În aplicațiile teoriei probabilităților, caracteristicile cantitative ale experimentului sunt de importanță primordială. O cantitate care poate fi determinată cantitativ și care, în urma unui experiment, poate lua, după caz sensuri diferite, numit variabilă aleatorie.
Exemple de variabile aleatoare:
1. Numărul numărului par de puncte în zece aruncări zaruri.
2. Numărul de lovituri pe țintă de către un trăgător care trage o serie de focuri.
3. Numărul de fragmente ale unei obuze care explodează.
În fiecare dintre exemplele date valoare aleatorie poate lua doar valori izolate, adică valori care pot fi numerotate folosind o serie naturală de numere.
O astfel de variabilă aleatoare valori posibile care are numere izolate individuale pe care această mărime le preia cu anumite probabilităţi se numeşte discret.
Numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare discrete poate fi finit sau infinit (numărabil).
Legea distribuției O variabilă aleatorie discretă este o listă a valorilor sale posibile și a probabilităților corespunzătoare. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete poate fi specificată sub forma unui tabel (serie de distribuție a probabilității), analitic și grafic (poligon de distribuție a probabilității).
Când se efectuează un experiment, devine necesar să se evalueze valoarea studiată „în medie”. Rolul valorii medii a unei variabile aleatoare este jucat de o caracteristică numerică numită așteptări matematice, care este determinat de formula
Unde X 1 , X 2 ,.. , X n– valori ale variabilelor aleatorii X, A p 1 ,p 2 , ... , p n– probabilitățile acestor valori (rețineți că p 1 + p 2 +…+ p n = 1).
Exemplu. Tragerea se efectuează la țintă (Fig. 11).
O lovitură în I dă trei puncte, în II – două puncte, în III – un punct. Numărul de puncte marcate într-o singură lovitură de un trăgător are o lege de distribuție a formei
Pentru a compara îndemânarea trăgătorilor, este suficient să comparăm valorile medii ale punctelor marcate, adică. așteptări matematice M(X) Și M(Y):
M(X) = 1 0,4 + 2 0,2 + 3 0,4 = 2,0,
M(Y) = 1 0,2 + 2 0,5 + 3 0,3 = 2,1.
Al doilea trăgător oferă în medie un număr de puncte ceva mai mare, adică. va da rezultate mai bune atunci când este tras în mod repetat.
Să notăm proprietățile așteptării matematice:
1. Așteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta însăși:
M(C) = C.
2. Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor:
M =(X 1 + X 2 +…+ X n)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X n).
3. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente reciproc este egală cu produsul așteptărilor matematice ale factorilor
M(X 1 X 2 … X n) = M(X 1)M(X 2)… M(X n).
4. Negația matematică a distribuției binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea ca un eveniment să se producă într-o singură încercare (sarcina 4.6).
M(X) = pr.
Pentru a evalua modul în care o variabilă aleatoare „în medie” se abate de la așteptările ei matematice, de ex. Pentru a caracteriza răspândirea valorilor unei variabile aleatoare în teoria probabilității, se utilizează conceptul de dispersie.
Varianta variabilă aleatorie X numit valorea estimata abatere pătrată:
D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].
Dispersia este o caracteristică numerică a dispersiei unei variabile aleatorii. Din definiție este clar că, cu cât dispersia unei variabile aleatoare este mai mică, cu atât valorile posibile ale acesteia sunt mai apropiate de așteptările matematice, adică cu atât mai mult. valori mai bune o variabilă aleatoare se caracterizează prin așteptarea ei matematică.
Din definiție rezultă că varianța poate fi calculată folosind formula
.
Este convenabil să calculați varianța folosind o altă formulă:
D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .
Dispersia are următoarele proprietăți:
1. Varianta constantei este zero:
D(C) = 0.
2. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:
D(CX) = C 2 D(X).
3. Varianța sumei variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianței termenilor:
D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)
4. Varianta distribuției binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea apariției și neapariției unui eveniment într-o singură încercare:
D(X) = npq.
În teoria probabilității, este adesea folosită o caracteristică numerică egală cu rădăcina pătrată a varianței unei variabile aleatoare. Această caracteristică numerică se numește deviația pătrată medie și este notă cu simbolul
.
Caracterizează dimensiunea aproximativă a abaterii unei variabile aleatoare de la valoarea sa medie și are aceeași dimensiune ca și variabila aleatoare.
4.1. Trăgătorul trage trei focuri în țintă. Probabilitatea de a lovi ținta cu fiecare lovitură este de 0,3.
Construiți o serie de distribuție pentru numărul de accesări.
Soluţie. Numărul de accesări este o variabilă aleatorie discretă X. Fiecare valoare X n variabilă aleatorie X corespunde unei anumite probabilităţi P n .
Legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete în acest caz poate fi specificată aproape de distribuție.
În această problemă X ia valori 0, 1, 2, 3. Conform formulei lui Bernoulli
,
Să găsim probabilitățile de valori posibile ale variabilei aleatoare:
R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,
R 3 (1)
=
0,3(0,7) 2
= 0,441,
R 3 (2)
=
(0,3) 2 0,7
= 0,189,
R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.
Prin aranjarea valorilor variabilei aleatoare Xîn ordine crescătoare, obținem seria de distribuție:
|
X n | ||||
Rețineți că suma
înseamnă probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua cel puțin o valoare dintre cele posibile, iar acest eveniment este, prin urmare, de încredere
.
4.2 .În urnă sunt patru bile cu numere de la 1 la 4. Se scot două bile. Valoare aleatoare X– suma numerelor bilelor. Construiți o serie de distribuție a unei variabile aleatoare X.
Soluţie. Valori ale variabilelor aleatorii X sunt 3, 4, 5, 6, 7. Să găsim probabilitățile corespunzătoare. Valoarea variabilei aleatoare 3 X poate fi acceptat în singurul caz în care una dintre bile selectate are numărul 1, iar cealaltă 2. Numărul de rezultate posibile ale testului este egal cu numărul de combinații de patru (numărul de perechi posibile de bile) de două.
Folosind formula clasică de probabilitate obținem
De asemenea,
R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.
Suma 5 poate apărea în două cazuri: 1 + 4 și 2 + 3, deci
.
X are forma:
Găsiți funcția de distribuție F(X) variabilă aleatorie Xși complotează-l. Calculați pentru X așteptarea și varianța sa matematică.
Soluţie. Legea de distribuție a unei variabile aleatoare poate fi specificată de funcția de distribuție
F(X) = P(X X).
Funcția de distribuție F(X) este o funcție nedescrescătoare, continuă în stânga, definită pe întreaga linie numerică, în timp ce
F (- )= 0,F (+ )= 1.
Pentru o variabilă aleatoare discretă, această funcție este exprimată prin formula
.
Prin urmare, în acest caz
Graficul funcției de distribuție F(X) este o linie în trepte (Fig. 12)
|
F(X) | ||||||
Valorea estimataM(X) este media aritmetică ponderată a valorilor X 1 , X 2 ,……X n variabilă aleatorie X cu solzi ρ 1, ρ 2, …… , ρ n și se numește valoarea medie a variabilei aleatoare X. Conform formulei
M(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n
M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.
Dispersia caracterizează gradul de dispersie a valorilor unei variabile aleatoare față de valoarea sa medie și se notează D(X):
D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .
Pentru o variabilă aleatoare discretă, varianța are forma
sau poate fi calculat folosind formula
Înlocuind datele numerice ale problemei în formulă, obținem:
M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84
D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.
