Ministerul Învățământului General și Profesional

Soci Universitate de stat turism

și afaceri în stațiune

Institutul Pedagogic

Facultatea de Matematică

Departamentul de Matematică Generală

MUNCĂ DE LICENȚĂ

Seria Fourier și aplicațiile lor

În fizica matematică.

Completat de: student anul 5

semnătura de învățământ cu normă întreagă

Specialitatea 010100

"Matematică"

Kasperova N.S.

ID student nr. 95471

Conducător științific: conferențiar, candidat.

semnătura tehnică stiinte

Pozin P.A.

Soci, 2000

1. Introducere.

2. Conceptul de serie Fourier.

2.1. Determinarea coeficienților seriei Fourier.

2.2. Integrale ale funcțiilor periodice.

3. Semne de convergență ale seriei Fourier.

3.1. Exemple de extindere a funcțiilor în seria Fourier.

4. O notă despre extinderea seriei Fourier a unei funcții periodice

5. Serii Fourier pentru funcții pare și impare.

6. Serii Fourier pentru funcții cu perioada 2 l .

7. Expansiunea seriei Fourier a unei funcții neperiodice.

Introducere.

Jean Baptiste Joseph Fourier - matematician francez, membru al Academiei de Științe din Paris (1817).

Primele lucrări ale lui Fourier s-au referit la algebră. Deja în prelegerile din 1796 el a prezentat o teoremă asupra numărului de rădăcini reale ecuație algebrică situat între aceste granițe (publicat în 1820), numit după el; o soluție completă a numărului de rădăcini reale ale unei ecuații algebrice a fost obținută în 1829 de către J.S.F. Prin asalt. În 1818, Fourier a investigat problema condițiilor de aplicabilitate a metodei de rezolvare numerică a ecuațiilor dezvoltată de Newton, neștiind despre rezultate similare obținute în 1768 de matematicianul francez J.R. Murailem. Rezultatul lucrării lui Fourier privind metodele numerice de rezolvare a ecuațiilor este „Analiza ecuațiilor definite”, publicată postum în 1831.

Principala zonă de studiu a lui Fourier a fost fizica matematică. În 1807 și 1811 a prezentat Academiei de Științe din Paris primele sale descoperiri privind teoria propagării căldurii în solide, iar în 1822 a publicat lucrare celebră„Teoria analitică a căldurii”, care a jucat un rol major în istoria ulterioară a matematicii. Aceasta este teoria matematică a conductivității termice. Datorită generalității metodei, această carte a devenit sursa tuturor metode moderne fizica matematica. În această lucrare, Fourier a derivat ecuație diferențială conductivitate termică și idei dezvoltate în cele mai multe schiță generală subliniat mai devreme de D. Bernoulli, a dezvoltat o metodă de separare a variabilelor (metoda Fourier) pentru a rezolva ecuația căldurii în anumite condiții la limită date, pe care a aplicat-o într-un număr de cazuri speciale (cub, cilindru etc.). Această metodă se bazează pe reprezentarea funcțiilor prin serii Fourier trigonometrice.

Seriile Fourier au devenit acum un instrument bine dezvoltat în teoria ecuațiilor cu diferențe parțiale pentru rezolvarea problemelor cu valori la limită.

1. Conceptul de serie Fourier. (pag. 94, Uvarenkov)

Seriile Fourier joacă un rol important în fizica matematică, teoria elasticității, inginerie electrică și mai ales cazul lor special - seria Fourier trigonometrică.

O serie trigonometrică este o serie a formei

sau, simbolic:

(1)

unde ω, a 0, a 1, …, a n, …, b 0, b 1, …, b n, … sunt numere constante (ω>0).

Din punct de vedere istoric, anumite probleme din fizică au condus la studiul unor astfel de serii, de exemplu, problema vibrațiilor corzilor (secolul al XVIII-lea), problema regularităților în fenomenele de conducere a căldurii etc. În aplicații, luarea în considerare a seriei trigonometrice. , este asociat în primul rând cu sarcina de a reprezenta o mișcare dată, descrisă de ecuația y = ƒ(χ), în

forma sumei celor mai simple oscilații armonice, adesea luate la infinit un numar mare, adică ca suma unei serii de forma (1).

Astfel, ajungem la următoarea problemă: pentru a afla dacă pentru o funcție dată ƒ(x) pe un interval dat există o serie (1) care ar converge pe acest interval către această funcție. Dacă acest lucru este posibil, atunci ei spun că în acest interval funcția ƒ(x) este extinsă într-o serie trigonometrică.

Seria (1) converge într-un punct x 0, datorită periodicității funcțiilor

(n=1,2,..), se va dovedi a fi convergent în toate punctele formei (m este orice număr întreg), și astfel suma sa S(x) va fi (în regiunea de convergență a seriei ) o funcție periodică: dacă S n ( x) – a n-a parțială suma acestei serii, atunci avem

prin urmare

, adică S(x0 +T)=S(x0). Prin urmare, vorbind despre extinderea unei funcții ƒ(x) într-o serie de forma (1), vom presupune că ƒ(x) este o funcție periodică.

2. Determinarea coeficienților de serie folosind formule Fourier.

Fie o funcție periodică ƒ(x) cu perioada 2π astfel încât să fie reprezentată printr-o serie trigonometrică convergentă către o funcție dată în intervalul (-π, π), adică este suma acestei serii:

. (2)

Să presupunem că integrala funcției din partea stângă a acestei egalități este egală cu suma integralelor termenilor acestei serii. Acest lucru va fi adevărat dacă presupunem că seria numerică compusă din coeficienții unei serii trigonometrice date este absolut convergentă, adică seria numerică pozitivă converge

(3)

Seria (1) este majorizabilă și poate fi integrată termen cu termen în intervalul (-π, π). Să integrăm ambele părți ale egalității (2):

.

