Pierre Fermat, citind „Aritmetica” lui Diophantus din Alexandria și reflectând asupra problemelor acesteia, avea obiceiul să noteze rezultatele reflecțiilor sale sub forma unor scurte comentarii în marginile cărții. Împotriva celei de-a opta probleme a lui Diofant din marginile cărții, Fermat a scris: „ Dimpotrivă, este imposibil să descompun fie un cub în două cuburi, fie un biquadrat în două biquadrate și, în general, nicio putere mai mare decât un pătrat în două puteri cu același exponent. Am descoperit o dovadă cu adevărat minunată în acest sens, dar aceste câmpuri sunt prea înguste pentru asta» / E.T. Bell „Creatorii matematicii”. M., 1979, p.69/. Vă aduc în atenție o demonstrație elementară a teoremei lui Fermat, pe care orice elev de liceu care este interesat de matematică o poate înțelege.

Să comparăm comentariul lui Fermat la problema lui Diofantus cu formularea modernă a ultimei teoreme a lui Fermat, care are forma unei ecuații.
« Ecuația

x n + y n = z n(unde n este un număr întreg mai mare decât doi)

nu are soluții în numere întregi pozitive»

Comentariul se află într-o legătură logică cu sarcina, asemănătoare cu legătura logică a predicatului cu subiectul. Ceea ce este afirmat de problema lui Diofantus este, dimpotrivă, afirmat de comentariul lui Fermat.

Comentariul lui Fermat poate fi interpretat astfel: dacă ecuație pătratică cu trei necunoscute are un număr infinit de soluții pe mulțimea tuturor tripletelor numerelor pitagorice, apoi, invers, o ecuație cu trei necunoscute la o putere mai mare decât pătratul

Nu există nici măcar un indiciu în ecuația conexiunii sale cu problema lui Diofant. Afirmația lui necesită dovezi, dar nu există nicio condiție din care să rezulte că nu are soluții în numere întregi pozitive.

Opțiunile pentru demonstrarea ecuației cunoscute de mine se reduc la următorul algoritm.

  1. Se ia drept concluzie ecuația teoremei lui Fermat, a cărei validitate se verifică prin demonstrație.
  2. Această ecuație se numește original ecuația din care trebuie să plece demonstrarea acesteia.

Ca urmare, s-a format o tautologie: „ Dacă o ecuație nu are soluții în numere întregi pozitive, atunci nu are soluții în numere întregi pozitive„Dovada tautologiei este evident incorectă și lipsită de orice semnificație. Dar se dovedește prin contradicție.

  • Se face o presupunere care este opusă a ceea ce este afirmat de ecuația care trebuie dovedită. Nu ar trebui să contrazică ecuația originală, dar o face. Nu are sens să dovedești ceea ce este acceptat fără dovezi și să accepti fără dovezi ceea ce trebuie dovedit.
  • Pe baza ipotezei acceptate, se efectuează operații și acțiuni matematice absolut corecte pentru a demonstra că contrazice ecuația originală și este falsă.

Prin urmare, de 370 de ani încoace, demonstrarea ecuației ultimei teoreme a lui Fermat a rămas un vis irealizabil pentru specialiști și pasionați de matematică.

Am luat ecuația ca concluzie a teoremei și a opta problemă a lui Diofant și ecuația ei ca condiție a teoremei.


„Dacă ecuația x 2 + y 2 = z 2 (1) are un număr infinit de soluții pe mulțimea tuturor triplelor numerelor pitagoreice, apoi, invers, ecuația x n + y n = z n , Unde n > 2 (2) nu are soluții pentru mulțimea numerelor întregi pozitive.”

Dovada.

A) Toată lumea știe că ecuația (1) are un număr infinit de soluții pe mulțimea tuturor triplelor numerelor pitagorice. Să demonstrăm că nici un triplu de numere pitagorice care este o soluție a ecuației (1) nu este o soluție a ecuației (2).

Pe baza legii reversibilității egalității, schimbăm laturile ecuației (1). Numerele pitagoreice (z, x, y) poate fi interpretat ca lungimi laterale triunghi dreptunghic, și pătrate (x 2 , y 2 , z 2) poate fi interpretat ca aria pătratelor construite pe ipotenuza și catetele sale.

Să înmulțim ariile pătratelor ecuației (1) cu o înălțime arbitrară h :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

Ecuația (3) poate fi interpretată ca egalitatea volumului unui paralelipiped cu suma volumelor a doi paralelipiped.

Fie înălțimea a trei paralelipipede h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

Volumul cubului este descompus în două volume de două paralelipipede. Vom lăsa neschimbat volumul cubului și vom reduce înălțimea primului paralelipiped la X și reduceți înălțimea celui de-al doilea paralelipiped la y . Volumul unui cub este mai mare decât suma volumelor a două cuburi:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

Pe setul de triple ale numerelor pitagorice ( x, y, z ) la n=3 nu poate exista nicio soluție pentru ecuația (2). În consecință, pe mulțimea tuturor triplelor numerelor pitagoreice este imposibil să descompunem un cub în două cuburi.

Fie în ecuația (3) înălțimea a trei paralelipipede h = z 2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Volumul unui paralelipiped se descompune în suma volumelor a doi paralelipiped.
Lăsăm neschimbată partea stângă a ecuației (6). Pe partea dreaptă, înălțimea z 2 A se reduce la X în primul termen și înainte la 2 în al doilea mandat.

Ecuația (6) transformată în inegalitate:

Volumul paralelipipedului este descompus în două volume de două paralelipiped.

Lăsăm neschimbată partea stângă a ecuației (8).
În partea dreaptă înălțimea zn-2 A se reduce la xn-2 în primul termen și reduce la y n-2 în al doilea mandat. Ecuația (8) devine inegalitate:

z n > x n + y n (9)

Pe mulțimea de triplete de numere pitagorice nu poate exista o singură soluție pentru ecuația (2).

În consecință, pe setul tuturor triplelor numerelor pitagorice pentru toți n > 2 ecuația (2) nu are soluții.

S-a obținut o „dovadă cu adevărat miraculoasă”, dar numai pentru tripleți Numerele pitagoreice. Aceasta este lipsa probelorși motivul refuzului lui P. Fermat din partea acestuia.

B) Să demonstrăm că ecuația (2) nu are soluții la mulțimea de triplete de numere non-pitagorice, care reprezintă o familie a unui triplu arbitrar de numere pitagoreice z = 13, x = 12, y = 5 și o familie a unui triplu arbitrar de numere întregi pozitive z = 21, x = 19, y = 16

Ambele triplete de numere sunt membri ai familiilor lor:

(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) (10)
(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) (11)

Numărul membrilor familiei (10) și (11) este egal cu jumătate din produsul 13 cu 12 și 21 cu 20, adică 78 și 210.

Fiecare membru al familiei (10) conține z = 13 și variabile X Și la 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

Fiecare membru al familiei (11) conține z = 21 și variabile X Și la , care iau valori întregi 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Variabilele scad succesiv cu 1 .

Triplele de numere ale șirului (10) și (11) pot fi reprezentate ca o secvență de inegalități de gradul trei:

13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

și sub formă de inegalități de gradul al patrulea:

13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

Corectitudinea fiecărei inegalități se verifică prin ridicarea numerelor la a treia și a patra putere.

Un cub de un număr mai mare nu poate fi descompus în două cuburi de numere mai mici. Este fie mai mică, fie mai mare decât suma cuburilor celor două numere mai mici.

Biquadratica unui număr mai mare nu poate fi descompusă în două biquadrate de numere mai mici. Este fie mai mică, fie mai mare decât suma bispătratelor numerelor mai mici.

Pe măsură ce exponentul crește, toate inegalitățile, cu excepția inegalității extreme din stânga, au același sens:

Toate au aceeași semnificație: puterea numărului mai mare este mai mare decât suma puterilor celor două numere mai mici cu același exponent:

13 n > 12 n + 12 n ; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 n > 1 n + 1 n (12)
21 n > 20 n + 20 n ; 21 n > 20 n + 19 n ;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n (13)

Termenul extrem din stânga al secvențelor (12) (13) reprezintă cea mai slabă inegalitate. Corectitudinea sa determină corectitudinea tuturor inegalităților ulterioare ale secvenței (12) pentru n > 8 şi secvenţa (13) la n > 14 .

Nu poate exista egalitate între ei. Un triplu arbitrar de numere întregi pozitive (21,19,16) nu este o soluție a ecuației (2) a ultimei teoreme a lui Fermat. Dacă un triplu arbitrar de numere întregi pozitive nu este o soluție a ecuației, atunci ecuația nu are soluții pentru mulțimea de numere întregi pozitive, ceea ce trebuia demonstrat.

CU) Comentariul lui Fermat asupra problemei lui Diophantus afirmă că este imposibil să se descompună" în general, nicio putere mai mare decât un pătrat, două puteri cu același exponent».

Pup un grad mai mare decât un pătrat nu poate fi cu adevărat descompus în două grade cu același exponent. Fără săruturi un grad mai mare decât un pătrat poate fi descompus în două puteri cu același exponent.