4.4. Două zaruri sunt aruncate de două ori în același timp. Scrieți legea binomială de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X- numărul de apariții a unui număr total par de puncte pe două zaruri.
Soluţie. Să introducem un eveniment aleatoriu
A= (pe două zaruri cu o singură aruncare a ieșit totalul număr par puncte).
Folosind definiția clasică a probabilității găsim
R(A)=
,
Unde n - numărul de rezultate posibile ale testului este găsit conform regulii
multiplicare:
n = 6∙6 =36,
m - numărul de persoane care favorizează evenimentul A rezultate - egale
m= 3∙6=18.
Astfel, probabilitatea de succes într-o singură încercare este
ρ = P(A)= 1/2.
Problema este rezolvată folosind o schemă de testare Bernoulli. O provocare aici va fi aruncarea a două zaruri o dată. Numărul de astfel de teste n = 2. Variabilă aleatoare X ia valori 0, 1, 2 cu probabilități
R 2 (0)
=
,R 2 (1)
=
∙
,R 2 (2)
=
Distribuția binomială necesară a unei variabile aleatoare X poate fi reprezentat ca o serie de distribuție:
|
X n | |||
|
ρ n |
4.5 . Într-un lot de șase părți există patru părți standard. Trei părți au fost selectate la întâmplare. Construiți o distribuție de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete X– numărul de piese standard dintre cele selectate și găsiți așteptările sale matematice.
Soluţie. Valori ale variabilelor aleatorii X sunt numerele 0,1,2,3. Este clar că R(X=0)=0, deoarece există doar două părți non-standard.
R(X=1) =
=1/5,
R(X= 2) =
= 3/5,
R(X=3) =
= 1/5.
Legea distribuției unei variabile aleatoare X Să o prezentăm sub forma unei serii de distribuție:
|
X n | ||||
|
ρ n |
Valorea estimata
M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.
4.6 . Demonstrați că așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete X- numărul de apariții ale evenimentului A V nîncercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea ca un eveniment să se producă este egală cu ρ – egal cu produsul numărului de încercări cu probabilitatea apariției unui eveniment într-o singură încercare, adică pentru a demonstra că așteptarea matematică a distribuției binomiale
M(X) =n . ρ ,
și dispersie
D(X) =n.p. .
Soluţie. Valoare aleatoare X poate lua valori 0, 1, 2..., n. Probabilitate R(X= k) se găsește folosind formula lui Bernoulli:
R(X=k)= R n(k)= 
ρ
La
(1-ρ
) n- La
Seria de distribuție a unei variabile aleatoare X are forma:
|
X n | |||||
|
ρ n |
q n |
|
|
|
ρq n- 1
ρq n- 2
ρ
nUnde q= 1- ρ .
Pentru așteptarea matematică avem expresia:
M(X)=
ρq n -
1
+2
ρ
2
q n -
2
+…+.n
ρ
n
În cazul unui singur test, adică cu n= 1 pentru variabila aleatoare X 1 – numărul de apariții ale evenimentului A- seria de distributie are forma:
|
X n | ||
|
ρ n |
M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ p = p
D(X 1) = p – p 2 = p(1- p) = pq.
Dacă X k – numărul de apariții ale evenimentului Aîn care test, atunci R(X La)= ρ Și
X=X 1 +X 2 +….+X n .
De aici ajungem
M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X n)= nρ,
D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)=npq.
4.7. Departamentul de control al calității verifică standarditatea produselor. Probabilitatea ca produsul să fie standard este de 0,9. Fiecare lot contine 5 produse. Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete X- numarul de loturi, fiecare dintre acestea va contine 4 produse standard - daca 50 de loturi sunt supuse inspectiei.
Soluţie. Probabilitatea ca în fiecare lot selectat aleatoriu să existe 4 produse standard este constantă; să o notăm prin ρ .Apoi așteptarea matematică a variabilei aleatoare X egală M(X)= 50∙ρ.
Să găsim probabilitatea ρ conform formulei lui Bernoulli:
ρ=P 5 (4)=
= 0,94∙0,1=0,32.
M(X)= 50∙0,32=16.
4.8 . Se aruncă trei zaruri. Găsiți așteptările matematice ale sumei punctelor căzute.
Soluţie. Puteți găsi distribuția unei variabile aleatoare X- suma punctelor scazute si apoi asteptarea sa matematica. Totuși, această cale este prea greoaie. Este mai ușor să folosești o altă tehnică, reprezentând o variabilă aleatorie X, a cărui așteptare matematică trebuie calculată, sub forma unei sume a mai multor variabile aleatoare mai simple, a căror așteptare matematică este mai ușor de calculat. Dacă variabila aleatoare X i este numărul de puncte acumulate i– oasele ( i= 1, 2, 3), apoi suma punctelor X va fi exprimat sub formă
X = X 1 + X 2 + X 3 .
Pentru a calcula așteptarea matematică a variabilei aleatoare originale, tot ce rămâne este să folosiți proprietatea așteptării matematice
M(X 1 + X 2 + X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).
Este evident că
R(X i = K)= 1/6, LA= 1, 2, 3, 4, 5, 6, i= 1, 2, 3.
Prin urmare, așteptarea matematică a variabilei aleatoare X i se pare ca
M(X i) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,
M(X) = 3∙7/2 = 10,5.
4.9. Determinați așteptările matematice ale numărului de dispozitive care au eșuat în timpul testării dacă:
a) probabilitatea de defecțiune pentru toate dispozitivele este aceeași R, iar numărul de dispozitive testate este egal cu n;
b) probabilitatea de eşec pt i – a dispozitivului este egal cu p i , i= 1, 2, … , n.
Soluţie. Fie variabila aleatoare X este numărul de dispozitive eșuate, atunci
X = X 1 + X 2 + … + X n ,
X i
=
Este clar că
R(X i = 1)= R i , R(X i = 0)= 1– R i ,i= 1, 2, … ,n.
M(X i)= 1∙R i + 0∙(1-R i)=P i ,
M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 +P 2 + … + P n .
În cazul „a”, probabilitatea defecțiunii dispozitivului este aceeași, adică
R i =p,i= 1, 2, … ,n.
M(X)= n.p..
Acest răspuns ar putea fi obținut imediat dacă observăm că variabila aleatoare X are o distribuție binomială cu parametri ( n, p).
4.10. Două zaruri sunt aruncate simultan de două ori. Scrieți legea binomială de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X - numărul de aruncări ale unui număr par de puncte pe două zaruri.
Soluţie. Lăsa
A=(da un număr par pe primul zar),
B =(da un număr par pe al doilea zar).
Obținerea unui număr par pe ambele zaruri într-o singură aruncare este exprimată de produs AB. Apoi
R
(AB)
= R(A)∙R(ÎN)
=
.
Rezultatul celei de-a doua aruncări a două zaruri nu depinde de primul, așa că formula lui Bernoulli se aplică atunci când
n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.
Valoare aleatoare X poate lua valori 0, 1, 2 , a cărui probabilitate poate fi găsită folosind formula lui Bernoulli:
R(X= 0)= P 2 (0) = q 2 = 9/16,
R(X= 1)= P 2
(1)= C 
,R∙q
=
6/16,
R(X= 2)= P 2
(2)= C 
,
R 2
=
1/16.
Seria de distribuție a unei variabile aleatoare X:
4.11. Dispozitivul constă dintr-un număr mare de elemente care funcționează independent, cu aceeași probabilitate foarte mică de defecțiune a fiecărui element în timp t. Găsiți numărul mediu de refuzuri în timp t elemente, dacă probabilitatea ca cel puțin un element să eșueze în acest timp este de 0,98.