Să evaluăm separat fiecare integrală care apare în partea dreaptă:

, , .

Prin urmare,

, Unde . (4)

Estimarea coeficienților Fourier. (Bugrov)

Teorema 1. Fie ca funcția ƒ(x) a perioadei 2π să aibă o derivată continuă ƒ ( s) (x) ordin s, satisfacerea inegalității pe întreaga axă reală:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

apoi coeficienții Fourier ai funcției ƒ satisface inegalitatea

(6)

Dovada. Integrarea pe părți și ținând cont de faptul că

ƒ(-π) = ƒ(π), avem

Integrarea secvenţială a părţii drepte a lui (7), ţinând cont de faptul că derivatele ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) sunt continue şi iau aceleasi valoriîn punctele t = -π și t = π, precum și estimarea (5), obținem prima estimare (6).

A doua estimare (6) se obține într-un mod similar.

Teorema 2. Pentru coeficienții Fourier ƒ(x) se aplică următoarea inegalitate:

(8)

Dovada. Avem

Cum se inserează formule matematice pe un site web?

Dacă vreodată trebuie să adăugați una sau două formule matematice pe o pagină web, atunci cel mai simplu mod de a face acest lucru este descris în articol: formulele matematice sunt ușor de inserat pe site sub formă de imagini care sunt generate automat de Wolfram Alpha . Pe lângă simplitate, această metodă universală va ajuta la îmbunătățirea vizibilității site-ului în motoarele de căutare. Funcționează de mult timp (și cred că va funcționa pentru totdeauna), dar este deja depășit din punct de vedere moral.

Dacă utilizați în mod regulat formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați MathJax - o bibliotecă JavaScript specială care afișează notații matematice în browserele web folosind markup MathML, LaTeX sau ASCIIMathML.

Există două moduri de a începe să utilizați MathJax: (1) folosind un cod simplu, puteți conecta rapid un script MathJax la site-ul dvs., care va fi încărcat automat de pe un server la distanță la momentul potrivit (lista de servere); (2) descărcați scriptul MathJax de pe un server la distanță pe serverul dvs. și conectați-l la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă - mai complexă și consumatoare de timp - va grăbi încărcarea paginilor site-ului dvs., iar dacă serverul MathJax părinte devine temporar indisponibil dintr-un motiv oarecare, acest lucru nu vă va afecta în niciun fel propriul site. În ciuda acestor avantaje, am ales prima metodă deoarece este mai simplă, mai rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmează-mi exemplul și în doar 5 minute vei putea folosi toate funcțiile MathJax de pe site-ul tău.

Puteți conecta scriptul de bibliotecă MathJax de la un server la distanță folosind două opțiuni de cod preluate de pe site-ul principal MathJax sau de pe pagina de documentație:

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și/sau imediat după etichetă. Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune monitorizează și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, acesta va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de descărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare a MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să inserați formule matematice în paginile web ale site-ului dvs.

Orice fractal este construit conform o anumită regulă, care se aplică secvenţial de un număr nelimitat de ori. Fiecare astfel de timp se numește iterație.

Algoritmul iterativ pentru construirea unui burete Menger este destul de simplu: cubul original cu latura 1 este împărțit de planuri paralele cu fețele sale în 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente acestuia de-a lungul fețelor sunt îndepărtate din el. Rezultatul este un set format din restul de 20 de cuburi mai mici. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set format din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem un burete Menger.

Care sunt deja destul de plictisitoare. Și simt că a venit momentul în care este timpul să extragem noi conserve din rezervele strategice ale teoriei. Este posibil să extinzi funcția într-o serie într-un alt mod? De exemplu, exprimați un segment de dreaptă în termeni de sinusuri și cosinusuri? Pare incredibil, dar astfel de funcții aparent îndepărtate pot fi
„reunificare”. Pe lângă gradele familiare în teorie și practică, există și alte abordări pentru extinderea unei funcții într-o serie.

În această lecție ne vom familiariza cu seria Fourier trigonometrică, vom aborda problema convergenței și a sumei sale și, bineînțeles, vom analiza numeroase exemple de extindere a funcțiilor din seria Fourier. Am vrut din tot sufletul să numesc articolul „Seria Fourier pentru manechini”, dar ar fi necinstit, deoarece rezolvarea problemelor ar necesita cunoașterea altor ramuri ale analizei matematice și ceva experiență practică. Prin urmare, preambulul va semăna cu antrenamentul astronauților =)

În primul rând, ar trebui abordat studiul materialelor de pagină in mare forma. Somnoros, odihnit si treaz. Fără emoții puternice despre piciorul unui hamster rupt și gânduri obsesive despre greutățile vieții pești de acvariu. Seria Fourier nu este greu de înțeles, dar sarcinile practice necesită pur și simplu o concentrare sporită a atenției - în mod ideal, ar trebui să abandonați complet stimuli externi. Situația este agravată de faptul că nu există o modalitate ușoară de a verifica soluția și de a răspunde. Astfel, dacă sănătatea ta este sub medie, atunci este mai bine să faci ceva mai simplu. Este adevarat.

