Fracție improprie

Sferturi

1. Ordine. AȘi b există o regulă care permite cuiva să identifice în mod unic una și doar una dintre cele trei relații dintre ei: „< », « >" sau " = ". Această regulă se numește regula de ordonareși se formulează astfel: două numere nenegative și sunt legate prin aceeași relație ca două numere întregi și ; două numere nepozitive AȘi b sunt legate prin aceeași relație ca două numere nenegative și ; dacă deodată A nenegativ, dar b- negativ, atunci A > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Adunarea fracțiilor

2. Operație de adăugare. Pentru orice numere raționale AȘi b există un așa-zis regula de însumare c. Mai mult decât atât, numărul în sine c numit Cantitate numere AȘi bși este notat cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit însumare. Regula însumării are următoarea vedere: .
3. Operația de înmulțire. Pentru orice numere raționale AȘi b există un așa-zis regula înmulțirii, care le atribuie un număr rațional c. Mai mult decât atât, numărul în sine c numit muncă numere AȘi bși este notat cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit și multiplicare. Regula înmulțirii arată astfel: .
4. Tranzitivitatea relației de ordine. Pentru orice triplu de numere raționale A , bȘi c Dacă A Mai puțin bȘi b Mai puțin c, Acea A Mai puțin c, si daca A egală bȘi b egală c, Acea A egală c. 6435">Comutativitatea adunării. Schimbarea locurilor termenilor raționali nu schimbă suma.
5. Asociativitatea adunării. Ordinea în care sunt adăugate trei numere raționale nu afectează rezultatul.
6. Prezența lui zero. Există un număr rațional 0 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este adăugat.
7. Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, care atunci când este adăugat la dă 0.
8. Comutativitatea înmulțirii. Schimbarea locurilor factorilor raționali nu schimbă produsul.
9. Asociativitatea înmulțirii. Ordinea în care sunt înmulțite trei numere raționale nu afectează rezultatul.
10. Disponibilitatea unității. Există un număr rațional 1 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este înmulțit.
11. Prezența numerelor reciproce. Orice număr rațional are un număr rațional invers, care atunci când este înmulțit cu dă 1.
12. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea. Operația de înmulțire este coordonată cu operația de adunare prin legea distribuției:
13. Legătura relației de ordine cu operația de adunare. Același număr rațional poate fi adăugat la părțile din stânga și din dreapta unei inegalități raționale. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axioma lui Arhimede. Oricare ar fi numărul rațional A, puteți lua atât de multe unități încât suma lor depășește A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Proprietăți suplimentare

Toate celelalte proprietăți inerente numerelor raționale nu se disting ca fiind de bază, deoarece, în general, ele nu se mai bazează direct pe proprietățile numerelor întregi, ci pot fi dovedite pe baza proprietăților de bază date sau direct prin definiția unui obiect matematic. . Astfel de proprietăți suplimentare asa de mult. Este logic să enumerați doar câteva dintre ele aici.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Numărabilitatea unui set

Numerotarea numerelor raționale

Pentru a estima numărul de numere raționale, trebuie să găsiți cardinalitatea mulțimii lor. Este ușor de demonstrat că mulțimea numerelor raționale este numărabilă. Pentru a face acest lucru, este suficient să dați un algoritm care enumeră numerele raționale, adică stabilește o bijecție între mulțimile de numere raționale și naturale.

Cel mai simplu dintre acești algoritmi arată așa. Se întocmește un tabel nesfârșit de fracții obișnuite, pe fiecare i-a linie din fiecare j a-a coloană din care se află fracția. Pentru certitudine, se presupune că rândurile și coloanele acestui tabel sunt numerotate începând de la unu. Celulele din tabel sunt notate cu , unde i- numărul rândului tabelului în care se află celula și j- numărul coloanei.

Tabelul rezultat este parcurs folosind un „șarpe” conform următorului algoritm formal.

Aceste reguli sunt căutate de sus în jos și următoarea poziție este selectată pe baza primei potriviri.

În procesul unei astfel de parcurgeri, fiecare număr rațional nou este asociat cu un alt număr natural. Adică, fracția 1/1 este atribuită numărului 1, fracția 2/1 numărului 2 etc. Trebuie remarcat că sunt numerotate numai fracțiile ireductibile. Un semn formal de ireductibilitate este că cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului fracției este egal cu unu.

