Funcțiile și proprietățile lor

Funcția este unul dintre cele mai importante concepte matematice.Funcţie Ei numesc o astfel de dependență a variabilei y de variabila x în care fiecare valoare a variabilei x corespunde unei singure valori a variabilei y.

Variabil X numit variabila independenta sau argument. Variabil la numit variabilă dependentă. Ei spun si astavariabila y este o funcție a variabilei x. Se numesc valorile variabilei dependentevalorile funcției.

Dacă dependenţa variabileila din variabilăX este o funcție, atunci poate fi scrisă pe scurt după cum urmează:y= f( X ). (Citit:la egalăf dinX .) Simbolf( X) notează valoarea funcţiei corespunzătoare valorii argumentului egal cuX .

Toate valorile variabilei independente formeazădomeniul unei funcții . Toate valorile pe care variabila dependentă le ia formăintervalul de funcții .

Dacă o funcție este specificată printr-o formulă și domeniul ei de definiție nu este specificat, atunci domeniul de definire al funcției este considerat a fi format din toate valorile argumentului pentru care formula are sens.

Metode pentru specificarea unei funcții:

1.metoda analitică (funcția este specificată folosind o formulă matematică;

2.metoda tabulară (funcția este specificată folosind un tabel)

3.metoda descriptivă (funcția este specificată prin descriere verbală)

4. metoda grafica (functia este specificata cu ajutorul unui grafic).

Graficul funcției numiți mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate, ale căror abscise sunt egale cu valorile argumentului și ordonatele - valorile funcţiei corespunzătoare.

PROPRIETĂȚI DE BAZĂ ALE FUNCȚIILOR

1. Zerourile funcției

Zero al unei funcții este valoarea argumentului la care valoarea funcției este egală cu zero.

2. Intervale de semn constant al unei funcții

Intervalele de semn constant ale unei funcții sunt seturi de valori ale argumentului pe care valorile funcției sunt doar pozitive sau numai negative.

3. Funcția de creștere (scădere).

Crescând într-un anumit interval o funcţie este o funcţie pentru care valoare mai mare argumentului din acest interval îi corespunde o valoare mai mare a funcției.

Funcţie y = f ( X ) numit crescând pe interval (A; b ), dacă pentru oricare X 1 Și X 2 din acest interval astfel încâtX 1 < X 2 , inegalitatea este adevăratăf ( X 1 )< f ( X 2 ).

Descendentă într-un anumit interval, o funcție este o funcție pentru care o valoare mai mare a argumentului din acest interval îi corespunde unei valori mai mici a funcției.

Funcţie la = f ( X ) numit in scadere pe interval (A; b ) , dacă pentru vreunul X 1 Și X 2 din acest interval astfel încât X 1 < X 2 , inegalitatea este adevăratăf ( X 1 )> f ( X 2 ).

4. Funcție pară (impar).

Chiar și funcție - o funcție al cărei domeniu de definiție este simetric față de origine și pentru oricareX din domeniul definirii egalitateaf (- X ) = f ( X ) . Graficul unei funcții pare este simetric față de ordonată.

De exemplu, y = x 2 - funcția uniformă.

Funcție ciudată- o funcție al cărei domeniu de definiție este simetric față de origine și pentru oricare X din domeniul definiției egalitatea este adevărată f (- X ) = - f (X ). Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

De exemplu: y = x 3 - functie impara .

O funcție de formă generală nu este pară sau impară (y = x 2 +x ).

Proprietățile unor funcții și grafica acestora

1. Funcție liniară numită funcţie a formei , Unde k Și b – numere.

Domeniu funcție liniară- o multime deR numere reale.

Graficul unei funcții liniarela = kx + b ( k ≠ 0) este o dreaptă care trece prin punctul (0;b ) și paralel cu liniala = kx .

Drept, nu paralel cu axaOU, este graficul unei funcții liniare.

Proprietățile unei funcții liniare.