Soluţie. Numărul de persoane care au refuzat în timp t elemente – variabilă aleatoare X, care este distribuit conform legii lui Poisson, deoarece numărul de elemente este mare, elementele funcționează independent și probabilitatea de eșec a fiecărui element este mică. Numărul mediu de apariții ale unui eveniment în n teste este egal
M(X) = n.p..
Deoarece probabilitatea de eșec LA elemente din n exprimat prin formula
R n
(LA)
,
unde = n.p., atunci probabilitatea ca niciun element să nu eșueze în timpul respectiv t ajungem la K = 0:
R n (0)= e - .
Prin urmare, probabilitatea evenimentului opus este în timp t cel puțin un element eșuează – egal cu 1 - e - . Conform condițiilor problemei, această probabilitate este de 0,98. Din Eq.
1 - e - = 0,98,
e - = 1 – 0,98 = 0,02,
de aici = -ln 0,02 4.
Deci, în timp t funcționarea dispozitivului, în medie 4 elemente vor eșua.
4.12 . Zarurile sunt aruncate până când apare un „doi”. Aflați numărul mediu de aruncări.
Soluţie. Să introducem o variabilă aleatoare X– numărul de teste care trebuie efectuate până la producerea evenimentului care ne interesează. Probabilitatea ca X= 1 este egal cu probabilitatea ca în timpul unei aruncări a zarului să apară „doi”, adică.
R(X= 1) = 1/6.
Eveniment X= 2 înseamnă că la primul test „doi” nu au apărut, dar la al doilea a apărut. Probabilitatea evenimentului X= 2 se găsește prin regula înmulțirii probabilităților evenimentelor independente:
R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)
De asemenea,
R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6
etc. Obținem o serie de distribuții de probabilitate:
|
(5/6) La ∙1/6 |
Numărul mediu de aruncări (încercări) este așteptarea matematică
M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + LA (5/6) LA -1 ∙1/6 + … =
1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + LA (5/6) LA -1 + …)
Să găsim suma seriei:
LAg
LA -1
= (
g LA)
g
.
Prin urmare,
M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.
Astfel, trebuie să faceți o medie de 6 aruncări de zaruri până când apare un „două”.
4.13. Testele independente sunt efectuate cu aceeași probabilitate de apariție a evenimentului A la fiecare test. Găsiți probabilitatea ca un eveniment să se producă A, dacă varianța numărului de apariții ale unui eveniment în trei încercări independente este 0,63 .
Soluţie. Numărul de apariții ale unui eveniment în trei încercări este o variabilă aleatorie X, distribuit conform legii binomului. Varianța numărului de apariții ale unui eveniment în studii independente (cu aceeași probabilitate de apariție a evenimentului în fiecare studiu) este egală cu produsul numărului de încercări cu probabilitățile de apariție și neapariție a evenimentului (problema 4.6)
D(X) = npq.
După condiție n = 3, D(X) = 0,63, așa că poți R găsiți din ecuație
0,63 = 3∙R(1-R),
care are două soluții R 1 = 0,7 și R 2 = 0,3.
Capitolul 1. Variabilă aleatorie discretă
§ 1. Concepte de variabilă aleatoare.
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete.
Definiție : Aleatorie este o cantitate care, în urma testării, ia doar o singură valoare dintr-un set posibil de valori, necunoscută în prealabil și în funcție de motive aleatorii.
Există două tipuri de variabile aleatoare: discrete și continue.
Definiție : Se numește variabila aleatoare X discret (discontinuu) dacă mulțimea valorilor sale este finită sau infinită, dar numărabilă.
Cu alte cuvinte, valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete pot fi renumerotate.
O variabilă aleatoare poate fi descrisă folosind legea distribuției sale.
Definiție : Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete numiți corespondența dintre valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile acestora.
Legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X poate fi specificată sub forma unui tabel, în primul rând al căruia toate valorile posibile ale variabilei aleatoare sunt indicate în ordine crescătoare, iar în al doilea rând probabilitățile corespunzătoare ale acestora valori, adică
unde р1+ р2+…+ рn=1
Un astfel de tabel se numește o serie de distribuție a unei variabile aleatoare discrete.
Dacă mulțimea de valori posibile ale unei variabile aleatoare este infinită, atunci seria p1+ p2+…+ pn+… converge și suma sa este egală cu 1.
Legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X poate fi reprezentată grafic, pentru care o linie întreruptă este construită într-un sistem de coordonate dreptunghiular, conectând secvențial puncte cu coordonatele (xi; pi), i=1,2,…n. Linia rezultată este numită poligon de distribuție (Fig. 1).
Chimie organică" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">chimie organică sunt 0,7, respectiv 0,8. Întocmește o lege de distribuție pentru variabila aleatoare X - numărul de examene pe care studentul le va promova.
Soluţie. Variabila aleatoare X considerată ca urmare a examenului poate lua una dintre următoarele valori: x1=0, x2=1, x3=2.
Să aflăm probabilitatea acestor valori. Să notăm evenimentele:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Deci, legea de distribuție a variabilei aleatoare X este dată de tabelul:
Control: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Funcția de distribuție
O descriere completă a unei variabile aleatoare este dată și de funcția de distribuție.
Definiție: Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X se numește funcție F(x), care determină pentru fiecare valoare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât x:
F(x)=P(X<х)
Din punct de vedere geometric, funcția de distribuție este interpretată ca probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valoarea care este reprezentată pe dreapta numerică de un punct situat la stânga punctului x.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x) este o funcție nedescrescătoare pe (-∞;+∞);
3) F(x) - continuu in stanga in punctele x= xi (i=1,2,...n) si continuu in toate celelalte puncte;
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Dacă legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X este dată sub forma unui tabel:
atunci funcția de distribuție F(x) este determinată de formula:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 pentru x≤ x1,
р1 la x1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 la x2< х≤ х3
1 pentru x> xn.
Graficul său este prezentat în Fig. 2:
§ 3. Caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare discrete.
Una dintre caracteristicile numerice importante este așteptarea matematică.
Definiție: Așteptări matematice M(X) variabila aleatoare discretă X este suma produselor tuturor valorilor sale și probabilitățile lor corespunzătoare:
M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Așteptările matematice servesc ca o caracteristică a valorii medii a unei variabile aleatorii.
Proprietățile așteptărilor matematice:
1)M(C)=C, unde C este o valoare constantă;
2)M(C X)=C M(X),
3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), unde X, Y sunt variabile aleatoare independente;
5)M(X±C)=M(X)±C, unde C este o valoare constantă;
Pentru a caracteriza gradul de dispersie a valorilor posibile ale unei variabile aleatoare discrete în jurul valorii sale medii, se utilizează dispersia.
Definiție: Varianta D ( X ) variabila aleatoare X este așteptarea matematică a abaterii pătrate a variabilei aleatoare de la așteptarea ei matematică:
Proprietăți de dispersie:
1)D(C)=0, unde C este o valoare constantă;
2)D(X)>0, unde X este o variabilă aleatorie;
3)D(C X)=C2 D(X), unde C este o valoare constantă;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), unde X, Y sunt variabile aleatoare independente;
Pentru a calcula varianța, este adesea convenabil să folosiți formula:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
unde M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
Varianta D(X) are dimensiunea unei variabile aleatoare la pătrat, ceea ce nu este întotdeauna convenabil. Prin urmare, valoarea √D(X) este folosită și ca indicator al dispersiei valorilor posibile ale unei variabile aleatoare.
