Vibrații libere sunt efectuate sub influența forțelor interne ale sistemului după ce sistemul a fost scos din poziția sa de echilibru.

Pentru a vibrațiile libere apar conform legii armonice, este necesar ca forța care tinde să readucă corpul în poziția de echilibru să fie proporțională cu deplasarea corpului din poziția de echilibru și să fie îndreptată în direcția opusă deplasării (vezi §2.1). ):

Sunt numite forțe de orice altă natură fizică care satisfac această condiție cvasielastică .

Astfel, o încărcătură de o anumită masă m, atașat la arcul de rigidizare k, al cărui capăt este fixat fix (Fig. 2.2.1), constituie un sistem capabil să efectueze oscilații armonice libere în absența frecării. O sarcină pe un arc se numește armonică liniară oscilator.

Frecvența circulară ω 0 a oscilațiilor libere ale unei sarcini pe un arc se găsește din a doua lege a lui Newton:

Când sistemul de sarcină cu arc este situat orizontal, forța gravitațională aplicată sarcinii este compensată de forța de reacție a suportului. Dacă sarcina este suspendată pe un arc, atunci forța gravitației este direcționată de-a lungul liniei de mișcare a sarcinii. În poziția de echilibru, arcul este întins cu o cantitate X 0 egal

Prin urmare, a doua lege a lui Newton pentru o sarcină pe un arc poate fi scrisă ca

Se numește ecuația (*) ecuația vibrațiilor libere . Trebuie remarcat faptul că proprietăți fizice sistem oscilator determinaţi numai frecvenţa naturală a oscilaţiilor ω 0 sau perioada T . Parametrii procesului de oscilație, cum ar fi amplitudinea X m și faza inițială φ 0 sunt determinate de modul în care sistemul a fost scos din echilibru în momentul inițial de timp.

Dacă, de exemplu, sarcina a fost deplasată de la poziția de echilibru cu o distanță Δ lși apoi la un moment dat t= 0 eliberat fără viteza inițială, atunci X m = Δ l, φ 0 = 0.

Dacă încărcăturii, care era în poziția de echilibru, i s-a dat o viteză inițială ± υ 0 cu ajutorul unei împingeri puternice, atunci,

Astfel, amplitudinea X se determină m oscilaţii libere şi faza sa iniţială φ 0 condiții inițiale .

Există multe tipuri de sisteme oscilatorii mecanice care utilizează forțe elastice de deformare. În fig. Figura 2.2.2 prezintă analogul unghiular al unui oscilator armonic liniar. Un disc situat orizontal atârnă de un fir elastic atașat de centrul său de masă. Când discul este rotit printr-un unghi θ, apare un moment de forță M controlul deformarii elastice de torsiune:

Unde eu = eu C este momentul de inerție al discului față de axă, care trece prin centrul de masă, ε este accelerația unghiulară.

Prin analogie cu o sarcină pe un arc, puteți obține:

Vibrații libere. Pendul de matematică

Pendul matematic chema corpul dimensiuni mici, suspendat pe un fir subțire inextensibil, a cărui masă este neglijabilă în comparație cu masa corpului. În poziția de echilibru, când pendulul atârnă la plumb, forța gravitației este echilibrată de forța de întindere a firului. Când pendulul se abate de la poziția de echilibru cu un anumit unghi φ, apare o componentă tangențială a gravitației F τ = - mg sin φ (Fig. 2.3.1). Semnul minus din această formulă înseamnă că componenta tangenţială este îndreptată în direcţia opusă deformarii pendulului.

Dacă notăm prin X deplasarea liniară a pendulului din poziţia de echilibru de-a lungul unui arc de cerc de rază l, atunci deplasarea sa unghiulară va fi egală cu φ = X / l. A doua lege a lui Newton, scrisă pentru proiecțiile vectorilor de accelerație și forță pe direcția tangentei, dă:

Această relație arată că un pendul matematic este un complex neliniar sistem, deoarece forța care tinde să readucă pendulul în poziția de echilibru nu este proporțională cu deplasarea X, A

Doar în caz mici fluctuații, când aproximativ poate fi înlocuit cu un pendul matematic este un oscilator armonic, adică un sistem capabil să efectueze oscilații armonice. În practică, această aproximare este valabilă pentru unghiuri de ordinul 15-20°; în acest caz, valoarea diferă de cel mult 2%. Oscilațiile unui pendul la amplitudini mari nu sunt armonice.

