coordonate.

Este mai bine să estimați dimensiunile estimate ale desenului ÎNAINTE de a construi desenul. Deci, de exemplu, dacă sarcina necesită desenarea unui triunghi cu vârfuri , , , atunci este complet clar că scara populară de 1 unitate = 2 celule nu va funcționa. De ce? Să ne uităm la punctul - aici va trebui să măsurați cincisprezece centimetri mai jos și, evident, desenul nu se va potrivi (sau abia se va potrivi) pe o foaie de caiet. Prin urmare, selectăm imediat o scară mai mică: 1 unitate = 1 celulă.

Apropo, despre centimetri și celule de notebook. Este adevărat că 30 de celule de notebook conțin 15 centimetri? Pentru distracție, măsurați 15 centimetri în caiet cu o riglă. În URSS, s-ar putea să fi fost adevărat... Este interesant de observat că dacă măsurați acești centimetri pe orizontală și pe verticală, rezultatele (în celule) vor fi diferite! Strict vorbind, caietele moderne nu sunt în carouri, ci dreptunghiulare. Acest lucru poate părea o prostie, dar desenarea, de exemplu, a unui cerc cu o busolă în astfel de situații este foarte incomod. Sincer să fiu, în astfel de momente începi să te gândești la corectitudinea tovarășului Stalin, care a fost trimis în lagăre pentru muncă de hack în producție, ca să nu mai vorbim de industria auto autohtonă, căderea avioanelor sau exploziile centralelor electrice.

Apropo de calitate, sau o scurtă recomandare despre papetărie. Astăzi, majoritatea caietelor aflate în vânzare sunt, cel puțin, o porcărie completă. Din motivul că se udă, și nu numai de la pixurile cu gel, ci și de la pixurile cu bilă! Economisesc bani pe hârtie. Pentru a finaliza testele, recomand să folosiți caiete de la Fabrica de celuloză și hârtie din Arkhangelsk (18 coli, pătrat) sau „Pyaterochka”, deși este mai scump. Este recomandabil să alegeți un pix cu gel; chiar și cea mai ieftină umplutură de gel chinezească este mult mai bună decât un pix, care fie pătează, fie rupe hârtia. Singurul pix „competitiv” pe care mi-l amintesc este Erich Krause. Ea scrie clar, frumos și consecvent – ​​fie cu miezul plin, fie cu unul aproape gol.

În plus: Viziunea unui sistem de coordonate dreptunghiulare prin ochii geometriei analitice este acoperită în articol Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorilor, informatii detaliate despre sferturi de coordonate pot fi găsite în al doilea paragraf al lecției Inegalități liniare.

carcasă 3D

Aici este aproape la fel.

1) Desenați axele de coordonate. Standard: axa aplicate – îndreptată în sus, axa – îndreptată spre dreapta, axa – îndreptată în jos spre stânga strict la un unghi de 45 de grade.

2) Etichetați axele.

3) Setați scara de-a lungul axelor. Scara de-a lungul axei este de două ori mai mică decât scara de-a lungul celorlalte axe. De asemenea, rețineți că în desenul din dreapta am folosit o „crestătură” non-standard de-a lungul axei (această posibilitate a fost deja menționată mai sus). Din punctul meu de vedere, acest lucru este mai precis, mai rapid și mai plăcut din punct de vedere estetic - nu este nevoie să căutați mijlocul celulei la microscop și să „sculptați” o unitate apropiată de originea coordonatelor.

Când faceți un desen 3D, acordați din nou prioritate la scară
1 unitate = 2 celule (desen din stânga).

Pentru ce sunt toate aceste reguli? Regulile sunt facute pentru a fi incalcate. Asta voi face acum. Cert este că desenele ulterioare ale articolului vor fi făcute de mine în Excel, iar axele de coordonate vor arăta incorect din punctul de vedere al designului corect. Aș putea desena toate graficele manual, dar este de fapt înfricoșător să le desenezi, deoarece Excel este reticent să le deseneze mult mai precis.

Grafice și proprietăți de bază ale funcțiilor elementare

Funcție liniară este dat de ecuație. Graficul funcțiilor liniare este direct. Pentru a construi o linie dreaptă este suficient să cunoaștem două puncte.