Definiție: Deviație standard σ(X) variabila aleatoare X se numește rădăcina pătrată a varianței:
Sarcina nr. 2. Variabila aleatoare discretă X este specificată de legea distribuției:
Găsiți P2, funcția de distribuție F(x) și reprezentați graficul acesteia, precum și M(X), D(X), σ(X).
Soluţie: Deoarece suma probabilităților valorilor posibile ale variabilei aleatoare X este egală cu 1, atunci
Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Să găsim funcția de distribuție F(x)=P(X Geometric, această egalitate poate fi interpretată după cum urmează: F(x) este probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valoarea reprezentată pe axa numerelor de punctul situat în stânga punctului x. Dacă x≤-1, atunci F(x)=0, deoarece nu există o singură valoare a acestei variabile aleatoare pe (-∞;x); Dacă -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Daca 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) există două valori x1=-1 și x2=0; Daca 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Daca 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Dacă x>3, atunci F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, deoarece patru valori x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 se încadrează în intervalul (-∞;x) și x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 la x≤-1, 0,1 la -1<х≤0, 0,2 la 0<х≤1, F(x)= 0,5 la 1<х≤2, 0,7 la 2<х≤3, 1 la x>3 Să reprezentăm grafic funcția F(x) (Fig. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. Legea distribuției binomiale variabilă aleatoare discretă, legea lui Poisson. Definiție: Binom
se numește legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X - numărul de apariții ale evenimentului A în n încercări repetate independente, în fiecare din care evenimentul A poate să apară cu probabilitatea p sau să nu apară cu probabilitatea q = 1-p. Atunci P(X=m) - probabilitatea de apariție a evenimentului A de exact de m ori în n încercări este calculată folosind formula Bernoulli: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m Așteptările matematice, dispersia și abaterea standard a unei variabile aleatoare X distribuite conform unei legi binare se găsesc, respectiv, folosind formulele: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Probabilitatea evenimentului A - „lansarea unui cinci” în fiecare încercare este aceeași și egală cu 1/6 , adică P(A)=p=1/6, apoi P(A)=1-p=q=5/6, unde - „Eșecul de a obține A.” Variabila aleatoare X poate lua următoarele valori: 0;1;2;3. Găsim probabilitatea fiecăreia dintre valorile posibile ale lui X folosind formula lui Bernoulli: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Acea. legea de distribuție a variabilei aleatoare X are forma: Control: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Vom găsi caracteristici numerice variabila aleatoare X: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Sarcina nr. 4. O mașină automată ștampilă piesele. Probabilitatea ca o piesă fabricată să fie defectă este de 0,002. Găsiți probabilitatea ca între 1000 de părți selectate să fie: a) 5 defecte; b) cel puțin unul este defect. Soluţie:
Numărul n=1000 este mare, probabilitatea producerii unei piese defecte p=0,002 este mică, iar evenimentele luate în considerare (partea se dovedește a fi defectă) sunt independente, prin urmare formula Poisson este valabilă: Рn(m)= e-
λ
λm Să găsim λ=np=1000 0,002=2. a) Aflați probabilitatea ca să fie 5 piese defecte (m=5): Р1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Aflați probabilitatea ca cel puțin o piesă defectă să fie. Evenimentul A - „cel puțin una dintre părțile selectate este defectă” este opusul evenimentului - „toate părțile selectate nu sunt defecte.” Prin urmare, P(A) = 1-P(). Prin urmare, probabilitatea dorită este egală cu: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Sarcini pentru munca independentă.
1.1
1.2.
Variabila aleatoare dispersată X este specificată de legea distribuției: Găsiți p4, funcția de distribuție F(X) și trasați graficul acesteia, precum și M(X), D(X), σ(X). 1.3.
În cutie sunt 9 markere, dintre care 2 nu mai scriu. Luați 3 markere la întâmplare. Variabila aleatoare X este numărul de markeri de scriere dintre cei luați. Întocmește o lege de distribuție a unei variabile aleatoare. 1.4.
Există 6 manuale aranjate aleatoriu pe un raft al bibliotecii, dintre care 4 sunt legate. Bibliotecarul ia la întâmplare 4 manuale. Variabila aleatoare X este numărul de manuale legate dintre cele luate. Întocmește o lege de distribuție a unei variabile aleatoare. 1.5.
Pe bilet sunt două sarcini. Probabilitate decizia corectă prima problemă este 0,9, a doua este 0,7. Variabila aleatoare X este numărul de probleme rezolvate corect din bilet. Elaborați o lege de distribuție, calculați așteptarea matematică și varianța acestei variabile aleatoare și, de asemenea, găsiți funcția de distribuție F(x) și construiți graficul acesteia. 1.6.
Trei trăgători trag într-o țintă. Probabilitatea de a lovi ținta cu o lovitură este de 0,5 pentru primul trăgător, 0,8 pentru al doilea și 0,7 pentru al treilea. Variabila aleatorie X este numărul de lovituri pe țintă dacă trăgătorii trag câte o lovitură la un moment dat. Aflați legea distribuției, M(X),D(X). 1.7.
Un jucător de baschet aruncă mingea în coș cu o probabilitate de a lovi fiecare lovitură de 0,8. Pentru fiecare lovitură, el primește 10 puncte, iar dacă ratează, nu i se acordă niciun punct. Întocmește o lege de distribuție pentru variabila aleatoare X - numărul de puncte primite de un baschetbalist în 3 lovituri. Găsiți M(X),D(X), precum și probabilitatea ca el să obțină mai mult de 10 puncte. 1.8.
Pe cartonașe sunt scrise litere, în total 5 vocale și 3 consoane. Se aleg la întâmplare 3 cărți și de fiecare dată cardul luat este returnat înapoi. Variabila aleatoare X este numărul de vocale dintre cele luate. Întocmește o lege de distribuție și află M(X),D(X),σ(X). 1.9.
În medie, 60% din contracte Companie de asigurari plătește sume de asigurare în legătură cu producerea unui eveniment asigurat. Întocmește o lege de repartizare a variabilei aleatoare X - numărul de contracte pentru care a fost plătită suma de asigurare dintre patru contracte selectate aleatoriu. Aflați caracteristicile numerice ale acestei mărimi. 1.10.
Postul de radio trimite indicative de apel (nu mai mult de patru) la anumite intervale până când se stabilește o comunicare bidirecțională. Probabilitatea de a primi un răspuns la un indicativ de apel este de 0,3. Variabila aleatoare X este numărul de indicative de apel trimise. Întocmește o lege de distribuție și află F(x). 1.11.
Sunt 3 chei, dintre care doar una se potrivește în încuietoare. Întocmește o lege pentru distribuirea variabilei aleatoare X-număr de încercări de a deschide încuietoarea, dacă cheia încercată nu participă la încercările ulterioare. Găsiți M(X),D(X). 1.12.
Pentru fiabilitate, sunt efectuate teste independente consecutive a trei dispozitive. Fiecare dispozitiv ulterior este testat numai dacă cel anterior s-a dovedit a fi fiabil. Probabilitatea de a trece testul pentru fiecare dispozitiv este de 0,9. Elaborați o lege de distribuție pentru variabila aleatoare X-număr de dispozitive testate. 1.13
.Variabila aleatoare discretă X are trei valori posibile: x1=1, x2, x3 și x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Blocul dispozitivului electronic conține 100 de elemente identice. Probabilitatea de defectare a fiecărui element în timpul T este de 0,002. Elementele funcționează independent. Aflați probabilitatea ca nu mai mult de două elemente să eșueze în timpul T. 1.15.