În al doilea rând, înainte de a zbura în spațiu, trebuie să studiați panoul de instrumente nava spatiala. Să începem cu valorile funcțiilor pe care trebuie să faceți clic pe mașină:

Pentru orice valoare naturală:

1) . Într-adevăr, sinusoidul „coase” axa x prin fiecare „pi”:
. În cazul valorilor negative ale argumentului, rezultatul, desigur, va fi același: .

2) . Dar nu toată lumea știa asta. Cosinusul „pi” este echivalentul unui „intermitent”:

Un argument negativ nu schimbă problema: .

Poate că este suficient.

Și în al treilea rând, dragi corp de cosmonauți, trebuie să fiți capabil să... integrați.
În special, subsumați cu încredere o funcție sub semnul diferențial, integrați pe părți și fiți în armonie cu formula Newton-Leibniz. Să începem exercițiile importante înainte de zbor. Nu recomand categoric să-l sări peste el, pentru a nu strica mai târziu în imponderabilitate:

Exemplul 1

Calculați integrale definite

unde ia valori naturale.

Rezolvare: integrarea se realizează peste variabila „x” și în această etapă variabila discretă „en” este considerată constantă. În toate integralele subsumăm funcția sub semnul diferențial:

O versiune scurtă a soluției pe care ar fi bine să o vizați arată astfel:

Hai sa ne obisnuim:

Cele patru puncte rămase sunt pe cont propriu. Încercați să abordați sarcina cu conștiință și să scrieți integralele într-un mod scurt. Exemple de soluții la sfârșitul lecției.

După Performanță de CALITATE exerciții, îmbrăcați costume spațiale
și pregătiți-vă să începeți!

Expansiunea unei funcții într-o serie Fourier pe interval

Să luăm în considerare o funcție care este definită cel puțin pe un interval (și, eventual, pe un interval mai mare). Dacă această funcție este integrabilă pe interval, atunci poate fi extinsă într-o serie Fourier trigonometrică:
, unde sunt așa-zișii Coeficienții Fourier.

În acest caz, numărul se numește perioada de descompunere, iar numărul se numește semiperioada de descompunere.

Este evident că, în cazul general, seria Fourier constă din sinusuri și cosinusuri:

Într-adevăr, să o scriem în detaliu:

Termenul zero al seriei se scrie de obicei sub forma .

Coeficienții Fourier se calculează folosind următoarele formule:

Înțeleg perfect că cei care încep să studieze subiectul sunt încă neclari cu privire la noile termeni: perioada de descompunere, semiciclu, Coeficienții Fourier etc. Nu intrați în panică, acest lucru nu este comparabil cu entuziasmul înainte de a merge în spațiul cosmic. Să înțelegem totul în exemplul următor, înainte de a executa ceea ce este logic să punem întrebări practice stringente:

Ce trebuie să faci în următoarele sarcini?

Extindeți funcția într-o serie Fourier. În plus, este adesea necesar să descrii un grafic al unei funcții, un grafic al sumei unei serii, o sumă parțială și, în cazul fanteziilor profesorale sofisticate, să faci altceva.

Cum se extinde o funcție într-o serie Fourier?

În esență, trebuie să găsești Coeficienții Fourier, adică alcătuiți și calculați trei integrale definite.

Vă rugăm să copiați forma generală a seriei Fourier și cele trei formule de lucru în caiet. Sunt foarte bucuros că unii vizitatori ai site-ului își realizează visul din copilărie de a deveni astronaut chiar în fața ochilor mei =)

Exemplul 2

Extindeți funcția într-o serie Fourier pe interval. Construiți un grafic, un grafic al sumei seriei și al sumei parțiale.

Soluție: Prima parte a sarcinii este extinderea funcției într-o serie Fourier.

Începutul este standard, asigurați-vă că notați:

În această problemă, perioada de expansiune este de jumătate de perioadă.

Să extindem funcția într-o serie Fourier pe intervalul:

Folosind formulele adecvate, găsim Coeficienții Fourier. Acum trebuie să compuneți și să calculați trei integrale definite. Pentru comoditate, voi numerota punctele:

1) Prima integrală este cea mai simplă, totuși, necesită și globi oculari:

2) Folosiți a doua formulă:

Această integrală este bine cunoscută și este luată în părți:

La constatare s-a folosit metoda de subsumare a funcției sub semnul diferențial.

În sarcina luată în considerare, este mai convenabil să folosiți imediat formula pentru integrarea pe părți într-o integrală definită :

Câteva note tehnice. În primul rând, după aplicarea formulei, întreaga expresie trebuie inclusă între paranteze mari, deoarece există o constantă în fața integralei originale. Să nu o pierdem! Parantezele pot fi extinse la orice pas; am făcut asta ca ultimă soluție. În prima „piesă” Arătăm o grijă extremă în înlocuire; după cum puteți vedea, constanta nu este utilizată, iar limitele de integrare sunt substituite în produs. Această acțiune este evidențiată între paranteze drepte. Ei bine, ești familiarizat cu integrala celei de-a doua „piese” a formulei din sarcina de antrenament;-)

Și cel mai important - concentrare extremă!

3) Căutăm al treilea coeficient Fourier:

Se obține o relativă a integralei anterioare, care poate fi integrată și prin părți:

Această instanță este puțin mai complicată, voi comenta pașii următori pas cu pas:

(1) Introducem întreaga expresie între paranteze mari. Nu am vrut să par plictisitor, ei pierd constanta prea des.