Orice triplu arbitrar de numere întregi pozitive (z, x, y) poate aparține unei familii, al cărei membru este alcătuit dintr-un număr constant z și cu două numere mai mici z . Fiecare membru al familiei poate fi reprezentat sub forma unei inegalități, iar toate inegalitățile rezultate pot fi reprezentate sub forma unei secvențe de inegalități:

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n (14)

Secvența de inegalități (14) începe cu inegalități a căror latură stângă este mai mică partea dreapta, dar se termină în inegalități în care partea dreaptă este mai mică decât partea stângă. Cu exponent crescător n > 2 numărul de inegalități din partea dreaptă a secvenței (14) crește. Cu exponentul n = k toate inegalitățile din partea stângă a secvenței își schimbă sensul și iau sensul inegalităților din partea dreaptă a inegalităților secvenței (14). Ca urmare a creșterii exponentului tuturor inegalităților, partea stângă se dovedește a fi mai mare decât partea dreaptă:

z k > (z-1) k + (z-1) k; z k > (z-1) k + (z-2) k;…; z k > 2 k + 1 k ; z k > 1 k + 1 k (15)

Cu o creștere suplimentară a exponentului n>k niciuna dintre inegalități nu își schimbă sensul și se transformă în egalitate. Pe această bază, se poate argumenta că orice triplu de numere întregi pozitive ales arbitrar (z, x, y) la n > 2 , z > x , z > y

Într-un triplu de numere întregi pozitive ales în mod arbitrar z poate fi un număr natural arbitrar de mare. Pentru toți numere naturale, care nu mai sunt z , Ultima teoremă a lui Fermat este dovedită.

D) Oricât de mare ar fi numărul z , în seria naturală a numerelor există o mulțime mare, dar finită de numere întregi înaintea ei, iar după aceasta există o mulțime infinită de numere întregi.

Să demonstrăm că întregul set infinit de numere naturale este mare z , formează triple de numere care nu sunt soluții la ecuația ultimei teoreme a lui Fermat, de exemplu, un triplu arbitrar de numere întregi pozitive (z + 1, x ,y) , în care z + 1 > x Și z + 1 > y pentru toate valorile exponentului n > 2 nu este o soluție la ecuația ultimei teoreme a lui Fermat.

Un triplu selectat aleatoriu de numere întregi pozitive (z + 1, x, y) poate aparține unei familii de triple de numere, fiecare membru al cărora este format dintr-un număr constant z+1 si doua numere X Și la , luând valori diferite, mai mici z+1 . Membrii familiei pot fi reprezentați sub formă de inegalități în care partea stângă constantă este mai mică sau mai mare decât partea dreaptă. Inegalitățile pot fi ordonate sub forma unei secvențe de inegalități:

Cu o creștere suplimentară a exponentului n>k la infinit, niciuna dintre inegalitățile secvenței (17) nu își schimbă sensul și nu se transformă în egalitate. În secvența (16), inegalitatea formată dintr-un triplu de numere întregi pozitive ales în mod arbitrar (z + 1, x, y) , poate fi amplasat pe partea dreaptă în formular (z + 1) n > x n + y n sau să fie pe partea stângă în formă (z+1)n< x n + y n .

În orice caz, un triplu de numere întregi pozitive (z + 1, x, y) la n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y în secvența (16) reprezintă o inegalitate și nu poate reprezenta o egalitate, adică nu poate reprezenta o soluție a ecuației ultimei teoreme a lui Fermat.

Este ușor și simplu de înțeles originea șirului inegalităților de putere (16), în care ultima inegalitate din partea stângă și prima inegalitate din partea dreaptă sunt inegalități de sens opus. Dimpotrivă, nu este ușor și dificil pentru școlari, liceeni și liceeni, să înțeleagă cum se formează o succesiune de inegalități (16) dintr-o succesiune de inegalități (17), în care toate inegalitățile au același sens. .

În secvența (16), creșterea gradului întreg al inegalităților cu 1 unitate transformă ultima inegalitate din partea stângă în prima inegalitate a sensului opus din partea dreaptă. Astfel, numărul de inegalități din partea stângă a secvenței scade, iar numărul de inegalități din partea dreaptă crește. Între ultima și prima inegalități de putere de sens opus în obligatoriu există o egalitate de putere. Gradul său nu poate fi un număr întreg, deoarece numai numere non-întregi se află între două numere naturale consecutive. O egalitate de putere de un grad neîntreg, conform condițiilor teoremei, nu poate fi considerată o soluție a ecuației (1).

Dacă în secvența (16) continuăm să creștem gradul cu 1 unitate, atunci ultima inegalitate a părții sale stângi se va transforma în prima inegalitate a sensului opus a părții drepte. Ca urmare, nu vor mai rămâne inegalități de stânga și vor rămâne doar inegalități de dreapta, care vor fi o secvență de creștere a inegalităților de putere (17). O creștere suplimentară a puterii lor întregi cu 1 unitate nu face decât să-și întărească inegalitățile de putere și exclude categoric posibilitatea egalității în puterea întreagă.

În consecință, în general, nicio putere întreagă a unui număr natural (z+1) din șirul inegalităților de putere (17) nu poate fi descompusă în două puteri întregi cu același exponent. Prin urmare, ecuația (1) nu are soluții pentru o mulțime infinită de numere naturale, ceea ce trebuia demonstrat.

În consecință, ultima teoremă a lui Fermat este dovedită în întregime:

  • în secţiunea A) pentru toţi tripleţii (z, x, y) Numerele pitagorice (descoperirea lui Fermat este cu adevărat o dovadă minunată),
  • în secțiunea B) pentru toți membrii familiei oricărui triplu (z, x, y) numerele pitagorice,
  • în secțiunea C) pentru toate triplele de numere (z, x, y) , nu numere mari z
  • în secțiunea D) pentru toate triplele de numere (z, x, y) serii naturale de numere.

Modificări efectuate 09/05/2010

Ce teoreme pot și nu pot fi demonstrate prin contradicție?

Dicționarul explicativ de termeni matematici definește o demonstrație prin contradicție a unei teoreme, opusul unei teoreme inverse.

„Demonstrarea prin contradicție este o metodă de demonstrare a unei teoreme (propoziție), care constă în demonstrarea nu a teoremei în sine, ci a teoremei echivalente (echivalente). Demonstrarea prin contradicție este folosită ori de câte ori teorema directă este dificil de demonstrat, dar teorema opusă este mai ușor de demonstrat. Într-o demonstrație prin contradicție, concluzia teoremei este înlocuită cu negația ei, iar prin raționament se ajunge la negația condițiilor, adică. la o contradicție, la opus (opusul a ceea ce este dat; această reducere la absurd dovedește teorema."

Dovada prin contradicție este foarte des folosită în matematică. Dovada prin contradicție se bazează pe legea mijlocului exclus, care constă în faptul că a două enunțuri (enunturi) A și A (negarea lui A), unul dintre ele este adevărat și celălalt este fals.”/Dicționar explicativ de termeni matematici: un manual pentru profesori/O. V. Manturov [etc.]; editat de V. A. Ditkina.- M.: Educaţie, 1965.- 539 p.: ill.-C.112/.

Nu ar fi mai bine să declarăm deschis că metoda demonstrației prin contradicție nu este o metodă matematică, deși este folosită în matematică, că este o metodă logică și aparține logicii. Este acceptabil să spunem că demonstrarea prin contradicție este „folosită ori de câte ori o teoremă directă este dificil de demonstrat”, când de fapt este folosită atunci când și numai când nu există un substitut.

Merită atentie specialași o caracteristică a relației dintre teoremele directe și inverse între ele. „Teorema inversă pentru o teoremă dată (sau la o teoremă dată) este o teoremă în care condiția este concluzia, iar concluzia este condiția teoremei date. Această teoremă în raport cu teorema inversă se numește teoremă directă (originală). În același timp, teorema inversă la teorema inversă va fi teorema dată; prin urmare, teoremele directe și inverse se numesc reciproc inverse. Dacă teorema directă (dată) este adevărată, atunci teorema inversă nu este întotdeauna adevărată. De exemplu, dacă un patrulater este un romb, atunci diagonalele sale sunt reciproc perpendiculare (teorema directă). Dacă într-un patrulater diagonalele sunt reciproc perpendiculare, atunci patrulaterul este un romb - acest lucru nu este adevărat, adică teorema inversă este falsă.”/Dicționar explicativ de termeni matematici: un manual pentru profesori/O. V. Manturov [etc.]; editat de V. A. Ditkina.- M.: Educaţie, 1965.- 539 p.: ill.-C.261 /.

Această caracteristică Relația dintre teorema directă și cea inversă nu ține cont de faptul că condiția teoremei directe este acceptată ca dată, fără dovezi, deci corectitudinea ei nu este garantată. Condiția teoremei inverse nu este acceptată ca dată, deoarece este concluzia teoremei directe dovedite. Corectitudinea sa este confirmată de demonstrarea teoremei directe. Această diferență logică esențială în condițiile teoremei directe și inverse se dovedește a fi decisivă în problema ce teoreme pot și nu pot fi demonstrate prin metoda logică prin contradicție.

Să presupunem că există o teoremă directă în minte, care poate fi demonstrată folosind metoda matematică obișnuită, dar este dificilă. Să o formulăm în vedere generala pe scurt, astfel: din A ar trebui să E . Simbol A are sensul condiției date a teoremei, acceptată fără dovezi. Simbol E ceea ce contează este concluzia teoremei care trebuie demonstrată.

Vom demonstra teorema directă prin contradicție, logic metodă. Metoda logică este folosită pentru a demonstra o teoremă care are nu matematic stare, și logic condiție. Se poate obține dacă starea matematică a teoremei din A ar trebui să E , supliment cu condiția exact opusă din A nu o face E .

Rezultatul a fost o condiție logică contradictorie a noii teoreme, care conține două părți: din A ar trebui să E Și din A nu o face E . Condiția rezultată a noii teoreme corespunde legii logice a mijlocului exclus și corespunde demonstrației teoremei prin contradicție.

Potrivit legii, o parte a unei condiții contradictorii este falsă, o altă parte este adevărată, iar a treia este exclusă. Demonstrarea prin contradicție are sarcina și scopul de a stabili exact care parte din cele două părți ale condiției teoremei este falsă. Odată ce partea falsă a condiției este determinată, cealaltă parte este determinată a fi partea adevărată, iar a treia este exclusă.

