Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii drepte. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte

1. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat A(X 1 , y 1) într-o direcție dată, determinată de pantă k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Această ecuație definește un creion de linii care trec printr-un punct A(X 1 , y 1), care se numește centrul fasciculului.

2. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: A(X 1 , y 1) și B(X 2 , y 2), scris astfel:

Coeficientul unghiular al unei drepte care trece prin două puncte date este determinat de formula

3. Unghiul dintre liniile drepte AȘi B este unghiul cu care trebuie rotită prima linie dreaptă Aîn jurul punctului de intersecție al acestor linii în sens invers acelor de ceasornic până când acesta coincide cu a doua linie B. Dacă două drepte sunt date de ecuaţii cu pantă

y = k 1 X + B 1 ,

Linia care trece prin punctul K(x 0 ; y 0) și paralelă cu dreapta y = kx + a se găsește prin formula:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Unde k este panta dreptei.

Formula alternativa:
O dreaptă care trece prin punctul M 1 (x 1 ; y 1) și paralelă cu dreapta Ax+By+C=0 este reprezentată prin ecuație

A(x-x1)+B(y-y1)=0. (2)

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul K( ;) paralelă cu dreapta y = x+ .

Exemplul nr. 1. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul M 0 (-2,1) și în același timp:
a) paralel cu dreapta 2x+3y -7 = 0;
b) perpendicular pe dreapta 2x+3y -7 = 0.
Soluţie . Să ne imaginăm ecuația cu panta sub forma y = kx + a. Pentru a face acest lucru, mutați toate valorile cu excepția y în partea dreaptă: 3y = -2x + 7 . Apoi împărțiți partea dreaptă cu un factor de 3. Se obține: y = -2/3x + 7/3
Să găsim ecuația NK care trece prin punctul K(-2;1), paralelă cu dreapta y = -2 / 3 x + 7 / 3
Înlocuind x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 obținem:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
sau
y = -2 / 3 x - 1 / 3 sau 3y + 2x +1 = 0

Exemplul nr. 2. Scrieți ecuația unei drepte paralele cu dreapta 2x + 5y = 0 și formând împreună cu axele de coordonate un triunghi a cărui aria este 5.
Soluţie . Deoarece liniile sunt paralele, ecuația dreptei dorite este 2x + 5y + C = 0. Aria triunghi dreptunghic, unde a și b sunt picioarele sale. Să găsim punctele de intersecție ale liniei dorite cu axele de coordonate:
;
.
Deci, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Să o înlocuim în formula pentru zonă: . Obținem două soluții: 2x + 5y + 10 = 0 și 2x + 5y – 10 = 0.

Exemplul nr. 3. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul (-2; 5) și paralelă cu dreapta 5x-7y-4=0.
Soluţie. Această linie dreaptă poate fi reprezentată prin ecuația y = 5 / 7 x – 4 / 7 (aici a = 5 / 7). Ecuația dreptei dorite este y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), adică. 7(y-5)=5(x+2) sau 5x-7y+45=0.

Exemplul nr. 4. După ce am rezolvat exemplul 3 (A=5, B=-7) folosind formula (2), găsim 5(x+2)-7(y-5)=0.

Exemplul nr. 5. Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul (-2;5) și paralelă cu dreapta 7x+10=0.
Soluţie. Aici A=7, B=0. Formula (2) dă 7(x+2)=0, adică. x+2=0. Formula (1) nu este aplicabilă, deoarece ecuația dată nu poate fi rezolvată relativ la y (această dreaptă este paralelă cu ordonata).

Ecuația generală a unei drepte:

Cazuri speciale ecuație generală Drept:

si daca C= 0, ecuația (2) va avea forma

Topor + De = 0,

iar linia dreaptă definită de această ecuație trece prin origine, deoarece coordonatele originii sunt X = 0, y= 0 satisface această ecuație.

b) Dacă în ecuația generală a dreptei (2) B= 0, atunci ecuația ia forma

Topor + CU= 0 sau .

Ecuația nu conține o variabilă y, iar linia dreaptă definită de această ecuație este paralelă cu axa Oi.

c) Dacă în ecuația generală a dreptei (2) A= 0, atunci această ecuație va lua forma

De + CU= 0, sau ;

ecuația nu conține o variabilă X, iar linia dreaptă pe care o definește este paralelă cu axa Bou.

