Să ne uităm la cum să creăm o ecuație pentru o dreaptă care trece prin două puncte folosind exemple.

Exemplul 1.

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctele A(-3; 9) și B(2;-1).

Metoda 1 - creați o ecuație a unei linii drepte cu un coeficient de unghi.

Ecuația unei drepte cu coeficient unghiular are forma . Substituind coordonatele punctelor A și B în ecuația dreptei (x= -3 și y=9 - în primul caz, x=2 și y= -1 - în al doilea), obținem un sistem de ecuații din care găsim valorile lui k și b:

Adunând ecuațiile 1 și 2 termen cu termen, obținem: -10=5k, de unde k= -2. Înlocuind k= -2 în a doua ecuație, găsim b: -1=2·(-2)+b, b=3.

Astfel, y= -2x+3 este ecuația necesară.

Metoda 2 - să compunem ecuație generală Drept.

Ecuația generală a unei drepte are forma . Înlocuind coordonatele punctelor A și B în ecuație, obținem sistemul:

Deoarece numărul de necunoscute este mai mare decât numărul de ecuații, sistemul nu este rezolvabil. Dar toate variabilele pot fi exprimate printr-o singură. De exemplu, prin b.

Înmulțind prima ecuație a sistemului cu -1 și adunând termen cu termen cu a doua:

obținem: 5a-10b=0. Prin urmare a=2b.

Să substituim expresia rezultată în a doua ecuație: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
Înlocuiți a=2b, c= -3b în ecuația ax+by+c=0:

2bx+de-3b=0. Rămâne să împărțim ambele părți la b:

Ecuația generală a unei linii drepte poate fi ușor redusă la ecuația unei linii drepte cu un coeficient unghiular:

Metoda 3 - creați o ecuație a unei linii drepte care trece prin 2 puncte.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte este:

Să substituim coordonatele punctelor A(-3; 9) și B(2;-1) în această ecuație

(adică x 1 = -3, y 1 =9, x 2 =2, y 2 = -1):

si simplifica:

de unde 2x+y-3=0.

În cursurile școlare, cel mai des este utilizată ecuația unei drepte cu un coeficient de unghi. Dar cel mai simplu mod este să derivați și să utilizați formula pentru ecuația unei drepte care trece prin două puncte.

Cometariu.

Dacă, la înlocuirea coordonatelor punctelor date, unul dintre numitorii ecuației

se dovedește a fi egal cu zero, atunci ecuația necesară este obținută prin echivalarea numărătorului corespunzător cu zero.

Exemplul 2.

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin două puncte C(5; -2) și D(7;-2).

Inlocuim coordonatele punctelor C si D in ecuatia unei drepte care trece prin 2 puncte.

Lăsați dreapta să treacă prin punctele M 1 (x 1; y 1) și M 2 (x 2; y 2). Ecuația unei drepte care trece prin punctul M 1 are forma y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Unde k - coeficient încă necunoscut.

Deoarece linia dreaptă trece prin punctul M 2 (x 2 y 2), coordonatele acestui punct trebuie să îndeplinească ecuația (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

De aici găsim Înlocuirea valorii găsite k în ecuația (10.6), obținem ecuația unei drepte care trece prin punctele M 1 și M 2:

Se presupune că în această ecuație x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Dacă x 1 = x 2, atunci linia dreaptă care trece prin punctele M 1 (x 1,y I) și M 2 (x 2,y 2) este paralelă cu axa ordonatelor. Ecuația sa este x = x 1 .

Dacă y 2 = y I, atunci ecuația dreptei poate fi scrisă ca y = y 1, dreapta M 1 M 2 este paralelă cu axa absciselor.

Ecuația unei drepte în segmente

Fie ca linia dreaptă să intersecteze axa Ox în punctul M 1 (a;0) și axa Oy în punctul M 2 (0;b). Ecuația va lua forma:
acestea.
. Această ecuație se numește ecuația unei drepte în segmente, deoarece numerele a și b indică segmentele pe care linia le decupează pe axele de coordonate.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat

Să găsim ecuația dreptei care trece prin acest punct Mo (x O; y o) este perpendicular pe vectorul dat diferit de zero n = (A; B).