(2) În acest caz, am deschis imediat aceste paranteze mari. Atentie speciala Ne dedicăm primei „piese”: constanta fumează pe margine și nu participă la înlocuirea limitelor de integrare ( și ) în produs . Din cauza dezordinei înregistrării, este din nou recomandabil să evidențiezi această acțiune cu paranteze drepte. Cu a doua "piesa" totul este mai simplu: aici fracția a apărut după deschiderea parantezelor mari, iar constanta - ca urmare a integrării integralei familiare;-)

(3) Între paranteze pătrate se efectuează transformări, iar în integrala dreaptă - înlocuirea limitelor de integrare.

(4) Scoatem „lumina intermitentă” din parantezele pătrate: , iar apoi deschidem parantezele interioare: .

(5) Anulăm 1 și –1 între paranteze și facem simplificări finale.

În cele din urmă, se găsesc toți cei trei coeficienți Fourier:

Să le înlocuim în formulă :

În același timp, nu uitați să împărțiți în jumătate. La ultimul pas, constanta („minus doi”), care nu depinde de „en”, este luată în afara sumei.

Astfel, am obținut extinderea funcției într-o serie Fourier pe intervalul:

Să studiem problema convergenței seriei Fourier. Voi explica teoria, în special teorema lui Dirichlet, literalmente „pe degete”, așa că dacă aveți nevoie de formulări stricte, vă rugăm să consultați manualul de pe analiză matematică (de exemplu, al 2-lea volum din Bohan; sau al 3-lea volum din Fichtenholtz, dar este mai dificil).

A doua parte a problemei necesită desenarea unui grafic, un grafic al sumei unei serii și un grafic al unei sume parțiale.

Graficul funcției este o linie dreaptă obișnuită pe plan, care este desenată cu o linie punctată neagră:

Să ne dăm seama suma seriei. După cum știți, seriile de funcții converg către funcții. În cazul nostru, seria Fourier construită pentru orice valoare a lui "x" va converge către funcția, care este afișată cu roșu. Această funcție tolerează discontinuități de primul fel la puncte, dar este definită și la ele (puncte roșii în desen)

Prin urmare: . Este ușor de observat că este vizibil diferită de funcția originală, motiv pentru care în intrare Se folosește mai degrabă o tildă decât un semn de egalitate.

Să studiem un algoritm care este convenabil pentru a construi suma unei serii.

Pe intervalul central, seria Fourier converge către funcția în sine (segmentul roșu central coincide cu linia punctată neagră a funcției liniare).

Acum să vorbim puțin despre natura expansiunii trigonometrice luate în considerare. Seria Fourier include numai funcții periodice (constante, sinusuri și cosinus), deci suma seriei este și o funcție periodică.

Ce înseamnă asta la noi exemplu concret? Și asta înseamnă că suma seriei – este cu siguranță periodic și segmentul roșu al intervalului trebuie repetat la nesfârșit în stânga și în dreapta.

Cred că sensul expresiei „perioada de descompunere” a devenit în sfârșit clar. Pentru a spune simplu, de fiecare dată când situația se repetă din nou și din nou.

În practică, este de obicei suficient să descrii trei perioade de descompunere, așa cum se face în desen. Ei bine, și, de asemenea, „cioturi” ale perioadelor învecinate - astfel încât să fie clar că graficul continuă.

De interes deosebit sunt punctele de discontinuitate de primul fel. În astfel de puncte, seria Fourier converge către valori izolate, care sunt situate exact în mijlocul „sariturii” discontinuității (puncte roșii în desen). Cum să aflați ordonata acestor puncte? Mai întâi, să găsim ordonata „etajului superior”: pentru a face acest lucru, calculăm valoarea funcției în punctul cel mai din dreapta al perioadei centrale a expansiunii: . Pentru a calcula ordonata „etajului inferior”, cel mai simplu mod este să luați extrema valoare rămasă din aceeași perioadă: . Ordonata valorii medii este media aritmetică a sumei „sus și jos”: . Un fapt plăcut este că atunci când construiți un desen, veți vedea imediat dacă mijlocul este calculat corect sau incorect.

Să construim o sumă parțială a seriei și, în același timp, să repetăm ​​sensul termenului „convergență”. Motivul este cunoscut și din lecția despre suma unei serii de numere. Să ne descriem în detaliu bogăția:

Pentru a compune o sumă parțială, trebuie să scrieți zero + încă doi termeni ai seriei. Acesta este,

Desenul prezintă graficul funcției verdeși, după cum puteți vedea, „învelește” întreaga cantitate destul de strâns. Dacă luăm în considerare o sumă parțială a cinci termeni ai seriei, atunci graficul acestei funcții va aproxima și mai precis liniile roșii; dacă există o sută de termeni, atunci „șarpele verde” se va contopi complet cu segmentele roșii, etc. Astfel, seria Fourier converge către suma sa.

Este interesant de observat că orice sumă parțială este o funcție continuă, dar suma totală a seriei este încă discontinuă.

În practică, nu este atât de rar să construiești un grafic cu sumă parțială. Cum să o facă? În cazul nostru, este necesar să luăm în considerare funcția pe segment, să calculați valorile acesteia la capetele segmentului și în punctele intermediare (cu cât luați în considerare mai multe puncte, cu atât graficul va fi mai precis). Apoi ar trebui să marcați aceste puncte pe desen și să desenați cu atenție un grafic al perioadei, apoi să îl „replicați” în intervale adiacente. Cum altfel? La urma urmei, aproximarea este, de asemenea, o funcție periodică... ... într-un fel, graficul ei îmi amintește de un ritm cardiac uniform pe afișajul unui dispozitiv medical.