Pentru mici oscilații ale unui pendul matematic, a doua lege a lui Newton este scrisă sub formă

Această formulă exprimă frecvența naturală a micilor oscilații ale unui pendul matematic .

Prin urmare,

Orice corp montat pe o axă orizontală de rotație este capabil de oscilații libere într-un câmp gravitațional și, prin urmare, este și un pendul. Un astfel de pendul este de obicei numit fizic (Fig. 2.3.2). Se deosebește de cel matematic doar prin distribuția maselor. Într-o poziție stabilă de echilibru, centrul de masă C pendul fizic este situat sub axa de rotatie O pe o verticala care trece prin axa. Când pendulul este deviat cu un unghi φ, apare un moment de gravitație, care tinde să readucă pendulul în poziția de echilibru:

iar a doua lege a lui Newton pentru un pendul fizic ia forma (vezi §1.23)

Aici ω 0 - frecvența naturală a micilor oscilații ale unui pendul fizic .

Prin urmare,

Prin urmare, ecuația care exprimă a doua lege a lui Newton pentru un pendul fizic poate fi scrisă sub forma

În final, pentru frecvența circulară ω 0 a oscilațiilor libere ale unui pendul fizic se obține următoarea expresie:

Conversii de energie în timpul vibrațiilor mecanice libere

În timpul vibrațiilor mecanice libere, energiile cinetice și potențiale se schimbă periodic. La abaterea maximă a unui corp de la poziția sa de echilibru, viteza lui și, prin urmare, energia sa cinetică, dispar. În această poziție, energia potențială a corpului oscilant atinge valoarea maximă. Pentru o sarcină pe un arc, energia potențială este energia de deformare elastică a arcului. Pentru un pendul matematic, aceasta este energia din câmpul gravitațional al Pământului.

Când un corp în mișcare trece prin poziția de echilibru, viteza lui este maximă. Corpul depășește poziția de echilibru conform legii inerției. În acest moment are energie cinetică maximă și energie potențială minimă. O creștere a energiei cinetice are loc datorită scăderii energiei potențiale. Odată cu mișcarea ulterioară, energia potențială începe să crească din cauza scăderii energiei cinetice etc.

Astfel, în timpul oscilațiilor armonice are loc o transformare periodică a energiei cinetice în energie potențială și invers.

Dacă nu există frecare în sistemul oscilator, atunci energia mecanică totală în timpul oscilațiilor libere rămâne neschimbată.

Pentru sarcina cu arc(vezi §2.2):

În condiții reale, orice sistem oscilator se află sub influența forțelor de frecare (rezistență). În acest caz, o parte din energia mecanică este transformată în energie interna mișcarea termică a atomilor și moleculelor, iar vibrațiile devin decolorare (Fig. 2.4.2).

Rata cu care vibrațiile se diminuează depinde de mărimea forțelor de frecare. Intervalul de timp τ în care amplitudinea oscilațiilor scade în e≈ 2,7 ori, apelat timpul de dezintegrare .

Frecvența oscilațiilor libere depinde de viteza cu care oscilațiile se diminuează. Pe măsură ce forțele de frecare cresc, frecvența naturală scade. Cu toate acestea, modificarea frecvenței naturale devine vizibilă numai cu forțe de frecare suficient de mari, când vibrațiile naturale se degradează rapid.

O caracteristică importantă a unui sistem oscilator care efectuează oscilații amortizate libere este factor de calitate Q. Acest parametru este definit ca un număr N oscilațiile totale efectuate de sistem în timpul de amortizare τ, înmulțite cu π:

Astfel, factorul de calitate caracterizează pierderea relativă de energie în sistemul oscilator datorită prezenței frecării pe un interval de timp egal cu o perioadă de oscilație.

Vibrații forțate. Rezonanţă. Autooscilații

Oscilațiile care apar sub influența unei forțe periodice externe se numesc forţat.