Conform dicționarului explicativ al termenilor matematici, „dovada este un raționament în care se stabilește adevărul sau falsitatea oricărei afirmații (judecată, enunț, teoremă)”. Dovada prin contradictie există un raţionament în timpul căruia se stabileşte falsitate(absurditatea) concluziei ce decurge din fals condiţiile teoremei de demonstrat.

Dat: din A ar trebui să E iar din A nu o face E .

Dovedi: din A ar trebui să E .

Dovada: Condiția logică a teoremei conține o contradicție care necesită rezolvarea acesteia. Contradicția condiției trebuie să-și găsească rezoluția în dovadă și rezultatul ei. Rezultatul se dovedește a fi fals cu un raționament impecabil și fără erori. Motivul unei concluzii false în raționamentul logic corect nu poate fi decât o condiție contradictorie: din A ar trebui să E Și din A nu o face E .

Nu există nicio umbră de îndoială că o parte a condiției este falsă, iar cealaltă în acest caz este adevărată. Ambele părți ale condiției au aceeași origine, sunt acceptate ca date, presupuse, la fel de posibile, la fel de admisibile etc. În cursul raționamentului logic, nu a fost descoperită o singură caracteristică logică care să distingă o parte a condiției de cealaltă. . Prin urmare, în aceeași măsură poate fi din A ar trebui să E si poate din A nu o face E . Afirmație din A ar trebui să E Pot fi fals, apoi declarația din A nu o face E va fi adevărat. Afirmație din A nu o face E poate fi falsă, atunci afirmația din A ar trebui să E va fi adevărat.

În consecință, este imposibil să se demonstreze o teoremă directă prin contradicție.

Acum vom demonstra aceeași teoremă directă folosind metoda matematică obișnuită.

Dat: A .

Dovedi: din A ar trebui să E .

Dovada.

1. Din A ar trebui să B

2. Din B ar trebui să ÎN (conform teoremei dovedite anterior)).

3. Din ÎN ar trebui să G (conform teoremei dovedite anterior).

4. Din G ar trebui să D (conform teoremei dovedite anterior).

5. Din D ar trebui să E (conform teoremei dovedite anterior).

Pe baza legii tranzitivității, din A ar trebui să E . Teorema directă este demonstrată prin metoda obișnuită.

Fie ca teorema directă demonstrată să aibă o teoremă inversă corectă: din E ar trebui să A .

Să demonstrăm cu obișnuitul matematic metodă. Dovada teoremei inverse poate fi exprimată în formă simbolică ca un algoritm de operații matematice.

Dat: E

Dovedi: din E ar trebui să A .

Dovada.

1. Din E ar trebui să D

2. Din D ar trebui să G (conform teoremei inverse dovedite anterior).

3. Din G ar trebui să ÎN (conform teoremei inverse dovedite anterior).

4. Din ÎN nu o face B (teorema inversă nu este adevărată). De aceea din B nu o face A .

În această situație, nu are sens să continuăm demonstrația matematică a teoremei inverse. Motivul situației este logic. O teoremă inversă incorectă nu poate fi înlocuită cu nimic. Prin urmare, este imposibil să se demonstreze această teoremă inversă folosind metoda matematică obișnuită. Toată speranța este de a demonstra această teoremă inversă prin contradicție.

Pentru a o dovedi prin contradicție, este necesar să se înlocuiască condiția sa matematică cu o condiție logică contradictorie, care în sensul ei conține două părți - falsă și adevărată.

Teorema inversă afirmă: din E nu o face A . Starea ei E , din care rezultă concluzia A , este rezultatul demonstrării teoremei directe folosind metoda matematică obișnuită. Această condiție trebuie păstrată și completată cu declarația din E ar trebui să A . Ca rezultat al adunării, obținem condiția contradictorie a noii teoreme inverse: din E ar trebui să A Și din E nu o face A . Bazat pe acest lucru logic condiție contradictorie, teorema inversă poate fi demonstrată cu ajutorul corectului logic doar raționament și numai, logic metoda prin contradictie. Într-o demonstrație prin contradicție, orice acțiuni și operații matematice sunt subordonate celor logice și, prin urmare, nu contează.

În prima parte a afirmaţiei contradictorii din E ar trebui să A condiție E a fost demonstrat prin demonstrarea teoremei directe. În partea a doua din E nu o face A condiție E a fost asumat și acceptat fără dovezi. Una dintre ele este falsă, iar cealaltă este adevărată. Trebuie să dovediți care dintre ele este falsă.

O dovedim prin corectitudine logic raționați și descoperiți că rezultatul său este o concluzie falsă, absurdă. Motivul unei concluzii logice false este condiția logică contradictorie a teoremei, care conține două părți - fals și adevărat. Partea falsă poate fi doar o afirmație din E nu o face A , in care E a fost acceptat fără dovezi. Acesta este ceea ce îl face diferit de E declarații din E ar trebui să A , care se dovedește prin demonstrarea teoremei directe.

Prin urmare, afirmația este adevărată: din E ar trebui să A , ceea ce trebuia dovedit.

Concluzie: prin metoda logica se dovedeste prin contradictie doar teorema inversa, care are o teorema directa dovedita prin metoda matematica si care nu poate fi demonstrata prin metoda matematica.

Concluzia obținută capătă o importanță excepțională în raport cu metoda demonstrației prin contradicție a marii teoreme a lui Fermat. Majoritatea covârșitoare a încercărilor de a-l demonstra nu se bazează pe metoda matematică obișnuită, ci pe metoda logică a demonstrației prin contradicție. Dovada lui Wiles a ultimei teoreme a lui Fermat nu face excepție.

Dmitri Abrarov, în articolul „Teorema lui Fermat: fenomenul demonstrațiilor lui Wiles”, a publicat un comentariu la demonstrația lui Wiles a ultimei teoreme a lui Fermat. Potrivit lui Abrarov, Wiles demonstrează ultima teoremă a lui Fermat cu ajutorul unei descoperiri remarcabile a matematicianului german Gerhard Frey (n. 1944), care a raportat soluția potențială a ecuației lui Fermat x n + y n = z n , Unde n > 2 , cu o altă ecuație, complet diferită. Această nouă ecuație este dată de o curbă specială (numită curbă eliptică a lui Frey). Curba Frey este dată de o ecuație foarte simplă:
.

„Frey a fost cel care a comparat cu fiecare decizie (a, b, c) Ecuația lui Fermat, adică numere care satisfac relația a n + b n = c n, curba de mai sus. În acest caz, ar urma ultima teoremă a lui Fermat.”(Citat din: Abrarov D. „Teorema lui Fermat: fenomenul demonstrațiilor lui Wiles”)

Cu alte cuvinte, Gerhard Frey a sugerat că ecuația ultimei teoreme a lui Fermat x n + y n = z n , Unde n > 2 , are soluții în numere întregi pozitive. Aceste soluții sunt, conform presupunerii lui Frey, soluții ale ecuației sale
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , care este dat de curba eiptică.

Andrew Wiles a acceptat această descoperire remarcabilă a lui Frey și, cu ajutorul ei, matematic metoda a demonstrat că această constatare, adică curba eliptică Frey, nu există. Prin urmare, nu există o ecuație și soluțiile ei care să fie date de o curbă eliptică inexistentă.De aceea, Wiles ar fi trebuit să accepte concluzia că nu există o ecuație a ultimei teoreme a lui Fermat și a teoremei lui Fermat în sine. Cu toate acestea, el acceptă o concluzie mai modestă că ecuația ultimei teoreme a lui Fermat nu are soluții în numere întregi pozitive.

Un fapt de nerefuzat poate fi faptul că Wiles a acceptat o presupunere care este exact opusă în sensul celor afirmate de marea teoremă a lui Fermat. Îl obligă pe Wiles să demonstreze ultima teoremă a lui Fermat prin contradicție. Să-i urmăm exemplul și să vedem ce rezultă din acest exemplu.

Ultima teoremă a lui Fermat afirmă că ecuația x n + y n = z n , Unde n > 2 , nu are soluții în numere întregi pozitive.

Conform metodei logice de demonstrare prin contradicție, această afirmație este reținută, acceptată ca dată fără dovezi, și apoi completată cu o afirmație opusă: ecuația x n + y n = z n , Unde n > 2 , are soluții în numere întregi pozitive.

Declarația prezumtivă este și ea acceptată ca dată, fără dovezi. Ambele afirmatii, considerate din punctul de vedere al legilor de baza ale logicii, sunt la fel de valabile, la fel de valabile si la fel de posibile. Prin raționament corect, este necesar să se determine care dintre ele este falsă pentru a determina apoi că cealaltă afirmație este adevărată.

Raționamentul corect se termină într-o concluzie falsă, absurdă, motivul logic pentru care nu se poate dovedi decât condiția contradictorie a teoremei, care conține două părți cu sens direct opus. Ele au fost motivul logic al concluziei absurde, rezultatul probei prin contradicție.

Cu toate acestea, în cursul raționamentului corect din punct de vedere logic, nu a fost descoperit niciun semn prin care să se poată stabili care anume afirmație este falsă. Ar putea fi o afirmație: ecuație x n + y n = z n , Unde n > 2 , are soluții în numere întregi pozitive. Pe aceeași bază, ar putea fi următoarea afirmație: ecuație x n + y n = z n , Unde n > 2 , nu are soluții în numere întregi pozitive.

Ca rezultat al raționamentului, poate exista o singură concluzie: Ultima teoremă a lui Fermat nu poate fi dovedită prin contradicție.

Cu totul altceva ar fi dacă ultima teoremă a lui Fermat ar fi o teoremă inversă, care are o teoremă directă dovedită prin metoda matematică obișnuită. În acest caz, s-ar putea dovedi prin contradicție. Și din moment ce este o teoremă directă, demonstrația ei ar trebui să se bazeze nu pe metoda logică a demonstrației prin contradicție, ci pe metoda matematică obișnuită.