Amintiți-vă: dacă o dreaptă este paralelă cu oricare axa de coordonate, atunci în ecuația sa nu există niciun termen care să conțină o coordonată cu același nume ca această axă.

d) Când C= 0 și A= 0 ecuația (2) ia forma De= 0 sau y = 0.

Aceasta este ecuația axei Bou.

d) Când C= 0 și B= 0 ecuația (2) se va scrie sub forma Topor= 0 sau X = 0.

Aceasta este ecuația axei Oi.

Poziția relativă a liniilor pe un plan. Unghiul dintre liniile drepte dintr-un plan. Condiție pentru linii paralele. Condiția de perpendicularitate a liniilor.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vectorii S 1 și S 2 sunt numiți ghiduri pentru liniile lor.

Unghiul dintre liniile drepte l 1 și l 2 este determinat de unghiul dintre vectorii de direcție.
Teorema 1: cos al unghiului dintre l 1 si l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

Teorema 2: Pentru ca 2 linii să fie egale este necesar și suficient:

Teorema 3: Pentru ca 2 drepte să fie perpendiculare este necesar și suficient:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Ecuația planului general și cazurile sale speciale. Ecuația unui plan în segmente.

Ecuația planului general:

Ax + By + Cz + D = 0

Cazuri speciale:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – planul trece prin origine

2. С=0 Ax+By+D = 0 – plan || OZ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – plan || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – plan || BOU

5. A=0 și D=0 By+Cz = 0 – planul trece prin OX

6. B=0 și D=0 Ax+Cz = 0 – planul trece prin OY

7. C=0 și D=0 Ax+By = 0 – planul trece prin OZ

Poziția relativă a planelor și a liniilor drepte în spațiu:

1. Unghiul dintre liniile drepte în spațiu este unghiul dintre vectorii lor de direcție.

Cos (l1; l2) = cos(S1; S2) = =

2. Unghiul dintre plane se determină prin unghiul dintre vectorii lor normali.

Cos (l1; l2) = cos(N1; N2) = =

3. Cosinusul unghiului dintre dreaptă și plan poate fi găsit prin sinul unghiului dintre vectorul direcție al dreptei și vectorul normal al planului.

4. 2 drept || în spațiu când lor || ghiduri vectoriale

5. 2 avioane || când || vectori normali

6. Conceptele de perpendicularitate a dreptelor și planelor sunt introduse în mod similar.

Întrebarea nr. 14

Tipuri diferite ecuații ale unei drepte pe un plan (ecuația unei drepte în segmente, cu un coeficient de unghi etc.)

Ecuația unei drepte în segmente:
Să presupunem că în ecuația generală a dreptei:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – dreapta trece prin origine.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

Ecuația unei drepte cu pantă:

Orice linie dreaptă care nu este egală cu axa op-amp (B nu = 0) poate fi scrisă în următoarea linie. formă:

k = tanα α – unghiul dintre linia dreaptă și linia direcționată pozitiv OX

b – punctul de intersecție al dreptei cu axa op-amp-ului

Document:

Ax+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

Ecuația unei drepte bazată pe două puncte:

Întrebarea nr. 16

Limita finită a unei funcții într-un punct și pentru x→∞

Limită finală la x0:

Numărul A se numește limita funcției y = f(x) pentru x→x 0 dacă pentru orice E > 0 există b > 0 astfel încât pentru x ≠x 0 satisfacerea inegalității |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Limita este indicată prin: = A

Limită finală în punctul +∞:

Numărul A se numește limita funcției y = f(x) la x → + ∞ , dacă pentru orice E > 0 există C > 0 astfel încât pentru x > C inegalitatea |f(x) - A|< Е

Limita este indicată prin: = A

Limită finală în punctul -∞:

Numărul A se numește limita funcției y = f(x) pentru x→-∞, dacă pentru orice E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Acest articol continuă subiectul ecuației unei drepte pe un plan: vom considera acest tip de ecuație drept ecuația generală a unei linii. Să definim teorema și să dăm dovada acesteia; Să ne dăm seama ce este o ecuație generală incompletă a unei linii și cum să facem tranziții de la o ecuație generală la alte tipuri de ecuații ale unei linii. Vom consolida întreaga teorie cu ilustrații și soluții la probleme practice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Fie specificat în plan un sistem de coordonate dreptunghiular O x y.