Forta externa efectuează o muncă pozitivă și asigură fluxul de energie către sistemul oscilator. Nu permite ca vibrațiile să se stingă, în ciuda acțiunii forțelor de frecare.

O forță externă periodică se poate schimba în timp, conform diferitelor legi. De interes deosebit este cazul când o forță externă, variind după o lege armonică cu o frecvență ω, acționează asupra unui sistem oscilator capabil să efectueze propriile oscilații la o anumită frecvență ω 0.

Dacă oscilațiile libere apar la o frecvență ω 0, care este determinată de parametrii sistemului, atunci oscilațiile forțate constante apar întotdeauna la frecvența ω forță externă.

După ce forța externă începe să acționeze asupra sistemului oscilator, un timp Δ t pentru a stabili oscilaţii forţate. Timpul de stabilire este, în ordinea mărimii, egal cu timpul de amortizare τ al oscilațiilor libere din sistemul oscilator.

La momentul inițial, ambele procese sunt excitate în sistemul oscilator - oscilații forțate la frecvența ω și oscilații libere la frecvența naturală ω 0. Dar vibrațiile libere sunt amortizate datorită prezenței inevitabile a forțelor de frecare. Prin urmare, după un timp, în sistemul oscilator rămân doar oscilațiile staționare la frecvența ω a forței motrice externe.

Să considerăm, ca exemplu, oscilațiile forțate ale unui corp pe un arc (Fig. 2.5.1). La capătul liber al arcului se aplică o forță externă. Forțează capătul liber (stânga în Fig. 2.5.1) al arcului să se miște conform legii

Dacă capătul stâng al arcului este deplasat cu o distanță y, iar cea dreaptă - la distanță X din poziția lor inițială, când arcul era nedeformat, apoi alungirea arcului Δ l este egal cu:

În această ecuație, forța care acționează asupra unui corp este reprezentată ca doi termeni. Primul termen din partea dreaptă este forța elastică care tinde să readucă corpul în poziția de echilibru ( X= 0). Al doilea termen este efectul periodic extern asupra organismului. Acest termen se numește forță coercitivă.

Ecuația care exprimă a doua lege a lui Newton pentru un corp pe un arc în prezența unei influențe periodice externe poate primi o formă matematică strictă dacă luăm în considerare relația dintre accelerația corpului și coordonatele sale: Atunci va fi scris în formular

Ecuația (**) nu ține cont de acțiunea forțelor de frecare. Spre deosebire de ecuații ale vibrațiilor libere(*) (vezi §2.2) ecuația de oscilație forțată(**) conține două frecvențe - frecvența ω 0 a oscilațiilor libere și frecvența ω a forței motrice.

Oscilațiile forțate în regim de echilibru ale unei sarcini pe un arc apar la frecvența influenței externe conform legii

X(t) = X mcos(ω t + θ).

Amplitudinea oscilațiilor forțate X m și faza inițială θ depind de raportul frecvențelor ω 0 și ω și de amplitudine y m forţă externă.

La frecvențe foarte joase, când ω<< ω 0 , движение тела массой m, atașat la capătul drept al arcului, repetă mișcarea capătului stâng al arcului. în care X(t) = y(t), iar arcul rămâne practic nedeformat. O forță exterioară aplicată la capătul din stânga al arcului nu lucrează, deoarece modulul acestei forțe la ω<< ω 0 стремится к нулю.

Dacă frecvența ω a forței externe se apropie de frecvența naturală ω 0, are loc o creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor forțate. Acest fenomen se numește rezonanţă . Dependența de amplitudine X m oscilaţii forţate de la frecvenţa ω a forţei motrice se numeşte caracteristică rezonantă sau curba de rezonanță(Fig. 2.5.2).

La rezonanță, amplitudinea X m oscilațiile sarcinii pot fi de multe ori mai mari decât amplitudinea y m vibrații ale capătului liber (stânga) al arcului cauzate de influența externă. În absența frecării, amplitudinea oscilațiilor forțate în timpul rezonanței ar trebui să crească fără limită. În condiții reale, amplitudinea oscilațiilor forțate în regim de echilibru este determinată de condiția: lucrul unei forțe externe în perioada de oscilație trebuie să fie egal cu pierderea de energie mecanică în același timp din cauza frecării. Cu cât frecarea este mai mică (adică cu atât factorul de calitate este mai mare Q sistem oscilator), cu atât amplitudinea oscilațiilor forțate la rezonanță este mai mare.