Potrivit lui D. Abrarov, cel mai faimos dintre matematicienii ruși moderni, academicianul V. I. Arnold, a reacționat „activ sceptic” la demonstrația lui Wiles. Academicianul a afirmat: „aceasta nu este matematică reală - matematica reală este geometrică și are legături puternice cu fizica.” (Citat din: Abrarov D. „Teorema lui Fermat: fenomenul demonstrațiilor lui Wiles.” Afirmația academicianului exprimă însăși esența Dovada nematematică a lui Wiles a ultimei teoreme a lui Fermat.

Prin contradicție este imposibil de demonstrat fie că ecuația ultimei teoreme a lui Fermat nu are soluții, fie că are soluții. Greșeala lui Wiles nu este matematică, ci logică - folosirea dovezii prin contradicție acolo unde utilizarea ei nu are sens și marea teoremă a lui Fermat nu dovedește.

Ultima teoremă a lui Fermat nu poate fi demonstrată folosind cele obișnuite metoda matematica, dacă conține: ecuație x n + y n = z n , Unde n > 2 , nu are soluții în numere întregi pozitive, iar dacă vrei să demonstrezi în ea: ecuația x n + y n = z n , Unde n > 2 , nu are soluții în numere întregi pozitive. În această formă nu există o teoremă, ci o tautologie lipsită de sens.

Notă. Dovada mea BTF a fost discutată pe unul dintre forumuri. Unul dintre membrii lui Trotil, expert în teoria numerelor, a făcut următoarea declarație cu autoritate intitulată: „ Povestire scurtă ceea ce a făcut Mirgorodsky”. O citez textual:

« A. El a dovedit că dacă z 2 = x 2 + y , Acea z n > x n + y n . Acesta este un fapt binecunoscut și destul de evident.

ÎN. El a luat două triple - pitagoreice și non-pitagorice și a arătat prin căutare simplă că pentru o anumită, specifică familie de triple (78 și 210 bucăți) BTF-ul este satisfăcut (și numai pentru ea).

CU. Și apoi autorul a omis faptul că din < într-o măsură ulterioară se poate dovedi a fi = , nu numai > . Un contraexemplu simplu - tranziția n=1 V n=2 în triplul pitagoreic.

D. Acest punct nu contribuie cu nimic semnificativ la proba BTF. Concluzie: BTF nu a fost dovedit.”

Voi analiza concluzia lui punct cu punct.

A. Demonstrează BTF pentru întregul set infinit de triple de numere pitagoreice. Dovedită printr-o metodă geometrică, care, după cum cred, nu a fost descoperită de mine, ci redescoperită. Și a fost descoperit, după cum cred, chiar de P. Fermat. Este posibil ca Fermat să fi avut acest lucru în minte când a scris:

„Am descoperit o dovadă cu adevărat minunată în acest sens, dar aceste câmpuri sunt prea înguste pentru asta.” Această presupunere a mea se bazează pe faptul că în problema diofantină, față de care a scris Fermat în marginile cărții, vorbim despre soluții la ecuația diofantină, care sunt triplete ale numerelor pitagorice.

Un set infinit de triplete de numere pitagoreice sunt soluții ale ecuației lui Diofatice, iar în teorema lui Fermat, dimpotrivă, nici una dintre soluții nu poate fi o soluție a ecuației teoremei lui Fermat. Iar dovada cu adevărat minunată a lui Fermat este direct legată de acest fapt. Fermat și-a putut extinde ulterior teorema la mulțimea tuturor numerelor naturale. În setul tuturor numerelor naturale, BTF nu aparține „multimii de teoreme excepțional de frumoase”. Aceasta este presupunerea mea, care nu poate fi nici dovedită, nici infirmată. Poate fi acceptat sau respins.

ÎN.În acest moment, demonstrez că atât familia unui triplu pitagoreic luat în mod arbitrar, cât și familia unui triplu non-pitagoreean de numere BTF luate în mod arbitrar sunt satisfăcute. Aceasta este o legătură necesară, dar insuficientă și intermediară în demonstrația mea de BTF. . Exemplele pe care le-am luat despre familia triplul numerelor pitagorice și familia triplul numerelor non-pitagorice au semnificația unor exemple specifice care presupun și nu exclud existența altor exemple similare.

Afirmația lui Trotil că „am arătat printr-o simplă căutare că pentru o anumită familie specifică de tripleți (78 și 210 bucăți) BTF-ul este satisfăcut (și numai pentru el) este fără temei. El nu poate respinge faptul că pot lua la fel de ușor și alte exemple de triple pitagoreene și non-pitagorice pentru a obține o familie specifică definită de unul și celălalt triplu.

Orice pereche de tripleți iau, verificarea adecvării acestora pentru rezolvarea problemei poate fi efectuată, în opinia mea, doar prin metoda „simple enumerare”. Nu cunosc altă metodă și nu am nevoie de ea. Dacă lui Trotil nu i-a plăcut, atunci ar fi trebuit să sugereze o altă metodă, ceea ce nu o face. Fără a oferi nimic în schimb, este incorect să condamni „simplul exces”, care în acest caz este de neînlocuit.

CU. am omis = între< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), în care gradul n > 2 — întreg număr pozitiv. Din egalitatea dintre inegalităţi rezultă obligatoriu luarea în considerare a ecuației (1) pentru o valoare de grad non-întreg n > 2 . Trotil, numărând obligatoriu luarea în considerare a egalității între inegalități consideră de fapt necesarîn proba BTF, luarea în considerare a ecuației (1) cu nu intregi valoarea gradului n > 2 . Am făcut asta pentru mine și am găsit acea ecuație (1) cu nu intregi valoarea gradului n > 2 are o soluție de trei numere: z, (z-1), (z-1) pentru un exponent non-întreg.

Deci, Ultima Teoremă a lui Fermat (numită adesea ultima teoremă a lui Fermat), formulată în 1637 de genialul matematician francez Pierre Fermat, este de natură foarte simplă și de înțeles pentru oricine cu studii medii. Se spune că formula a la puterea lui n + b la puterea lui n = c la puterea lui n nu are soluții naturale (adică nu fracționale) pentru n > 2. Totul pare simplu și clar, dar cei mai buni matematicieni și amatori obișnuiți s-au luptat cu căutarea unei soluții timp de mai bine de trei secole și jumătate.


De ce este atât de faimoasă? Acum vom afla...



Există multe teoreme dovedite, nedovedite și încă nedovedite? Ideea aici este că Ultima Teoremă a lui Fermat reprezintă cel mai mare contrast între simplitatea formulării și complexitatea demonstrației. Ultima teoremă a lui Fermat este o problemă incredibil de dificilă și totuși formularea ei poate fi înțeleasă de oricine cu un nivel de clasa a 5-a. liceu, dar dovada nu este nici măcar pentru fiecare matematician profesionist. Nici în fizică, nici în chimie, nici în biologie, nici în matematică, nu există o singură problemă care să poată fi formulată atât de simplu, dar să rămână nerezolvată atât de mult timp. 2. În ce constă?

Să începem cu pantalonii pitagoreici.Formularea este cu adevărat simplă - la prima vedere. După cum știm din copilărie, „pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile”. Problema pare atât de simplă pentru că se baza pe o afirmație matematică pe care toată lumea o cunoaște - teorema lui Pitagora: în orice triunghi dreptunghic, pătratul construit pe ipotenuză este egal cu suma pătratelor construite pe catete.

În secolul al V-lea î.Hr. Pitagora a fondat frăția lui Pitagora. Pitagorei, printre altele, au studiat triplete întregi care satisfac egalitatea x²+y²=z². Ei au demonstrat că există infinit de triple pitagorice și au obținut formule generale pentru găsirea lor. Probabil că au încercat să caute C și grade superioare. Convinși că acest lucru nu a funcționat, pitagoreicii și-au abandonat încercările inutile. Membrii frăției erau mai mult filozofi și esteți decât matematicieni.


Adică, este ușor să selectați un set de numere care să satisfacă perfect egalitatea x²+y²=z²

Pornind de la 3, 4, 5 - într-adevăr, un elev junior înțelege că 9 + 16 = 25.

Sau 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Grozav.

Și așa mai departe. Ce se întâmplă dacă luăm o ecuație similară x³+y³=z³? Poate există și astfel de numere?




Și așa mai departe (Fig. 1).

Deci, se dovedește că NU sunt. Aici începe trucul. Simplitatea este aparentă, deoarece este dificil să dovedești nu prezența a ceva, ci, dimpotrivă, absența lui. Când trebuie să dovediți că există o soluție, puteți și trebuie să prezentați pur și simplu această soluție.

Demonstrarea absenței este mai dificilă: de exemplu, cineva spune: o astfel de ecuație nu are soluții. Să-l pui într-o băltoacă? usor: bam - si iata, solutia! (dai solutie). Și gata, adversarul este învins. Cum să dovedesc absența?

Spune: „Nu am găsit astfel de soluții”? Sau poate nu arătai bine? Dacă există, doar foarte mari, foarte mari, astfel încât chiar și un computer super-puternic încă nu are suficientă putere? Acesta este ceea ce este dificil.

Acest lucru poate fi arătat vizual astfel: dacă luați două pătrate de dimensiuni adecvate și le dezasamblați în pătrate unitare, atunci din acest grup de pătrate unitare obțineți un al treilea pătrat (Fig. 2):


Dar să facem același lucru cu a treia dimensiune (Fig. 3) - nu funcționează. Nu sunt suficiente cuburi sau au mai rămas altele:





Dar matematicianul din secolul al XVII-lea, francezul Pierre de Fermat, a explorat cu entuziasm ecuație generală X n +y n =z n . Și în final, am concluzionat: pentru n>2 nu există soluții întregi. Dovada lui Fermat este iremediabil pierdută. Manuscrisele ard! Tot ce rămâne este remarca lui în Aritmetica lui Diofantus: „Am găsit o dovadă cu adevărat uimitoare a acestei propoziții, dar marginile de aici sunt prea înguste pentru a o conține”.