1. Când k > 0 functie la = kx + b

2. Când k < 0 functie y = kx + b în scădere în domeniul definiţiei.

y = kx + b ( k ≠ 0 ) este întreaga linie numerică, adică o multime deR numere reale.

La k = 0 set de valori ale funcțieiy = kx + b constă dintr-un numărb .

3. Când b = 0 și k = 0 funcția nu este nici pară, nici impară.

La k = 0 funcția liniară are formay = b iar la b ≠ 0 este chiar.

La k = 0 și b = 0 funcția liniară are formay = 0 și este atât par cât și impar.

Graficul unei funcții liniarey = b este o dreaptă care trece prin punctul (0; b ) și paralel cu axaOh. Rețineți că atunci când b = 0 grafic al funcțieiy = b coincide cu axa Oh .

5. Când k > 0 avem asta la> 0, dacă și la< 0 dacă . La k < 0 avem că y > 0 dacă iar la< 0, если .

2. Funcția y = X 2

Rnumere reale.

Oferirea unei variabileX mai multe valori din domeniul funcției și calculând valorile corespunzătoarela conform formulei y = X 2 , descriem graficul funcției.

Graficul unei funcții y = X 2 numit parabolă.

Proprietățile funcției y = x 2 .

1. Dacă X= 0, atunci y = 0, adică o parabolă are axe de coordonate punct comun(0; 0) - origine.

2. Dacă x ≠ 0 , Acea la > 0, adică toate punctele parabolei, cu excepția originii, se află deasupra axei x.

3. Set de valori ale funcțieila = X 2 este funcția spanla = X 2 scade.

X

3.Funcție

Domeniul acestei funcții este funcția spany = | X | scade.

7. Cea mai mică valoare funcția ia la punctX, aceasta este egal cu 0. Cea mai mare valoare nu exista.

6. Funcţie

Domeniul de aplicare: .

Gama de funcții: .

Graficul este o hiperbolă.

1. Zerourile funcției.

y ≠ 0, fără zerouri.

2. Intervale de constanță a semnelor,

Dacă k > 0, atunci la> 0 la X > 0; la < 0 при X < О.

Dacă k < 0, то la < 0 при X > 0; la> 0 la X < 0.

3. Intervale de crestere si scadere.

Dacă k > 0, atunci funcția scade pe măsură ce .

Dacă k < 0, то функция возрастает при .

4. Funcție pară (impar).

Funcția este ciudată.

Trinom pătrat

Ecuația formei topor 2 + bx + c = 0, unde A , bȘi Cu - niște numere șia≠ 0, numit pătrat.

Într-o ecuație pătraticătopor 2 + bx + c = 0 coeficient A numit primul coeficient b - al doilea coeficient, cu - membru gratuit.

Formula rădăcină ecuație pătratică are forma:

.

Expresia se numește discriminant ecuație pătratică și se notează cuD .

Dacă D = 0, atunci există un singur număr care satisface ecuația topor 2 + bx + c = 0. Totuși, am convenit să spunem că în acest caz ecuația pătratică are două rădăcini reale egale, iar numărul însuși numit rădăcină dublă.

Dacă D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Dacă D > 0, atunci ecuația pătratică are două rădăcini reale diferite.

Să fie dată o ecuație pătraticătopor 2 + bx + c = 0. Din moment ce a≠ 0, apoi împărțind ambele părți ecuația dată peA, obținem ecuația . crezând Și , ajungem la ecuație , în care primul coeficient este egal cu 1. Această ecuație se numeștedat.

Formula pentru rădăcinile ecuației pătratice de mai sus este:

.

Ecuații de formă

A X 2 + bx = 0, topor 2 + s = 0, A X 2 = 0

sunt numite ecuații pătratice incomplete. Ecuațiile patratice incomplete sunt rezolvate prin factorizarea părții stângi a ecuației.

teorema lui Vieta .

Suma rădăcinilor unei ecuații pătratice este egală cu raportul dintre al doilea coeficient și primul, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este raportul dintre termenul liber și primul coeficient, adică.

Teorema inversă.

