Definiție. Rangul matricei este numărul maxim de rânduri liniar independente considerate ca vectori.

Teorema 1 asupra rangului matricei. Rangul matricei se numește ordinul maxim al unui minor diferit de zero al unei matrice.

Am discutat deja despre conceptul de minor în lecția despre determinanți, iar acum îl vom generaliza. Să luăm un anumit număr de rânduri și un anumit număr de coloane în matrice, iar acest „câte” ar trebui să fie număr mai mic rânduri și coloane ale matricei, iar pentru rânduri și coloane acest „cât” trebuie să fie același număr. Apoi, la intersecția câte rânduri și câte coloane va exista o matrice de ordin mai mic decât matricea noastră originală. Determinantul este o matrice și va fi un minor de ordinul k, dacă „unele” menționat (numărul de rânduri și coloane) este notat cu k.

Definiție. Minor ( r Ordinul +1), în care se află minorul ales r-allea ordin se numește margine pentru un anumit minor.

Cele două metode cele mai frecvent utilizate sunt aflarea rangului matricei. Acest mod de a se învecina cu minoriiȘi metoda transformărilor elementare(metoda Gauss).

Când se folosește metoda minorilor limită, se folosește următoarea teoremă.

Teorema 2 asupra rangului matricei. Dacă un minor poate fi compus din elemente de matrice r de ordinul al-lea, nu este egal cu zero, atunci rangul matricei este egal cu r.

Când se utilizează metoda de transformare elementară, se utilizează următoarea proprietate:

Dacă prin transformări elementare se obține o matrice trapezoidală echivalentă cu cea originală, atunci rangul acestei matrice este numărul de linii din el, altele decât liniile formate în întregime din zerouri.

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda limitării minorilor

Un minor care înglobează este un minor de ordin superior față de cel dat, dacă acest minor de ordin superior conține minorul dat.

De exemplu, având în vedere matricea

Să luăm un minor

Minorii limitrofe vor fi:

Algoritm pentru găsirea rangului unei matrice Următorul.

1. Găsiți minori de ordinul doi care nu sunt egali cu zero. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei va fi egal cu unu ( r =1 ).

2. Dacă există cel puțin un minor de ordinul doi care nu este egal cu zero, atunci compunem minorii limitrofe de ordinul al treilea. Dacă toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu doi ( r =2 ).

3. Dacă cel puțin unul dintre minorii învecinați de ordinul al treilea nu este egal cu zero, atunci compunem minorii învecinați. Dacă toți minorii învecinați de ordinul al patrulea sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu trei ( r =2 ).

4. Continuați în acest fel atâta timp cât dimensiunea matricei o permite.

Exemplul 1. Aflați rangul unei matrice

.

Soluţie. Minor de ordinul doi .

Să o limităm. Vor fi patru minori în graniță:

,

,

Astfel, toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, prin urmare, rangul acestei matrice este egal cu doi ( r =2 ).

Exemplul 2. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Rangul acestei matrice este egal cu 1, întrucât toți minorii de ordinul doi ai acestei matrice sunt egali cu zero (în aceasta, ca și în cazurile minorilor limitrofe din următoarele două exemple, dragi elevi sunt invitați să verifice pt. ei înșiși, poate folosind regulile de calcul al determinanților), iar printre minorii de ordinul întâi, adică printre elementele matricei, există și altele diferite de zero.

Exemplul 3. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Minorul de ordinul doi al acestei matrice este și toate minorii de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero. Prin urmare, rangul acestei matrice este doi.

Exemplul 4. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Rangul acestei matrice este 3, deoarece singurul minor de ordinul trei al acestei matrice este 3.

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda transformărilor elementare (metoda Gauss)

Deja în exemplul 1 este clar că sarcina de a determina rangul unei matrice folosind metoda limitării minorilor necesită calcularea un numar mare determinanți. Există, totuși, o modalitate de a reduce cantitatea de calcul la minimum. Această metodă se bazează pe utilizarea transformărilor matriceale elementare și este numită și metoda Gauss.

Următoarele operații sunt înțelese ca transformări matrice elementare:

1) înmulțirea oricărui rând sau coloană a unei matrice cu un alt număr decât zero;

2) adăugarea la elementele oricărui rând sau coloană a matricei a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând sau coloană, înmulțite cu același număr;

3) schimbarea a două rânduri sau coloane ale matricei;

4) eliminarea rândurilor „nule”, adică a celor ale căror elemente sunt toate egale cu zero;

5) ștergerea tuturor liniilor proporționale cu excepția uneia.

Teorema.În timpul unei transformări elementare, rangul matricei nu se modifică. Cu alte cuvinte, dacă folosim transformări elementare din matrice A a mers la matrice B, Acea .

Fie A o matrice de dimensiuni m\x n și k numar natural, care nu depășește m și n: k\leqslant\min\(m;n\). Ordine K-a minoră matricea A este determinantul unei matrice de ordin k formată din elementele de la intersecția dintre k rânduri și k coloane alese în mod arbitrar ale matricei A. La desemnarea minorilor, vom indica numerele rândurilor selectate ca indici superiori, iar numerele coloanelor selectate ca indici inferiori, aranjandu-le în ordine crescătoare.

