Destul de des în știință analiză matematică Puteți găsi o sarcină cu următoarea formulare: „examinați o funcție și trasați un grafic”. Această formulare vorbește de la sine și împarte sarcina în două etape:

• Etapa 1: studiul funcției;
• Etapa 2: trasarea graficului funcției studiate.

Prima etapă este cea mai extinsă și include găsirea domeniilor de definiție și de valori, extreme ale funcției, puncte de inflexiune ale graficului etc.

Un plan complet de cercetare pentru funcția $y=f(x)$, care precede obiectivul de a reprezenta un grafic, are următoarele puncte:

• Căutați domeniul de definiție al funcției $D_(y) $ și domeniul valorilor permise $E_(y) $ ale funcției.
• Determinarea tipului de funcție: par, impar, vedere generala.
• Determinarea punctelor de intersecție a graficului unei funcții cu axele de coordonate.
• Găsirea asimptotelor graficului unei funcții (verticală, înclinată, orizontală).
• Găsirea intervalelor de monotonitate a unei funcții și a punctelor extreme.
• Aflarea intervalelor de convexitate, concavitate a graficului și puncte de inflexiune.

Găsirea domeniului de definire al funcției $D_(y) $ implică găsirea intervalelor pe care această funcție există (este definită). De regulă, această sarcină se reduce la găsirea VA (regiunea valorilor admisibile), pe baza căreia se formează $D_(y) $.

Exemplul 1

Aflați domeniul de definiție al funcției $y=\frac(x)(x-1) $.

Să găsim ODZ al funcției luate în considerare, i.e. valorile unei variabile la care numitorul nu merge la zero.

ODZ: $x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$

Să scriem domeniul definiției: $D_(y) =\( x\in R|x\ne 1\) $.

Definiția 1

Funcția $y=f(x)$ este chiar dacă este valabilă următoarea egalitate$f(-x)=f(x)$ $\forall x\in D_(y) $.

Definiția 2

Funcția $y=f(x)$ este impară dacă este valabilă următoarea egalitate: $f(-x)=-f(x)$ $\forall x\in D_(y) $.

Definiția 3

O funcție care nu este nici pară, nici impară se numește funcție de formă generală.

Exemplul 2

Determinați tipul funcțiilor: 1) $y=\frac(x)(x-1) $, 2) $y=\frac(x^(2) )(x^(2) -1) $; 3) $y=\frac(x)(x^(2) -1) $.

1) $y=\frac(x)(x-1) $

$f(-x)\ne f(x);f(-x)\ne -f(x)$, prin urmare, avem o funcție de formă generală.

2) $y=\frac(x^(2) )(x^(2) -1) $

$f(-x)=f(x)$, prin urmare, avem o funcție pară.

3) $y=\frac(x)(x^(2) -1) $.

$f(-x)\ne -f(x)$, prin urmare, avem o funcție impară.

Determinarea punctelor de intersecție a graficului unei funcții cu axele de coordonate include găsirea punctelor de intersecție: cu axa OX ($y=0$), cu axa OY ($x=0$).

Exemplul 3

Aflați punctele de intersecție cu axele de coordonate ale funcției $y=\frac(x+2)(x-1) $.

1. cu axa OX ($y=0$)

$\frac(x+2)(x-1) =0\Rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2$; obținem punctul (-2;0)

1. cu axa OY ($x=0$)

$y(0)=\frac(0+2)(0-1) =-2$, obținem punctul (0;-2)

Pe baza rezultatelor obținute în etapa de cercetare a funcției, se construiește un grafic. Uneori, punctele obținute în prima etapă nu sunt suficiente pentru a construi un grafic al unei funcții; atunci este necesar să se găsească puncte suplimentare.

Exemplul 4

Explorează funcția și construiește graficul acesteia: $y=x^(3) -6x^(2) +2x+1$.

1. Domeniu: $D_(y) =\( x|x\in R\) $.
2. Interval de valori: $E_(y) =\( y|y\in R\) $.
3. Funcție pară, impară :\ \

O funcție generală, de ex. nu este nici par, nici impar.

4) Intersecția cu axele de coordonate:

cu axa OY: $y(0)=0^(3) -6\cdot 0^(2) +2\cdot 0+1=1$, prin urmare, graficul trece prin punctul (0;1).

cu axa OX: $x^(3) -6x^(2) +2x+1=0$ (fără rădăcini raționale)

5) Asimptotele graficului:

Nu există asimptote verticale, deoarece $D_(y) =\( x|x\in R\) $

Vom căuta asimptote oblice sub forma $y=kx+b$.

$k=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(y(x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^ (3) -6x^(2) +2x+1)(x) =\infty $. Prin urmare, nu există asimptote oblice.