Urmând acest algoritm, putem enumera toate numerele raționale pozitive. Aceasta înseamnă că mulțimea numerelor raționale pozitive este numărabilă. Este ușor să stabiliți o bijecție între mulțimile de numere raționale pozitive și negative prin simpla atribuire fiecărui număr rațional opusul său. Acea. mulţimea numerelor raţionale negative este de asemenea numărabilă. Unirea lor este de asemenea numărabilă prin proprietatea seturilor numărabile. Mulțimea numerelor raționale este, de asemenea, numărabilă ca unire a unei mulțimi numărabile cu una finită.

Afirmația despre numărabilitatea mulțimii numerelor raționale poate provoca o oarecare confuzie, deoarece la prima vedere pare că este mult mai extinsă decât mulțimea numerelor naturale. De fapt, nu este așa și există suficiente numere naturale pentru a le enumera pe toate raționale.

Lipsa numerelor raționale

Ipotenuza unui astfel de triunghi nu poate fi exprimată prin niciunul Numar rational

Numere raționale de forma 1 / nîn mare n pot fi măsurate cantități arbitrar mici. Acest fapt creează impresia înșelătoare că numerele raționale pot fi folosite pentru a măsura orice distanțe geometrice. Este ușor să arăți că acest lucru nu este adevărat.

Din teorema lui Pitagora știm că ipotenuza unui triunghi dreptunghic se exprimă ca rădăcina pătrată a sumei pătratelor catetelor sale. Acea. lungimea ipotenuzei unui isoscel triunghi dreptunghic cu un catet unitar este egal cu, adică un număr al cărui pătrat este 2.

Dacă presupunem că un număr poate fi reprezentat printr-un număr rațional, atunci există un astfel de număr întreg mși un astfel de număr natural n, că , iar fracția este ireductibilă, adică numere mȘi n- reciproc simplu.

Fracțiunea corespunzătoare

Sferturi

1. Ordine. AȘi b există o regulă care permite cuiva să identifice în mod unic una și doar una dintre cele trei relații dintre ei: „< », « >" sau " = ". Această regulă se numește regula de ordonareși se formulează astfel: două numere nenegative și sunt legate prin aceeași relație ca două numere întregi și ; două numere nepozitive AȘi b sunt legate prin aceeași relație ca două numere nenegative și ; dacă deodată A nenegativ, dar b- negativ, atunci A > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Adunarea fracțiilor

2. Operație de adăugare. Pentru orice numere raționale AȘi b există un așa-zis regula de însumare c. Mai mult decât atât, numărul în sine c numit Cantitate numere AȘi bși este notat cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit însumare. Regula de însumare are următoarea formă: .
3. Operația de înmulțire. Pentru orice numere raționale AȘi b există un așa-zis regula înmulțirii, care le atribuie un număr rațional c. Mai mult decât atât, numărul în sine c numit muncă numere AȘi bși este notat cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit și multiplicare. Regula înmulțirii arată astfel: .
4. Tranzitivitatea relației de ordine. Pentru orice triplu de numere raționale A , bȘi c Dacă A Mai puțin bȘi b Mai puțin c, Acea A Mai puțin c, si daca A egală bȘi b egală c, Acea A egală c. 6435">Comutativitatea adunării. Schimbarea locurilor termenilor raționali nu schimbă suma.
5. Asociativitatea adunării. Ordinea în care sunt adăugate trei numere raționale nu afectează rezultatul.
6. Prezența lui zero. Există un număr rațional 0 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este adăugat.
7. Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, care atunci când este adăugat la dă 0.
8. Comutativitatea înmulțirii. Schimbarea locurilor factorilor raționali nu schimbă produsul.
9. Asociativitatea înmulțirii. Ordinea în care sunt înmulțite trei numere raționale nu afectează rezultatul.
10. Disponibilitatea unității. Există un număr rațional 1 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este înmulțit.
11. Prezența numerelor reciproce. Orice număr rațional are un număr rațional invers, care atunci când este înmulțit cu dă 1.
12. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea. Operația de înmulțire este coordonată cu operația de adunare prin legea distribuției:
13. Legătura relației de ordine cu operația de adunare. Același număr rațional poate fi adăugat la părțile din stânga și din dreapta unei inegalități raționale. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axioma lui Arhimede. Oricare ar fi numărul rațional A, puteți lua atât de multe unități încât suma lor depășește A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Proprietăți suplimentare