Exemplul 3.4. Scrieți minori de diferite ordine ale matricei

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Soluţie. Matricea A are dimensiuni de 3\x4 . Are: 12 minori de ordinul I, de exemplu, minor M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 minori de ordinul 2, de exemplu, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 minori de ordinul 3, de exemplu,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

Într-o matrice A de dimensiuni m\x n se numește ordinul al r-lea minor de bază, dacă este diferit de zero și toți minorii de ordin (r+1)-ro sunt egali cu zero sau nu există deloc.

Rangul matricei se numeşte ordinea de bază minoră. Nu există o bază minoră într-o matrice zero. Prin urmare, rangul unei matrice zero este, prin definiție, egal cu zero. Rangul matricei A este notat cu \operatorname(rg)A.

Exemplul 3.5. Găsiți toate minorii de bază și rangul matricei

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Soluţie. Toți minorii de ordinul trei ai acestei matrice sunt egali cu zero, deoarece acești determinanți au un al treilea rând zero. Prin urmare, doar un minor de ordinul doi situat în primele două rânduri ale matricei poate fi de bază. Trecând prin 6 minori posibili, selectăm non-zero

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Fiecare dintre acești cinci minori este unul de bază. Prin urmare, rangul matricei este 2.

Note 3.2

1. Dacă toate minorele de ordinul k dintr-o matrice sunt egale cu zero, atunci și minorele de ordin superior sunt egale cu zero. Într-adevăr, extinzând ordinul minor de (k+1)-ro peste orice rând, obținem suma produselor elementelor acestui rând prin minore de ordinul k, iar acestea sunt egale cu zero.

2. Rangul unei matrice este egal cu cel mai înalt ordin al minorului diferit de zero al acestei matrice.

3. Dacă o matrice pătrată este nesingulară, atunci rangul ei este egal cu ordinea sa. Dacă o matrice pătrată este singulară, atunci rangul ei este mai mic decât ordinul său.

4. Desemnările sunt folosite și pentru rang \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rang)A,~ \operatorname(rank)A.

5. Rangul matricei bloc este definit ca rangul unei matrice obișnuite (numerice), adică indiferent de structura sa bloc. În acest caz, rangul unei matrice de bloc nu este mai mic decât rangurile blocurilor sale: \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)AȘi \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)B, deoarece toate minorele matricei A (sau B ) sunt și minore ale matricei bloc (A\mid B) .

Teoreme pe baza minoră și rangul matricei

Să luăm în considerare principalele teoreme care exprimă proprietățile dependenței liniare și ale independenței liniare ale coloanelor (rândurilor) unei matrice.

Teorema 3.1 pe baza minoră.Într-o matrice arbitrară A, fiecare coloană (rând) este o combinație liniară a coloanelor (rândurilor) în care se află baza minoră.

Într-adevăr, fără pierderi de generalitate, presupunem că într-o matrice A de mărime m\x n baza minoră este situată în primele r rânduri și primele r coloane. Luați în considerare determinantul

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

care se obţine prin atribuirea bazei minore a matricei A a corespunzătoare elementele st rânduri și k-a coloană. Rețineți că pentru orice 1\leqslant s\leqslant m iar acest determinant este egal cu zero. Dacă s\leqslant r sau k\leqslant r , atunci determinantul D conține două rânduri identice sau două coloane identice. Dacă s>r și k>r, atunci determinantul D este egal cu zero, deoarece este minor de ordinul (r+l)-ro. Extinderea determinantului de-a lungul ultimei linii, obținem

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

unde D_(r+1\,j) sunt complementele algebrice ale elementelor ultimului rând. Rețineți că D_(r+1\,r+1)\ne0 deoarece aceasta este o bază minoră. De aceea

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Unde \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

Scriind ultima egalitate pentru s=1,2,\ldots,m, obținem

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

acestea. a k-a coloană (pentru orice 1\leqslant k\leqslant n) este o combinație liniară a coloanelor bazei minore, ceea ce trebuia să dovedim.

Teorema minoră a bazei servește la demonstrarea următoarelor teoreme importante.

Condiție pentru ca determinantul să fie zero

Teorema 3.2 (condiție necesară și suficientă pentru ca determinantul să fie zero). Pentru ca un determinant să fie egal cu zero, este necesar și suficient ca una dintre coloanele sale (unul dintre rândurile sale) să fie o combinație liniară a coloanelor (rândurilor) rămase.