Efectuarea construcției, desigur, nu este foarte convenabilă, deoarece trebuie să fii extrem de atent, menținând o precizie de nu mai puțin de jumătate de milimetru. Cu toate acestea, voi mulțumi cititorii care nu se simt confortabil cu desenul - într-o problemă „adevărată” nu este întotdeauna necesar să se efectueze un desen; în aproximativ 50% din cazuri este necesar să se extindă funcția într-o serie Fourier și asta este tot .

După finalizarea desenului, îndeplinim sarcina:

Răspuns :

În multe probleme, funcția suferă o discontinuitate de primul fel chiar în perioada de expansiune:

Exemplul 3

Extindeți funcția dată pe interval într-o serie Fourier. Desenați un grafic al funcției și al sumei totale a seriei.

Funcția propusă este specificată pe bucăți (și, rețineți, doar pe segment) si sufera o discontinuitate de primul fel la punctul . Este posibil să se calculeze coeficienții Fourier? Nici o problemă. Ambele părți din stânga și dreapta ale funcției sunt integrabile pe intervalele lor, prin urmare integralele din fiecare dintre cele trei formule ar trebui reprezentate ca suma a două integrale. Să vedem, de exemplu, cum se face acest lucru pentru un coeficient zero:

A doua integrală s-a dovedit a fi egală cu zero, ceea ce a redus munca, dar nu este întotdeauna cazul.

Ceilalți doi coeficienți Fourier sunt descriși în mod similar.

Cum se arată suma unei serii? Pe intervalul din stânga desenăm un segment de linie dreaptă, iar pe interval - un segment de linie dreaptă (subliniem secțiunea axei cu aldine și aldine). Adică, pe intervalul de expansiune, suma seriei coincide cu funcția peste tot, cu excepția a trei puncte „rele”. În punctul de discontinuitate al funcției, seria Fourier va converge către o valoare izolată, care se află exact în mijlocul „sariturii” discontinuității. Nu este greu să-l vezi oral: limită din stânga: , limită din dreapta: și, evident, ordonata punctului de mijloc este 0,5.

Datorită periodicității sumei, imaginea trebuie „înmulțită” în perioade adiacente, în special, același lucru trebuie reprezentat pe intervale și . În același timp, în anumite puncte seria Fourier va converge către valorile mediane.

De fapt, nu este nimic nou aici.

Încercați să vă descurcați singur cu această sarcină. O mostră aproximativă a proiectului final și un desen la sfârșitul lecției.

Extinderea unei funcții într-o serie Fourier pe o perioadă arbitrară

Pentru o perioadă de expansiune arbitrară, unde „el” este orice număr pozitiv, formulele pentru seria Fourier și coeficienții Fourier se disting printr-un argument puțin mai complicat pentru sinus și cosinus:

Dacă , atunci obținem formulele de interval cu care am început.

Algoritmul și principiile pentru rezolvarea problemei sunt complet păstrate, dar complexitatea tehnică a calculelor crește:

Exemplul 4

Extindeți funcția într-o serie Fourier și trasați suma.

Rezolvare: de fapt un analog al Exemplului nr. 3 cu o discontinuitate de primul fel la punct. În această problemă, perioada de expansiune este de jumătate de perioadă. Funcția este definită numai pe jumătate de interval, dar acest lucru nu schimbă problema - este important ca ambele părți ale funcției să fie integrabile.

Să extindem funcția într-o serie Fourier:

Deoarece funcția este discontinuă la origine, fiecare coeficient Fourier ar trebui în mod evident scris ca suma a două integrale:

1) Voi scrie prima integrală cât mai detaliat posibil:

2) Privim cu atenție suprafața Lunii:

Luăm a doua integrală pe părți:

La ce ar trebui să fim atenți după ce deschidem continuarea soluției cu un asterisc?

În primul rând, nu pierdem prima integrală , unde aplicam imediat semnul diferential. În al doilea rând, nu uitați constanta nefericită înaintea parantezelor mari și nu vă confundați în semne atunci când utilizați formula . Parantezele mari sunt încă mai convenabile pentru a fi deschise imediat în pasul următor.

Restul este o chestiune de tehnică; dificultățile pot fi cauzate doar de experiența insuficientă în rezolvarea integralelor.

Da, nu degeaba s-au indignat colegii eminenți ai matematicianului francez Fourier - cum a îndrăznit el să aranjeze funcțiile în serii trigonometrice?! =) Apropo, toată lumea este probabil interesată de sensul practic al sarcinii în cauză. Fourier însuși a lucrat model matematic conductivitatea termică, iar ulterior seria numită după el a început să fie folosită pentru a studia multe procese periodice, care sunt vizibile și invizibile în lumea înconjurătoare. Acum, apropo, m-am surprins gândindu-mă că nu întâmplător am comparat graficul celui de-al doilea exemplu cu ritmul periodic al inimii. Cei interesați se pot familiariza cu aplicația practică transformata Fourierîn surse terțe. ...Deși este mai bine să nu o faci - va fi amintit ca Prima dragoste =)

3) Ținând cont de legăturile slabe menționate în mod repetat, să ne uităm la al treilea coeficient:

Să integrăm pe părți:

Să înlocuim coeficienții Fourier găsiți în formulă , fără a uita să împărțiți coeficientul zero la jumătate:

Să reprezentăm suma seriei. Să repetăm ​​pe scurt procedura: construim o linie dreaptă pe un interval și o linie dreaptă pe un interval. Dacă valoarea „x” este zero, punem un punct în mijlocul „sariturii” decalajului și „replicam” graficul pentru perioadele învecinate:


La „joncțiunile” perioadelor, suma va fi, de asemenea, egală cu punctele de mijloc ale „sariturii” decalajului.