Toate celelalte proprietăți inerente numerelor raționale nu se disting ca fiind de bază, deoarece, în general, ele nu se mai bazează direct pe proprietățile numerelor întregi, ci pot fi dovedite pe baza proprietăților de bază date sau direct prin definiția unui obiect matematic. . Există o mulțime de astfel de proprietăți suplimentare. Este logic să enumerați doar câteva dintre ele aici.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Numărabilitatea unui set

Numerotarea numerelor raționale

Pentru a estima numărul de numere raționale, trebuie să găsiți cardinalitatea mulțimii lor. Este ușor de demonstrat că mulțimea numerelor raționale este numărabilă. Pentru a face acest lucru, este suficient să dați un algoritm care enumeră numerele raționale, adică stabilește o bijecție între mulțimile de numere raționale și naturale.

Cel mai simplu dintre acești algoritmi arată așa. Se întocmește un tabel nesfârșit de fracții obișnuite, pe fiecare i-a linie din fiecare j a-a coloană din care se află fracția. Pentru certitudine, se presupune că rândurile și coloanele acestui tabel sunt numerotate începând de la unu. Celulele din tabel sunt notate cu , unde i- numărul rândului tabelului în care se află celula și j- numărul coloanei.

Tabelul rezultat este parcurs folosind un „șarpe” conform următorului algoritm formal.

Aceste reguli sunt căutate de sus în jos și următoarea poziție este selectată pe baza primei potriviri.

În procesul unei astfel de parcurgeri, fiecare număr rațional nou este asociat cu un alt număr natural. Adică, fracția 1/1 este atribuită numărului 1, fracția 2/1 numărului 2 etc. Trebuie remarcat că sunt numerotate numai fracțiile ireductibile. Un semn formal de ireductibilitate este că cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului fracției este egal cu unu.

Urmând acest algoritm, putem enumera toate numerele raționale pozitive. Aceasta înseamnă că mulțimea numerelor raționale pozitive este numărabilă. Este ușor să stabiliți o bijecție între mulțimile de numere raționale pozitive și negative prin simpla atribuire fiecărui număr rațional opusul său. Acea. mulţimea numerelor raţionale negative este de asemenea numărabilă. Unirea lor este de asemenea numărabilă prin proprietatea seturilor numărabile. Mulțimea numerelor raționale este, de asemenea, numărabilă ca unire a unei mulțimi numărabile cu una finită.

Afirmația despre numărabilitatea mulțimii numerelor raționale poate provoca o oarecare confuzie, deoarece la prima vedere pare că este mult mai extinsă decât mulțimea numerelor naturale. De fapt, nu este așa și există suficiente numere naturale pentru a le enumera pe toate raționale.

Lipsa numerelor raționale

Ipotenuza unui astfel de triunghi nu poate fi exprimată prin niciun număr rațional

Numere raționale de forma 1 / nîn mare n pot fi măsurate cantități arbitrar mici. Acest fapt creează impresia înșelătoare că numerele raționale pot fi folosite pentru a măsura orice distanțe geometrice. Este ușor să arăți că acest lucru nu este adevărat.

Din teorema lui Pitagora știm că ipotenuza unui triunghi dreptunghic se exprimă ca rădăcina pătrată a sumei pătratelor catetelor sale. Acea. lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic isoscel cu cateta unitară este egală cu , adică numărul al cărui pătrat este 2.

Dacă presupunem că un număr poate fi reprezentat printr-un număr rațional, atunci există un astfel de număr întreg mși un astfel de număr natural n, că , iar fracția este ireductibilă, adică numere mȘi n- reciproc simplu.

Daca atunci , adică m 2 = 2n 2. Prin urmare, numărul m 2 este par, dar produsul a două numere impare este impar, ceea ce înseamnă că numărul în sine m de asemenea chiar. Deci există un număr natural k, astfel încât numărul m poate fi reprezentat sub formă m = 2k. Numărul pătrat m In acest sens m 2 = 4k 2, dar pe de altă parte m 2 = 2n 2 înseamnă 4 k 2 = 2n 2, sau n 2 = 2k 2. După cum am arătat mai devreme pentru număr m, asta înseamnă că numărul n- chiar ca m. Dar atunci nu sunt relativ prime, deoarece ambele sunt împărțite în două. Contradicția rezultată demonstrează că nu este un număr rațional.