Să luăm un punct arbitrar M(x; y) pe linie și să considerăm vectorul M 0 M (x - x 0; y - y o) (vezi Fig. 1). Deoarece vectorii n și M o M sunt perpendiculari, produsul lor scalar este egal cu zero: adică

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Ecuația (10.8) se numește ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat .

Vectorul n= (A; B), perpendicular pe dreapta, se numește normal vector normal al acestei linii .

Ecuația (10.8) poate fi rescrisă ca Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

unde A și B sunt coordonatele vectorului normal, C = -Ax o - Vu o este termenul liber. Ecuația (10.9) este ecuația generală a dreptei(vezi fig. 2).

Fig.1 Fig.2

Ecuații canonice ale dreptei

,

Unde
- coordonatele punctului prin care trece linia, și
- vector de direcție.

Curbe de ordinul doi Cerc

Un cerc este mulțimea tuturor punctelor planului echidistante de un punct dat, care se numește centru.

Ecuația canonică a unui cerc de rază R centrat într-un punct
:

În special, dacă centrul mizei coincide cu originea coordonatelor, atunci ecuația va arăta astfel:

Elipsă

O elipsă este un set de puncte dintr-un plan, suma distanțelor de la fiecare dintre acestea la două puncte date. Și , care se numesc focare, este o mărime constantă
, mai mare decât distanța dintre focare
.

Ecuația canonică a unei elipse ale cărei focare se află pe axa Ox, iar originea coordonatelor în mijlocul dintre focare are forma
G de A lungimea semi-axei ​​majore; b – lungimea semiaxei minore (Fig. 2).

Dependența dintre parametrii elipsei
Și se exprimă prin raportul:

(4)

Excentricitatea elipseinumit raportul distanței interfocale2sla axa majoră2a:

Directoare elipse sunt linii drepte paralele cu axa Oy, care sunt situate la o distanta de aceasta axa. Ecuații directrice:
.

Dacă în ecuaţia elipsei
, atunci focarele elipsei sunt pe axa Oy.

Asa de,

Să fie date două puncte M 1 (x 1,y 1)Și M 2 (x 2,y 2). Să scriem ecuația dreptei în forma (5), unde k coeficient încă necunoscut:

De la punctul M 2 aparține unei linii date, atunci coordonatele acesteia satisfac ecuația (5): . Exprimând de aici și substituind-o în ecuația (5), obținem ecuația necesară:

Dacă această ecuație poate fi rescrisă într-o formă care este mai convenabilă pentru memorare:

(6)

Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctele M 1 (1,2) și M 2 (-2,3)

Soluţie. . Folosind proprietatea proporției și efectuând transformările necesare, obținem ecuația generală a unei drepte:

Unghiul dintre două linii drepte

Luați în considerare două linii drepte l 1Și l 2:

l 1: , , Și

l 2: , ,

φ este unghiul dintre ele (). Din fig. 4 este clar: .

De aici , sau

Folosind formula (7) puteți determina unul dintre unghiurile dintre liniile drepte. Al doilea unghi este egal cu .

Exemplu. Două drepte sunt date de ecuațiile y=2x+3 și y=-3x+2. găsiți unghiul dintre aceste drepte.

Soluţie. Din ecuații este clar că k 1 =2 și k 2 =-3. Înlocuind aceste valori în formula (7), găsim

. Astfel, unghiul dintre aceste drepte este egal cu .

Condiții de paralelism și perpendicularitate a două drepte

Dacă drept l 1Și l 2 sunt paralele, atunci φ=0 Și tgφ=0. din formula (7) rezultă că , de unde k 2 = k 1. Astfel, condiția pentru paralelismul a două drepte este egalitatea coeficienților lor unghiulari.

Dacă drept l 1Și l 2 sunt perpendiculare, atunci φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Astfel, condiția pentru perpendicularitatea a două drepte este ca coeficienții lor unghiulari să fie inversi ca mărime și opuși ca semn.

Distanța de la punct la linie

Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la dreapta Ax + Bу + C = 0 este determinată ca

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza perpendicularei căzute din punctul M la o dreaptă dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite prin rezolvarea sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular pe o dreaptă dată.

Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Determinați unghiul dintre drepte: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Exemplu. Arătați că dreptele 3x – 5y + 7 = 0 și 10x + 6y – 3 = 0 sunt perpendiculare.