Dacă suma oricăror două numereX 1 Și X 2 egal cu , iar produsul lor este egal, atunci aceste numere sunt rădăcinile ecuației pătraticeOh 2 + b x + c = 0.

Funcția formei Oh 2 + b x + c numit trinom pătrat. Rădăcinile acestei funcții sunt rădăcinile ecuației pătratice corespunzătoareOh 2 + b x + c = 0.

Dacă discriminantul unui trinom pătratic este mai mare decât zero, atunci acest trinom poate fi reprezentat ca:

Oh 2 + b x + c = a(x-x 1 )(x-x 2 )

Unde X 1 Și X 2 - rădăcinile trinomului

Dacă discriminantul unui trinom pătratic este zero, atunci acest trinom poate fi reprezentat ca:

Oh 2 + b x + c = a(x-x 1 ) 2

Unde X 1 - rădăcina trinomului.

De exemplu, 3x 2 - 12x + 12 = 3(x - 2) 2 .

Ecuația formei Oh 4 + b X 2 + s= 0 este numit biquadratic. Folosind înlocuirea variabilei folosind formulaX 2 = y se reduce la o ecuație pătraticăA y 2 + de + c = 0.

Funcția pătratică

Funcția pătratică este o funcție care poate fi scrisă printr-o formulă de formăy = topor 2 + bx + c , Unde X - variabila independenta,A , b Și c – câteva numere șiA ≠ 0.

Proprietățile funcției și tipul graficului acesteia sunt determinate în principal de valorile coeficientuluiA și discriminant.

Proprietățile unei funcții pătratice

Domeniu:R;

Interval de valori:

la A > 0 [- D/(4 A); ∞)

la A < 0 (-∞; - D/(4 A)];

Chiar ciudat:

la b = 0 funcție pară

la b ≠ Funcția 0 nu este nici pară, nici impară

la D> 0 două zerouri: ,

la D= 0 unu zero:

la D < 0 нулей нет

Intervale de constanță a semnelor:

dacă a > 0, D> 0, atunci

dacă a > 0, D= 0, atunci

e dacă a > 0, D < 0, то

în cazul în care o< 0, D> 0, atunci

în cazul în care o< 0, D= 0, atunci

în cazul în care o< 0, D < 0, то

- Intervale de monotonie

pentru a > 0

la o< 0

Graficul unei funcții pătratice esteparabolă – o curbă simetrică față de o dreaptă , trecând prin vârful parabolei (vârful parabolei este punctul de intersecție al parabolei cu axa de simetrie).

Pentru a reprezenta grafic o funcție pătratică, aveți nevoie de:

1) găsiți coordonatele vârfului parabolei și marcați-l în planul de coordonate;

2) construiți mai multe puncte aparținând parabolei;

3) conectați punctele marcate cu o linie netedă.

Coordonatele vârfului parabolei sunt determinate de formulele:

; .

Conversia graficelor de funcții

1. Întinderea Arte graficey = x 2 de-a lungul axeila V|a| ori (la|a| < 1 este o compresie de 1/|a| o singura data).

Dacă, și< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (ramurile parabolei vor fi îndreptate în jos).

Rezultat: graficul unei funcțiiy = ah 2 .

2. Transfer paralel grafica functionalay = ah 2 de-a lungul axeiX pe| m | (în dreapta când

m > 0 și la stânga cândT< 0).

Rezultat: graficul funcțieiy = a(x - t) 2 .

3. Transfer paralel grafica functionala de-a lungul axeila pe| n | (sus lap> 0 și în jos laP< 0).

Rezultat: graficul funcțieiy = a(x - t) 2 + p.

Inegalități cuadratice

Inegalitățile de formăOh 2 + b x + c > 0 șiOh 2 + bx + c< 0, undeX - variabil,A , b ȘiCu - niște numere șia≠ 0 se numesc inegalități de gradul doi cu o variabilă.

Rezolvarea unei inegalități de gradul doi într-o variabilă poate fi considerată ca găsirea intervalelor în care funcția pătratică corespunzătoare ia valori pozitive sau negative.