Cuvântul „fracții” dă pielea de găină multor oameni. Pentru că îmi amintesc de școală și de sarcinile care se rezolvau la matematică. Aceasta era o datorie care trebuia îndeplinită. Ce se întâmplă dacă ai trata problemele care implică fracții adecvate și improprii ca un puzzle? La urma urmei, mulți adulți rezolvă cuvinte încrucișate digitale și japoneze. Ne-am dat seama de reguli și atât. La fel este și aici. Trebuie doar să pătrundem în teorie - și totul va cădea la loc. Iar exemplele se vor transforma într-un mod de a-ți antrena creierul.

Ce tipuri de fracții există?

Să începem cu ce este. O fracție este un număr care are o parte din unu. Poate fi scris în două forme. Primul se numește obișnuit. Adică unul care are o linie orizontală sau înclinată. Este echivalent cu semnul diviziunii.

În această notație, numărul de deasupra liniei se numește numărător, iar numărul de mai jos se numește numitor.

Dintre fracțiile obișnuite, se disting fracțiile proprii și improprii. Pentru primul, valoarea absolută a numărătorului este întotdeauna mai mică decât numitorul. Cele greșite se numesc așa pentru că au totul invers. Valoarea unei fracții adecvate este întotdeauna mai mică decât unu. În timp ce cel incorect este întotdeauna mai mare decât acest număr.

Există și numere mixte, adică cele care au un întreg și o parte fracționară.

Al doilea tip de notație este o fracție zecimală. Există o conversație separată despre ea.

Cum diferă fracțiile improprii de numerele mixte?

In esenta, nimic. Acestea sunt doar înregistrări diferite ale aceluiași număr. Fracțiile improprii devin cu ușurință numere mixte după pași simpli. Si invers.

Totul depinde de situația specifică. Uneori este mai convenabil să folosiți o fracție necorespunzătoare în sarcini. Și uneori este necesar să o traducem în număr mixt si atunci exemplul se va rezolva foarte usor. Prin urmare, ce să folosiți: fracții improprii, numere mixte, depinde de abilitățile de observație ale persoanei care rezolvă problema.

Numărul mixt este, de asemenea, comparat cu suma părții întregi și a părții fracționale. Mai mult, al doilea este întotdeauna mai mic de unu.

Cum se reprezintă un număr mixt ca o fracție improprie?

Dacă trebuie să efectuați orice acțiune cu mai multe numere în care sunt scrise tipuri diferite, atunci trebuie să le faci la fel. O metodă este reprezentarea numerelor ca fracții improprii.

În acest scop, va trebui să efectuați următorul algoritm:

• înmulțiți numitorul cu întreaga parte;
• adăugați valoarea numărătorului la rezultat;
• scrieți răspunsul deasupra liniei;
• lăsați numitorul același.

Iată exemple de cum să scrieți fracții improprii din numere mixte:

• 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Cum se scrie o fracție improprie ca număr mixt?

Următoarea tehnică este opusă celei discutate mai sus. Adică, atunci când toate numerele mixte sunt înlocuite cu fracții improprii. Algoritmul acțiunilor va fi următorul:

• împărțiți numărătorul la numitor pentru a obține restul;
• scrieți coeficientul în locul întregii părți a celui mixt;
• restul trebuie plasat deasupra liniei;
• divizorul va fi numitorul.

Exemple de astfel de transformare:

76/14; 76:14 = 5 cu rest 6; răspunsul va fi 5 întreg și 6/14; partea fracțională din acest exemplu trebuie redusă cu 2, rezultând 3/7; răspunsul final este 5 puncte 3/7.

108/54; după împărțire se obține câtul de 2 fără rest; aceasta înseamnă că nu toate fracțiile improprii pot fi reprezentate ca număr mixt; răspunsul va fi un număr întreg - 2.

Cum se transformă un număr întreg într-o fracție necorespunzătoare?

Există situații în care o astfel de acțiune este necesară. Pentru a obține fracții improprii cu un numitor cunoscut, va trebui să efectuați următorul algoritm:

• înmulțiți un număr întreg cu numitorul dorit;
• scrieți această valoare deasupra liniei;
• plasați numitorul sub el.

Cea mai simplă opțiune este atunci când numitorul este egal cu unu. Atunci nu trebuie să înmulți nimic. Este suficient să scrieți pur și simplu întregul dat în exemplu și să plasați unul sub linie.

Exemplu: Faceți din 5 o fracție improprie cu numitorul 3. Înmulțind 5 cu 3 rezultă 15. Acest număr va fi numitorul. Răspunsul la sarcină este o fracție: 15/3.