De fapt, o teoremă fără demonstrație se numește ipoteză. Dar Fermat are reputația că nu greșește niciodată. Chiar dacă nu a lăsat dovezi ale unei declarații, aceasta a fost ulterior confirmată. Mai mult, Fermat și-a dovedit teza pentru n=4. Astfel, ipoteza matematicianului francez a intrat în istorie ca Ultima Teoremă a lui Fermat.

După Fermat, minți atât de mari precum Leonhard Euler au lucrat la căutarea unei dovezi (în 1770 a propus o soluție pentru n = 3),

Adrien Legendre și Johann Dirichlet (acești oameni de știință au găsit împreună dovada pentru n = 5 în 1825), Gabriel Lamé (care a găsit demonstrația pentru n = 7) și mulți alții. La mijlocul anilor '80 ai secolului trecut, a devenit clar că lumea științifică era pe drumul către soluția finală a ultimei teoreme a lui Fermat, dar abia în 1993 matematicienii au văzut și au crezut că epopeea de trei secole a căutării unei dovezi a Ultima teoremă a lui Fermat era practic terminată.

Se arată cu ușurință că este suficient să se demonstreze teorema lui Fermat doar pentru n simplu: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Pentru compusul n, demonstrația rămâne valabilă. Dar de asemenea numere prime infinit de multe...

În 1825, folosind metoda lui Sophie Germain, femeile matematiciene, Dirichlet și Legendre au demonstrat independent teorema pentru n=5. În 1839, folosind aceeași metodă, francezul Gabriel Lame a arătat adevărul teoremei pentru n=7. Treptat, teorema a fost demonstrată pentru aproape toți n mai puțin de o sută.


În cele din urmă, matematicianul german Ernst Kummer, într-un studiu strălucit, a arătat că teorema în general nu poate fi dovedită folosind metodele matematicii din secolul al XIX-lea. Premiul Academiei Franceze de Științe, înființat în 1847 pentru demonstrarea teoremei lui Fermat, a rămas neacordat.

În 1907, industriașul german bogat Paul Wolfskehl a decis să-și ia viața din cauza iubirii neîmpărtășite. Ca un adevărat german, a stabilit data și ora sinuciderii: exact la miezul nopții. În ultima zi a făcut testament și a scris scrisori către prieteni și rude. Lucrurile s-au încheiat înainte de miezul nopții. Trebuie spus că Paul era interesat de matematică. Neavând nimic mai bun de făcut, s-a dus la bibliotecă și a început să citească celebru articol Kummera. Deodată i se păru că Kummer făcuse o greșeală în raționamentul său. Wolfskel a început să analizeze această parte a articolului cu un creion în mâini. Miezul nopții a trecut, a venit dimineața. Golul din dovadă a fost umplut. Și chiar motivul sinuciderii arăta acum complet ridicol. Paul și-a rupt scrisorile de adio și și-a rescris testamentul.

El a murit curând din cauze naturale. Moștenitorii au fost destul de surprinși: 100.000 de mărci (mai mult de 1.000.000 de lire sterline actuale) au fost transferate în contul Societății Regale Științifice din Göttingen, care în același an a anunțat un concurs pentru Premiul Wolfskehl. 100.000 de puncte au fost acordate persoanei care a demonstrat teorema lui Fermat. Nici un pfennig nu a fost acordat pentru infirmarea teoremei...

Majoritatea matematicienilor profesioniști au considerat căutarea unei dovezi a ultimei teoreme a lui Fermat o sarcină fără speranță și au refuzat cu hotărâre să piardă timpul cu un exercițiu atât de inutil. Dar amatorii s-au distrat de minune. La câteva săptămâni după anunț, o avalanșă de „dovezi” a lovit Universitatea din Göttingen. Profesorul E.M. Landau, a cărui responsabilitate era să analizeze probele trimise, a împărțit cartonașe elevilor săi:


Dragă. . . . . . . .

Vă mulțumesc că mi-ați trimis manuscrisul cu dovada ultimei teoreme a lui Fermat. Prima eroare este pe pagina... la linie... . Din această cauză, întreaga dovadă își pierde valabilitatea.
Profesorul E. M. Landau











În 1963, Paul Cohen, bazându-se pe descoperirile lui Gödel, a dovedit imposibilitatea uneia dintre cele douăzeci și trei de probleme ale lui Hilbert - ipoteza continuumului. Dacă și Ultima Teoremă a lui Fermat este indecidabilă?! Dar adevărații fanatici ai Marii Teoreme nu au fost deloc dezamăgiți. Apariția computerelor le-a oferit brusc matematicienilor o nouă metodă de demonstrare. După al Doilea Război Mondial, echipe de programatori și matematicieni au demonstrat Ultima Teoremă a lui Fermat pentru toate valorile de la n până la 500, apoi până la 1.000 și mai târziu până la 10.000.

În anii 1980, Samuel Wagstaff a ridicat limita la 25.000, iar în anii 1990, matematicienii au declarat că Ultima Teoremă a lui Fermat era adevărată pentru toate valorile de la n până la 4 milioane. Dar dacă scădeți chiar și un trilion de trilion din infinit, acesta nu va deveni mai mic. Matematicienii nu sunt convinși de statistici. A demonstra Marea Teoremă însemna a o demonstra pentru TOATE n mergând la infinit.




În 1954, doi tineri prieteni matematicieni japonezi au început să cerceteze formele modulare. Aceste forme generează serii de numere, fiecare cu propria sa serie. Din întâmplare, Taniyama a comparat aceste serii cu serii generate de ecuații eliptice. S-au potrivit! Dar formele modulare sunt obiecte geometrice, iar ecuațiile eliptice sunt algebrice. Nicio legătură nu a fost găsită între obiecte atât de diferite.

Cu toate acestea, după o testare atentă, prietenii au înaintat o ipoteză: fiecare ecuație eliptică are un geamăn - o formă modulară și invers. Această ipoteză a devenit fundamentul unei întregi direcții în matematică, dar până când ipoteza Taniyama-Shimura a fost dovedită, întreaga clădire s-ar putea prăbuși în orice moment.

În 1984, Gerhard Frey a arătat că o soluție a ecuației lui Fermat, dacă există, poate fi inclusă într-o ecuație eliptică. Doi ani mai târziu, profesorul Ken Ribet a dovedit că această ecuație ipotetică nu poate avea o contrapartidă în lumea modulară. De acum înainte, Ultima Teoremă a lui Fermat a fost indisolubil legată de conjectura Taniyama-Shimura. După ce am demonstrat că orice curbă eliptică este modulară, concluzionăm că nu există o ecuație eliptică cu o soluție a ecuației lui Fermat, iar Ultima Teoremă a lui Fermat ar fi imediat demonstrată. Dar timp de treizeci de ani nu a fost posibil să se dovedească ipoteza Taniyama-Shimura și au existat din ce în ce mai puține speranțe de succes.

În 1963, când avea doar zece ani, Andrew Wiles era deja fascinat de matematică. Când a aflat despre Marea Teoremă, și-a dat seama că nu poate renunța la ea. Ca școlar, student și student absolvent, el s-a pregătit pentru această sarcină.

După ce a aflat despre descoperirile lui Ken Ribet, Wiles s-a aruncat cu capul năprasnic să dovedească conjectura Taniyama-Shimura. A decis să lucreze în deplină izolare și secret. „Mi-am dat seama că tot ceea ce are de-a face cu Ultima Teoremă a lui Fermat trezește prea mult interes... Prea mulți spectatori interferează evident cu atingerea obiectivului.” Șapte ani de muncă grea au dat roade; Wiles a finalizat în sfârșit dovada conjecturii Taniyama-Shimura.

În 1993, matematicianul englez Andrew Wiles a prezentat lumii dovada ultimei teoreme a lui Fermat (Wiles și-a citit lucrarea senzațională la o conferință la Institutul Sir Isaac Newton din Cambridge.), lucru în care a durat mai bine de șapte ani.







În timp ce hype-ul a continuat în presă, au început lucrări serioase pentru verificarea dovezilor. Fiecare probă trebuie examinată cu atenție înainte ca dovezile să poată fi considerate riguroase și exacte. Wiles a petrecut o vară agitată așteptând feedback de la recenzenți, sperând că va putea câștiga aprobarea lor. La sfârșitul lunii august, experții au constatat că hotărârea este insuficient fundamentată.

S-a dovedit ca această decizie conține o eroare grosolană, deși în general este corectă. Wiles nu a renunțat, a apelat la ajutorul celebrului specialist în teoria numerelor Richard Taylor și deja în 1994 au publicat o demonstrație corectată și extinsă a teoremei. Cel mai uimitor lucru este că această lucrare a ocupat până la 130 (!) de pagini în jurnalul de matematică „Annals of Mathematics”. Dar povestea nu s-a încheiat nici aici - punctul final a fost atins abia în anul următor, 1995, când a fost publicată versiunea finală și „ideală”, din punct de vedere matematic, a dovezii.

„...la jumătate de minut după începerea cinei festive cu ocazia zilei ei de naștere, i-am oferit Nadyei manuscrisul dovezii complete” (Andrew Wales). Nu am spus încă că matematicienii sunt oameni ciudați?






De data aceasta nu a existat nicio îndoială cu privire la dovezi. Două articole au fost supuse celei mai atente analize și au fost publicate în mai 1995 în Annals of Mathematics.