Manualul a fost publicat într-un tiraj de 50.000 de exemplare. Probabilitatea ca manualul să fie legat incorect este de 0,0002. Aflați probabilitatea ca circulația să conțină: a) patru cărți defecte, b) mai puțin de două cărți defecte. 1
.16.
Numărul de apeluri care sosesc la PBX în fiecare minut este distribuit conform legii lui Poisson cu parametrul λ=1,5. Găsiți probabilitatea ca într-un minut să sosească următoarele: a) două apeluri; b) cel puţin un apel. 1.17.
Găsiți M(Z),D(Z) dacă Z=3X+Y. 1.18.
Sunt date legile de distribuție a două variabile aleatoare independente: Găsiți M(Z),D(Z) dacă Z=X+2Y. Raspunsuri:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; 0 la x≤-2, 0,3 la -2<х≤0, F(x)= 0,5 la 0<х≤2, 0,9 la 2<х≤5, 1 la x>5 0,3 la -1<х≤0, 0,4 la 0<х≤1, F(x)= 0,6 la 1<х≤2, 0,7 la 2<х≤3, 1 la x>3 M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 la x≤0, 0,03 la 0<х≤1, F(x)= 0,37 la 1<х≤2, 1 pentru x>2 M(X)=2; D(X)=0,62 M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ M(X)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a)0,0189; b) 0,00049 1.16.
a)0,0702; b) 0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Capitolul 2. Variabilă aleatoare continuă
Definiție: Continuu
este o mărime ale cărei toate valorile posibile umplu complet un interval finit sau infinit al dreptei numerice. Evident, numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare continue este infinit. O variabilă aleatoare continuă poate fi specificată folosind o funcție de distribuție. Definiție: F funcția de distribuție
o variabilă aleatoare continuă X se numește funcție F(x), care determină pentru fiecare valoare xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R Funcția de distribuție este uneori numită funcție de distribuție cumulativă. Proprietățile funcției de distribuție:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Pentru o variabilă aleatoare continuă, funcția de distribuție este continuă în orice punct și diferențiabilă peste tot, cu excepția, poate, în puncte individuale. 3) Probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să cadă într-unul dintre intervalele (a;b), [a;b], [a;b], este egală cu diferența dintre valorile funcției F(x) la punctele a și b, adică R(a)<Х 4) Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X să ia o valoare separată este 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Specificarea unei variabile aleatoare continue folosind o funcție de distribuție nu este singura modalitate. Să introducem conceptul de densitate de distribuție a probabilității (densitate de distribuție). Definiție
:
Densitatea distribuției probabilităților
f
(
X
)
a unei variabile aleatoare continue X este derivata funcției sale de distribuție, adică: Funcția de densitate de probabilitate este uneori numită funcție de distribuție diferențială sau lege de distribuție diferențială. Se numește graficul distribuției densității de probabilitate f(x). curba de distribuție a probabilității
.
Proprietăți ale distribuției densității de probabilitate:
1) f(x) ≥0, la xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" înălțime ="62 src="> 0 la x≤2, f(x)= c(x-2) la 2<х≤6, 0 pentru x>6. Aflați: a) valoarea lui c; b) funcția de distribuție F(x) și reprezentați-o grafic; c) P(3≤x<5) Soluţie:
+
∞ a) Găsim valoarea lui c din condiția de normalizare: ∫ f(x)dx=1. Prin urmare, -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x daca 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2; Gif" width="14" height="62"> 0 la x≤2, F(x)= (x-2)2/16 la 2<х≤6, 1 pentru x>6. Graficul funcției F(x) este prezentat în Fig. 3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 la x≤0, F(x)= (3 arctan x)/π la 0<х≤√3, 1 pentru x>√3. Găsiți funcția de distribuție diferențială f(x) Soluţie:
Deoarece f(x)= F’(x), atunci https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24"> Toate proprietățile așteptării și dispersiei matematice, discutate mai devreme pentru variabilele aleatoare dispersate, sunt valabile și pentru cele continue. Sarcina nr. 3. Variabila aleatoare X este specificată de funcția diferențială f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Probleme pentru rezolvare independentă.
2.1.
O variabilă aleatoare continuă X este specificată de funcția de distribuție: 0 la x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 pentru x≤ π/6, F(x)= - cos 3x la π/6<х≤ π/3, 1 pentru x> π/3. Găsiți funcția de distribuție diferențială f(x) și, de asemenea Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 la x≤2, f(x)= c x la 2<х≤4, 0 pentru x>4. 2.4.
O variabilă aleatoare continuă X este specificată de densitatea distribuției: 0 la x≤0, f(x)= c √x la 0<х≤1, 0 pentru x>1. Aflați: a) numărul c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> la x, 0 la x. Aflați: a) F(x) și construiți graficul său; b) M(X),D(X), σ(X); c) probabilitatea ca în patru încercări independente valoarea lui X să ia exact de 2 ori valoarea aparținând intervalului (1;4). 2.6.
Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X este dată: f(x)= 2(x-2) la x, 0 la x. Aflați: a) F(x) și construiți graficul său; b) M(X),D(X), σ (X); c) probabilitatea ca în trei încercări independente valoarea lui X să ia exact de 2 ori valoarea aparținând segmentului . 2.7.
Funcția f(x) este dată astfel: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
Funcția f(x) este dată astfel: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Aflați: a) valoarea constantei c la care funcția va fi densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare X; b) funcţia de distribuţie F(x). 2.9.
Variabila aleatoare X, concentrată pe intervalul (3;7), este specificată de funcția de distribuție F(x)= . Găsiți probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua valoarea: a) mai mică de 5, b) nu mai mică de 7. 2.10.
Variabila aleatoare X, concentrată pe intervalul (-1;4), este dat de funcţia de distribuţie F(x)= . Găsiți probabilitatea ca variabila aleatoare X va lua valoarea: a) mai mică de 2, b) nu mai mică de 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Aflați: a) numărul c; b) M(X); c) probabilitatea P(X> M(X)). 2.12.
Variabila aleatoare este specificată de funcția de distribuție diferențială: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Aflați: a) M(X); b) probabilitatea P(X≤M(X)) 2.13.
Distribuția Rem este dată de densitatea de probabilitate: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> pentru x ≥0. Demonstrați că f(x) este într-adevăr o funcție de densitate de probabilitate. 2.14.
Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X este dată: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(Fig. 4) 2.16.