Exemplul 1

Construiți un grafic al funcției. Să găsim două puncte. Este avantajos să alegeți zero ca unul dintre puncte.

Daca atunci

Să luăm un alt punct, de exemplu, 1.

Daca atunci

La finalizarea sarcinilor, coordonatele punctelor sunt de obicei rezumate într-un tabel:

Și valorile însele sunt calculate oral sau pe o schiță, un calculator.

Au fost găsite două puncte, să facem desenul:

Când pregătim un desen, semnăm întotdeauna grafica.

Ar fi util să amintim cazuri speciale ale unei funcții liniare:

Observați cum am pus semnăturile, semnăturile nu trebuie să permită discrepanțe la studierea desenului. În acest caz, a fost extrem de nedorit să se pună o semnătură lângă punctul de intersecție al liniilor sau în dreapta jos între grafice.

1) O funcție liniară de forma () se numește proporționalitate directă. De exemplu, . Un grafic de proporționalitate directă trece întotdeauna prin origine. Astfel, construirea unei linii drepte este simplificată - este suficient să găsiți doar un punct.

2) O ecuație de formă specifică o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției este reprezentat imediat, fără a găsi niciun punct. Adică, intrarea trebuie înțeleasă după cum urmează: „y este întotdeauna egal cu –4, pentru orice valoare a lui x”.

3) O ecuație de formă specifică o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției este de asemenea trasat imediat. Intrarea ar trebui să fie înțeleasă după cum urmează: „x este întotdeauna, pentru orice valoare a lui y, egal cu 1”.

Unii se vor întreba, de ce să-ți amintești de clasa a VI-a?! Așa este, poate așa este, dar de-a lungul anilor de practică am întâlnit o duzină de studenți care au fost derutați de sarcina de a construi un grafic ca sau.

Construirea unei linii drepte este cea mai comună acțiune la realizarea desenelor.

Linia dreaptă este discutată în detaliu în cursul geometriei analitice, iar cei interesați se pot referi la articol Ecuația unei drepte pe un plan.

Graficul unei funcții pătratice, cubice, graficul unui polinom

Parabolă. Graficul unei funcții pătratice () reprezintă o parabolă. Luați în considerare celebrul caz:

Să ne amintim câteva proprietăți ale funcției.

Deci, soluția ecuației noastre: – în acest punct se află vârful parabolei. De ce este așa poate fi învățat din articolul teoretic despre derivată și din lecția despre extremele funcției. Între timp, să calculăm valoarea „Y” corespunzătoare:

Astfel, vârful este în punct

Acum găsim alte puncte, în timp ce folosim cu nerăbdare simetria parabolei. Trebuie remarcat faptul că funcția – nu este chiar, dar, cu toate acestea, nimeni nu a anulat simetria parabolei.

În ce ordine să găsim punctele rămase, cred că va fi clar din masa finală:

Acest algoritm de construcție poate fi numit în mod figurat „navetă” sau principiul „înainte și înapoi” cu Anfisa Cehova.

Să facem desenul:

Din graficele examinate, îmi vine în minte o altă caracteristică utilă:

Pentru o funcție pătratică () următoarele este adevărată:

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

Cunoștințe aprofundate despre curbă pot fi obținute în lecția Hiperbola și parabolă.

O parabolă cubică este dată de funcție. Iată un desen cunoscut de la școală:

Să enumerăm principalele proprietăți ale funcției

Graficul unei funcții

Reprezintă una dintre ramurile unei parabole. Să facem desenul:

Principalele proprietăți ale funcției:

În acest caz, axa este asimptotă verticală pentru graficul unei hiperbole la .

Ar fi o greșeală GRAVE dacă, atunci când întocmești un desen, ai permite neglijent ca graficul să se intersecteze cu o asimptotă.

De asemenea, limitele unilaterale ne spun că hiperbola nelimitat de susȘi nelimitat de jos.

Să examinăm funcția la infinit: , adică dacă începem să ne mișcăm de-a lungul axei la stânga (sau la dreapta) la infinit, atunci „jocurile” vor fi într-un pas ordonat infinit de aproape se apropie de zero și, în consecință, de ramurile hiperbolei infinit de aproape se apropie de ax.