Teorema 1

Orice ecuație de gradul I, având forma A x + B y + C = 0, unde A, B, C sunt numere reale (A și B nu sunt egale cu zero în același timp), definește o dreaptă în un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan. La rândul său, orice linie dreaptă dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan este determinată de o ecuație care are forma A x + B y + C = 0 pentru un anumit set de valori A, B, C.

Dovada

Această teoremă constă din două puncte; vom demonstra fiecare dintre ele.

1. Să demonstrăm că ecuația A x + B y + C = 0 definește o dreaptă pe plan.

Să existe un punct M 0 (x 0 , y 0) ale cărui coordonate corespund ecuației A x + B y + C = 0. Astfel: A x 0 + B y 0 + C = 0. Scădeți din laturile stânga și dreapta ale ecuațiilor A x + B y + C = 0 laturile stânga și dreapta ale ecuației A x 0 + B y 0 + C = 0, obținem o nouă ecuație care arată ca A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Este echivalent cu A x + B y + C = 0.

Ecuația rezultată A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 este o condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea vectorilor n → = (A, B) și M 0 M → = (x - x) 0, y - y 0). Astfel, mulțimea de puncte M (x, y) definește o dreaptă într-un sistem de coordonate dreptunghiular perpendicular pe direcția vectorului n → = (A, B). Putem presupune că nu este așa, dar atunci vectorii n → = (A, B) și M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nu ar fi perpendiculari, iar egalitatea A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 nu ar fi adevărat.

În consecință, ecuația A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 definește o anumită dreaptă într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan și, prin urmare, ecuația echivalentă A x + B y + C = 0 definește aceeași linie. Așa am demonstrat prima parte a teoremei.

1. Să oferim o dovadă că orice dreaptă dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan poate fi specificată printr-o ecuație de gradul I A x + B y + C = 0.

Să definim o dreaptă a într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan; punctul M 0 (x 0 , y 0) prin care trece această dreaptă, precum și vectorul normal al acestei drepte n → = (A, B) .

Să existe și un punct M (x, y) - un punct flotant pe o dreaptă. În acest caz, vectorii n → = (A, B) și M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) sunt perpendiculari unul pe celălalt, iar lor produs scalar exista zero:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Să rescriem ecuația A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definim C: C = - A x 0 - B y 0 și ca rezultat final obținem ecuația A x + B y + C = 0.

Deci, am demonstrat a doua parte a teoremei și am demonstrat întreaga teoremă ca întreg.

Definiția 1

O ecuație a formei A x + B y + C = 0 - Acest ecuația generală a unei linii pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiularOxy.

Pe baza teoremei dovedite, putem concluziona că o dreaptă și ecuația ei generală definite pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular fix sunt indisolubil legate. Cu alte cuvinte, linia originală corespunde ecuației sale generale; ecuația generală a unei linii corespunde unei linii date.

Din demonstrarea teoremei mai rezultă că coeficienții A și B pentru variabilele x și y sunt coordonatele vectorului normal al dreptei, care este dat de ecuația generală a dreptei A x + B y + C = 0.

Sa luam in considerare exemplu concret ecuația generală a unei drepte.

Să fie dată ecuația 2 x + 3 y - 2 = 0, care corespunde unei linii drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat. Vectorul normal al acestei linii este vectorul n → = (2 , 3) ​​​​. Să desenăm linia dreaptă dată în desen.

De asemenea, putem afirma următoarele: linia dreaptă pe care o vedem în desen este determinată de ecuația generală 2 x + 3 y - 2 = 0, deoarece coordonatele tuturor punctelor de pe o dreaptă dată corespund acestei ecuații.

Putem obține ecuația λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației generale a dreptei cu un număr λ nu egal cu zero. Ecuația rezultată este echivalentă cu ecuația generală inițială, prin urmare, va descrie aceeași linie dreaptă pe plan.

Definiția 2

Ecuația generală completă a unei drepte– o astfel de ecuație generală a dreptei A x + B y + C = 0, în care numerele A, B, C sunt diferite de zero. În caz contrar, ecuația este incomplet.

Să analizăm toate variațiile ecuației generale incomplete a unei linii.