6) Funcție crescătoare, descrescătoare; extreme:

\ \[\begin(array)(l) (y"=0\Rightarrow 3x^(2) -12x+2=0) \\ (D=144-24=120) \\ (x_(1,2) =\frac(12\pm \sqrt(120) )(6) ) \end(matrice)\]

Să marchem punctele pe axa numerelor, să aranjam semnele primei derivate și să notăm comportamentul funcției:

Poza 1.

Funcția crește cu $\left(-\infty ;\frac(12-\sqrt(120) )(6) \right]$ și $\left[\frac(12+\sqrt(120) )(6) ; \ infty \right)$, scade cu $\left[\frac(12-\sqrt(120) )(6) ;\frac(12+\sqrt(120) )(6) \right]$.

$x=\frac(12-\sqrt(120) )(6) $ - punct maxim; $y\left(\frac(12-\sqrt(120) )(6) \right)=1.172$

$x=\frac(12+\sqrt(120) )(6) $ - punct minim; $y\left(\frac(12+\sqrt(120) )(6) \right)=-23,172$

7) Convexitatea, concavitatea graficului:

\ \[\begin(array)(l) (y""=(3x^(2) -12x+2)"=6x-12) \\ (y""=0\Rightarrow 6x-12=0\Rightarrow x=2) \end(matrice)\]

Să marchem punctele pe axa numerelor, să aranjam semnele derivatei a doua și să notăm comportamentul graficului funcției:

Figura 2.

Graficul este convex în sus cu $(-\infty ;2]$, în jos cu $

8) Graficul funcției:

Figura 3.

Procesul de cercetare a funcției constă din mai multe etape. Pentru o înțelegere cât mai completă a comportamentului funcției și a naturii graficului acesteia, este necesar să găsim:

Domeniul de existență al unei funcții.

Acest concept include atât domeniul valorilor, cât și domeniul definirii unei funcții.

Puncte de rupere. (Daca este disponibil).

Intervale de creștere și scădere.

Puncte maxime și minime.

Valoarea maximă și minimă a unei funcții în domeniul său de definire.

Zone de convexitate și concavitate.

Puncte de inflexiune (dacă există).

Asimptote (dacă există).

Construirea unui grafic.

Să ne uităm la aplicarea acestei scheme folosind un exemplu.

Exemplu. Explorează funcția și construiește graficul acesteia.

Găsim domeniul de existență al funcției. Este evident că domeniul definirii funcția este aria (-; -1)  (-1; 1)  (1; ).

La rândul lor, este clar că liniile drepte x = 1, x = -1 sunt asimptote verticale strâmb.

Gama de valori al acestei funcţii este intervalul (-; ).

Puncte de pauză funcțiile sunt puncte x = 1, x = -1.

Găsim puncte critice.

Să găsim derivata funcției

Puncte critice: x = 0; x = -;x = ;x = -1; x = 1.

Să găsim derivata a doua a funcției

Să determinăm convexitatea și concavitatea curbei la intervale.

- < x < -,y < 0, кривая выпуклая

-

1 < x < 0, y >0, curbă concavă

0 < x < 1, y < 0, кривая выпуклая

1 < x < ,y >0, curbă concavă

< x < , y >0, curbă concavă

Găsirea golurilor crescândȘi Descendentă funcții. Pentru a face acest lucru, determinăm semnele derivatei funcției pe intervale.

- < x < -,y >0, funcția este în creștere

-

1 < x < 0, y < 0, функция убывает

0 < x < 1, y < 0, функция убывает

1 < x < ,y < 0, функция убывает

< x < , y >0, funcția este în creștere

Se poate observa că punctul x = - este un punct maxim, iar punctul x = este un punct minim. Valorile funcției în aceste puncte sunt egale cu 3/2 și, respectiv, -3/2.

Despre verticală asimptote s-a spus deja mai sus. Acum să găsim asimptote oblice.

În total, ecuația asimptotei oblice este y = x.

Să construim programa Caracteristici:

Mai jos vom lua în considerare câteva exemple de studiere a diferitelor tipuri de funcții folosind metode de calcul diferențial.

Exemplu: Metode de calcul diferenţial

1. Domeniul de definire al acestei funcții este toate numerele reale (-; ).

3. Puncte de intersecție cu axele de coordonate: cu axa Oy: x = 0; y = 1;

cu axa Ox: y = 0; x = 1;

4. Puncte de întrerupere și asimptote: Nu există asimptote verticale.

Asimptote înclinate: ecuație generală y = kx + b;

Total: y = -x – asimptotă oblică.