Două abordări pentru rezolvarea problemelor cu numere diferite

Exemplul necesită calcularea sumei și diferenței, precum și a produsului și câtul a două numere: 2 numere întregi 3/5 și 14/11.

În prima abordare numărul mixt va fi reprezentat ca o fracție improprie.

După efectuarea pașilor descriși mai sus, veți obține următoarea valoare: 13/5.

Pentru a afla suma, trebuie să reduceți fracțiile la același numitor. 13/5 după înmulțirea cu 11 devine 143/55. Și 14/11 după înmulțirea cu 5 va arăta astfel: 70/55. Pentru a calcula suma, trebuie doar să adăugați numărătorii: 143 și 70, apoi notați răspunsul cu un numitor. 213/55 - acesta fracție improprie raspuns la problema.

La găsirea diferenței, se scad aceleași numere: 143 - 70 = 73. Răspunsul va fi o fracție: 73/55.

Când înmulțiți 13/5 și 14/11, nu trebuie să le reduceți la un numitor comun. Este suficient să înmulțiți numărătorii și numitorii în perechi. Răspunsul va fi: 182/55.

Același lucru este valabil și pentru divizare. Pentru decizia corectă trebuie să înlocuiți împărțirea cu înmulțirea și să inversați divizorul: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

În a doua abordare o fracție improprie devine un număr mixt.

După efectuarea acțiunilor algoritmului, 14/11 se va transforma într-un număr mixt cu o parte întreagă de 1 și o parte fracțională de 3/11.

Când calculați suma, trebuie să adăugați separat părțile întregi și fracționale. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Răspunsul final este 3 puncte 48/55. La prima abordare fracția a fost 213/55. Puteți verifica corectitudinea acestuia transformându-l într-un număr mixt. După împărțirea 213 la 55, câtul este 3, iar restul este 48. Este ușor de observat că răspunsul este corect.

La scădere, semnul „+” este înlocuit cu „-”. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Pentru a verifica, răspunsul de la abordarea anterioară trebuie convertit într-un număr mixt: 73 este împărțit la 55, iar câtul este 1, iar restul este 18.

Pentru a găsi produsul și coeficientul, este incomod să folosiți numere mixte. Este întotdeauna recomandat să treceți la fracțiile improprii aici.

Întâlnim fracții în viață mult mai devreme decât începem să le studiem la școală. Dacă tăiem un măr întreg în jumătate, obținem jumătate din fruct. Să-l tăiem din nou - va fi ¼. Acestea sunt fracții. Și totul părea simplu. Pentru un adult. Pentru copil (și Acest subiectîncepe să studiezi la sfârșit scoala generala) conceptele matematice abstracte sunt încă înspăimântător de neînțeles, iar profesorul trebuie să explice clar ce sunt o fracție propriu-zisă și o fracție improprie, una obișnuită și o zecimală, ce operații pot fi efectuate cu ele și, cel mai important, pentru ce este nevoie de toate acestea.

Ce sunt fracțiile?

A face cunoștință subiect nou la scoala incepe cu fractii obisnuite. Ele sunt ușor de recunoscut după linia orizontală care separă cele două numere - deasupra și dedesubt. Cel de sus se numește numărător, cel de jos este numitorul. Există, de asemenea, o opțiune cu litere mici pentru scrierea fracțiilor ordinare improprii și adecvate - printr-o bară oblică, de exemplu: ½, 4/9, 384/183. Această opțiune este utilizată atunci când înălțimea liniei este limitată și nu este posibilă utilizarea unui formular de intrare „cu două etaje”. De ce? Da, pentru că este mai convenabil. Vom vedea asta puțin mai târziu.

Pe lângă cele obișnuite, există și zecimale. Este foarte simplu să le distingem: dacă într-un caz se folosește o orizontală sau o bară oblică, în celălalt se folosește o virgulă pentru a separa secvențe de numere. Să ne uităm la un exemplu: 2.9; 163,34; 1.953. Am folosit în mod intenționat un punct și virgulă ca separator pentru a delimita numerele. Primul dintre ei va citi astfel: „două virgulă nouă”.

Noi concepte

Să revenim la fracții obișnuite. Ele vin în două tipuri.

Definiția unei fracții proprii este următoarea: este o fracție al cărei numărător este mai mic decât numitorul ei. De ce este important? Vom vedea acum!