În sisteme oscilatoare cu factor de calitate nu foarte înalt (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Fenomenul de rezonanță poate provoca distrugerea podurilor, clădirilor și altor structuri dacă frecvențele naturale ale oscilațiilor acestora coincid cu frecvența unei forțe care acționează periodic, care apare, de exemplu, din cauza rotației unui motor dezechilibrat.

Vibrațiile forțate sunt neamortizat fluctuatii. Pierderile de energie inevitabile datorate frecării sunt compensate prin furnizarea de energie dintr-o sursă externă de forță care acționează periodic. Există sisteme în care oscilațiile neamortizate apar nu datorită influențelor externe periodice, ci ca urmare a capacității unor astfel de sisteme de a regla furnizarea de energie dintr-o sursă constantă. Se numesc astfel de sisteme auto-oscilante, iar procesul de oscilații neamortizate în astfel de sisteme este autooscilații . Într-un sistem auto-oscilant, se pot distinge trei elemente caracteristice - un sistem oscilator, o sursă de energie și un dispozitiv de feedback între sistemul oscilator și sursă. Orice sistem mecanic capabil să efectueze propriile oscilații amortizate (de exemplu, pendulul unui ceas de perete) poate fi folosit ca sistem oscilator.

Sursa de energie poate fi energia de deformare a unui arc sau energia potențială a unei sarcini într-un câmp gravitațional. Un dispozitiv de feedback este un mecanism prin care un sistem auto-oscilant reglează fluxul de energie dintr-o sursă. În fig. 2.5.3 prezintă o diagramă a interacțiunii diferitelor elemente ale unui sistem auto-oscilant.

Un exemplu de sistem mecanic auto-oscilant este un mecanism de ceas cu ancoră progres (Fig. 2.5.4). Roata de rulare cu dinți oblici este atașată rigid de un tambur dințat, prin care este aruncat un lanț cu o greutate. La capătul superior al pendulului este fixat ancoră(ancoră) cu două plăci de material solid, îndoite într-un arc de cerc cu centrul pe axa pendulului. La ceasurile de mână, greutatea este înlocuită cu un arc, iar pendulul este înlocuit cu un balansier - o roată de mână conectată la un arc spiral. Echilibratorul efectuează vibrații de torsiune în jurul axei sale. Sistemul oscilator dintr-un ceas este un pendul sau echilibrator.

Sursa de energie este o greutate ridicată sau un arc înfăşurat. Dispozitivul folosit pentru a furniza feedback este o ancoră, care permite roții de rulare să rotească un dinte într-o jumătate de ciclu. Feedback-ul este oferit de interacțiunea ancorei cu roata de rulare. La fiecare oscilație a pendulului, un dinte al roții de rulare împinge furca de ancorare în direcția de mișcare a pendulului, transferând acestuia o anumită porțiune de energie, care compensează pierderile de energie datorate frecării. Astfel, energia potențială a greutății (sau a arcului răsucit) este treptat, în porțiuni separate, transferată pendulului.

Sistemele mecanice auto-oscilante sunt larg răspândite în viața din jurul nostru și în tehnologie. Autooscilațiile apar la motoarele cu abur, motoarele cu ardere internă, clopotele electrice, șirurile instrumentelor muzicale arcuite, coloanele de aer în conductele instrumentelor de suflat, corzile vocale când se vorbește sau se cântă etc.

Figura 2.5.4. Mecanism de ceas cu pendul.

Un pendul cu arc este un sistem oscilator format dintr-un punct material de masă m și un arc. Să considerăm un pendul cu arc orizontal (Fig. 1, a). Este format dintr-un corp masiv, gaurit in mijloc si asezat pe o tija orizontala, de-a lungul caruia poate aluneca fara frecare (un sistem oscilant ideal). Tija este fixată între două suporturi verticale.