Gata. Permiteți-mi să vă reamintesc că funcția în sine este definită prin condiție doar pe o jumătate de interval și, evident, coincide cu suma seriei pe intervale

Răspuns :

Uneori, o funcție dată pe bucăți este continuă pe perioada de expansiune. Cel mai simplu exemplu: . Soluţie (vezi Bohan volumul 2) la fel ca în cele două exemple precedente: în ciuda continuității funcției în punct, fiecare coeficient Fourier este exprimat ca suma a două integrale.

În intervalul de expansiune, pot exista mai multe puncte de discontinuitate de primul fel și/sau puncte „articulate” ale graficului (două, trei și, în general, orice final cantitate). Dacă o funcție este integrabilă pe fiecare parte, atunci este și extensibilă într-o serie Fourier. Dar din experiența practică nu-mi amintesc un lucru atât de crud. Cu toate acestea, există sarcini mai dificile decât cele luate în considerare, iar la sfârșitul articolului există link-uri către seria Fourier de complexitate crescută pentru toată lumea.

Între timp, să ne relaxăm, să ne lăsăm pe spate în scaunele noastre și să contemplăm întinderile nesfârșite de stele:

Exemplul 5

Extindeți funcția într-o serie Fourier pe interval și trasați suma seriei.

În această problemă, funcția este continuă pe jumătatea intervalului de expansiune, ceea ce simplifică soluția. Totul este foarte asemănător cu Exemplul nr. 2. Nu există nicio scăpare din nava spațială - va trebui să vă decideți =) O mostră aproximativă de design la sfârșitul lecției, este atașat un program.

Extinderea seriei Fourier a funcțiilor pare și impare

Cu funcțiile pare și impare, procesul de rezolvare a problemei este simplificat considerabil. Si de aceea. Să revenim la expansiunea unei funcții dintr-o serie Fourier cu o perioadă de „doi pi” și perioada arbitrară „două el” .

Să presupunem că funcția noastră este pară. Termenul general al seriei, după cum puteți vedea, conține cosinusuri pare și sinusuri impare. Și dacă extindem o funcție PAR, atunci de ce avem nevoie de sinusuri ciudate?! Să resetăm coeficientul inutil: .

Astfel, o funcție pară poate fi extinsă într-o serie Fourier numai în cosinus:

Deoarece integralele funcțiilor pare pe un segment de integrare care este simetric față de zero pot fi dublate, coeficienții Fourier rămași sunt de asemenea simplificați.

Pentru decalaj:

Pentru un interval arbitrar:

Exemplele de manuale care pot fi găsite în aproape orice manual de analiză matematică includ expansiuni ale funcțiilor pare . În plus, au fost întâlnite de mai multe ori în practica mea personală:

Exemplul 6

Funcția este dată. Necesar:

1) extindeți funcția într-o serie Fourier cu perioada , unde este un număr pozitiv arbitrar;

2) notați expansiunea pe interval, construiți o funcție și reprezentați grafic suma totală a seriei.

Rezolvare: în primul paragraf se propune rezolvarea problemei în vedere generala, și este foarte convenabil! Dacă este nevoie, înlocuiți-vă doar valoarea.

1) În această problemă, perioada de expansiune este de jumătate de perioadă. În timpul acțiunilor ulterioare, în special în timpul integrării, „el” este considerat o constantă

Funcția este pară, ceea ce înseamnă că poate fi extinsă într-o serie Fourier numai în cosinus: .

Căutăm coeficienții Fourier folosind formulele . Acordați atenție avantajelor lor necondiționate. În primul rând, integrarea se realizează pe segmentul pozitiv al expansiunii, ceea ce înseamnă că scăpăm în siguranță de modul , luând în considerare doar „X” din cele două piese. Și, în al doilea rând, integrarea este simplificată considerabil.

Două:

Să integrăm pe părți:

Prin urmare:
, în timp ce constanta , care nu depinde de „en”, este luată în afara sumei.

Răspuns :

2) Să scriem expansiunea pe interval, în acest scop în formula generala substitui valoarea dorită jumătate de ciclu:

Seriile Fourier sunt o reprezentare a unei funcții arbitrare cu o anumită perioadă sub forma unei serii. În general această decizie se numește descompunerea unui element pe bază ortogonală. Extinderea funcțiilor în seria Fourier este un instrument destul de puternic pentru rezolvarea diferitelor probleme datorită proprietăților acestei transformări în timpul integrării, diferențierii, precum și prin schimbarea expresiilor prin argument și convoluție.

O persoană care nu este familiarizată cu matematica superioară, precum și cu lucrările omului de știință francez Fourier, cel mai probabil nu va înțelege ce sunt aceste „serii” și pentru ce sunt necesare. Între timp, această transformare a devenit destul de integrată în viața noastră. Este folosit nu numai de matematicieni, ci și de fizicieni, chimiști, medici, astronomi, seismologi, oceanografi și mulți alții. De asemenea, să aruncăm o privire mai atentă la lucrările marelui om de știință francez care a făcut o descoperire care a fost înaintea timpului său.

Omul și transformata Fourier

Serii Fourier sunt una dintre metode (împreună cu analize și altele).Acest proces are loc de fiecare dată când o persoană aude un sunet. Urechea noastră transformă automat particulele elementare într-un mediu elastic în rânduri (de-a lungul spectrului) de niveluri de volum succesive pentru tonuri de diferite înălțimi. Apoi, creierul transformă aceste date în sunete care ne sunt familiare. Toate acestea se întâmplă fără dorința sau conștiința noastră, de la sine, dar pentru a înțelege aceste procese, va fi nevoie de câțiva ani pentru a studia matematica superioară.