Ai mai multe mere, tăiate la jumătate. Total - 5 părți. Cum ai spune: ai „două și jumătate” sau „cinci și jumătate” mere? Desigur, prima opțiune sună mai natural și o vom folosi atunci când vorbim cu prietenii. Dar dacă trebuie să calculăm câte fructe va primi fiecare persoană, dacă sunt cinci persoane în companie, vom nota numărul 5/2 și îl vom împărți la 5 - din punct de vedere matematic, acest lucru va fi mai clar .

Deci, pentru denumirea fracțiilor proprii și improprii, regula este următoarea: dacă o parte întreagă poate fi distinsă într-o fracție (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), atunci aceasta este neregulată. Dacă acest lucru nu se poate face, ca în cazul ½, 13/16, 9/10, va fi corect.

Proprietatea principală a unei fracții

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite sau împărțite simultan cu același număr, valoarea acesteia nu se modifică. Imaginează-ți: au tăiat tortul în 4 părți egale și ți-au dat una. Au tăiat aceeași prăjitură în opt bucăți și ți-au dat două. Chiar contează? La urma urmei, ¼ și 2/8 sunt același lucru!

Reducere

Autorii de probleme și exemple din manualele de matematică caută adesea să deruteze elevii, oferind fracții care sunt greoaie de scris, dar care pot fi de fapt abreviate. Iată un exemplu de fracție proprie: 167/334, care, s-ar părea, arată foarte „înfricoșător”. Dar îl putem scrie de fapt ca ½. Numărul 334 este divizibil cu 167 fără rest - după efectuarea acestei operații, obținem 2.

Numere mixte

O fracție improprie poate fi reprezentată ca număr mixt. Acesta este momentul în care întreaga parte este adusă înainte și scrisă la nivelul liniei orizontale. De fapt, expresia ia forma unei sume: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 și așa mai departe.

Pentru a elimina întreaga parte, trebuie să împărțiți numărătorul la numitor. Scrieți restul diviziunii deasupra, deasupra liniei și întreaga parte - înainte de expresie. Astfel, obținem două părți structurale: unități întregi + fracțiune proprie.

De asemenea, puteți efectua operația inversă - pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți partea întreagă cu numitorul și să adăugați valoarea rezultată la numărător. Nimic complicat.

Înmulțirea și împărțirea

În mod ciudat, înmulțirea fracțiilor este mai ușor decât adunarea. Tot ce este necesar este extinderea liniei orizontale: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Cu împărțirea, totul este și simplu: trebuie să înmulțiți fracțiile în cruce: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Adunarea fracțiilor

Ce trebuie să faceți dacă trebuie să efectuați adunarea sau numitorul lor este numere diferite? Nu va funcționa la fel ca cu înmulțirea - aici ar trebui să înțelegeți definiția unei fracții adecvate și esența acesteia. Este necesar să aduceți termenii la un numitor comun, adică partea inferioară a ambelor fracții trebuie să aibă aceleași numere.

Pentru a face acest lucru, ar trebui să utilizați proprietatea de bază a unei fracții: înmulțiți ambele părți cu același număr. De exemplu, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Cum să alegi la ce numitor să reducă termenii? Acesta trebuie să fie numărul minim care este un multiplu al ambelor numere în numitorii fracțiilor: pentru 1/3 și 1/9 va fi 9; pentru ½ și 1/7 - 14, deoarece nu există o valoare mai mică divizibilă cu 2 și 7 fără rest.

Utilizare

Pentru ce sunt folosite fracțiile improprii? La urma urmei, este mult mai convenabil să selectați imediat întreaga parte, să obțineți un număr mixt - și să terminați cu el! Se pare că, dacă trebuie să înmulțiți sau să împărțiți două fracții, este mai profitabil să folosiți cele neregulate.

Să luăm următorul exemplu: (2 + 3/17) / (37 / 68).

S-ar părea că nu există nimic de tăiat. Dar dacă scriem rezultatul adunării în primele paranteze ca o fracție improprie? Vedeți: (37/17) / (37/68)

Acum totul cade la locul lui! Să scriem exemplul în așa fel încât totul să devină evident: (37*68) / (17*37).

Să anulăm 37 la numărător și numitor și, în final, să împărțim partea de sus și de jos la 17. Vă amintiți regula de bază pentru fracțiile proprii și improprii? Le putem înmulți și împărți cu orice număr, atâta timp cât o facem pentru numărător și numitor în același timp.

Deci, obținem răspunsul: 4. Exemplul părea complicat, dar răspunsul conține doar un număr. Acest lucru se întâmplă adesea în matematică. Principalul lucru este să nu vă fie frică și să urmați reguli simple.