Un arc fără greutate este atașat de corp la un capăt. Celălalt capăt al său este fixat de un suport, care în cel mai simplu caz este în repaus față de cadrul de referință inerțial în care oscilează pendulul. La început, arcul nu este deformat, iar corpul se află în poziția de echilibru C. Dacă prin întinderea sau comprimarea arcului, corpul este scos din poziția de echilibru, atunci va începe să acționeze asupra lui o forță elastică din partea arcului deformat, întotdeauna îndreptată spre poziția de echilibru.

Să comprimăm arcul, mutând corpul în poziția A și să-l eliberăm. Sub influența forței elastice, se va mișca mai repede. În acest caz, în poziția A forța elastică maximă acționează asupra corpului, deoarece aici alungirea absolută x m a arcului este cea mai mare. Prin urmare, în această poziție accelerația este maximă. Pe măsură ce corpul se deplasează spre poziția de echilibru, alungirea absolută a arcului scade și, în consecință, accelerația dată de forța elastică scade. Dar, deoarece accelerația în timpul unei mișcări date este co-direcționată cu viteza, viteza pendulului crește și în poziție de echilibru va fi maximă.

Ajunsă în poziția de echilibru C, corpul nu se va opri (deși în această poziție arcul nu este deformat și forța elastică este nulă), dar având viteză, se va deplasa mai departe prin inerție, întinzând arcul. Forța elastică care apare este acum îndreptată împotriva mișcării corpului și o încetinește. În punctul D, viteza corpului va fi egală cu zero, iar accelerația va fi maximă, corpul se va opri pentru o clipă, după care, sub influența forței elastice, va începe să se miște în sens invers. , la poziția de echilibru. După ce l-a trecut din nou prin inerție, corpul, comprimând arcul și încetinind mișcarea, va ajunge în punctul A (de vreme ce nu există frecare), adică. va finaliza un leagăn complet. După aceasta, mișcarea corpului se va repeta în secvența descrisă. Deci, motivele oscilațiilor libere ale unui pendul cu arc sunt acțiunea forței elastice care ia naștere la deformarea arcului și inerția corpului.

Conform legii lui Hooke, F x = -kx. Conform celei de-a doua legi a lui Newton, F x = ma x. Prin urmare, ma x = -kx. De aici

Ecuația dinamică a mișcării unui pendul cu arc.

Vedem că accelerația este direct proporțională cu amestecarea și este direcționată opus acesteia. Comparând ecuația rezultată cu ecuația vibrațiilor armonice , vedem că pendulul cu arc efectuează oscilații armonice cu o frecvență ciclică

Definiție

Frecvența de oscilație($\nu$) este unul dintre parametrii care caracterizează oscilațiile. Aceasta este reciproca perioadei de oscilație ($T$):

\[\nu =\frac(1)(T)\stanga(1\dreapta).\]

Astfel, frecvența de oscilație este o mărime fizică egală cu numărul de repetări ale oscilațiilor pe unitatea de timp.

\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\stanga(2\dreapta),\]

unde $N$ este numărul de mișcări oscilatorii complete; $\Delta t$ este timpul în care au avut loc aceste oscilații.

Frecvența de oscilație ciclică ($(\omega )_0$) este legată de frecvența $\nu $ prin formula:

\[\nu =\frac((\omega )_0)(2\pi )\left(3\right).\]

Unitatea de frecvență în Sistemul Internațional de Unități (SI) este hertz sau secunda reciprocă:

\[\left[\nu \right]=с^(-1)=Hz.\]

Pendul de primăvară

Definiție

Pendul de primăvară numit sistem care constă dintr-un arc elastic de care este atașată o sarcină.

Să presupunem că masa sarcinii este $m$ iar coeficientul de elasticitate al arcului este $k$. Masa arcului într-un astfel de pendul nu este de obicei luată în considerare. Dacă luăm în considerare mișcările orizontale ale sarcinii (Fig. 1), atunci aceasta se mișcă sub influența forței elastice dacă sistemul este scos din echilibru și lăsat la dispoziție. În acest caz, se crede adesea că forțele de frecare pot fi ignorate.