Găsim: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, prin urmare, dreptele sunt perpendiculare.

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Găsiți ecuația înălțimii desenată din vârful C.

Găsim ecuația laturii AB: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime necesară are forma: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b.

k= . Atunci y = . Deoarece înălțimea trece prin punctul C, atunci coordonatele acestuia satisfac această ecuație: de unde b = 17. Total: .

Răspuns: 3x + 2y – 34 = 0.

Distanța de la un punct la o linie este determinată de lungimea perpendicularei trasate de la punct la linie.

Dacă linia este paralelă cu planul de proiecție (h | | P 1), apoi pentru a determina distanța de la punct A la o linie dreaptă h este necesară coborârea perpendicularei din punct A la orizontală h.

Să luăm în considerare un exemplu mai complex, când linia dreaptă ocupă o poziție generală. Să fie necesar să se determine distanța de la un punct M la o linie dreaptă A pozitia generala.

Sarcina de determinare distanțe dintre liniile paralele se rezolvă în mod similar cu cea precedentă. Un punct este luat pe o dreaptă și o perpendiculară este aruncată de pe o altă dreaptă. Lungimea unei perpendiculare este egală cu distanța dintre liniile paralele.

Curba de ordinul doi este o linie definită de o ecuație de gradul doi relativ la coordonatele carteziene curente. În cazul general, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

unde A, B, C, D, E, F sunt numere reale și cel puțin unul dintre numerele A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Cerc

Centrul cercului– acesta este locul geometric al punctelor din plan echidistant de un punct din planul C(a,b).

Cercul este dat de următoarea ecuație:

Unde x,y sunt coordonatele unui punct arbitrar pe cerc, R este raza cercului.

Semnul ecuației unui cerc

1. Lipsește termenul cu x, y

2. Coeficienții pentru x 2 și y 2 sunt egali

Elipsă

Elipsă se numește locul geometric al punctelor dintr-un plan, suma distanțelor fiecăruia dintre care de la două puncte date ale acestui plan se numește focare (o valoare constantă).

Ecuația canonică a elipsei:

X și y aparțin elipsei.

a – semiaxa mare a elipsei

b – semiaxa minoră a elipsei

Elipsa are 2 axe de simetrie OX și OU. Axele de simetrie ale unei elipse sunt axele sale, punctul de intersecție a acestora este centrul elipsei. Se numește axa pe care se află focarele axa focală. Punctul de intersecție al elipsei cu axele este vârful elipsei.

Raport de compresie (tensiune): ε = s/a– excentricitatea (caracterizează forma elipsei), cu cât este mai mică, cu atât elipsa este mai puțin extinsă de-a lungul axei focale.

Dacă centrele elipsei nu sunt în centrul C(α, β)

Hiperbolă

Hiperbolă se numește locul geometric al punctelor dintr-un plan, valoare absolută diferențele de distanțe, fiecare din două puncte date ale acestui plan, numite focare, este o valoare constantă diferită de zero.

Ecuația canonică a hiperbolei

O hiperbola are 2 axe de simetrie:

a – semiaxa reală de simetrie

b – semiaxa imaginară de simetrie

Asimptotele unei hiperbole:

Parabolă

Parabolă este locul punctelor din plan echidistant de un punct dat F, numit focar, și de o dreaptă dată, numită directrice.

Ecuația canonică a unei parabole:

У 2 =2рх, unde р este distanța de la focalizare la directrice (parametrul parabolă)

Dacă vârful parabolei este C (α, β), atunci ecuația parabolei (y-β) 2 = 2р(x-α)

Dacă axa focală este luată ca axa ordonatelor, atunci ecuația parabolei va lua forma: x 2 =2qу

Să fie date două puncte M(X 1 ,U 1) și N(X 2,y 2). Să găsim ecuația dreptei care trece prin aceste puncte.

Deoarece această linie trece prin punct M, atunci conform formulei (1.13) ecuația sa are forma

U – Y 1 = K(X–x 1),

Unde K– coeficient unghiular necunoscut.

Valoarea acestui coeficient este determinată din condiția ca linia dreaptă dorită să treacă prin punct N, ceea ce înseamnă că coordonatele sale satisfac ecuația (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

De aici puteți găsi panta acestei linii:

,

Sau după conversie

(1.14)

Formula (1.14) determină Ecuația unei drepte care trece prin două puncte M(X 1, Y 1) și N(X 2, Y 2).