A trecut mult timp de la acel moment, dar există încă opinia în societate că Ultima Teoremă a lui Fermat este de nerezolvat. Dar chiar și cei care știu despre dovezile găsite continuă să lucreze în această direcție - puțini sunt mulțumiți că Marea Teoremă necesită o soluție de 130 de pagini!

Prin urmare, acum eforturile multor matematicieni (majoritatea amatori, nu oameni de știință profesioniști) sunt aruncate în căutarea unei dovezi simple și concise, dar această cale, cel mai probabil, nu va duce nicăieri... Interesul lui Fermat pentru matematică a apărut în mod neașteptat și destul de neașteptat. varsta matura. În 1629, o traducere în latină a lucrării lui Pappus, care conținea un scurt rezumat al rezultatelor lui Apollonius privind proprietățile secțiunilor conice, a căzut în mâinile lui. Fermat, poliglot, expert în drept și filologie antică, își propune brusc să restabilească complet cursul raționamentului celebrului om de știință. Cu același succes, un avocat modern poate încerca să reproducă independent toate dovezile dintr-o monografie din probleme, să zicem, topologia algebrică. Cu toate acestea, întreprinderea de neconceput este încununată de succes. Mai mult, adâncindu-se în construcțiile geometrice ale anticilor, el realizează descoperire uimitoare: Pentru a găsi zonele maxime și minime ale figurilor, nu aveți nevoie de desene fanteziste. Este întotdeauna posibil să se construiască și să se rezolve o ecuație algebrică simplă, ale cărei rădăcini determină extremul. El a venit cu un algoritm care să devină baza calculului diferențial.

A trecut repede mai departe. El a găsit condiții suficiente pentru existența maximelor, a învățat să determine punctele de inflexiune și a trasat tangente la toate curbele cunoscute de ordinul doi și trei. Încă câțiva ani și găsește unul nou metoda algebrică găsirea pătrarilor pentru parabole și hiperbole de ordin arbitrar (adică integrale ale funcțiilor de forma y p = Cx qȘi y p x q = C), calculează ariile, volumele, momentele de inerție ale corpurilor de revoluție. A fost o adevărată descoperire. Simțind acest lucru, Fermat începe să caute comunicarea cu autoritățile matematice ale vremii. Este încrezător și dorește recunoaștere.

În 1636, el i-a scris prima sa scrisoare reverendului Marin Mersenne: „Sfinte Părinte! Vă sunt extrem de recunoscător pentru onoarea pe care mi-ați arătat-o ​​dându-mi speranța că vom putea vorbi în scris; ...Voi fi foarte bucuros să aflu de la tine despre toate tratatele și cărțile noi de matematică care au apărut în ultimii cinci sau șase ani. ...Am găsit și multe metode analitice pentru diverse probleme, atât numerice, cât și geometrice, pentru a căror rezolvare analiza lui Vieta este insuficientă. Îți voi împărtăși toate acestea oricând vei dori și fără nicio aroganță, de care sunt mai liber și mai îndepărtat decât orice altă persoană din lume.”

Cine este părintele Mersenne? Acesta este un călugăr franciscan, un om de știință cu talente modeste și un organizator remarcabil, care timp de 30 de ani a condus cercul matematic parizian, care a devenit adevăratul centru al științei franceze. Ulterior, cercul Mersenne, prin decret al lui Ludovic al XIV-lea, avea să fie transformat în Academia de Științe din Paris. Mersenne a purtat neobosit o corespondență uriașă, iar chilia sa din mănăstirea Ordinului Minimilor din Piața Regală era un fel de „oficiu poștal pentru toți oamenii de știință din Europa, de la Galileo la Hobbes”. Corespondența a înlocuit apoi revistele științifice, care au apărut mult mai târziu. Întâlnirile la Mersenne au avut loc săptămânal. Nucleul cercului era format din cei mai străluciți naturaliști ai vremii: Robertville, Pascal the Tather, Desargues, Midorge, Hardy și, bineînțeles, faimosul și universal recunoscut Descartes. René du Perron Descartes (Cartesius), manta de nobil, două moșii de familie, întemeietorul cartezianismului, „părintele” geometriei analitice, unul dintre fondatorii noii matematici, precum și prietenul și colegul lui Mersenne la colegiul iezuit. Acest persoana minunata va fi un coșmar pentru Fermat.

Mersenne a găsit rezultatele lui Fermat suficient de interesante pentru a-l prezenta pe provincial în clubul său de elită. Ferma a început imediat o corespondență cu mulți membri ai cercului și a fost literalmente bombardată cu scrisori de la Mersenne însuși. În plus, trimite manuscrise completate la judecata oamenilor învățați: „Introducere în locuri plate și solide”, iar un an mai târziu - „Metoda de găsire a maximelor și minimelor” și „Răspunsuri la întrebările lui B. Cavalieri”. Ceea ce a expus Fermat a fost absolut nou, dar nu a fost nicio senzație. Contemporanii nu s-au înfiorat. Ei au înțeles puțin, dar au găsit indicii clare că Fermat a împrumutat ideea algoritmului de maximizare din tratatul lui Johannes Kepler cu titlul amuzant „Noua stereometrie a butoaielor de vin”. Într-adevăr, în raționamentul lui Kepler există expresii precum „Volumul unei figuri este cel mai mare dacă de ambele părți ale locului de cea mai mare valoare scăderea este la început insensibilă”. Dar ideea unei creșteri mici a unei funcții aproape de un extremum nu era deloc în aer. Cele mai bune minți analitice din acea vreme nu erau pregătite să manipuleze cantități mici. Cert este că la acea vreme algebra era considerată un fel de aritmetică, adică matematică de clasa a doua, un instrument primitiv la îndemână, dezvoltat pentru nevoile practicii de bază („numai comercianții contează bine”). Tradiția prescria aderarea la metodele de demonstrare pur geometrice, datând din matematica antică. Fermat a fost primul care a realizat că cantitățile infinitezimale pot fi adăugate și reduse, dar este destul de dificil să le reprezinte sub formă de segmente.

A fost nevoie de aproape un secol pentru ca Jean d'Alembert să recunoască în celebra sa Enciclopedie: „Fermat a fost inventatorul noului calcul. Cu el găsim prima aplicație a diferențialelor pentru a găsi tangente.” La sfârșitul secolului al XVIII-lea, Joseph Louis Comte de Lagrange a vorbit și mai clar: „Dar geometrii - contemporanii lui Fermat - nu au înțeles acest nou tip de calcul. Au văzut doar cazuri speciale. Și această invenție, care a apărut cu puțin timp înainte de Geometria lui Descartes, a rămas fără rezultat timp de patruzeci de ani.” Lagrange se referă la 1674, când au fost publicate Prelegerile lui Isaac Barrow, acoperind metoda lui Fermat în detaliu.

Printre altele, a devenit rapid clar că Fermat era mai înclinat să formuleze probleme noi decât să rezolve cu umilință problemele propuse de contoare. În epoca duelurilor, schimbul de sarcini între experți era în general acceptat ca o formă de clarificare a problemelor asociate subordonării. Cu toate acestea, Fermat clar nu cunoaște limitele. Fiecare dintre scrisorile sale este o provocare care conține zeci de probleme complexe nerezolvate și pe cele mai neașteptate subiecte. Iată un exemplu al stilului său (adresat lui Frenicle de Bessy): „Item, what is cel mai mic pătrat, care, atunci când este redus cu 109 și adăugat cu unu, va da un pătrat? Dacă nu mă trimiți solutie generala, apoi trimiteți câtul pentru aceste două numere, pe care le-am ales mic pentru a nu vă încurca prea mult. După ce voi primi răspunsul dvs., vă voi sugera alte lucruri. Este clar, fără rezerve speciale, că propunerea mea necesită găsirea numerelor întregi, deoarece în cazul respectiv numere fracționare cel mai nesemnificativ aritmetician ar putea ajunge la obiectiv.” Fermat s-a repetat adesea, formulând aceleași întrebări de mai multe ori și a blufat deschis, susținând că are o soluție neobișnuit de elegantă la problema propusă. Au fost și niște greșeli directe. Unele dintre ele au fost remarcate de contemporani, iar unele afirmații insidioase au indus cititorii în eroare timp de secole.

Cercul Mersenne a reacționat adecvat. Doar Robertville, singurul membru al cercului care a avut probleme cu originea, menține tonul prietenos al scrisorilor. Bunul păstor Părintele Mersenne a încercat să raționeze cu „obscuritatea Toulouse”. Fermat însă nu intenționează să-și pună scuze: „Cuvioase Părinte! Îmi scrieți că formularea problemelor mele imposibile i-a înfuriat și i-a răcorit pe domnii Saint-Martin și Frenicle și că acesta a fost motivul încetării scrisorilor lor. Cu toate acestea, vreau să le obiectez că ceea ce pare imposibil la început nu este chiar așa și că există multe probleme care, așa cum a spus Arhimede...”, etc.

Cu toate acestea, Fermat este necinstit. Lui Frenicles i-a trimis problema găsirii unui triunghi dreptunghic cu laturi întregi, a cărui zonă este egală cu pătratul numărului întreg. L-am trimis, deși știam că problema evident nu are soluție.

Descartes a luat cea mai ostilă poziție față de Fermat. În scrisoarea sa către Mersenne din 1938 citim: „din moment ce am aflat că acesta este același om care a încercat anterior să-mi infirme dioptria și din moment ce m-ai informat că a trimis asta după ce mi-a citit Geometria” și surprins că nu am făcut-o. găsesc același lucru, adică (cum am motive să-l interpretez) l-a trimis cu scopul de a intra în rivalitate și de a arăta că în asta știe mai mult decât mine și, din moment ce chiar și din scrisorile tale, am aflat că are un reputația de geometru foarte priceput, atunci mă consider obligat să-i răspund.” Mai târziu, Descartes avea să desemneze solemn răspunsul său drept „micul proces al matematicii împotriva domnului Fermat”.