Greșeli comune

La implementare, un student poate face cu ușurință una dintre greșelile comune. De obicei apar din cauza neatenției și, uneori, datorită faptului că materialul studiat nu a fost încă depozitat corespunzător în cap.

Adesea, suma numerelor din numărător vă face să doriți să reduceți componentele sale individuale. Să spunem în exemplu: (13 + 2) / 13, scris fără paranteze (cu o linie orizontală), mulți elevi, din lipsă de experiență, bifează 13 deasupra și dedesubt. Dar acest lucru nu trebuie făcut sub nicio formă, pentru că aceasta este o greșeală gravă! Dacă în loc de adunare ar exista un semn de înmulțire, am obține în răspuns numărul 2. Dar la efectuarea adunării nu sunt permise operații cu unul dintre termeni, ci doar cu întreaga sumă.

Băieții fac adesea greșeli atunci când împart fracțiile. Să luăm două fracții ireductibile proprii și să ne împărțim una la alta: (5/6) / (25/33). Elevul îl poate amesteca și scrie expresia rezultată ca (5*25) / (6*33). Dar asta s-ar întâmpla cu înmulțirea, dar în cazul nostru totul va fi oarecum diferit: (5*33) / (6*25). Reducem ceea ce este posibil, iar răspunsul va fi 11/10. Scriem fracția improprie rezultată ca zecimală - 1,1.

Paranteze

Amintiți-vă că în orice expresie matematică ordinea operațiilor este determinată de precedența semnelor operației și de prezența parantezelor. Toate celelalte lucruri fiind egale, ordinea acțiunilor este numărată de la stânga la dreapta. Acest lucru este valabil și pentru fracții - expresia din numărător sau numitor este calculată strict conform acestei reguli.

La urma urmei, acesta este rezultatul împărțirii unui număr la altul. Dacă nu sunt împărțiți în mod egal, devine o fracțiune - asta-i tot.

Cum se scrie o fracție pe computer

Întrucât instrumentele standard nu permit întotdeauna crearea unei fracțiuni constând din două „niveluri”, elevii recurg uneori la diverse trucuri. De exemplu, copiază numărătorii și numitorii în editorul grafic Paint și le lipesc împreună, desenând o linie orizontală între ei. Desigur, există o opțiune mai simplă, care, apropo, oferă o mulțime de caracteristici suplimentare care vă vor fi utile în viitor.

Deschideți Microsoft Word. Unul dintre panourile din partea de sus a ecranului se numește „Inserare” - faceți clic pe el. În dreapta, pe partea în care se află pictogramele de închidere și minimizare a ferestrei, există un buton „Formulă”. Este exact ceea ce avem nevoie!

Dacă utilizați această funcție, pe ecran va apărea o zonă dreptunghiulară în care puteți folosi orice semne matematice care nu sunt pe tastatură, precum și să scrieți fracții în forma clasică. Adică, împărțirea numărătorului și numitorului cu o linie orizontală. S-ar putea chiar să fii surprins că o astfel de fracție adecvată este atât de ușor de scris.

Învață matematică

Dacă sunteți în clasele 5-6, atunci în curând vor fi necesare cunoștințe de matematică (inclusiv capacitatea de a lucra cu fracții!) la multe discipline școlare. În aproape orice problemă de fizică, atunci când se măsoară masa substanțelor în chimie, în geometrie și trigonometrie, nu te poți lipsi de fracții. În curând vei învăța să calculezi totul în cap, fără măcar să notezi expresiile pe hârtie, dar vor apărea exemple din ce în ce mai complexe. Așa că învață ce este o fracție adecvată și cum să lucrezi cu ea, ține pasul cu programa, fă-ți temele la timp și vei reuși.

326. Completați spațiile libere.

1) Dacă numărătorul unei fracții este egal cu numitorul, atunci fracția este egală cu 1.
2) Fracția a/b (a și b - numere întregi) se numește corect dacă a< b
3) Fracția a/b (a și b sunt numere naturale) se numește improprie dacă a >b sau a =b.
4) 9/14 este o fracție proprie, deoarece 9< 14.
5) 7/5 este o fracție improprie, deoarece 7 > 5.
6) 16/16 este o fracție improprie, deoarece 16=16.