Variabila aleatoare X este distribuită conform legii „ triunghi dreptunghic„în intervalul (0;4) (Fig. 5). Găsiți o expresie analitică pentru densitatea de probabilitate f(x) pe întreaga dreaptă numerică. Răspunsuri
0 la x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 pentru x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x la π/6<х≤ π/3, 0 pentru x> π/3. O variabilă aleatoare continuă X are o lege de distribuție uniformă pe un anumit interval (a;b), care conține toate valorile posibile ale lui X, dacă densitatea distribuției de probabilitate f(x) este constantă pe acest interval și egală cu 0 în afara lui , adică 0 pentru x≤a, f(x)= pentru a<х 0 pentru x≥b. Graficul funcției f(x) este prezentat în Fig. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Sarcina nr. 1. Variabila aleatoare X este distribuită uniform pe segment. Găsi: a) densitatea distribuției de probabilitate f(x) și reprezentați-o grafic; b) funcția de distribuție F(x) și reprezentați-o grafic; c) M(X),D(X), σ(X). Soluţie:
Folosind formulele discutate mai sus, cu a=3, b=7, găsim: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> la 3≤х≤7, 0 pentru x>7 Să construim graficul său (Fig. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 la x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Fig. 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 la x<0, f(x)= λе-λх pentru x≥0. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X, distribuită conform legii exponențiale, este dată de formula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)= Astfel, așteptarea matematică și abaterea standard a distribuției exponențiale sunt egale între ele. Probabilitatea ca X să cadă în intervalul (a;b) se calculează prin formula: P(a<Х Sarcina nr. 2. Timpul mediu de funcționare fără defecțiuni a dispozitivului este de 100 de ore. Presupunând că timpul de funcționare fără defecțiuni a dispozitivului are o lege de distribuție exponențială, găsiți: a) densitatea distribuției de probabilitate; b) funcţia de distribuţie; c) probabilitatea ca timpul de funcționare fără defecțiuni a dispozitivului să depășească 120 de ore. Soluţie:
Conform condiției, distribuția matematică M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 la x<0, a) f(x)= 0,01e -0,01x pentru x≥0. b) F(x)= 0 la x<0, 1-e -0,01x la x≥0. c) Găsim probabilitatea dorită folosind funcția de distribuție: P(X>120)=1-F(120)=1-(1-e -1,2)= e -1,2≈0,3. §
3.Legea distribuției normale Definiție:
O variabilă aleatoare continuă X are legea normală distribuții (legea lui Gauss),
dacă densitatea sa de distribuție are forma: unde m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Curba de distribuție normală se numește curba normala sau gaussiana
(Fig.7) Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X, distribuită conform legii normale, se exprimă prin funcția Laplace Ф (x) după formula: unde este funcția Laplace. Cometariu:
Funcția Ф(x) este impară (Ф(-х)=-Ф(х)), în plus, pentru x>5 putem presupune Ф(х) ≈1/2. Graficul funcției de distribuție F(x) este prezentat în Fig. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Probabilitatea ca valoare absolută abaterile mai mici decât un număr pozitiv δ sunt calculate prin formula: În special, pentru m=0 este valabilă următoarea egalitate: „Regula celor trei sigma”
Dacă o variabilă aleatoare X are o lege de distribuție normală cu parametrii m și σ, atunci este aproape sigur că valoarea ei se află în intervalul (a-3σ; a+3σ), deoarece https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) Să folosim formula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> Din tabelul cu valorile funcției Ф(х) găsim Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413. Deci, probabilitatea dorită: P(28 Sarcini pentru munca independentă
3.1.
Variabila aleatoare X este distribuită uniform în intervalul (-3;5). Găsi: b) funcţia de distribuţie F(x); c) caracteristici numerice; d) probabilitatea P(4<х<6). 3.2.
Variabila aleatoare X este distribuită uniform pe segment. Găsi: a) densitatea distribuției f(x); b) funcţia de distribuţie F(x); c) caracteristici numerice; d) probabilitatea P(3≤х≤6). 3.3.
Pe autostradă există un semafor automat, în care semaforul verde este aprins timp de 2 minute, galben timp de 3 secunde, roșu timp de 30 de secunde etc. O mașină circulă de-a lungul autostrăzii într-un moment aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca o mașină să treacă de un semafor fără să se oprească. 3.4.
Trenurile de metrou circulă regulat la intervale de 2 minute. Un pasager intră pe platformă la un moment dat. Care este probabilitatea ca un pasager să fie nevoit să aștepte mai mult de 50 de secunde pentru un tren? Găsiți așteptarea matematică a variabilei aleatoare X - timpul de așteptare pentru tren. 3.5.
Aflați varianța și abaterea standard a distribuției exponențiale date de funcția de distribuție: F(x)= 0 la x<0, 1-8x pentru x≥0. 3.6.
O variabilă aleatoare continuă X este specificată de densitatea distribuției de probabilitate: f(x)= 0 la x<0, 0,7 e-0,7x la x≥0. a) Numiți legea de distribuție a variabilei aleatoare luate în considerare. b) Aflați funcția de distribuție F(X) și caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare X. 3.7.
Variabila aleatoare X este distribuită conform legii exponențiale specificate de densitatea distribuției de probabilitate: f(x)= 0 la x<0, 0,4 e-0,4 x la x≥0. Aflați probabilitatea ca în urma testului X să ia o valoare din intervalul (2.5;5). 3.8.
O variabilă aleatoare continuă X este distribuită conform legii exponențiale specificate de funcția de distribuție: F(x)= 0 la x<0, 1-0,6x la x≥0 Găsiți probabilitatea ca, în urma testului, X să ia o valoare din segment. 3.9.
Valoarea așteptată și abaterea standard a unei variabile aleatoare distribuite normal sunt 8 și, respectiv, 2. Aflați: a) densitatea distribuției f(x); b) probabilitatea ca în urma testului X să ia o valoare din intervalul (10;14). 3.10.
Variabila aleatoare X este distribuită în mod normal cu o așteptare matematică de 3,5 și o varianță de 0,04. Găsi: a) densitatea distribuției f(x); b) probabilitatea ca în urma testului X să ia o valoare din segmentul . 3.11.
Variabila aleatoare X este distribuită în mod normal cu M(X)=0 și D(X)=1. Care dintre evenimente: |X|≤0,6 sau |X|≥0,6 este mai probabil? 3.12.
Variabila aleatoare X este distribuită normal cu M(X)=0 și D(X)=1. Din ce interval (-0,5;-0,1) sau (1;2) este mai probabil să ia o valoare în timpul unui test? 3.13.
Prețul curent pe acțiune poate fi modelat folosind legea distribuției normale cu M(X)=10 den. unitati şi σ (X)=0,3 den. unitati Găsi: a) probabilitatea ca prețul curent al acțiunii să fie de la 9,8 den. unitati până la 10,4 zile unități; b) folosind „regula trei sigma”, găsiți limitele în care va fi situat prețul actual al acțiunilor. 3.14.
Se cântărește substanța fără erori sistematice. Erorile de cântărire aleatoare sunt supuse legii normale cu raportul pătrat mediu σ=5g. Găsiți probabilitatea ca în patru experimente independente să nu apară o eroare în trei cântăriri în valoarea absolută 3r. 3.15.
Variabila aleatoare X este distribuită în mod normal cu M(X)=12,6. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă în intervalul (11,4;13,8) este 0,6826. Găsiți abaterea standard σ. 3.16.
Variabila aleatoare X este distribuită normal cu M(X)=12 și D(X)=36. Aflați intervalul în care variabila aleatoare X va cădea ca rezultat al testului cu o probabilitate de 0,9973. 3.17.
O piesă fabricată de o mașină automată este considerată defectă dacă abaterea X a parametrului său controlat de la valoarea nominală depășește modulo 2 unități de măsură. Se presupune că variabila aleatoare X este distribuită în mod normal cu M(X)=0 și σ(X)=0,7. Ce procent de piese defecte produce mașina? 3.18.