Este ușor de înțeles ce l-a înfuriat pe eminentul om de știință. În primul rând, argumentele lui Fermat includ în mod constant axele de coordonateși reprezentarea numerelor pe segmente - o tehnică pe care Descartes o dezvoltă cuprinzător în Geometria recent publicată. Fermat vine la ideea de a înlocui desenele cu calcule complet independent; în anumite privințe, el este chiar mai consecvent decât Descartes. În al doilea rând, Fermat demonstrează cu brio eficacitatea metodei sale de găsire a minimelor folosind exemplul problemei celei mai scurte trasee a unei raze de lumină, clarificând și suplimentând pe Descartes cu „Dioptria” sa.

Meritele lui Descartes ca gânditor și inovator sunt enorme, dar să deschidem „Enciclopedia matematică” modernă și să privim lista de termeni asociați numelui său: „Coordonate carteziane” (Leibniz, 1692), „Foaie carteziană”, „Foaie carteziană”. ovale”. Niciunul dintre argumentele sale nu a intrat în istorie drept „Teorema lui Descartes”. Descartes este în primul rând un ideolog: el este fondatorul unei școli filosofice, formează concepte, îmbunătățește sistemul de simboluri ale literelor, dar moștenirea sa creativă conține puține tehnici specifice noi. În contrast, Pierre Fermat scrie puțin, dar din orice motiv poate veni cu o mulțime de trucuri matematice ingenioase (vezi și „Teorema lui Fermat”, „Principiul lui Fermat”, „Metoda lui Fermat a coborârii infinite”). Probabil că erau pe bună dreptate geloși unul pe celălalt. O coliziune era inevitabilă. Odată cu medierea iezuită a lui Mersenne, a izbucnit un război care a durat doi ani. Totuși, Mersenne s-a dovedit a fi chiar aici înaintea istoriei: bătălia acerbă a celor doi titani, polemica lor intensă, ca să spunem ușor, a contribuit la înțelegerea conceptelor cheie ale analizei matematice.

Fermat este primul care își pierde interesul pentru discuție. Se pare că i s-a explicat direct lui Descartes și nu și-a mai jignit niciodată adversarul. Într-una dintre ele ultimele lucrări„Sinteza pentru refracție”, al cărui manuscris l-a trimis lui de la Chambre, Fermat prin cuvânt își amintește „de cel mai învățat Descartes” și subliniază în orice mod posibil prioritatea sa în materie de optică. Între timp, acest manuscris conținea o descriere a celebrului „principiu al lui Fermat”, care oferă o explicație cuprinzătoare a legilor reflexiei și refracției luminii. Îndrumările către Descartes în lucrări de acest nivel au fost complet inutile.

Ce s-a întâmplat? De ce Fermat, lăsând deoparte mândria, a mers după împăcare? Citind scrisorile lui Fermat din acei ani (1638 - 1640), se poate presupune cel mai simplu lucru: în această perioadă interesele sale științifice s-au schimbat dramatic. Abandonează cicloidul la modă, încetează să mai fie interesat de tangente și zone și timp de mulți 20 de ani uită de metoda lui de a găsi maximul. Având merite enorme în matematica continuului, Fermat s-a cufundat complet în matematica discretului, lăsând oponenților săi desene geometrice dezgustătoare. Numerele devin noua lui pasiune. De fapt, întreaga „Teoria numerelor”, ca disciplină matematică independentă, își datorează nașterea în întregime vieții și operei lui Fermat.

<…>După moartea lui Fermat, fiul său Samuel a publicat în 1670 o copie a „Aritmetica” aparținând tatălui său sub titlul „Șase cărți de aritmetică ale lui Alexandrian Diophantus cu comentarii de L. G. Bachet și observații de P. de Fermat, senatorul de Toulouse”. Cartea cuprindea și câteva scrisori de la Descartes și text complet lucrările lui Jacques de Bigly „O nouă descoperire în arta analizei”, scrise pe baza scrisorilor lui Fermat. Publicarea a avut un succes incredibil. O lume strălucitoare fără precedent s-a deschis în fața specialiștilor uimiți. Neașteptarea și, cel mai important, accesibilitatea, democrația rezultatelor teoretice ale numerelor lui Fermat au dat naștere la o mulțime de imitații. La acea vreme, puțini oameni înțelegeau cum se calculează aria unei parabole, dar fiecare elev putea înțelege formularea ultimei teoreme a lui Fermat. A început o adevărată vânătoare pentru scrisorile necunoscute și pierdute ale omului de știință. Până la sfârșitul secolului al XVII-lea. Fiecare cuvânt al lui găsit a fost publicat și republicat. Dar istoria turbulentă a dezvoltării ideilor lui Fermat tocmai începea.

Problemele de nerezolvat sunt 7 probleme matematice interesante. Fiecare dintre ele a fost propus la un moment dat de oameni de știință celebri, de obicei sub formă de ipoteze. De multe decenii încoace, matematicienii din întreaga lume și-au bătut mintea pentru a le rezolva. Cei care vor reuși vor primi o recompensă de un milion de dolari SUA, oferită de Institutul Clay.

Institutul Clay

Acesta este numele dat unei organizații private non-profit cu sediul în Cambridge, Massachusetts. A fost fondată în 1998 de către matematicianul de la Harvard A. Jaffee și omul de afaceri L. Clay. Scopul institutului este popularizarea și dezvoltarea cunoștințelor matematice. Pentru a realiza acest lucru, organizația acordă premii oamenilor de știință și sponsorizează cercetări promițătoare.

La începutul secolului al XXI-lea, Institutul de Matematică Clay a oferit un premiu celor care au rezolvat probleme cunoscute a fi cele mai grele probleme de nerezolvat, numindu-și lista Problemele Premiului Mileniului. Din Lista Hilbert, doar ipoteza Riemann a fost inclusă în ea.

Provocările mileniului

Lista Clay Institute includea inițial:

  • Ipoteza ciclului Hodge;
  • ecuații ale teoriei cuantice Yang-Mills;
  • conjectura Poincaré;
  • problema egalității claselor P și NP;
  • ipoteza Riemann;
  • despre existența și netezimea soluțiilor sale;
  • Problema Birch-Swinnerton-Dyer.

Aceste probleme matematice deschise sunt de mare interes deoarece pot avea multe implementări practice.

Ce a dovedit Grigory Perelman

În 1900, celebrul om de știință-filosof Henri Poincaré a propus că fiecare varietate tridimensională compactă, pur și simplu conectată, fără graniță, este homeomorfă unei sfere tridimensionale. Dovada ei este în caz general nu a fost găsit de un secol. Abia în 2002-2003, matematicianul din Sankt Petersburg G. Perelman a publicat o serie de articole care rezolvă problema Poincaré. Au produs efectul exploziei unei bombe. În 2010, ipoteza Poincaré a fost exclusă de pe lista „Probleme nerezolvate” a Institutului Clay, iar lui Perelman însuși i s-a oferit să primească recompensa considerabilă care i se cuvine, pe care acesta din urmă a refuzat-o fără a explica motivele deciziei sale.

Cea mai înțeleasă explicație a ceea ce a putut demonstra matematicianul rus poate fi dată imaginându-și că întind un disc de cauciuc peste o gogoașă (tor) și apoi încearcă să tragă marginile cercului său până la un punct. Evident, acest lucru este imposibil. Este o problemă diferită dacă efectuați acest experiment cu o minge. În acest caz, se pare că o sferă tridimensională rezultată dintr-un disc, a cărui circumferință a fost trasă într-un punct de un cordon ipotetic, va fi tridimensională în înțelegere. persoana normala, dar bidimensional din punct de vedere matematic.

Poincaré a sugerat că sfera tridimensională este singurul „obiect” tridimensional a cărui suprafață poate fi contractată la un punct, iar Perelman a putut să demonstreze acest lucru. Astfel, lista „Probleme de nerezolvat” astăzi este formată din 6 probleme.

Teoria Yang-Mills

Această problemă matematică a fost propusă de autorii săi în 1954. Formularea științifică a teoriei este următoarea: pentru orice grup simplu de gabarit compact, teoria spațială cuantică creată de Yang și Mills există și, în același timp, are un defect de masă zero.

Vorbind într-un limbaj înțeles de omul obișnuit, interacțiunile dintre obiectele naturale (particule, corpuri, unde etc.) sunt împărțite în 4 tipuri: electromagnetice, gravitaționale, slabe și puternice. De mulți ani, fizicienii au încercat să creeze o teorie generală a câmpului. Trebuie să devină un instrument pentru a explica toate aceste interacțiuni. Teoria Yang-Mills este un limbaj matematic prin care a devenit posibil să descriem 3 din cele 4 forțe principale ale naturii. Nu se aplică gravitației. Prin urmare, nu se poate considera că Young și Mills au reușit să creeze o teorie a câmpului.

În plus, neliniaritatea ecuațiilor propuse le face extrem de dificil de rezolvat. Pentru constante de cuplare mici, acestea pot fi aproximativ rezolvate sub forma unei serii de teorie a perturbațiilor. Cu toate acestea, nu este încă clar cum aceste ecuații pot fi rezolvate în condiții de cuplare puternică.

Ecuații Navier-Stokes

Aceste expresii descriu procese precum curenții de aer, fluxul de fluid și turbulența. Pentru unele cazuri speciale, au fost deja găsite soluții analitice la ecuația Navier-Stokes, dar nimeni nu a reușit încă să facă acest lucru pentru cazul general. În același timp, modelarea numerică pentru valori specifice de viteză, densitate, presiune, timp și așa mai departe permite obținerea unor rezultate excelente. Nu putem decât să sperăm că cineva va fi capabil să aplice ecuațiile Navier-Stokes în direcția opusă, adică să calculeze parametrii folosindu-le sau să demonstreze că nu există o metodă de rezolvare.