În cazul special când punctele M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, se află pe axele de coordonate, ecuația (1.14) va lua o formă mai simplă

Ecuația (1.15) numit Ecuația unei drepte în segmente, Aici AȘi B se notează segmentele tăiate printr-o linie dreaptă pe axe (Figura 1.6).

Figura 1.6

Exemplul 1.10. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin puncte M(1, 2) și B(3, –1).

. Conform (1.14), ecuația dreptei dorite are forma

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Transferul tuturor membrilor la partea stanga, obținem în sfârșit ecuația necesară

3X + 2Y – 7 = 0.

Exemplul 1.11. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct M(2, 1) și punctul de intersecție al liniilor X+ Y - 1 = 0, X y+ 2 = 0.

. Vom găsi coordonatele punctului de intersecție al dreptelor rezolvând împreună aceste ecuații

Dacă adunăm aceste ecuații termen cu termen, obținem 2 X+ 1 = 0, de unde . Înlocuind valoarea găsită în orice ecuație, găsim valoarea ordonatei U:

Acum să scriem ecuația dreptei care trece prin punctele (2, 1) și:

sau .

Prin urmare sau –5( Y – 1) = X – 2.

Obținem în sfârșit ecuația dreptei dorite în formă X + 5Y – 7 = 0.

Exemplul 1.12. Aflați ecuația dreptei care trece prin puncte M(2.1) și N(2,3).

Folosind formula (1.14), obținem ecuația

Nu are sens, deoarece al doilea numitor este zero. Din condițiile problemei reiese clar că abscisele ambelor puncte au aceeași valoare. Aceasta înseamnă că linia dreaptă dorită este paralelă cu axa OY iar ecuația sa este: X = 2.

cometariu . Dacă, la scrierea ecuației unei linii folosind formula (1.14), unul dintre numitori se dovedește a fi egal cu zero, atunci ecuația dorită poate fi obținută prin echivalarea numărătorului corespunzător cu zero.

Să luăm în considerare și alte moduri de a defini o linie pe un plan.

1. Fie un vector diferit de zero perpendicular pe dreapta dată L, și punct M 0(X 0, Y 0) se află pe această linie (Figura 1.7).

Figura 1.7

Să notăm M(X, Y) orice punct de pe o dreaptă L. Vectori și Ortogonală. Folosind condițiile de ortogonalitate ale acestor vectori, obținem sau A(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Am obținut ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 0 este perpendicular pe vector. Acest vector se numește Vector normal la o linie dreaptă L. Ecuația rezultată poate fi rescrisă ca

Oh + Wu + CU= 0, unde CU = –(AX 0 + De 0), (1.16),

Unde AȘi ÎN– coordonatele vectorului normal.

Obținem ecuația generală a dreptei în formă parametrică.

2. O linie dreaptă pe un plan poate fi definită după cum urmează: fie un vector diferit de zero paralel cu dreapta dată Lși punct M 0(X 0, Y 0) se află pe această linie. Să luăm din nou un punct arbitrar M(X, y) pe o linie dreaptă (Figura 1.8).

Figura 1.8

Vectori și coliniare.

Să notăm condiția de coliniaritate a acestor vectori: , unde T– un număr arbitrar numit parametru. Să scriem această egalitate în coordonate:

Aceste ecuații se numesc Ecuații parametrice Drept. Să excludem parametrul din aceste ecuații T:

Aceste ecuații pot fi scrise altfel ca

. (1.18)

Ecuația rezultată se numește Ecuație canonică Drept. Vectorul este numit Vectorul de direcție este drept .

cometariu . Este ușor de observat că if este vectorul normal al liniei L, atunci vectorul său de direcție poate fi vectorul deoarece , adică .

Exemplul 1.13. Scrieți ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 0(1, 1) paralel cu linia 3 X + 2U– 8 = 0.

Soluţie . Vectorul este vectorul normal pentru liniile date și dorite. Să folosim ecuația unei drepte care trece printr-un punct M 0 cu un vector normal dat 3( X –1) + 2(U– 1) = 0 sau 3 X + 2у– 5 = 0. Am obținut ecuația dreptei dorite.