Parametrul X al piesei este distribuit normal cu o așteptare matematică de 2 egală cu valoarea nominală și o abatere standard de 0,014. Aflați probabilitatea ca abaterea lui X de la valoarea nominală să nu depășească 1% din valoarea nominală. Răspunsuri
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) 0 pentru x≤-3, F(x)= stânga"> 3.10.
a)f(x)= , b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. După cum se știe, variabilă aleatorie
se numește mărime variabilă care poate lua anumite valori în funcție de caz. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin (X, Y, Z), iar valorile lor sunt notate cu litere mici corespunzătoare (x, y, z). Variabilele aleatoare sunt împărțite în discontinue (discrete) și continue. Variabilă aleatorie discretă
este o variabilă aleatorie care ia doar un set finit sau infinit (numărabil) de valori cu anumite probabilități diferite de zero. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete
este o funcție care conectează valorile unei variabile aleatoare cu probabilitățile corespunzătoare. Legea distribuției poate fi specificată în una din următoarele moduri. 1
. Legea distribuției poate fi dată de tabelul:
unde λ>0, k = 0, 1, 2, … . V) prin utilizarea funcția de distribuție F(x)
, care determină pentru fiecare valoare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât x, adică. F(x) = P(X< x). Proprietățile funcției F(x) 3
. Legea distribuției poate fi specificată grafic
– poligon de distribuție (poligon) (vezi problema 3). Rețineți că pentru a rezolva unele probleme nu este necesar să cunoașteți legea distribuției. În unele cazuri, este suficient să cunoașteți unul sau mai multe numere care reflectă cele mai importante caracteristici ale legii distribuției. Acesta poate fi un număr care are semnificația „valorii medii” a unei variabile aleatoare sau un număr care arată dimensiunea medie a abaterii unei variabile aleatoare de la valoarea medie a acesteia. Numerele de acest fel sunt numite caracteristici numerice ale unei variabile aleatorii. Caracteristicile numerice de bază ale unei variabile aleatoare discrete
: Au fost emise 1000 de bilete de loterie: 5 dintre ele vor câștiga 500 de ruble, 10 vor câștiga 100 de ruble, 20 vor câștiga 50 de ruble, 50 vor câștiga 10 ruble. Determinați legea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare X - câștiguri pe bilet. Soluţie.
În funcție de condițiile problemei, sunt posibile următoarele valori ale variabilei aleatoare X: 0, 10, 50, 100 și 500. Numărul de bilete fără câștig este 1000 – (5+10+20+50) = 915, apoi P(X=0) = 915/1000 = 0,915. În mod similar, găsim toate celelalte probabilități: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=0,01). =500) = 5/1000=0,005. Să prezentăm legea rezultată sub forma unui tabel: Să aflăm așteptarea matematică a valorii X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5 Dispozitivul este format din trei elemente de operare independentă. Probabilitatea de eșec a fiecărui element dintr-un experiment este de 0,1. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de elemente eșuate într-un experiment, construiește un poligon de distribuție. Găsiți funcția de distribuție F(x) și trasați-o. Aflați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare discrete. Soluţie.
1.
Variabila aleatorie discretă X = (numărul de elemente eșuate într-un experiment) are următoarele valori posibile: x 1 = 0 (niciunul dintre elementele dispozitivului nu a eșuat), x 2 = 1 (un element a eșuat), x 3 = 2 ( două elemente au eșuat) și x 4 =3 (trei elemente au eșuat). Eșecurile elementelor sunt independente unele de altele, probabilitățile de eșec ale fiecărui element sunt egale, de aceea este aplicabilă formula lui Bernoulli
. Având în vedere că, conform condiției, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, determinăm probabilitățile valorilor: Astfel, legea de distribuție binomială dorită a lui X are forma: Graficăm valorile posibile ale lui x i de-a lungul axei absciselor și probabilitățile corespunzătoare p i de-a lungul axei ordonatelor. Să construim punctele M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Prin conectarea acestor puncte cu segmente de linie dreaptă, obținem poligonul de distribuție dorit. 3.
Să găsim funcția de distribuție F(x) = Р(Х Graficul funcției F(x) 4.
Pentru distribuția binomială X: Instituția de învățământ „Statul Belarus Academia Agricolă" Catedra de Matematică Superioară Instrucțiuni să studieze tema „Variabile aleatorii” de către studenții Facultății de Contabilitate pentru Educație prin Corespondență (NISPO) Gorki, 2013 Variabile aleatoare Variabile aleatoare discrete și continue Unul dintre conceptele principale din teoria probabilității este conceptul variabilă aleatorie
.
Variabilă aleatorie
este o cantitate care, în urma testării, ia doar una dintre numeroasele sale valori posibile și nu se știe dinainte care dintre ele. Există variabile aleatorii discretă și continuă
.
Variabilă aleatorie discretă (DRV)
este o variabilă aleatorie care poate lua un număr finit de valori izolate unele de altele, adică dacă valorile posibile ale acestei cantități pot fi recalculate. Variabilă aleatoare continuă (CNV)
este o variabilă aleatorie, toate valorile posibile ale cărora umplu complet un anumit interval al liniei numerice. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin X, Y, Z etc. Valorile posibile ale variabilelor aleatoare sunt indicate prin litere mici corespunzătoare. Record Exemplul 1
. Zarurile se aruncă o dată. În acest caz, pot apărea numere de la 1 la 6, indicând numărul de puncte. Să notăm variabila aleatoare X=(numărul de puncte aruncate). Această variabilă aleatoare ca rezultat al testului poate lua doar una dintre cele șase valori: 1, 2, 3, 4, 5 sau 6. Prin urmare, variabila aleatoare X există DSV. Exemplul 2
. Când o piatră este aruncată, ea parcurge o anumită distanță. Să notăm variabila aleatoare X=(distanta de zbor de piatra). Această variabilă aleatoare poate lua orice valoare dintr-un anumit interval, dar numai una. Prin urmare, variabila aleatoare X există NSV. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete O variabilă aleatorie discretă este caracterizată de valorile pe care le poate lua și de probabilitățile cu care sunt luate aceste valori. Se numește corespondența dintre valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete și probabilitățile lor corespunzătoare legea distribuției unei variabile aleatoare discrete
. Dacă sunt cunoscute toate valorile posibile Legea distribuției DSV poate fi reprezentată grafic dacă punctele sunt reprezentate într-un sistem de coordonate dreptunghiular Exemplul 3
. Cerealele destinate curățării conțin 10% buruieni. 4 boabe au fost selectate la întâmplare. Să notăm variabila aleatoare X=(numărul de buruieni dintre cele patru selectate). Construiți legea distribuției DSV Xși poligonul de distribuție. Soluţie
. Conform condițiilor exemplu. Apoi: Să notăm legea de distribuție a DSV X sub forma unui tabel și să construim un poligon de distribuție: Așteptarea unei variabile aleatoare discrete Cele mai importante proprietăți ale unei variabile aleatoare discrete sunt descrise de caracteristicile sale. Una dintre aceste caracteristici este valorea estimata
variabilă aleatorie. Să fie cunoscută legea distribuției DSV X: Așteptări matematice
DSV X este suma produselor fiecărei valori a acestei mărimi și probabilitatea corespunzătoare: Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare sunt aproximativ egale cu media aritmetică a tuturor valorilor sale. Prin urmare, în problemele practice, valoarea medie a acestei variabile aleatoare este adesea luată ca așteptare matematică. Exemplu
8
. Trăgătorul marchează 4, 8, 9 și 10 puncte cu probabilități de 0,1, 0,45, 0,3 și 0,15. Găsiți așteptarea matematică a numărului de puncte cu o singură lovitură. Soluţie