Mai multe despre transformata Fourier

Transformarea Fourier poate fi efectuată folosind metode analitice, numerice și alte metode. Serii Fourier se referă la metoda numerică de descompunere a oricăror procese oscilatorii - de la maree oceanice și unde luminoase la cicluri de activitate solară (și alte obiecte astronomice). Folosind aceste tehnici matematice, puteți analiza funcții, reprezentând orice procese oscilatorii ca o serie de componente sinusoidale care se deplasează de la minim la maxim și înapoi. Transformata Fourier este o funcție care descrie faza și amplitudinea sinusoidelor corespunzătoare unei anumite frecvențe. Acest proces poate fi folosit pentru a rezolva ecuații foarte complexe care descriu procese dinamice care apar sub influența energiei termice, luminoase sau electrice. De asemenea, seriile Fourier fac posibilă izolarea componentelor constante în semnale oscilatorii complexe, făcând posibilă interpretarea corectă a observațiilor experimentale obținute în medicină, chimie și astronomie.

Referință istorică

Părintele fondator al acestei teorii este matematicianul francez Jean Baptiste Joseph Fourier. Această transformare a fost ulterior numită după el. Inițial, omul de știință și-a folosit metoda pentru a studia și explica mecanismele conductivității termice - răspândirea căldurii în solide. Fourier a sugerat că distribuția neregulată inițială poate fi descompusă în sinusoide simple, fiecare dintre acestea având propria temperatură minimă și maximă, precum și propria sa fază. În acest caz, fiecare astfel de componentă va fi măsurată de la minim la maxim și invers. Funcția matematică care descrie vârfurile superioare și inferioare ale curbei, precum și faza fiecăreia dintre armonici, se numește transformată Fourier a expresiei distribuției temperaturii. Autorul teoriei a redus funcția de distribuție generală, care este dificil de descris matematic, la o serie foarte convenabilă de cosinus și sinus, care împreună dau distribuția originală.

Principiul transformării și punctele de vedere ale contemporanilor

Contemporanii omului de știință – matematicieni de seamă de la începutul secolului al XIX-lea – nu au acceptat această teorie. Principala obiecție a fost afirmația lui Fourier că o funcție discontinuă, care descrie o linie dreaptă sau o curbă discontinuă, poate fi reprezentată ca o sumă de expresii sinusoidale care sunt continue. Ca exemplu, luați în considerare pasul Heaviside: valoarea sa este zero la stânga discontinuității și unu la dreapta. Această funcție descrie dependența curentului electric de o variabilă temporară atunci când circuitul este închis. Contemporanii teoriei din acel moment nu se întâlniseră niciodată situație similară, unde o expresie discontinuă ar fi descrisă printr-o combinație de funcții continue, convenționale, cum ar fi exponențial, sinus, liniar sau pătratic.

Ce i-a derutat pe matematicienii francezi cu privire la teoria lui Fourier?

La urma urmei, dacă matematicianul a avut dreptate în afirmațiile sale, atunci prin însumarea seriei infinite trigonometrice Fourier, se poate obține o reprezentare precisă a expresiei pasului, chiar dacă are mulți pași similari. La începutul secolului al XIX-lea, o astfel de afirmație părea absurdă. Dar, în ciuda tuturor îndoielilor, mulți matematicieni au extins domeniul de studiu al acestui fenomen, ducându-l dincolo de studiul conductivității termice. Cu toate acestea, majoritatea oamenilor de știință au continuat să fie chinuiți de întrebarea: „Poate suma unei serii sinusoidale să convergă către valoare exacta functie discontinua?

Convergența seriei Fourier: un exemplu

Problema convergenței se pune ori de câte ori este necesar să se însumeze serii infinite de numere. Pentru a înțelege acest fenomen, luați în considerare un exemplu clasic. Vei putea vreodată să ajungi la perete dacă fiecare pas următor este jumătate din dimensiunea celui precedent? Să presupunem că ești la doi metri de țintă, primul pas te duce până la jumătatea drumului, următorul te duce la trei sferturi, iar după al cincilea vei fi parcurs aproape 97 la sută din drum. Cu toate acestea, indiferent de câți pași ai face, nu îți vei atinge scopul propus într-un sens strict matematic. Folosind calcule numerice, se poate dovedi că în cele din urmă este posibil să se apropie cât mai mult de o anumită distanță. Această dovadă este echivalentă cu demonstrarea că suma unei jumătăți, a unui sfert etc. va tinde spre unitate.

Problema convergenței: a doua venire sau dispozitivul lordului Kelvin

Repetat această întrebare a crescut la sfârșitul secolului al XIX-lea, când au încercat să folosească seria Fourier pentru a prezice intensitatea fluxului și refluxului mareelor. În acest moment, Lordul Kelvin a inventat un instrument, care era un dispozitiv de calcul analogic care permitea marinarilor militari și marini comerciali să urmărească acest lucru. un fenomen natural. Acest mecanism a determinat seturi de faze și amplitudini dintr-un tabel de înălțimi ale mareelor ​​și puncte de timp corespunzătoare, măsurate cu atenție într-un anumit port pe tot parcursul anului. Fiecare parametru a fost o componentă sinusoidală a expresiei înălțimii mareei și a fost una dintre componentele regulate. Măsurătorile au fost introduse în instrumentul de calcul al lui Lord Kelvin, care a sintetizat o curbă care a prezis înălțimea apei în funcție de timp pentru anul următor. Foarte curând au fost trasate curbe similare pentru toate porturile lumii.