Într-adevăr, necesitatea decurge din teorema minoră de bază. Dacă determinantul unei matrici pătrate de ordinul n este egal cu zero, atunci rangul său este mai mic decât n, adică. cel puțin o coloană nu este inclusă în baza minoră. Atunci această coloană aleasă, de teorema 3.1, este o combinație liniară a coloanelor în care se află baza minoră. Adăugând, dacă este necesar, la această combinație alte coloane cu coeficienți zero, obținem că coloana selectată este o combinație liniară a coloanelor rămase ale matricei. Suficiența rezultă din proprietățile determinantului. Dacă, de exemplu, ultima coloană A_n a determinantului \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) exprimată liniar prin restul

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

apoi adăugând la A_n coloana A_1 înmulțită cu (-\lambda_1), apoi coloana A_2 înmulțită cu (-\lambda_2), etc. coloana A_(n-1) înmulțită cu (-\lambda_(n-1)) obținem determinantul \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) cu o coloană nulă care este egală cu zero (proprietatea 2 a determinantului).

Invarianța rangului matricei sub transformări elementare

Teorema 3.3 (asupra invarianței rangului sub transformări elementare). În timpul transformărilor elementare ale coloanelor (rândurilor) unei matrice, rangul acesteia nu se modifică.

Într-adevăr, să fie. Să presupunem că în urma unei transformări elementare a coloanelor matricei A am obţinut matricea A". Dacă s-a efectuat o transformare de tip I (permutarea a două coloane), atunci orice minor (r+l)-ro de ordinul al matricei A" este fie egală cu minorul corespunzător (r+l )-ro de ordinul matricei A, fie diferă de acesta prin semn (proprietatea 3 a determinantului). Dacă a fost efectuată o transformare de tip II (înmulțirea coloanei cu numărul \lambda\ne0 ), atunci orice minor (r+l)-ro de ordinul matricei A" este fie egal cu minorul corespunzător (r+l) -ro de ordinul matricei A sau diferit de ea factor \lambda\ne0 (proprietatea 6 a determinantului).Daca s-a efectuat o transformare de tip III (adunand la o coloana o alta coloana inmultita cu numarul \Lambda), atunci orice minor de ordinul (r+1) al matricei A" este fie egal cu ordinul minor (r+1)-al-lea corespunzător al matricei A (proprietatea 9 a determinantului), fie este egal cu suma a două minore (r+l)-ro de ordinul matricei A (proprietatea 8 a determinantului). Prin urmare, la o transformare elementară de orice tip, toate minorele (r+l)-ro de ordinul matricei A" sunt egale cu zero, deoarece toate minorele (r+l)-ro de ordinul matricei A sunt egal cu zero.Astfel, s-a dovedit că la transformările elementare ale coloanelor matricea de rang nu poate crește.Deoarece transformările inverse cu cele elementare sunt elementare, rangul matricei nu poate scădea la transformările elementare ale coloanelor, adică nu se modifică. În mod similar, se demonstrează că rangul matricei nu se modifică în cazul transformărilor elementare ale rândurilor.

Corolarul 1. Dacă un rând (coloană) al unei matrice este o combinație liniară a celorlalte rânduri (coloane), atunci acest rând (coloană) poate fi șters din matrice fără a-și schimba rangul.

Într-adevăr, un astfel de șir poate fi făcut zero folosind transformări elementare, iar un șir zero nu poate fi inclus în baza minoră.

Corolarul 2. Dacă matricea este redusă la cea mai simplă formă (1.7), atunci

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

Într-adevăr, matricea formei celei mai simple (1.7) are o bază minoră de ordinul r-a.

Corolarul 3. Orice matrice pătrată nesingulară este elementară, cu alte cuvinte, orice matrice pătrată nesingulară este echivalentă cu o matrice de identitate de același ordin.

Într-adevăr, dacă A este o matrice pătrată nesingulară de ordinul al n-lea, atunci \operatorname(rg)A=n(a se vedea punctul 3 din comentariile 3.2). Prin urmare, aducând matricea A la forma cea mai simplă (1.7) prin transformări elementare, se obține matricea identitate \Lambda=E_n , deoarece \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(vezi Corolarul 2). Prin urmare, matricea A este echivalentă cu matricea de identitate E_n și poate fi obținută din aceasta ca urmare a unui număr finit de transformări elementare. Aceasta înseamnă că matricea A este elementară.

Teorema 3.4 (despre rangul matricei). Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim de rânduri liniar independente ale acestei matrice.

De fapt, lasă \operatorname(rg)A=r. Atunci matricea A are r rânduri liniar independente. Acestea sunt liniile în care se află baza minoră. Dacă ar fi dependente liniar, atunci acest minor ar fi egal cu zero prin Teorema 3.2, iar rangul matricei A nu ar fi egal cu r. Să arătăm că r este numărul maxim de rânduri liniar independente, adică. orice p rânduri sunt dependente liniar pentru p>r. Într-adevăr, formăm matricea B din aceste p rânduri. Deoarece matricea B face parte din matricea A, atunci \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

Aceasta înseamnă că cel puțin un rând al matricei B nu este inclus în baza minoră a acestei matrice. Apoi, după teorema bazei minore, este egală cu o combinație liniară a rândurilor în care este situată baza minoră. Prin urmare, rândurile matricei B sunt dependente liniar. Astfel, matricea A are cel mult r rânduri liniar independente.

Corolarul 1. Numărul maxim de rânduri liniar independente dintr-o matrice este egal cu numărul maxim de coloane liniar independente:

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T.