Pentru a rezolva inegalitățile de formăOh 2 + bx + c > 0 șiOh 2 + bx + c< 0 procedați după cum urmează:

1) aflați discriminantul trinomului pătratic și aflați dacă trinomul are rădăcini;

2) dacă trinomul are rădăcini, atunci marcați-le pe axăX iar prin punctele marcate se desenează schematic o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus spreA > 0 sau în jos cândA< 0; dacă trinomul nu are rădăcini, atunci descrieți schematic o parabolă situată în semiplanul superior laA > 0 sau mai mic laA < 0;

3) găsite pe axăX intervale pentru care punctele parabolei sunt situate deasupra axeiX (dacă inegalitatea este rezolvatăOh 2 + bx + c > 0) sau sub axăX (dacă inegalitatea este rezolvatăOh 2 + bx + c < 0).

Exemplu:

Să rezolvăm inegalitatea .

Luați în considerare funcția

Graficul său este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos (din moment ce ).

Să aflăm cum se află graficul în raport cu axaX. Să rezolvăm ecuația pentru asta . Înțelegem astax = 4. Ecuația are o singură rădăcină. Aceasta înseamnă că parabola atinge axaX.

Reprezentând schematic o parabolă, constatăm că funcția ia valori negative pentru oricareX, cu exceptia 4.

Răspunsul poate fi scris astfel:X - orice număr care nu este egal cu 4.

Rezolvarea inegalităților folosind metoda intervalului

diagrama solutiei

1. Găsiți zerouri funcția din partea stângă a inegalității.

2. Marcați poziția zerourilor pe axa numerelor și determinați multiplicitatea acestora (Dacăk i este par, atunci zero este de multiplicitate pare dacăk i impar este impar).

3. Găsiți semnele funcției în intervalele dintre zerourile sale, începând din intervalul din dreapta: în acest interval funcția din partea stângă a inegalității este întotdeauna pozitivă pentru forma dată de inegalități. Când treceți de la dreapta la stânga prin zeroul unei funcții de la un interval la unul adiacent, ar trebui să luați în considerare:

dacă zero este impar multiplicitate, semnul funcției se schimbă,

dacă zero este par multiplicitate, se păstrează semnul funcției.

4. Scrieți răspunsul.

Exemplu:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

S-au găsit zerouri de funcție. Sunt egali:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Să marchem zerourile funcției pe linia de coordonatef ( X ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Să găsim semnele acestei funcții în fiecare dintre intervalele (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) și

Din figură reiese clar că mulțimea soluțiilor inegalității este uniunea intervalelor (-∞; -6) și (-1; 4).

Răspuns: (-∞ ; -6) și (-1; 4).

Metoda avută în vedere pentru rezolvarea inegalităților se numeștemetoda intervalului.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Funcția y=x^2 se numește funcție pătratică. Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Forma generală Parabola este prezentată în figura de mai jos.

Funcția pătratică

Fig 1. Vedere generală a parabolei

După cum se poate vedea din grafic, este simetric față de axa Oy. Axa Oy se numește axa de simetrie a parabolei. Aceasta înseamnă că dacă desenați o linie dreaptă pe grafic paralelă cu axa Ox deasupra acestei axe. Apoi va intersecta parabola în două puncte. Distanța de la aceste puncte până la axa Oy va fi aceeași.

Axa de simetrie împarte graficul unei parabole în două părți. Aceste părți sunt numite ramuri ale parabolei. Iar punctul unei parabole care se află pe axa de simetrie se numește vârful parabolei. Adică, axa de simetrie trece prin vârful parabolei. Coordonatele acestui punct sunt (0;0).

Proprietățile de bază ale unei funcții pătratice

1. La x =0, y=0 și y>0 la x0

2. Funcția pătratică atinge valoarea minimă la vârf. Ymin la x=0; De asemenea, trebuie remarcat faptul că funcția nu are o valoare maximă.

3. Funcția scade pe interval (-∞;0] și crește pe interval)