. Să notăm variabila aleatoare X=(numărul de puncte înscrise). Apoi . Astfel, numărul mediu așteptat de puncte marcate cu o singură lovitură este de 8,2, iar cu 10 lovituri - 82. Proprietăți principale
așteptările matematice sunt: Diferență Varianta unei variabile aleatoare discrete Pentru a caracteriza o variabilă aleatoare, pe lângă așteptarea matematică, folosim și dispersie
, ceea ce face posibilă estimarea dispersiei (împrăștierii) valorilor unei variabile aleatorii în jurul așteptării sale matematice. Când se compară două variabile aleatoare omogene cu așteptări matematice egale, valoarea „cea mai bună” este considerată a fi cea care are mai puțin răspândire, adică. mai puțină dispersie. Varianta
variabilă aleatorie X se numește așteptarea matematică a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică: . În problemele practice, se utilizează o formulă echivalentă pentru a calcula varianța. Principalele proprietăți ale dispersiei sunt: Pe această pagină am adunat exemple de soluții educaționale probleme legate de variabile aleatoare discrete. Aceasta este o secțiune destul de extinsă: sunt studiate diverse legi de distribuție (binomală, geometrică, hipergeometrică, Poisson și altele), proprietăți și caracteristici numerice; pentru fiecare serie de distribuție se pot construi reprezentări grafice: poligon (poligon) de probabilități, funcție de distribuție. Mai jos veți găsi exemple de decizii despre variabile aleatoare discrete, în care trebuie să aplicați cunoștințele din secțiunile anterioare ale teoriei probabilităților pentru a elabora o lege de distribuție și apoi să calculați așteptarea matematică, dispersia, abaterea standard, construiți o funcție de distribuție, răspundeți întrebări despre DSV etc. P. Exemple pentru legile populare de distribuție a probabilității: Sarcina 1. Există 4 semafoare de-a lungul traseului vehiculului, fiecare dintre acestea interzicând deplasarea ulterioară a vehiculului cu o probabilitate de 0,5. Găsiți seria de distribuție a numărului de semafoare trecute de mașină înainte de prima oprire. Care sunt așteptările și varianța matematică a acestei variabile aleatoare? Sarcina 2. Vânătorul trage în joc până la prima lovitură, dar nu reușește să tragă mai mult de patru focuri. Întocmește o lege de distribuție a numărului de rateuri dacă probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este 0,7. Aflați varianța acestei variabile aleatoare. Sarcina 3. Tragatorul, avand 3 cartuse, trage in tinta pana la prima lovitura. Probabilitățile de lovire pentru prima, a doua și a treia lovitură sunt 0,6, 0,5, 0,4, respectiv. S.V. $\xi$ - numărul de cartușe rămase. Compilați o serie de distribuție a unei variabile aleatoare, găsiți așteptarea matematică, varianța, abaterea standard a variabilei aleatoare, construiți funcția de distribuție a variabilei aleatoare, găsiți $P(|\xi-m| \le \sigma$. Sarcina 4. Cutia contine 7 piese standard si 3 piese defecte. Scot piesele secvenţial până când apare cea standard, fără a le returna înapoi. $\xi$ este numărul de piese defecte recuperate. Sarcina 5. La reexaminarea la teoria probabilităților s-au prezentat 3 studenți. Probabilitatea ca prima persoană să promoveze examenul este de 0,8, a doua - 0,7, iar a treia - 0,9. Găsiți seria de distribuție a variabilei aleatoare $\xi$ a numărului de studenți care au promovat examenul, reprezentați grafic funcția de distribuție, găsiți $M(\xi), D(\xi)$. Sarcina 6. Probabilitatea de a lovi ținta cu o lovitură este de 0,8 și scade cu fiecare lovitură cu 0,1. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de lovituri pe o țintă dacă sunt trase trei focuri. Găsiți valoarea așteptată, varianța și S.K.O. această variabilă aleatoare. Desenați un grafic al funcției de distribuție. Sarcina 7. Se trag 4 focuri în țintă. Probabilitatea unei lovituri crește după cum urmează: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Găsiți legea distribuției variabilei aleatoare $X$ - numărul de accesări. Aflați probabilitatea ca $X \ge 1$. Sarcina 8. Se aruncă două monede simetrice și se numără numărul de steme de pe ambele fețe superioare ale monedelor. Considerăm o variabilă aleatorie discretă $X$ - numărul de steme de pe ambele monede. Scrieți legea de distribuție a variabilei aleatoare $X$, găsiți așteptările ei matematice. Sarcina 9. Doi jucători de baschet fac trei lovituri în coș. Probabilitatea de a lovi pentru primul baschetbalist este de 0,6, pentru al doilea – 0,7. Fie $X$ diferența dintre numărul de lovituri reușite ale primului și celui de-al doilea jucător de baschet. Găsiți seria de distribuție, modul și funcția de distribuție a variabilei aleatoare $X$. Construiți un poligon de distribuție și un grafic al funcției de distribuție. Calculați valoarea așteptată, varianța și abaterea standard. Aflați probabilitatea evenimentului $(-2 \lt X \le 1)$. Problema 10. Numărul de nave nerezidente care sosesc zilnic pentru încărcare într-un anumit port este o variabilă aleatorie $X$, dată după cum urmează: Problema 11. Se aruncă 4 zaruri. Aflați așteptarea matematică a sumei numărului de puncte care vor apărea pe toate părțile. Problema 12. Cei doi aruncă pe rând o monedă până când apare prima stema. Jucătorul care a primit stema primește 1 rublă de la celălalt jucător. Găsiți așteptările matematice de a câștiga pentru fiecare jucător.
1.2.
p4=0,1; 0 la x≤-1,
(Fig.5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 pentru x≤a,
,
Curba normală este simetrică față de dreapta x=m, are un maxim la x=a, egal cu .
,
Pentru distribuția binomială M(X)=np, pentru distribuția Poisson M(X)=λ
Pentru distribuția binomială D(X)=npq, pentru distribuția Poisson D(X)=λExemple de rezolvare a problemelor pe tema „Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete”
Sarcina 1.
Sarcina 3.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P3(1) = C31p1q3-1 = 3*0,1*0,92 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Verificați: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
pentru 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
pentru 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
pentru 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
pentru x > 3 va fi F(x) = 1, deoarece evenimentul este de încredere. 
- așteptarea matematică M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varianța D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- abaterea standard σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
înseamnă „probabilitatea ca o variabilă aleatorie X va lua o valoare de 5, egală cu 0,28.”
variabilă aleatorie Xși probabilități 
apariția acestor valori, atunci se crede că legea de distribuție a DSV X este cunoscut și poate fi scris sub formă de tabel:
,
,
…,
și leagă-le cu segmente de linie dreaptă. Figura rezultată se numește poligon de distribuție.
.
.
.
, Unde 
,
.
.
, Unde XȘi Y sunt variabile aleatoare independente.
numit deviere
variabilă aleatorie X din așteptările sale matematice. Această diferență este o variabilă aleatorie și așteptarea sa matematică este zero, adică. 
.
.Calculatoare pentru caracteristicile DSV
Probleme rezolvate despre DSV
Distribuții apropiate de geometric
Întocmește o lege de distribuție pentru o variabilă aleatoare discretă $\xi$, calculează așteptarea ei matematică, varianța, abaterea standard, desenează un poligon de distribuție și un grafic al funcției de distribuție.Sarcini cu evenimente independente
Alte probleme și legi de distribuție a DSV
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) asigurați-vă că este specificată seria de distribuție,
B) găsiți funcția de distribuție a variabilei aleatoare $X$,
C) dacă într-o anumită zi sosesc mai mult de trei nave, portul își asumă responsabilitatea pentru costurile datorate necesității de a angaja șoferi și încărcătoare suplimentare. Care este probabilitatea ca portul să suporte costuri suplimentare?
D) găsiți așteptările matematice, varianța și abaterea standard a variabilei aleatoare $X$.