Această afirmație rezultă din teorema 3.4 dacă o aplicăm rândurilor unei matrice transpuse și ținem cont de faptul că minorii nu se modifică în timpul transpunerii (proprietatea 1 a determinantului).

Corolarul 2. În timpul transformărilor elementare ale rândurilor unei matrice, dependența liniară (sau independența liniară) a oricărui sistem de coloane ale acestei matrice este păstrată.

De fapt, să alegem oricare k coloane ale unei matrice A date și să compunem matricea B din ele. Fie ca matricea A" să fie obținută ca rezultat al transformărilor elementare ale rândurilor matricei A, iar matricea B" să fie obținută ca urmare a acelorași transformări ale rândurilor matricei B. Prin teorema 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Prin urmare, dacă coloanele matricei B au fost liniar independente, i.e. k=\operatorname(rg)B(vezi Corolarul 1), atunci coloanele matricei B" sunt de asemenea independente liniar, deoarece k=\operatorname(rg)B". Dacă coloanele matricei B ar fi liniar dependente (k>\operatorname(rg)B), atunci coloanele matricei B" sunt de asemenea dependente liniar (k>\operatorname(rg)B"). În consecință, pentru orice coloană a matricei A, dependența liniară sau independența liniară este păstrată sub transformări elementare de rând.

Note 3.3

1. Prin corolarul 1 al teoremei 3.4, proprietatea coloanelor indicată în corolarul 2 este valabilă și pentru orice sistem de rânduri matrice dacă transformările elementare sunt efectuate numai pe coloanele sale.

2. Corolarul 3 al teoremei 3.3 poate fi rafinat după cum urmează: orice nedegenerat matrice pătrată, folosind transformări elementare doar ale rândurilor sale (sau numai coloanelor sale), poate fi redusă la o matrice de identitate de același ordin.

De fapt, folosind doar transformări elementare de rând, orice matrice A poate fi redusă la forma simplificată \Lambda (Fig. 1.5) (vezi Teorema 1.1). Deoarece matricea A este nesingulară (\det(A)\ne0), coloanele sale sunt liniar independente. Aceasta înseamnă că și coloanele matricei \Lambda sunt liniar independente (Corolarul 2 al Teoremei 3.4). Prin urmare, forma simplificată \Lambda a unei matrice nesingulare A coincide cu forma sa cea mai simplă (Fig. 1.6) și este matricea de identitate \Lambda=E (vezi corolarul 3 al teoremei 3.3). Astfel, transformând doar rândurile unei matrice nesingulare, aceasta poate fi redusă la matricea identitară. Raționament similar este valabil pentru transformările elementare ale coloanelor unei matrice nesingulare.

Rangul produsului și suma matricelor

Teorema 3.5 (cu privire la rangul produsului matricelor). Rangul produsului matricelor nu depășește rangul factorilor:

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

Într-adevăr, să fie matricele A și B dimensiunile m\x p și p\times n . Să atribuim matricei A matricea C=AB\colon\,(A\mid C). Desigur că \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C), deoarece C face parte din matrice (A\mid C) (vezi paragraful 5 al observațiilor 3.2). Rețineți că fiecare coloană C_j, conform operației de înmulțire a matricei, este o combinație liniară de coloane A_1,A_2,\ldots,A_p matrici A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

O astfel de coloană poate fi ștearsă din matrice (A\mid C) fără a-și schimba rangul (Corolarul 1 al Teoremei 3.3). Tăiind toate coloanele matricei C, obținem: \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. De aici, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. În mod similar, putem demonstra că condiția este îndeplinită simultan \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)B, și trageți o concluzie despre validitatea teoremei.

Consecinţă. Dacă A este o matrice pătrată nesingulară, atunci \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)BȘi \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C, adică rangul unei matrice nu se schimbă atunci când este înmulțită de la stânga sau de la dreapta cu o matrice pătrată nesingulară.

Teorema 3.6 privind rangul sumelor matricelor. Rangul sumei matricelor nu depășește suma rândurilor termenilor:

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

Într-adevăr, să creăm o matrice (A+B\mid A\mid B). Rețineți că fiecare coloană a matricei A+B este o combinație liniară de coloane a matricelor A și B. De aceea \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). Avand in vedere ca numarul de coloane liniar independente din matrice (A\mid B) nu depaseste \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B, A \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(vezi secțiunea 5 din Observațiile 3.2), obținem inegalitatea care se dovedește.

Pentru a lucra cu conceptul de rang de matrice, vom avea nevoie de informații din subiectul „Complemente algebrice și minore. Tipuri de minore și complemente algebrice”. În primul rând, acesta se referă la termenul „matrice minoră”, întrucât vom determina rangul matricei tocmai prin intermediul minorilor.

Rangul matricei este ordinea maximă a minorilor săi, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero.

Matrici echivalente- matrice ale căror ranguri sunt egale între ele.