5. Funcție crescătoare și descrescătoare, puncte extreme.

Se poate observa că y 0 pentru orice x  0, prin urmare, funcția scade pe întregul domeniu de definiție și nu are extreme. În punctul x = 0, derivata întâi a funcției este egală cu zero, dar în acest moment scăderea nu se schimbă într-o creștere, prin urmare, în punctul x = 0 funcția are cel mai probabil o inflexiune. Pentru a găsi punctele de inflexiune, găsim derivata a doua a funcției.

y = 0 pentru x =0 și y =  pentru x = 1.

Punctele (0,1) și (1,0) sunt puncte de inflexiune, deoarece y(1-h)< 0; y(1+h) >0; y(-h) > 0; y(h)< 0 для любого h > 0.

6. Să construim un grafic al funcției.

Exemplu: Explorează funcția și construiește graficul acesteia.

1. Domeniul de definire al funcției este toate valorile lui x, cu excepția x = 0.

2. Funcția este o funcție de formă generală în sensul de par și impar.

3. Puncte de intersecție cu axe de coordonate: cu axa Ox: y = 0; x =

cu axa Oy: x = 0; y – nu există.

4. Punctul x = 0 este un punct de discontinuitate, prin urmare, linia dreaptă x = 0 este o asimptotă verticală.

Căutăm asimptote oblice sub forma: y = kx + b.

Asimptotă oblică y = x.

5. Aflați punctele extreme ale funcției.

; y = 0 pentru x = 2, y =  pentru x = 0.

y > 0 pentru x  (-, 0) – funcția crește,

y< 0 при х  (0, 2) – функция убывает,

y > 0 pentru x  (2, ) – funcția crește.

Astfel, punctul (2, 3) este un punct minim.

Pentru a determina natura convexității/concavității unei funcții, găsim derivata a doua.

> 0 pentru orice x  0, prin urmare, funcția este concavă în întregul domeniu de definiție.

6. Să construim un grafic al funcției.

Exemplu: Explorează funcția și construiește graficul acesteia.

Domeniul de definire al acestei funcții este intervalul x  (-, ).

În sensul de par și impar, funcția este o funcție de formă generală.

Puncte de intersecție cu axele de coordonate: cu axa Oy: x = 0, y = 0;

cu axa Ox: y = 0, x = 0, x = 1.

Asimptotele curbei.

Nu există asimptote verticale.

Să încercăm să găsim asimptote oblice sub forma y = kx + b.

- Nu există asimptote oblice.

Găsirea punctelor extreme.

A găsi puncte critice ar trebui să rezolvi ecuația 4x 3 – 9x 2 + 6x –1 = 0.

Pentru a face acest lucru, să factorizăm acest polinom de gradul trei.

Prin selecție putem determina că una dintre rădăcinile acestei ecuații este numărul

x = 1. Atunci:

4x 3 – 9x 2 + 6x – 1 x - 1

 4x 3 – 4x 2 4x 2 – 5x + 1

Apoi putem scrie (x – 1)(4x 2 – 5x + 1) = 0. În final, obținem două puncte critice: x = 1 și x = ¼.

Notă. Operația de împărțire a polinoamelor ar putea fi evitată dacă, la găsirea derivatei, am folosi formula pentru derivata unui produs:

Să găsim derivata a doua a funcției: 12x 2 – 18x + 6. Echivalând cu zero, găsim:

Să sistematizăm informațiile primite în tabel:

Să construim un grafic al funcției.

Funcția de construire

Oferim atentiei dumneavoastra un serviciu de realizare online a graficelor de functii, toate drepturile la care apartin companiei Desmos. Utilizați coloana din stânga pentru a introduce funcții. Puteți introduce manual sau folosind tastatura virtuală din partea de jos a ferestrei. Pentru a mări fereastra cu graficul, puteți ascunde atât coloana din stânga, cât și tastatura virtuală.

Beneficiile graficelor online

• Afișarea vizuală a funcțiilor introduse
• Construirea de grafice foarte complexe
• Construcția graficelor specificate implicit (de exemplu, elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Posibilitatea de a salva diagrame și de a primi un link către ele, care devine disponibil pentru toată lumea pe Internet
• Controlul scalei, culoarea liniei
• Posibilitatea de a trasa grafice pe puncte, folosind constante
• Trasarea mai multor grafice de funcții simultan
• Trasarea în coordonate polare (utilizați r și θ(\theta))

Cu noi este ușor să construiți grafice de complexitate variată online. Construcția se face instantaneu. Serviciul este solicitat pentru găsirea punctelor de intersecție ale funcțiilor, pentru reprezentarea graficelor pentru a le muta în continuare într-un document Word ca ilustrații la rezolvarea problemelor, pentru analizarea caracteristicilor comportamentale ale graficelor de funcții. Browserul optim pentru lucrul cu diagrame pe această pagină de site este Google Chrome. Funcționarea corectă nu este garantată atunci când utilizați alte browsere.