1. Când A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ecuația generală ia forma B y + C = 0. O astfel de ecuație generală incompletă definește într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y o linie dreaptă care este paralelă cu axa O x, deoarece pentru orice valoare reală a lui x variabila y va lua valoarea - C B . Cu alte cuvinte, ecuația generală a dreptei A x + B y + C = 0, când A = 0, B ≠ 0, specifică locul punctelor (x, y), ale căror coordonate sunt egale cu același număr - C B .
2. Dacă A = 0, B ≠ 0, C = 0, ecuația generală ia forma y = 0. Această ecuație incompletă definește axa x O x .
3. Când A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, obținem o ecuație generală incompletă A x + C = 0, definind o dreaptă paralelă cu ordonata.
4. Fie A ≠ 0, B = 0, C = 0, atunci ecuația generală incompletă va lua forma x = 0, iar aceasta este ecuația dreptei de coordonate O y.
5. În cele din urmă, pentru A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, ecuația generală incompletă ia forma A x + B y = 0. Și această ecuație descrie o linie dreaptă care trece prin origine. De fapt, perechea de numere (0, 0) corespunde egalității A x + B y = 0, deoarece A · 0 + B · 0 = 0.

Să ilustrăm grafic toate tipurile de ecuații generale incomplete de mai sus ale unei linii drepte.

Exemplul 1

Se știe că linia dreaptă dată este paralelă cu axa ordonatelor și trece prin punctul 2 7, - 11. Este necesar să scrieți ecuația generală a dreptei date.

Soluţie

O dreaptă paralelă cu axa ordonatelor este dată de o ecuație de forma A x + C = 0, în care A ≠ 0. Condiția specifică și coordonatele punctului prin care trece linia, iar coordonatele acestui punct îndeplinesc condițiile ecuației generale incomplete A x + C = 0, adică. egalitatea este adevarata:

A 2 7 + C = 0

Din aceasta este posibil să se determine C dacă îi dăm lui A o valoare diferită de zero, de exemplu, A = 7. În acest caz, obținem: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Cunoaștem ambii coeficienți A și C, înlocuiți-i în ecuația A x + C = 0 și obținem ecuația dreaptă necesară: 7 x - 2 = 0

Răspuns: 7 x - 2 = 0

Exemplul 2

Desenul arată o linie dreaptă; trebuie să scrieți ecuația acesteia.

Soluţie

Desenul dat ne permite să luăm cu ușurință datele inițiale pentru a rezolva problema. Vedem în desen că linia dreaptă dată este paralelă cu axa O x și trece prin punctul (0, 3).

Linia dreaptă, care este paralelă cu abscisa, este determinată de ecuația generală incompletă B y + C = 0. Să găsim valorile lui B și C. Coordonatele punctului (0, 3), deoarece linia dată trece prin el, vor satisface ecuația dreptei B y + C = 0, atunci egalitatea este valabilă: B · 3 + C = 0. Să setăm B la o altă valoare decât zero. Să spunem B = 1, caz în care din egalitatea B · 3 + C = 0 putem găsi C: C = - 3. Folosim valori cunoscute B și C, obținem ecuația necesară a dreptei: y - 3 = 0.

Răspuns: y - 3 = 0 .

Ecuația generală a unei drepte care trece printr-un punct dat dintr-un plan

Să treacă dreapta dată prin punctul M 0 (x 0 , y 0), apoi coordonatele ei corespund ecuației generale a dreptei, adică. egalitatea este adevărată: A x 0 + B y 0 + C = 0. Să scădem părțile stânga și dreaptă ale acestei ecuații din laturile stânga și dreapta ale generalului ecuație completă Drept. Se obține: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, această ecuație este echivalentă cu cea generală inițială, trece prin punctul M 0 (x 0, y 0) și are o normală vector n → = (A, B) .

Rezultatul pe care l-am obținut face posibilă notarea ecuației generale a unei drepte cu coordonatele cunoscute ale vectorului normal al dreptei și coordonatele unui anumit punct al acestei drepte.

Exemplul 3

Dat un punct M 0 (- 3, 4) prin care trece o dreaptă și vectorul normal al acestei linii n → = (1 , - 2) . Este necesar să scrieți ecuația dreptei date.