Ecuațiile oscilațiilor unui pendul cu arc

Un pendul cu arc care oscilează liber este un exemplu de oscilator armonic. Lăsați-l să oscileze de-a lungul axei X. Dacă oscilațiile sunt mici, legea lui Hooke este îndeplinită, atunci scriem ecuația de mișcare a sarcinii ca:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\left(4\right),\]

unde $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ este frecvența ciclică de oscilație a pendulului cu arc. Soluția ecuației (4) este o funcție sinus sau cosinus de forma:

unde $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ este frecvența ciclică a oscilațiilor pendulului cu arc, $A$ este amplitudinea oscilațiilor; $((\omega )_0t+\varphi)$ - faza de oscilație; $\varphi $ și $(\varphi )_1$ sunt fazele inițiale ale oscilațiilor.

Frecvența de oscilație a pendulului cu arc

Din formula (3) și $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$, rezultă că frecvența de oscilație a pendulului cu arc este egală cu:

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(6\right).\]

Formula (6) este valabilă dacă:

• arcul din pendul este considerat lipsit de greutate;
• sarcina atașată arcului este un corp absolut rigid;
• nu există vibrații de torsiune.

Expresia (6) arată că frecvența de oscilație a pendulului arcului crește odată cu scăderea masei sarcinii și cu creșterea coeficientului de elasticitate al arcului. Frecvența de oscilație a pendulului cu arc nu depinde de amplitudine. Dacă oscilațiile nu sunt mici, forța elastică a arcului nu respectă legea lui Hooke, atunci apare o dependență a frecvenței de oscilație de amplitudine.

Exemple de probleme cu soluții

Exemplul 1

Exercițiu. Perioada de oscilație a unui pendul cu arc este $T=5\cdot (10)^(-3)s$. Care este frecvența de oscilație în acest caz? Care este frecvența ciclică de vibrație a acestei mase?

Soluţie. Frecvența de oscilație este reciproca perioadei de oscilație, prin urmare, pentru a rezolva problema este suficient să folosiți formula:

\[\nu =\frac(1)(T)\left(1.1\right).\]

Să calculăm frecvența necesară:

\[\nu =\frac(1)(5\cdot (10)^(-3))=200\ \left(Hz\right).\]

Frecvența ciclică este legată de frecvența $\nu $ ca:

\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \left(1.2\right).\]

Să calculăm frecvența ciclică:

\[(\omega )_0=2\pi \cdot 200\aproximativ 1256\ \left(\frac(rad)(s)\right).\]

Răspuns.$1)\ \nu =200$ Hz. 2) $(\omega )_0=1256\ \frac(rad)(s)$

Exemplul 2

Exercițiu. Masa sarcinii care atârnă de un arc elastic (Fig. 2) este mărită cu $\Delta m$, în timp ce frecvența scade de $n$ ori. Care este masa primei sarcini?

\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.1\right).\]

Pentru prima sarcină frecvența va fi egală cu:

\[(\nu )_1=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.2\right).\]

Pentru a doua sarcină:

\[(\nu )_2=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m+\Delta m))\ \left(2.2\right).\]

Conform condițiilor problemei $(\nu )_2=\frac((\nu )_1)(n)$, găsim relația $\frac((\nu )_1)((\nu )_2): \frac((\nu )_1)((\nu )_2)=\sqrt(\frac(k)(m)\cdot \frac(m+\Delta m)(k))=\sqrt(1+\frac (\Delta m)( m))=n\ \left(2.3\right).$

Să obținem din ecuația (2.3) masa necesară a sarcinii. Pentru a face acest lucru, să pătram ambele laturi ale expresiei (2.3) și să exprimăm $m$:

Răspuns.$m=\frac(\Delta m)(n^2-1)$

Vibrații ale unui corp masiv cauzate de acțiunea forței elastice

Animaţie

Descriere

Când o forță elastică acționează asupra unui corp masiv, readucendu-l într-o poziție de echilibru, ea oscilează în jurul acestei poziții.

Un astfel de corp se numește pendul cu arc. Oscilațiile apar sub influența unei forțe externe. Oscilațiile care continuă după ce forța externă a încetat să mai acționeze se numesc libere. Oscilațiile cauzate de acțiunea unei forțe externe se numesc forțate. În acest caz, forța în sine se numește forțare.