Deci axa este asimptotă orizontală pentru graficul unei funcții, dacă „x” tinde spre plus sau minus infinit.

Funcția este ciudat, și, prin urmare, hiperbola este simetrică față de origine. Acest fapt este evident din desen, în plus, este ușor de verificat analitic: .

Graficul unei funcții de forma () reprezintă două ramuri ale unei hiperbole.

Dacă , atunci hiperbola este situată în primul și al treilea trimestru de coordonate(vezi poza de mai sus).

Dacă , atunci hiperbola este situată în al doilea și al patrulea trimestru de coordonate.

Modelul indicat al rezidenței hiperbolei este ușor de analizat din punctul de vedere al transformărilor geometrice ale graficelor.

Exemplul 3

Construiți ramura dreaptă a hiperbolei

Folosim metoda de construcție punctuală și este avantajos să selectăm valorile astfel încât să fie divizibile cu un întreg:

Să facem desenul:

Nu va fi dificil să construiți ramura stângă a hiperbolei; ciudatenia funcției va ajuta aici. Aproximativ vorbind, în tabelul de construcție punctual, adăugăm mental un minus fiecărui număr, punem punctele corespunzătoare și desenăm a doua ramură.

Informații geometrice detaliate despre linia luată în considerare pot fi găsite în articolul Hiperbolă și parabolă.

Graficul unei funcții exponențiale

În această secțiune, voi lua în considerare imediat funcția exponențială, deoarece în problemele de matematică superioară în 95% din cazuri apare exponențialul.

Permiteți-mi să vă reamintesc că acesta este un număr irațional: , acesta va fi necesar la construirea unui grafic, pe care, de fapt, îl voi construi fără ceremonie. Trei puncte sunt probabil suficiente:

Să lăsăm graficul funcției deocamdată, mai multe despre el mai târziu.

Principalele proprietăți ale funcției:

Graficele de funcții etc., arată fundamental la fel.

Trebuie să spun că al doilea caz apare mai rar în practică, dar apare, așa că am considerat că este necesar să îl includ în acest articol.

Graficul unei funcții logaritmice

Luați în considerare o funcție cu logaritmul natural.
Să facem un desen punct cu punct:

Dacă ați uitat ce este un logaritm, vă rugăm să consultați manualele școlare.

Principalele proprietăți ale funcției:

Domeniu:

Interval de valori: .

Funcția nu este limitată de mai sus: , deși încet, dar ramura logaritmului urcă până la infinit.
Să examinăm comportamentul funcției aproape de zero din dreapta: . Deci axa este asimptotă verticală deoarece graficul unei funcții ca „x” tinde spre zero din dreapta.

Este imperativ să cunoașteți și să vă amintiți valoarea tipică a logaritmului: .

În principiu, graficul logaritmului la bază arată la fel: , , (logaritmul zecimal la baza 10), etc. Mai mult, cu cât baza este mai mare, cu atât graficul va fi mai plat.

Nu vom lua în considerare cazul, nu-mi amintesc când ultima data Am construit un grafic pe această bază. Iar logaritmul pare a fi un invitat foarte rar în problemele de matematică superioară.

La sfârșitul acestui paragraf voi mai spune un fapt: Funcția exponențială și funcţie logaritmică – acestea sunt două funcții reciproc inverse. Dacă te uiți îndeaproape la graficul logaritmului, poți vedea că acesta este același exponent, doar că este situat puțin diferit.

Grafice ale funcțiilor trigonometrice

De unde începe chinul trigonometric la școală? Dreapta. Din sinus

Să diagramăm funcția

Această linie se numește sinusoid.

Permiteți-mi să vă reamintesc că „pi” este un număr irațional: , iar în trigonometrie vă face ochii orbitori.

Principalele proprietăți ale funcției:

Această funcție este periodic cu punct . Ce înseamnă? Să ne uităm la segment. În stânga și în dreapta acestuia, exact aceeași bucată a graficului se repetă la nesfârșit.

Domeniu: , adică pentru orice valoare a lui „x” există o valoare sinus.

Interval de valori: . Funcția este limitat: , adică toate „jocurile” stau strict în segmentul .
Acest lucru nu se întâmplă: sau, mai exact, se întâmplă, dar aceste ecuații nu au o soluție.