Soluţie

Condițiile inițiale ne permit să obținem datele necesare compunerii ecuației: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Apoi:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problema ar fi putut fi rezolvată altfel. Ecuația generală a unei drepte este A x + B y + C = 0. Vectorul normal dat ne permite să obținem valorile coeficienților A și B, atunci:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Acum să găsim valoarea lui C folosind punctul M 0 (- 3, 4) specificat de condiția problemei, prin care trece linia dreaptă. Coordonatele acestui punct corespund ecuației x - 2 · y + C = 0, adică. - 3 - 2 4 + C = 0. Prin urmare, C = 11. Ecuația de linie dreaptă necesară ia forma: x - 2 · y + 11 = 0.

Răspuns: x - 2 y + 11 = 0 .

Exemplul 4

Având în vedere o dreaptă 2 3 x - y - 1 2 = 0 și un punct M 0 situat pe această dreaptă. Numai abscisa acestui punct este cunoscută și este egală cu - 3. Este necesar să se determine ordonata unui punct dat.

Soluţie

Să desemnăm coordonatele punctului M 0 ca x 0 și y 0 . Datele sursă indică faptul că x 0 = - 3. Deoarece punctul aparține unei linii date, atunci coordonatele sale corespund ecuației generale a acestei linii. Atunci egalitatea va fi adevărată:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definiți y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Răspuns: - 5 2

Trecerea de la ecuația generală a unei linii la alte tipuri de ecuații ale unei linii și invers

După cum știm, există mai multe tipuri de ecuații pentru aceeași linie dreaptă pe un plan. Alegerea tipului de ecuație depinde de condițiile problemei; se poate alege pe cel mai convenabil pentru rezolvare. Abilitatea de a converti o ecuație de un tip într-o ecuație de alt tip este foarte utilă aici.

Mai întâi, să luăm în considerare trecerea de la ecuația generală de forma A x + B y + C = 0 la ecuația canonică x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Dacă A ≠ 0, atunci mutăm termenul B y în partea dreaptă a ecuației generale. În partea stângă scoatem A din paranteze. Ca rezultat, obținem: A x + C A = - B y.

Această egalitate poate fi scrisă ca o proporție: x + C A - B = y A.

Dacă B ≠ 0, lăsăm doar termenul A x în partea stângă a ecuației generale, transferăm pe celelalte în partea dreaptă, obținem: A x = - B y - C. Scoatem – B din paranteze, apoi: A x = - B y + C B .

Să rescriem egalitatea sub forma unei proporții: x - B = y + C B A.

Desigur, nu este nevoie să memorezi formulele rezultate. Este suficient să cunoașteți algoritmul acțiunilor atunci când treceți de la o ecuație generală la una canonică.

Exemplul 5

Este dată ecuația generală a dreptei 3 y - 4 = 0. Este necesar să o transformăm într-o ecuație canonică.

Soluţie

Să scriem ecuația inițială ca 3 y - 4 = 0. În continuare, procedăm conform algoritmului: termenul 0 x rămâne în partea stângă; iar pe partea dreaptă punem - 3 din paranteze; obținem: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Să scriem egalitatea rezultată ca proporție: x - 3 = y - 4 3 0 . Astfel, am obținut o ecuație de formă canonică.

Răspuns: x - 3 = y - 4 3 0.

Pentru a transforma ecuația generală a unei linii în unele parametrice, faceți mai întâi trecerea la forma canonică, apoi trecerea de la ecuație canonică linie dreaptă la ecuații parametrice.

Exemplul 6

Linia dreaptă este dată de ecuația 2 x - 5 y - 1 = 0. Notați ecuațiile parametrice pentru această dreaptă.

Soluţie

Să facem trecerea de la ecuația generală la cea canonică:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Acum luăm ambele părți ale ecuației canonice rezultate egale cu λ, atunci:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Răspuns:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ecuația generală poate fi convertită într-o ecuație a unei drepte cu panta y = k · x + b, dar numai când B ≠ 0. Pentru tranziție, lăsăm termenul B y în partea stângă, restul sunt transferați la dreapta. Se obține: B y = - A x - C . Să împărțim ambele părți ale egalității rezultate la B, diferit de zero: y = - A B x - C B.

Exemplul 7

Ecuația generală a dreptei este dată: 2 x + 7 y = 0. Trebuie să convertiți acea ecuație într-o ecuație a pantei.

Soluţie

Să efectuăm acțiunile necesare conform algoritmului:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Răspuns: y = - 2 7 x .