Problema Birch-Swinnerton-Dyer

Categoria „Probleme nerezolvate” include și o ipoteză propusă de oamenii de știință englezi de la Universitatea din Cambridge. Chiar și acum 2300 de ani, savantul grec antic Euclid a dat Descriere completa soluții ale ecuației x2 + y2 = z2.

Dacă pentru fiecare număr prim numărăm numărul de puncte de pe curbă modulo ea, obținem o mulțime infinită de numere întregi. Dacă o „lipești” în mod specific într-o funcție a unei variabile complexe, atunci obții funcția zeta Hasse-Weil pentru o curbă de ordinul trei, notată cu litera L. Conține informații despre comportamentul modulo al tuturor numerelor prime simultan. .

Brian Birch și Peter Swinnerton-Dyer au propus o presupunere cu privire la curbele eliptice. Potrivit acesteia, structura și cantitatea setului său decizii raționale sunt legate de comportamentul funcției L la unitate. Nedovedit la acest moment Conjectura Birch-Swinnerton-Dyer depinde de descrierea ecuațiilor algebrice de gradul 3 și este singura modalitate generală relativ simplă de a calcula rangul curbelor eliptice.

Pentru a înțelege importanța practică a acestei probleme, este suficient să spunem că în criptografia modernă cu curbe eliptice se bazează o întreagă clasă de sisteme asimetrice, iar standardele interne de semnătură digitală se bazează pe utilizarea lor.

Egalitatea claselor p și np

Dacă restul problemelor mileniului sunt pur matematice, atunci aceasta este legată de teoria actuală a algoritmilor. Problema privind egalitatea claselor p și np, cunoscută și sub numele de problema Cook-Lewin, într-un limbaj clar poate fi formulată după cum urmează. Să presupunem că un răspuns pozitiv la o anumită întrebare poate fi verificat suficient de repede, adică în timp polinomial (PT). Atunci este corect să spunem că răspunsul la acesta poate fi găsit destul de repede? Sună și mai simplu: nu este cu adevărat mai dificil să verifici soluția unei probleme decât să o găsești? Dacă egalitatea claselor p și np este vreodată dovedită, atunci toate problemele de selecție pot fi rezolvate prin PV. În acest moment, mulți experți se îndoiesc de adevărul acestei afirmații, deși nu pot dovedi contrariul.

Ipoteza Riemann

Până în 1859, nu a fost identificat niciun model care să descrie modul în care numerele prime sunt distribuite între numerele naturale. Poate că acest lucru s-a datorat faptului că știința se ocupa de alte probleme. Cu toate acestea, până la mijlocul secolului al XIX-lea, situația s-a schimbat și au devenit una dintre cele mai relevante pe care matematica a început să le studieze.

Ipoteza Riemann, care a apărut în această perioadă, este ipoteza că există un anumit model în distribuția numerelor prime.

Astăzi, mulți oameni de știință moderni cred că, dacă se va dovedi, va fi necesar să se reconsidere mulți principii fundamentale criptografia modernă, care formează baza unei părți semnificative a mecanismelor comerțului electronic.

Conform ipotezei Riemann, natura distribuției numerelor prime poate diferi semnificativ de ceea ce se presupune în prezent. Cert este că până acum nu a fost descoperit niciun sistem în distribuția numerelor prime. De exemplu, există problema „gemenilor”, diferența dintre care este 2. Aceste numere sunt 11 și 13, 29. Alte numere prime formează grupuri. Acestea sunt 101, 103, 107 etc. Oamenii de știință au bănuit de mult că astfel de grupuri există printre numere prime foarte mari. Dacă vor fi găsite, puterea criptocheilor moderne va fi pusă la îndoială.

Conjectura ciclului Hodge

Această problemă încă nerezolvată a fost formulată în 1941. Ipoteza lui Hodge sugerează că este posibil să se aproximeze forma oricărui obiect „lipindu-l” împreună. corpuri simple dimensiune mai mare. Această metodă este cunoscută și folosită cu succes de destul de mult timp. Cu toate acestea, nu se știe în ce măsură se poate realiza simplificarea.

Acum știi ce probleme de nerezolvat există în acest moment. Ele fac obiectul cercetărilor a mii de oameni de știință din întreaga lume. Nu putem decât să sperăm că acestea vor fi rezolvate în viitorul apropiat, iar lor uz practic va ajuta omenirea să ajungă noua runda dezvoltare tehnologică.

Uneori, studiul sârguincios al științelor exacte poate da roade - vei deveni nu numai faimos în întreaga lume, ci și bogat. Premiile se acordă, însă, degeaba, iar în știința modernă există o mulțime de teorii, teoreme și probleme nedovedite care se înmulțesc pe măsură ce știința se dezvoltă, luăm de exemplu caietele Kourovsky sau Nistru, un fel de colecții cu probleme fizice și matematice de nerezolvat și nu numai, sarcini. Cu toate acestea, există și teoreme cu adevărat complexe care nu au fost rezolvate de zeci de ani, iar pentru ele Institutul American Clay a acordat o recompensă de 1 milion de dolari pentru fiecare. Până în 2002, jackpot-ul total a fost de 7 milioane, deoarece au existat șapte „Probleme ale mileniului”, dar matematicianul rus Grigory Perelman a rezolvat conjectura Poincaré renunțând epic la un milion, fără să deschidă măcar ușa matematicienilor americani care au vrut să-i dea greu- bonus câștigat. Deci, haideți să activăm The Big Bang Theory pentru fundal și starea de spirit și să vedem pentru ce altceva puteți câștiga o sumă de bani ordonată.

Egalitatea claselor P și NP

În termeni simpli, problema egalității P = NP este următoarea: dacă răspunsul pozitiv la o întrebare poate fi verificat destul de repede (în timp polinomial), atunci este adevărat că răspunsul la această întrebare poate fi găsit destul de repede (de asemenea în timp polinomial și folosind memoria polinomială)? Cu alte cuvinte, nu este chiar mai ușor să verifici soluția unei probleme decât să o găsești? Ideea aici este că unele calcule și calcule sunt mai ușor de rezolvat folosind un algoritm, mai degrabă decât forța brută, și astfel economisesc mult timp și resurse.

Conjectura Hodge

Ipoteza lui Hodge a fost formulată în 1941 și afirmă că pentru mai ales tipuri bune spații numite varietăți algebrice proiective, așa-numitele cicluri Hodge sunt combinații de obiecte care au o interpretare geometrică – cicluri algebrice.

Aici, explicând în cuvinte simple, putem spune următoarele: în secolul XX, au fost descoperite forme geometrice foarte complexe, precum sticlele curbate. Așadar, s-a sugerat că, pentru a construi aceste obiecte pentru descriere, este necesar să folosiți forme complet enigmatice care nu au o esență geometrică, „un fel de mâzgălituri multidimensionale înfricoșătoare”, sau vă puteți descurca cu standardul condiționat. algebră + geometrie.

Ipoteza Riemann

Este destul de greu de explicat în limbajul uman; este suficient să știm că soluția acestei probleme va avea consecințe de amploare în domeniul distribuției numerelor prime. Problema este atât de importantă și presantă încât chiar și deducând un contraexemplu ipotezei - la discreția consiliului academic al universității, problema poate fi considerată dovedită, așa că aici puteți încerca metoda „revers”. Chiar dacă este posibil să se reformuleze ipoteza într-o mai mult în sens restrâns- și atunci Institutul Clay va plăti o anumită sumă de bani.

Teoria Yang-Mills

Fizica particulelor este unul dintre subiectele preferate ale Dr. Sheldon Cooper. Aici, teoria cuantică a doi băieți deștepți ne spune că pentru orice grup de calibru simplu din spațiu există un defect de masă, altul decât zero. Această afirmație a fost stabilită prin date experimentale și modelare numerică, dar nimeni nu o poate dovedi încă.

Ecuații Navier-Stokes

Aici Howard Wolowitz ne-ar ajuta probabil dacă ar exista în realitate - la urma urmei, aceasta este o ghicitoare din hidrodinamică și baza fundațiilor. Ecuațiile descriu mișcările unui fluid newtonian vâscos; ele sunt de mare importanță practică și, cel mai important, descriu turbulența, care nu poate fi introdusă în cadrul științei și proprietățile și acțiunile sale nu pot fi prezise. Justificarea construcției acestor ecuații ne-ar permite să nu arătăm cu degetul spre cer, ci să înțelegem turbulențele din interior și să facem planurile și mecanismele mai stabile.

Conjectura Birch-Swinnerton-Dyer

Aici, însă, am încercat să găsesc cuvinte simple, dar există o algebră atât de densă aici încât este imposibil să faci fără o scufundare profundă. Cei care nu doresc să se scufunde în matan ar trebui să știe că această ipoteză vă permite să găsiți rapid și fără durere rangul curbelor eliptice, iar dacă această ipoteză nu ar exista, atunci ar fi nevoie de o foaie de calcule pentru a calcula acest rang. Ei bine, desigur, trebuie să știi și că demonstrarea acestei ipoteze te va îmbogăți cu un milion de dolari.

Trebuie remarcat faptul că au existat deja progrese în aproape toate domeniile și chiar și cazuri au fost dovedite pentru exemple individuale. Prin urmare, nu ar trebui să ezitați, altfel se va dovedi ca în teorema lui Fermat, care a cedat lui Andrew Wiles după mai bine de 3 secole în 1994 și i-a adus premiul Abel și aproximativ 6 milioane de coroane norvegiene (50 de milioane de ruble la cursul de schimb de astăzi. ).