Ce se întâmplă dacă procesul este perturbat de o funcție discontinuă?

La acea vreme părea evident că un predictor al valului mare cu un număr mare de elemente de numărare putea calcula un numar mare de faze și amplitudini și astfel oferă predicții mai precise. Cu toate acestea, s-a dovedit că acest model nu este observat în cazurile în care expresia mareelor ​​care ar trebui sintetizată conținea un salt ascuțit, adică era discontinuu. Dacă datele dintr-un tabel de momente de timp sunt introduse în dispozitiv, acesta calculează mai mulți coeficienți Fourier. Funcția inițială este restabilită datorită componentelor sinusoidale (în conformitate cu coeficienții aflați). Discrepanța dintre expresia originală și cea reconstruită poate fi măsurată în orice punct. Când se efectuează calcule și comparații repetate, este clar că valoarea celei mai mari erori nu scade. Cu toate acestea, ele sunt localizate în regiunea corespunzătoare punctului de discontinuitate, iar în orice alt punct tind spre zero. În 1899, acest rezultat a fost confirmat teoretic de Joshua Willard Gibbs de la Universitatea Yale.

Convergența seriilor Fourier și dezvoltarea matematicii în general

Analiza Fourier nu este aplicabilă expresiilor care conțin un număr infinit de vârfuri într-un anumit interval. În general, seria Fourier, dacă funcția inițială este reprezentată de rezultatul realului dimensiunea fizică, converg mereu. Întrebările despre convergența acestui proces pentru clase specifice de funcții au condus la apariția de noi ramuri în matematică, de exemplu, teoria funcțiilor generalizate. Ea este asociată cu nume precum L. Schwartz, J. Mikusinski și J. Temple. În cadrul acestei teorii, un clar și precis baza teoretica sub expresii precum funcția deltă Dirac (descrie o regiune dintr-o singură zonă concentrată într-o vecinătate infinitezimală a unui punct) și „pasul” Heaviside. Datorită acestei lucrări, seria Fourier a devenit aplicabilă pentru rezolvarea ecuațiilor și a problemelor care implică concepte intuitive: sarcină punctiformă, masă punctuală, dipoli magnetici și sarcină concentrată pe un fascicul.

Metoda Fourier

Seria Fourier, în conformitate cu principiile interferenței, încep cu expansiunea forme complexe la cele mai simple. De exemplu, o modificare a fluxului de căldură se explică prin trecerea acestuia prin diferite obstacole din material termoizolant formă neregulată sau o schimbare a suprafeței pământului - un cutremur, o schimbare a orbitei corp ceresc- influența planetelor. De regulă, astfel de ecuații care descriu sisteme clasice simple pot fi rezolvate cu ușurință pentru fiecare val individual. Fourier a arătat asta solutii simple poate fi însumat și pentru a obține soluții la probleme mai complexe. În termeni matematici, seriile Fourier sunt o tehnică de reprezentare a unei expresii ca o sumă de armonici - cosinus și sinus. De aceea această analiză cunoscută și sub denumirea de analiză armonică.

Seria Fourier - o tehnică ideală înainte de „era computerelor”

Înainte de creație echipamente informatice Tehnica lui Fourier a fost cea mai bună armăîn arsenalul oamenilor de știință atunci când lucrează cu natura ondulatorie a lumii noastre. Seria Fourier în formă complexă face posibilă rezolvarea nu numai a problemelor simple care pot fi aplicare directă Legile mecanicii lui Newton, dar și ecuații fundamentale. Majoritatea descoperirilor științei newtoniene din secolul al XIX-lea au fost posibile doar prin tehnica lui Fourier.

Seria Fourier azi

Odată cu dezvoltarea computerelor, transformatele Fourier s-au ridicat la un nivel calitativ nou nivel. Această tehnică este ferm stabilită în aproape toate domeniile științei și tehnologiei. Un exemplu este audio și video digital. Implementarea sa a devenit posibilă doar datorită unei teorii dezvoltate de un matematician francez la începutul secolului al XIX-lea. Astfel, seria Fourier într-o formă complexă a făcut posibilă realizarea unei descoperiri în studiul spațiului cosmic. În plus, a influențat studiul fizicii materialelor semiconductoare și a plasmei, acustica microundelor, oceanografie, radar și seismologie.

Seria Fourier trigonometrică

În matematică, o serie Fourier este o modalitate de a reprezenta arbitrar funcții complexe suma celor mai simple. ÎN cazuri generale numărul de astfel de expresii poate fi infinit. Mai mult, cu cât numărul lor este luat în considerare în calcul, cu atât rezultatul final este mai precis. Cel mai adesea folosit ca protozoare funcții trigonometrice cosinus sau sinus. În acest caz, seriile Fourier se numesc trigonometrice, iar soluția unor astfel de expresii se numește expansiune armonică. Această metodă joacă un rol important în matematică. În primul rând, seria trigonometrică oferă un mijloc pentru reprezentarea și, de asemenea, studierea funcțiilor; este principalul aparat al teoriei. În plus, vă permite să rezolvați o serie de probleme din fizica matematică. În cele din urmă, această teorie a contribuit la dezvoltarea unui număr de ramuri foarte importante ale științei matematice (teoria integralelor, teoria funcțiilor periodice). În plus, a servit ca punct de plecare pentru dezvoltare următoarele funcții variabilă reală și, de asemenea, a pus bazele analizei armonice.