Din ecuația generală a unei linii, este suficient să obțineți pur și simplu o ecuație în segmente de forma x a + y b = 1. Pentru a face o astfel de tranziție, mutăm numărul C în partea dreaptă a egalității, împărțim ambele părți ale egalității rezultate la – C și, în final, transferăm coeficienții pentru variabilele x și y la numitori:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Exemplul 8

Este necesar să se transforme ecuația generală a dreptei x - 7 y + 1 2 = 0 în ecuația dreptei în segmente.

Soluţie

Să mutăm 1 2 în partea dreaptă: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Să împărțim ambele părți ale egalității la -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Răspuns: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

În general, trecerea inversă este și ea ușoară: de la alte tipuri de ecuații la cea generală.

Ecuația unei linii în segmente și o ecuație cu un coeficient unghiular pot fi ușor convertite într-una generală prin simpla colectare a tuturor termenilor din partea stângă a egalității:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Ecuația canonică este convertită într-una generală conform următoarei scheme:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Pentru a trece de la cele parametrice, treceți mai întâi la cea canonică, apoi la cea generală:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Exemplul 9

Sunt date ecuațiile parametrice ale dreptei x = - 1 + 2 · λ y = 4. Este necesar să scrieți ecuația generală a acestei linii.

Soluţie

Să facem tranziția de la ecuațiile parametrice la cele canonice:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Să trecem de la canonic la general:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Răspuns: y - 4 = 0

Exemplul 10

Este dată ecuația unei drepte în segmentele x 3 + y 1 2 = 1. Este necesar să se facă o tranziție la aspectul general ecuații

Soluţie:

Pur și simplu rescriem ecuația în forma necesară:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Răspuns: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Întocmirea unei ecuații generale a unei drepte

Am spus mai sus că ecuația generală poate fi scrisă cu coordonatele cunoscute ale vectorului normal și coordonatele punctului prin care trece dreapta. O astfel de linie dreaptă este definită de ecuația A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Acolo am analizat și exemplul corespunzător.

Acum să ne uităm la exemple mai complexe, în care mai întâi trebuie să determinăm coordonatele vectorului normal.

Exemplul 11

Dată o dreaptă paralelă cu dreapta 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Se cunoaşte şi punctul M 0 (4, 1) prin care trece linia dată. Este necesar să scrieți ecuația dreptei date.

Soluţie

Condițiile inițiale ne spun că dreptele sunt paralele, apoi, ca vector normal al dreptei, a cărei ecuație trebuie scrisă, luăm vectorul direcție al dreptei n → = (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Acum cunoaștem toate datele necesare pentru a crea ecuația generală a dreptei:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Răspuns: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Exemplul 12

Linia dată trece prin originea perpendiculară pe dreapta x - 2 3 = y + 4 5. Este necesar să se creeze o ecuație generală pentru o linie dată.

Soluţie

Vectorul normal al unei linii date va fi vectorul direcție al dreptei x - 2 3 = y + 4 5.

Atunci n → = (3, 5) . Linia dreaptă trece prin origine, adică. prin punctul O (0, 0). Să creăm o ecuație generală pentru o linie dată:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Răspuns: 3 x + 5 y = 0 .

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Lecție din seria „Algoritmi geometrici”

Bună dragă cititor!

Astăzi vom începe să învățăm algoritmi legați de geometrie. Cert este că există destul de multe probleme la olimpiade în informatică legate de geometria computațională, iar rezolvarea unor astfel de probleme provoacă adesea dificultăți.

Pe parcursul mai multor lecții, vom lua în considerare o serie de subsarcini elementare pe care se bazează soluția majorității problemelor din geometria computațională.

În această lecție vom crea un program pentru aflarea ecuatiei unei drepte, trecând prin dat două puncte. Pentru a rezolva probleme geometrice, avem nevoie de anumite cunoștințe de geometrie computațională. Vom dedica o parte a lecției cunoașterii lor.

Perspective din geometria computațională

Geometria computațională este o ramură a informaticii care studiază algoritmii pentru rezolvarea problemelor geometrice.

Datele inițiale pentru astfel de probleme pot fi un set de puncte pe un plan, un set de segmente, un poligon (specificat, de exemplu, printr-o listă a vârfurilor sale în ordinea acelor de ceasornic), etc.