În cel mai simplu caz, un pendul cu arc este un corp rigid care se deplasează de-a lungul unui plan orizontal, atașat printr-un arc de un perete (Fig. 1).

Pendul de primăvară

Orez. 1

Mișcarea rectilinie a unui corp este descrisă de dependența coordonatele sale de timp:

x = x(t). (1)

Dacă toate forțele care acționează asupra corpului în cauză sunt cunoscute, atunci această dependență poate fi stabilită folosind a doua lege a lui Newton:

md 2 x /dt 2 = S F , (2)

unde m este masa corporală.

Partea dreaptă a ecuației (2) este suma proiecțiilor pe axa x a tuturor forțelor care acționează asupra corpului.

În cazul în cauză, rolul principal îl joacă forța elastică, care este conservatoare și poate fi reprezentată sub forma:

F (x) = - dU (x)/dx, (3)

unde U = U (x) este energia potențială a arcului deformat.

Fie x prelungirea arcului. S-a stabilit experimental că la valori mici ale alungirii relative a arcului, i.e. cu conditia ca:

½ x ½<< l ,

unde l este lungimea arcului neformat.

Următoarea relație este aproximativ adevărată:

U (x) = k x 2 /2, (4)

unde coeficientul k se numește rigiditatea arcului.

Din această formulă rezultă următoarea expresie pentru forța elastică:

F (x) = - kx. (5)

Această relație se numește legea lui Hooke.

În plus față de forța elastică, o forță de frecare poate acționa asupra unui corp care se mișcă de-a lungul unui plan, care este descrisă satisfăcător de formula empirică:

F tr = - r dx /dt , (6)

unde r este coeficientul de frecare.

Luând în considerare formulele (5) și (6), ecuația (2) poate fi scrisă după cum urmează:

md 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = F (t), (7)

unde F(t) este forța externă.

Dacă asupra corpului acţionează doar forţa Hooke (5), atunci vibraţiile libere ale corpului vor fi armonice. Un astfel de corp se numește pendul cu arc armonic.

A doua lege a lui Newton în acest caz conduce la ecuația:

d 2 x /dt 2 + w 0 2 x = 0, (8)

w 0 = sqrt(k/m) (9)

Frecvența de oscilație.

Soluția generală a ecuației (8) are forma:

x (t) = A cos (w 0 t + a), (10)

unde amplitudinea A și faza inițială a sunt determinate de condițiile inițiale.

Atunci când corpul în cauză este acționat numai cu forța elastică (5), energia sa mecanică totală nu se modifică în timp:

mv 2 / 2 + k x 2 /2 = const. (unsprezece)

Această afirmație constituie conținutul legii conservării energiei a unui pendul cu arc armonic.

Să presupunem că, pe lângă forța elastică care o readuce în poziția de echilibru, o forță de frecare acționează asupra unui corp masiv. În acest caz, vibrațiile libere ale corpului excitat la un moment dat în timp vor scădea în timp și corpul va tinde spre o poziție de echilibru.

În aceasta, a doua lege a lui Newton (7) poate fi scrisă după cum urmează:

m d 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = 0, (12)

unde m este masa corporală.

Soluția generală a ecuației (12) are forma:

x(t) = a exp(- b t )cos (w t + a ), (13)

w = sqrt(w o 2 - b 2 ) (14)

Frecvența de oscilație

b = r / 2 m (15)

Coeficientul de amortizare a oscilației, amplitudinea a și faza inițială a sunt determinate de condițiile inițiale. Funcția (13) descrie așa-numitele oscilații amortizate.

Energia mecanică totală a pendulului cu arc, adică. suma energiilor sale cinetice și potențiale

E = m v 2 /2 + kx 2 / 2 (16)

modificări în timp conform legii:

dE/dt = P, (17)

unde P = - rv 2 - puterea forței de frecare, adică. energie transformată în căldură pe unitatea de timp.

Caracteristici de sincronizare

Timp de inițiere (log la -3 la -1);

Durata de viață (log tc de la 1 la 15);

Timp de degradare (log td de la -3 la 3);

Timpul de dezvoltare optimă (log tk de la -3 la -2).