Să explicăm mai detaliat. Să presupunem că printre minorii de ordinul doi există cel puțin unul diferit de zero. Și toți minorii a căror ordine este mai mare de doi sunt egali cu zero. Concluzie: rangul matricei este 2. Sau, de exemplu, printre minorii de ordinul al zecelea există cel puțin unul care nu este egal cu zero. Și toți minorii a căror ordine este mai mare de 10 sunt egali cu zero. Concluzie: rangul matricei este 10.

Rangul matricei $A$ se notează astfel: $\rang A$ sau $r(A)$. Se presupune că rangul matricei zero $O$ este zero, $\rang O=0$. Permiteți-mi să vă reamintesc că pentru a forma o matrice minoră trebuie să tăiați rândurile și coloanele, dar este imposibil să tăiați mai multe rânduri și coloane decât conține matricea în sine. De exemplu, dacă matricea $F$ are dimensiunea $5\x 4$ (adică conține 5 rânduri și 4 coloane), atunci ordinea maximă a minorelor sale este de patru. Nu se va mai putea forma minori de ordinul al cincilea, deoarece vor necesita 5 coloane (și avem doar 4). Aceasta înseamnă că rangul matricei $F$ nu poate fi mai mare de patru, adică. $\suna F≤4$.

Într-o formă mai generală, cele de mai sus înseamnă că, dacă o matrice conține $m$ rânduri și $n$ coloane, atunci rangul său nu poate depăși cel mai mic dintre $m$ și $n$, adică. $\rang A≤\min(m,n)$.

În principiu, din însăși definiția rangului urmează metoda de găsire a acestuia. Procesul de găsire a rangului unei matrice, prin definiție, poate fi reprezentat schematic după cum urmează:

Permiteți-mi să explic această diagramă mai detaliat. Să începem să raționăm de la bun început, adică. de la primul ordin minori ai unei matrice $A$.

1. Dacă toți minorii de ordinul întâi (adică, elementele matricei $A$) sunt egale cu zero, atunci $\rang A=0$. Dacă printre minorii de ordinul întâi există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci $\rang A≥ 1$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul doi.
2. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci $\rang A=1$. Dacă printre minorii de ordinul doi există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci $\rang A≥ 2$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul trei.
3. Dacă toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero, atunci $\rang A=2$. Dacă printre minorii de ordinul trei există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci $\rang A≥ 3$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul al patrulea.
4. Dacă toți minorii de ordinul al patrulea sunt egali cu zero, atunci $\rang A=3$. Dacă printre minorii de ordinul al patrulea există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci $\rang A≥ 4$. Trecem la verificarea minorilor de ordinul al cincilea și așa mai departe.

Ce ne așteaptă la finalul acestei proceduri? Este posibil ca printre minorii de ordinul k să existe cel puțin unul diferit de zero, iar toți minorii de ordinul (k+1) să fie egali cu zero. Aceasta înseamnă că k este ordinea maximă a minorilor, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero, adică. rangul va fi egal cu k. Poate fi o situație diferită: între minorii de ordinul k va fi cel puțin unul care nu este egal cu zero, dar nu se va mai putea forma (k+1) minori de ordin. În acest caz, rangul matricei este, de asemenea, egal cu k. În scurt, ordinea ultimului minor nenulu compus va fi egală cu rangul matricei.

Să trecem la exemple în care procesul de găsire a rangului unei matrice, prin definiție, va fi ilustrat clar. Permiteți-mi să subliniez încă o dată că în exemplele acestui subiect vom începe să găsim rangul matricelor folosind doar definiția rangului. Alte metode (calcularea rangului unei matrice folosind metoda minorilor învecinați, calcularea rangului unei matrice folosind metoda transformărilor elementare) sunt discutate în următoarele subiecte.

Apropo, nu este deloc necesară începerea procedurii de găsire a gradului cu minorii de ordinul cel mai mic, așa cum s-a făcut în exemplele nr. 1 și nr. 2. Puteți trece imediat la minori de ordine superioară (vezi exemplul nr. 3).

Exemplul nr. 1

Găsiți rangul matricei $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(matrice) \right)$.

Această matrice are dimensiunea $3\xtime 5$, adică conține trei rânduri și cinci coloane. Dintre numerele 3 și 5, minimul este 3, prin urmare rangul matricei $A$ nu este mai mare de 3, adică. $\rang A≤ 3$. Și această inegalitate este evidentă, deoarece nu vom mai putea forma minori de ordinul al patrulea - au nevoie de 4 rânduri și avem doar 3. Să trecem direct la procesul de găsire a rangului unei matrice date.

Printre minorii de ordinul întâi (adică printre elementele matricei $A$) există și altele diferite de zero. De exemplu, 5, -3, 2, 7. În general, nu ne interesează total elemente diferite de zero. Există cel puțin un element diferit de zero - și este suficient. Deoarece printre minorii de ordinul întâi există cel puțin unul diferit de zero, concluzionăm că $\rang A≥ 1$ și trecem la verificarea minorilor de ordinul doi.