327. Scrieți din fracțiile 1/20, 16/9, 7/2, 14/28,10/10, 5/32,11/2: 1) fracțiile proprii; 2) fracții improprii.

1) 1/20, 14/23, 5/32

2) 19/9, 7/2, 10/10, 11/2

328. Vino și notează: 1) 5 fracții proprii; 2) fracții improprii.

1) ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6

2) 3/2, 4/2, 5/2Yu 6/2, 7/2

329. Notați toate fracțiile proprii cu numitorul 9.

1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9.

330. Notează toate fracțiile improprii cu numărătorul 9.

9/1,9/2, 9/3, 9/4, 9/5, 9/6, 9/7, 9/8, 9/9.

331. Două benzi identice au fost împărțite în 7 părți egale. Vopsește 4/7 dintr-o bandă și 6/7 din cealaltă.

Comparați fracțiile rezultate: 4/7< 6/7.

Formulați o regulă pentru compararea fracțiilor cu aceiași numitori: Dintre două fracții cu aceiași numitori, cea cu numărătorul mai mare este mai mare.

332. Două benzi identice au fost împărțite în părți. O bandă a fost împărțită în 7 părți egale, iar cealaltă în 5 părți egale. Vopsește 3/7 din prima bandă și 3/5 din a doua.

Comparați fracțiile rezultate: 3/7< /5.

Formulați o regulă pentru compararea fracțiilor cu aceiași numărători: dintre două fracții cu aceiași numărători, cea cu numitorul mai mic este mai mare.

333. Completați spațiile libere.

1) Toate fracțiile proprii sunt mai mici decât 1, iar fracțiile improprii sunt mai mari decât 1 sau egale cu 1.

2) Fiecare fracție improprie este mai mare decât fiecare fracție proprie și fiecare fracție proprie este mai mică decât fiecare fracție improprie.

3) Pe o rază de coordonate a două fracții, fracția mai mare este situată în dreapta celei mai mici.

334. Încercuiește enunțurile corecte.

335. Compara numerele.

2)17/25>14/25

4)24/51>24/53

336. Care dintre fracțiile 10/11, 16/4, 18/17, 24/24, 2005/207, 310/303, 39/40 sunt mai mari decât 1?

Raspuns: 16/4, 18/17, 310/303

337. Aranjați fracțiile 5/29, 7/29, 4/29, 25/29, 17/29, 13/29.

Raspuns: 29/29,17/29, 13/29, 7/29, 5/29, 4/29.

338. Marcați pe raza de coordonate toate numerele care sunt fracții cu numitor 5, situate între numerele 0 și 3. Care dintre numerele marcate sunt corecte și care sunt incorecte?

0 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 9/5 10/5 11/5 12/5 13/5 14/5

Răspuns: 1) fracții proprii: 1/5, 2/5, 3/5, 4/5.

2) fracții improprii: 5/5, 6/5, 7/5, 8/5, 9/5, 10/5, 11/5, 12/5, 13/5, 14/5.

339. Aflați toate valorile naturale ale lui x pentru care fracția x/8 este corectă.

Răspuns: 1,2,3,4,5,6,7

340. Găsiți expresii naturale pentru x în care fracția 11/x va fi improprie.

Raspuns: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

341. 1) Scrieți numerele în celulele goale astfel încât să se formeze o fracție adecvată.

2) Scrieți numerele în celulele goale pentru a forma o fracție improprie.

342. Construiți și etichetați un segment a cărui lungime este: 1) 9/8 din lungimea segmentului AB; 2) 10/8 din lungimea segmentului AB; 3) 7/4 din lungimea segmentului AB; 4) lungimea segmentului AB.

Sasha a citit 42:6*7= 49 de pagini

Răspuns: 49 pagini

344. Aflați toate valorile naturale ale lui x pentru care inegalitatea este valabilă:

1) x/15<7/15;

2)10/x >10/9.

Raspuns: 1) 1,2,3,4,5,6; 2) 1,2,3,4,5,6,7,8.

345. Folosind numerele 1,4,5,7 și linia fracției, notează toate fracțiile proprii posibile.

Răspuns: ¼, 1/5,1/7,4/5,4/7,5/7.

346. Aflați toate valorile naturale ale lui m pentru care 4m+5/17 este corect.

4m+5<17; 4m<12; m<3.

Răspuns: m =1; 2.

347. Aflați toate valorile naturale ale lui a pentru care fracția 10/a va fi improprie și fracția 7/a va fi corectă.

a≤10 și a>7, adică 7

Răspuns: a = 8,9,10

348. Numerele naturale a, b, c și d astfel încât a