Rezultatul poate fi fie un răspuns la o întrebare (cum ar fi un punct aparține unui segment, două segmente se intersectează, ...), fie un obiect geometric (de exemplu, cel mai mic poligon convex care leagă punctele date, aria de un poligon etc.).

Vom lua în considerare probleme de geometrie computațională doar în plan și numai în sistemul de coordonate carteziene.

Vectori și coordonate

Pentru a aplica metodele geometriei computaționale, este necesară traducerea imaginilor geometrice în limbajul numerelor. Vom presupune că planului i se dă un sistem de coordonate carteziene, în care direcția de rotație în sens invers acelor de ceasornic este numită pozitivă.

Acum obiectele geometrice primesc o expresie analitică. Deci, pentru a specifica un punct, este suficient să indicați coordonatele acestuia: o pereche de numere (x; y). Un segment poate fi specificat prin specificarea coordonatelor capetelor sale; o linie dreaptă poate fi specificată prin specificarea coordonatele unei perechi de puncte.

Dar principalul nostru instrument pentru rezolvarea problemelor vor fi vectorii. Prin urmare, permiteți-mi să amintesc câteva informații despre ei.

Segment de linie AB, care are rost A este considerat începutul (punctul de aplicare) și punctul ÎN– sfârșit, numit vector ABși este notat cu oricare sau printr-o literă mică aldine, de exemplu A .

Pentru a desemna lungimea unui vector (adică lungimea segmentului corespunzător), vom folosi simbolul modulului (de exemplu, ).

Un vector arbitrar va avea coordonate egale cu diferența dintre coordonatele corespunzătoare ale sfârșitului și începutului său:

,

aici sunt punctele AȘi B au coordonate respectiv.

Pentru calcule vom folosi conceptul unghi orientat, adică un unghi care ține cont de poziția relativă a vectorilor.

Unghi orientat între vectori A Și b pozitiv dacă rotația este din vector A a vector b se efectuează în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic) și negativ în celălalt caz. Vezi Fig.1a, Fig.1b. Se mai spune că o pereche de vectori A Și b orientat pozitiv (negativ).

Astfel, valoarea unghiului de orientare depinde de ordinea în care sunt listați vectorii și pot lua valori în interval.

Multe probleme din geometria computațională folosesc conceptul de produse vectoriale (înclinate sau pseudoscalare) ale vectorilor.

Produsul vectorial al vectorilor a și b este produsul dintre lungimile acestor vectori și sinusul unghiului dintre ei:

.

Produsul încrucișat al vectorilor în coordonate:

Expresia din dreapta este un determinant de ordinul doi:

Spre deosebire de definiția dată în geometrie analitică, este un scalar.

Semnul produsului vectorial determină poziția vectorilor unul față de celălalt:

A Și b orientat pozitiv.

Dacă valoarea este , atunci o pereche de vectori A Și b orientat negativ.

Produsul încrucișat al vectorilor nenuli este zero dacă și numai dacă sunt coliniari ( ). Aceasta înseamnă că se află pe aceeași linie sau pe linii paralele.

Să ne uităm la câteva probleme simple care sunt necesare atunci când rezolvăm altele mai complexe.

Să determinăm ecuația unei drepte din coordonatele a două puncte.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte diferite specificate de coordonatele lor.

Să fie date două puncte necoincidente pe o dreaptă: cu coordonatele (x1; y1) și cu coordonatele (x2; y2). În consecință, un vector cu un început într-un punct și un sfârșit într-un punct are coordonate (x2-x1, y2-y1). Dacă P(x, y) este un punct arbitrar pe dreapta noastră, atunci coordonatele vectorului sunt egale cu (x-x1, y – y1).

Folosind produsul vectorial, condiția de coliniaritate a vectorilor și poate fi scrisă după cum urmează:

Acestea. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Rescriem ultima ecuație după cum urmează:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Deci, linia dreaptă poate fi specificată printr-o ecuație de forma (1).

Problema 1. Sunt date coordonatele a două puncte. Găsiți reprezentarea sa sub forma ax + by + c = 0.

În această lecție am învățat câteva informații despre geometria computațională. Am rezolvat problema găsirii ecuației unei drepte din coordonatele a două puncte.

În lecția următoare, vom crea un program pentru a găsi punctul de intersecție a două drepte date de ecuațiile noastre.