Să începem să explorăm minorii de ordinul doi. De exemplu, la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2 și coloanelor nr. 1, nr. 4 există elemente de următorul minor: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(matrice) \right| $. Pentru acest determinant, toate elementele celei de-a doua coloane sunt egale cu zero, prin urmare determinantul în sine este egal cu zero, i.e. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (vezi proprietatea nr. 3 la tema proprietăților determinanților). Sau puteți calcula pur și simplu acest determinant folosind formula nr. 1 din secțiunea privind calcularea determinanților de ordinul doi și trei:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Primul minor de ordinul doi pe care l-am testat sa dovedit a fi egal cu zero. Ce înseamnă acest lucru? Despre necesitatea verificării în continuare a minorilor de ordinul doi. Fie se vor dovedi a fi toate zero (și atunci rangul va fi egal cu 1), fie printre ei va exista cel puțin un minor care este diferit de zero. Să încercăm să facem o alegere mai bună scriind un minor de ordinul doi, ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2 și coloanelor nr. 1 și nr. 5: $\left|\begin( matrice)(cc) 5 și 2 \\ 7 și 3 \end(matrice) \right|$. Să găsim valoarea acestui minor de ordinul doi:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Acest minor nu este egal cu zero. Concluzie: printre minorii de ordinul doi există cel puțin unul diferit de zero. Prin urmare $\rang A≥ 2$. Trebuie să trecem la studiul minorilor de ordinul trei.

Dacă alegem coloana nr. 2 sau coloana nr. 4 pentru a forma minori de ordinul trei, atunci astfel de minori vor fi egali cu zero (deoarece vor conține o coloană zero). Rămâne de verificat doar un minor de ordinul trei, ale cărui elemente sunt situate la intersecția coloanelor nr. 1, nr. 3, nr. 5 și rândurile nr. 1, nr. 2, nr. 3. Să notăm acest minor și să îi găsim valoarea:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Deci, toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero. Ultimul minor diferit de zero pe care l-am compilat a fost de ordinul doi. Concluzie: ordinea maximă a minorilor, printre care există cel puțin unul diferit de zero, este 2. Prin urmare, $\rang A=2$.

Răspuns: $\rang A=2$.

Exemplul nr. 2

Găsiți rangul matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

Avem o matrice pătrată de ordinul al patrulea. Să observăm imediat că rangul acestei matrice nu depășește 4, adică. $\rang A≤ 4$. Să începem să găsim rangul matricei.

Printre minorii de ordinul întâi (adică dintre elementele matricei $A$) există cel puțin unul care nu este egal cu zero, deci $\rang A≥ 1$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul doi. De exemplu, la intersecția rândurilor nr. 2, nr. 3 și coloanele nr. 1 și nr. 2, obținem următorul minor de ordinul doi: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Să o calculăm:

$$\stânga| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

Printre minorii de ordinul doi există cel puțin unul care nu este egal cu zero, deci $\rang A≥ 2$.

Să trecem la minorii de ordinul trei. Să găsim, de exemplu, un minor ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 3, nr. 4 și coloanele nr. 1, nr. 2, nr. 4:

$$\stânga | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

Deoarece acest minor de ordinul trei s-a dovedit a fi egal cu zero, este necesar să se investigheze un alt minor de ordinul trei. Fie toate vor fi egale cu zero (atunci rangul va fi egal cu 2), fie printre ei va fi cel puțin unul care nu este egal cu zero (atunci vom începe să studiem minorii de ordinul al patrulea). Să luăm în considerare un minor de ordinul al treilea, ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 2, nr. 3, nr. 4 și coloanele nr. 2, nr. 3, nr. 4:

$$\stânga| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

Printre minorii de ordinul trei există cel puțin unul diferit de zero, deci $\rang A≥ 3$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul al patrulea.

Orice minor de ordinul al patrulea este situat la intersecția a patru rânduri și patru coloane ale matricei $A$. Cu alte cuvinte, minorul de ordinul al patrulea este determinantul matricei $A$, deoarece matricea dată conține doar 4 rânduri și 4 coloane. Determinantul acestei matrice a fost calculat în exemplul nr. 2 al subiectului „Reducerea ordinii determinantului. Descompunerea determinantului într-un rând (coloană)”, așa că să luăm doar rezultatul final:

$$\stânga| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (matrice)\right|=86. $$

Deci minorul de ordinul al patrulea nu este egal cu zero. Nu mai putem forma minori de ordinul al cincilea. Concluzie: cel mai mare ordin al minorilor, printre care există cel puțin unul diferit de zero, este 4. Rezultat: $\rang A=4$.

Răspuns: $\rang A=4$.

Exemplul nr. 3

Găsiți rangul matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( matrice) \right)$.

Să observăm imediat că această matrice conține 3 rânduri și 4 coloane, deci $\rang A≤ 3$. În exemplele anterioare, am început procesul de găsire a rangului luând în considerare minorii de ordinul cel mai mic (primul). Aici vom încerca să verificăm imediat minorii de cea mai înaltă ordine posibilă. Pentru matricea $A$ acestea sunt minorii de ordinul trei. Să luăm în considerare un minor de ordinul al treilea, ale cărui elemente se află la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 3 și coloanele nr. 2, nr. 3, nr. 4:

$$\stânga| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

Deci, cel mai înalt ordin al minorilor, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero, este 3. Prin urmare, rangul matricei este 3, adică. $\rang A=3$.

Răspuns: $\rang A=3$.

În general, găsirea rangului unei matrice prin definiție este în caz general sarcina este destul de intensivă în muncă. De exemplu, matricea are relativ mărime mică$5\time 4$ există minori de 60 de ordinul secund. Și chiar dacă 59 dintre ele sunt egale cu zero, atunci al 60-lea minor se poate dovedi a fi diferit de zero. Apoi va trebui să studiezi minorii de ordinul trei, dintre care această matrice are 40 de piese. De obicei ei încearcă să folosească metode mai puțin greoaie, cum ar fi metoda limitării minorilor sau metoda transformărilor echivalente.

Elementar Următoarele transformări de matrice se numesc:

1) permutarea oricăror două rânduri (sau coloane),

2) înmulțirea unui rând (sau coloană) cu un număr diferit de zero,

3) adăugarea la un rând (sau coloană) a unui alt rând (sau coloană), înmulțit cu un anumit număr.

Cele două matrici sunt numite echivalent, dacă una dintre ele este obținută de la cealaltă folosind o mulțime finită de transformări elementare.

Matricele echivalente nu sunt, în general, egale, dar rangurile lor sunt egale. Dacă matricele A și B sunt echivalente, atunci se scrie după cum urmează: A ~ B.

Canonic O matrice este o matrice în care la începutul diagonalei principale există mai multe pe rând (al căror număr poate fi zero), iar toate celelalte elemente sunt egale cu zero, de exemplu,

Folosind transformări elementare de rânduri și coloane, orice matrice poate fi redusă la canonică. Rangul unei matrice canonice este egal cu numărul celor de pe diagonala sa principală.

Exemplul 2 Aflați rangul unei matrice

A=

și să-l aducă la forma canonică.

Soluţie. Din a doua linie, scădeți prima și rearanjați aceste linii:

.

Acum din a doua și a treia linie o scădem pe prima, înmulțită cu 2, respectiv 5:

;

scădeți primul din a treia linie; obținem o matrice

B = ,

care este echivalentă cu matricea A, deoarece se obține din ea folosind o mulțime finită de transformări elementare. În mod evident, rangul matricei B este 2 și, prin urmare, r(A)=2. Matricea B poate fi ușor redusă la canonică. Scăzând prima coloană, înmulțită cu numere potrivite, din toate cele ulterioare, întoarcem la zero toate elementele primului rând, cu excepția primului, iar elementele rândurilor rămase nu se modifică. Apoi, scăzând a doua coloană, înmulțită cu numerele potrivite, din toate cele ulterioare, trecem la zero toate elementele din al doilea rând, cu excepția celui de-al doilea, și obținem matricea canonică:

.

Kronecker - teorema Capelli- criteriul de compatibilitate pentru un sistem liniar ecuații algebrice:

Pentru a sistem liniar a fost compatibil, este necesar și suficient ca rangul matricei extinse a acestui sistem să fie egal cu rangul matricei sale principale.

Dovada (condiții de compatibilitate a sistemului)

Necesitate

Lăsa sistem comun Apoi sunt numerele sunt asa, Ce . Prin urmare, coloana este o combinație liniară a coloanelor matricei. Din faptul că rangul unei matrice nu se va schimba dacă un rând (coloană) este șters sau adăugat din sistemul rândurilor sale (coloanelor), care este o combinație liniară a altor rânduri (coloane), rezultă că .

Adecvarea

Lăsa . Să luăm câteva minore de bază în matrice. Din moment ce, atunci va fi și baza minoră a matricei. Apoi, conform teoremei de bază minor, ultima coloană a matricei va fi o combinație liniară a coloanelor de bază, adică coloanele matricei. Prin urmare, coloana de termeni liberi ai sistemului este o combinație liniară a coloanelor matricei.

Consecințe

Numărul de variabile principale sisteme egal cu rangul sistemului.

Comun sistem va fi definit (soluția sa este unică) dacă rangul sistemului este egal cu numărul tuturor variabilelor sale.

Sistem omogen de ecuații

Oferi15 . 2 Sistem omogen de ecuații

este întotdeauna comună.

Dovada. Pentru acest sistem, mulțimea numerelor , , , este o soluție.

În această secțiune vom folosi notația matricială a sistemului: .

Oferi15 . 3 Suma soluțiilor unui sistem omogen de ecuații liniare este o soluție a acestui sistem. O soluție înmulțită cu un număr este, de asemenea, o soluție.

Dovada. Lasă-le să servească drept soluții pentru sistem. Apoi și. Lăsa . Apoi

Din moment ce, atunci - soluția.

Fie un număr arbitrar, . Apoi

Din moment ce, atunci - soluția.

Consecinţă15 . 1 Dacă sistem omogen ecuatii lineare are o soluție diferită de zero, apoi are infinit de soluții diferite.

Într-adevăr, înmulțind o soluție diferită de zero cu diverse numere, vom obține soluții diferite.

Definiție15 . 5 Vom spune că soluțiile forme de sisteme sistem fundamental de soluții, dacă coloane formează un sistem liniar independent și orice soluție a sistemului este o combinație liniară a acestor coloane.

Pentru a calcula rangul unei matrice, puteți folosi metoda limitării minorilor sau metoda Gaussiană. Să luăm în considerare metoda Gaussiană sau metoda transformărilor elementare.

Rangul unei matrice este ordinea maximă a minorilor ei, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero.

Se numește rangul unui sistem de rânduri (coloane). suma maxima rânduri (coloane) liniar independente ale acestui sistem.

Algoritm pentru găsirea rangului unei matrice folosind metoda minorilor limită:

1. Minor M k-aia ordinea nu este zero.
2. Dacă învecinați cu minori pentru minor M (k+1)-lea ordine, este imposibil de compus (adică matricea conține k linii sau k coloane), atunci rangul matricei este egal cu k. Dacă există minori învecinați și sunt toți zero, atunci rangul este k. Dacă printre minorii învecinați există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci încercăm să compunem un nou minor k+2 etc.

Să analizăm algoritmul mai detaliat. Mai întâi, luați în considerare minorii primului ordin (elementele matricei) a matricei A. Dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangA = 0. Dacă există minori de ordinul întâi (elementele matricei) care nu sunt egale cu zero M1 ≠ 0, apoi rangul rangA ≥ 1.

M 1. Dacă există astfel de minori, atunci vor fi minori de ordinul doi. Dacă toți minorii se învecinează cu un minor M 1 atunci sunt egale cu zero rangA = 1. Dacă există cel puțin un minor de ordinul doi care nu este egal cu zero M2 ≠ 0, apoi rangul rangA ≥ 2.

Să verificăm dacă există minori învecinați pentru minor M 2. Dacă există astfel de minori, atunci vor fi minori de ordinul trei. Dacă toți minorii se învecinează cu un minor M 2 atunci sunt egale cu zero rangA = 2. Dacă există cel puțin un minor de ordinul trei care nu este egal cu zero M3 ≠ 0, apoi rangul rangA ≥ 3.

Să verificăm dacă există minori învecinați pentru minor M 3. Dacă există astfel de minori, atunci vor fi minori de ordinul al patrulea. Dacă toți minorii se învecinează cu un minor M 3 atunci sunt egale cu zero rangA = 3. Dacă există cel puțin un minor de ordinul al patrulea care nu este egal cu zero M4 ≠ 0, apoi rangul rangA ≥ 4.

Verificarea dacă există un minor învecinat pentru minor M 4, și așa mai departe. Algoritmul se oprește dacă la un moment dat minorii învecinați sunt egali cu zero sau nu se poate obține minorul învecinat (matricea „se epuizează” de rânduri sau coloane). Ordinea minorului diferit de zero care a fost creat va fi rangul matricei.

Exemplu

Sa luam in considerare aceasta metoda De exemplu. Având în vedere o matrice 4x5:

Această matrice nu poate avea un rang mai mare de 4. De asemenea, această matrice are elemente diferite de zero (minore de ordinul întâi), ceea ce înseamnă că rangul matricei este ≥ 1.

Să compunem un minor al 2-lea Ordin. Să începem de la colț.

Deci determinantul este egal cu zero, să creăm un alt minor.

Să găsim determinantul acestui minor.

Definiți un minor dat egal cu -2 . Deci rangul matricei ≥ 2 .

Dacă acest minor ar fi egal cu 0, atunci s-ar forma alți minori. Până la final ar fi compus toți minorii pe rândurile 1 și 2. Apoi rândul 1 și 3, rândul 2 și 3, rândul 2 și 4, până când găsiți un minor care nu este egal cu 0, de exemplu:

Dacă toți minorii de ordinul doi ar fi 0, atunci rangul matricei ar fi 1. Soluția ar putea fi oprită.

al 3-lea Ordin.

Minorul s-a dovedit a fi nu zero. înseamnă rangul matricei ≥ 3 .

Dacă acest minor ar fi zero, atunci alți minori ar trebui să fie compusi. De exemplu:

Dacă toți minorii de ordinul trei ar fi 0, atunci rangul matricei ar fi 2. Soluția ar putea fi oprită.

Să continuăm căutarea rangului matricei. Să compunem un minor al 4-lea Ordin.

Să găsim determinantul acestui minor.

Determinantul minorului s-a dovedit a fi egal cu 0 . Să construim un alt minor.

Să găsim determinantul acestui minor.

Minorul s-a dovedit a fi egal 0 .

Construcție minoră al 5-lea ordinea nu va funcționa, nu există niciun rând pentru aceasta în această matrice. Ultimul minor nu era egal cu zero al 3-lea ordine, ceea ce înseamnă că rangul matricei este egal cu 3 .